【数学】内蒙古包头市第三十三中学2016-2017学年高二下学期4月月考试卷(理)(解析版)

内蒙古包头市第三十三中学2016-2017学年
高二下学期4月月考试卷（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（）
A．2x﹣y+1=0 B．2x﹣4y+2=0 C．2x+4y+1=0 D．2x﹣4y+1=0 2．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，x2+2x﹣1≤0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1≤0
C．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0
3．直线3x+y+1=0的倾斜角是（）
A．30°B．60°C．120°D．135°4．“若x，y∈R，x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题是（）
A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2+y2≠0
B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2+y2=0
C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2+y2≠0
D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2+y2≠0
5．已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y=0
6．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞log2x，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）
A．p∨q是假命题B．p∨（￢q）是假命题
C．p∧q是真命题D．p∧（￢q）是真命题
7．若点（1，a）到直线y=x+1的距离是，则实数a为（）
A．﹣1 B．5 C．﹣1或5 D．﹣3或3
8．设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x+y≥3”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．下列说法中，正确的是（）
①y+1=k（x﹣2）表示经过点（2，﹣1）的所有直线；
②y+1=k（x﹣2）表示经过点（2，﹣1）的无数条直线；
③直线y+1=k（x﹣2）恒过定点；
④直线y+1=k（x﹣2）不可能垂直于x轴．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
10．经过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，则直线l 的方程为（）
A．x﹣2y+9=0或x+2y+3=0 B．2x﹣y+9=0或2x+y+3=0
C．x+2y+3=0或x﹣2y+9=0 D．x+2y+9=0或2x﹣y+3=0
11．已知圆M：x2+y2﹣4y=0，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆M与圆N的公切线条数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线
间的距离的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．直线l1：x﹣y+1=0，l2：x+5=0，则直线l1与l2的相交所成的锐角为．
14．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，0），C（3，2），求第四个顶点D的坐标为．
15．设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．
16．已知圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0上一点P（a，b），则a2+b2的最小值是．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知点A（﹣2，3），B（3，2），过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围．
18．已知点A（3，0）为圆x2+y2=1外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M，当P 在圆上运动时，求点M的轨迹方程．并说明它表示什么曲线．
19．已知过定点P（﹣3，4）的直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，求满足条件的直线l的方程．
20．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
21．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．
（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
22．已知圆O：x2+y2=1，圆C：（x﹣2）2+（y﹣4）2=1．在两圆外一点P（a，b）引两圆切线P A、PB，切点分别为A、B，满足|P A|=|PB|．
（1）求实数a，b间的关系式．
（2）求切线长|P A|的最小值．
（3）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切，若存在求出圆P 的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
【解析】选项A，1×（﹣1）﹣2×（﹣2）=3≠0，故不与已知直线平行；
选项B，方程可化为x﹣2y+1=0，以已知直线重合，故不正确；
选项C，1×4﹣2×（﹣2）=8≠0，故不与已知直线平行；
选项D，1×（﹣4）﹣2×（﹣2）=0，且1×1﹣1×2≠0，与已知直线平行．
故选D
2．B
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2+2x﹣1≤0．
故选：B．
3．C
【解析】将直线方程化为：，所以直线的斜率为，
所以倾斜角为120°，故选C．
4．C
【解析】依题意得，原命题的题设为若x2+y2=0，结论为则x，y全为零．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0，
故选C．
5．A
【解析】P，Q的中点坐标为（2，3），PQ的斜率为：﹣1，所以直线l的斜率为：1，由点斜式方程可知：y﹣3=x﹣2，直线l的方程为：x﹣y+1=0
故选A
6．D
【解析】命题p：∃x∈R，x﹣2＞log2x，例如x=8，不等式成立，所以命题p是真命题；对命题q：∀x∈R，x2＞0，当x=0时，命题不成立，所以命题q为假命题．
所以￢q为真命题．
所以p∧（￢q）是真命题为真命题．
故选：D．
7．C
【解析】点（1，a）到直线y=x+1的距离是，
∴=，
即|a﹣2|=3，
解得a=﹣1，或a=5，
∴实数a的值为﹣1或5．
故选：C．
8．A
【解析】当x≥1且y≥2时，由不等式的可加性可得x+y≥1+2=3，
而当x+y≥3时，不能推出x≥1且y≥2，
比如去x=0，y=4，当然满足x+y≥3，显然不满足x≥1且y≥2，
由充要条件的定义可得“x≥1且y≥2”是“x+y≥3”的充分而不必要条件，
故选A
9．B
【解析】①y+1=k（x﹣2）表示经过点（2，﹣1）且斜率存在的直线，故错误；
②y+1=k（x﹣2）表示经过点（2，﹣1）的且斜率存在的直线，有无数条，故正确；
③直线y+1=k（x﹣2）恒过定点（2，﹣1），故正确；
④直线y+1=k（x﹣2）的斜率一定存在，不可能垂直于x轴，故正确．
故选：B．
10．D
【解析】圆x2+y2+4y﹣21=0配方可得：x2+（y+2）2=25，可得圆心C（0，﹣2），半径r=5．设经过点M（﹣3，﹣3）的直线l的方程为：y+3=k（x+3），化为：kx﹣y+3k﹣3=0．
圆心到直线l的距离d==，
∴+=52，化为：2k2﹣3k﹣2=0，解得k=2或﹣．
∴直线l的方程为x+2y+9=0或2x﹣y+3=0．故选：D．
11．B
【解析】圆M：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，表示以M（0，2）为圆心，半径等于2的圆．
圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示以N（1，1）为圆心，半径等于1的圆．
两圆的圆心距等于|MN|=，小于半径之和，大于半径之差的绝对值，
故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，故选：B．
12．B
【解析】作出平面区域如图所示：
∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．
联立方程组，解得A（2，1），
联立方程组，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．
∴平行线间的距离为d==，故选：B．
二、填空题
13．30°
【解析】∵直线l1：x﹣y+1=0的斜率为，倾斜角为60°，
而l2：x+5=0的斜率不存在，故它的倾斜角为90°，
直线l1与l2的相交所成的锐角为30°，
故答案为：30°．
14．（2，3）
【解析】设D（x，y），A（0，1），B（1，0），C（3，2），
则=（1，﹣1），=（3﹣x，2﹣y），=（x，y﹣1），=（2，2）．
又∵∥，∥，
∴﹣1（3﹣x）﹣（2﹣y）=0，2x=2（y﹣1），
解得x=2，y=3．
第四个顶点D的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
15．5
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．
故答案为：5．
16．30﹣10
【解析】圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=25
∴圆心坐标为（1，﹣2），半径r=5，
∴原点到圆心的距离为，则a2+b2最小值为（5﹣）2=30﹣10．
故答案为：30﹣10
三、解答题
17．解：k P A==﹣，k PB==，
∵过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，
∴或k．
∴直线L的斜率k的取值范围是∪．
18．解：设M（x，y），则
∵点A（3，0），AP的中点为M，
∴P（2x﹣3，2y）
∵P为圆x2+y2=1上任意一点，
∴（2x﹣3）2+（2y）2=1
∴
方程表示以（）为圆心，为半径的圆．
19．解：设直线l的方程是y=k（x+3）+4，
它在x轴、y轴上的截距分别是﹣﹣3，3k+4，
由已知，得|（3k+4）（﹣﹣3）|=6，
可得（3k+4）（﹣﹣3）=6或﹣6，
解得k1=﹣或k2=﹣．
所以直线l的方程为：2x+3y﹣6=0或8x+3y+12=0．
20．解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3
命题q：⇔⇔2＜x≤3，
p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3
（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．
由（1）知命题q：2＜x≤3，
命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0
由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，
所以，所以1＜a≤2
21．解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，
即：，解之得．
所求直线l1的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．
（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆心到直l1的距离d=
又∵三角形CPQ面积S=×2=d=
∴当d=时，S取得最大值2．
∴d==，k=1或k=7．
∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．
22．解：（1）连接PO，PC，∵|P A|=|PB|，|OA|=|CB|=1，
∴|PO|2=|PC|2从而a2+b2=（a﹣2）2+（b﹣4）2，a+2b﹣5=0．
（2）由（1）得a=﹣2b+5
∴|P A|===
当b=2时，|P A|min=2．
（3）若存在，设半径为R，则有|PO|=R﹣1，|PC|=R+1，于是|PC|=|PO|+2，即
整理得
故满足条件的圆不存在．。