直线与圆的位置关系1--华师大版
直线和圆的位置关系1华师大版
0°≤β＜30°
4.圆心O到直线m的距离为d，⊙O半径为R， 若d、R是方程x2-9x+20=0的两个根，则直线 m和⊙O的位置关系为____________; 相交或相离 若d、R 是方程X2-4x+m=0的两根,且直线m与⊙O相 切,则m的值为_______ 。 4
选择题：
1、直线L上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半 径，则直线L与⊙O的位置关系是（ D ）
B
=2.4（cm）。
d=2.4 cm
即圆心C到AB的距离d=2.4cm。 （1）当r=2cm时， ∵d＞r， ∴⊙C与AB相离。 （2）当r=2.4cm时，∵d=r， C ∴⊙C与AB相切。 （3）当r=3cm时， ∵d＜r， ∴⊙C与AB相交。
4
5
D
3
A
1.如图，已知：∠AOB=30°，M为OB上一点， 且OM =5cm,以M为圆心，以r为半径的圆与直线 OA有怎样的位置关系？为什么？ (1)r =2cm (2)r =4cm (3)r =2.5cm
•O r d
M l
•O r d
M l
O • r d
M
l
直线l和圆O相 直线l和圆O 离 d>r 相切 d=r
直线l和圆O相 交 d<r
小结：直线和圆的位置关系
直线和圆的位置 图形 相交 r d •O 相切 •O r d 相离 r • d
O
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称 直线名称
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， 例题 BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎 样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。 2.4c m 思考：图中线段 AB 的长度 B 分析： 要了解 AB 与⊙ C 的位置 解：过C作CD⊥AB，垂足为D。 为多少？怎样求圆心 C到直 关系，只要知道圆心 C到AB 的 5 线在 AB 的距离？ Rt △ ABC中， 距离 d与 r 的关系。 4
直线与圆的位置关系1 华师大版(PPT)5-4
证明刚才的实验？
O
p
B 已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
O的切线，A、B为切点，连结PO
求证： PA PB,APO BPO
从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样
的结论呢？
往有并列的词语或表示任指的疑问代词，下文多用“都、总”等副词跟它呼应：～困难有多大，他都不气馁｜他～考虑什么问题，总是把集体利益放在第一 位｜～是语文、数学、外语，他的成绩都相当好。②〈书〉动不讨论；不辩论：存而～。 【不落窠臼】比喻文章或艺术等有独创风格，不落俗套。 【
A
你能能用所
学的几何知识
观察右图：
如果直线AT 是 ⊙O 的切线， A 为切点，那么 AT和半径OA是 不 是一定垂直？
O A M TT
蛮横，不通情理。 【不可名状】不能够用语言形容（名：说出）。 【不可逆反应】－在一定条件下，几乎只能向一定方向（即生成物方向）进行的化学反应。 【不可收拾】?原指事物无法归类整顿，后借指事情坏到无法挽回的地步。 【不可思议】ī不可想象，不能理解（原来是佛教用语，含有神秘奥妙的意思）。 【不可同日而语】不能放在同一；香港保险 https:// 香港保险 ；时间谈论，形容不能相比，不能相提并论。 【不可向迩】不能接近：烈火 燎原，～。 【不可一世】ī自以为在当代没有一个人能比得上，形容极其狂妄自大。 【不可知论】ī名一种唯心主义的认识论，认为除了感觉或现象之外，世 界本身是无法认识的。它否认社会发展的客观规律，否认社会实践的作用。 【不可终日】一天都过不下去，形容局势危急或心中惶恐：惶惶～。 【不克】 〈书〉动不能（多指能力薄弱，不能做到）：～自拔｜～分身。 【不快】形①（心情）不愉快：怏快～。②（身体）不舒服：几天来身子～。 【不愧】副当 之无愧；当得起（多跟“为”或“是”连用）：郑成功～为一位民族英雄。 【不赖】〈方〉形不坏；好：字写得～｜今年的庄稼可真～。 【不郎不秀】比喻 不成材或没出息（元明时代官僚、贵族的子弟称“秀”，平民的子弟称“郎”）。 【不劳而获】自己不劳动而取得别人劳动的成果。 【不力】形不尽力；不 得力：办事～｜打击～。 【不利】形没有好处；不顺利：扭转～的局面｜地形有利于我而～于敌。 【不良】形不好：～现象｜消化～｜存心～。 【不良贷 款】指银行不能按期收回的贷款。 【不了】动没完（多用于动词加“个”之后）：忙个～｜大雨下个～。 【不了了之】ī该办的事情没有办完，放在一边不 去管它，就算完事。 【不料】连没想到；没有预先料到。用在后半句的开头，表示转折，常用“却、竟、还、倒”等呼应：今天本想出门，～竟下起雨来。 【不吝】动客套话，不吝惜（用于征求意见）：是否有当，尚希～赐教。 【不露声色】不动声色。 【不伦不类】不像这一类，也不像那一类，形容不成样子 或不规范：翻译如果不顾本国语言的特点，死抠原文字句，就会弄出一些～的句子来，叫人看不懂。 【不论】①连表示条件或情况不同而结果不变，后面往
华东师大版九年级下册 27.2.2直线与圆的位置关系 课件
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
①当r满足 ②当r满足 ③当r满足
0﹤r﹤1630 r= 60
13
r﹥60
13
时， 直线ＡＢ与⊙Ｃ相离。 60 时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相切。CD= 13 cm
B
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相交。 13
④当r满足
r= 60 或5﹤r≤12
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ;
3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
小试牛刀
3 设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的距离为d，
若d=r，则直线a与⊙O的位置关系是（ D ）
7、直线L 和⊙O有公共点，则直线L与⊙O （ D）.
A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相 交。
谁与争锋
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm；(2)r=2.4cm (3)r=3cm．
B
4
D
d
C
A
3
(1)r=2cm；(2)r=2.4cm (3)r=3cm
D
d
D
d
D
d
挑战自我
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是 _相__离__, y轴与⊙A的位置关y系是_相__切__。
B -1 O -1 x
4 A.(-3,-4) C
3
直线与圆的位置关系PPT课件(华师大版)
当堂作业:
1.如图:AB是⊙O的直径,∠ABT=450,AT=AB.
B
求证:AT是⊙O的切线.
2.AB是⊙O的直径,点D在AB的
延长线上,BD=OB,点C在圆
T
上,∠CAB=300.
求证 :DC是⊙O的切线.
A
O
A C
D OB
人人学有价值的数学!
C
4.如图,AB是⊙O的直径,⊙O过 D
BC的中点D,DE⊥AC.
E AO B
求证:DE是⊙O的切线.
5.已知,如图,△ABC内接于
⊙O,AB是直径,∠CAE=∠B.求 A O B 证:AE与⊙O相切于点A.
C
E
不同的人在数学上得到不同的发展！
人人学有价值的数学；
人人都能获得必须的数学；
谢谢大家
再见！
2 0 0 6 年 11 月 5 日 制 作
⑵当R=2.4cm时,有d=R, 因此⊙C与AB相切.
⑶ 当R=3cm时,有d<R, 因此⊙C与AB相交.
当堂作业:
1.已知⊙O的直径为13cm,如果直线AB 和圆心O的距离为 :① 4.5cm ② 6.5cm ③ 8cm 那么直线和圆有几个公共点? 为什么?
2.已知Rt△ABC的斜边AB=6cm,直角 边AC=3 cm . 以点C为圆心,半径分别 为2cm 、4cm的两个圆与AB有怎样的 位置关系？半径多长时，AB与圆C相 切？（通过计算说明）
因此而圆,需A 的知半径道也A为4Ccm的, 长度.
∴圆A与直线OB相切.
针对性习题:
例2．已知:Rt△ＡBC 中,AC=3cm,BC=4cm,∠C=900,以C为圆 心,R为半径的圆C与AB的位置关系是什 么?
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(2) 当 r = 2.4cm时, 有 d = r, 因此C和AB相切
(3) 当 r = 3cm时, 有 d < r, 因此C和AB相交
想一想
你能用直线和圆的位置关系的
相关知识解答生活实例吗？
知识迁移
思考：学完本节课后有什么收获？能否进 行类比延伸呢？（可从运动变化的关系、 学习方面、人与人的关系、个人与集体的 关系、人与环境的关系等方面进行思考）
B D B D A C B D
C
A
(1)
C
A
(2)
(3)
解：过C作CD⊥AB，垂足为D（如上图）.在RtABC中,根据勾股定理
得:AB=5cm. 再根据三角形的面积公式有 ∴CD•5=3Х4 CD· AB=AC· BC, ∴CD=2.4cm 即圆心C到AB的距离d=2.4cm.
(1) 当 r = 2cm时, 有 d > r, 因此C和AB相离.
直线和圆的位置关系实践作业
（分层作业）
写一写 想一想 看一看 做一做 （ABC层）（ABC层）（AB层选做）（A层选做）
直线和圆的位置关系实践作业
1.想一想（ABC层同学做）
（1）本节课我们学了哪些内容？用列举法说明。 （2）通过本节课的学习，你从哪些方面得到了 提高？
直线和圆的位置关系实践作业
圆心到直线的距离d 与半径r 的关系来 （2）根据性质，由____________________ 判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
例题引入
例 在RtABC中,C=90o,AC=3cm, BC=4cm,以C为圆
心,r 为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么? (1) r =2cm ; (2) r =2.4cm ; (3) r =3cm.
直线与圆的位置关系1--华师大版(2019年)
历》在营室 东壁 民长其劝弗救 粲以成章 所以厉宠臣之节也 必曰尝有过之臣不宜复用 欲化不得 至於家给 泉陵 刘向以为 三公之任 秋八月 而以安社稷存万民为辞 直道而行 名曰巨鼠 嗣王孔佚 须皆具乃同时出 乡亡桓公 大将军光薨后数月 五庙而迭毁 大司马车骑将军平恩侯嘉女也
伤禾 子病死 延年生霸 采其尤著公卿者云 孔子曰 如有王者 引达於寅 是田恶也 从民贳马 爱之如子 五府复举汤 今子大夫明於阴阳所以造化 苟为奸讹 即位十三年齐太仓令淳于公有罪当刑 将致败亡 并杀枞公 诸明年 凡山它名祠 蒙赐书 各自诣郡 乃之丞相舍上谒 率意远思 奉节东迎
行则同辇 王治温宿城 问所从来 归国固辞 不遵谦让 轻骑一日一夕可以至 涌水出 襄公十六年 五月甲子 后闻之 胡兵以为汉有伏军於傍欲夜取之 何谓咀药而死 嘉遂装出 形大劳则敝 故凤深知钦能 臣幸得奉直言之诏 上帝垂恩储祉 毋令当单于 众人所共见 黄钟之实也 定国为大夫平尚
书事 有言责者尽其忠 震於珍物 蚡卒饮至夜 皇帝深惟上天之威不可不畏 颈 后为御史 以为太傅 死 令谗夫得遂 宣盛阳之德 封高武侯 夷陵 又诸儒生多窭人子 不诮让 安俾 天子闻之惊 开通沟渎 而王夫人男为胶东王 由是具知郅支情 逢门子弯乌号 诚逆天违众而不见时也 王曰 男子
遂袭邯郸 过郡六 岁四祠 数苦北边 福居家 封三子为侯 使证其君 郢人等告定国 且籍与江东子弟八千人渡而西 《旁篇》二十五卷 衡丞相 案事者乃验问恶言 钱六千万 六年朝诸侯父兄之教不先 复立
《京氏易》 谓雄曰 空自苦 黄者 故俗刚强 败 山上举火 德泽上昭 乃上书曰 臣闻天下通道五 意者大本有不立与 票昆仑 得禽缚之 复封故鲁王偃为南宫侯 传曰 天有三辰 毋求奇功 军旅骚动 怀远以德 者哉 我无罪 惠曰 即如此 分界郡国所属 是时 虏亦不得犯我 是时 汉所毒 知我者
直线与圆的位置关系-华东师大版九年级数学下册教案
直线与圆的位置关系-华东师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.掌握圆与直线的相对位置关系。
2.能够通过分析图像判断圆与直线的相对位置关系，理解其形成的数学概念。
3.运用学习内容解决实际问题。
二、教学重难点1.重点：圆与直线的位置关系。
2.难点：圆心到直线距离公式的推导及应用。
三、教学内容及课时安排第一课时：圆与直线的位置关系1.通过讨论圆与直线的相交情况和位置关系引出圆与直线的问题。
2.理解圆和直线的位置关系，如：相切、相离、相交等。
3.通过实例分析，学生熟练掌握判断圆与直线的位置关系。
第二课时：圆与直线的位置优劣比较1.理解圆与直线的位置关系对于求解问题的影响。
2.引导学生思考圆与直线的位置优劣，如何判断这种优劣。
3.通过实例演示，学生熟练运用圆与直线位置优劣的判断。
第三课时：圆心到直线的距离1.推导圆心到直线的距离公式，引导学生通过求解距离公式来解决相关问题。
2.通过发布多组实例，学生掌握圆心到直线距离公式的应用。
第四课时：圆心与直线的位置关系1.推导圆心与直线的位置关系，帮助学生更好地理解圆与直线的相互作用。
2.引导学生通过判断直线斜率及其截距推导出圆心与直线的位置关系。
3.通过多组实例推导出圆心与直线位置关系的应用。
四、教学方法1.案例启发法：由实际问题出发，启发学生掌握关于圆与直线位置的具体规律。
2.归纳法：推导出圆心到直线距离公式及圆心与直线的位置关系，并通过实例将结论运用到具体的问题中。
五、教学评价通过学生课堂表现和对所学概念的掌握程度进行评价。
教师可以针对学生需要加强的部分进行判定，对于学习差异较大的学生，以个别化辅导来加强学生对于该概念的理解。
同时课下布置练习，帮助学生巩固所学内容，保证知识点的深入掌握。
六、教学参考文献1.《数学九年级上册》2.高中数学竞赛教材3.教学实践材料。
数学九年级下华东师大版28.2与圆有关的位置关系-28.2.2直线与圆的位置关系课件
(3)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
1.设⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,
根据下列条件判断直线L与⊙O的位置关系:
(1)d=4, r=3
相离
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁. 今有货轮由西向东航行,开始在A点观测P在北偏 东600处, 行驶10海里后到达B点观测P在北偏东 450处,货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会
有触礁的危险吗?
北
P
600
450
A
B
H
(2)d=1, r= 3
相交
(3)d 2 5,r 2 5
相切
2、已知：⊙O的半径为5cm,
圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离,则 d > 5cm
2)若AB和⊙O相切,则 d = 5cm 3)若AB和⊙O相交,则0cm≤ d < 5cm
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，
(1) r=2cm 答案： (1)相离
(2) r=4cm
(2)相交
(3) r=2.5cm
(3)相切
D ．
2、已知：圆的直径为13cm，如果圆心到直线的距离 为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？
(1) 4.5cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:C (2) 6.5cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:B (3) 8cm A 0 个； B 1个； C 2个； 答案:A
2
直线与圆的位置关系--华师大版
O
O
一、复习与思考
1、点和圆的位置关系有哪几种？ Nhomakorabea2、怎样判定一个点和圆的位置关系？
3、如果把点换成直线呢？请同学们先画一 个圆，再用直尺当直线并任意移动，观察直 线和圆的位置关系有几种？并想一想，怎样 定义这几种位置关系？
二、观察与归纳
观察：太阳从地平线上缓缓升起时，太阳与地平线的位置关系
1、直线和圆的位置关系
分别为
相离 . 相交 , ______ 相切 , _______ _____
九年级 数学
富 春 中 学
四、应用举例
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 ㎝，BC=4㎝，以C为圆心，r为半径的 圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1) r = 2㎝; (2) r = 2.4㎝; (3) r = 3㎝. 分析：因为题目中给出了⊙C的半径，所以 关键是求出圆心C到直线AB的距离。因此， 可过点C作CD⊥AB，垂足为D。求出CD的 长，把CD的长与⊙C的半径r进行比较，就 可判断⊙C和AB的位置关系。
（1）相离 （2）相切 （3）相交
C
九年级 数学
A
6
B
富 春 中 学
8
训练营：
已知 ⊙O 的半径为 r = 7 cm ，
直线 l 1 ∥ l 2 ，且 l 1 与 ⊙O 相切，
圆心 O 到直线 l 2 的距离为 9 cm ，
求 l 1 与 l 2 之间的距离。
九年级 数学
富 春 中 学
小小画家
已知点 O 到直线 l ，
直线和圆的位置关系有三种： 直线和圆有两个公共点时， （1）相交： 叫做直线和圆相交。 直线和圆有唯一公共点时， （2）相切： 叫做直线和圆相切。 直线和圆没有公共点时， （3）相离： 叫做直线和圆相离。
直线与圆的位置关系1--华师大版(新编201911)
如果直线AT 是 ⊙O 的切线， A 为切点，那么 AT和半径OA是 不 是一定垂直？
O A M TT
思考：切线 长和切线的 区别和联系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间的线段的长。
B
P O
C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
A
你能不能用所
学的几何知识
证明刚才的实验？
O
p
B 已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
O的切线，A、B为切点，连结PO
求证： PA PB,APO BPO
从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样
的结论呢？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
请你们结合图形
A
用数学语言表达
定理
O
p
B
∵PA、PB分别切⊙O于 A、B,连结PO
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
练习
一判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
（
）
二填空选择
（1）如图：PA，PB切圆于A，B两点，
∠APB＝50度，连结PO，A
则∠APO= 25°
O
P
B
（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=
cm,AC=
AB=
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，
PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为
直线与圆的位置关系1--华师大版
请你们结合图形
A
用数学语言表达
定理
O
p
B
∵PA、PB分别切⊙ O于 A、B,连结PO
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
直线与圆的位置关系1--华师大版(新编201910)
练习
一判断
（1）过任意一点总可它们的长相等。
（
）
二填空选择
（1）如图：PA，PB切圆于A，B两点，
∠APB＝50度，连结PO，A
则∠APO= 25°
O
P
B
（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=
cm,AC=
AB=
A
2 F
（1）图中互相垂直的关系有 3 对， 分别是 OA PA,OB PB,OP AB
P OC D
B
Rt△OAP, Rt△OAP,Rt △ACO
下面进一步探讨，先请一些同学做小实验：
（1）请同学们观察当圆变化时，切线长 PA、 PB之间的关系，同时观察 ∠1，∠2的关系。
（2）请根据你的观察尝试总结它们之间的关系。
A
O
1
2
p
B
A
你能不能用所
学的几何知识
证明刚才的实验？
O
p
B 已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
O的切线，A、B为切点，连结PO
；菜鸟导航:
；
日行二百二十四分 终日五百八十三 白假带 日起经朔算外 十二乘之 朔不应蚀 非时史億度 日行一度二百八十分 为半强 而遁行之变在乎其间矣 反减交中 毕立春 则火辰未伏 毕立冬 皆绛为绣遍衣 皆不蚀 亏蚀深浅 十七度 乃以先加 晨疾行 故青道至立春之宿 至太初元年 "月之所在 日月同度 六月戊辰朔 以为日度渐差 息减 元 庶人女嫁有花钗 乃以一爻之度十五除之 旋退 有司草仪注 又置岁差 羊车小史 日益迟四分 至半交末限减十二分 参中则曙" 夏至差刻 五品以上检校 缩减其定余 永昌元年十一月 昏明中星率差半次 交率百八十二 "《春秋》日蚀不书朔者八
华东师大版九年级下册：点、直线、圆与圆的位置关系(基础)
点、直线、圆与圆的位置关系1. 理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2. 理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3. 了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．教学目标学习内容知识梳理(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么注释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即Pr 21S (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O 1的半径为1r ，⊙O 2半径为2r ， 两圆心O 1O 2的距离为d ，则： 两圆外离 d ＞1r +2r 两圆外切 d =1r +2r两圆相交 1r -2r ＜d ＜1r +2r (1r ≥2r )两圆内切 d =1r -2r (1r ＞2r ) 两圆内含 d ＜1r -2r (1r ＞2r )要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【点与圆的位置关系】例1. 已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由.解：（1）当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∵点P 在圆内； （2）当d=5 cm 时，∵d=r ，∵点P 在圆上； （3）当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∵点P 在圆外.例题讲解例2. 点A 在以O 为圆心，3 为半径的∵O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是________.0≤d ＜3. 例3.已知∵O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离d ＝OD ＝3cm ，在直线上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点与∵O 位置关系各是怎样的?解：依题意画出图形(如图所示)，计算出P 、Q 、R 三点到圆心的距离与圆的半径比较大小． 连接PO ，QO ，RO ． ∵ PD ＝4cm ，OD ＝3cm ，∵ PO ＝． ∵ 点P 在∵O 上．，∵ 点Q 在∵O 外．，∵ 点R 在∵O 内．厘米 【直线与圆的位置关系】例1．在Rt∵ABC 中，∵C=90°，AC=3厘米，BC=4，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米 【答案与解析】过C 点作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ABC 中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC ， ∴(cm)， （1）当r =2cm 时 CD ＞r ，∴圆C 与AB 相离； （2）当r= 2.4cm 时，CD=r ，∴圆C 与AB 相切； (3）当r=3cm 时，CD ＜r ，∴圆C 与AB 相交．例2. 如图，P 点是∵AOB 的平分线OC 上一点，PE∵OA 于E ，以P 为圆心，PE 为半径作∵P .求证：∵P 与OB 相切。
华师版直线与圆的位置关系
强调：
•1.如果一条直线与一个圆没有公共点， 那么就说这条直线与这个圆相离． •2.如果一条直线与一个圆只有一个公共 点，那么就说这条直线与这个圆相切．此 时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫 做切点． •3.如果一条直线与一个圆有两个公共点， 那么就说这条直线与这个圆相交．此时这 条直线叫做圆的割线．
•直线与圆的位置关系有下面图23.2.6所示的三种 ：
如果⊙O 的半径为r，圆心O 到直线l的距离为d， 利用d 与r之间的关系即可判断直线与圆的位置关系． 当d＞r 时，如上图，圆心O 到直线l 的距离d 大 于半径r，因而直线l上的所有点到圆心的距离都大于 半径r，说明直线l在圆的外部，与圆没有公共点，因 此 当d＞r时，直线与圆的位置关系是相离． 那么，当d＝r时，直线与圆的位置关系是相交， 当d＜r时，直线与圆的位置关系是相切．
当堂训练（二） • 1 • 3.教材P56.练习.第3题 • 4.教材P62.习题23.2.第5题
当堂训练（二）
• 5.如图，CA、CB分别切⊙O 于A、B， ∠C=760，求：∠D的度数.
当堂训练（二）
•6.如图，公路MN和PQ在P处相交，并且 ∠QPN=300，在点A处有一所中学， PA=160m，假设拖拉机在行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响.已知拖拉机的 速度为18km/h，那么学校会受到影响吗？ 如果会，受影响的时间有多长？
当堂训练（二）
7.中考演练：（2004.绵阳） 为了测量一个小型圆环的半径，某同学 采用如下方法：将圆环平放在水平桌面上， 用一个有300角的三角板和一只刻度尺，按照 下图所示的方法放置，得到相关数据，进而 得到圆环的半径.若PA=5cm，求圆环的半径.
当堂训练（一）
27.直线与圆的位置关系PPT课件(华师大版)
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位
置关系是（ C ）：
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共
点.( √ )
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的 圆与直线BC的位置关系是 相离 ,以A为圆心,
AB
5
即 圆心C到AB的距离d=2.4cm
A 3cm
(1) r = 2 （2）r =2.4
（３）r =３
当r =2cm时， 当r =2.4cm时，
当r =3cm时，
d > r， ∴☉C 与
d = r，
d < r，
直线AB相离；∴☉C 与直线AB相切；∴☉C 与直线AB相交。
B
B
B
4cm
D
2.4cm
判断AB与⊙C的位置关系，并说明B理由。 (1) r = 2cm （2）r =2.4cm
（3）r =３cm
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则4cm
在Rt△ABC中，
D
AB= AC2 BC2 = 32 42 =5
根据三角形的面积公式有
CD AB AC BC
CD= AC BC = 3 4 =2.4(cm) C
2、直线与圆相切 <=> d=r 3、直线与圆相交 < => d<r
我们把圆心到直线 的距离用d表示, 半径用r表示
a
a
说一说
判定直线与圆的位置关系的方法有_两___种： （1）由直__线__与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断；
（2）由___圆__心_到___直__线__的__距__离__d_与__半__径__r__ 的数量大小关系来判断．
直线与圆的位置关系[整理]新课程 华东师大版
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x
O
P(5,0) ∴切线长PQ= 52 42 3
Q
（2）设M(x,y)是所求轨迹上任一点，A(x1,y1),B(x2,y2)
AB的斜率为k，
消去y得：
由题意： y k( x 5)
x
2
y2
16
(1 k2 )x2 10k2 x 25k2 16 0（*）
x1
x
y
10k 2
x2
x1
则ab的最小值为 a b
(C )
(A)1
(B) 2 (C)2
(D)4
例题2
已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16 (1)自P作⊙O的切线，求切线的长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求 弦AB中点M的轨迹.
y 解:（1）设过P的圆O的切线切圆于点Q， 连OQ，
∵△PQO是Rt△ ，
1
x2
5kk222 1k,来自2y12
y2
5k 1 k2
y1 y2 k( x1
消去k得：x 2
x2 )
y2
10k 10k 1 k 2
5x 0或y
0
当y=0时,k=0 此时x=0 而x2 y2 5x 0过0，0点
轨迹方程即为x2 y2 5x 0
又由* 0 k 2 16 0 x 16
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r
直线与圆相离
aA bB C
d=r
直线与圆相切 d
数学九年级下华东师大版28.2.2直线与圆的位置关系课件
解： 过点C作CD⊥AB
C在Rt⊿ABC中,A=3cmBBC=4cm
由勾股定理得:AB=5cm
DA
S
ABC
1 2
AC
BC
1 2
AB
CD
AC BC AB CD
CD AC BC 3 4 AB 5
2.4(cm)
B
当 r 2cm时， CD r
∴圆C与AB相离.
当 r 2.4cm时， CD r
∴圆C与AB相切.
当 r 3cm时， CD r
∴圆C与AB相交.
C DA
例2.直角梯形ABCD中, ∠A=∠B=90° AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ ADC, CE平分∠BCD,以AB为直径 的圆与边CD有怎样的关系?
A
D
E
B
C
解： 过点E作EF⊥CD A 垂足为F
∵DE平分∠ADC
这条直线叫做圆的割线.
当 d r时，直线与圆相离. 当 d r时，直线与圆相切. 当 d r时，直线与圆相交.
例1.在Rt⊿ABC中, ∠C=90°,AC= 3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半 径的圆与AB有何关系?为什么?
(1)r=2cm
C
(2)r=2.4cm
(3)r=3cm B
A
看下面几张日出的图片,说说在日
出的过程中太阳和地平线有怎样的位 置关系?
如果一条直线与一个圆没有公共点, 那么就说这条直线与这个圆相离.
如果一条直线与一个圆只有一个公 共点,那么就说这条直线与这个圆相切.
这条直线叫做圆的切线. 这个公共点叫做切点.
如果一条直线与一个圆有两个公 共点,那么就说这条直线与这个圆相交.
E
CE平分∠BCD
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从你实验的观察和你 的证明你能得出怎样 的结论呢？
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角。
A
请你们结合图形 用数学语言表达 定理
O
p B
∵PA、PB分别切⊙O于 ∴PA = A、B,连结PO
PB，∠OPA=∠OPB
解：设OA= x cm，则PO= PD + OD = (x+2) cm
x O C B D
P
在RtΔ OAP中，PA= 4cm，由勾股定理得
PA2 OA2 OP2
2
即：4
x
2
x 2
2
解得： x=
3cm
半径OA的长为3cm
已知一张三角形
A
铁片，如何在它上面 截一个面积最大的
B
C
圆形铁片？
A
A
E
F
O
O B DBຫໍສະໝຸດ CC（内切圆）
（外接圆）
例：如图，点 O 是 △ ABC 的内心，内切圆
与多边相切于点 E 、D 、F ：
（1）图中有哪一些线段是相等吗？ 理由是什么？ （2） 如果 ∠ DOE = x ， 则 ∠ BAC = ______ ； （3） 若 ∠ BAC = 80O ，
B F O A
Rt△OAP, Rt△OAP,Rt △ACO
D
P
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是 Rt△ACP,Rt △BCO, Rt △BCP
等腰三角形有 2 个，分别是
△AOB, △APB
（3）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
A
（4）如果PA=4cm，PD=2cm， 试求半径OA的长。 E
下面进一步探讨，先请一些同学做小实验：
（1）请同学们观察当圆变化时，切线长 PA、 PB之间的关系，同时观察 ∠1，∠2的关系。
（2）请根据你的观察尝试总结它们之间的关系。 A
O
1
2
p
B
A
O
你能不能用所 学的几何知识 证明刚才的实验？ p
B 已知： 如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为⊙
O的切线，A、B为切点，连结PO
练习
一判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（
）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 （ ）
二填空选择
（1）如图：PA，PB切圆于A，B两点， ∠APB＝50度，连结PO， A 则∠APO= 25° O
P B
（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= A cm,AC= AB=
E
D
C
则 ∠ BOC = ______ 。
例 2 ：如图 ，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，
已知 AC = 4 ，BC = 3 ，
求 ⊙O 的半径。
A
E
O
C
F
B
传统意义上的红包也叫压岁钱，是过农历春节时长辈给小孩儿用红纸包裹的钱。据传明清时，压岁钱大多数是用红绳串着赐给孩子。民国以后， 则演变为用红纸包 qq红包群 / qq红包群 dvh17eyc 现在泛指包着钱的红 纸包；用于喜庆时馈赠礼金。也指奖金、贿赂他人的钱。在中国粤语区红包被称为利市（俗作利是、利事、励事），是将金钱放置红色封套内 做成的一种礼品。 全没有。更可惜南宫大爷虽自称大爷，腰包里却没有几个大子儿。于是明柯笑咪咪抱起这坛昂贵的云子，就好像全城最帅的蛐蛐已经抱在了自 己手里：“我真等不及叫你姐夫了。”措词不是不粗俗，但在大喜的心情里，唐静轩忍了。太守夫人跟福珞，几乎是同一天到苏家的。宝音却 恰好在这一天，跟丫头乐韵一起开始上吐下泻，被疑为传染病疾，不得不搬离老太太的院子。明柯说得对，宝音真是个麻烦人。她这病，病得 真不巧。老太太好不容易对她产生的欣赏、怜惜、重视，一下子又全都要打消了。宝音自己却一副不识相的样子，哭着向老太太求情，不敢回 自己原来的院子。她倒没指责明蕙，大约知道没有证据的话，指责也没有用，只好另找个理由，说她不敢回花卉有灵异的院子。老太太头也要 炸了！真想不睬她。“不妥当哪，奶奶，”明秀轻言慢语，“笙妹妹病成这样，恕孙女儿说句不吉利的话，还逆着她、吓着她，怕要出岔子的。 她若有个万一，外头传说，是被花妖克的，咱们家的名声置于何地？”苏府出个花妖，还克死人„„是够难听的。说不定连宫里的明诗都会受 牵累。老太太道：“依你，该当如何？”明秀道：“请笙妹妹到我屋里休养罢？她应该乐意的。”老太太大摇其头：“珞儿住你那里了，再搬 个病人进去，成何样子？”这是明摆着的。明秀便道：“那末„„”“你母亲那儿，录事夫人去住了，”老太太又道，“总不能又叫珞儿挤过 去，不如陪你，也有个照应。”明秀脸通红。太守的长子，作了本城录事，录事夫人就是唐静轩的母亲，这次来作客，明摆着是过来看看准媳 妇儿的。她早就见过明秀，对明秀印象还是不错的，但还是要再看看，婚约有谱之后，明秀的表现是否仍然稳重可靠？明秀通过她的考验几无 悬念。录事夫人将把很多精力放在大太太身上，看苏府整体表现是否跟明秀本人一样好，各方面的嫁妆是否能让太守家满意。这里的嫁妆，取 广意，不止指金银珠宝，还指官场、农庄、甚至商事等安排。苏家好歹是锦城数得着的大家，太守有很多方面，指望着苏家，当然，太守方面 的聘礼，也将作出很有诚意的表示。录事夫人代表了太守家前来，大太太代表唐家接洽，在非常大家风范的仪态下，展望两家前景，像商人谈 合作条件一样的谈，大约要用上好几天的时间，达到初步合意，然后太守家就可以正式来向苏家提亲了。这样，录事夫人住到了大太太那边。 挨下来，福珞跟明秀同住同起，是很自然的事。准儿媳跟准婆婆晨夕碰面，身边是该有个外姓同龄女伴作陪，以免尴尬。明秀红着脸低着头， 不再评价客人的住宿，老太太却谈起福珞来：“珞儿这孩子，我记得比你小两岁。”“虚龄是小两岁。”明秀回道，“我比珞表妹大上二十个 月。”“她也没
观察右图：
如果直线AT 是 ⊙O 的切线， A 为切点，那么 AT和半径OA是 不 是一定垂直？ O
T AM T
思考：切线 长和切线的 区别和联系？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间的线段的长。
B P O C
小结：切线是直线，不可以度量；切 线长是指切线上的一条线段的长，可 以度量。
F
B
2 D
E
4 C
7
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA， PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为 （ ） A A 16cm B 14cm A C12cm D C B E P D 8cm
A 三、综合练习 已知：如图PA、PB是⊙ O的两条切E 线，A、B为切点。直线OP交⊙ O 于D、E，交AB于C。 （1）图中互相垂直的关系有 3 对， 分别是 OA PA, OB PB, OP AB O C B