菱形的定义及性质

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菱形的性质与概念

菱形的性质与概念菱形是一个几何形状，它具有一些特殊的性质与概念。

一个菱形是一个四边形，它的四个边长相等，且相邻两边之间的夹角是直角。

下面我将详细介绍菱形的性质与概念。

首先，菱形的定义非常直观，它是一个有四条边的形状，但与其他四边形不同的是，四条边的长度相等，这意味着它的对角线也是相等的，且对角线互相平分。

换句话说，菱形的两个对角线互相垂直且相等长。

菱形有一些重要的性质和概念，其中之一是它的对称性。

菱形具有两条对称轴，这意味着对于任意一条菱形的对角线，其余两条边分别关于这条对角线对称。

这种对称性使得菱形在许多领域中有着广泛的应用，比如纺织品和装饰品设计。

另一个与菱形相关的重要概念是内角和外角。

内角是指菱形内部的角，而外角是指菱形外部的角。

对于一个菱形，它的内角是90度，因为相邻两条边之间的夹角是直角。

与内角相对应的是外角，其度数等于360度减去内角的度数。

因此，菱形的外角也是90度。

菱形还有一个重要的特点是它的四个顶点位于一个圆上。

这个圆被称为菱形的外接圆，它通过菱形的四个顶点，因此，对于任何一个菱形，我们可以找到这个唯一的外接圆。

外接圆具有一些特殊的性质，其中一个是菱形的对角线是它的直径。

也就是说，菱形的两条对角线互相垂直，并且它们的中点位于外接圆的圆心。

除了以上提到的性质和概念，菱形还有一些其他有趣的特点。

例如，菱形的面积可以通过对角线的长度和夹角的正弦值来计算。

具体计算公式为：菱形的面积等于对角线1和对角线2的乘积的一半，即面积=（对角线1×对角线2）/2。

此外，菱形还可以通过旋转正方形得到。

如果我们以正方形的一个顶点为中心，并将该顶点向外旋转45度，则可以得到一个菱形。

因此，菱形也可以被视为正方形的一个特殊形状。

总之，菱形是一个特殊的四边形，它具有许多独特的性质和概念。

它是一个有四条边的几何形状，其特点是四边相等，对角线互相垂直且相等长，内角为90度，外角为90度，顶点位于一个圆上，可以通过正弦定理计算面积，可以通过旋转正方形得到等等。

菱形的性质

菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴
矩形
矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。
平行四边形
１２
菱形的四条边都相等。菱形的对角线互
菱形
相垂直，且每一
条对角线平分一组对角。
1.矩形的一边长为3cm，对角线长5cm，则另一边长为 4cm ,面积为 12cm2 。
2.在菱形ABCD中，已知AB=2，则菱形的周长为 8 ，
145 。若 A 35 ，则 D 3.菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,另一条对角线长为 6cm 。 4.已知菱形的边长为7，一个内角为60 ，则菱形较短的对角线长是 7 。
◦ ◦
菱形的性质定理1：菱形的四条
四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，你能猜测菱形ABCD是轴对称图形吗？这个猜测对吗？ D A
O
C
B (1)AC⊥BD 菱形性质定理2： (2)AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面积为：
1 S a b 2
由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。 D
B O A E
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
菱形的性质
平行四边形
矩形
四边形
菱形
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。如图，若ABCD是平行四边形，且AB＝AD，那么四边形ABCD是菱形。 B

菱形的性质及判定

菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。

点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。

菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。

判定③:四边相等得四边形就是菱形。

重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。

菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。

菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。

由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。

如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。

例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形得边长就是______.【例3】如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于。

19.2.1菱形的定义和性质

足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移
E A
B
三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形的周长，面积。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为；边长为。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高是 8cm，则菱形的周长为。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为3：4，则两对角线的长分别是。
3 12
F D C
B
例8、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。
例9、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， AB=AE，AE交BD于O，∠DAE=2∠BAE，求证：EB=OA；
A
O D
B
E
C
例10、如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，
E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满
3、菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证： OE＝OF。
A E
F
D O C
B
4、如果菱形的一个角是1200，那么这个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别平分两边。
A
D
F E C
B
5、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠B= ∠ EAF=60 , ∠ BAE=18, 求∠ CEF的度数.
A
D O
C
B
已知四边形ABCD是菱形
相等的线段： AB=CD=AD=BC
5
A
1 2
7
D
8
O
6 3 4
OA=OC OB=OD
B
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：

(1)菱形的定义是什么

（3）判定一个四边形是不是菱形可根据什么？判定一个四边形是不是菱形可根据什么？
定义法
（4）菱形还有其他判定方法吗？）菱形还有其他判定方法吗？
1.(1)已知菱形ABCD的边长为4, ∠DAB=60° 1.(1)已知菱形ABCD的边长为4, ∠DAB=60°,则对角线已知菱形ABCD的边长为 AC=______,BD=____,面积S菱形ABCD 8 3 4 3 AC=______,BD=____,面积S菱形ABCD=________. 4 面积 (2)已知菱形ABCD的两条对角线长分别为2cm, (2)已知菱形ABCD的两条对角线长分别为2cm, 2 已知菱形ABCD的两条对角线长分别为 cm,则菱形ABCD的边长为_____cm. cm,则菱形ABCD的边长为_____cm. 则菱形ABCD的边长为 3 2.已知点E为菱形ABCD的一条对角线AC上的任意一点, 2.已知点E为菱形ABCD的一条对角线AC上的任意一点, 已知点 ABCD的一条对角线AC上的任意一点连结BE并延长交AD于点F,连结DE. 连结BE并延长交AD于点F,连结DE. BE并延长交AD于点F,连结求证:∠AFB=∠CDE. 求证:∠AFB=∠CDE.
C
练一练: 练一练
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点的两条对角线AC 相交于点O 1、如图，如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O， AB= ，AO=2，OB=1. D 5AO=2，（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？ AC，BD互相垂直吗？为什么？互相垂直吗（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？四边形ABCD是菱形吗？为什么？ ABCD是菱形吗解：（1）∵ AB= ：（1 ∴ AO=2， 5 ，AO=2，OB=1. 2 2 2 AB = OA + OB

菱形的性质

菱形的性质菱形是一种具有特殊性质的几何图形，在数学中被广泛研究和应用。

它的定义是一个具有四条边且四个顶点均位于同一平面内的凸四边形，其特点是四条边长度相等且相互垂直，对角线相等并且相互垂直。

本文将从菱形的角度、边角关系、对称性和应用等方面详细探讨菱形的性质。

1.菱形的角度菱形的角度特点非常明显，它的四个顶点内角均为90度。

由于垂直的性质，菱形的对边之间也是垂直的，因此其内角可以分为两组：两个锐角和两个钝角，且两两互补。

2.菱形的边角关系菱形的边角关系是菱形性质研究中的一个重要内容。

我们知道，菱形的四条边长度相等，这意味着菱形的内角也必然相等。

同时，菱形的对角线也相等，从而推断出菱形的四个内锐角和四个内钝角都相等，且每个角都为90度。

此外，由于菱形的两对角线相互垂直，就意味着菱形的两个内锐角和两个内钝角互为补角。

3.菱形的对称性菱形具有很强的对称性，这是菱形性质中的又一个重要方面。

菱形的两条对角线相交于一点，这个点被称为菱形的中心。

菱形的中心是菱形具有对称性的重要标志，它将菱形分成了四个互相对称的部分。

菱形的任意两个对角线可以分别作为对称轴，通过中心点，将菱形分成两个完全相等的部分。

这种对称性使得菱形在艺术、装饰和设计等领域得到了广泛应用。

4.菱形的应用菱形的性质使得它在各个领域得到了广泛的应用。

在数学中，菱形作为一种特殊的四边形，是几何学的基础，研究菱形性质有助于理解和解决更复杂的几何问题。

在艺术和设计中，菱形的对称性和美观性使它成为一种常用的图形元素，经常被用来装饰图案、绘画和雕塑作品。

菱形图案也常常出现在建筑物和城市规划中，如建筑立面、道路划线等。

总结：菱形是具有特殊性质的几何图形，它的四个角均为90度，每条边和对角线长度相等。

菱形具有边角对称性，在艺术、设计和建筑等领域有广泛应用。

研究菱形性质有助于理解几何学的基础知识，同时也为解决相关问题提供了思路和方法。

菱形作为一种简单而美观的图形元素，不仅在数学中具有意义，也在人们的日常生活中起着重要的作用。

菱形的判定和性质

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识一菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.. 二菱形的性质：1、具有平行四边形的一切性质；2、菱形四条边都相等；3、菱形的对角线互相垂直平分;每条对角线平分一组对角；4、菱形是轴对称图形；边角对角线对称性菱形对边平行；四边相等对角相等；邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称三菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边都相等的四边形是菱形；四菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算S=21底×高 2、用对角线计算面积的两对角线的积的一半 S=21ab二、例题讲解BCDE（A ）一组对边相等;另一组对边平行的四边形一定是平行四边形（B ）对角线相等的四边形一定是矩形（C ）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形练习1：菱形的对角线具有 A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD 相交于点O;M 、N 分别是边AB 、AD 的中点;连接OM 、ON 、MN;则下列叙述正确的是A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图;在三角形ABC 中;AB ＞AC ;D 、E 分别是AB 、AC 上的点;△ADE 沿线段DE 翻折;使点A 落在边BC 上;记为A '．若四边形ADA E '是菱形;则下列说法正确的是A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABDEA '练习4：如图;下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③DBA NM O例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形请说明理由．练习1：如图;AD 是Rt △ABC 斜边上的高;BE 平分∠B 交AD 于G;交AC 于E;过E 作EF ⊥BC 于F;试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图;E 是菱形ABCD 边AD 的中点;EF ⊥AC 于点H;交CB 延长线于点F;交AB 于点G;求证：AB 与EF 互相平分.. ABCDA H GEDA B练习3：如图;在Rt △ABC 中;∠ACB ＝90°;∠BAC ＝60°;DE 垂直平分BC;垂足为D;交AB 于点E;又点F 在DE 的延长线上;且AF ＝CE;求证：四边形ACEF 是菱形..考点二：菱形的性质例1：如图;四边形ABCD 中;∠ADC ＝90°;AC ＝CB;E 、F 分别是AC 、AB 的中点;且∠DEA ＝∠ACB ＝45°;BG ⊥AE 于G;求证：1四边形AFGD 是菱形； 2若AC ＝BC ＝10;求菱形的面积..练习1：如图;在菱形ABCD 中;E 是AB 中点;且DE ⊥AB;AB ＝4; 求：1∠ABC 的度数； 2菱形ABCD 的面积.. FE DCBAED CBAGFED CBA例2 ：如图 5;ABCD 是菱形;对角线AC 与BD 相交于O ;306ACD BD ∠==°，． 1求证：△ABD 是正三角形； 2求 AC 的长结果可保留根号．练习1：若菱形的边长为1cm;其中一内角为60°;则它的面积为 A．2cm 2B2 C ．22cm D．2 练习2：若菱形的周长为16cm;两相邻角的度数之比是1：2;则菱形的面积是（A ） 4错误!cm B8错误!cm C16错误!cm D20错误!cm练习3：已知菱形的周长为96㎝;两个邻角的比是1︰2;这个菱形的较短对角线的长是A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝例3：如图;将一个长为10cm;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cmA BCDO DB A练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm;则菱形的周长是 A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm练习2：若菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC 于E;AE ＝1cm;则BC 的长是 A1cm B2cm C3cm D4cm练习3:若菱形周长为52cm;一条对角线长为10cm;则其面积为A ．240 cm 2B ．120 cm 2C ．60 cm 2D ．30 cm 2例4:如图;菱形ABCD;E;F 分别是BC;CD 上的点;∠B ＝∠EAF ＝60°;∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数..练习1:如图;菱形ABCD 中;∠B ＝60°;AB ＝2;E 、F 分别是B C ．CD 的中点;连接AE 、EF 、AF ;则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3AD F CEBF D CB A EBCADO练习2：如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=°;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是_____________．练习3：如图所示;已知菱形ABCD 中;E 、F 分别在BC 和CD 上;且∠B=∠EAF=60°;∠BAE=15°; 求∠CEF 的度数..例5：如图;菱形ABCD 是边长为13cm;其中对角线AC=10cm; 求1菱形ABCD 的面积；2作BC 边上的高AH;求出AH 的长度BCADO练习1：如图;在菱形ABCD 中;∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2;周长是48cm ．求：1两条对角线的长度； 2菱形的面积．例6：已知：如图;在菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且CE=CF..过点C 作CG ∥EA 交AF 于H;交AD 于G;若∠BAE=25°;∠BCD=130°;求∠AHC 的度数..练习1：如图所示;已知菱形ABCD 中E 在BC 上;且AB=AE;∠BAE=21∠EAD;AE 交BD 于M;试说明BE=AM..HGF EDC B A练习2：如图;菱形ABCD 的边长为2;BD ＝2;E 、F 分别是边AD ;CD 上的两个动点;且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；(2) 判断△BEF 的形状;并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ;求S 的取值范围．考点三：综合例1：如图;菱形111AB C D 的边长为1;160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ;以2AD 为一边;做第二个菱形222AB C D ;使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ;以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ;使360B ∠=；依此类推;这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是．例2：菱形ABCD 的对角线交于O;AO=1;且∠ABC ∶∠BAD=1∶2;∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8;其中正确的有 A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③ 1D B 3A C 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1 ABCDO例3：如图所示;在Rt ABC △中;90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上;再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． 1求证：四边形AFCD 是菱形；2连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形为什么课后练习:1、若菱形的边长是它的高的2倍;则它的一个较小内角的度数是 ..2、如图1;在菱形ABCD 中;AB = 5;∠BCD = 120°;则对角线AC 等于 A ．20 B ．15 C ．10D ．53、菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC ;垂足为E ;AB ＝4cm ．那么;菱形ABCD 的面积是 ;对角线BD 的长是．ADFCEGBBACD114、如图;在菱形ABCD 中;∠A =110°;E ;F 分别是边AB 和BC 的中点;EP ⊥CD 于点P ;则∠FPC = A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°5、已知：如图;四边形ABCD 是菱形;过AB 的中点E 作AC 的垂线EF;交AD 于点M;交CD 的延长线于点F. 1求证：AM=DM ；2若DF =2;求菱形ABCD 的周长．第21题图ABC D E F MBADEP CB F。

菱形的性质及判定

菱形的性质及判定菱形的性质及判定知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．知识点睛中考要求常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质【例1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．例题精讲【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．图1HO DC BA【巩固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCB A【巩固】如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（） A ．35︒ B ．45︒ C ．50︒ D ．55︒图3E DP CFBA【例6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D．30︒或60︒【巩固】菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cm B ．220cm C ．240cm D ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．2. 如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为课后练习EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4. 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FE DCBA5. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A6. 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA7. 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。

菱形的定义和性质

菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。

三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

菱形的定义及其性质(教案)

教案：菱形的定义及其性质第一章：菱形的定义1.1 引言向学生介绍菱形的概念，并提出问题：“你们认为菱形是什么样的图形？”引导学生通过观察实物或图片来猜测菱形的特征。

1.2 菱形的定义给出菱形的正式定义：“菱形是一个四边形，它的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分。

”解释菱形的名称来源，菱形的特点像菱角一样。

1.3 菱形的性质引导学生观察菱形的图形，发现其性质：四条边相等对角线互相垂直对角线平分对方每个角都是直角第二章：菱形的对称性2.1 引言提出问题：“你们认为菱形有什么特殊的对称性吗？”引导学生思考菱形的对称性。

2.2 菱形的对称性给出菱形的对称性定义：“菱形具有轴对称和中心对称的性质。

”解释菱形的轴对称性：菱形有两组对边平行，可以沿两条对角线进行折叠，两边重合。

解释菱心的概念：菱形的中心点是两条对角线的交点，它是菱形的中心对称点。

2.3 菱形的对称性应用引导学生通过实际操作，画出菱形的轴对称和中心对称图形。

让学生尝试解决与菱形对称性相关的问题，如：如果给出一个菱形的一部分，能否确定整个菱形的形状？第三章：菱形的面积计算3.1 引言提出问题：“你们认为如何计算菱形的面积？”引导学生思考菱形面积的计算方法。

3.2 菱形的面积计算公式给出菱形面积的计算公式：“菱形的面积等于对角线之积的一半。

”解释公式背后的原理，通过实际操作或几何证明来说明。

3.3 菱形的面积计算应用引导学生通过实际操作，计算给定菱形的面积。

让学生尝试解决与菱形面积相关的问题，如：如果给出一个菱形的对角线长度，能否计算出其面积？第四章：菱形的构造4.1 引言提出问题：“你们认为如何构造一个菱形？”引导学生思考菱形的构造方法。

4.2 菱形的构造方法给出菱形的构造方法：“通过画两条互相垂直的线段，在对角线上分别标记四个点，连接相邻点即可得到菱形。

”解释菱形构造的原理，通过实际操作或几何证明来说明。

4.3 菱形的构造应用引导学生通过实际操作，尝试构造一个菱形。

菱形的判定和性质

菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。

菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。

菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。

还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。

菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。

比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。

菱形的性质与判定 (第1课时菱形的定义与性质)

O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
证明：
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
总结：菱形的性质
D
O
菱形的两组对边平行且相等 A
边
菱形的四条边相等
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
菱形定义的几何表示
∵ ABCD中，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
问题: 菱形与平行四边形有什么关系？
平行四边形集合
平行四边形
菱形
菱形集合
归纳
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性
质，但平行四边形不一定是菱形.
2、菱形的性质
做一做
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
等腰三角形：
△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形：
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA
全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△COB≌ Rt△COD ≌ Rt△ＡOＤ
△ABD≌△CBD
△ABC≌△ADC
例如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD=60°，BD =2，求AB和AC的长.
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称
轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有
性质.
A
由于平行四边形的对边相等，故菱形
的对边相等，由于菱形的邻边相等，故

第七讲、菱形的性质和判定

第七讲：菱形的性质和判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

几何语言表示为: 口ABCD且AB=AD(任一组邻边相等)口ABCD是菱形2.菱形的性质：（1）四边都相等；（2）两组对角相等；（3）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。

例1：在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE=OF．例2：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=10（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．3.菱形的判定方法（1）用定义判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。

例3：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于 G，交AD 于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形。

例4：已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．例6：如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．例7（真题2014-2015期中）：如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120∘,点E. F同时由A. C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值例8（真题2014-2015期中）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点。

菱形的性质与判定

菱形的性质与判定目标:掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。

重点:菱形的性质及判定难点：区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。

知识要点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

2、菱形的性质：性质1菱形的四条边相等。

性质2菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。

已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。

证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD（菱形的四条边相等）在等腰△ABD中，∵BO＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。

同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。

图13、菱形面积计算方法：(1) S＝底×高(2) S＝对角线1×对角线2＝ab例已知菱形ABCD的边长为2cm ，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。

解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠BAO＝＝×120°＝60°（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）在Rt△AOB中，∵∠ABO＝90°－∠BAO＝30°∴AO＝＝×2＝1（cm）BO＝（cm）∵AO＝，BO＝∴AC＝2AO＝2（cm），BD＝2BO＝2（cm）＝AC×BD＝2（cm2）∴S菱形ABCD4、菱形的判定：判定定理1四边都相等的四边形是菱形。

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

本周典型例题分析：1．已知：如图，□ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AF⊥ED分析：若连结MN，欲证DE⊥AF，只要证四边形AMND是菱形。

证明：连结MN∵四边形ABCD是平行四边形∴AD BC，AB DC在△ABF中，∵BC=CF，AB∥CN∴AN=NF又∵AD∥BF，∴DN=NC同理可证：AM=MB又∵AB=2BC∴AM DN，∴四边形AMND是平行四边形而AD=DN，∴四边形AMND是菱形∴AN⊥MD，即AF⊥ED换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。

5.2.1 菱形的定义与性质

证明： ∵四边形ABCD是菱形
倍速课时学练
∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO ∴AB=BC=CD=DA ∴ △AOD ≌ △AOB 又∵ AC = AC ∴ ∠DOA=∠BOA ∴ △ADC ≌ △ABC 又∵ ∠DOA+∠BOA= 18 ∴ ∠DOA=∠BOA= 90 ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA
解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° 又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分)
∠BAD=60°
∴ABD是等边三角形. AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理,得AO= AB2 BO2 62 32 3 3 AB=BD=6 AC=2AO= 6 3
相等的线段：
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
B
5 6
A
1 2
7
8
O
3 4
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4
倍速课时学练
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
倍速课时学练
B E C M F
D
N
2.菱形ABCD中 ∠ABC=60°,AB=4cm,P为BD上任意一点,E为BC中点,求PE+PC的最小值.
A B E C P D
倍速课时学练
他是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？

菱形的定义概念

菱形的定义概念在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线相互垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形。

以下是店铺分享给大家的关于菱形的定义，欢迎大家前来阅读!菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角;2、四条边都相等;3、对角相等，邻角互补;4、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形,5、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。

6、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。

菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四边相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为菱形，对角线相等的四边形的中点四边形定为矩形。

)菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的面积1.对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);由把菱形分解成2个三角形，化简得出2.底乘高=菱形面积。

3.设菱形的边长为a,一个夹角为θ，则面积公式是:S=a^2·sinθ菱形的特征顺次连接菱形各边中点为矩形正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。