柯西不等式的应用(整理篇)
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柯西不等式的证明及相关应用
摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优美,结构巧妙,也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词:柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西(Cauchy )不等式:
()2
2211n n b a b a b a +++Λ()()2
222122221n
n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i
i
Λ2,1,,=∈
等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立(k 为常数,n i Λ2,1=) 现将它的证明介绍如下: 方法1 证明:构造二次函数
()()()2
2
222
11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ
=()()()
2
222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ
由构造知 ()0≥x f 恒成立
又22120n
n a a a +++≥Q L
()()()
0442
2221222212
2211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ
即()()()
22221222212
2211n
n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12
12n n
a a a
b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法
(1) 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2
11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 (
)()()()2
2
22
22222212
1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++
()()()2
22
1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立
(2)假设n k =(),2k k ∈N ≥时,不等式成立
即 ()()()
22
221222212
2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
当 i i ma b =,m 为常数,k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立
设A=22221k a a a +++Λ B=2
2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L
2
C AB ≥∴
则()()
2
12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A
()2
222
1111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+
()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++L L ()2
112211k k k k a b
a b a b a b ++≥++++L 当 i i ma b =,m 为常数,12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合(1)(2)可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式,学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等,能进一步开阔学生的数学视野,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,常通过适当配凑,直接套用柯西不等式解题,常见的有两大类型:
1、证明相关数学命题
(1)证明不等式
例1 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明:利用柯西不等式
()
23131312
2
22222222a
b c
a a
b b
c c ⎛⎫
++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(
)()2
333
a b c
a b c =++++ ()1a b c ++=Q
又因为 2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2,再加上2
2
2
a b c ++得:
()
()2
222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab Θ
()(
)()()()
2223332
3332222
c b a 3c b a c b a c b a c b a
++⋅++≤++++≤++
故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
(2)三角形的相关问题
例2 设p 是ABC V 的一点,,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离,R 是ABC V 外接圆的半径,