柯西不等式的证明及其应用

柯西不等式的证明及其应用

赵增林

（青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并

给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用

柯西不等式

定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则

2222222

11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*）

当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是

12

12n n

a a a

b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明：

一）两个实数的柯西不等式的证明：

对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222112212

12()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是

12

12

a a

b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有

2222

22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故22222

112212

12()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。

不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有

异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式

得：|OP |2212a a =+，|OQ |22

12b b =+

|PQ

|=设OP 与OQ 的夹角为θ，

由余弦定理得222||||||cos 2||||OP OQ PQ OP OQ θ+-

==

因为1cos 1θ-≤≤，所以2

cos 1θ≤

21≤，

即22222112212

12()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当2cos 1θ=时等号成立， 即OPQ 共线时等号成立。这时有

12

12

a a

b b =，即12210a b a b -=。 二）柯西不等式的证明：

常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：

作差：因为2221

1

1

()()()n

n

n

i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑

221

1

1

1

()()()()n n n n

i

j

i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑

2211

11

n n n n

i j

i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑

2222

111111

1(2)2n n n n n n

i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑

222211

1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑

211

1()02n n

i j j i i j a b a b ===-≥∑∑

所以222

1

1

1

()()()n n n i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221

1

1

()()()n n n

i

j

i i i j i a b a b ===≥∑∑∑

即2222222112212

12()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==……

即

(1,2,,;1,2,,;0)j

i j i j

a a i n j n

b b b ===≠…………时等号成立。 2）利用恒等式证明：

先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式： 对于二组实数

1212,,,;,,,n n a a a b b b …………有柯西—拉格朗日恒等式

222222

212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++-+++………………

2221221133111()()()n n a b a b a b a b a b a b =-+-++-+… 22223322211()()()n n n n n n a b a b a b a b a b a b ---++-++-……

由实数性质20()R αα≥∈可得柯西不等式成立。 3）利用判别式证明（构造二次函数法） i)若120n a a a ====……，则不等式显然成立。

ii)若12n a a a ，，……，至少有一个不为0，则222

12n a a a +++……>0

对于任意的实数x ，总有2()0i i a x b -≥(1,2,,)i n =……, 22220i i i i a x a b x b ++≥。 当1,2,,i n =……时，将以上n 个式子相加，有

2222222

12112212()2()()0n n n n a a a x a b a b a b x b b b +++-+++++++≥……………… 当222

12

0n a a a +++>……时，上面的不等式对于所有的x 均成立。 故有判别式

2222222

112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤……………… 即2222222

112212

12()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………。 当

1212n n a a a b b b ===……时，因为11221222121

n n n a b a b a b a

b b b b ====……。 故

11221222121n n n a b a b a b a b b b b +++=+++…………。同理可得11221

222

121

n n n a b a b a b b a a a a +++=+++…………。 两式相乘，得

2222222

11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++=++++++………………

即不等式的等号成立。 不等式的等号成立，即