菱形的概念及性质
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的性质及判定
菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。
点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。
菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。
判定③:四边相等得四边形就是菱形。
重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。
菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。
菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。
由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。
如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
菱形的定义性质
B
O
D
C
四边形 19
作业
P9518、练习121、题、12
习题19.2
例1变形
菱形ABCD旳周长为16，相邻两角旳度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD旳对角线旳长；
⑵求菱形ABCD旳面积． A
O
B
D
C
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB旳中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC旳度数；
§19.2 .2 菱形旳定义、性质
菱形
情景创设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，懂得了假如平行四边形 有一种角是直角时,成为何图形?
(矩形,由角变化得到)
假如从边旳角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊旳四边形呢?
在平行四边形中，假如内角大小保持不变，仅
变化边旳长度，请仔细观察和思索，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
直，而且每一条对角线平
C
分一组对角。
命题：菱形旳对角线相互垂直平分， 而且每一条对角线平分一组对角；
已知：菱形ABCD旳对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
D
∴AB=AD（菱形旳四条边都相等）
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
四、课堂小结：矩形和菱形旳性质
矩形
菱形
定 • 有一种角是直角旳 • 有一组邻边相等旳平
义 平行四边形
行四边形
性 • 1、具有平行四边形 • 1、具有平行四边形
旳一切性质
旳一切性质
质 • 2、四个角都是直角 • 2、菱形旳四条边都
菱形的定义和性质
菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
菱形的概念与性质,学案
18.2.2 菱形的概念和性质一、菱形的定义：1、我们已经学过了一个特殊的平行四边形，即。
回顾矩形的定义，我们发现我们是从的这个元素将平行四边形特殊化的。
2、如果我们从边这个元素将三角形特殊化，会得到一个什么样的特殊的平行四边形呢？菱形的定义：有一组的是菱形。
符号语言：∵，∴例1：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开后得到的图形是什么特殊的四边形？将文字语言转化为符号语言：已知如图：四边形ABCD中，AD= = =求证：四边形ABCD为菱形。
二、菱形的性质：1、菱形是特殊的平行四边形，因此有所具有的所有性质。
2、菱形除了具有平行四边形的所有性质之外，还有那些特殊的性质？根据我们之前所剪出来的菱形，思考一下几个问题：（1）、菱形的四条边相等吗？由于平行四边形的，而菱形的，因此我们得到菱形的第一个特殊性质：菱形的四条边都。
符号语言：∵菱形ABCD∴（2）、依据我们之前所剪出来的菱形，想一想菱形的对角线有什么特殊的位置关系？对角线与对角是什么样的关系？猜想：①菱形的对角线的位置关系是的。
②一组对角线一组对角。
已知如图：菱形ABCD，求证：，，结论：①菱形的两条对角线。
②菱形的一条对角线一组对角。
符号语言：∵菱形ABCD∴，（3）、菱形是轴对称图形吗？如果是有几条对称轴？对称轴之间是什么关系？结论：①、菱形是图形。
②、菱形的对称轴是。
③、菱形的两条对称轴。
例2：（1）、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.（2）、菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______.（3）、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是.例3：菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，（1）、求两对角线AC、BD的长.（2）、求菱形ABCD的面积。
总结：求菱形的面积时，如果知道了两条对角线的长度，菱形的面积就等于。
例4：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
菱形的定义与性质
推理证明
命题： 菱形的四条边都相等。 A
已知：如图,四边ABCD是菱形 B
求证：AB=BC=CD=AD
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=CD AD=BC AB=BC ∴ AB=BC=CD=AD
D C
菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一D 组对角。
已知:四边形ABCD是菱形
18.2 特殊平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它 是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？
特殊化
平行四边形的性质
矩形的性质
对边平行且相等 对角相等
对角线互相平分
对边平行且相等 四个角都是直角
对角线互相平分且相等
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅
求证: ∠DAC=∠BAC
A
OC
∠DCA=∠BCA AC⊥BD
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA
又∵ AC = AC
∵四边形AB BCD是菱形 ∴AB=AD,OD=OB
∴ OA ⊥BD ∴ ACCA=∠BCA
我们已经知道矩形和菱形是特殊的平行四边 形，因此矩形菱形都是中心对称图形，想一 想 矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴 对称图形，对称轴各几条？
则∠BAC＝__6_0_度___.
D
3则、菱菱形形的的边两长条是对（角线长）分C 别为6cm和8cAm， O
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
B
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF
的度数是（ ）
B
菱形的定义及其性质(教案)
教案：菱形的定义及其性质第一章：菱形的定义1.1 引言向学生介绍菱形的概念，并提出问题：“你们认为菱形是什么样的图形？”引导学生通过观察实物或图片来猜测菱形的特征。
1.2 菱形的定义给出菱形的正式定义：“菱形是一个四边形，它的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分。
”解释菱形的名称来源，菱形的特点像菱角一样。
1.3 菱形的性质引导学生观察菱形的图形，发现其性质：四条边相等对角线互相垂直对角线平分对方每个角都是直角第二章：菱形的对称性2.1 引言提出问题：“你们认为菱形有什么特殊的对称性吗？”引导学生思考菱形的对称性。
2.2 菱形的对称性给出菱形的对称性定义：“菱形具有轴对称和中心对称的性质。
”解释菱形的轴对称性：菱形有两组对边平行，可以沿两条对角线进行折叠，两边重合。
解释菱心的概念：菱形的中心点是两条对角线的交点，它是菱形的中心对称点。
2.3 菱形的对称性应用引导学生通过实际操作，画出菱形的轴对称和中心对称图形。
让学生尝试解决与菱形对称性相关的问题，如：如果给出一个菱形的一部分，能否确定整个菱形的形状？第三章：菱形的面积计算3.1 引言提出问题：“你们认为如何计算菱形的面积？”引导学生思考菱形面积的计算方法。
3.2 菱形的面积计算公式给出菱形面积的计算公式：“菱形的面积等于对角线之积的一半。
”解释公式背后的原理，通过实际操作或几何证明来说明。
3.3 菱形的面积计算应用引导学生通过实际操作，计算给定菱形的面积。
让学生尝试解决与菱形面积相关的问题，如：如果给出一个菱形的对角线长度，能否计算出其面积？第四章：菱形的构造4.1 引言提出问题：“你们认为如何构造一个菱形？”引导学生思考菱形的构造方法。
4.2 菱形的构造方法给出菱形的构造方法：“通过画两条互相垂直的线段，在对角线上分别标记四个点，连接相邻点即可得到菱形。
”解释菱形构造的原理，通过实际操作或几何证明来说明。
4.3 菱形的构造应用引导学生通过实际操作，尝试构造一个菱形。
第1讲 菱形的性质与判定(原卷版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★)【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（ ）(★★)A ． 60°B ． 45°C ． 30°D ． 15°【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）(★★)A ．60° B ． 15° C ． 30° D ． 90°知识精讲目标导航【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)【知识拓展4】如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．（★★）【即学即练】已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（★★）知识点02 菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形【知识拓展1】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．（★★）【即学即练1】已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．（★★）【知识拓展2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．（★★）【即学即练2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．（★★）【知识拓展3】如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．（★★）【即学即练3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．（★★）【知识拓展4】如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是为E F ，并且DE=DF ．求证：四边形ABCD 是菱形．（★★）知识点03 菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【知识拓展1】（2019·全国九年级课时练习）补全下列解题过程．如图，在ABC ∆中，AB BC =，D E F ，，分别是BC AC AB ，，的中点．（1）求证：四边形BDEF 是菱形； （2）若10cm AB =，求菱形BDEF 的周长．解：（1）证明：∵E F ，分别是AC AB ，的中点，∴____________________．又∵D E ，分别是BC AC ，的中点，∴12DE AB =，//DE AB ． ∵四边形BDEF 是__________．又∵AB BC =，∴_________________．∴四边形BDEF 是菱形．（2）∵F 是AB 的中点，10cm AB =， ∴11105(cm)22BF AB ==⨯=． 又∵四边形BDEF 是菱形．∴BD D E EF BF ===．∴四边形BDEF 的周长为4520(cm)⨯=．【知识拓展2】（2021·浙江八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．【知识拓展3】（2019·全国九年级课时练习）如图，在ABCD 中，AB BC =，点E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，AB a ，AC ，BD 相交于点O ．（1）求ABC ∠的度数；（2）已知32AO =，求对角线AC 的长； （3）求菱形ABCD 的面积．【知识拓展4】（2019·金昌市第五中学九年级一模）如图，已知A 、F 、C 、D 四点在同一条直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE（1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC 为菱形时AF 的长度．【知识拓展5】（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图，在等边ABC ∆中，6cm BC ，射线//AG BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为(s)t ．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：ADE CDF ∆∆≌；（2）当t 为多少时，四边形ACFE 是菱形．能力拓展1.如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，则∠CEF=_________．（★★★）2.如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为_________．（★★★）3.如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．（★★★）题组A 基础过关练1．（2021·湖南娄底市·九年级二模）下列各命题是真命题的是（ ）A ．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B ．平行四边形一定是中心对称图形C ．有一个内角为60︒的平行四边形是菱形D ．三角形的外角等于它的两个内角之和 2．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒3．（2020·河北省保定市第二中学分校九年级期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）A ．20B ．24C ．40D ．484．（2020·辽宁锦州市·九年级期中）菱形的边长是5cm ，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线的长为（ ）A ．6cmB ．83cmC ．8cmD ．10cm5．（2020·渠县第四中学九年级月考）若菱形的较长对角线为24cm ，面积为120cm 2，则它的周长为（ ） A ．50cmB ．51cmC ．52cmD ．56cm6．（2020·福建宁德市·九年级期中）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，则下列分层提分条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB ＝CDB ．OA ＝OC ，OB ＝OD C ．AC =BD D ．//AB CD ，AD ＝BC7．（2020·广东茂名市·九年级期中）在菱形ABCD 中，若AB ＝2，则菱形的周长为( )A ．4B ．6C ．8D ．108．（2020·河北）如图，在菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，已知130A ∠=︒，则BEC ∠的大小为（ ）．A ．20°B ．25°C ．65°D ．75°题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·全国九年级专题练习）如图，将三角尺ABC 沿边BC 所在直线平移后得到△DCE ，连接AD ，下列结论正确的是（ ）A ．AD ＝ABB ．四边形ABCD 是平行四边形C ．AD ＝2ACD ．四边形ABCD 是菱形2．（2021·天津九年级一模）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若4EF =，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题 3．（2021·云南曲靖市·九年级其他模拟）若菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为_______． 4．（2021·福建漳州市·九年级一模）在菱形ABCD 中，若对角线AC =8，BD =5， 则菱形ABCD 的面积为_____． 5．（2021·福建漳州市·九年级一模）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒．如图，以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB 在x 轴正半轴上，则点D 的坐标是_______．三、解答题6．（2021·山东聊城市·九年级二模）已知，如图，四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD 于点E ，点F 为四边形ABCD 外一点，且∠FCA ＝90°，BC 平分∠DBF ，∠CBF ＝∠DCB ．求证：四边形DBFC 是菱形．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·河南南阳市·九年级一模）如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF 的长为5；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2021·浙江绍兴市·九年级一模）如图，ABCD 中，5AB a =，4BC a =，60A ∠=︒，平行四边形内放着两个菱形，菱形DEFG 和菱形BHIL ，它们的重叠部分是平行四边形IJFK ．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形IJFK 的面积为（ ）A ．2aB ．22aC ．232aD ．23a二、填空题 3．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·九年级一模）如图，菱形ABCD 的周长为8厘米，120D ∠=︒，点M 为AB 的中点，点N 是边AD 上任一点，把A ∠沿直线MN 折叠，点A 落在图中的点E 处，当AN =_________厘米时，BCE 是直角三角形．4．（2021·北京九年级二模）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形ABCD 中，72BAD ∠=︒，在对角线AC 上截取AE AB =，连按BE ，DE ，可将菱形分割为“风筝”（凸四边ABED ）和“飞镖”（凹四边形BCDE）两部分，则图2中的α=____°．三、解答题5．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD2∠D＝45°，求菱形AECF的周长．6．（2021·江苏南京市·九年级专题练习）已知ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D 不与点B，C重合）．ABC是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC 于点FG，连接BE．△≌△．（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：AEB ADC（2）如图②，当点D在BC旳延长线时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由．（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．。
人教版八年级数学下《菱形》知识全解
《菱形》知识全解课标要求探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识结构内容解析1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形首先是一个平行四边形，然后增加一个特殊条件：一组邻边相等．菱形的定义既可作为菱形的性质运用，又可作为菱形的判定运用．2．菱形的性质（1）具有平行四边形的所有性质．（2）特有的两条性质（定理）：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的对称轴．（4）菱形的面积计算：S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半．菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的问题可以转化为等腰三角形或直角三角形来解决．3．菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，可作为菱形的判定方法，它是菱形其他判定方法的基础．（2）定理①：四边都相等的四边形是菱形．运用该定理证明时，可以直接证明一个四边形是菱形．（3）定理②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．运用该定理证明时，要先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线互相垂直．4．运用和菱形的性质与判定解决问题．重点难点本课的重点是菱形的性质定理和判定定理的探索与证明．性质和判定定理本身容易理解，但需要学生借助一定的活动去进行观察、归纳、推导与验证．让学生自己体验探究过程，从中收获感悟．在教师的引导下，对知识本身和思想方法上都有实质性的掌握．这个过程到位了，必将很好地为下一过程——“运用性质和判定定理解决问题”打下坚实的基础，达到运用自如．教学重点的解决方法：在探究实验活动以及旧知类比的基础上进行定理的概括的推导．通过观察实验，巧妙设问，发现规律，归纳结论，解决重点．本课的难点是运用菱形的性质和判定方法进行推理、计算和解决问题．在通过探索和证明得到了菱形的性质及判定定理后，直接利用定理解决问题就势在必行．但从主观上讲，学生对刚学会的知识会有生疏感，不会直接用，甚至不敢用，习惯一步推理，对多步推理不熟；从客观上讲，性质和定理本身的数量不止一项，因而问题的解决需要选择相应的性质和定理，特别是判定方法的选择性很强，而且题目的设置往往灵活多变，还综合之前的知识等．这都给问题解决带来了困难．教学难点的解决方法：问题设置从易到难，从单一到综合逐步递进．通过引导思维，结合图形一步一步体现思路，明确方法来解决难点、疑点．教法导引在数学教学过程中，基于学生思维的起点，为了突出教师为主导、学生为主体的教学原则，我们可以运用自主探究法和直观教学法，让学生在实践中学习、掌握知识，达到灵活运用，并对先后知识融会贯通．针对本节课的特点，可以采用“创设情境——探究实践——观察讨论——总结归纳——知识运用”为主线的教学模式，运用实践、观察、分析、讨论相结合的方法．教学中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识，形成技能．在教学过程中注意创设思维情境，在合作交流的气氛下进行师生互动，培养学生的自学能力和创新意识，让学生在教师的指导下自始至终处于一种积极思维，主动探究的学习状态．借助教具和课件演示，以增加教学的直观性，更好的理解菱形的性质与判别，解决教学重点与难点．根据本课内容的特点，建议教师在教学过程中注意以下问题：1．菱形的知识，学生在小学时接触过一些，教学要基于学生对菱形的已有认知上．在引入概念时，应让学生充分的理解到菱形是一个特殊的平行四边形，特殊在有一组邻边相等．教师设置情境，学生自己动手探究，体验到菱形可以由平行四边形平移或等角三角形、直角三角形拼接得到．2．菱形在现实中的实例较多，因而在讲解菱形的性质和判定时，教师可多准备一些生活实例，来对菱形的性质和判定进行应用．既增加了学生的参与感，又巩固了所学的知识．3．教学过程中，应特别重视探究活动，这样既增强了学生的动手能力和参与感，又在教学中有切实的实例，使学生对知识的掌握更轻松、具体．例如菱形性质的探索、判定定理的探索都需要通过具体的折纸、画图等实践来进行探究．4．教学过程中注意学生独立思考和合作交流的有机结合．例如在对性质的讲解中，教师可将学生分组，每组学生分别对菱形进行“边、角、对角线”等方面的研究，然后在组内进行整理、归纳．而在性质或判定的应用中，教师根据题目的层次安排，可引导学生独立分析思路，并独立进行具体的证明．5．注重将新知识与旧知识进行联系与类比．新旧知识的联系与类比有利于学生建立新的知识体系，同时也能在一定程度上培养学生的合情推理能力．菱形的判定方法可以通过类比已学过的矩形的判定方法，进行合情猜想，并加以验证，实现知识的正迁移．学法建议在日常生活中，学生经常会遇到各种几何图形也包括菱形，但学生对这一图形的认识是直观的、肤浅的，因此在教学中要以原有直观感和平行四边形、矩形的相关知识为基础，探索菱形的性质及判别方法，并尝试利用它们解题．新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如菱形的概念得到、菱形性质的发现和推导、菱形面积的算法、菱形判定方法的选择和思路的选取等都可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也能得到不断提高．在本节课的教学中，要帮助学生学会运用实践、观察、分析、比较、验证、归纳、概括等手段，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，领会到成功的喜悦．。
菱形的定义、性质
菱 形
前面我们学习了平行四边形和矩形， 知道了如果 平行四边形 + 一个角是直角时, 成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保 持不变仅改变边的长度，能否得到一个 特殊的平行四边形？
A
D ∵四边形ABCD是菱形
B
C
∴∠A = ∠C ∠B = ∠D
探究性质，尝试证明
由于平行四边形的对角线互相平 分，故： 菱形的性质3：菱形的对角线互相垂直 且平分，并且每一条对角线平分一组 对角．
菱形的性质3
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图， 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
平行四边形 邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
．
让我们一同走进生活中的菱形
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
菱形是特殊的平行四边形，它 具有平行四边形的一切性质．
A D
O
B
C
D A O C
边
菱形的两组对边平行Hale Waihona Puke 相等菱形的四条边相等B
角
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
对角线
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的 3cm 边长是______.
2.如下图：菱形 ABCD中∠BAD＝60度， 0 60 则∠ABD＝_______. D 3、菱形的两条对角线长 O 分别为6cm和8cm，则菱形 A 的边长是（ C ）
菱形的性质与判定 (第1课时菱形的定义与性质)
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
证明：
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
总结：菱形的性质
D
O
菱形的两组对边平行且相等 A
边
菱形的四条边相等
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
菱形定义的几何表示
∵ ABCD中，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
问题: 菱形与平行四边形有什么关系？
平行四边形集合
平行四边形
菱形
菱形集合
归纳
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性
质，但平行四边形不一定是菱形.
2、菱形的性质
做一做
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
等腰三角形：
△ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形：
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA
全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△COB≌ Rt△COD ≌ Rt△ＡOＤ
△ABD≌△CBD
△ABC≌△ADC
例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD=60°，BD =2，求AB和AC的长.
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称
轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有
性质.
A
由于平行四边形的对边相等，故菱形
的对边相等，由于菱形的邻边相等，故
菱形的定义概念
菱形的定义概念在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线相互垂直的平行四边形是菱形，四条边都相等的四边形是菱形。
以下是店铺分享给大家的关于菱形的定义，欢迎大家前来阅读!菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角;2、四条边都相等;3、对角相等，邻角互补;4、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形,5、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
6、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。
菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四边相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为菱形，对角线相等的四边形的中点四边形定为矩形。
)菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的面积1.对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);由把菱形分解成2个三角形，化简得出2.底乘高=菱形面积。
3.设菱形的边长为a,一个夹角为θ，则面积公式是:S=a^2·sinθ菱形的特征顺次连接菱形各边中点为矩形正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定目标:掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。
重点:菱形的性质及判定难点：区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。
知识要点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
2、菱形的性质：性质1菱形的四条边相等。
性质2菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。
已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。
证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD（菱形的四条边相等）在等腰△ABD中，∵BO＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。
同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。
图13、菱形面积计算方法：(1) S＝底×高(2) S＝对角线1×对角线2＝ab例已知菱形ABCD的边长为2cm ，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。
解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠BAO＝＝×120°＝60°（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）在Rt△AOB中，∵∠ABO＝90°－∠BAO＝30°∴AO＝＝×2＝1（cm）BO＝（cm）∵AO＝，BO＝∴AC＝2AO＝2（cm），BD＝2BO＝2（cm）＝AC×BD＝2（cm2）∴S菱形ABCD4、菱形的判定：判定定理1四边都相等的四边形是菱形。
判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
本周典型例题分析：1．已知：如图，□ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AF⊥ED分析：若连结MN，欲证DE⊥AF，只要证四边形AMND是菱形。
证明：连结MN∵四边形ABCD是平行四边形∴AD BC，AB DC在△ABF中，∵BC=CF，AB∥CN∴AN=NF又∵AD∥BF，∴DN=NC同理可证：AM=MB又∵AB=2BC∴AM DN，∴四边形AMND是平行四边形而AD=DN，∴四边形AMND是菱形∴AN⊥MD，即AF⊥ED换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。
第01讲 菱形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第1讲 菱形的性质与判定1. 理解菱形的概念；2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历菱形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
知识点 1：菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
知识点2：菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半BD AC BD AC S S AOB Rt ABCD •=••⨯==∆2121212144菱形知识点3：菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【题型1菱形的概念和性质】【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝10cm，BD＝24cm，则△ABD的周长为（）A．30cm B．36cm C．50cm D．52cm【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝30°，则∠A的度数为（）A．150°B．140°C．130°D．120°【变式1-2】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【变式1-3】如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A．B．C．D．【典例2】（2022秋•绥化期末）下列不属于菱形性质的是（）A．四条边都相等B．两条对角线相等C．两条对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角【变式2-1】（2022秋•舞钢市期中）下列说法不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的对角线相等C．菱形是轴对称图形D．菱形的对角线互相垂直【变式2-2】（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式2-3】（2022•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．16B．20C．24D．26【典例3-1】（2021秋•榆林期末）如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．24B．20C．16D．12【典例3-2】（2022•文山州模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC的距离为（）A．B．6C．8D．（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，【变式3-1】则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【变式3-2】（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6B．8C．D．【题型2：菱形的判定】【典例4】依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（）A．B．C．D．【变式4-1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AC⊥BC D．AC＝BD【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AO＝BO【变式4-3】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（）A．度量四个内角是否相等B．测量两条对角线是否相等C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合【典例5】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-1】（2022秋•章丘区校级月考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．【变式5-2】（2022•天宁区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．【题型3：菱形的性质与判定综合】【典例6】（2022•冷水滩区校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，过点A作BC的平行线交ED于点F，连接AE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．【变式6-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD ∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．【变式6-2】（2022•新市区校级一模）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．【变式6-3】（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．1．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E 为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48 2．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D 作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（）A．4B．4C．8D．8 3．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16B．6C．12D．30 4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB ＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为cm．5.（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．6．（2022•岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．7．（2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE ＝AF．求证：CE＝CF．8．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．9．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD 的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．1．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）2．（2021春•龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连结EO．若EO＝2，则CD的长为（）A．2B．3C．4D．5 3．（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2022秋•南海区期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的周长是（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 5．（2021秋•建平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．8C．12D．16 6．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（）A．192B．48C．96D．40 7．（2022秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC 于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．20°9.（2022秋•浑南区期中）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线互相垂直平分C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等且互相垂直10.（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形11．（2022春•铁西区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC ＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度数为°．（2）求证：四边形ACEF是菱形．12.（2022春•长乐区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求证：▱ABCD是菱形．13.（2022秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．。
菱形的性质及知识点归纳
菱形的性质及知识点归纳1500字菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
下面是关于菱形的性质及相关知识点的归纳。
1. 边长性质：菱形的四条边边长相等。
2. 角度性质：菱形的内角都是直角，即90度。
3. 对角线性质：菱形的两条对角线相等且互相垂直。
4. 对称性质：菱形具有对称性，可以通过对角线进行对称。
5. 直角菱形：若菱形的一对对角线垂直，那么该菱形就是直角菱形。
6. 正菱形：若菱形的四个内角均为直角，则该菱形称为正菱形。
7. 等边菱形：菱形的四条边均相等，则称之为等边菱形。
8. 面积性质：菱形的面积可以通过对角线的乘积除以2来计算。
设菱形的对角线长为d1和d2，则菱形的面积S = (d1 × d2) / 2。
9. 周长性质：菱形的周长可以通过边长的四倍来计算。
设菱形的边长为a，则菱形的周长L = 4a。
10. 利用菱形的角平分线性质：菱形的角平分线上的长度都相等，并且菱形的左右两对角线划分出的小菱形相似，并且边长与菱形相比为1/2。
11. 利用菱形的内切圆性质：菱形的四条边都切内切圆的话，内切圆的直径等于菱形的对角线长度。
12. 利用菱形的封闭性质：菱形的内部由四个直角三角形组成。
可以通过计算这四个直角三角形的面积来计算菱形的面积。
13. 特殊菱形性质：如果一个四边形的对角线相等并且互相垂直，那么它就是一个菱形。
14. 利用菱形的边长性质：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。
15. 利用菱形的角度性质：如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它就是一个菱形。
16. 利用菱形的对称性质：如果一个四边形可以通过对角线进行对称，那么它就是一个菱形。
菱形是几何学中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
在解决几何问题和计算菱形的面积和周长时，以上这些性质和知识点都非常有用。
菱形的定义、性质
等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA 全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
例1 如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿 着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的 长和花坛的面积(分别精确到0.01m和0.01m2).
§19.2 .2
菱形的定义、性质
菱形
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
菱形就在我们身边
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
2、已知菱形的两个邻角的比是1：5，高 是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别 是 。
补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
S菱形 ABCD
考点27 菱形【无答案】
考点二十七菱形【命题趋势】在中考中，菱形主要在选择题，填空题，解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查。
【中考考查重点】一、菱形的性质及判定二、菱形与折叠综合考点：菱形性质及判定一、菱形的概念和性质1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：边：菱形的四条边都相等．对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．二、菱形的判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3. 四条边相等的四边形是菱形（边）1.（2020春•澧县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5B．4C．7D．142.（2019春•西湖区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．6B．12C．18D．243.（2021春•泗水县期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（）A．B．C．4D．54.（2019•安徽模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF是菱形的是（）A．AC⊥BD B．AC＝2BD C．AC平分∠BAD D．AB＝BC5.（2020春•南平期末）如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，下列判断中不正确的是（）A．若AB＝BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形C．若AC平分∠BAD，则▱ABCD是菱形D．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形6.（2020•兴庆区校级三模）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF，求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长．7.（2021春•平舆县期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AC＝8，BD＝6，求证：▱ABCD是菱形．8.（2020秋•会宁县期中）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，AB＝2，求菱形BCDE的面积．1．（2019春•江岸区期中）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（）A．8B．6C．5D．42．（2019秋•莲湖区期末）菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等3．（2019•长春模拟）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AC，AD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）A．8B．12C．16D．204．（2019春•滨海新区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、AB边上的中点，连接EF．若EF＝，OC＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．B．4C．6D．85．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB 是菱形的依据是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线平分一组对角的四边形是菱形C．一组邻边相等的四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形6.（2021春•长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件：使平行四边形ABCD是菱形．7.（2021春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有．（只填写序号）8.（2021秋•长沙期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．9.（2020秋•龙泉驿区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．1．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形2．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）3．（2021•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．4．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD 方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形5．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF ＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．6．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1 7．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．8．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．1．（2022•大渡口区模拟）若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（）A．2B．4C．8D．16 2．（2021•安徽二模）四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP3．（2021•肇源县模拟）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为3cm，点B，D之间的距离为4cm，则线段AB的长为（）A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm 4．（2021•柳南区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F 分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°5．（2021•海阳市一模）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB ＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）A．2B．3C．4D．5 6．（2022•郑州一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为．7．（2021•广东模拟）如图，点F，H是菱形ABCD的对角线BD上的两点，以FH为对角线作矩形EFGH，使点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上．（1）求证：∠AEF＝∠CGH；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．8．（2021•昆明模拟）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BE ＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC，若AB＝5，AC＝6，求四边形ABCD的面积．9．（2021•朝阳区一模）如图，BD是▱ABCD的对角线，且BD⊥BC，DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB＝9，sin A＝，则点E、F之间的距离为．10．（2021•沈阳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F，连接OE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，请直接写出△OBE的面积为．。
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18.2.2 菱形的概念及性质
一、教学目的：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想．二、重点、难点
1．教学重点：菱形的性质1、2．
2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
三、课堂引入
1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
四、性质推理
1、菱形具有四边形的性质和其特殊性质
2、菱形的性质：从边上看：菱形的两组对边平行
菱形的四条边相等
从角上看：菱形的对角相等，邻角互补
从对角线上看：菱形对角线相互平分且垂直
菱形的对角线平分一组对角
3、菱形的对称性：菱形既是中心对称也是轴对称图形, 对称中心是对角线交点
对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
五、例题的意图分析
例1是教材P56中的例3，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识
六、例习题分析
例（教材P56例3）略
七、课堂总结
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质：从边上看：菱形的两组对边平行
菱形的四条边相等
从角上看：菱形的对角相等，邻角互补
从对角线上看：菱形对角线相互平分且垂直
菱形的对角线平分一组对角
菱形的对称性：菱形是中心对称也是轴对称图形, 对称中心是对角线交点，
对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
菱形的面积= 对角线乘积的一半
八、练习巩固
随堂练习
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶
2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的
点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
课后练习
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线B长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．。