中考数学考点总复习 第25节 圆的有关计算与尺规作图 新人教版
中考数学考点总复习课件第25节圆的有关计算与尺规作图(共66张PPT(完整版)7
扇形的弧长与面积
【例 2】(1)(2017·咸宁)如图，⊙O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于 ︵
⊙O，连接 OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则BCD的长为( C )
A．π
3 B.2π
C．2π
D．3π
(2) (2017·日照)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点 B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边 形，AB＝6，S扇形BAE＝__6_π____.
【对应训练1】(1)(2017·株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所 对的圆心角最大的图形是( A ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
(2)(2017·沈阳)正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的周长是 12， 则⊙O 的半径是( B ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3
若 OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面Байду номын сангаас为43_π__＋__2___3__．(结 果保留π)
圆锥的侧面积与全面积
【例3】(1)(2017·黄冈)已知：如图，圆锥的底面直径是10 cm，高 为12 cm，则它的侧面展开图的面积是__6_5_π__cm2.
(2)(2017·绵阳)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一 个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的 高BC＝6 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是 ( C) A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2
尺规作图及基本步骤
5．尺规作图：只用无__刻__度__的__直__尺___和_圆__规_来完成画图，称为尺规作图． 6．基本步骤： (1)已知：写出已知的线段和角，画出图形； (2)求作：求作什么图形，使它符合什么条件； (3)作法：运用五种基本作图，保留作图__痕__迹____； (4)证明：验证所作图形的正确性； (5)结论：对所作的图形下结论．
人教版九年级圆的知识点
人教版九年级圆的知识点圆是几何中的重要概念之一，在九年级数学课程中也有相应的学习内容。
下面将对人教版九年级圆的知识点进行详细的探讨和解析。
1. 圆的定义圆是平面上一点到另一点距离保持不变的点的集合。
其中，到圆心的距离称为半径，记作r，而整个圆的长度称为周长，记作C。
2. 圆的性质（1）圆内任意两点之间的距离都小于或等于半径的长度。
（2）圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，它等于两倍的半径。
（3）圆内切于同一个圆的两条弦相等。
（4）在同一个圆中，等弧所对的弧长也相等。
（5）在同一个圆中，弧所对的弦所夹的圆心角相等。
（6）在同一个圆中，圆心角相等的两个弧所对的弦相等。
3. 圆的相关公式（1）圆的面积公式：S = πr²，其中π≈3.14。
（2）圆的周长公式：C = 2πr。
4. 圆与角的关系（1）弧度制：圆的周长是2π，对应的角度是360°，所以1弧度对应的角度是180°/π。
（2）弧度与角度的换算公式：θ(弧度) = α(角度) × π/180 或α(角度) = θ(弧度) × 180/π。
（3）圆心角：以圆心为顶点的角，可以对应到圆的弧长。
（4）弧长：圆上两点所对应的弧长，可以表示为θ × r，其中θ为圆心角（弧度制），r为半径。
5. 圆的常见问题（1）判断题：根据给定的条件判断是否为圆。
（2）计算题：根据给定的圆的半径或直径、圆心角或弦长等，计算圆的周长或面积。
（3）推理题：根据已知的条件，推导出未知的结果。
（4）应用题：将圆的概念应用到实际问题中，解决生活、工程等方面的实际问题。
在实际生活中，圆的知识点也有许多实用的应用。
比如，在建筑中，圆的概念被广泛应用于设计和建造圆形建筑物，如圆形剧场和体育馆。
此外，在机械工程领域，圆的概念也用于设计和制造轮子、齿轮等零部件。
总之，对于人教版九年级的圆的知识点，我们需要掌握圆的定义、性质、公式以及与角的关系。
中考数学总复习课件 圆的有关计算与尺规作图
A．圆柱 B．正方体 C．球
D．直立圆锥
3．(2017·黔南州)我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计 算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时 两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖” 的一种模型．它的主视图是( )
π＋ 2－1
则图中阴影部分的面积为 2
cm2.
14．(2017·荆门)如图，△ABC 内接于⊙O，且半径 OC⊥AB，
点 D 在半径 OB 的延长线上，且∠A＝∠BCD＝30°，AC＝2，
则由B︵C， 线段 CD 和线段 BD 所围成图形的阴影部分的面积为
2
3－23π
．
15．(导学号 78324048)(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径， MN＝4，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为A︵N的中点， P 是直径 MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当 PA＋PB 最小时 P 的位置． (不写作法，但要保留作图痕迹) (2)求 PA＋PB 的最小值．
【例2】(2016·铜仁)如图，AB是⊙O直径，点P为圆上一点，点C为AB延 长线上一点，PA＝PC，∠C＝30°.
(1)求证：CP是⊙O的切线； (2)若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．
解：(1)连接 OP，∵AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠C＝30°， ∴∠A＝30°，∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°， ∴∠POB＝∠A＋∠APO＝60°，∴∠POC＋∠C＝90°， ∴∠OPC＝90°，∴CP 是⊙O 的切线 (2)S 阴影＝36600π×42－ 43×42＝83π－4 3
A．2π
8 B.3π
4 C.3π
3 D.8π
10．(2017·安徽)如图，已知等边△ABC 的边长为 6， 以 AB 为直径的⊙O 与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点， 则劣弧D︵E的长为__π__．
中考数学圆知识点归纳
中考数学圆知识点归纳一、圆的定义和性质：1.圆的定义：平面上的所有到圆心距离相等的点的集合。
2.圆的部分：弧、弦、弧长、弦长、圆心角、半径、直径、切线、弧度、坐标公式等。
二、圆的特殊位置和位置关系：1.圆上的点与圆心之间的关系：圆周角是直径的角为直角。
2.圆内外的点与圆心之间的关系：内接圆和外接圆。
三、圆的性质：1.半径相等的圆相等，直径相等的圆相等。
2.圆的直径是两个切点。
3.两圆相交，切点在弦上，切点与所对弧不在一条直径上。
4.圆上的切线与半径垂直，且只有一条。
（切线切圆问题）5.过圆外一点可以作无数条切线，其中只有一条切线与圆通过该点处的切线垂直。
（外切线和切线问题）四、圆的计算：1.圆的周长：C=2πr（其中r为半径）。
2.圆的面积：S=πr²（其中r为半径）。
3.弧长：L=2πr（对应圆心角为360°的弧）。
4.弧度制和角度制的转换：弧度=角度×(π/180°)角度=弧度×(180°/π)五、利用圆的知识解决问题：1.根据已知条件作出相关几何图形，运用定理和性质求解问题。
2.提取关键信息，运用圆的性质和公式进行计算。
3.运用切线的特性求解问题。
4.运用弧的性质，求解弧长、弦长、圆心角等问题。
5.运用角平分线和垂直平分线的性质，求解相关问题。
六、与圆相关的解题技巧：1.制图时，可以借助直角三角形和等腰三角形的性质。
2.运用圆的部分的特性，构造性质，使用类似全等三角形的方法求解问题。
3.运用余弦定理、正弦定理等三角函数的性质，结合圆的特性求解问题。
4.利用圆内切四边形的特性解决问题。
以上为中考数学圆知识点的归纳，希望对你复习和备考有所帮助。
人教版九年级下册数学综合复习：第25讲《与圆有关的计算》
直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为（ B ）
A. 1 π
3
B.2 π
3
C. 7 π D. 4 π
6
3
【点评】 本题考查了弧长公式知识的应用，求出∠DOE的
度数是解决问题的关键．
考点 二 扇形面积公式的运用
【例2】(济宁)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=1,
考点 三 圆锥的侧面展开图
【例4】(东营)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则
该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( C )
A．60° B．90° C．120° D．180° 【例5】(自贡)圆锥的底面周长为6π cm，高为4 cm，则该
圆锥的全面积是_2__4_π__；侧面展开扇形的圆心角是__2_1__6_°_．
则DE的长为（ B ）
A. π 4
B.
π 2
C.π
D.2π
命题点3：扇形面积的计算
3.(山西)如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直
径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四
边形ABCD.若AC＝10cm,∠BAC＝36°,
则图中阴影部分的面积为( B )
A.5πcm2
B.10πcm2
C.15πcm2 D.20πcm2
【点评】 解决有关扇形和圆锥的相关计算问题时，要紧紧抓住两者之间的两个
对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周 长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出扇形面积是解 题的关键．
易错专练
混淆了圆锥底面圆的半径和侧面展开图扇形的半径 扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆
中考圆专题知识点总结
中考圆专题知识点总结一、圆的概念圆是平面上一个集合，该集合中任意两点的距离都相等，并且距离都等于圆的半径。
圆的周长叫做圆的周长，圆的面积叫做圆的面积。
圆的半径为r，圆的直径为d。
二、圆的性质1. 圆的周长和面积：圆的周长C = 2πr圆的面积S = πr²2. 弧和圆心角：- 弧：两点间的曲线部分，圆的一部分。
- 弧长：弧的长度，记作L。
- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的弧度数。
3. 弧长公式：L = rθ（θ用弧度表示）4. 圆周角：圆周角是一条弧所对的圆心角。
圆周角的度数等于它所对的圆心角的两倍。
5. 切线和切点：切线是与圆只有一个交点的直线。
切线与圆相切的点叫做切点。
6. 相交弧、对应弧和交角：- 相交弧：两个圆相交的弧。
- 对应弧：两个圆相交的弧的对应部分。
- 交角：两个相交弧的交角。
7. 圆内接四边形：如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
8. 圆的切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆相交而不相切的直线。
切线和割线的切点到圆心的连线和圆的半径相垂直。
三、圆周角、圆心角和弧对应的关系1. 圆周角的度数等于所对的圆心角的两倍。
2. 圆周角的度数等于所对的弧的度数。
3. 圆心角的度数等于所对的弧的度数。
四、圆的性质定理证明1. 同弧或同角：弧对应的圆心角和圆周角以及弧的长度都相等。
2. 切线定理：若直线与圆相交，且交点在圆外，则直线与圆的切点连线垂直于直线。
3. 切线与弦定理：如果一条切线和一条弦相交于圆上的同一点，则切线上这个点的两个切线段相等。
五、常见的圆相关问题1. 圆与圆之间的位置关系：相离、外切、相交、内切、相切。
2. 圆的面积和周长问题：求圆的面积和周长。
3. 圆心角、圆周角和弧的问题：根据给定的信息计算圆心角、圆周角和弧的长度。
4. 切线和切点的问题：计算切线和切点的位置以及相关长度。
5. 圆的切线和割线问题：计算切线和割线的位置以及相关长度。
2024海南中考数学二轮重点专题研究 第25课时 与圆有关的计算(课件)
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
第 4 题图
︵
5．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧AMB
上一点，则∠APB 的度数为( D )
A．45°
B．30°
C．75°
D．60°
第 5 题图
6．如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且 AB ＝4 2 ，AC＝5，AD＝4，则⊙O 的直径 AE＝__5___2___．
︵ 大于半圆的弧叫做优弧，如ABC
顶点在__圆__心____的角叫做圆心角，如图中_∠__B_O_C__和__∠__A_O__C__
在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，我们把这样的角叫
做圆周角，如图中_∠__O_A__C_和__∠__O__C_A__
2．性质 (1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
三个结论一定成立，即“知二推三”
【满分技法】作圆心到弦的垂线段及连接过弦端点的半径，构造以半径、弦的一半、
圆心到弦的垂线段为边的直角三角形
三角形的外接圆
概念 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆
图示
圆心 三角形三条边的垂直平分线的交点(外心) 性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【满分技法】直角三角形外接圆的半径：R＝12 c(c 为斜边长)
弦、弧、圆心角的关系
定理 推论
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相__等____，所对的弦__相__等____ (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相__等____， 所对的弦__相__等____； (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角__相__等____， 所对的弧__相__等____
数学人教版九年级上册圆的有关计算与尺规作图
单元复习
恩施市舞阳中学 谢东银
复习目标：
（1）熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算；发挥空间想象 进行圆锥的侧面与扇形之间的相互转换；明白正多边形的有关概念 与性质；会计算与圆有关的图形中阴影部分的面积； （2）主动获得解决与圆相关问题的一般方法，不断总结规律并能 够灵活解决与圆有关的计算问题．
C
N
合作应用 总结方法
小试牛刀
1、在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，将矩形 ABCD 沿直线 l 向右翻滚两次至如图 1 所示的位 25π 置，则点 B 所经过的路线长为 （结果不取近似值 ） 2
B A
C D
图1
D C
/
/
A B
/
/
合作应用 总结方法
小试牛刀
2、如图 2，点 A 在以 BC 为直径的⊙O 内，且 AB=AC, 以点 A 为圆心，AC 长为半径作弧，得 到扇形 ABC,剪下扇形 ABC 围成一个圆锥（AB 和 AC 重合） ，若 BAC 120, BC 2 3 ， 则这个圆锥底面圆的半径是（
B
A
B
A
问题研学 梳理归纳 研学2：圆锥的侧面展开与折叠
A
例2（2014T5）如图，一个圆锥
1 S R 2 r Rr 扇形 2
形漏斗，某同学用三角板测得其高度 的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的 侧面积为 15π cm2 .
h
B O
R
l 2 r
r
C
结 论 夺 眶 而 出
题 设 尽 收 眼 底
问题研学 梳理归纳
研学1：弧长与扇形面积
l
A
n°
O
B
R
2016年《中考精英》总复习课件 第25节 圆的有关计算与尺规作图
解：(1)连接 OC，则∠COB＝2∠CDB＝60°，∵AC∥BD，∴∠A＝ ∠OBD＝30°，∴∠OCA＝90° ，即 OC⊥AC，又∵OC 为半径，∴AC 是 ⊙O 的切线 (2)由(1)知，AC 为⊙O 的切线，∴OC⊥AC，∵AC∥BD，∴ 1 OC⊥BD.设 OC 交 BD 于 M，由垂径定理可知，MD＝MB＝2BD＝3 3.在 Rt △ OBM 中 ， ∠ COB ＝ 60 ° ， OB ＝ MB 3 3 ＝ ＝ 6. 由 ASA 可 证 sin60° 3 2
第25节 圆的有关计算 与尺规作图
数学
正多边形的有关概念 相等 的多边形，叫做正多边形． 1．各角相等，各边也______
中心 ，外接圆的 2．正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的_______
半径 ，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多 半径叫做正多边形的_______ 中心角 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的_______ 边心距 边形的_______ ．
尺规作图
【例4】两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图，电信部门需在C处修
建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到 两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺
规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图
痕迹)
解：如图：
点拨：根据题意，可知点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平 分线上，二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点， 由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
7．五种基本作图： (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作一个角的平分线； 上 一点作这条直 (4)经过一已知点作直线的垂线：①经过已知直线____ 外 一点作这条直线的垂线； 线的垂线；②经过已知直线____ (5)作已知线段的垂直平分线.
人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理
第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。
九年级人教圆知识点总结
九年级人教圆知识点总结在九年级人教圆课程中学习的知识点非常重要而丰富。
本文将对这些知识点进行一个全面而系统的总结，以帮助同学们更好地复习和掌握这些内容。
一、圆的基本概念1. 定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合。
2. 元素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
二、圆的相关性质1. 相关角性质：a. 同弧对应的角相等；b. 同弦对应的角相等；c. 圆心角是其所对弧的两倍；d. 半圆对应的圆心角是直角。
2. 弧长和扇形面积：a. 弧长公式：L = rθ （其中，L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的弧度值）；b. 扇形面积公式：A = 0.5r²θ （其中，A表示扇形面积）。
3. 切线与切点性质：a. 切线与半径垂直；b. 半径与切点相切。
4. 弦长性质：a. 弦长公式：s = 2rsin(0.5θ) （其中，s表示弦长，θ表示圆心角的度数值）。
三、圆的定位关系1. 圆与直线的位置关系：a. 外切、外切等于相离、外切等于相切、内切等于相离、内切等于相切、相交、重合等。
2. 圆与圆的位置关系：a. 外离、外切、相交、内切、内含等。
四、相交弦和它所对的弧1. 弦切角性质：相交弦所对的弧所对的角相等。
2. 弦长与弦切角的关系：a. 弦长相等的两条弦对应的弧所对的角相等；b. 等弧所对的弦所对的角相等。
五、圆的运动关系1. 平移：圆的运动路径为圆。
2. 直角旋转：圆的运动路径为正方形。
3. 一般旋转：圆的运动路径为正多边形。
六、圆的作图1. 用已知条件作圆的方法：a. 以圆心、半径作圆；b. 以直径作圆；c. 以弦作圆。
2. 圆和圆的位置关系作图方法：a. 两圆相交、内切、相切、外切；b. 圆内外一点与圆的位置关系。
七、圆与三角形的关系1. 圆内接正三角形：三角形的外接圆与一边之间的关系。
2. 圆内接等腰三角形：三角形的内切圆与底边之间的关系。
3. 圆外接正三角形：三角形的外接圆与边之间的关系。
初中九年级数学人教版-圆单元复习课件
34
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都
在另一个圆的内部时,叫两圆内含.
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圆与圆的位置关系:
1)两圆的五种位置关系
2)用两圆的圆心距d与两 圆的半径R,r的数量关系 来判别两圆的位置关系
两圆的位置关系 数量关系
外离 外切
d＞R+r d=R+r
相交
R-r＜d＜R+r
内切
d=R-r
C
A
B
M
└ ●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D 2021/5/27
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条件 结论
C
A
B
垂径定理及推论 命题
M └ ●O
①② ①③ ①④ ①⑤
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
∵CD是圆O的直径,CD⊥AB
∴AP=BP,
⌒⌒
AD=DB
A⌒C=B⌒C
C
·O
E
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
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19
垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
初中数学人教版
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第24章圆单元复习
1
本章知识结构图
中考数学考点总复习 第25节 圆的有关计算与尺规作图试
圆的有关计算与尺规作图1．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若△ADC 的周长为10，AB ＝7，则△ABC 的周长为( C )A ．7B ．14C ．17D ．202．(2016·无锡)已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于( C )A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 23．(2016·成都)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA ＝50°，AB ＝4，则BC ︵的长为( B )A.103πB.109πC.59πD.518π,第3题图) ,第4题图)4．(2016·资阳)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是( A )A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π5．(2016·十堰)如图，从一张腰长为60 cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( D )A ．10 cmB ．15 cmC ．10 3 cmD ．20 2 cm,第5题图) ,第6题图)6．(2016·广安)如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD ＝30°，CD ＝43，则S 阴影＝( B )A ．2π B.83π C.43π D.38π7．(2016·福州)如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上__＜__r 下．(填“＜”“＝”“＜”),第7题图) ,第9题图)8．(2016·眉山)一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为__83_cm__．9．(2016·邵阳)如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则扇形OAB 的面积大小是__5π4__．10．(导学号 59042188)(2016·东营)如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__25__．11．(导学号 59042189)(2016·河南)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵于点C ，若OA ＝2，则阴影部分的面积为__3－13π__．12．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N .劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)解：(1)作OD ⊥AB 于D ，∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝65π，解得OM ＝125，即⊙O 的半径为125，∵直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，x ＝3；当x ＝0时，y ＝4， ∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝32＋42＝5，∵△AOB 的面积＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝125＝半径OM ，∴直线AB 与⊙O 相切(2)图中所示的阴影部分的面积＝△AOB 的面积－扇形OMN 的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－3625π13．(2015·玉林)如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点且∠B OD ＝60°，过点D 作⊙O 的切线CD 交AB 的延长线于点C ，E 为AD ︵的中点．连接DE ，EB.(1)求证：四边形BCDE 是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O 的半径r.解：(1)∵CD 是⊙O 的切线，∠BOD ＝60°，∴OD ⊥CD ，∠C ＝30°，∴∠DEB ＝12∠DOB＝30°，连接OE ，则∠AOE＝60°，∴∠EBA ＝12∠AOE＝30°，∴EB ∥CD ，ED ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形 (2)由(1)知OD⊥EB，设OD 与EB 交点为H ，∴BH ＝HE ，∴△OBH ≌△DEH ，∴阴影部分面积与扇形OBD 面积相等，∴S 阴影＝60πr2360＝6π，解得r ＝614．(导学号 59042190)如图，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)，点B 从开始到结束，所经过路径的长度为( C )A.32π cm B ．(2＋23π) cm C.43π cm D ．3 cm,第14题图),第15题图)15．(导学号 59042191)(2015·黑龙江)如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC (A ，B ，C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是4米．16．(导学号 59042192)(2016·宜昌)如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且CD ∥AB ，连接AC ，AD ，OD ，其中AC ＝CD ，过点B 的切线交CD 的延长线于E .(1)求证：DA 平分∠CDO ； (2)若AB ＝12，求图中阴影部分的周长之和．(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)解：(1)∵CD ∥AB ， ∴∠CDA ＝∠BAD ， 又∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠BAD ， ∴∠ADO ＝∠CDA ， ∴DA 平分∠CDO(2)连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， ∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA ， 又∵CD ∥AB ，∴∠CDA ＝∠BAD ，∴∠CDA ＝∠BAD ＝∠CAD ，∴AC ︵＝DC ︵＝DB ︵， 又∵∠AOB ＝180°，∴∠DOB ＝60°， ∵OD ＝OB ，∴△DOB 是等边三角形，∴BD ＝OB ＝12AB ＝6，∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ＝BD ＝6， ∵BE 切⊙O 于B ，∴BE ⊥AB ， ∴∠DBE ＝∠ABE －∠ABD ＝30°， ∵CD ∥AB ，∴BE ⊥CE ，∴DE ＝12BD ＝3，BE ＝BD ·cos30°＝6×32＝33，∴BD ︵的长＝60π×6180＝2π，∴图中阴影部分周长之和为2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5。
湖南中考数学复习(课件)：第25课时 与圆有关的计算
∴CT=BC= 2，
则S阴=S△BCT=
1 2CT·BC=1.
例2题解图
练习3 (2017日照)如图，四边形ABCD中，
AB=CD,AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC
交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形(图
中阴影部分)的面积是
.
【解析】∵四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD， ∵AB=CD，∴AB=AE，∵以点B为圆心，BA为半径的圆 弧与BC交于点E，∴AB=BE，∴AB=AE=BE，∴△ABE 为等边三角形，且边长为6，∴∠B=60°， ∴S扇形= 60π ×62 =6π.
∴圆锥的侧面积= 1 ×6π×5=15π cm2，∴圆锥的全面积
2
=π×32+15π=24π cm2；设侧面展开扇形的圆心角的度数为 n°，则6π=nπ ×5 ，解得n=216.∴侧面展开扇形的圆心角
180
是216°.
类型 二 阴影部分面积的计算
例2 (2017临沂)如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线.
360
全面积为S全=S侧+S底=240π+100π=340π，
底面周长为2πr=20π，圆锥的高为 242 -102 =2 119.
练习1 （2017遵义）已知圆锥的底面积为9π cm2,母线长
为6 cm，则圆锥的侧面积是(
)
A. 18π cm2
B. 27π cm2
C. 18 cm2 【解析】
D. 27 cm2
若∠ATB=45°，AB=2,则阴影部分的面积是( C )
A．2
B．
3 2
-
1
4
C．1
D． 1 + 1