9.3菱形
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读一读
越王勾践剑，一把在地下埋藏了 2000多年的古剑，出土时依然寒气逼人， 毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可 将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑 色菱形暗花纹。
想一想
这 这 些 些 平 图 行 中 四 有 边 平 形 行 的 四 邻 边 边 形 有 吗？什 么 关 系？
想一想
想一想
这 这 些 些 平 图 行 中 四 有 边 平 形 行 的 四 邻 边 边 形 有 吗？什 么 关 系？
A B O D C
A
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
D O
B
D
3
C
A 4 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， O 则菱形的边长是（ ）C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
如图，我家正在装修房门，想在菱形ABCD处安装一 块玻璃，已知每平方分米的玻璃价格为1元，请问需 要得到哪些数据,便可知道要花多少钱？
（小组合作完成）
D O B C
(1)观察得到的菱形,它是轴对称 图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系? (2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由.
A
提示:从边、角、对角线等方面来探讨。
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 菱形是轴对称图形
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等， 故：
= =
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角。
【菱形的面积公式】
A
菱形
B
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积?
O
E
D
S菱形=BC. AE
C 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线 能计算菱形的面积吗?
S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD=
∴AC⊥BD
5
3
OB 2 AB2 OA2 52 42 9B ∴
∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O， 求这个菱形的对角线长和面积。 解：∵ ∠BAD＝1200 A ∴∠BAC＝600 D 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 O ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝2√ 3 C B ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
B C A O
D
课堂反思
1.你的收获是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
补充例题：已知如图，菱形ABCD中，E 是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
想一想
什么是菱形？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
一组邻边相等
菱形
温故而知新
1、平行四边形的定义
2、平行四边形的性质从哪几个方面研究？ 平行四边形的性质是什么？
如何利用折纸、剪பைடு நூலகம்的方法，既快又准确地剪 出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
OD ⊥AC ∠ADO=∠CDO
即AC⊥BD ∠ADB=∠CDB
D
边
菱形的对边平行且相等
A B
O
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
数学语言
∵四边形ABCD是菱形
角
∠ADC=∠ABC ∠ADB=∠CDB AB ∥ CD ∠ABD=∠CBD 菱形的两条对角线互相平分 AC⊥BD
∴ ∠DAC=∠BAC ∴ AB=BC=CD=DA ∠DAB=∠DCB ∴OA=OC;OB=OD ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° ∴ AD ∥BC ∴ ∠DCA=∠BCA
D
O
C
A
E
B
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A B
O
D
C
1 AC×BD 2
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC 相等的线段： OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD 相等的角：
∠1=∠2=∠3=∠4
B
5 6
A
1 2
7 8
D
O
3 4
∠ABC =∠CDA
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠5=∠6=∠7=∠8
A
C
B
D F C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B A.75°B.60°C.45°D.30°
E
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A
D
B
C
菱形的性质2：
证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴CD=DA，OA=OC
菱形的两条对角线互相垂直， D 每一条对角线平分一组对角。 已知:四边形ABCD是菱形 O A C 求证: ∠ADB=∠CDB AC⊥BD B
∴ △ADC 是等腰三角形,OD是它的中线 ∴ 由等腰三角形三线合一得：
越王勾践剑，一把在地下埋藏了 2000多年的古剑，出土时依然寒气逼人， 毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可 将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑 色菱形暗花纹。
想一想
这 这 些 些 平 图 行 中 四 有 边 平 形 行 的 四 邻 边 边 形 有 吗？什 么 关 系？
想一想
想一想
这 这 些 些 平 图 行 中 四 有 边 平 形 行 的 四 邻 边 边 形 有 吗？什 么 关 系？
A B O D C
A
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______.
D O
B
D
3
C
A 4 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， O 则菱形的边长是（ ）C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
如图，我家正在装修房门，想在菱形ABCD处安装一 块玻璃，已知每平方分米的玻璃价格为1元，请问需 要得到哪些数据,便可知道要花多少钱？
（小组合作完成）
D O B C
(1)观察得到的菱形,它是轴对称 图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系? (2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由.
A
提示:从边、角、对角线等方面来探讨。
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 菱形是轴对称图形
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等， 故：
= =
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角。
【菱形的面积公式】
A
菱形
B
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积?
O
E
D
S菱形=BC. AE
C 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线 能计算菱形的面积吗?
S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD=
∴AC⊥BD
5
3
OB 2 AB2 OA2 52 42 9B ∴
∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为直角三角 形或等腰三角形的问题来解决
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O， 求这个菱形的对角线长和面积。 解：∵ ∠BAD＝1200 A ∴∠BAC＝600 D 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 O ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝2√ 3 C B ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积．
B C A O
D
课堂反思
1.你的收获是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
补充例题：已知如图，菱形ABCD中，E 是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
想一想
什么是菱形？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
一组邻边相等
菱形
温故而知新
1、平行四边形的定义
2、平行四边形的性质从哪几个方面研究？ 平行四边形的性质是什么？
如何利用折纸、剪பைடு நூலகம்的方法，既快又准确地剪 出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
OD ⊥AC ∠ADO=∠CDO
即AC⊥BD ∠ADB=∠CDB
D
边
菱形的对边平行且相等
A B
O
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
数学语言
∵四边形ABCD是菱形
角
∠ADC=∠ABC ∠ADB=∠CDB AB ∥ CD ∠ABD=∠CBD 菱形的两条对角线互相平分 AC⊥BD
∴ ∠DAC=∠BAC ∴ AB=BC=CD=DA ∠DAB=∠DCB ∴OA=OC;OB=OD ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° ∴ AD ∥BC ∴ ∠DCA=∠BCA
D
O
C
A
E
B
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A B
O
D
C
1 AC×BD 2
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC 相等的线段： OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD 相等的角：
∠1=∠2=∠3=∠4
B
5 6
A
1 2
7 8
D
O
3 4
∠ABC =∠CDA
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠5=∠6=∠7=∠8
A
C
B
D F C
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD， E、F分别为BC，CD的中点，那么 B ∠EAF的度数是（ ）B A.75°B.60°C.45°D.30°
E
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的 交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角 线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 O C
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A
D
B
C
菱形的性质2：
证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴CD=DA，OA=OC
菱形的两条对角线互相垂直， D 每一条对角线平分一组对角。 已知:四边形ABCD是菱形 O A C 求证: ∠ADB=∠CDB AC⊥BD B
∴ △ADC 是等腰三角形,OD是它的中线 ∴ 由等腰三角形三线合一得：