最新-2018届高考数学解答题编拟(3)理科番禺区大岗中学李奎光 精品

2018届高考数学解答题编拟（理科）（番禺区大岗中学 李奎光）题目 1. 已知函数22s (in c o s s 1)2c o f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 解：（Ⅰ）()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 222cos 2sin 12sin 22cos 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++⋅=πωπωπωωωωωx x x x x x xx f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222πωπ=，所以2=ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+，即()Z kk x ∈+=216ππ时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ 命题意图：本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin ()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．题目2. 在直角坐标系x O y 中，点P到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值；解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0-，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214yx +=．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.yx y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x k x ++-=， 故1212222344k x x x x kk+=-=-++，．若O A O B⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y kkk+=---+=+++，化简得2410k -+=，所以12k =±．命题意图：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．题目3. 在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a q a +-=+-（2,0n q ≥≠）．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a q a +-=+-（2n ≥），得11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b q b -=，2n ≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）211a a -=， 32a a q -=， ……21n n a a q --=，（2n ≥）．将以上各式相加，得211n n a a q q--+++=（2n ≥）．所以当2n ≥时，11,,.1,111n nq q q a n q -≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩上式对1n =显然成立．命题意图：本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力．题目4. 已知26列货车以相同速度 v 由 A 地驶向400千米处的 B 地，每两列货车间距离为 d 千米，现知 d 与速度 v 的平方成正比，且当 v ＝20（千米/时）时，d ＝1（千米）．（1）写出d 关于v 的函数关系式；（2）若不计货车的长度，则26列货车都到达 B 地最少需要多少小时？此时货车速度为多少？解：（1）由题意可设d ＝kv 2，其中k 为比例系数，k ＞0．∵当v ＝20时，d ＝1，∴1＝k ·202，即k ＝4001． ∴d ＝4001 v 2（v ＞0）．（2）∵ 每两列货车间距离是d （千米）， ∴ 最后一列货车出发时已等待的时间为 vd 25（小时），于是全部货车到达B 地的时间为 vd vt 25400+=．由（1）可知d ＝4001 v 2，代入上式整理得16400v vt +=，（v ＞0）．惯于 105216400216400=⨯=⋅≥+=v vv vt ．当且仅当16400v v=，即v ＝80（千米/时）时，等号成立．∴26列货车都到达B 地最少用10小时，此时货车速度为80千米/时．命题意图：本题考查学生的建模能力，考查基本不等式的知识的应用，及基本的计算能力。

本题的取材背景很公平，每个人都接触到这样的运输问题，实际中也是这样，比如100辆运输车辆若起程，不可能同时出发，最后一辆车，要等待多久？每两辆车之间要保持多大的车距？这是读者要弄清的问题．另外，整批货物运到目的地，需要从第一辆车出发开始记时，到最后一辆车到达为止．题目5.如图底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,,2,,60a PD PB a AC PA ABC ====︒=∠点E在PD 上,且PE:ED= 2: 1. (Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.(Ⅰ)证明： 因为底面ABCD 是菱形, ∠ABC=60º, 所以AB=AD=AC=a.在△PAB 中,由22222PBaABPA==+知PA ⊥AB.同理, PA ⊥AD,所以PA ⊥平面ABCD.(Ⅱ)解:作EG ∥PA 交AD 于G,由PA ⊥平面ABCD 知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H,连结EH,则EH ⊥AC. ∠EHG 为二面角θ的平面角. 又PE:ED=2:1 所以,3360sin ,32,31a AG GHa AG a EG =︒===从而.30,33tan ︒===θθGHEG(Ⅲ)当F 是棱PC 的中点时,BF ∥平面AEC.证明如下. 取PE 的中点M,连结FM,则FM ∥CE. ① 由,21ED PE EM ==知E 是MD 的中点.连接BM 、BD,设BD AC=O ，则O 为BD 的中点。

所以BM ∥OE 。

②由①、②知,平面BFM ∥平面AEC.命题意图：本小题主要考查直线和平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和探索、推理论证能力．题目6. 甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大.（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少； （Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ.解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x 、y 依题意得：23,52033(1)(1),540x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即3,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,23.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）┅┅┅┅┅┅┅4分所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是34、12. ┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）因为3(0)40P ξ==3(3)20P ξ==2312312317(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)54254254220P ξ==--+--+--=01317(2)1()40P P P P ξ==-++=所以E ξ=371733301234020402020⋅+⋅+⋅+⋅= ┅┅┅┅┅┅┅12分命题意图：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．题目7. 已知向量(c o s ,s in )a αα=，(c o s ,s in )b ββ=，255a b -=．（Ⅰ）求c o s()αβ-的值；（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5s in 13β=-，求sin α的值．解（Ⅰ）()()co s sin co s sin a b ααββ==，，，,()co s co s sin sin a b αβαβ∴-=--，.255a b -=,5∴=,即 ()422c o s 5αβ--=. ()3c o s 5αβ∴-=.（Ⅱ）0,0,0.22ππαβαβπ<<-<<∴<-<()3c o s 5αβ-=，()4sin .5αβ∴-=5s i n 13β=-，12c o s .13β∴=()()()s i n s i n s i n c o s c o s s i nααββαββαββ∴=-+⎡⎤⎣⎦=-+-412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. 命题意图：本题考查三角函数知识，平面向量基础知识的综合运用，以及计算能力。