祁皑结构力学 第7章_力法
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3 求系数和自由项，解方程
X1=1
M1图
FP FPl/4
X2=1
6FP l 80
M 2图
11 2l 3 EI 12 21 l 6 EI
22
2 F l 32 EI l 3 EI 1 P P
2P 0
17 FP l 80
M P图
M图
3FP l 80
X 1 6FP l 80
M1图
l
X1=1
ql 2 2
M P图
X1
5ql 2 16 3ql 16
2
1P
11
3ql 16
M图
4 M M1 X1 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
例
B 2EI l EI A l/2 X2
解
FP C
X1 FP
1 基本体系 2 力法方程
基本体系
l/2
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
3 求系数和自由项，解方程
1 2
1 2
X1=1 FP FNP图 2FP FP FP -FP FP
2FP
11 3 2 2
1P (4 2 2) FP
X1 (4 2 2) FP
4 FN FN1 X1 FN P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构 7-3-3 组合结构
3.去掉一个固定端相当于去掉三个约束
X3 X2
X1
4.切断一个梁式杆相当于去掉三个约束
5.刚结点变铰接相当于去掉一个约束
7-2 力法原理
例
l/2 FP l/2
解 1 选择基本结构 、基本体系
基本结构 基本体系
FP X1
2 建立力法方程 基本结构在 多余约束力和荷载共同作用下, 去掉约束处的位移=实际位移。
1 2 2 2 1 . 86 5 . 95 1 . 93 3.09 6 5 1.99 10 2.56 10 1 2 1 0.8 5 2.02 10 0.000419 m/kN
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
1 P M12 1 ds EI 1.4 104 1 1.4 104 2 5 3 13.25 2.975 8 1.49 2
M图
ql 2 8
11
ql 2 32 EI
7ql 64
2
4 M M1 X1 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
q
例
EI l
解
EI l
1 基本体系 2 力法方程
X1 l
11 X 1 1P 0
3 求系数和自由项，解方程 4l ql 4 11 1P 3 EI 8 EI
M 3图
63
115.2
61 .2
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
解 1 基本体系
2 力法方程 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21 X 1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
(1 2 2 )a 11 EA
FP a 1P EA
X1 (3 2 2) FP
4 FN FN1 X1 FN P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
FP 基本 体系 FP
解法2 1 基本体系
X1 １
2 2
2 力法方程
11 X 1 1P 0
2 2
2 2
FN1图
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-1力法解超静定梁和刚架
q
解
例
1 基本体系
2 力法方程
EI l
EI l
基本体系
11 X1 1P 0
X1
1
3 求系数和自由项，解方程
X1 1
M1图
MP图
4l 11 3 EI
X1
ql 3 1P 24 EI
1P
ql 2 32
FP
半边结构
7-4 对称性利用
(1) 反对称 结构与荷载
FP
FP
对称轴截面内力
FP
半边结构
FP
q
q
q
7-4 对称性利用
1 偶数跨结构（以双跨为例）：根据对称轴截面的位移来分析
(1)
对称荷载
对称轴截面位移
FP FP
结构与荷载
FP A FP
半边结构
FP
q
A B EA
A 点没有任何位移
q
EA=∞
q
A点没有水平和竖 向位移。只有转角 位移
MP图
FP
3FP l 16
M图
X1
5FP 16
5FP l 32
4 做弯矩图
M M1 X1 MP
7-2 力法原理
例
l/2 X1 FP l/2
解法2 1 选择基本体系 2 建立力法方程
基本体系
FP
M1图
1
X1 1
11 X1 1P 0
3 求系数和自由项，解方程
FP
M P图
FP l 4 3FP l 16
n 1 X 1 n 2 X 2 n n X n n P 0
系数特点
1 主系数 δii>0
2 副系数 δij= δji （i≠j） 可负、可正或零
7-2 力法原理
q
例
l l l q X1 X2 X1 X2 X1 q
讨论
X2
MP
M1 M2
(1) worst (2) better (3) best
MP图
l
解
1 基本体系 2 力法方程
将横梁看成多余约束
11 X 1 1P 0
5ql2/16
M图
3 求系数和自由项，解方程
11 2l 3EI
3
1P ql 8EI
4
X1 3ql 16
3ql2/16
4 M M1 X1 M P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-5 两铰拱的计算 1 基本体系 2 力法方程 11 X 1 1P 0 3 求系数和自由项，解方程
解
1 基本体系
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
2 建立力法方程
11 X1 1P 0
3 求系数和自由项,解方程
M图 m
M P图 m
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
2 FN M 12 11 ds 1 l EI EA 2 1.49 2.975 2 1.49 4 1.4 10 2 3
2 FN1 M12 11 ds ds EI EA M12 M P 1P ds EI M 1 y FN1 cos
MP M 0
X1
1P 11
4 M M1 X1 M P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
例 1 基本体系 2 力法方程
11 X 1 1P 0
M图
11 l 3EI
4 做弯矩图
1P FP l 2 16 EI
X1 3FP l 16
M M1 X1 MP
5FP l 32
7-2 力法原理
例
M l l M X2 基本体系 X1
解
1 基本体系
2 力法方程
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
X 2 12.6kN
4 M M1 X1 M2 X 2 M3 X 3 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-2 力法解超静定桁架
FＰ FＰ a FＰ X1 FＰ
2 2
X1=1
2 2 2 2
2a
2a 基本体系
Leabharlann Baidu
-1/2
-1/2
FN1图
(3 2 2)FP
2( 2 1)FP
FP
2FP 2 2FP 2
FP
2FP 2
FP
(2 2)FP
FP
(2 2)FP
FP/2
FP/2
( 2 1)FP ( 2 1)FP
FNP图
FN图
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
解法1 1 基本体系 2 力法方程
11 X 1 1P
X 1 2a EA
3 求系数和自由项，解方程
3 求系数和自由项，解方程
X1
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
3 求系数和自由项，解方程
M1 y
X1=1
1 2 3 qlx qx 8 2 MP ql l x 8
0 x
l 2
l xl 2
M12 1 11 ds EI EI 1P
l
0
8 f 2l y dx 15 EI
2
M1 M P qfl 3 ds EI 30 EI
ql 2 X1 16 f
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
4 M M1 X1 M P
7-4对称性的利用
7-4-1 对称轴截面上的内力与位移
A
FQ
M
FN
内力
Ｍ、FＮ称为对称内力
第7章 力法
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法 7-2 力法原理 7-3 荷载作用下力法解超静定结构 7-4 对称性的利用 7-5 其它因素下力法解超静定结构 7-6 超静定结构位移计算和内力图校核 7-7 超静定结构与静定结构的比较 7-8 力法习题课
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法
超静定结构：具有多余约束的的几何不变体系。
超静定次数：多余约束的数目。
多余力：多余约束所发生的力。 1. 去掉一个支链杆相当于去掉一个联系。
X1
√
绝对需要的约束不能去掉, 多余约束的位置不是任意的.
√
X1
多余约束的位置不唯一
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法
2.去掉一个铰相当于去掉两个约束
X2
X1
X1 X2
X1 X2 X2 X1
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法
3 求系数和自由项，解方程
11 72 EI 22 60 EI 33 8 EI
12 21 0
1P 1134 EI
13 31 18 EI
2P 756 EI
23 32 0
3P 252 EI X 3 9kN
X1 18kN
FＱ称为反对称内力
A
A
位移
A
正对称
反对称
反对称
•对称荷载作用下：对称轴截面上，对称内力位移存在； •反对称荷载作用：对称轴截面上，对称内力位移等于零。
7-4 对称性利用
7-4-2 半边结构 1 奇数跨（以单跨为例）： 根据对称轴截面内力进行分析。 (1) 对称荷载 结构与荷载
FP FP
对称轴截面内力
2P
X2 1
21
11
X1 1
22
12
1 P
7-2 力法原理
3 求系数和自由项，解方程
l
l
M
M1图
X1 1
M 2图
X2 1
M P图
4l 3 11 3 EI
l3 12 21 2 EI
3M 7l
6M X2 7l
l3 22 3 EI
Ml 2 1P EI
2P
Ml 2 2 EI
X1
4M/7 3M/7
4 M M1 X1 M2 X 2 MP
M图
2M/7
7-2 力法原理
对于n次超静定结构，力法方程为
11 X 1 12 X 2 1 n X n 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0
11 X1 1P 0
11
δ11 单位约束力作用下，基本 结构去掉约束处的位移
∆1P 荷载作用下，基本结构去 掉约束处的位移
X1 1
FP
∆1P
7-2 力法原理
M1图
X1=1
3 求系数δ11 和自由项∆1P， 解方程
l3 11 3EI 1P 5 FP l 3 48 EI
FP l 2
0.043 m 104.5 kN 0.000419 m/kN
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
4
FN FN1 X 1 FN P
M M1 X 1 M P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-4 力法解超静定排架 例
EA
∞
EI
EI
X1 基本 体系 l
X1=1
l
M1图
l ql2/2
X 2 3FP l 80
4 M M1 X1 M2 X 2 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
【例】
X1=1 q=14kN/m 3EI 2EI 6m X2=1 X3=1 2EI 6m
基本体系
6m
M1图
6m
3m
3m
1m
1m
28.8
M P图
252kNm
46 .8
M图 (kNm)
M 2图
1 2 2 15 1.225 3 0.61 2
0.61 1.49 1 135 1.75 2 4 1.4 10 2 0.0438 m
X1
1 P
11
X1=1
M1图
FP FPl/4
X2=1
6FP l 80
M 2图
11 2l 3 EI 12 21 l 6 EI
22
2 F l 32 EI l 3 EI 1 P P
2P 0
17 FP l 80
M P图
M图
3FP l 80
X 1 6FP l 80
M1图
l
X1=1
ql 2 2
M P图
X1
5ql 2 16 3ql 16
2
1P
11
3ql 16
M图
4 M M1 X1 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
例
B 2EI l EI A l/2 X2
解
FP C
X1 FP
1 基本体系 2 力法方程
基本体系
l/2
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
3 求系数和自由项，解方程
1 2
1 2
X1=1 FP FNP图 2FP FP FP -FP FP
2FP
11 3 2 2
1P (4 2 2) FP
X1 (4 2 2) FP
4 FN FN1 X1 FN P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构 7-3-3 组合结构
3.去掉一个固定端相当于去掉三个约束
X3 X2
X1
4.切断一个梁式杆相当于去掉三个约束
5.刚结点变铰接相当于去掉一个约束
7-2 力法原理
例
l/2 FP l/2
解 1 选择基本结构 、基本体系
基本结构 基本体系
FP X1
2 建立力法方程 基本结构在 多余约束力和荷载共同作用下, 去掉约束处的位移=实际位移。
1 2 2 2 1 . 86 5 . 95 1 . 93 3.09 6 5 1.99 10 2.56 10 1 2 1 0.8 5 2.02 10 0.000419 m/kN
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
1 P M12 1 ds EI 1.4 104 1 1.4 104 2 5 3 13.25 2.975 8 1.49 2
M图
ql 2 8
11
ql 2 32 EI
7ql 64
2
4 M M1 X1 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
q
例
EI l
解
EI l
1 基本体系 2 力法方程
X1 l
11 X 1 1P 0
3 求系数和自由项，解方程 4l ql 4 11 1P 3 EI 8 EI
M 3图
63
115.2
61 .2
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
解 1 基本体系
2 力法方程 11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21 X 1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3P 0
(1 2 2 )a 11 EA
FP a 1P EA
X1 (3 2 2) FP
4 FN FN1 X1 FN P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
FP 基本 体系 FP
解法2 1 基本体系
X1 １
2 2
2 力法方程
11 X 1 1P 0
2 2
2 2
FN1图
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-1力法解超静定梁和刚架
q
解
例
1 基本体系
2 力法方程
EI l
EI l
基本体系
11 X1 1P 0
X1
1
3 求系数和自由项，解方程
X1 1
M1图
MP图
4l 11 3 EI
X1
ql 3 1P 24 EI
1P
ql 2 32
FP
半边结构
7-4 对称性利用
(1) 反对称 结构与荷载
FP
FP
对称轴截面内力
FP
半边结构
FP
q
q
q
7-4 对称性利用
1 偶数跨结构（以双跨为例）：根据对称轴截面的位移来分析
(1)
对称荷载
对称轴截面位移
FP FP
结构与荷载
FP A FP
半边结构
FP
q
A B EA
A 点没有任何位移
q
EA=∞
q
A点没有水平和竖 向位移。只有转角 位移
MP图
FP
3FP l 16
M图
X1
5FP 16
5FP l 32
4 做弯矩图
M M1 X1 MP
7-2 力法原理
例
l/2 X1 FP l/2
解法2 1 选择基本体系 2 建立力法方程
基本体系
FP
M1图
1
X1 1
11 X1 1P 0
3 求系数和自由项，解方程
FP
M P图
FP l 4 3FP l 16
n 1 X 1 n 2 X 2 n n X n n P 0
系数特点
1 主系数 δii>0
2 副系数 δij= δji （i≠j） 可负、可正或零
7-2 力法原理
q
例
l l l q X1 X2 X1 X2 X1 q
讨论
X2
MP
M1 M2
(1) worst (2) better (3) best
MP图
l
解
1 基本体系 2 力法方程
将横梁看成多余约束
11 X 1 1P 0
5ql2/16
M图
3 求系数和自由项，解方程
11 2l 3EI
3
1P ql 8EI
4
X1 3ql 16
3ql2/16
4 M M1 X1 M P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-5 两铰拱的计算 1 基本体系 2 力法方程 11 X 1 1P 0 3 求系数和自由项，解方程
解
1 基本体系
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
2 建立力法方程
11 X1 1P 0
3 求系数和自由项,解方程
M图 m
M P图 m
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
2 FN M 12 11 ds 1 l EI EA 2 1.49 2.975 2 1.49 4 1.4 10 2 3
2 FN1 M12 11 ds ds EI EA M12 M P 1P ds EI M 1 y FN1 cos
MP M 0
X1
1P 11
4 M M1 X1 M P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
例 1 基本体系 2 力法方程
11 X 1 1P 0
M图
11 l 3EI
4 做弯矩图
1P FP l 2 16 EI
X1 3FP l 16
M M1 X1 MP
5FP l 32
7-2 力法原理
例
M l l M X2 基本体系 X1
解
1 基本体系
2 力法方程
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
X 2 12.6kN
4 M M1 X1 M2 X 2 M3 X 3 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-2 力法解超静定桁架
FＰ FＰ a FＰ X1 FＰ
2 2
X1=1
2 2 2 2
2a
2a 基本体系
Leabharlann Baidu
-1/2
-1/2
FN1图
(3 2 2)FP
2( 2 1)FP
FP
2FP 2 2FP 2
FP
2FP 2
FP
(2 2)FP
FP
(2 2)FP
FP/2
FP/2
( 2 1)FP ( 2 1)FP
FNP图
FN图
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
解法1 1 基本体系 2 力法方程
11 X 1 1P
X 1 2a EA
3 求系数和自由项，解方程
3 求系数和自由项，解方程
X1
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
3 求系数和自由项，解方程
M1 y
X1=1
1 2 3 qlx qx 8 2 MP ql l x 8
0 x
l 2
l xl 2
M12 1 11 ds EI EI 1P
l
0
8 f 2l y dx 15 EI
2
M1 M P qfl 3 ds EI 30 EI
ql 2 X1 16 f
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
4 M M1 X1 M P
7-4对称性的利用
7-4-1 对称轴截面上的内力与位移
A
FQ
M
FN
内力
Ｍ、FＮ称为对称内力
第7章 力法
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法 7-2 力法原理 7-3 荷载作用下力法解超静定结构 7-4 对称性的利用 7-5 其它因素下力法解超静定结构 7-6 超静定结构位移计算和内力图校核 7-7 超静定结构与静定结构的比较 7-8 力法习题课
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法
超静定结构：具有多余约束的的几何不变体系。
超静定次数：多余约束的数目。
多余力：多余约束所发生的力。 1. 去掉一个支链杆相当于去掉一个联系。
X1
√
绝对需要的约束不能去掉, 多余约束的位置不是任意的.
√
X1
多余约束的位置不唯一
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法
2.去掉一个铰相当于去掉两个约束
X2
X1
X1 X2
X1 X2 X2 X1
7-1超静定次数的确定及基本结构的取法
3 求系数和自由项，解方程
11 72 EI 22 60 EI 33 8 EI
12 21 0
1P 1134 EI
13 31 18 EI
2P 756 EI
23 32 0
3P 252 EI X 3 9kN
X1 18kN
FＱ称为反对称内力
A
A
位移
A
正对称
反对称
反对称
•对称荷载作用下：对称轴截面上，对称内力位移存在； •反对称荷载作用：对称轴截面上，对称内力位移等于零。
7-4 对称性利用
7-4-2 半边结构 1 奇数跨（以单跨为例）： 根据对称轴截面内力进行分析。 (1) 对称荷载 结构与荷载
FP FP
对称轴截面内力
2P
X2 1
21
11
X1 1
22
12
1 P
7-2 力法原理
3 求系数和自由项，解方程
l
l
M
M1图
X1 1
M 2图
X2 1
M P图
4l 3 11 3 EI
l3 12 21 2 EI
3M 7l
6M X2 7l
l3 22 3 EI
Ml 2 1P EI
2P
Ml 2 2 EI
X1
4M/7 3M/7
4 M M1 X1 M2 X 2 MP
M图
2M/7
7-2 力法原理
对于n次超静定结构，力法方程为
11 X 1 12 X 2 1 n X n 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0
11 X1 1P 0
11
δ11 单位约束力作用下，基本 结构去掉约束处的位移
∆1P 荷载作用下，基本结构去 掉约束处的位移
X1 1
FP
∆1P
7-2 力法原理
M1图
X1=1
3 求系数δ11 和自由项∆1P， 解方程
l3 11 3EI 1P 5 FP l 3 48 EI
FP l 2
0.043 m 104.5 kN 0.000419 m/kN
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
4
FN FN1 X 1 FN P
M M1 X 1 M P
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
7-3-4 力法解超静定排架 例
EA
∞
EI
EI
X1 基本 体系 l
X1=1
l
M1图
l ql2/2
X 2 3FP l 80
4 M M1 X1 M2 X 2 MP
7-3 荷载作用下力法解超静定结构
【例】
X1=1 q=14kN/m 3EI 2EI 6m X2=1 X3=1 2EI 6m
基本体系
6m
M1图
6m
3m
3m
1m
1m
28.8
M P图
252kNm
46 .8
M图 (kNm)
M 2图
1 2 2 15 1.225 3 0.61 2
0.61 1.49 1 135 1.75 2 4 1.4 10 2 0.0438 m
X1
1 P
11