C12-动量定理

2
解得
FOx ml (a sin + w 2 cos )
A
FOy mg ml (a cos w2 sin )
例4 质量为M 的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小 三角块，其质量为m。已知大、小三角块的水平边长各为a与b。试求小三 角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。 解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。
p p1 + p2 p AB + p A + pB + pOC v 2(m1 + m2 )vC + m1 C 2 1 (5m1 + 4m2 )vC 2 因为 vC lw
得
y B
p2
p1
C
C*
O
wt
A
C1
x
1 p (5m1 + 4m2 )lw 2
例3 质量为 m 长为 2l 的均质杆OA绕水平固定轴O在 铅垂面内转动，如图。已知在图示位置杆的角速度为 w ，角加速度为a 。试求此时杆在O轴的约束反力。
O

解：用质心运动定理。
以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。
wa
2
aCx a sin a cos la sin lw cos
4、质心运动守恒定理
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零， 则质心作匀速直线运动；若系统开始静止， 则质心位置始终保持不变。 如果作用于质点系的所有外力在某轴上 的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该 轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等 于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。 以上结论，称为质心运动守恒定理。
t C n C
A
t n aCy aC cos + aC sin la cos + lw2 sin
ml (a sin + w 2 cos ) FOx
FOy F Ox x O
n aC C t aC mg
y
ml (a cos w sin ) FOy mg
由于SFx(e)＝0 ，且初始系统静止，所以
y
xC1 xC 2
M 1b+m 2 a 3 3 xC1 M +m
设大三角块的位移为s ，则
a
mg
Mg
x
b
FN
y
xC 2
M ( b s) + m a + (b a) s M +m
1 3 2 3
解得
m (b a ) s M +m
2
Fx
MO
Fy
Fx m2w 2 e cos wt Fy m2w 2 e sin wt + (m1 + m2 ) g
（3）以系统为研究对象，受力如图。 由于SFx(e)＝0 ，所以
y
O1
O2 e q
xC1 xC 2
m2 g
在图示坐标下，设初始时xC1＝a，当转子转 过q，定子向右移动距离s，则
W3
W2
N1
v0
W1 + W2 + W3 W1 + W2 v0 v g g
代入已知数据，解得v＝3 m/s 再以小车为研究对象，由动量定理有
W1
x
N2
px p0 x Ft
W1 W v 1 v0 Ft g g
代入已知数据，解得 F＝0.5 kN
N F
•常力的冲量 I Ft
•变力的冲量－元冲量 d I F dt 而力 F 在作用时间 t 内的冲量是矢量积分 t I F dt
0
三、质点的动量定理
dv d ma m (mv ) F dt dt 微分形式 d(mv ) F d t d I
s
x
例2、椭圆规机构的规尺AB的质量为 2m1，曲柄OC的质量为m1，滑块A和 B的的质量均为m2 。已知OC＝AC＝ CB＝l。曲柄和规尺均为均质细直杆。 曲柄以角速度 w转动。求机构的动量。 解1：由质点系动量公式有 p 2m1vC + m1vC1 + m2v A + m2vB
px＝p0x ＝恒量
例2 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动 0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。
解：研究系统，建立坐标系。
Fx(e) 0 px c
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
m2 vB 2m1vC B C m1vC1 C
O
y
C*
px cos( p, i ) cos sin wt p
wt
1
m2 v A A
x
解2：
p1 pAB + pA + pB 2(m1 + m2 )vC p2 pOC m1vC1
解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件 反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力 N*表示。 锤自由下落时间
y
G
h
2h t g
0 0 G(t + ) + N *
mv2 y mv y I y 1
*
* N
1 2h N G( + 1) G( + 1) g
1 2 1.5 N 3000 9.8( + 1) 1656kN 0.01 9.8
*
t
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量 G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
§12-3 质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的 动量为mivi ，作用在该质点上的外力与内力的合力 (i) (e) 为Fi 与 i ，由质点的动量定理有 F (e) (i) d (mi vi ) Fi + Fi (i 1, 2, , n) dt 将n个方程相加，即得 (e) (i) d ( mv ) F + F dt 改变求和与求导次序，则得 (e) (i) d ( mv ) F + F dt
第十二章
动量定理
§12-1 动力学普遍定理
用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会 遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运 动规律，而是只需知道质点系整体的运动特征就够了。 动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。 这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和 表现力作用效果的量（冲量、力矩、功）之间的关系。
N1
v
W1
x
N2
§12－4
质心运动定理
1、质心：质点系的质量中心 质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质 量的分布情况有关。 2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
mi xi xC M
mi yi yC M
mi zi zC M
用矢径描述的矢量表示法
mi ri mi ri rC mi M
其中： p mv ；由于内力成对出现，故所有内 (i) 力的矢量和恒等于零，即 F 0。于是可得
质点系动量定理的微分形式 (e) dp d mv F dt dt 质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系 的外力的矢量和（或外力的主矢）。 上式也可以写成 (e) (e) d p F dt d I 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲 量的矢量和。
dv c ac dt
－－质心运动定理
M ac Fi (e )
即：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系 的外力的矢量和。
讨论？？
质点系质心的运动，是否可以看成为一个质点的 运动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点， 作用于质点系的全部外力也都集中于这一点？
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运 动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点， 作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。 同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外 力才能改变质心的运动。
p y 2m1vC coswt + m1vC1 coswt + m2vB lw 2m1lw coswt + m1 coswt + m2 2lw coswt 2 lw (5m1 + 4m2 ) coswt 2
所以机构动量的大小和方向为
p
2 2 px + p y
lw (5m1 + 4m2 ) 2
方向为C点速度的方向。
例3 如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为 m1、m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于制造误差，转子质心O2 到O1 的距离为e，已知转子以匀角速度w 转动。求： (1) 质心运动方程；(2) 基 础对电机总的水平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计， 初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。 解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，q＝w t，即有
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
t mv mv0 F d t I
0
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质 点的力在此段时间内的冲量。
例1 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变 形历时τ＝0.01 s ；求锤对工件的平均压力。
质点系动量定理的积分投影形式
px p0 x I x(e) , py p0 y I y(e) , pz p0 z I z (e)