23.4(1)概率计算举例
23.4概率计算举例
解:设甲到达车站的时刻为1时x分,乙到达车站的时刻为 1时y分,则 0 x 60 0 y 60 X与y组成无数个有序实数对,点(x,y)都落在 y 正方形OABC内部区域 C B 60 当点(x,y)落在阴影区域时
30
两人才能同乘一辆车 设事件A:两人同乘一辆车的概率
30
0
A
60
x
30 30 30 30 1 P ( A) 60 60 2
(当指针落在扇形边界时,统计在逆时针方向相邻的扇形内） 例4、将圆盘A等分成三个扇形,号码为①、 ②、③， 将圆盘B等分成两个扇形,号码为①、 ②， 甲、乙两个同学这样玩游戏：甲任意转动A盘，停 ① ② 止时指针得到一个号码，乙任意转动B盘，停止时 指针得到一个号码， ③ 如果两号码的积为奇数,那么甲胜, 如果两号码的积为偶数,那么乙胜, 乙 判断游戏公平吗?如果不公平,请设计一个公平游戏?
白1 白2 白2 白1
白1
白2
抓阄后 不放回
○ 白2 ○ 白1
白2
○ 白1 ○
例3、将圆盘分成圆心角相等相等的 八个扇形,各扇形涂有各个颜色,任意 转动转盘,停止后指针落在每个山形的 可能性一样大,(当指针落在扇形边界 时,统计在逆时针方向相邻的扇形内）, 求指针分别落在红色、黄色、绿色扇 形内的概率
例1、小杰和小明玩扑克牌，各出一张牌，谁的 牌数字大谁就赢，同样大就平.只有A遇2输，遇 其他牌（除2外）都赢，最后各人手中还剩三张 牌，小杰手中有A、J、3，小明手中有K、J、2， 这时每人各出一张牌，小杰、小明两人谁获胜的 可能性大？ 解：所有可能的结果共有： 小杰 A J K J 2 3 K J 2
所有等可能的结果数是4,两人同乘一辆车 包含其中的2个结果 ,概率是 1
初二数学北师大版知识点总结
初二数学北师大版知识点总结学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
如果说学习一定有捷径，那只能是勤奋，因为努力永远不会骗人。
学习需要勤奋，做任何事情都需要勤奋。
下面是小编给大家整理的一些初二数学的知识点，希望对大家有所帮助。
初二下学期数学知识点分式一.概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式(fraction)。
二.基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
三计算法则：乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
四.分式乘方要把分子、分母分别乘方。
a^-n=1/a^n(a≠0)这就是说，a^-n(a≠0)是a^n的倒数。
五.分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。
第十七章反比例函数一.概念形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数(inverseproportionalfunction)。
二.性质：反比例函数的图像属于双曲线(hyperbola)。
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
第十八章勾股定理一.概念勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
二.命题：经过证明被确认正确的命题叫做定理(theorem)。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
(例：勾股定理与勾股定理逆定理)第十九章四边形一.平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
23.4(1)概率计算举例
一.复习引入
1.等可能试验具有哪两个特点？ ⑴试验的结果是有限个，各种结果出现的 机会是均等的； ⑵任何两个结果不可能同时出现
．
2.等可能试验中事件概率的计算公式是什么？
事件A包含的可能结果数 k P( A) 所有的可能结果数 n
画“树形图”：
⑴பைடு நூலகம்据等可能试验的分步确定树形图分几级；
例题选讲 甲乙丙三个球迷只有一张球票，现通过 抓阄来决定谁去看球。为此准备了三张纸片， 其中一张画了个圆圈，抓中的人得到球票； 另两张纸片空白。抓阄前，甲提出要先抓， 他想先抓的人得到的球票的机会大，他的想 法对吗？ 抓阄是不放回地取
小试牛刀
1. 一人把分别写有“20”、“10”、“世博” 的3张相同卡片，字面朝下随意放在桌面上；另 一人把这3张卡片排成一行，从左到右恰好排成 “2010世博”或者“世博2010”的概率是多少？ 2. 从2、6、8这三个数中任选两个组成两位数， 在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数 恰好被4整除的概率是多少？
⑵同一级的每个树枝都是相应一步试验的等可能结果； ⑶最后一级的“树枝”条数是试验中所有等可能 结果的个数.
思考：
小杰和小明玩扑克牌，各出一张牌，谁的 牌数字大谁赢，同样大就平。并规定A遇2输， 遇其它牌(除A外)都赢。最后各人手中还剩3张 牌。小杰手中有A、J、3，小明手中有K、J、2， 这时每人任出一张牌，小杰、小明两人谁获胜 的机会大？
小试牛刀 3. 三位顾客进饭店用餐，各自把雨伞交给服 务员。如果离店时服务员随意把雨伞还给他们， 那么三位顾客恰好拿到自己的雨伞的概率是多 少？
23.3 事件的概率
复习
必然事件,不可能事件,随机事件,可能性
必然事件 不可能事件 随机事件 可能性 事件发生的可能性有大有小.（定性的描述）
问题： “上海地区明天降水”是什么事件？
天气预报“上海地区明天降水概率80％”与“上 海地区明天降水概率60％”它们有什么异同点？
概率：用来表示某事件发生的可能性大小
试一试
全班同学一起做摸球试验，布袋里的 球除了颜色外其它都一样，每次从布袋 里摸出一个球，记下颜色后放回摇匀， 一共摸了200次，其中131次摸出红球， 69次摸出白球，如果布袋里有3个球，请 你估计布袋里红球和白球的个数
辨析
3、听两段情境对话，分组讨论对错 并说明理由：
情境1）： 甲——我知道掷硬币时，“正面向上”的概
的数叫做这个事件的概率
必然事件发生的概率为1(或100%),记作P(必然事件)=1;
不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0;
随机Байду номын сангаас件发生的概率介于0~1之间,
即
0<P(随机事件)<1.
如果A表示随机事件,那么0<P(A)<1.
如果V表示不可能事件,那么P(V)=0.
如果U表示必然事件,那么P(U)=1
有关概念：试验总次数、频数、频率.
用频率估计概率：大数次试验的频率来估计概率．
很不可能发生 事件的概率
0
½(50%)
很可能发生 事件的概率
1(100%)
不可能事件 的概率
随机事件 的概率
必然事件 的概率
思考：
在一副扑克牌中取红桃、梅花、 方块各一张牌混合放在 一起，从中 任意摸出一张牌，“恰好摸到红桃” 的概率是多少？
沪教新版八年级(下) 中考题同步试卷：23.4 概率计算举例(09)
沪教新版八年级（下）中考题同步试卷：23.4 概率计算举例（09）一、选择题（共4小题）1．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（）A．B．C．D．2．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是（）A．B．C．D．13．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A．B．C．D．4．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为．6．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．7．从﹣1、、1这三个数中任取两个不同的数作为点A的坐标，则点A在第二象限的概率是．8．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是．三、解答题（共22小题）9．质地均匀的小正方体，六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字．（1）求数字“1”出现的概率；（2）求两个数字之和为偶数的概率．10．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：（1）直接写出表中m、n的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．11．为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．12．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率．13．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．14．现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃x（1≤x≤13且x为奇数或偶数）．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．（1）求两次抽得相同花色的概率；（2）当甲选择x为奇数，乙选择x为偶数时，他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样吗？请说明理由．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑x）15．某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试．计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格，得到9分为优秀，成绩如表1所示，并制作了成绩分析表（表2）．表1一班588981010855二班1066910457108表2众数方差及格率优秀率班级平均数中位数一班7.68a 3.8270%30%二班b7.510 4.9480%40%（1）在表2中，a＝，b＝；（2）有人说二班的及格率、优秀率均高于一班，所以二班比一班好；但也有人认为一班成绩比二班好，请你给出坚持一班成绩好的两条理由；（3）一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女，现从这两班获满分的同学中各抽1名同学参加“汉字听写大赛”，用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的概率．16．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；（2）求点P在一次函数y＝x+1图象上的概率．17．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机取出1个小球．用画树状图或列表的方法，求取出的2个小球上的数字之和为6的概率．18．”切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时﹣﹣1.5小时；C：1.5小时﹣﹣2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．19．“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉松”、B．“10公里”、C．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．20．某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．21．商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？22．某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，并制作了如下的统计图表：类别成绩频数甲60≤m＜704乙70≤m＜80a丙80≤m＜9010丁90≤m≤1006根据图表信息，回答下列问题：（1）该班共有学生人；表中a＝；（2）将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率．23．今年3月5日，黔南州某中学组织全体学生参加了“青年志愿者”活动，活动分为“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”四项，从九年级同学中抽取了部分同学对“打扫街道”、“去敬老院服务”、“到社区文艺演出”和“法制宣传”的人数进行了统计，并绘制成如图所示的直方图和扇形统计图．请根据统计图提供的信息，回答以下问题：（1）抽取的部分同学的人数是多少？（2）补全直方图的空缺部分．（3）若九年级有400名学生，估计该年级去打扫街道的人数．（4）九（1）班计划在3月5日这天完成“青年志愿者”活动中的三项，请用列表或画树状图求恰好是“打扫街道”、“去敬老院服务”和“法制宣传”的概率．（用A表示“打扫街道”；用B表示“去敬老院服务”；用C表示“法制宣传”）24．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？25．一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为x；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为y．（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是；（2）请用列表法或画树状图的方法表示出由x，y确定的点P（x，y）所有可能的结果；（3）若规定：点P（x，y）在第一象限或第三象限小红获胜；点P（x，y）在第二象限或第四象限则小颖获胜．请分别求出两人获胜的概率．26．2015年湘潭市中考招生政策发生较大改变，其中之一是：省级示范性高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校（有先后顺序），我市某区域的初三毕业生可填报的省级示范性高中有A、B、C、D四所．（1）请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；（2）求填报方案中含有A学校的概率．27．课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A﹣优秀，B ﹣良好，C﹣一般，D﹣较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名学生？（2）C类女生有名，D类男生有名，并将条形统计图补充完整；（3）若从被调查的A类和C类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率．28．育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．（1）小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？（2）如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．29．（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是（请直接写出结果）．30．为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角为度；（2）若成绩在90分以上（含90分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？（3）某班准备从成绩最好的4名同学（男、女各2名）中随机选取2名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是1男1女的概率为．沪教新版八年级（下）中考题同步试卷：23.4 概率计算举例（09）参考答案一、选择题（共4小题）1．A；2．B；3．D；4．C；二、填空题（共4小题）5．；6．；7．；8．；三、解答题（共22小题）9．；10．；11．；12．；13．20；14．；15．8；7.5；16．；17．；18．200；108°；19．；20．；21．；22．40；20；23．；24．；25．；26．；27．3；1；28．；29．；30．144；；。
23.4 概率计算举例(2)
23.4 概率计算举例（2）[与几何图形有关的概率问题]第一组23-131、一只小鸟自由地在空中飞行，然后随意落在图23-13-1中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么小鸟停在某个黑方格中的概率是（）A、12B、13C、14D、152、下列事件的概率求解正确的个数是（）①十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是112；②12个相同型号的杯子中，一等品有7个，二等品有3个，三等品有2个，则从中任意取1个，取到二等品的概率为14；③在一个不透明的袋子里装有5个球，2个红球3个白球，任意摸一个球，摸出是红球的概率是12；④抛掷两枚材质均匀的硬币，两枚硬币同时正面朝上的概率是13A、1B、2C、3D、43、如果小强将镖随意投中如图23-13-2所示的正方形木板，那么镖落在黑色部分的概率是（）A、12B、18C、19D、112图 23-13-2图 23-13-14、图23-13-3是一个带指针的圆形转盘，被等分成6个部分，若自动转动转盘，当它停止转动时，下列说法中错误的是（ ）A 、指针指向数字6和指向数字1的概率一样B 、指针指向奇数区和指向偶数区的概率一样C 、指针指向合数区和指向素数区的概率一样D 、指针指向4的倍数的概率和指向5的倍数的概率一样5、如图23-13-4，数轴上两点A 、B ，在线段AB 上任取一点，则点C 到表示1的点的距离不大于2的概率是 。
6、如图23-13-5，掷一枚直径为1个单位长度的硬币，落在4×4单位长度的正方形黑色部分的概率是 。
7、现有三位自愿献血者，两人血型为O 型，一人血型为A 型，若三人中随意挑选一人献血，两年以后，又从此三人中随意挑选一人献血，那么两次所抽血的血型均为O 型的概率是 。
8、在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人，其中有85人上学之前吃早餐，在这所学校里随便问一人，上学之前吃过早餐的概率是 。
概率计算举例(分层练习)八年级数学下册同步精品课堂(沪教版)
23.4概率计算举例（分层练习）【夯实基础】一、单选题1. 一只苍蝇飞到如图所示的一面墙上，最终停在白色区域上的概率是（ ）A. 513 B. 813 C. 13 D. 232. 如图，在边长为1的3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是格点，在格点上任意放置点C ，恰好能使ABC 的面积为1的概率是（ ）A. 13 B. 14 C. 512 D. 123. 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）A. 13 B. 38 C. 12 D. 23二、填空题4. 学校图书馆一张圆桌旁有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上．则乙与甲不相邻的概率为 _____．5. 如图：一路人行走在如图所示每个格子都是正方形的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是________________．6. 有15只型号相同的杯子，其中一等品3只，二等品5只，三等品7只，从中任取1只，是一等品的概率是________．7. 已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为__．8. 一个可以自由转动的转盘被等分成六个扇形区域，并涂上了相应的颜色，如图所示．随意转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是______．9. 布袋里有3个红球和6个黄球，它们除颜色外其他都相同，从布袋里取出1个球恰好是黄球的概率是________．10. 从等边三角形、平行四边形、矩形、圆、等腰梯形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率是___________．11. 某同学投掷一枚硬币，如果连续4次都是正面朝上，则他第5次抛掷硬币的结果是正面朝上的概率是________．12. 某校八年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动．在某时间段共开放7个网络教室，其中1个是语文答疑教室，3个是数学答疑教室，3个是英语答疑教室.为了解学校的八年级学生参与网上答疑的情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，那么他进入数学答疑教室的概率为__________．13. 一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右,则盒子中黑珠子可能有__颗.14. 掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，那么“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率是_____．15. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这枚骰子向上一面出现的点数为奇数的概率为__________．16. 如图，是由四个直角边分别是2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是_____．17. 小芳抛一枚硬币8次，有5次正面朝上，当她抛第9次时，正面朝上的概率为____.18. 现有五张正面分别标有数字2-，1-，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机取出一张，再从剩下的卡片中随机取出一张，则两次取出的卡片上的数字乘积是负数的概率为______．19. 一个分布均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是______．20. 有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是_____．21. 在口袋里装有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个黄球，2个白球，从中随机摸出一个球，摸到______球的可能性较小．22. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外其他都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口袋中有红球______个．23. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，那么掷出的点数小于3的概率为_____．三、解答题24. 暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数字1、2、3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负．（1）从箱中摸出一个小球，如果上面标注的数是2的倍数，则甲获胜，如果上面标注的数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？为什么？（2）从箱中连续摸出两个小球（摸出后不放回），并将第一次摸出的数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的规则公平吗？请用树状图或表格说明理由．【能力提升】一、单选题25. 甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）A. 14B.16C.18D.11226. 下列说法错误的是（）A. 在一定条件下必出现的现象叫必然事件B. 不可能事件发生的概率为0C. 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值D. 某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票一定会中奖二、填空题27. 现有下列长度的五根木棒：5，6，8，12，13，从中任取三根，可以组成直角三角形的概率为______．28. 有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程11222axx x-+=--有正整数解的概率为______．29. 口袋里只有10个球，其中有个x红球，y个白球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．从中随意摸出一个球，若摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，则x的可能值为______．30. 如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是_____．31. 甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)三、解答题32. 国宝大熊猫作为体育盛会的吉祥物见证了祖国的日益强大．从1990年北京亚运会的“盼盼”，到2008年北京奥运会的“福娃晶晶”，再到北京冬奥会的“冰墩墩”．现在将4张卡片（如图，分别记为A、B、C、D）背面朝上洗匀，这些卡片除图案外其余均相同．（1）小明从中随机抽取1张，抽到冰墩墩的概率为______；（2）小明从中随机抽取2张，抽取规则为：先随机抽取1张不放回，再随机抽取1张．请利用树状图或列表法求出小明抽取的2张卡片都是冰墩墩的概率．33. 有三张质地均匀形状相同的卡片，正面分别写有数字﹣2、﹣3、3，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为m的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为n的值，两次结果记为（m，n）．（1）用树状图或列表法表示（m，n）所有可能出现的结果；（2）化简分式1m n+﹣222nn m-，并求使分式的值为自然数的（m，n）出现的概率．34. 将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．35. 甲、乙、丙三支排球队共同参加一届比赛，由抽签决定其中两队先打一场，然后胜者再和第三队(第一场轮空者)比赛，争夺冠军．(1)如果采用在暗盒中放形状大小完全一致的两黑一白三个小球，摸到白色小球的第一场轮空直接晋级进入决赛，那么甲队摸到白色小球的概率是多少？(2)如果采用三队各抛一枚硬币，当出现二正一反或二反一正时则由抛出同面的两个队先打一场，而出现三枚同面(同为正面或反面)时，则重新抛，试用“树形图”或表格表示第一轮抽签(抛币)所有可能的结果，并指出必须进行第二轮抽签的概率．36. 暑假将至，某商场为了吸引顾客，设计了可以自由转动的转盘（如图所示，转盘被均匀地分为20份），并规定：顾客每200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．若某顾客购物300元．（1）求他此时获得购物券的概率是多少？（2）他获得哪种购物券的概率最大？请说明理由．23.4概率计算举例（分层练习）【夯实基础】一、单选题【1题答案】【答案】D【解析】【分析】苍蝇停在白色区域上的概率等于白砖的面积除以整个墙面的面积.．【详解】如图，把墙面上一块砖的面积看成1，墙的面积是9，白砖的面积是6∴苍蝇停在白色区域上的概率=62 93 =故选D【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．【2题答案】【答案】A【解析】【分析】由在格点中任意放置点C，共有12种等可能的结果，恰好能使ABC∆的面积为1的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解： 在格点中任意放置点C，共有12种等可能的结果，恰好能使ABC∆的面积为1的有4种情况，∴恰好能使ABC∆的面积为1的概率为：41=123．故选：A．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．【3题答案】【答案】B【解析】【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解．【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为38，故选：B【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键．二、填空题【4题答案】【答案】1 3【解析】【分析】首先利用列举法求得所有等可能的结果，再找到与乙与甲相邻而坐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：按顺时针排列，共有以下情况：乙丙丁；乙丁丙；丙乙丁；丙丁乙；丁乙丙；丁丙乙，乙与甲不相邻的情况有2种，概率是21 63 ．故答案为：13．【点睛】本题考查的是用列举法求概率，熟悉相关性质是解题的关键．【5题答案】【答案】1 3【解析】【分析】根据几何概率的求法：最终停在地板上阴影部分的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【详解】解：观察图形可知：黑色区域（3块）的面积占总面积（9块）的13，故最终停在地板上阴影部分的概率是13，故答案为：13．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．【6题答案】【答案】1 5【解析】【分析】用一等品的杯子总数除以杯子的总数即可求得答案．【详解】解：∵15只杯子里面有3只一等品，∴从中任取1只是一等品的概率为31= 155．故答案为：15．【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．【7题答案】【答案】1 3【解析】【分析】根据概率公式，用偶数的个数除以数的总数即可求得答案．【详解】解：∵共有9个数据，其中偶数有3个，∴从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为31 93 =．故答案为：13．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【8题答案】【答案】12【解析】【分析】从图形中可以看出蓝色共有3个区域，总共有6个扇形区域，可知指针指向蓝色区域的概率．【详解】解：∵一个自由转动的转盘被分成6个，面积相等的扇形区域，其中蓝色部分占3份，∴指针指向蓝色区域的概率3162==．故答案为12．【点睛】本题主要考查的是基础的概率运算，观察图形，并从中得出所求项目所占比例是解题的关键．【9题答案】【答案】2 3【解析】【分析】用黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共3+6=9（个）球，其中6个黄球，所以从布袋里取出1个球恰好是黄球的概率=62 93 ，故答案为：23．【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．【10题答案】【答案】3 5【解析】【分析】判断五个图形中有几个中心对称图形，然后用概率公式计算即可．【详解】解：从五个图形中任选一个，共有5种等可能的结果，其中是中心对称图形的是：平行四边形、矩形、圆，结果有3种．∴P（中心对称图形）=3 5．故答案为：3 5【点睛】本题考查了中心对称图形的识别、概率的知识点，识别中心对称图形和运用概率公式计算是解题的关键．【11题答案】【答案】12【解析】【分析】投掷一枚硬币，可能出现的两种情况：正面朝上或者正面朝下.每次出现的机会相同．【详解】第5次掷硬币，出现正面朝上的机会和朝下的机会相同，都为12.故答案为：12.【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．【12题答案】【答案】3 7【解析】【分析】根据概率公式解答即可．【详解】解：∵在7个网络教室中有3个是数学答疑教室，∴学校教学管理人员随机进入一个网络教室是数学答疑教室的概率=37．故答案为：37．【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握计算的方法是关键．【13题答案】【答案】14【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：由题意可得，60.36n=+，解得n=14．经检验n=14是原方程的解故估计盒子中黑珠子大约有14个．故答案为：14．视频【14题答案】【答案】5 36【解析】【分析】利用列表法把所有等可能的情况都列举出来，找出掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况，利用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意，列表如下所示，通过列表可得，共有36种等可能的情况，其中掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8的情况共有5种，∴“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为8”的概率为536P =，故答案为：536．【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是利用列表法把所有等可能的情况列举出来．【15题答案】【答案】12【解析】【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是奇数的有1，3，5共3种，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是奇数的概率．【详解】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是奇数的有1，3，5共3种，故骰子向上的一面出现的点数是奇数的有1，3，5共3种的概率是3162=，故答案为：12．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【16题答案】【答案】15##0.2【解析】【分析】根据题意求得阴影部分面积和大正方形的面积，根据几何概率的求法即可求解．【详解】解：阴影部分的面积为()2424-=，大正方形的面积为224220+=，∴针扎在阴影部分的概率是41205=，故答案为：15．【点睛】本题考查了几何概率，弦图的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键．【17题答案】【答案】12##0.5【解析】【分析】硬币只有正反两个面，然后根据概率的意义解答．【详解】∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，∴正面向上的概率为12．故答案为：12．【点睛】本题考查的知识点是概率的意义，解题关键是理解概率的定义并明确硬币只有正反两个面．【18题答案】【答案】25##0.4【解析】【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两次取出的卡片上的数字乘积是负数的情况数，然后根据概率公式求解．【详解】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中两次取出的卡片上的数字乘积是负数的有8种，则两次取出的卡片上的数字乘积是负数的概率为82205=．故答案为：25．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．【19题答案】【答案】13【解析】【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：∵点数大于4的数为：5，6，∴向上一面的点数大于4的概率2163==．故答案为：13．【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．【20题答案】【答案】59【解析】【分析】根据题意，列出表格，可得共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，再根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：列表如下：1231112+=213+=314+=2123+=224+=325+=3134+=235+=336+=由表知，共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，所以抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是59，故答案为：59．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．【21题答案】【答案】白【解析】【分析】根据概率公式求出摸到黄球和白球的概率，然后进行比较，即可得出答案．【详解】解： 口袋里装有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个黄球，2个白球，∴摸到黄球的概率是35，摸到白球的概率是25，3255>，∴摸到白球的可能性较小．故答案为：白．【点睛】此题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．【22题答案】【答案】12【解析】【分析】一共摸了50次，其中有30次摸到红球，由此可估计口袋中红球和总球数之比为3:5，即可计算出红球数．【详解】解： 共摸了50次，其中有30次摸到红球，∴口袋中红球和总球数之比为3:5，口袋中有红球、白球共20只，∴估计这个口块中有红球大约有320125⨯=（只）．故答案为：12．【点睛】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【23题答案】【答案】1 3【解析】【分析】根据概率公式求解．【详解】解：∵共有6种情况，点数小于3的有2种，∴掷出的点数小于3的概率为：21 63 ，故答案为：13．【点睛】本题考查的是概率公式的运用．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．三、解答题【24题答案】【答案】（1）规则公平，见解析（2）规则公平，见解析【解析】【分析】（1）直接由概率公式求出甲获胜的概率等于乙获胜的概率，即可得出结论；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：规则公平，理由如下：由题意得：甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为13，∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率，∴规则公平；【小问2详解】（2）规则公平，理由如下：共有6种等可能的结果，其中这个两位数是2的倍数的结果有2种，这个两位数是3的倍数的结果有2种，∴甲获胜的概率2163==，乙获胜的概率2163==，∴甲获胜的概率等于乙获胜的概率，∴规则公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．【能力提升】一、单选题【25题答案】【答案】A【解析】【分析】列举出所有情况，让恰好由甲将接力棒交给乙的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：根据题意，画树状图得：所以一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种， 所以恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：61=244． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．还要注意题目是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【26题答案】【答案】D【解析】【分析】根据必然事件，随机事件，概率的定义进行判断．【详解】A、在一定条件下必出现的现象叫必然事件，说法正确，故本选项错误；B、不可能事件发生的概率为0，说法正确，故本选项错误；C、在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，说法正确，故本选项错误；D、某种彩票中是随机事件，买100张该种彩票不一定会中奖，说法错误，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解多次重复试验事件发生的频率可以估计概率．二、填空题【27题答案】【答案】1 10【解析】【分析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用勾股定理的逆定理得到组成直角三角形的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：5，6，8，12，13，从中任取三根，所有情况为：5，6，8；5，6，12；5，6，13，5，8，12；5，8，13；5，12，13；6，8，12；6，8，13；6，12，13；8，12，13；共有10种等可能的结果数，其中可以组成直角三角形的结果数为1，所以可以组成三角形的概率110 ．故答案为：1 10．【点睛】本题考查了列举法，列举所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率．也考查了勾股定理的逆定理．关键是不重不漏地把所有可能结果列举出来．【28题答案】【答案】1 6【解析】【分析】先求出分式方程的解为22x a =-，再根据分式方程的解为正整数，求得a =0，然后由概率公式求解即可．【详解】解：解分式方程11222ax x x-+=--，得22x a=-，∵分式方程的解为正整数，∴20a ->，∴2a <，∴0a =，1，∵分式方程的解为正整数，当1a =时，2x =不合题意，∴0a =，∴使关于x 的分式方程有正整数解的概率为16，故答案为：16．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数，求概率，熟练掌握根据分式方程解的情况求参数和概率公式是解题的关键．【29题答案】【答案】6或7或8或9【解析】【分析】根据口袋里只有10个球， 列出方程10x y +=，从中随意摸出一个球，摸到红球的可能性10x 大于摸到白球的可能性10y ，得出x y 1010＞，即x y ＞，0y >，列一元一次不等式210＞x x y +=，得出5x ＞即可．【详解】解：口袋里只有10个球，其中有x 个红球，y 个白球，∴10x y +=，从中随意摸出一个球，摸到红球的可能性10x 大于摸到白球的可能性10y ，∴x y 1010＞，即x y ＞，0y >，210＞x x y+=，∴5x＞则x的可能取值为6x=或7或8或9．故答案为：6或7或8或9．【点睛】本题考查概率，二元一次方程，一元一次不等式，掌握概率，二元一次方程，一元一次不等式是解题关键．【30题答案】【答案】23．【解析】【分析】先求出AB两点间的距离，再根据距离的定义找出符合条件的点即可．【详解】解：∵AB间距离为6，点C到表示1的点的距离不大于2的点是﹣1到3之间的点，满足条件的点组成的线段的长是4，∴其概率为46=23．故答案为23．【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．【31题答案】【答案】不公平【解析】【分析】先根据题意画出树状图，然后根据概率公式求解即可．【详解】画出树状图如下：共有9种情况，积为奇数有4种情况。
23.4-1概率计算举例
重
难
点
点
进一步学习用画“树形图”的方法分析等可能试验中事件的概教具准备
教
学
过
程 学生活动
回顾画树状图的 基本步骤
教师活动
一、复习： 1．画树形图求概率的基本步骤： (1) 明确一次试验的几个步骤及顺序； (2) 画树形图列举一次试验的所有可能结果； (3) 明确随机事件，数出 k、 n (4)计算随机事件的概率 P ( A)
联系生活实际问 题，学生先猜测 结论，再进行分 析、解答
完成练习
谈收获和注意点
举例板书设计：
1．画树形图求概率的基本步骤： (1) 明确一次试验的几个步骤及顺序； (2) 画树形图列举一次试验的所有可能结果； (3) 明确随机事件，数出 ； (4)计算随机事件的概率 ． 2．例题解题格式
课后反思：
师生共同完成例 题
甲
乙
例 3:小杰和小明玩扑克牌， 各出一张牌， 谁的数字大谁赢， 同样大就平.A 遇 2 输，遇其他牌(除 A 外)都赢.最后各人手中还剩 3 张牌.小杰手中有 A、J、3，小明手中有 K、J、2.这时每人任出一张牌，小杰、小明两人 谁获胜的机会大? (J、Q、K 分别对应数字 11、12、13). 小结：画树形图求概率的基本步骤： (1) 明确一次试验的几个步骤及顺序； (2) 画树形图列举一次试验的所有可能结果； (3) 明确随机事件，数出 ； (4)计算随机事件的概率 ． 三、练习： P132/1-3 四、小结： 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？你还有什么问题？ 五、作业： 练习册：23.4（1）
_ 课 题
23.4－1 概率计算举例 1．学会画树形图计算简单事件的概率；
_月_ _日 星期_ _ 第_ _周
23.4概率计算举例2
甲① ② ③
乙 ①②
甲①
②
③
乙
① 1,01 11,2 12,3 ② 2,11 20,2 21,3
或更改为:两号码之差的绝对值为1,甲赢;(包含其中 的3个结果),反之,乙赢.(包含其中的3个结果),两人
获胜的概率都是 1
2
3甲乙两人相约下午1时至2时在某公共汽车站乘车,已知该站 在下午1时30分发1号车,2时准点发2号车,假设因堵车的影响, 两人在1时至2时之间任一时刻到达车站的可能性相等,如果两 人到站后见车就上,那么两人同乘一辆车的概率是多少?
60 60
2
1 将圆盘分成圆心角相等的八个 扇形,各扇形涂有各个颜色,任意 转动转盘,停止后指针落在每个扇 形的可能性一样大,(当指针落在 扇形边界时,统计在逆时针方向相 邻的扇形内）,求指针分别落在红 色、黄色、绿色扇形内的概率
(当指针落在扇形边界时,统计在逆时针方向相邻的扇形内）
甲
2 将圆盘A等分成三个扇形,号码为①、 ②、③，
③
乙 ①② ①② ①②
积 奇1 偶2 偶2 偶4 奇3 偶6
由树形图知:共有六个等可能结果,
两号码之积为奇数包含其中的2个结果 甲获胜的概率是 1
两号码之积为偶数包含其中的4个结果,
乙获胜的概率是
3
2
此游戏规则不公平
3
甲① ② ③
乙 ①②
甲
①
②
③
乙 ①② ①② ①②
和 偶奇 奇 偶 偶 奇
更改为:两号码之和为奇数,甲赢;(包含其中的3个结 果),两号码之和为偶数,乙赢.(包含其中的3个结果),
解:设甲到达车站的时刻为1时x分,乙到达车站的时刻为
23.4 概率计算举例(1)
23.4 概率计算举例（1）[一般概率问题]第一组23-111、一个均匀的立方体六个面上分别标有1、2、3、4、5、6，图23-11-1是这个立方体表面的展开图，抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面数的12的概率是（）A、16B、13C、12D、232、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（）A、16B、13C、12D、323、小兰和小谭用掷A、B两枚六面体骰子的方法来确定P（x，y）的位置，他们规定：小兰掷得的点数为x，小谭掷得的点数为y，那么他们各掷一次所确定的点数在直线y=−2x+6上的概率为（）A、16B、118C、112D、294、小明在做数学题，其中有一道题有下列4个命题，小明随机选一个命题，他正好选到的是真命题的概率是（）命题一：若y=12x−2，则y随x的增大而增大；命题二：若y=2x，则y随x的增大而减小；命题三：一次函数y=−13x−1的图像经过第二、三、四象限；命题四：在函数y=−12x中，当x<0时，y随x的增大而增大。
A、14B、12C、34D、1图 23-11-16543215、求下列事件的概率：（1）有12个型号相同的杯子，其中一等品8个，二等品3个，三等品1个，从中任意抽取一个杯子，恰好是二等品的概率是；（2）从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃、2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是；（3）一个布袋中有4个红球8个白球，除颜色外其他完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是；（4）已知在一次选举班长的投票中，45名同学有35名同学同意李强同学当班长，这个事件中频数是，概率是；，则（5）袋子中有6个白球，k个红球，经过实验从中任取一个球恰好是红球的概率为14K= ；（6）从1，2，3，…，20这20张卡片中任意抽取一张，抽到卡片上的数既是2的倍数又是3的倍数的概率是。
概率计算举例
数学使人聪颖 数学使人严谨 数学使人深刻 数学使人缜密 数学使人坚毅 数学使人智慧
60 60
2
课后练习
1、如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成 5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同 时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都 落在奇数上的概率是多少？
15 24
3
39 48
课后练习
2、一盘录音带可录80分钟，前面20分钟已 录完，现准备再录20分钟，如果随意地从录 音带某处开始录，那么“能完整录音且与原 先的录音不重叠”的概率是多少？
P( A) 1 P(B) 3 P(C) 4 1
8
8
82
例题4 如图，转盘A等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B
分为两个扇形（即半圆），号码为①、②.甲乙两位同学想这样玩 游戏：甲任意转动A盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B 盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆 时针方向相邻的扇形内）.如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如 果两号码的积为偶数，那么乙胜.判断这个游戏是否公平，
23.4(2)概率计算举例
课前练习
1、一人把分别写有“20”、“10”、“世博”的 3张相同卡片，字面朝下随意放在桌面上；另一 人把这3张卡片排成一行，从左到右恰好排成 “2010世博”或者“世博2010”的概率是多少？
课前练习
2、从2、6、8这三个数中任选两个组成两位数， 在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数 恰好被4整除的概率是多少？
课前练习
2、三位顾客进饭店用餐，各自把雨伞交给服务 员。如果离店时服务员随意把雨伞还给他们，那 么三位顾客恰好拿到自己的雨伞的概率是多少？
新课传授
前言
生活中有些等可能实验与长度、面积或体积等有关， 相关的概率问题可以通过有关度量计算来解决；还有些 概率问题可以利用图形来进行分析和研究，把问题转化 为度量计算再解决。
几率计算公式
几率计算公式几率计算是一门有趣而复杂的数学学科，它让科学家可以更准确地估算某个结果的可能性，很多统计分析和把握概率的工作都依赖于几率计算。
几率计算的基本公式和原理在本文中将非常仔细地讲解，以便为读者提供一种全面而清晰的理解。
首先，在几率计算中，最重要的是概率的计算。
概率可以定义为在一组可能的结果中，某一结果发生的可能性。
几率计算公式也可以定义为：“概率P（A）=某结果发生的次数/所有结果发生的次数”。
众所周知，概率的计算是受实际抽样数据影响的，但也有一种基于经验的线性规律可以用来估计概率，它可以表示成公式P（A）=m％/n％，其中m％表示某结果发生的次数，n％表示所有结果发生的次数。
另外，几率计算的另一个重要方面是事件的独立性。
独立性是指一个事件的发生不受其他事件的影响，而由自身发生的概率来决定。
几率计算的独立性可以用公式P（A∩B）=P（A）× P（B）进行分析。
这个公式表明，独立事件A和B之间的关联性，只与其本身的概率有关，而不会受其他事件的影响。
此外，几率计算还涉及一个叫做贝叶斯定理的概念，它是一种用来评估两个不相关事件之间相关性的统计方法。
贝叶斯定理可以用P （A|B）=P（A）× P（B|A）÷ P（B）的公式表示，其中P（A|B）表示B发生的概率，P（A）表示A发生的概率，P（B|A）表示A发生时B发生的概率，P（B）表示B发生的概率。
因此，贝叶斯定理可以帮助我们准确估计事件A和B之间的关联程度。
最后，几率计算还可以用来计算两个事件之间的条件概率，条件概率是指当另一个事件发生时，某一事件发生的概率。
条件概率可以用P（A|B）=P（A∩B）÷ P（B）的公式表示，其中P（A∩B）表示B发生的概率，P（B）表示B发生的概率。
从这一角度来看，我们可以利用条件概率来计算事件之间的对应关系，并估算某一条件下某一事件发生的可能性。
总之，几率计算是一门研究不确定结果的可能性的统计学，它可以帮助我们更加准确地估计某一结果发生的可能性，从而更好地把握概率，提高科学家在实际研究和应用中的把控能力。
数学中概率的公式
数学中概率的公式好的，以下是为您生成的文章：咱来聊聊数学里这让人又爱又恨的概率公式。
你说这概率啊，就像生活里的一场神秘游戏。
比如说咱去抽奖，想知道自己中大奖的可能性有多大，这就得靠概率公式来算算。
先来讲讲最简单也最基础的古典概型概率公式，P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 n(A) 就是事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 呢，则是样本空间Ω中基本事件的总数。
听起来是不是有点晕乎？别慌，我给您举个例子。
就说咱们班里选班长，有 5 个候选人，随机选一个当班长，那每个人被选中的概率就是 1/5 。
为啥呢？因为总共 5 个人，选到每个人的可能性都是一样的，这 5 个人就是样本空间里的基本事件总数，而其中一个人就是事件 A 包含的基本事件个数。
还有个重要的公式，条件概率公式 P(B|A) = P(AB) / P(A) 。
这就好比你去买水果，先挑了一堆苹果，然后再从这堆苹果里挑出红苹果的概率。
我记得有一次，我和朋友去商场参加抽奖活动。
抽奖箱里放了 100个球，其中 20 个是红球，80 个是白球。
抽中红球就能得奖。
我朋友特别兴奋，觉得自己运气一向不错。
我就跟他说，先别高兴得太早，咱们算算这概率。
这抽中红球的概率 P(A) 就是 20/100 = 1/5 。
结果他第一次没抽中，然后他不甘心，说再抽一次。
这时候商家说，第一次没抽中，第二次抽中红球的概率会提高。
这其实就是条件概率。
因为第一次没抽中，剩下的球里红球的比例就变了。
再说说全概率公式和贝叶斯公式。
全概率公式就像是把一个大问题分解成一个个小部分，然后把每个小部分的概率加起来。
贝叶斯公式呢，则是根据新的信息来更新之前的概率判断。
就像有一天我去菜市场买菜，有两个摊位卖同样的菜。
摊位 A 的菜新鲜度有 80%的可能是好的，摊位B 的菜新鲜度有60%的可能是好的。
我不知道该去哪个摊位买，然后我看到摊位 A 前面围了好多人，我就想，是不是大家都觉得摊位 A 的菜好呢？这时候就可以用贝叶斯公式来重新估计去哪个摊位买到新鲜菜的概率更高。
青岛版初二数学知识点
青岛版初二数学知识点学习学问要擅长思索, 思索, 再思索。
每一门科目都有自己的学习方法, 但其实都是万变不离其中的, 数学作为最烧脑的科目之一, 也是要记、要背、要讲练的。
下面是我给大家整理的一些初二数学的学问点, 盼望对大家有所协助。
初二下册数学学问点归纳第一章分式1、分式及其根本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式, 分式的只不变2、分式的运算(1)分式的乘除乘法法那么：分式乘以分式, 用分子的积作为积的分子, 分母的积作为积的分母除法法那么：分式除以分式, 把除式的分子、分母颠倒位置后, 与被除式相乘。
(2)分式的加减加减法法那么：同分母分式相加减, 分母不变, 把分子相加减;异分母分式相加减, 先通分, 变为同分母的分式, 再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法其次章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x(k不为0)性质：两支的增减性一样;2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：假如一个三角形中, 有两个边的平方和等于第三条边的平方, 那么这个三角形是直角三角形。
第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等;对角相等;对角线相互平分。
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线相互平分的四边形是平行四边形;一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论：三角形的中位线平行第三边, 并且等于第三边的一半。
2、特别的平行四边形：矩形、菱形、正方形(1)矩形性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形具有平行四边形的全部性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线相互垂直, 并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线相互垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。
概率计算方法全攻略
概率计算方法全攻略概率是数学的一个分支，用来研究随机事件在一系列试验中发生的可能性。
概率计算方法是利用数学模型来计算事件的概率。
本文将系统地介绍概率计算的常见方法。
首先，我们需要了解一些基本概念。
1.试验：指的是一次随机现象发生的过程。
例如，掷一枚硬币、掷一个骰子等。
2.样本空间：指的是试验的所有可能结果组成的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间是{正面，反面}。
3.事件：指的是样本空间的一个子集，表示我们关心的一些结果。
例如，掷一枚硬币出现正面的事件。
下面介绍一些概率计算的常见方法。
1.古典概率：也称为经典概率，适用于试验的样本空间有限且各个结果发生的概率相等的情况。
计算公式为P(A)=N(A)/N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)表示事件A包含的有利结果的个数，N(S)表示样本空间的结果个数。
2.几何概率：适用于试验的样本空间可以用一个几何模型表示的情况。
例如，随机选择一个点落在一个圆内的概率可以通过计算圆的面积与正方形的面积之比得到。
3.统计概率：适用于试验的样本空间不能直接观察到，而是需要通过统计方法估算的情况。
例如，通过随机抽样估计一个群体中其中一种特征存在的概率。
4.条件概率：指的是在已知一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
计算公式为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5.独立事件：指的是两个事件的发生与否互不影响的情况。
对于独立事件，有P(A∩B)=P(A)*P(B)。
6.互斥事件：指的是两个事件不可能同时发生的情况。
对于互斥事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
除了上述常见的概率计算方法，还有一些高级方法，如贝叶斯定理、排列组合等。
贝叶斯定理可以用于计算在已知一些条件下，事件的概率。
排列组合可以用于计算从一个集合中选择元素的不同方式的个数。
23.4(1)概率计算举例
23．4 （1）概率计算举例教学目标1．学会通过度量计算事件的概率.2．经历对图形的分析和研究的过程，培养思维的条理性，提高利用数形结合解决问题的能力.3．通过自主探究、合作交流激发学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性. 教学重点,难点分析和研究图形计算事件的概率.画图形计算事件的概率，培养学生思维的条理性.教学过程一、情景引入1．思考 当陨石落到地球上时，是落在陆地的可能性大，还是落入海洋的可能性大？试试利用概率的意义说明.生活中有些可能性的大小与长度、面积或体积等有关，相关的概率问题可以通过有关度量计算来解决；还有些概率问题可以利用图形来进行分析和研究，把问题转化为度量计算再解决.二、学习新课例题1 将圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图所示，任意转动转盘，停止后指针落在每个扇行内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.求指针分别落在“红色”、“黄色”、“绿色”扇形内的概率. 解：根据扇形圆心角相同，可以知道，转盘停止时，指针所在的扇形有8个等可能的结果.设事件A ：“指针落在红色区域内”；事件B ：“指针落在黄色区域内”；事件C ：“指针落在绿色区域内”.事件A 包含其中的1个结果，得P （A ）＝81. 事件B 包含其中的3个结果，得P （B ）＝83. 事件C 包含其中的4个结果，得P （C ）＝21 例题2：如图，转盘A 等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B 分为两个扇形（即半圆），号码为①、②.甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A 盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B 盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜.判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则.解：用树形图展示一次游戏的所有等可能的结果，如图所示，共有6个等可能的结果：（①①）、（①②）、（②①）、（②②）、（③①）、（③②）设事件D ：“两号码之积为奇数”；事件E ：“两号码之积为偶数”.P （D ）＝31，P （E ）＝32 甲胜的概率比乙胜的概率小31，可见这个游戏规则对乙很有利，是不公平的.怎么样改动游戏规则才是公平的？请你设计一下.例题3 甲乙两人相约下午1时至2时在某公共汽车站乘车，已知该站在下午1时30分和2时准点各发一班车，假设因堵车的影响，甲乙两人在1时至2时之间任一时刻到达车站的可能性相等，如果两人到车站后见车就上，那么两人同乘一辆车的概率是多少？分析：甲乙两人到达车站的时刻在1时至2时之间，其中有无数个等可能时刻.把两人到达车站的时刻用有序数对来表示，则在平面内可得到相应的点.这样两人到达车站的所有可能的时刻对应于一个平面区域，问题就转化为区域面积的计算.解：设甲到达车站的时刻为1时x 分，乙到达车站的时刻为1时y 分，则60x 0≤≤，60y 0≤≤.如图，只有当点（x ，y ）落在阴影区域时，甲乙两人才能同乘一辆车.设事件A ：“甲乙两人同乘一辆车”，则P （A ）＝21. 三、巩固练习 1、如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是A 、25B 、310C 、320D 、152、一盘录音带可录80分钟，前面20分钟已录完，现准备再录20分钟，如果随意地从录音带某处开始录，那么“能完整录音且与原先的录音不重叠”的概率是多少？3、小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判.⑴ 你认为游戏公平吗？为什么？⑵ 游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”.请你设计方案，解决这一问题.（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）四、课堂小结1、可以利用图形的面积关系来计算事件的概率2、可以采用列举、树形图、坐标系等方法列出所有的等可能结果五、作业布置123453489。
23.4 概率计算举例
第23章 第二节 《事件的概率》§23.4概率计算举例学习目标经历画树形图求概率的过程，进一步巩固画树形图分析等可能事件的方法，并能计算简单事件的概率，提高分析问题、解决问题的能力；学会转化分析与几何图形和等可能试验有关的概率问题，经历对图形的分析和研究的过程，培养思维的条理性，提高利用数形结合解决问题的能力；体验用数学眼光看待身边的事物，逐步养成用数学方法分析问题的能力和习惯；通过解决生活中的概率问题，树立概率意识，认识机会和风险，规则的公平性与决策的合理性。
知识概要1.用直接列举法求概率的一般步骤(1)列举出一次试验的所有可能的结果，计数为n ；(2)数出事件所有可能出现的结果m ；(3)代入概率的计算公式：nm A P =)(。
2.用画树形图法求概率的一般步骤：(1)把所有可能发生的试验结果用树形图表示出来；(2)把所求事件发生的可能结果都找出来；(3)代入概率的计算公式：所有可能出现的结果数果数事件所有可能出现的结=)(A P 。
3.用面积法求概率对于受几何图形面积影响的随机事件，在一个平面区域内的每个点，事件发生的可能性都是相等的，如果所有可能发生的区域的面积为S ，所求事件发生的区域面积为S '，那么SS A P '=)(。
经典题型精析(一)利用列举法、树形图求概率例1.从2,6,8这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被4整除的概率是多少? 1/3随堂练习：一人把分别写有“20”、“10”、“世博”的3张相同卡片，字面朝下随意放在桌面上；另一人再把这3张卡片排成一行，从左到右恰好排成“2010世博”或者“世博2010”的概率是( )A .61B .41C .31D .21例2.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛。
(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲乙两位同学的概率； 1/6(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
23.4(1)概率计算举例
一．填空
1. 在等可能试验过程中，遇到分步或交叉试验时，往往借助于“ 图”的方法来分析所有等可能结果，也可用列 的方法来分析所有的等可能结果。
2. 如中奖率是5%，那不中奖率为
3. 小成在书店买了一套故事书，有上中下三册
要整齐地摆放在书架上，有_______种顺序不同
的摆放？其中恰好摆成“下，中，上”顺序的
概率为__________
4. 一只小狗在如图的方砖上行走，最终停在阴
影方砖上的概率是_______
5. 一个盒子里有4个除颜色外，其余都相同的
玻璃球，一个红色，一个绿色，2个白色，现随机地从盒子里一次取出两个球，则这两个球都是白球的概率为_________
6. 从0到10这十一个数字中任取一个数，取一个数恰好为素数概率为___________
二、选择题
7. 九年级250名学生中参加数学竞赛的有40名，参加英语竞赛的有60名，两科都参加竞赛的有10名，现在从九年级学生名单中随机抽取一名学生，下列说法错误的是
A 、P(该生两科都参加竞赛) =0.04
B 、P(该生参加数学竞赛) =0.16
C 、P(该生只参加英语竞赛) =0.2
D 、P(该生不参加竞赛)=0.6
8. 1、如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4
个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是
A 、25
B 、310
C 、320
D 、15
三、解答题
9. 四张大小，质地均匀相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4.现将有数字的一面朝下扣在桌上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机地抽取第二张
123453489
（1）用画树形图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字所有可能情况
（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率为多少
10小王有5件衬衫，其中3件是白衬衫，4条长裤，其中2条是黑色的，一天晚上，灯坏了，他顺手拿了衬衫和长裤穿上出门，他走到路灯下发现自己穿白衬衫和黑长裤概率是多少?
11．将正面分别标有数字2，3，4背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上
（1）随机地取出一张，求抽的偶数的概率
（2）随机的抽取一张作为个位上的数字（不放回）再抽取一张作为十位上的数字，请你画出树形图，并根据树形图求恰好取到24的概率是多少？
四、选做题
12. 将一枚六个面编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2
23
y x by ax 只有正数解的概率为 （ ）
A. 121
B. 92
C. 185
D. 3613。