柯西不等式与排序不等式
排序不等式与柯西不等式
2
n维形式:
推论:
(a a a )(b b b ) (a1b1 a2b2 anbn )
2
(a1 a2 an )(b1 b2 b3 ) ( a1b1 a2b2 anbn )
2
an a1 a2 当且仅当 时等号成立 b1 b2 bn
排序不等式:
设a1≤a2≤a3≤…≤an, b1≤b2≤b3≤…≤bn
c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个 排列,那么 a1bn+a2bn-2+…+anb1 (反序和) ≤a1c1+a2c2+…+ancn (乱序和) ≤a1b1+a2b2+…+anbn (顺序和)
当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时, 数y 2 1 x 2 x 1的最大值为___ 3 .
25 1 2 1 2 4.若a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是______ 2 a b
柯西不等式的应用: (a a )(b b ) (a1b1 a2b2 )
2 1 2 2 2 1 2 2
2
6 3 1.函数y=5 x 1 10 2x 的最大值是___.
9 1 1 2.若a,b>0,则 (a )( 2b ) 的最小值是__. 2 b 2a
3.若实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b, 其中a,b为常数,且a≠b,则mx+ny的最 大值是_____. ab 4.若a2+b2=1,则 acos bsin的最大值 是_____, -1 1 最小值是_____.
3.1 柯西不等式与排序不等式
3.1 柯西不等式与排序不等式重点：柯西不等式与排序不等式的简单应用一.柯西不等式1.柯西不等式的向量形式设有向量α，β ，根据向量数量积的定义，我们有：|||cos |||||||||βαθβαβα⋅=⋅⋅≥⋅.即有： ||||||βαβα⋅≥⋅,等号当且仅当βα ,同向或反向时成立（βα,共线时成立）.因此我们有如下的定理：（柯西不等式的向量形式）定理1.设βα,为平面上的两个向量，则：||||||βαβα ⋅≥⋅，等号当且仅当βα,共线时成立.2.柯西不等式的代数形式（柯西不等式）设有向量),(b a =α ，),(d c =β ，将坐标代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||2222bd ac dc b a +≥+⋅+.即有：22222)()()(bd ac d c b a +≥++. 等号当且仅当（βα,共线时）db c a =时成立.因此，我们有下面的定理：（二维柯西不等式） 定理2. 设d c b a ,,,均为实数，则: 22222)()()(bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当时dbc a =成立.如果向量),,(111c b a =α，),,(222c b a =β，代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||212121222222212121c c b b a a c b a c b a ++≥++⋅++.即有：2222222)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++.等号当且仅当（βα,共线时）212121c cb b a a ==时成立.因此，我们又有下面的定理：（三维柯西不等式）定理3. 设222111,,,,,c b a c b a 均为实数，则：2212121222222212121)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++ 等号当且仅当212121c cb b a a ==时成立.这里定理1称为柯西不等式的向量形式，定理2、定理3则称为二维、三维柯西不等式的代数形式。
柯西不等式与排序不等式
∴ 114 ab bc ac
例2解答
柯西不等式的应用举例: 例 2、已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值.
当且仅当 ad bc 时,等号成立. 还可推出其他形式的不等式:
⑴ 若 a,b,c,d R , 则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d R ,则 (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .
科学家柯 西的简单 介绍P36
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
例：已知 a,b 为实数，证明 (a4 + b4 )(a2 + b2 )(a3 + b3 )2
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
求证： pf ( x1 ) qf ( x2 ) f ( px1 qx2 )
用柯西不等式证明点（x0,y0)到直线Ax+By+c=0的距离公式。
{（x0- x)2 ( y0 y)2（ } A2 B2 )
{ x0 x A ( y0 y)B}2 ( Ax0 By0 c)2
推广：？
定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 R, 那么
(x1 x3 )2 ( y1 y3 )2) (x2 x3 )2 ( y2 y3)2) ≥ (x1 x2)2 ( y1 y2)2
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入 下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求 的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n
柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ== ，则有cos αβαβθ⋅=⋅αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为ac bd +≤ 当且仅当,αβ 共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立.推论1ac bd ≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ） 定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕 定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x y x y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. 简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++ 22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n == 的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式12n a a a n +++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >= 则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.（四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++ ，当且仅当123n a a a a ==== 或123n b b b b ==== 时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++ （1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++ （2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和 同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】 （一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2.已知12,,,n x x x R +∈ ，且121n x x x +++= ，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ， 求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++ 证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++ 222222121121111k kx x x x x x -=-++++++++ 对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5）证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤ 因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,nb b b b n ≥≥≥≥ ，又因为222111123n>>>> ，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++ （乱序）32122223n b b b b n ≥++++ （倒序）111123n≥++++ 原命题成立，此题即为课后练习题5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。
柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式知识要点：1、柯西不等式(1)柯西不等式：设a 1，a 2，…a n 和b 1，b 2…b n 是两组实数，则(a 1b 1+…+a n b n )2≤ (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)等号成立当且仅当存在实数k ，使得对所有的1,2,i n = 有i i a kb =或对所有的1,2,i n = 有i i b ka =.(2)柯西不等式的向量形式：||||||m n m n ≤⋅,其中等号成立当且仅当//m n .(3)柯西不等式的几个推论：①1122||n n a b a b a b +++≤特殊地有：≤1212x x y y +≤②若b k >0(k=1,2,…,n),则2221111()n n n na a a ab b b b ++++≥++ . 特殊地有：若y 1,y 2都是正数，则22212121212()x x x x y y y y ++≥+，等号成立当且仅当1212x x y y =.③|≤ (a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n )④12n x x x n +++≤特殊地：2a b +≤证明：1122a b a b +⋅+⋅=≤≤⑤a 2+b 2+c 2 ≥ ab+bc+ca , (a +b+c)2 ≥3(ab+bc+ca ),证明：ab+bc+ca222a b c =++(a +b+c)2 = a 2+b 2+c + ab+bc+ca ≥ 3(ab+bc+ca ), 2、排序不等式(1)对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及则112211221211n n i i n in n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≥+++≥+++ （同序）（乱序）（反序） 其中12,,,n i i i 是1，2， n 的任意一个排列，当且仅当12n a a a === 或12nb b b === 时式中等号成立.(2) 设120n a a a <≤≤≤ ,12,n b b b <≤≤≤ 0而12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列,则112121121212i i i nn n n bb b b b b b b b nn n a a a a a a a a a -≥≥当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(3)设有n 组非负数,每组n 个数,它们满足: 120k k kn a a a ≤≤≤≤ (1,2,,)k m = ,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n 次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以112111222212m m n n mn I a a a a a a a a a =+++ 为最大.(4) 切比雪不等式：对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及,则112212121211n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n-++++++++++++≥⋅≥证明：由排序不等式有：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n = a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1 a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2 ………………………………………… a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b n +a 2b 1+…+a n b n -1 将以上式子相加得：n (a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ) ≥ a 1(b 1+b 2+…+b n )+ a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+ a n (b 1+b 2+…+b n )∴11221212n n n na b a b a b a a a b b b n n n+++++++++≥⋅同理可证：12121211n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n-+++++++++⋅≥问题举例：柯西不等式1、利用柯西不等式 证明(1) 若a 、b 、c 、d ∈R + , 则(ab+cd ) (ac+bd )≥4abcd ;(2) 若a 、b 、c ∈R +，则(b c a a b c ++)()9a b cb c a++≥(3) 若a 、b 、c ∈R+，且ab+bc+ca =1,则a b c ++≥(4) 12,)n n N >≥∈ 证明(1)∵(ab+cd )(ac+bd )222()4bc a d bc abcd ≥=+≥==a=d 即b=c ,a=d 时成立. (2)=(1+1+1)2=9当且仅当a=b=c 时，等式成立. (3)注意到(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)·(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca )2=1 , ∵(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca )≥1+2=3 ,又由a+b+c ＞0,故a+b+c ≥当且仅当a b c ===时，等式成立. (4)注意到2、 求函数2221()sin cos f x x x =+, 02(,)x π∈最小值. 方法一：（应用均值不等式求解）222222222123x x f x x x x x xcos sin ()()(sin cos )sin cos sin cos =++=++≥ 3+ （以下略）方法一：（应用柯西不等式求解）2221()sin cos f x x x =+221x cos ≥222(13sin cos x x+=++3、已知点P(x, y)在椭圆22123x y +=上运动，求2x +3y 的取值范围. 方法一：（应用三角代换求解）由已知可设,x y αα∴2x+3y =)αααφ++∈[方法二：（应用柯西不等式求解）|2x+3y| =|+|≤=∴2x+3y ∈[4、 已知a +b+c = 1, 求131313+++++c b a 的最大值.方法一（应用均值不等式求解）131313+++++c b a≤= 等号成立当且仅当3a +1=3b +1=3c +1=2,即a=b=c =13方法二（应用柯西不等式求解）131313+++++c b a ≤=5、若a ,b,c,x,y,z 都是实数，且a 2+b 2+c 2=25, x 2+y 2+z 2=36,a x+by+cz=30,求a b cx y z++++的值.解 (a x+by+cz)2≤( a 2+b 2+c 2)( x 2+y 2+z 2) 由已知此不等式等号成立，不妨设a ≠0,则存在实数k ，使得x=k a ,y=kb,z=kc,代入ax +by +cz =30得 k(a 2+b 2+c 2)=30⇔k =65∴a b c x y z ++++=156k =【注】本题主要学习柯西不等式等号成立条件。
第三讲.柯西不等式与排序不等式
三.排序不等式
探 究 如 图3.3 1,设AOB ,
自 点O沿OA边 依 次 取n个 点A1, A2,
B
Bn
, An,沿OB 边 也 依 次 取 点B1 , B2 ,
Bj
, Bn.选 取 某 个 点Ai i 1,2, n与 B2
某 个 点Bj j 1,2, , n连 结,得 到
定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 bi 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
11 4 ab
注意应用公式： (a b)( 1 1 ) 4
ab
练习：
1.已知2x2 3y2 6, 求证x 2 y 11
2.已知a2 b2 1,
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
定理３（二维形式的三角不等式）
设
x1,
y, 1
x
,
22 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例题
例1.已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2x的最大值.
例1 已知 a1, a2 , a3,..., an 都是实数，求证：
1 n
(a1
a2
...
第三讲柯西不等式与排序不等式介绍
第一课时二维形式的柯西不等式（一）教课要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式 .教课重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教课难点：理解几何意义.教课过程：一、复习准备：1.发问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：a bab(a0,b0) 及几种变式. 22. 练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证(a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd ) 2证法：（比较法） ( a2b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2= .= (ad bc)20二、讲解新课：1.教课柯西不等式：①提出定理 1：若 a、 b、c、 d 为实数，则(a2b2 )(c2d2 )(ac bd )2.→ 即二维形式的柯西不等式→ 什么时候取等号？② 议论：二维形式的柯西不等式的其余证明方法？证法二：（综合法） (a2b2 )(c2 d 2 ) a2 c2a2 d 2b2c 2b2 d2( ac bd) 2( ad bc) 2( ac bd) 2.（重点：睁开→配方）证法三：（向量法）设向量（ a,b）,(c, d) ，与之间的夹角为， 0。
依据向量内积的定义，我们有：cos ，因此cos ，cos1，因此，由于因此 a2b2c2 d 2| ac | | bd |证法四：（函数法）设 f ( x)(a2b2 ) x22(ac bd )x c2 d 2，则f ( x)( ax c)2(bx d )2≥0恒建立.∴[ 2(ac bd)] 24(a2b2 )(c 2d2 ) ≤0，即 (a2b2 )(c2 d 2 )( ac bd ) 2③ 议论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：a2b2c2 d 2| ac bd | 或a2b2c2 d 2| ac | | bd |或 a2b2c2 d 2ac bd .④ 提出定理2：设,是两个向量，则 || |||| .即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 议论：什么时候等号建立？（是零向量，或许,共线）⑤练习：已知 a、 b、 c、 d 为实数，求证a2b2c2d2(a c) 2(b d ) 2.证法：（剖析法）平方→ 应用柯西不等式→ 议论：其几何意义？（结构三角形）2. 教课三角不等式：①出示定理 3：设x1, y1,x2, y2R，则x12y12x22y22( x1x2 )2( y1 y2 ) 2.剖析其几何意义→ 如何利用柯西不等式证明→变式：若 x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3R ，则联合以上几何意义，可获得如何的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、稳固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式第二课时二维形式的柯西不等式（二）教课要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，领会运用经典不等式的一般方法——发现详细问题与经典不等式之间的关系，经过适合变形，依照经典不等式获得不等关系.教课重点：利用二维柯西不等式解决问题.教课难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教课过程：一、复习准备：1. 发问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案： (a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd) 2； x12y12x22y22( x1 x2 ) 2( y1 y2 )22.议论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数yx 12 x 的最大值?重点：利用变式| ac bd |a2b2c2 d 2.二、讲解新课：1.教课最大（小）值：①出示例 1：求函数y3x 1102x 的最大值？剖析：如何变形？→ 结构柯西不等式的形式→ 板演→变式： y3x1102 x→推行： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R )②练习：已知 3x 2 y1，求 x2y2的最小值.解答重点：（凑配法） x2y21( x2y2 )(3222 )1(3x2y)21.131313议论：其余方法（数形联合法）2.教课不等式的证明：① 出示例2：若x, y R ， x y 2 ，求证：11 2 .x y剖析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对照→ 结构）重点：111( x y)(11 )1[(x ) 2(y )2 ][(1)2(1)2]x y2x y2x y 议论：其余证法（利用基本不等式）②练习：已知 a 、 b R ，求证： (a b)( 11)4.a b3. 练习：①已知 x, y, a,ba b1 ，则xy的最小值 . R ，且yx重点： x y( a b)(x y).→ 其余证法x y②若 x, y, z R ，且 x y z 1 ，求 x2y2z2的最小值.（重点：利用三维柯西不等式）变式：若 x, y, z R ，且 x y z 1 ，求 x yz 的最大值.4. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、结构等技巧.第三课时一般形式的柯西不等式教课要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教课重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教课难点：理解证明中的函数思想.教课过程：一、复习准备：1.练习：2.发问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案： (a2b2 )(c2 d 2 ) ( ac bd) 2； (a2b2c2 )(d 2e2 f 2 ) (ad be cf ) 2二、讲解新课：1.教课一般形式的柯西不等式：①发问：由平面向量的柯西不等式|| | ||| ，假如获得空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想： n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设 a1 , a2 ,, a n ,b1 ,b2 ,,b n R ，则( a12a22a n2 )(b12b22b n 2 )( a1b1a2 b2a n b n )2议论：什么时候取等号？（当且仅当a1a2a n时取等号，假定b i0 ）b1b2b n联想：设 B a1b1a2 b2a n b n，A a12a22a n2，C b12 b22b n2，则有 B2AC 0，可联想到一些什么？③ 议论：如何结构二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）重点：令（f x）（ a12a22a n2 ) x22(a1b1a2 b2a n b n )x( b12b22b n2 )，则f ( x) (a1 x b1 )2(a2 x b2 ) 2+（ a n x b n ) 20 .又 a12a22a n20 ，进而联合二次函数的图像可知，2(a1 b1a2 b2a n b n )24(a12a22a n 2 )(b12b22b n2) ≤0即有要证明的结论建立. （注意：剖析什么时候等号建立.）2221( a1 a22.（议论如何证明）④ 变式：a1a2a n a n )n2.教课柯西不等式的应用：①出示例 1：已知3x 2 y z 1 ，求 x2y2z2的最小值.剖析：如何变形后结构柯西不等式？→ 板演→ 变式：②练习：若 x, y, z R，且1111，求 x y z的最小值 .x y z232 a >b> c，求证：11.③ 出示例：若b a 4a b c c重点： (a c)(11)[( a b)( b c)](11) (1 1)24a b b c a b b c3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号建立的条件；依据结构特色结构证明.第四课时 3.3 排序不等式教课要求：认识排序不等式的基本形式，会运用排序不等式剖析解决一些简单问题，领会运用经典不等式的一般方法 .教课重点：应用排序不等式证明不等式.教课难点：排序不等式的证明思路.教课过程：一、复习准备：1.发问：前方所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.举例：谈谈两类经典不等式的应用实例.二、讲解新课：1.教课排序不等式：（ 1）引入：若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和 30 min ，每台电脑耽搁 1 min ，网吧就会损失0.05 元。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(排序不等式)
探 究
S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a nc n 乱序和 S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a 3 bn-2 + L + a n b1 反序和 S2 = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3 + L + a n b n 顺序和 之间的大小关系
设 0 < a1 < a 2 < a 3 < L < a n 0 < b1 < b2 < b3 < L < bn
反序排序原理） 定理：（排序不等式，又称排序原理） ：（排序不等式
设a1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ L ≤ a n，b1 ≤ b2 ≤ b ≤ L ≤ bn 为两组实数， L 为两组实数，c1，c2，c3， ，cn 是b1 , b2 , b,L, bn 的任一排列，那么 的任一排列， S1 ≤ S ≤ S2 S = a1c1 + a 2c2 + a 3c3 + L + a ncn 乱序和） （乱序和） S1 = a1bn + a 2 bn-1 + a3 bn-2 + L + a n b1 反序和） （反序和） S2 = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 + L + a n bn 顺序和） （顺序和） 当且仅当a 当且仅当a1 = a 2 = a3 = L = a n 或b1 = b2 = b = L = bn 时，反序和等于顺序和
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
练习
1.设a1 , a2 ,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... an cn a a ... a ,
2 1 2 2 2 n
其中c1 , c2 ,..., cn是a1 , a2 ,..., an的任一排列。
练习
2.已知a, b, c为正数，用排序不等式证明 2(a b c ) a (b c) b (a c) c (a b).
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
(word完整版)高中数学-柯西不等式与排序不等式
3.1 3.2 柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++（当且仅当1212n n a a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+.定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）练习：已知a 、b 、c 、d证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式：① 定理：设1122,,,x y x y R ∈≥变式：若112233,,,,,x y x y x yR ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=.讨论：其它方法 （数形结合法）练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥.例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值.变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=----例3已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式()23131312222222222a b ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2333a b c a b c =++++ ()1a b c ++= 又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++()()()22223332223ab ca b c a b c ++≤++•++故2223333a b c a b c ++++≥例4 设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，≤证明：由柯西不等式得，=111cz a b c≤++记S 为ABC 的面积，则2242abc abcax by cz S R R++===≤=≤故不等式成立。
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。
排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。
二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。
背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。
当且仅当ad=bc时，等号成立。
排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。
二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。
其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。
CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。
柯西不等式与排序不等式
柯西不等式与排序不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维形式的柯西不等式)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad ＝bc时，等号成立．(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．(3)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(4)定理3(二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）22．柯西不等式的一般形式设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当且仅当b i＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1，2，…，n)时，等号成立．3．排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n为b1，b2，…，b n的任一排列，则有：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187. 设a1，a 2，b 1，b 2为实数，求证：a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2. 证明：(a 21＋a 22＋b 21＋b 22)2＝a 21＋a 22＋2a 21＋a 22b 21＋b 22＋b 21＋b 22≥a 21＋a 22＋2|a 1b 1＋a 2b 2|＋b 21＋b 22 ≥a 21＋a 22－2(a 1b 1＋a 2b 2)＋b 21＋b 22 ＝(a 21－2a 1b 1＋b 21)＋(a 22－2a 2b 2＋b 22)＝(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2， 所以a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥（a 1－b 1）2＋（a 2－b 2）2.已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围． 解：由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤[12＋(－1)2＋12](a 2＋b 2＋c 2)＝3. 若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，则|x －1|＋|x ＋1|≥3.即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b ≥9a ＋b .证明：因为a >0，b >0， 所以由柯西不等式，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·4b 2＝9，当且仅当a ＝12b 时取等号，所以1a ＋4b ≥9a ＋b.柯西不等式的证明[典例引领]若a ，b ，c ，d 都是实数，求证：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．【证明】 因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2 ＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－a 2c 2－b 2d 2－2acbd ＝a 2d 2＋b 2c 2－2adbc ＝(ad －bc )2≥0， 当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．即(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．设α，β是两个向量，求证|α·β|≤|α||β|，当且仅当β为零向量或存在实数k，使α＝kβ时等号成立．证明：如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量α＝(a，b)，β＝(c，d)，α与β之间的夹角为θ，0≤θ≤π.根据向量数量积(内积)的定义，有α·β＝|α||β|cos θ，所以|α·β|＝|α||β||cos θ|.因为|cos θ|≤1，所以|α·β|≤|α||β|.如果向量α和β中有零向量，则ad－bc＝0，不等式取等号．如果向量α和β都不是零向量，则当且仅当|cos θ|＝1，即向量α和β共线时，不等式取等号．柯西不等式的证明可利用已学过的比较法，也可利用向量法，柯西三角不等式还可利用几何法证明．如下：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)． 由|CA |＋|CB |≥|BA |与两点间的距离公式得（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.当且仅当点C 位于线段BA 上时取等号．若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.证明：因1a ＋12b ＋13c ＝1， 又a ，b ，c ∈R ＋，故由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.利用柯西不等式求最值[典例引领]已知正实数u ，v ，w 满足u 2＋v 2＋w 2＝8，求u49＋v 416＋w 425的最小值．【解】 因为u 2＋v 2＋w 2＝8.所以82＝(u 2＋v 2＋w 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 23·3＋v 24·4＋w 25·52≤⎝ ⎛⎭⎪⎫u 49＋v 416＋w 425(9＋16＋25)， 所以u 49＋v 416＋w 425≥6450＝3225.当且仅当u 23÷3＝v 24÷4＝w 25÷5，即u ＝65，v ＝85，w ＝2时取到“＝”，所以当u ＝65，v ＝85，w ＝2时u 49＋v 416＋w 425的最小值为3225.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．[通关练习]1．设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解：考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )， 根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2，得[2x ＋(－1)y ＋(－2)z ]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)， 即(2x －y －2z )2≤9(x 2＋y 2＋z 2)，将2x －y －2z ＝6代入其中，得36≤9(x 2＋y 2＋z 2)， 即x 2＋y 2＋z 2≥4， 故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.2．设x ，y ，z ∈R ，x ＋y ＋z ＝25，试求x －2y ＋2z 的最大值与最小值．解：根据柯西不等式，有(1·x －2·y ＋2·z )2≤[12＋(－2)2＋22](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y ＋2z )2≤9×25， 所以－15≤x －2y ＋2z ≤15，故x －2y ＋2z 的最大值为15，最小值为－15.函数与柯西不等式的综合问题[典例引领](优质试题·贵州省适应性考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －5|，g (x )＝1＋x 2.(1)求f (x )的最小值；(2)记f (x )的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2＋b 2＝6，求证：g (a )＋g (b )≤m .【解】 (1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －5|， 所以f (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6（x ≥5）4（1<x <5），6－2x （x ≤1）所以f (x )min ＝4.(2)证明：由(1)知m ＝4.由柯西不等式得 [1×g (a )＋1×g (b )]2≤(12＋12)[g 2(a )＋g 2(b )]， 即[g (a )＋g (b )]2≤2(a 2＋b 2＋2)，所以g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝3时取等号)．即g(a)＋g(b)≤m.求解函数与柯西不等式综合问题的步骤(1)利用求函数最值的方法求出其最值M(或m)．(2)根据M(或m)构造的条件，将要求的不等式转化成柯西不等式的特点，利用柯西不等式求其解．(优质试题·湖南省湘中名校高三联考)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋3bt的最大值．解：(1)由|x＋a|<b，可得－b－a<x<b－a，所以－b－a＝2且b－a＝4.解得a＝－3，b＝1.(2)利用柯西不等式，可得－3t＋12＋3t＝3(4－t＋t)≤3（1＋1）（4－t＋t）＝64－t＋t＝26，当且仅当t＝4－t，即t＝2时等号成立．利用柯西不等式解决问题的关键是构造柯西不等式的结构形式．二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2反映4个实数之间的特定关系．利用其求最值时，注意构造常量a ＋b 2(或c 2＋d 2)．用柯西不等式求最值或证明不等式时，注意等号成立的条件．1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.证明：因为(12＋12)[⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2]≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝ ⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值．解：因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18. 所以2a ＋2b ＋2c ≥2.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 所以2a ＋2b ＋2c 的最小值为2.3．已知x ，y ，z 均为实数．若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号． 4．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.解：(1)当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3，6)； 当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)． 综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3， 因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＋(a ＋b ＋c )。
柯西不等式与排序不等式新人教选修4
补充例题: 补充例题
[
x) +(
2
y)
2
]
a x
+
2
b y
2
≥( a + 当且仅当 x
b )2 b = y y b )2 a x ,即 = x y a 时取等号 . b
∴ ( x + y ) min = ( a +
变式引申: 变式引申
若 2 x + 3 y = 1, 求 4 x 2 + 9 y 2的最小值 , 并求最小值点 .
(
)(
)
量, 则当且仅当 | cos θ |= , 即向量α 和β 共线时, 以上不等式取等号.这时存在非零实数k , 使
α = kβ .即 (a, b ) = k (c, d ).故ad bc = kcd kcd = .
,不等式② 与不等式① 有相 从上面的分析可知 ② 同的意义, 所以我们把不等式 叫做柯西不等 . 式①的向量形式 , 综上所述 得
用平面(二维 )向量的坐标表示不等式② , 得
所以 | α β |≤| α || β | . ②
| ac + bd |≤ a + b
c + d .两边平方,
① 式与
二维向 得 (ac + bd ) ≤ a + b c + d . ① 量相对 , 这是二维形式的柯西不等式.由此可知 , 应 所以 二 维 形 式的柯西不等式① 是向量形式 称之为 的不等式② 的坐标表示.如果向量α 和 二维形 β 中有零向量, 则 ad bc = , 以上不等 式的柯 式取等号 .如果向量α 和β 都不是零向 西不等 . 式
根据二维形式的柯西不等式, 容易得出
柯西不等式和排序不等式
柯西不等式设1a ，2a …n a 及1b ，2b …n b 为任意实数，则有不等式222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立，其中当且仅当1b =2b …=n b =0或i i a kb =（1,2,,i n = ）等号成立。
这就是著名的柯西（Cauchy ）不等式。
柯西不等式的证明利用二次函数证明柯西不等式 构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122nnn n n na a a x ab a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥ 且()0f x ≥恒成立()()()2222211221212440nnn n nn a b a b a b a a a bb b ∴∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nnn n nna b a b a b a a a bb b +++≤++++++其中当且仅当()01,2i i a b k i n -== 即 1212=n na a a kb b b ===时等号成立。
利用不等式的基本性质证明柯西不等式根据高中所学习的基本不等式，实数0,0a b a b a b a b <⇔-<->⇔>所以，要证明 222111nn n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，只需证 22210n n n i i i i i i i i a b a b ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑证明： 2221n n n i i i i i i i ia b a b ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =221111n n n ni j i i j j i j i j a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ =221111nnnniji ijji j i j ab a b ab ====-∑∑∑∑=2222111111122n n n nnni ji i j j j i i j i j i j a b a b a b a b ======⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑=()222211122nnij i i j j j ii j a b a b a b a b ==-+∑∑=()21112n nijj i i j a ba b ==-≥∑∑故 222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 当且仅当0i j j i a b a b -=(1,2,,)i j n = 、i ia kb ⇔=(k 为常数，1,2,,i n = )时，上式等号成立。