第14讲逆z变换
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Z反变换
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
6. 翻褶序列
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x(n)] X (1) ; 1 z 1
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
反Z变换
A = Re s[ X (z) ] P 4 0 表2 - 1 k z=zk z 1 d r−k r x(z) Ck = r−k [(z − zi ) (r − k)! dz z z=z , k=1,2⋯r i
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
信号与系统 §6.3 逆z变换
z (z a)3
2z (z a)3
▲
■
第9页
例：已知象函数 F(z) z3 z 2 ，z>1 的原函数。
(z 1)3
解: F(z) z 2 z K11 K12 K13
z (z 1)3 (z 1)3 (z 1)2 z 1
K11 (z 1)3
F(z) z
z1 2
K12
d dz
( z
，|z| > ，|z| <
可见，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z 的幂级数。其系数就是相应的序列值。
例：已知象函数
z2
z2
F(z)
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
1) 3
F(z) z
z 1
3
K13
1 2
d2 d z2
(z
1) 3
F(z) z
z 1
1
F(z) 2z 3z z (z 1)3 (z 1)2 z 1
f(k)=[k(k-1)+3k+1](k)
▲
■
第 10 页
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k) 若z< , f(k)= –2K1kcos(k+)(– k – 1)
▲
■
第8页
(3) F(z)有重极点
F(z)展开式中含
(z
z a)r
项(r>1)，则逆变换为
若z> ,对应原序列为 k(k 1).....(k r 2) ak r1 (k)
逆z变换.
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
ch14双边z变换与反变换
公式表示
若信号序列为x(n)，其双边z变换为X(z) = ∑_{n=-infty}^{+infty} x(n)z^{-n}。
双边z变换的性质
线性性质
若x1(n)和x2(n)的z变换分别为 X1(z)和X2(z)，则对于任意常数a 和b，有aX1(z) + bX2(z)的z变换 等于a*X1(z) + b*X2(z)。
分类
收敛域可分为两类，一类是绝对收敛 域，另一类是条件收敛域。
条件收敛域
在条件收敛域内，只有在满足特定条 件下，双边z变换才存在且收敛。
02 双边z反变换的定义与性 质
双边z反变换的定义
01
定义
双边z反变换是通过对双边z变换 的逆过程，将z域的函数转换为 时域的函数。
02
03
公式
意义
双边z反变换的公式为 (x(n) = frac{1}{2pi j}int_{C_0} X(z) z^{n}dz)
时移性质
若x(n)的z变换为X(z)，则x(n-d) 的z变换为X(z*z^d)。
频移性质
若x(n)的z变换为X(z)，则x[n*a] 的z变换为X(z/a^2)。
双边z变换的收敛域
收敛域
双边z变换的收敛域是指能使双边z变换 存在的z值范围，通常由极点、留数和
奇点决定。
绝对收敛域
在绝对收敛域内，无论z取何值，双 边z变换都存在且收敛。
在实现控制算法时，双边z变换可以用于离散化连续时间 系统，将连续时间系统转化为离散时间系统进行计算和控 制。
在信号处理中的应用
01
信号滤波和处理
双边z变换可以用于信号滤波和处理，通过设计滤波器函数并进行双边z
变换，可以实现信号的降噪、增强和特征提取等处理。
若信号序列为x(n)，其双边z变换为X(z) = ∑_{n=-infty}^{+infty} x(n)z^{-n}。
双边z变换的性质
线性性质
若x1(n)和x2(n)的z变换分别为 X1(z)和X2(z)，则对于任意常数a 和b，有aX1(z) + bX2(z)的z变换 等于a*X1(z) + b*X2(z)。
分类
收敛域可分为两类，一类是绝对收敛 域，另一类是条件收敛域。
条件收敛域
在条件收敛域内，只有在满足特定条 件下，双边z变换才存在且收敛。
02 双边z反变换的定义与性 质
双边z反变换的定义
01
定义
双边z反变换是通过对双边z变换 的逆过程，将z域的函数转换为 时域的函数。
02
03
公式
意义
双边z反变换的公式为 (x(n) = frac{1}{2pi j}int_{C_0} X(z) z^{n}dz)
时移性质
若x(n)的z变换为X(z)，则x(n-d) 的z变换为X(z*z^d)。
频移性质
若x(n)的z变换为X(z)，则x[n*a] 的z变换为X(z/a^2)。
双边z变换的收敛域
收敛域
双边z变换的收敛域是指能使双边z变换 存在的z值范围，通常由极点、留数和
奇点决定。
绝对收敛域
在绝对收敛域内，无论z取何值，双 边z变换都存在且收敛。
在实现控制算法时，双边z变换可以用于离散化连续时间 系统，将连续时间系统转化为离散时间系统进行计算和控 制。
在信号处理中的应用
01
信号滤波和处理
双边z变换可以用于信号滤波和处理，通过设计滤波器函数并进行双边z
变换，可以实现信号的降噪、增强和特征提取等处理。
序列Z变换与反变换
ROC也可能包含0或∞点
几种不同序列z变换的ROC
(2) 右边序列
X (z) x(n)zn
nn1
若n1 0 : z R
若n1 < 0 : R < z <
R
x-
Im z ROC
Re z
因果序列的ROC包含∞点
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
n2
X (z)
x(n)zn
n
若n2 0 : z < R
Xk (z)
x(n) Z 1[X1(z)] Z 1[X2(z)] Z 1[Xk (z)]
部分分式展开法计算过程
M
X
(z)
B(z) A( z )
bi zi
i0 N
1 ai zi
i1
M N n0
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
解：
X1(z)
n0
an zn
1
1 az1
za
1
X2(z)
n
anzn
1 1 az1
z<a
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
几种不同序列z变换的ROC
(1) 有限长序列
n2
X (z) x(n)zn
nn1
(1) n1<0, n2 >0时，ROC： 0 < z < (2) n1<0, n2 0时，ROC： 0 z < (3) n1 0, n2 >0时，ROC： 0 < z
几种不同序列z变换的ROC
(2) 右边序列
X (z) x(n)zn
nn1
若n1 0 : z R
若n1 < 0 : R < z <
R
x-
Im z ROC
Re z
因果序列的ROC包含∞点
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
n2
X (z)
x(n)zn
n
若n2 0 : z < R
Xk (z)
x(n) Z 1[X1(z)] Z 1[X2(z)] Z 1[Xk (z)]
部分分式展开法计算过程
M
X
(z)
B(z) A( z )
bi zi
i0 N
1 ai zi
i1
M N n0
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
解：
X1(z)
n0
an zn
1
1 az1
za
1
X2(z)
n
anzn
1 1 az1
z<a
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
几种不同序列z变换的ROC
(1) 有限长序列
n2
X (z) x(n)zn
nn1
(1) n1<0, n2 >0时，ROC： 0 < z < (2) n1<0, n2 0时，ROC： 0 z < (3) n1 0, n2 >0时，ROC： 0 < z
8.04 逆z变换
§8.4 逆z变换
• 部分分式展开法
• 幂级数展开法
• 围线积分法——留数法
逆z变换的定义
设序列 x n 的 z 变换为 X z Z x n , 则 X z 的逆变 换为
x n Z
1
X z
1
2 j C
X z z n 1 d z
其中C 是位于收敛域内以原点 为中心的圆. 计算逆 z 变换的方法: 一 . 围线积分法 留数法 . 二 . 幂级数展开法 长除法 . 三 . 部分分式展开法 公式法 .
这里有一个二阶极点z1 1 , 一个一阶极点z 2 0
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
（重点）
一．围线积分法
x n Z
1
X z
1
Res Xz z n1 在 C 内的极点
m
2 j C
X z z n 1 d z
围线积分法是基本的计 算逆 z 变换的方法 , 主要应用于 非有理分式的 z . X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
幂级数展开法比较简单 可应用于有理分式的X z , 但一 , 般只能得到 x n 的有限项 , 且不容易得到 x n 的闭式 .
三．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
• 部分分式展开法
• 幂级数展开法
• 围线积分法——留数法
逆z变换的定义
设序列 x n 的 z 变换为 X z Z x n , 则 X z 的逆变 换为
x n Z
1
X z
1
2 j C
X z z n 1 d z
其中C 是位于收敛域内以原点 为中心的圆. 计算逆 z 变换的方法: 一 . 围线积分法 留数法 . 二 . 幂级数展开法 长除法 . 三 . 部分分式展开法 公式法 .
这里有一个二阶极点z1 1 , 一个一阶极点z 2 0
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
（重点）
一．围线积分法
x n Z
1
X z
1
Res Xz z n1 在 C 内的极点
m
2 j C
X z z n 1 d z
围线积分法是基本的计 算逆 z 变换的方法 , 主要应用于 非有理分式的 z . X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
幂级数展开法比较简单 可应用于有理分式的X z , 但一 , 般只能得到 x n 的有限项 , 且不容易得到 x n 的闭式 .
三．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
z反变换
1 d n−1 K1n = (z − z1 )m X (z ) (n − 1)! dz n−1 z
z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子：
解：
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K1 = ( z + 1)
X (z ) z
= −1
2．X(z)仅含有重极点
设X(z)在z＝z1处有m阶极点，
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法， X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
可以容易地得到上式的反变换。
z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子：
解：
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K1 = ( z + 1)
X (z ) z
= −1
2．X(z)仅含有重极点
设X(z)在z＝z1处有m阶极点，
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法， X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
可以容易地得到上式的反变换。
第2章-2.5--逆z变换和留数法
x(n)
Re
s[ z n1
/(4
z)( z
1 4 )]z4
(4)n1
4
1
1 15
4n2 , n
Байду номын сангаас
2
4
因此x
(n)
1
15
1
4n , 4n2
,
15
n 1 n 2
Re s[F(z), zk ]zzk
1 N 1
!
d m1 dz m1
[(
z
zk
)m
F
(
z)]
z zk
由留数辅助定理可知：
1
2 j
X ( z) z n1dz
c
Re s[ X ( z) z n1]zzk
k
1
2 j
X ( z) z n1dz
数字信号处理
电气工程及其自动化 1401
留数法求逆z变换
逆Z变换
一、定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求
序列x(n)的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z 1[ X (z)]
z变换公式：
正：X (z) x(n)zn , n
Rx z Rx
反：x(n) 1
x1(n) 10(2n 1)u(n)
2、当n<0时，X (z)zn1 在c内有三个极点
z1 1, z2 2, z3 0 （n重极点）
而c外无极点。根据留数辅助定理
Re s[X (z)zn1,c内极点] Re s[X (z)zn1,c外极点] 0
Z反变换
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
证明：Z[x*(n)] x*(n)zn [x(n)(z*)n ]*
n
n
[ x(n)(z*)n ]* X *(z*) ，Rx z Rx ; n
bi z i
i0
N
1 ai z i
i 1
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
X
(z)
M N
Bn zn
n0
N r
k1 1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，
Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck
分别为：
Ak
Re s[ X (z) z
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
( z
z
)
]
z
2
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
又 z 2,
查p54表2.1得
x(n)
4 3
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
《z变换的性质》课件
通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
第14讲逆z变换
§3.4.3逆z变换的求解方法
部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X (z) D( z ) a 0 a1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
解：
a z
n
az 1 1
由：
a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
显然a0=1，n0=0
1 的逆z变换为 1 1 az
1 a n z n 1 az1 n0
2.部分分式展开法
右边序列 收敛域 z R, 包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式 的阶次不能大 于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
（2）求逆z变换的步骤
X (z)为真分式
再部分分式展开
求展开分式的系数
查反变换表
（3）求展开分式的系数
B( z ) 用部分分式展开法求反Z变换，X ( z ) 通常为有理分式。 A( z )
|z|=|1/a|
j Im[ z ] 围线C
|z|=|a|
0
a
收敛域
1/a
Re[ z ]
在收敛域内作包围原定的围线C
逆Z变换
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2
当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：
N
a0 x n0 n 如果 x 1, a0 x 1 x n n0
部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X (z) D( z ) a 0 a1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
解：
a z
n
az 1 1
由：
a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
显然a0=1，n0=0
1 的逆z变换为 1 1 az
1 a n z n 1 az1 n0
2.部分分式展开法
右边序列 收敛域 z R, 包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式 的阶次不能大 于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
（2）求逆z变换的步骤
X (z)为真分式
再部分分式展开
求展开分式的系数
查反变换表
（3）求展开分式的系数
B( z ) 用部分分式展开法求反Z变换，X ( z ) 通常为有理分式。 A( z )
|z|=|1/a|
j Im[ z ] 围线C
|z|=|a|
0
a
收敛域
1/a
Re[ z ]
在收敛域内作包围原定的围线C
逆Z变换
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2
当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：
N
a0 x n0 n 如果 x 1, a0 x 1 x n n0
Z变换知识点范文
Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。
它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。
下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。
给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。
2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。
对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。
3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。
这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。
4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。
在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。
5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。
6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。
通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。
7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。
通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。
8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。
通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。
9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。
递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。
总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。
通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。
mobius函数及其在逆z变换计算中的应用
mobius函数及其在逆z变换计算中的应用Mobius函数是一种函数，它是一个复杂称之为双曲线的函数。
它可以被用来表示任意整数点之间的函数关系，是一个非常有用的函数，并且在计算中有着广泛的应用。
Mobius函数的数学形式为：M(z) = (z - a)(z - b)(z - c)(z - d)/(z + a)(z + b)(z + c)(z + d)其中a,b,c,d是任意实数或者复数。
Mobius函数的物理意义是用来表示一个二维物理系统的状态，这个物理系统可以用来模拟某种复杂的系统，比如流体力学、电磁学等。
Mobius函数的另一个重要应用就是在逆Z变换计算中，它可以用来表示图像中某一点的状态和象素点的关系，也就是说要进行逆z 变换，首先要通过mobius函数来确定图像中每一点的状态，然后再根据象素点的关系来计算出各个点的值，从而完成对图像的逆Z变换。
Mobius函数在计算机图像处理中有着广泛的应用，它可以帮助程序员模拟复杂的几何图形和几何变化，比如曲线的旋转、缩放、平移变换等等。
Mobius函数还可以用来解决多项式函数的求解问题，比如求解复数多项式等。
Mobius函数还可以用来解决复数函数问题，这些函数可以用来求解给定复数参数的几何形状的最小值及最大值的问题。
Mobius函数还可以用来求解复杂的数学运算，比如求解线性方程组，通过Mobius函数可以将复杂的线性方程组转换为简单的一元函数，从而求解和处理复杂的线性问题。
在日常的技术应用中，Mobius函数也有着重要的应用，比如电子技术领域，它可以用来便捷地计算极坐标和直角坐标之间的转换，从而降低程序员计算电子转换所需要的经验。
以上是Mobius函数及其在计算中的应用，它不仅可以帮助程序员模拟复杂的几何图形，也可以帮助程序员方便快捷地求解复杂的运算问题，同时也可以在图像处理中帮助程序员实现图像的逆Z变换，并有效地减少程序员的编程时间，提升程序的执行效率。
信号与系统-逆Z变换
在 z > R 的区域内收敛，因此C包围了X(z)的奇点。通常
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
逆z变换部分分式展开法
拉氏反变换的基本形式 ： 1 et t Re[s]
sα
z反变换的基本形式 : z a k (k)
za
za
讨论: 1)只有真分式才可进行部分分式展开,但展开的
形式乘z才具备上述z反变换的基本形式;
2)对 X (z) 进行部分分式展开,要求 X (z) 是真分式,
z
z
即要求X (z)有理分式的n m
z e j
z1,2 c jd e j
K11 K11 e j1 K12 K12 e j2
z hk 2 K11 k k1 cos[(k 1) 1 ) (k)
2 K12 k cos(k 2 ) (k)
X
例
求象函数F (z) z 4 (z 2 4)2
z 2的逆z变换
第 11
3z3 6z4 3z5
4z4 3z5
所以
xk
,
4,
3,
2,
1
n 1
4z4 8z5 4z6 5z5 4z6
X
二．部分分式展开法（重点）
第 4
页
1．z变换式的一般形式
X(z)
N(z) D(z)
bm z m bm1z m1 bm2 z m2 b1z b0 z n an1z n1 an2 z n2 a1z a0
1) z 2 2) z 0.5 3)0.5 z 2
思考：
F(z)
z
z 2
z
z 3
z
z
1
z
z
1
24
求不同收敛域下的时域信号
X
第
2)高阶极点（重极点）（注：不同于书上方法）
13 页
重极点 单极点
如果z
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
信号与系统教学资料：§8.4 逆z变换
z z m1dz x n
n0
1
2j
z n m 1dz
c
令积分路径上的 z Re j
右 x n
1
Rmn1e j(mn1) j Re j d
n0
2 j
xn
1 Rmn e j(mn) d
n0
2
只有当n m积分不为零，n m时积分为2
X
推导
1
2j
X zz m1dz
c
n0
极点z
z
的系数
m
X(z)
A0
A1z z z1
A2 z z z2
AN z z zN
x(n) A0 (n) A1 (z1 )n A2 (z2 )n AN (zN )n , n 0
X
第
高阶极点（重根）
8
页
设
s
X(z)
Bjz
j1 (z zi ) j
z zi为s阶极点。
则
Bj
1 d s j
(s
j
)!
dz
s
j
(z zi )s
X(z)
z
zzi
例题8-4-4
X
第 9 页
X
三.围线积分法求z反变换
第 10
页
1.z逆变换的围线积分表示 (只研究右边序列)
已知z变换
X z xnz n
1
n0
得 z 逆变换公式
xn
1
2
j
X zzn1dz
c
3
用留数定理求围线积分
推导
X
2.
用留数定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求围线积分
b0 b1 z b2 z 2 br1 z r1 br z r a0 a1z a2 z 2 ak1z k1 ak z k
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N
a0 x n0 n 如果 x 1, a0 x 1 x n n0
即： a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
n
求逆z变换
分别以a z 和0 z a 为收敛域 例3：
求 1 的逆 z变换 1 1 az
幂级数展开法中公式的运用
e x的幂级数展开式的应用 ：
e x的幂级数展开式
x e n 0 n!
x
n
若X( z ) e
(0 z )
z
则：
X( z ) e z
n 0
n
n!
z n
x ( n)
n!
u ( n)
等比求和公式的应用：
a0 ( x n0 x N 1 ) n 等比级数求和公式 a0 x 1 x n n0
z 1
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 5z 5 4z 6 所以 x n , 4, 3, 2, 1 n 1
（1）右边序列的逆z变换
将X z 以 z 的降幂排列
X ( z ) x( n)z n x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2
n 0
（2）左边序列的逆z变换
将X ( z )以z的升幂排列
X (z)
n
x( n)z n x( 1) z 1 x( 2) z 2 x( 3) z 3
z zk
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
②高阶极点
当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修改为：
X ( z)
M N
k 0
Bk z k
k 1
N s
例1：
因为 X ( z ) x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4,
因为长除结果无常数项 x 0 0 。 ，则
例2：
z z X z 2 z 2z 1 1 2z z 2
N
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数 Ak(k=0,1…,N) 。 b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数 Ak(k=0,1…,N)，此时为了方便通常利用 X(z)/z的 形式求取：
A0 X (0) bN X ( z) Re s[ ,0] aN z
§3.4.3逆z变换的求解方法
部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X (z) D( z ) a 0 a1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
x(n) Re s[ X ( z ) z
k
n 1
, ak ]
如果 X ( z ) z n1还满足在 z 有二阶或二阶以上的零点， 则根据留数辅助定理，有:
x(n) Re s[ X ( z ) z
k
n 1
, bk ]
ak 是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 bk 是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点
z zi
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
1 x ( n) 2j X ( z ) z n 1dz
c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X ( z ) z n1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
①单极点
B( z ) X ( z) A( z )
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
x(n) A0 (n) Ak zknu (n) 则其逆Z变换为：
k 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单 极点时，可以展开成以下的部分分式的形式： N Ak X ( z ) A0 z max[ zk ] 1 k 1 1 z k z
右边序列 收敛域 z R, 包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式 的阶次不能大 于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
（2）求逆z变换的步骤
X (z)为真分式
再部分分式展开
求展开分式的系数
查反变换表
（3）求展开分式的系数
B( z ) 用部分分式展开法求反Z变换，X ( z ) 通常为有理分式。 A( z )
n0
当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单 阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有:
a|n| x ( n) 1 a2
如果 z k 为单阶极点，按留数定理:
Re s[ X ( z) z
k
n 1
, zk ] ( z zk ) X ( z ) z
k
n 1 z zk
如果 z k为m 阶极点，则其留数为:
1 d m1 Re s[ X ( z ) z n1 , zk ] [( z zk ) m X ( z ) z n1 ] (m 1)! dz m1
逆Z变换
例2： 已知序列的Z变换为：
X ( z) [(1 az )(1 az 1 )]1 , | a 1 || z || a |
求原序列x(n) 解： 所给收敛域 | a 1 || z || a |为环域 ∵ ∴ 原序列 x(n) 必为双边序列
zn 又 X ( z ) z n 1 (1 az )( z a) zn a( z a)( z a 1 )
解：
a z
n
az 1 1
由：
a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
显然a0=1，n0=0
1 的逆z变换为 1 1 az
1 a n z n 1 az1 n0
2.部分分式展开法
直接用长除法进行逆变换
X z
n
x n z n
（是一个z 的幂级数）
x( 2) z 2 x( 1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
s Ak Ck 1 1 zk z (1 zi z 1 ) s k 1
式中Bk(k=0,1…,N)为 X(z)整式部分的系数，可用长 除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为 ：
1 d s k s X ( z) Ck [( z zi ) ] s k (s k )! dz z
|z|=|1/a|
j Im[ z ] 围线C
|z|=|a|
0
a
收敛域
1/a
Re[ z ]
在收敛域内作包围原定的围线C
逆Z变换
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2
当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：
（1）z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
a n u ( n ) za 1 z变换的基本形式 n 1 1 az a u (n 1) z a
1
z 例1： 已知X z 2 z 2z 1
采用z的降幂排列：
z 2 2z 1
z 1，求x n 。
收敛域在圆外，故是右 边序列，一定是 n 形式， z
z 1 2 z 2 3 z 3 4 z 4 z
z 2 z 1 2 z 1 2 4 z 1 2 z 2 3 z 1 2 z 2 3 z 1 6 z 2 3 z 3 4 z 2 3 z 3 4 z 2 8 z 3 4 z 4 5 z 3 4 z 4
z zk
在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被 积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题 得以简化。 例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处 可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计 算将方便得多。
逆Z变换
za 例1:已知某序列的Z变换为: X ( z) (1 az 1 )1 求原序列x(n) 1 x ( n) (1 az 1 ) 1 z n 1dz 解: 2j c 1 1 z n dz 2j c z a 由于收敛域为 z a ，可知该序列必定是因果序列。 并且当 n 0时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶 极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得: 1 Re s[ x(n) z n , a] a n n0 za x(n) a nu (n) 或
a0 x n0 n 如果 x 1, a0 x 1 x n n0
即： a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
n
求逆z变换
分别以a z 和0 z a 为收敛域 例3：
求 1 的逆 z变换 1 1 az
幂级数展开法中公式的运用
e x的幂级数展开式的应用 ：
e x的幂级数展开式
x e n 0 n!
x
n
若X( z ) e
(0 z )
z
则：
X( z ) e z
n 0
n
n!
z n
x ( n)
n!
u ( n)
等比求和公式的应用：
a0 ( x n0 x N 1 ) n 等比级数求和公式 a0 x 1 x n n0
z 1
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 5z 5 4z 6 所以 x n , 4, 3, 2, 1 n 1
（1）右边序列的逆z变换
将X z 以 z 的降幂排列
X ( z ) x( n)z n x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2
n 0
（2）左边序列的逆z变换
将X ( z )以z的升幂排列
X (z)
n
x( n)z n x( 1) z 1 x( 2) z 2 x( 3) z 3
z zk
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
②高阶极点
当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修改为：
X ( z)
M N
k 0
Bk z k
k 1
N s
例1：
因为 X ( z ) x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4,
因为长除结果无常数项 x 0 0 。 ，则
例2：
z z X z 2 z 2z 1 1 2z z 2
N
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数 Ak(k=0,1…,N) 。 b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数 Ak(k=0,1…,N)，此时为了方便通常利用 X(z)/z的 形式求取：
A0 X (0) bN X ( z) Re s[ ,0] aN z
§3.4.3逆z变换的求解方法
部分分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
1．幂级数展开法
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X (z) D( z ) a 0 a1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
x(n) Re s[ X ( z ) z
k
n 1
, ak ]
如果 X ( z ) z n1还满足在 z 有二阶或二阶以上的零点， 则根据留数辅助定理，有:
x(n) Re s[ X ( z ) z
k
n 1
, bk ]
ak 是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 bk 是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点
z zi
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
1 x ( n) 2j X ( z ) z n 1dz
c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X ( z ) z n1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
①单极点
B( z ) X ( z) A( z )
bi z i 1 ai z i
i 1 i 0 N
M
x(n) A0 (n) Ak zknu (n) 则其逆Z变换为：
k 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单 极点时，可以展开成以下的部分分式的形式： N Ak X ( z ) A0 z max[ zk ] 1 k 1 1 z k z
右边序列 收敛域 z R, 包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式 的阶次不能大 于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
（2）求逆z变换的步骤
X (z)为真分式
再部分分式展开
求展开分式的系数
查反变换表
（3）求展开分式的系数
B( z ) 用部分分式展开法求反Z变换，X ( z ) 通常为有理分式。 A( z )
n0
当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单 阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有:
a|n| x ( n) 1 a2
如果 z k 为单阶极点，按留数定理:
Re s[ X ( z) z
k
n 1
, zk ] ( z zk ) X ( z ) z
k
n 1 z zk
如果 z k为m 阶极点，则其留数为:
1 d m1 Re s[ X ( z ) z n1 , zk ] [( z zk ) m X ( z ) z n1 ] (m 1)! dz m1
逆Z变换
例2： 已知序列的Z变换为：
X ( z) [(1 az )(1 az 1 )]1 , | a 1 || z || a |
求原序列x(n) 解： 所给收敛域 | a 1 || z || a |为环域 ∵ ∴ 原序列 x(n) 必为双边序列
zn 又 X ( z ) z n 1 (1 az )( z a) zn a( z a)( z a 1 )
解：
a z
n
az 1 1
由：
a0 (az 1 ) n0 a a 1, 有 a0 z z 1 az 1 n n0
显然a0=1，n0=0
1 的逆z变换为 1 1 az
1 a n z n 1 az1 n0
2.部分分式展开法
直接用长除法进行逆变换
X z
n
x n z n
（是一个z 的幂级数）
x( 2) z 2 x( 1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
s Ak Ck 1 1 zk z (1 zi z 1 ) s k 1
式中Bk(k=0,1…,N)为 X(z)整式部分的系数，可用长 除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为 ：
1 d s k s X ( z) Ck [( z zi ) ] s k (s k )! dz z
|z|=|1/a|
j Im[ z ] 围线C
|z|=|a|
0
a
收敛域
1/a
Re[ z ]
在收敛域内作包围原定的围线C
逆Z变换
1 an x(n) Re s[ z n , a] a( z a)( z a 1 ) 1 a2
当 n 0 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：
（1）z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
a n u ( n ) za 1 z变换的基本形式 n 1 1 az a u (n 1) z a
1
z 例1： 已知X z 2 z 2z 1
采用z的降幂排列：
z 2 2z 1
z 1，求x n 。
收敛域在圆外，故是右 边序列，一定是 n 形式， z
z 1 2 z 2 3 z 3 4 z 4 z
z 2 z 1 2 z 1 2 4 z 1 2 z 2 3 z 1 2 z 2 3 z 1 6 z 2 3 z 3 4 z 2 3 z 3 4 z 2 8 z 3 4 z 4 5 z 3 4 z 4
z zk
在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被 积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题 得以简化。 例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处 可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计 算将方便得多。
逆Z变换
za 例1:已知某序列的Z变换为: X ( z) (1 az 1 )1 求原序列x(n) 1 x ( n) (1 az 1 ) 1 z n 1dz 解: 2j c 1 1 z n dz 2j c z a 由于收敛域为 z a ，可知该序列必定是因果序列。 并且当 n 0时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶 极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得: 1 Re s[ x(n) z n , a] a n n0 za x(n) a nu (n) 或