【数学】2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)

练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s ); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s ). 2 1
例 物 体 作 自 由 落 体 运 动，
s 1 2 gt 2
运 动 方 程 为 ：
s 1 v 2 g gt t 2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2) s(2+t)
v 2.05 g 20.09( m / s )
(2) 将 t=0.01代入上式，得
s
v 2.005 g 19.65( m / s ) ( 3) 当 t 0, 2 t 2
通常我们把自变量的变 x2 x1称作自变量的改变量记作x,函数 化 , 值的变化f ( x2 ) f ( x1 ), 称作函数值的改变量记作y.这样,函数的平 , 均变化率就可以表示为 函数值的改变量与自变 量的改变量之比即 : , y f ( x2 ) f ( x1 ) . x x2 x1 我们用它来刻画函数值 在区间 x1 , x2 ]上变化的快慢 [ .
x
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
x2-x1 =△x
0
3. 平均变化率的几何意义：
( 曲线 y f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、 x2 , f ( x2 )) 连线的斜率.
显然,物体在后一段时间比前一段时间 运动得快.
问题2 某病人吃完退烧药,他的体温变化如图所示:
39 38 37 36 10 20 30 40 50 60 70
x / min
y /(c)
比较时间x从0 min到20 min 和从20 min到30 min 体温的变化情况 , 哪段时间体温变化较快 如何刻画体温变化的快 ? ? 慢
回顾小结:
1.理解什么是平均速度，什么是瞬时速度，它们之 间有什么关系.
2. 平均变化率的定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1) =△y
这里出现了负号它表示体温下降了显然, 绝对值越大下降得 , , 越快, 这里, 体温从20 min到30 min 这段时间下降得比 min到 0 20 min 这段时间要快 .
归纳 在第一个问题中我们用一段时间内物体 , 的平均速度刻画了物
体运动的快慢 当时间从t0变为t1时, 物体所走的路程从s (t0 )变 , 为s (t1 ), 这段时间内物体的平均 速度是 : s(t1 ) s(t0 ) 平均速度 . t1 t0
当时间x从0 min到20min时, 分析 由上图可看出:体温y从39c变为38.5c, 下降了0.5c;
当时间x从20min到30min时, 体温y从38.5c变为38c, 下降了 .5c; 0
两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
故可知: 对于一般函数 f ( x), 在自变量x从x0变到x1的 y 过程中, 若设x x1 x0 , 则函数的平均变化率是 : y f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) . x x1 x0 x 而当x趋于0时, 平均变化率就趋于函数 x0点的瞬时变 在 化率, 瞬时变化率刻画的是函 数在一点处变化的快慢 .
在第二个问题中我们用一段时间内体温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢 当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是 : y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
抽象概括
对一般的函数 f ( x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f ( x1 ) y 变为f ( x2 ),它的平均变化率为 : f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
t/s s/m 0 0 2 6 5 9 10 20 13 32 15 44 … …
物体在0～ 2s和10 13s这两段时间内哪一段时间运动得快 ～ , ? 如何刻画物体运动的快 ? 慢
分析 我们通常用平均速度来比较运动的快慢. 60
在0～ 2 s这段时间内 物体的平均速度为 , 3(m / s ); 20 32 20 在10 13s这段时间内 物体的平均速度为 ～ , 4(m / s ). 13 10
•我们也可以比较在这两 段时间中 单位时间内体温的平均 , 变化量,
于是当时间x从0 min 变到20 min时, 体温y相对于自变量 的平均变 x 38.5 39 0.5 化率为: 0.025(c / min). 20 0 20
当时间x从20 min 变到30 min时, 体温y相对于自变量 的平均变 x 38 38.5 0.5 化率为: 0.05(c / min). 30 20 10
如图设该物体在时刻t0 的位置是 ｓ (t0)＝OA0 ，在时刻t0 +t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s( t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
平均速度 v 的趋近于: 19.6(m / s ) 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
s
抽象概括 在前面的问题中,我们通过减小自变量的改变量 用平均变化率“逼近”瞬时变化率.
2． 瞬时速度 经调查发现其中一辆汽车在10h内行驶了150km.
这段时间内汽车的平均速度为
问题
经过的路程 s 150 v 54( km / h) 所有的时间 t 10
平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度，为了了 解汽车的性能，还需要知道汽车在某一时刻的速度— —瞬时速度．
已知物体作变速直线运动，其运动方 程为 s＝s(t)(ｓ表示位移，t 表示时间)，求物 体在 t0时刻的速度．

s ( t 0 t ) s ( t 0 ) s v t 0 t t 0 t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是 物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度
第二章 变化率与导数
§2.1 变化的快慢与变化率
问题提出
世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
问题1
物体从某一时刻开始运 , 设s表示此物体经过时间走过 动 t 的路程, 显然s是时间t的函数, 表示为s s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据如下表 : ,