2.4 导数及其应用(压轴题)

2.4导数及其应用(压轴题)

命题角度1利用导数研究函数的单调性

高考真题体验·对方向

1.(2016北京·18)设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值;

f(x)的单调区间.

因为f(x)=x e a-x+bx,

所以f'(x)=(1-x)e a-x+b.

依题设,

解得a=2,b=e.

(2)由(1)知f(x)=x e2-x+e x.

由f'(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+e x-1同号.

令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.

所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;

当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,

从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).

综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).

故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).

2.(2016四川·21)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

f'(x)=2ax-(x>0).

当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.

当a>0时,由f'(x)=0,有x=.

此时,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

(2)令g(x)=,s(x)=e x-1-x.

则s'(x)=e x-1-1.

而当x>1时,s'(x)>0,

所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.

又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.

当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.

故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.

当01.

由(1)有f0,

所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.

当a≥时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).

当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x->0.

因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.

又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.

综上,a∈.

新题演练提能·刷高分

1.(2018北京海淀模拟)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1.

(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;

f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.

因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),

又f'(x)=x2+2x+a,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为-3,

所以f'(0)=a=-3,所以f'(x)=x2+2x-3.

当x变化时,f'(x),f(x)

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(-3,1).

(2)因为函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,所以f'(x)≥0.

即对x∈[-2,a],只要f'(x)min≥0.

因为函数f'(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1,

当-2≤a≤-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(a),

由f'(a)=a2+3a≥0,得a≥0或a≤-3,所以此种情况不成立;

当a>-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(-1),

由f'(-1)=1-2+a≥0得a≥1,

综上,实数a的取值范围是[1,+∞).

2.(2018江西师大附中模拟)已知函数f(x)=(2-m)ln x++2mx.

(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

f(x)的单调性.

函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=,由f'(1)=0,解得m=-1.

从而f(1)=-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.

(2)由f'(x)=(x>0),

当m≥0时,函数y=f(x)的减区间为0,,增区间为,+∞.

当m<0时,由f'(x)==0,得x=-,或x=.

当m<-2时,y=f(x)的减区间为0,-和,+∞,增区间为-;

当m=-2时,y=f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间.

当-2

综上可知:当m≥0时,函数y=f(x)的减区间为0,,增区间为,+∞;

当m<-2时,y=f(x)的减区间为0,-和,+∞,增区间为-;

当m=-2时,y=f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间;

当-2

3.(2018山东烟台期末)已知函数f(x)=ln x+-x+1-a(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间;

x>1,使f(x)+x<成立,求整数a的最小值.

由题意可知,x>0,f'(x)=-1=,

方程-x2+x-a=0对应的Δ=1-4a,

当Δ=1-4a≤0,即a≥时,当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减;

当0

此时,f(x)在上f'(x)>0,函数f(x)单调递增,

在0,,,+∞上f'(x)<0,函数f(x)单调递减;

当a≤0时,<0,>0,

此时当x∈0,,f'(x)>0,f(x)单调递增,

当x∈,+∞时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

综上:当a≤0时,x∈0,,f(x)单调递增,当x∈,+∞时,f(x)单调递减;

当0

当a≥时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.

(2)原式等价于(x-1)a>x ln x+2x-1,即存在x>1,使a>成立.

设g(x)=(x>1),则g'(x)=,

设h(x)=x-ln x-2,则h'(x)=1->0,

∴h(x)在(1,+∞)上单调递增.

又h(3)=3-ln 3-2=1-ln 3<0,h(4)=4-ln 4-2=2-2ln 2>0,根据零点存在性定理,

可知h(x)在(1,+∞)上有唯一零点,设该零点为x0,则x0∈(3,4),且h(x0)=x0-ln x0-2=0, 即x0-2=ln x0,∴g(x)min==x0+1.

由题意可知a>x0+1.又x0∈(3,4),a∈Z,∴a的最小值为5.

4.(2018重庆二诊)已知函数f(x)=-1e x+(x>0,a∈R).

(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;

(2)当a∈(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.

∵f(x)=-1e x+(x>0),

∴f'(x)=e x-1--·e x-.

由题意得f'(x)=·e x-≤0在(0,+∞)恒成立,