培优专练之全等三角形中的等腰旋转

合集下载

专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型(专项练习)(培优篇)

C D E B A 专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型（专项练习）（培优篇）知识储备：1、模型一：三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA2、拓展：模型二：三等角全等模型图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA一、单选题1．如图，Rt△ABC 中，△C=90°，BC=6，DE 是△ABC 的中位线，点D 在AB 上，把点B 绕点D 按顺时针方向旋转α（0°<α<180°）角得到点F ，连接AF ，BF ．下列结论：△△ABF 是直角三角形；△若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ；△若α=90°，连接EF ，则S△DEF=4.5；其中正确的结论是（）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△二、填空题2．如图，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,1-，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰Rt OBF △，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于P 点，点P 的坐标是______．3．如图，AO△OM ，OA=7，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ，AB 为直角边，B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt△OBF 、等腰Rt△ABE ，连接EF 交OM 于P 点，当点B 在射线OM 上移动时，则PB 的长度____________．三、解答题4．在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图△，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图△，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图△，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，2OE =,求AC 的长．5．已知Rt△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE △AE ，过点B 作BD △AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求△EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG △FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，△EHB =△BHG ，求线段EH 的长．6．如图1，在Rt ACB ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，分别过B 、C 两点作过点A 的直线l 的垂线，垂足为D 、E ；（1）如图1，当D 、E 两点在直线BC 的同侧时，猜想，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（2）如图2，当D 、E 两点在直线BC 的两侧时，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（3）如图3，90BAC ∠=︒，22AB =，28AC =.点P 从B 点出发沿B A C →→路径向终点C 运动；点Q 从C 点出发沿C A B →→路径向终点B 运动.点P 和Q 分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P 和Q 作PF l ⊥于F ，QG l ⊥于G .问：点P 运动多少秒时，PFA ∆与QAG ∆全等？（直接写出结果即可）7．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC—CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE△l 于E ，QF△l 于F ．设点P 的运动时间为t （秒）：（1）当P 、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．8．（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：△CAE ABD ∠=∠；△DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．9．如图，A （-2，0），B （0，4）以B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC （1）求C 点的坐标；（2）如图2点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，过M 作MN△x 轴于N ，求OE -MN 的值．10．如图，OA OB =，OA OB ⊥，135ACO ∠=︒，求ACB ∠的度数.11．综合与实践．积累经验我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ⊥于点D ，BE DE ⊥于点E .求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB ∆∆≌，即可得到解决，（1）请写出证明过程；类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC ∆在平面直角坐标系中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，则点B 的坐标为____________．12．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD△直线m ，CE△直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA ＝△AEC ＝△BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．13．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点．（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则AG CG =______．（直接写出结果）14．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△；（2）求证：点G 是EF 的中点．15．如图，等腰Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A ，B 分别在坐标轴上．（1）如图1，若点C 的横坐标为5，直接写出点B 的坐标_______；图1（2）如图2，若点A 的坐标为()6,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB ，AB 为边在第一、第二象限作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴的正半轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变，求出PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．图216．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交边DC 与点E ，求证：PB=PE分析问题：学生甲：如图1，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N 通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP ，如图2，很容易证明PD=PB ，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD ，就可以证明PB=PE 了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交DC 的延长线于点E ，PB=PE 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，△BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则△1、△2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD △l 于点D ，CE △l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，△CAB 、△CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．△试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；△若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为18．如图，在平面直角坐标系中，点()()3,01,0B A --、分别是x 轴上两点，点()0,P h 是y 轴正半轴上的动点，过点P 作,DP PB CP PA ⊥⊥，且,PD PB PC AP ==．（1）如图1，连接AD BC 、相交于点E ，求证：PCB PAD ≌；（2）如图1，连接PE ，求证：PE 平分CED ∠；（3）如图2，连CD 与y 轴相交于点Q ，当动点P 在y 轴正半轴上运动时，线段PQ 的长度是否改变？如果不变，请求出其值；如果改变，请求出其变化范围．19．在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，AB AC =，点O 是BC 的中点，点P 是射线CB 上的一个动点（点P 不与点C 、O 、B 重合），过点C 作CE AP ⊥于点E ，过点B 作BF AP⊥于点F ，连接EO ，OF ．（问题探究）如图1，当P 点在线段CO 上运动时，延长EO 交BF 于点G ，（1）求证：AEC △BFA ；（2）BG 与AF 的数量关系为：______（直接写结论，不需说明理由）；（拓展延伸）（3）△如图2，当P 点在线段OB 上运动，EO 的延长线与BF 的延长线交于点G ，OFE ∠的大小是否变化？若不变，求出OFE ∠的度数；若变化，请说明理由；△当P 点在射线OB 上运动时，若2AE =，5CE =，直接写出OEF 的面积，不需证明． 20．如图，线段AB=4，射线BG△AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使△EAP=△BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：AEP△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）请直接写出AEF的周长．参考答案1．C【分析】△根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出AD BD DF ==，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；△分两种情况讨论：ABF ABC ∠=∠或ABF BAC ∠=∠，分别求α即可； △先根据题意画出图形，首先证明FDG ADE ≅ ，然后得出3FG DE ==，最后利用12DEF S DE FG =⋅即可求解．【详解】△△DE 是△ABC 的中位线，AD DB ∴=．由旋转可知DF DB =，AD BD DF ∴==，,DAF AFD DBF DFB ∴∠=∠∠=∠ ．180DAF AFB ABF ∠+∠+∠=︒ ，90AFD DFB ∴∠+∠=︒ ，即90AFB ∠=︒ ，△△ABF 是直角三角形，故△正确；90C ∠=︒ ，90BAC ABC ∴∠+∠=︒ ．若△ABF 和△ABC 全等，当ABF ABC ∠=∠时，180218022(90)2ABF ABC ABC BAC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠ ；当ABF BAC ∠=∠时，180218022(90)2ABF BAC BAC ABC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠，综上所述，若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ，故△正确；过点F 作FG DE ⊥交ED 的延长线于点G ，△DE 是ABC 的中位线，//DE BC ∴ ，90AED ACB ∴∠=∠=︒ ．FG DE ⊥，90FGE ∴∠=︒．90FDB ∠=︒，90ADF ∴∠=︒，90FDG ADE ∴∠+∠=︒．90DAE ADE ∠+∠=︒ ，FDG DAE ∴∠=∠．90AFB ∠=︒，D 为AB 中点，FD AD ∴=．在FDG △和ADE 中，FGD AED FDG DAE FD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FDG ADE AAS ∴≅3FG DE ∴==，1133 4.522DEF S DE FG ∴=⋅=⨯⨯=，故△正确；所以正确的有：△△△．故选：C ．【点拨】本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．2．()0,3-【分析】作EN y ⊥轴于N ，求出NBE BAO ∠=∠，证ABO BEN ≅△△，得BN =AO ，再由90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，证BFP NEP ≅△△，推出BP NP ==2，由点B 的坐标为()0,1-即可得出点P 的坐标为()0,3-．【详解】解：如图，作EN y ⊥轴于N ，90ENB BOA ABE ∠=∠=∠=︒，90OBA NBE ∴∠+∠=︒，90OBA OAB ∠+∠=︒，NBE BAO ∴∠=∠，在ABO 和BEN 中，AOB BNE BAO NBE AB BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABO BEN AAS ∴≅△△，OB NE BF ∴==，OA=BN90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，在BFP △和NEP △中，FPB EPN FBP ENP BF NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFP NEP AAS ∴≅△△，BP NP ∴=，又因为点A 的坐标为(4,0)，4OA BN ∴==，122BP NP BN ∴===，又△点B 的坐标为()0,1-，△点P 的坐标为()0,3-．故答案为：()0,3-．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．3．72【分析】根据题意过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，首先证明△ABO△△BEN ，得到BO=ME ；进而证明△BPF△△MPE 并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，△△AOB=△ABE=△BNE=90°，△△ABO+△BAO=△ABO+△NBE=90°，△△BAO=△NBE ，△△ABE 、△BFO 均为等腰直角三角形，△AB=BE ，BF=BO ；在△ABO 与△BEN 中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△ABO△△BEN （AAS ），△BO=NE ，BN=AO ；△BO=BF ，△BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△BPF△△NPE （AAS ）， △BP=NP=12BN ，BN=AO ， △BP= 12AO= 12×7=72．故答案为：72．【点拨】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．4．（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆△()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆△()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）△△BAC=△AOB=90°，△△BAO+△DAC=△BAO+△ABO=90°，△△DAC=△ABO ，△△ABC 是等腰直角三角形，△AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOB△△CDA （AAS ）（2）如图△，过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，△AC=BC ，BCM ∴∆△()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图△，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，△△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆△()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，△AOE=△COH ，OD AB ⊥，△AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，△BOH=△BOC -△COH=60°-45°=15°，154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，Rt△ADE 中，△DAE=45°-15°=30°，△AE=2DE ，设DE=x ，则AE=2x ，，△AD=OD ，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．5．（1）见解析；（2）△EDH＝45°；（3）EH＝【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE△△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH△△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M作MS△FH于点S，过点E作ER△FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET△BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）△CE△AE，BD△AE，△△AEC＝△ADB＝90°，△△BAC＝90°，△△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，△△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CAE △△ABD （AAS ），△AE ＝BD ；（2）连接AH△AB ＝AC ，BH ＝CH ，△△BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，△AHB ＝90°， △△ABH ＝△BAH ＝45°，△AH ＝BH ，△△EAH ＝△BAH ﹣△BAD ＝45°﹣△BAD ，△DBH ＝180°﹣△ADB ﹣△BAD ﹣△ABH ＝45°﹣△BAD ，△△EAH ＝△DBH ，在△AEH 与△BDH 中AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEH △△BDH （SAS ），△EH ＝DH ，△AHE ＝△BHD ，△△AHE +△EHB ＝△BHD +△EHB ＝90°即△EHD ＝90°，△△EDH ＝△DEH ＝18090452︒-︒=︒；（3）过点M 作MS △FH 于点S ，过点E 作ER △FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET △BC ，交HR 的延长线于点T ．△DG △FH ，ER △FH ，△△DGH ＝△ERH ＝90°，△△HDG +△DHG ＝90°△△DHE ＝90°，△△EHR +△DHG ＝90°，△△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DHG △△HER （AAS ），△HG ＝ER ，△ET △BC ，△△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，△△EHB ＝△BHG ，△△HET ＝△ETF ，△HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EFT △△MFH （AAS ），△HF ＝FT ， △22HF MS FT ER =， △ER ＝MS ，△HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k ==， k△FH ＝△HE ＝HT ＝2HF ＝【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．6．（1）+DE CE BD =（2）CE DE BD =+（3）当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等【分析】（1）根据题意首先证明()ABD ACE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明+DE CE BD =. （2）根据题意首先证明()ABD CAE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明CE BD DE =+.（3）根据PFA ∆与QAG ∆全等，列方程即可，注意要分类讨论.【详解】（1）+DE CE BD =.理由如下：△在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，又△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90BAD ABD ∠+∠=︒，△EAC ABD ∠=∠，△AB AC =，△()ABD ACE AAS ∆≅∆，△AD CE =，BD AE =，△DE AD AE CE BD =+=+.（2）CE DE BD =+..理由如下：△BD AE ⊥，CE AE ⊥，△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90ABD BAD ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，△ABD EAC ∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，△ABD CAE ∠=∠，ADB CEA ∠=∠，AB AC =，△()ABD CAE AAS ∆≅∆，△BD AE =，AD CE =，△AD AE DE =+，△AD BD DE =+，△CE BD DE =+；（3）解：△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222283t t -=-，解得6t =，△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222328t t -=-，解得10t =.△当点P 在AC 上，点Q 在AB 上时，（t>11）222328t t -=-解得：t=6(舍)△当点Q 运动到B 点，点P 在AC 上时，（11<t≤503） 22222t -=，解得22t =（舍）.所以当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等.【点拨】本题主要考查三角形的全等证明,关键在于第三问的分类讨论思想,这是数学的一个重要思想，应当熟练掌握.7．（1）t 的值为72秒；（2）CP 的长为6(6)6(614)t t t t -≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6【分析】（1）由题意得t+3t=6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；（2）根据题意即可得出CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．【详解】解：（1）由题意得t＋3t＝6＋8，解得：t＝72（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；（2）由题意可知AP＝t，则CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当P在AC上，Q在BC上时，△△ACB＝90，△△PCE＋△QCF＝90°，△PE△l于E，QF△l于F．△△EPC＋△PCE＝90°，△PEC＝△CFQ＝90°，△△EPC＝△QCF，△△PCE△△CQF，△PC＝CQ，△6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，△CQ＝8﹣3t＝5；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，△CQ＝3t﹣8＝2.5，当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．8．（1）△见解析；△见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）△根据平行线的判定与性质即可求解；△由条件可证明△ABD△△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知△BAD ＋△CAE ＝180°−α，且△DBA ＋△BAD ＝180°−α，可得△DBA ＝△CAE ，结合条件可证明△ABD△△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI△△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）△△BD△直线l ，CE△直线l△△BDA=△CEA=90°△△BAC=90°△△BAD+△CAE=90°△△BAD+△ABD=90°△△CAE=△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD ，AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：△△BDA=△BAC=α△△DBA+△BAD=△BAD+△CAE=180°﹣α△△DBA=△CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD 、AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM△HI 于M ，GN△HI 的延长线于N△△EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN△EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GNGHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△EMI△△GNI （AAS ）△EI=GI△I 是EG 的中点．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．9．（1）C （-4，6）；（2）OE －MN=2．【分析】（1）作CE△y 轴于E ，易证△CBE△△BAO ，即可得点C 的坐标；（2）作MF△y 轴于F ，易证△AOE△△EFM ，可得OE －MN=EF=OA 即可求得答案．【详解】（1）作CE△y 轴于E ，如图1，△A （-2，0），B （0，4），△OA=2，OB=4，△△CBA=90°，△△CEB=△AOB=△CBA=90°，△△ECB+△EBC=90°，△CBE+△ABO=90°，△△ECB=△ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CBE△△BAO ，△CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，△C （-4，6）．（2）如图2，作MF△y 轴于F ，则△AEM=△EFM=△AOE=90°，△△AEO+△MEF=90°，△MEF+△EMF=90°，△△AEO=△EMF ，在△AOE 和△EMF 中，AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEO△△EMF ，△EF=AO=2，MF=OE ，△MN△x 轴，MF△y 轴，△△MFO=△FON=△MNO=90°，△四边形FONM 是矩形，△MN=OF ，△OE -MN=OE -OF=EF=OA=2．考点：全等三角形的判定及性质．10．△ACB=90°.【分析】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．通过AAS 证明△AOM△△OBN ，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求得答案.【详解】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．△△ACO=135°，△△ACM=45°，△AM=CM ，在△AOM 与△OBN 中，90()AMO ONB AOM OBN BON OA OB ∠∠︒⎧⎪∠∠∠⎨⎪=⎩＝＝＝均为的余角，△△AOM△△OBN(AAS)，△OM=BN ，ON=AM=CM ，△NC=OM=BN ，又△BN△NS ．△△BCN=45°，△△ACB=△ACO -△BCN=90°.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，难点是作出辅助线．11．（1）见解析；（2）B 的坐标（3，1）；（3）（3，4）【分析】（1）根据AD△DE 、BE△DE 得到△D=△E=90°再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出△DAC=△BCE ，进而证明ADC CEB ≅，最后再根据全等三角形对应边相等得出AD=CE ，CD=BE ；（2）如图4，过点B 作BE△x 轴于点E ，通过证明AOC CEB ≅，进而得出AO=CE ，CO=BE ，再根据点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0），求得OE=3，最后得出B 的坐标（3，1）；（3）如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ，通过证明CDB AEC ≅，进而得出BD=CE=，AE=CD ，最后根据点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，得出B 坐标（3，4）.【详解】（1）证明：△AD△DE ，BE△DE△△D=△E=90°△△DAC+△ACD=90°又△△ACB=90°△△ACD+△BCE=90°△△DAC=△BCE在△ADC 和△CEB 中D E DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADC△△CEB△AD=CE ，CD=BE（2）解：如图，过点B 作BE△x 轴于点E△△AOC=90°△△OAC+△ACO=90°又△△ACB=90°△△ACO+△BCE=90°△△OAC=△BCE在△AOC 和△CEB 中90AOC CEB OAC ECBAC BC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOC△△CEB△AO=CE ，CO=BE又△点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0）△AO=2，CO=1△CE=2，BE=1△OE=3△B 的坐标（3，1）（3）（3，4）解：如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ， △AE△CF ，BD△CF△90AEC CDB ∠=∠=︒，△90ACE CAE ∠+∠=︒,又△90ACB ∠=︒，△90ACE BCD ∠+∠=︒，△CAE BCD ∠=∠,△在ACE △和BCD △中AEC CDB CAE BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACE BCD ≅（AAS ）△BD=CE ，AE=CD ，又△A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，△CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2设B 点坐标为（a ，b ），则a =4-1=3，b =2+2=4，△B 坐标（3，4）.【点拨】本题综合考查了全等三角形的证明以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题；通过构建“一线三等角”模型，再利用直角三角形的性质以及同角的余角相等解决角关系是本题的关键.12．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【分析】（1）证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明△ABD=△CAE ，证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC△△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：△BD△直线m ，CE△直线m ，△△ADB ＝△CEA ＝90°△△BAC ＝90°△△BAD ＋△CAE ＝90°△△BAD ＋△ABD ＝90°△△CAE ＝△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE ＝BD ，AD ＝CE△DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，△ABD=180°-△ADB -△BAD ，△△CAE=180°-△BAC -△BAD ，△BDA=△AEC ，△△ABD=△CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝△△ABD△△CAE （AAS ）△AE=BD ，AD=CE ，△DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE△x 轴于E ，BF△x 轴于F ，由（1）可知，△AEC△△CFB ，△CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，△OF=CF -OC=1，△点B 的坐标为B （1，4）．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【分析】（1）证明△AFD△△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF=AC ，等量代换证明结论；（2）作FD△AC 于D ，证明△FDG△△BCG ，得到DG=CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；（3）过F 作FD△AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG=GD ，AD=CE=7，代入计算即可．【详解】解：（1）证明：△FD△AC ，△△FDA=90°，△△DFA+△DAF=90°，同理，△CAE+△DAF=90°，△△DFA=△CAE ，在△AFD 和△EAC 中， AFD EAC ADF ECA AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AFD△△EAC （AAS ），△DF=AC ，△AC=BC ，△FD=BC ；（2）作FD△AC 于D ，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，90 FDG BCG FGD BGCFD BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△FDG△△BCG（AAS），△DG=CG=1，△AD=2，△CE=2，△BC=AC=AG+CG=4，△E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD△AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF△△ECA，△GDF△△GCB，△CG=GD，AD=CE=7，△CG=DG=1.5，△4 1.5111.53 AGCG+==，同理，当点E在线段BC上时，4 1.551.53 AGCG-==，故答案为：113或53.【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1） △FH AG ⊥，90AEH EAH ∴∠+∠=︒，90FAC ∠=︒，90FAH CAD ∴∠+∠=︒，AFH CAD ∴∠=∠，在AFH ∆和CAD ∆中，90AHF ADC AFH CADAF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，FH AD ∴=，作FK AG ⊥，交AG 延长线于点K ，如图；同理得到AEK ABD ∆≅∆，EK AD ∴=，FH EK ∴=，在EKG ∆和FHG ∆中，90EKG FHG EGK FGHEK FH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EKG FHG AAS ∴∆≅∆，EG FG ∴=．即点G 是EF 的中点．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K 字形全等进行证明是解本题的关键．15．（1）()05，；（2）不变，PB 的值为3【分析】（1）作CD△BO ，可证△ABO 全等于△BCD ，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；（2）作EG△y 轴，可证△BAO 全等于△EBG 全等于△EGP 全等于△FBP ，可得BG=OA 和PB=PG,即可求得PB 是AO 的2倍，即可得到结论．【详解】（1）如图，作CD△BO 于D ，△△CBD+△ABO=90°，△ABO+△BAO=90°，△△CBD=△BAO,在△ABO 和△BCD 中，90BOA BDC CBD BAOAB BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABO△△BCD,△CD=BO=5,△B 点的坐标（0,5）故答案为：()05，．（2）不发生改变，理由如下：作EG y ⊥轴于G ，90BAO OBA ∠+∠=︒，90OBA EBG ∠+∠=︒，BAO EBG ∴∠=∠．在BAO ∆和EBG ∆中，90AOB BGE BAO EBGAB BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAO EBG AAS ∴∆≅∆AO BG ∴=，OB EG =OB BF =，BF EG ∴=在EGP ∆和FBP ∆中，90EPG FPB EGP FBP EG FB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()EGP FBP AAS ∴∆≅∆PG PB ∴=．11322PB BG AO ∴===． △不变，PB 的值为3．【点拨】本题考查三角形全等、等腰直角三角形性质、勾股定理、角平分线性质，熟练掌握添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．16．解决问题：证明见解析；问题延伸：成立，证明见解析.【分析】解决问题：对于图1，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，则四边PMCN 为矩形，根据角平分线性质得PM=PN ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBM=△PEN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，则PB=PE ；对于图2，连结PD ，根据正方形的性质得CB=CD ，CA 平分△BCD ，根据角平分线的性质得△BCP=△DCP ，再根据“SAS”证明△CBP△△CDP ，则PB=PD ，△CBP=△CDP ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBC=△PED ，则△PED=△PDE ，所以PD=PE ，于是得到PB=PD ；问题延伸：对于图3，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，得到四边PMCN 为矩形，PM=PN ，则△MPN=90°，利用等角的余角相等得到△BPM=△EPN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，所以PB=PE ．【详解】解决问题：如图1，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBM=△PEN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE PBM PEN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ；如图2，连结PD ，△四边形ABCD 为正方形，△CB=CD ，CA 平分△BCD ，△△BCP=△DCP ，在△CBP 和△CDP 中CB CD BCP DCP CP CP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△CBP△△CDP （SAS ），△PB=PD ，△CBP=△CDP ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBC=△PED ，△△PED=△PDE ，△PD=PE ，△PB=PD ；问题延伸：如图3，PB=PE 还成立．理由如下：过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△MPN=90°，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△BPM+△MPE=90°，而△MEP+△EPN=90°，△△BPM=△EPN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE BPM EPN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ．17．提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：△EM FN AB +=，理由见解析；△492．【分析】提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：△如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；△如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：△EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；△如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN SS S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCDS S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+，则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大，设ABC 的BC 边上的高为h ，则122ABC S BC h h =⋅=，在ABC 中，CAB ∠、CBA ∠均为锐角，∴当90ACB ∠=︒时，h 取得最大值，最大值为3AC =，ABC ∴面积的最大值为236ABC S =⨯=，则五边形EMNFC 面积的最大值为25492622⨯+=，故答案为：492．【点拨】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，1．【分析】（1）根据题意直接证明即可；（2）作PM D A ⊥，PN BC ⊥，运用角平分线的判定定理证明；（3）通过“一线三垂直”模型，证得SDQ CTQ △△≌，进而结合边长数量关系求解．【详解】（1）90DPB APC ∠=∠=︒，DPA BAC ∴∠=∠，在PCB 与PAD △中，PD PB DPA BAC PC AP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩()PCB PAD SAS ∴△≌△（2）如图，作PM D A ⊥，PN BC ⊥，则90PMA PNC ∠=∠=︒，由PCB PAD ≌，得PCN PAM ∠=∠，在PMA △与PNC △中，PMA PNC PCN PAM PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA PNC AAS ∴△△≌，PM PN ∴=，PE ∴平分CED ∠（3）如图，作DS CT 、分别垂直于y 轴，垂足为S T 、，90APO TPC ∠+∠=︒，90TPC TCP ∠+∠=︒，APO PCT ∴∠=∠（余角的性质）在APO △与PCT △中，POA CTP APO PCT PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()APO PCT AAS ∴△△≌，1OA TP ∴==，PO CT =，同理可证：PBO DPS △△≌，3OB SP ∴==，4ST SP PT =+=，∴ PO SD =，CT SD =，在SDQ △与CTQ △中，CQT SQD CTQ DSQ CT SD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SDQ CTQ AAS ∴△△≌122SQ TQ ST ∴===， 1PQ QT PT ∴=-=．。

第1章全等三角形-解答题中考经典常考题)-江苏省2023-2024学年上学期八年级数学单元培优专题

第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．第1章全等三角形-解答题（中考经典常考题）-江苏省2023-202 4学年上学期八年级数学单元培优专题练习（苏科版）参考答案与试题解析一．全等三角形的判定与性质（共5小题）1．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第　二　步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【答案】（1）二；（2）证明见解答过程．【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二；（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2，方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2．2．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C，在△BDE和△ACB中，，∴△BDE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC．3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD 长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作图知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．4．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC ＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．5．（2021•无锡）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求证：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC＝∠OCB．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB．。

全等三角形培优

全等三角形培优关键信息项1、培优课程的目标和预期成果明确学生在全等三角形知识方面的掌握程度提升目标预期学生在相关考试和竞赛中的表现提升2、教学内容和方法涵盖全等三角形的定义、性质、判定定理等核心知识点采用讲解、练习、讨论、案例分析等多种教学方法3、教学时间和进度安排总课时数每周的上课时间和时长每个阶段的教学重点和进度计划4、学生的学习要求和责任按时参加课程，完成作业和练习积极参与课堂讨论和互动主动提出问题和寻求帮助5、教师的职责和教学质量保障具备专业知识和教学经验及时批改作业和答疑解惑定期进行教学评估和改进6、费用和退费政策课程费用的具体金额和支付方式退费的条件和流程7、保密和知识产权对教学资料和学生学习成果的保密规定知识产权的归属11 课程目标和预期成果111 本全等三角形培优课程旨在帮助学生深入理解全等三角形的概念、性质和判定方法，提高学生运用全等三角形知识解决复杂几何问题的能力。

通过本次培优课程，学生应能够熟练掌握全等三角形的各种证明技巧，能够准确快速地识别全等三角形，并能够运用全等三角形的知识解决综合性的几何难题。

112 预期成果方面，学生在完成本课程后，在学校的数学考试中有关全等三角形的题目得分率应显著提高，能够在数学竞赛中灵活运用所学知识取得较好的成绩。

同时，学生应具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习更高级的几何知识打下坚实的基础。

12 教学内容和方法121 教学内容将全面涵盖全等三角形的各个方面，包括但不限于：全等三角形的定义、性质和判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的详细讲解和应用举例。

全等三角形与其他几何图形（如等腰三角形、直角三角形）的综合应用。

全等三角形在证明线段相等、角相等以及求解图形面积等问题中的应用。

复杂图形中全等三角形的识别和构造。

122 教学方法将多样化，以满足不同学生的学习需求：课堂讲解：由教师系统地讲解全等三角形的知识点，确保学生理解基本概念和原理。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题05 旋转之线段问题

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题05 旋转之线段问题【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是_______；(2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________．【解答】（1）如图，△AP 1 B 为所作；连接PP 1， △AP 1 P 为等边三角形理由如下：∵△APC 绕点A 顺时针旋转60°后得△AP 1 B ， ∴AP 1=AP ，∠PAP 1 = 60°， ∴△AP 1P 为等边三角形；（2）∵△AP 1P 为等边三角形；∴PP 1=AP =3，又根据旋转的性质得BP 1=PC =5，PP 12 + PB 2=32+42=25，BP 12=CP 2=52=25，∴PP 12 + PB 2=BP 12∴△BP 1P 为直角三角形，∠BPP 1 = 90°；（3）∵△APP 1为等边三角形，∴∠APP 1 = 60°，而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB = 90°+ 60°= 150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，P 是锐角ABC 内一动点，把APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP C ''，连接PP '，这样就可得出PA PB PC BP PP P C '''++=++，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（30B ∠=︒，90C ∠=︒），其中顶点A 、B 、C 为公园的出入口，20km AB =，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P ，使该凉亭到三个出入口的距离PA PB PC ++最小，求这个最小的距离．2．（1）如图1，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF BE FD =+，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒，那么线段EF 、DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB △绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积；【类比应用】(3)如图③，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．4．问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．(1)延长FD 到点G 使DG ＝BE ，连接AG ，得到至△ADG ，从而可以证明EF ＝BE ＋FD ，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由． 5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD 的边长为8，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，且∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于点G ，求△EFC 的周长．6．在等边BCD △中，DF BC ⊥于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以点B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE ．(1)如图1，点A 在线段DF 上，连接CE ，求证：CE DA =；(2)如图2，点A 在线段FD 的延长线上，请在图中画出BE 并连接CE ，当45DEC ∠=︒时，连接AC ，求出BAC ∠的度数；(3)在点A 的运动过程中，若6BD =，求EF 的最小值7．（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA 、OB 、OC ，且OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．求：①旋转角的度数； ②线段OD 的长； ③求∠BDC 的度数．（2）如图2所示，O 是等腰直角△ABC （∠ABC ＝90°）内一点，连接OA 、OB 、OC ，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．当OA 、OB 、OC 满足什么条件时，∠ODC ＝90°？请给出证明．8．如图所示，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是边AD 、AB 、BC 的中点，连接EF ，FG ．（1）如图1，直接写出EF与FG的关系______；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．△；①求证：HFE≌PFG②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．10．[方法探索]如图1，在等边ABC 中，点P 在ABC 内，且2PA =，4PC =，150APC ∠=︒，求PB 的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，分别证明AP P '△和BP P '△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB 的长．解：把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到AP B '△，连接PP '．接着写下去： 11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P 在等边ABC 外，且3PA PB ==，120APB ∠=︒，若33AB =PBC ∠度数． ②如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC =P 是ABC 外一点，连接PA 、PB 、PC ．已知45APB ∠=︒，2PB =．求PC 的长．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta ）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以AB ，AC 为边作Rt △ABE 和Rt △ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，则有下列结论：①图1中S △ABC ＝S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ；③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE ，若F 为BD 的中点，连接AF ，求证：2AF ＝CE ．13．数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是___________； (2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________．答案与解析【模型讲解】数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边ABC 中有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，试求APB ∠的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求APB ∠度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．(1)在图中画出APC △绕点A 顺时旋转60°后的1APB △，并判断1APP △的形状是_______；(2)试判断1BPP △的形状，并说明理由；(3)由（1）、（2）两问可知：APB ∠=___________．【解答】（1）如图，△AP 1 B 为所作；连接PP 1， △AP 1 P 为等边三角形理由如下：∵△APC 绕点A 顺时针旋转60°后得△AP 1 B ， ∴AP 1=AP ，∠PAP 1 = 60°， ∴△AP 1P 为等边三角形；（2）∵△AP 1P 为等边三角形；∴PP 1=AP =3，又根据旋转的性质得BP 1=PC =5，PP 12 + PB 2=32+42=25，BP 12=CP 2=52=25，∴PP 12 + PB 2=BP 12∴△BP 1P 为直角三角形，∠BPP 1 = 90°；（3）∵△APP 1为等边三角形，∴∠APP 1 = 60°，而∠BPP 1= 90°； ∴∠APB = 90°+ 60°= 150°，故答案为：150°．【模型演练】1．（1）如图1，P 是锐角ABC 内一动点，把APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP C ''，连接PP '，这样就可得出PA PB PC BP PP P C '''++=++，请给出证明过程．（2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（30B ∠=︒，90C ∠=︒），其中顶点A 、B 、C 为公园的出入口，20km AB =，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P ，使该凉亭到三个出入口的距离PA PB PC ++最小，求这个最小的距离．【答案】（1）见解析；（2）107km【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论；（2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．【解答】（1）如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，∴△APP'是等边三角形，∴PP'=PA，∵PC=P'C，∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′；（2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°，∴AC=10，BC=103，如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，∴△BPP′是等边三角形，∴PP'=PB，∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，∴∠ABC'=90°，由勾股定理得：222220(103)107,AC AB C B ''=+=+= ∴PA +PB +PC =PA +PP '+P 'C '=AC '=107，则点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为107km ．【点评】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题．2．（1）如图1，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF BE FD =+，请你利用图1证明上述结论．(2）如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒，那么线段EF 、DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）DF EF BE =+，理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；（2）把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，结合（1）中证明方法进行证明即可．【解答】证明：（1）∵AB AD =，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合， ∵90ADC B ∠=∠=︒，∴180FDG ∠=︒，即点F 、D 、G 共线， ∴DAG BAE ∠∠=，AE AG =，+904545FAG FAD GAD FAD EAE EAF =+==︒-︒=︒=∠∠∠∠∠∠，即EAF FAG ∠=∠．∵AF AF =，AE AG =∴AFG AFE ≌∴EF FG =．∴EF DF DG DF BE =+=+，即EF BE DF =+（2）DF EF BE =+．理由：如图2所示．∵AB AD =，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，∵90ADC ABE ∠=∠=︒∴点C 、D 、G 在一条直线上．∴EB DG =，AE AG =，EAB GAD ∠=∠．∵90BAG GAD ∠+∠=︒∴90EAG BAD ∠=∠=︒．∵45EAF ∠=︒∴904545FAG EAG EAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴EAF GAF ∠=∠．∴EAF GAF △≌△∴EF FG =∵FD FG DG =+∴DF EF BE =+．【点评】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．3．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB △绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积；【类比应用】(3)如图③，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．【答案】(1)等边三角形(2)934(3)4【分析】（1）由旋转的性质得出BD ＝DB ′，∠BDB ′＝60°，所以△BDB ′是等边三角形；（2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形BDB ′的面积即可；（3）将△BDM 绕点D 顺时针方向旋转120°，得到△DCP ，则△BDM ≌△CDP ，得出MD ＝PD ，∠MBD ＝∠DCP ，∠MDB ＝∠PDC ，证明△NMD ≌△NPD ，证得△AMN 的周长＝AB +AC ＝4．【解答】（1）解：∵将△DCB 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，∴BD ＝B ′D ，∠BDB ′＝60°，∴△BDB ′是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）解：由（1）知，△BCD ≌△B ′AD ，∴四边形ABCD 的面积＝等边三角形BDB ′的面积，∵BC ＝AB ′＝1，∴BB ′＝AB +AB ′＝2+1＝3，∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝133933224⨯⨯=；（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，∴∠DCN+∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．故△AMN的周长为4．【点评】本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．4．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD 到点G 使DG ＝BE ，连接AG ，得到至△ADG ，从而可以证明EF ＝BE ＋FD ，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD 中，90≠︒∠BAD ，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足______数量关系时，仍有EF ＝BE ＋FD ，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2BAD EAF ∠∠=，理由见解析【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△ADG ≌△ABE ，根据全等三角形的性质得到AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，∠ADG ＝∠ABE ＝90°，证明∠AFE ≌△AFG ，根据全等三角形的性质证明；（2）延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，证明△EAF ≌△EAM ，根据全等三角形的性质证明；(1)延长FD 到点G 使DG =BE ，连接AG ．如图（1），在正方形ABCD 中，AB =AD ，90,BAD ADC B ∠=∠=∠=︒在ABE ∆和ADG ∆中，AB AD ABE ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ∴∆≌ADG ∆(SAS ),BAE GAD AE AG ∴∠=∠=45GAD DAF BAE DAF ∴∠+∠=∠+∠=︒45EAF GAF ∴=∠=∠︒在AEF ∆和AGF ∆中，GA EA GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ∆≌AGF ∆EF GF GD DF BE DF ∴==+=+(2)2BAD EAF ∠∠=理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，180,180ABC D ABC ABM ∠+∠=︒∠+∠=︒D ABM ∠∠∴=在ABM ∆和ADF ∆中，AB AD ABM D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABM ∴∆≌ADF ∆,AF AM DAF BAM ∴=∠=∠2BAD EAF ∠∠=DAF BAE BAM BAE EAF ∴∠+∠=∠+∠=∠EAF EAM ∴∠=∠在EAF ∆和ΔEAM 中，AF AM EAF EAM AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EAF ∆≌ΔEAMEF EM BE BM BE DF ∴==+=+EF BE DF ∴=+【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见解析【分析】对于（1），先将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得△ADF≌△ABH，再根据全等三角形的性质得AF=AH，∠EAF=∠EAH，然后根据“SAS”证明△FAE≌△HAE，根据全等三角形的对应边相等得出答案；对于（2），先根据（1），得△FAE≌△HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明Rt△AEG≌Rt△ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．（1）EF=BE+DF．理由如下：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∴∠EAF=∠EAH=45°．∵AE=AE，∴△FAE≌△HAE，∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF；（2）由（1），得△FAE ≌△HAE ，AG ，AB 分别是△FAE 和△HAE 的高，∴AG=AB=AD=8．在Rt △AEG 和Rt △ABE 中，AE AE AG AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEG ≌Rt △ABE （HL ），∴EG=BE ，同理GF=DF ，∴△EFG 的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．【点评】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等．6．在等边BCD △中，DF BC ⊥于点F ，点A 为直线DF 上一动点，以点B 为旋转中心，把BA 顺时针旋转60°至BE ．(1)如图1，点A 在线段DF 上，连接CE ，求证：CE DA =；(2)如图2，点A 在线段FD 的延长线上，请在图中画出BE 并连接CE ，当45DEC ∠=︒时，连接AC ，求出BAC ∠的度数；(3)在点A 的运动过程中，若6BD =，求EF 的最小值在DBA 与△BD BC DBA BA BE =∠=∠=DBA ≌△解：如图3，由（1）可知，DBA CBE ≌△△，∴DA CE =，BDA BCE ∠=∠，又∵BCD △是等边三角形，∴60BDC BCD ∠=∠=︒，DB DC =，∵DB DC =，∴△BCD 是等腰三角形，∵DF BC ⊥，∴1302BDF BDC ∠=∠=︒， ∴180150BDA BDF ∠=︒-∠=︒，∴150BCE ∠=︒，360150CDA BDA BDC ∠=︒-∠-∠=︒，∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒，∵45DEC ∠=︒，∴45EDC ∠=︒，∴DEC EDC ∠=∠，∴CE CD =，∴DB DC DA ==，∴180152BDA BAD ︒-∠∠==︒，180152CDA CAD ︒-∠∠==︒， ∴30BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒．（3）解：∵由图1可知，当点A 在线段DF 上时，30BCE BDA ∠=∠=︒；由图3可知，当点A 在线段FD 的延长线上时，150BCE BDA ∠=∠=︒；由图4可知，当点A 在线段DF 的延长线上时，30BCE BDA ∠=∠=︒；∴综上所述，当点A 在直线DF 上运动时，直线CE 与直线BC 的夹角始终为30°，即点E 的运动轨迹为一条直线，过点F 作FE EC '⊥于点E '，则当点E 运动到点E '时，此时EF 的长度最短，∵6BD CD BC ===，DF BC ⊥，∴132CF BC ==，又∵FE EC '⊥，30BCE ∠=︒，∴1322FE CF '==， ∴EF 的最小值为32．【点评】此考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和、等腰三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解决问题的关键．7．（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA 、OB 、OC ，且OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．求：①旋转角的度数；②线段OD 的长；③求∠BDC 的度数．（2）如图2所示，O 是等腰直角△ABC （∠ABC ＝90°）内一点，连接OA 、OB 、OC ，将△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD ，连接OD ．当OA 、OB 、OC 满足什么条件时，∠ODC ＝90°？请给出证明．【答案】（1）①60°；②4；③150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝2OB，然后根据勾股定理的逆定理，当222＋＝时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．CD OD OC【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝2OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．8．如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EF，FG．（1）如图1，直接写出EF与FG的关系______；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH．①求证：HFE≌PFG△；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系；∴HFE≌△②解：22EF∵HFE≌△EH PG=AE AF==∴22EF AF BG==，∴22BG EF=，∵BG GP BP+=，∴22EF EH BP+=【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明△HFE≌△PFG是解题的关键．9．如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．【答案】（1）CD=BE．理由见解析；（2）△AMN是等边三角形．理由见解析．【分析】（1）CD=BE．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE；（2）△AMN 是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE ≌△ACD ”的对应角相等、已知条件“M 、N 分别是BE 、CD 的中点”、等边△ABC 的性质证得△ABM ≌△ACN ；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM =AN 、∠NAM =∠NAC +∠CAM =∠MAB +∠CAM =∠BAC =60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．【解答】（1）CD =BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠EAD =60°，∵∠BAE =∠BAC ﹣∠EAC =60°﹣∠EAC ，∠DAC =∠DAE ﹣∠EAC =60°﹣∠EAC ，∴∠BAE =∠DAC ，在△ABE 和△ACD 中，=AB AC BAE DAC AE AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴CD =BE ；（2）△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ACD ．∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =CN ，∵AB =AC ，∠ABE =∠ACD ，在△ABM 和△ACN 中，=BM CN ABE ACD AB AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△ACN （SAS ）．∴AM =AN ，∠MAB =∠NAC ．∴∠NAM =∠NAC +∠CAM =∠MAB +∠CAM =∠BAC =60°．∴△AMN 是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．10．[方法探索]如图1，在等边ABC 中，点P 在ABC 内，且2PA =，4PC =，150APC ∠=︒，求PB 的长．小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，分别证明AP P '△和BP P '△是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出PB 的长．解：把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到AP B '△，连接PP '．接着写下去：11．[方法应用]请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：①如图2，点P 在等边ABC 外，且3PA PB ==，120APB ∠=︒，若33AB =PBC ∠度数． ②如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，10AB AC =P 是ABC 外一点，连接PA 、PB 、PC ．已知45APB ∠=︒，2PB =．求PC 的长．【答案】10．PB =25 11．PBC ∠=90°；PC =210【分析】（1）把APC △绕着点A 顺时针旋转60︒得到'AP B ，连接'PP ，易证明AP P '△是等边三角形，BP P '△是直角三角形，根据勾股定理即可求出BP ．（2）①把APB △绕着点A 逆时针旋转60︒得到'AP C ，连接'PP ，易证明AP P '△是等边三角形，BP P '△是等边，△BPC 是直角三角形，则可得到PBC ∠=90°．②将△APC 绕点A 逆时针旋转90°得到△'ABP ，连接'PP ，过B 点做BM 垂直于AP 于M 点，易证明△PBM 是等腰直角三角形，△'P PB 是直角三角形，用勾股定理即可求出PC ．10．AP B '△由△APC 旋转60°得到∴AP ='AP =2，PC ='BP =4，∠'PAP =60°∴△'PAP 为等边三角形∴ AP ='AP ='PP =2，'AP P ∠=60°150APC ∠=︒∴'BP P ∠=90°在Rt △'BP P 中，由勾股定理可得：BP =22''BP PP +=2224+=2511．把APB △绕着点B 顺时针旋转60︒得到'BP C ，连接'PP'BP C 由△APB 逆时针旋转60°得到∴AP ='P C =3，PB ='BP =3，∠'PBP =60°，'120APB BP C ∠=∠=︒∴△'PBP 为等边三角形,∴'PP =PB =3'BP C ∠=120°，∠'BP P =60°∴∠'CP P =180°，即'C P P 、、三点共线．∴PC ='CP +'PP =6在△PBC 中，PC =6，PB =3，BC =33223223(33)36PB BC PC +=+==∴△PBC 是直角三角形，故PBC ∠=90°．将△APC 绕点A 顺时针旋转90°得到△'ABP ，连接'PP ，过B 点做BM 垂直于AP 于M 点45APB ∠=︒，BM ⊥AP ，PB =2∴PM =BM =2AB =10在Rt △AMB 中，AM =2210222AB BM -=-=∴AP =PM +AM =32△'ABP 由△APC 旋转90°所得∴ AP ='AP =32，∠'PAP =90°，∠'PP A =45°在Rt △'PAP 中，'PP =22'6AP AP +=∠'PP A =45°，45APB ∠=︒∴'P PB =90°在Rt △'P PB 中，22''210P B P P PB =+=∴PC ='P B =210【点评】本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键．12．婆罗摩笈多（Brahmagupta ）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC 中，分别以AB ，AC 为边作Rt △ABE 和Rt △ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，则有下列结论： ①图1中S △ABC ＝S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ；③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC 与△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，连接BD ，CE ，若F 为BD 的中点，连接AF ，求证：2AF ＝CE ．【答案】（1）①证明见解答；②证明见解答；③证明见解答；（2）证明见解答．【分析】（1）①取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，先证△GEF ≌△ADF （AAS ），得出S △EAD =S △GEA ，再证△GEA ≌△CAB （SAS ）即可；②取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，先证△GEF ≌△ADF （AAS ），得出∠BAC =∠GEA ，再证△GEA ≌△CAB （SAS ），得出∠EAG =∠ABC ，AC =AG ，由AM 是边BC 上的中线，得出BM =CM =AF ，三证△EAF ≌△ABM （SAS ）即可；③过E 作EP ⊥MN 交MN 延长线于O ，过D 作DO ⊥MN 于O ，先证∠ABM =∠EAP ，∠MCA =∠OAD ，证明△EAP ≌△ABM （AAS ），再证△CAM ≌△ADO （AAS ），三证△EPN ≌△DON （AAS ）即可．（2）延长AF ，使FQ =AF ，连接DQ ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD ，由点F 为BD 中点，可得DF =BF ，先证△DQF ≌△BAF （SAS ），DQ =BA =AC ，∠FDQ =∠FBA ，可证DQ ∥BA ，根据△ACE 绕点A 逆时针旋转90°得△ARD ，可得AR =AC =AB =QD ，RD =CE ，证明R 、A 、B 三点共线，再证△DQA ≌△ARD （SAS ），即可．【解答】（1）①图1中S △ABC ＝S △ADE ；证明：取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ，∵点F 为DE 中点，∴EF =DF ，∵EG ∥AD ，∴∠GEF =∠ADF ，∠GEA +∠EAD =180°，在△GEF 和△ADF 中，GFE AFD GEF ADF EF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEF ≌△ADF （AAS ），∴GE =AD ，∠G =∠DAF ，∴S △GEF =S △ADF ，∴S △EAD =S △GEA ，∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC +∠EAD =360°-∠BAE -∠CAD =180°∴∠BAC +∠EAD =∠GEA +∠EAD =180°∴∠BAC =∠GEA ，∴GE =AD =AC ，在△GEA 和△CAB 中，GE CA GEA CAB EA AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEA ≌△CAB （SAS ），∴S △ABC ＝S △GEA=S △ADE ；②如图2中，若AM 是边BC 上的中线，则ED ＝2AM ；证明：取DE 中点F ，过E 作EG ∥AD ，交射线AF 于G ， ∵点F 为DE 中点，∴EF =DF ，∵EG ∥AD ，∴∠GEF =∠ADF ，∠GEA +∠EAD =180°，在△GEF 和△ADF 中，GFE AFD GEF ADF EF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEF ≌△ADF （AAS ），∴GE =AD ，GF =AF =12AG ∵∠BAE ＝∠CAD ＝90°，∴∠BAC +∠EAD =360°-∠BAE -∠CAD =180°∴∠BAC +∠EAD =∠GEA +∠EAD =180°∴∠BAC =∠GEA ，∴GE =AD =AC ，在△GEA 和△CAB 中，GE CA GEA CAB EA AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠EAG =∠ABC ，AC =AG ，∵AM 是边BC 上的中线，∴BM =CM =1122BC AG AF ==，在△EAF 和△ABM 中，EA AB EAF ABM AF BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAF ≌△ABM （SAS ），∴EF =AM ，∵点F 为DE 中点，∴DE =2EF =2AM ，③如图3中，若AM ⊥BC ，则MA 的延长线平分ED 于点N ．证明：过E 作EP ⊥MN 交MN 延长线于O ，过D 作DO ⊥MN 于O ，∵∠BAE =90°，∠DAC =90°，∴∠BAM +∠EAP =90°，∠MAC +∠DAO =90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM +∠BAM =90°，∠MCA +∠MAC =90°∴∠ABM =∠EAP ，∠MCA =∠OAD ，∵EP ⊥MN ，∴∠EPA =90°在△EAP 和△ABM 中，90EPA AMB EAP ABMEA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EP =AM ，∵DO ⊥MN ，∴∠AOD =90°，在△CAM 和△ADO 中，CMA AOD MCA OAD AC DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAM ≌△ADO （AAS ）∴AM =DO ，∴EP =DO =AM ，在△EPN 和△DON 中，90EPN DON ENP DNOEP DO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPN ≌△DON （AAS ），∴EN =DN ，∴MA 的延长线平分ED 于点N ．（2）延长AF ，使FQ =AF ，连接DQ ，将△ACE 绕点A 逆时针旋转90°，得△ARD∵点F 为BD 中点，∴DF =BF ，在△DQF 和△BAF 中，QF AF DFQ BFA DF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DQF ≌△BAF （SAS ），∴DQ =BA =AC ，∠FDQ =∠FBA ，∴DQ ∥BA ，∵△ACE 绕点A 逆时针旋转90°得△ARD∴△ACE ≌△ARD ，∠RAC =90°，∴AR =AC =AB =QD ，RD =CE ，∵∠CAB =90°，∴∠RAB =∠RAC +∠CAB =90°+90°=180°，∴R 、A 、B 三点共线，∵DQ ∥BA ，∴∠QDA =∠RAD ，在△DQA 和△ARD 中，DQ AR QDA RAD DA AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DQA ≌△ARD （SAS ），∴AQ =DR ，∴2AF =AG =DR =CE ，∴2AF =CE ．【点评】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键．。

全等三角形经典题型汇集(培优专练)

；
（2）如图 2，当点 E，F 分别在 CB，DC 的延长线上，CF＝2 时，求△CEF 的周长；
拓展提升：
如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点 B 作 BD⊥BC，连接 AD，在 BC 的延长线上取一点 E，使∠EDA＝30°，连接 AE，当 BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段 CE 的长度．
7．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45°，连结 EF，则 EF=BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段 AB，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点 A 逆时针旋转 90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2）．
2.阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC≌△GDB，再利用 AE ＝EF 可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
3.如图，分别以 ABC 的边向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 O 为 EG 的中点，
求证：（1） AO 1 BC ；（2） AO BC ． 2
4．如图所示，已知 ⶠࢼ 中，平分 ⶠ ࢼ，、分别在 ⶠ 、上．
ࢼ，
ࢼ．求证： ∥ ⶠ．
5．如图所示， ⶠ ࢼ

2019-2020人教版九上数学23.1图形的旋转培优专题(含答案)

2019-2020图形的旋转培优专题（含答案）一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB 边上，则点B'与点B 之间的距离为（）A ．12B ．6C ．62D ．632．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A.3B.23C.13D.153．如图，在ABC 中，65CAB ∠=，将ABC 在平面内绕点A 旋转到''AB C 的位置，使'//CC AB ，则旋转角的度数为（）A.35B.40C.50D.654．如图直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（）A.1B.2C.3D.不能确定5．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(2，0)D.(0，-2)6．点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A.3B.33C.332D.329．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）A．B．6 C．D．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A.AD=BDB.AC∥BDC.DF=EFD.∠CBD=∠E11．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．65°12．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，23）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．17．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为23，则B′E的长为__．19．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．20．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．21．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．22．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接E ，F ．给出下列五个结论：①AP=EF ；②PD=EC ；③∠PFE=∠BAP ；④△APD 一定是等腰三角形；⑤AP ⊥EF ．其中正确结论的序号是_____．三、解答题23．已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ 、QC ．（1）求证：PB ＝QC ；（2）若PA ＝3，PB ＝4，∠APB ＝150°，求PC 的长度．24．如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点，点D 与A ，B 不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（）求证：△ACD≌△BCE；1（）当AD BF2∠的度数．=时，求BEF25．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将BCE 绕点C 顺时针方向旋转90得到DCF ，连结EF ，若30EBC ∠=，求EFD ∠的度数．30．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．31．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON=；∠CON=．（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．32．四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE =BF ，连接AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）若BC =12，DE =5，求△AEF 的面积．33．已知正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、(DC 或它们的延长线于点M 、N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时如图1)，则()1线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系是______；()2当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；()3当MAN∠绕点A旋转到（如图3)的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．34．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．35．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且，将△绕点D逆时针旋转，得到△．求证：．当时，求EF的长．参考答案1．D【解析】【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．【详解】连接B'B，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，∴△AA'C是等边三角形，∴∠AA'C=60°，∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，∴△BCB'是等边三角形，∴∠CB'B=60°，∵∠CB'A'=30°，∴∠A'B'B=30°，∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=12，∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，∴B'B=63，故选D．【点睛】此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．2．C【解析】分析：连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可. 详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=22223213+=+=BC CM∴FE=13.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．3．C【解析】分析：根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.详解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°故选C.点睛：本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键. 4．A 【解析】【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG 与△DEF 全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF 的长，即△ADE 的高，然后得出三角形的面积．【详解】如图所示，作EF ⊥AD 交AD 延长线于F ，作DG ⊥BC ，∵CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ， ∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD ，又∵∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠CDG=∠EDF ，在△DCG 与△DEF 中，90CDG EDFEFD CGD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF （AAS ）， ∴EF=CG ， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC ﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1，∴△ADE 的面积是：12×AD×EF=12×2×1=1，故选A ．【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．5．B【解析】试题分析：根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.考点：规律探究题.6．C【解析】【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，先利用AAS证明△ADP≌△PEF，根据全等三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°，∴∠ADP=∠EPF，在△APD和△FEP中∠ADP=∠FPE∠A=∠F=90°PD=EP，∴△APD≌△FEP（AAS），∴AP=EF，AD=PF，又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，∴AP=BF，∴BF=EF，又∠F=91°，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，则∠CBE=45°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．7．D【解析】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．考点：旋转的性质．8．B【解析】分析：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，根据旋转角的定义易得：∠BAB′=30°，根据HL易得△AB′M≌△ADM，所以公共部分面积等于△ADM面积的2倍；设DM=x，在△AMD中利用勾股定理求得DM，进而解答即可.详解：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，设DM=x，根据旋转的性质以及正方形的性质可得AB′=AD，AM=AM，∠BAB′=30°，∠B′=∠D=90°.∵AB′=AD，AM=AM，∴△AB′M≌△ADM.∵∠BAB′=30°，∴∠MAD=30°，AM=2x.∵x2+1=4x2，∴x=33，∴S ADM′=1331236⨯⨯=,∴重叠部分的面积S ADMB′=326⨯=33．故选B.点睛：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含30°三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△AB′M≌△ADM是解答本题的关键；9．A【解析】试题分析：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=，∴∠CAB′=90°，∴B′C==，故选A．考点：勾股定理．10．C【解析】【分析】由旋转的性质知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C=∠E，证AC∥BD得∠CBD=∠C，从而得出∠CBD=∠E．【详解】由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60°，∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD，∴AC∥BD，∴∠CBD=∠C，∴∠CBD=∠E，则A、B、D均正确，故选C．【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．11．C【解析】试题解析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，∴∠CAC′=∠BAB′=30°故选A．考点：旋转的性质．12．D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．13．32【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴AE=22AD DE+=32，∴AB=32，故答案为：32.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.14．2 3π【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=22，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22，∴S扇形ABD =()2302223603ππ⨯=，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=23π，故答案为：23π．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分=S扇形ABD是解题的关键. 15．（-23，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，AB=OC-23，则tan∠BOA=33 ABOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AOB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为：（-23，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．23 【解析】【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE 的长．【详解】由题意可得，DE=DB=CD=12AB ， ∴∠DEC=∠DCE=∠DCB ，∵DE ∥AC ，∠DCE=∠DCB ，∠ACB=90°， ∴∠DEC=∠ACE ，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°， ∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=23，∴AE=23．故答案为23．【点睛】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．234+．【解析】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴BD BEBA BC=，即456BCBC-=，解得BC=234+（负值已舍去），即BC的长为234+．故答案为：234+．点睛：本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．18．23﹣2【解析】【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=3C′E，根据阴影部分面积为23得出12×C′E×3C′E=23，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．【详解】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AE=30°，∴AE=2C′E，AC′=3C′E，∵阴影部分面积为23，∴12×C′E×3C′E=23，C′E=2，∴AC=BC=C′B′=3C′E=23，∴B′E=23-2，故答案为：23-2．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．19．【解析】试题解析∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE 上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2cm．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．20．【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，∵，∠ABG=∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴，解得，CE=，故答案为：．点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．21．1.5【解析】试题解析：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB=22OA OB=5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=12AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．故答案为：1.5．22．①③⑤【解析】【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可. 【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤.【点睛】做辅助线证明全等是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠P AQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ ，在△BAP 和△CAQ 中，∴△BAP ≌△CAQ （SAS ）， ∴PB=QC ；（2）解：∵由（1）得△APQ 是等边三角形， ∴AP=PQ=3，∠AQP=60°， ∵∠APB=150°，∴∠PQC=150°﹣60°=90°， ∵PB=QC ， ∴QC=4，∴△PQC 是直角三角形，∴PC===5．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明△BAP ≌△CAQ 是解（1）的关键，证明∠PQC =90°是解（2）的关键. 24．()1证明见解析；()2BEF 67.5∠=. 【解析】【分析】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，由于ACB 90∠=，从而可得ACD BCE ∠∠=，根据SAS 即可证明ACD ≌BCE ；()2由ACD ≌()BCE SAS 可知：A CBE 45∠∠==，BE BF =，从而可求出BEF ∠的度数．【详解】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，ACB 90∠=，ACD ACB DCB ∠∠∠∴=-，BCE DCE DCB ∠∠∠=-，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 与BCE 中，AC BCACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ACD ∴≌()BCE SAS ；()2ACB 90∠=，AC BC =，A 45∠∴=，由()1可知：A CBE 45∠∠==，AD BF =， BE BF ∴=，BEF 67.5∠∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．25．(1) 150°；(2)43+16【解析】试题分析：（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．试题解析：（1）连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×32=23，∴四边形ABCD的面积为：12AD•EB+12DB•CD=12×4×23+12×4×8=43+16．26．（1）45°；（2）12.5.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【详解】（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB=10，∴∠ABD=45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴AD AE AC AB，∵AB=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．27．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=BE﹣AD．【解析】【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE ，然后根据“AAS”可判断△ADC ≌△CEB ，所以CD=BE ，AD=CE ，再利用等量代换得到DE=AD+BE ；（2）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；（3）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CD ﹣CE=BE ﹣AD ．【详解】(1)∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE+CD=AD+BE ；(2)与(1)一样可证明△ADC ≌△CEB ， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；(3)DE=BE﹣AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，根据实际情况选择合适的方法证明△ADC≌△CEB是解决问题的关键．28．（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．详解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，， ∴△FME ≌△BMH ， ∴HM=EM ，EF=BH ， ∵CD=BC ，∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ， ∴CM=ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接AE ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形， ∴∠FDE=45°，∠CBD=45°， ∴点B 、E 、D 在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，∴CM=12AF ，EM=12AF ， ∴CM=ME ， ∵∠EFD=45°， ∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME ，∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ， ∴∠MCF+∠MEF=135°， ∴∠CME=360°-135°-135°=90°， ∴CM ⊥ME ．（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，在△EDM 和△GDM 中，DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△EDM ≌△GDM ，∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ， ∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ， ∴GN=NC ，又MN ⊥CD ， ∴MC=MG ，∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ， ∵∠MGC+∠MGD=180°， ∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°， ∵∠CDE=90°， ∴∠CME=90°， ∴（1）中的结论成立．点睛：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．15° 【解析】【分析】根据旋转性质可得：BEC DFC ∠=∠，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =，由等腰直角三角形三角形性质可得45CFE FEC ∠=∠=，所以EFD DFC EFC ∠=∠-∠. 【详解】解：DCF 是BCE 旋转得到的图形，903060BEC DFC ∴∠=∠=-=，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =， 45CFE FEC ∴∠=∠=．604515EFD DFC EFC ∴∠=∠-∠=-=．【点睛】本题考核知识点：旋转性质，等腰直角三角形. 解题关键点：熟记旋转性质，等腰直角三角形性质.30．（1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形；（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【详解】（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，，∴MN最大=2+5=7∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2= ．【点睛】解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大31．25°40°25°【解析】【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MOC的度数；（2）根据OC平分∠MOB，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度数，由∠MON=90°，可得∠BON的度数，继而可得∠CON的度数；（3）由∠NOC=5°，∠BOC=65°，∠MON=90°结合平角的定义即可求得.【详解】（1）∠MOC=∠MON﹣∠BOC=90°﹣65°=25°，故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，∴旋转角∠BON=∠MOB﹣∠MON=130°﹣90°=40°，∠CON=∠BOC﹣∠BON=65°﹣40°=25°，故答案为：40°，25°；（3）∵∠NOC=5°，∠BOC=65°，∴∠BON=∠NOC+∠BOC=70°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB=180°，∵∠MON=90°，∴∠AOM=∠AOB﹣∠MON﹣∠BON=180°﹣90°﹣70°=20°.【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的定义等，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键.32．（1）见解析；（2）84.5．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，依据“SAS”即可证得；（2）根据勾股定理求得AE=13，再由旋转的性质得出AE=AF ，∠EAF=90°，从而由面积公式得出答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°，而F 是CB 的延长线上的点， ∴∠ABF=90°，在△ADE 和△ABF 中，∵AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（2）∵BC=12，∴AD=12，在Rt △ADE 中，DE=5，AD=12， ∴AE==13，(勾股定理)∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF ，∠EAF=90°，∴△AEF 的面积=12AE 2=12×169=84.5．【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．33．（1）BM DN MN +=；（2）猜想：BM DN MN +=，详见解析；（3）DN BM MN -=，详见解析.【解析】【分析】（1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN﹣BM=MN．【详解】（1）如图1，连接AC，交MN于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵90B AGMBAM GAMAM AM∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．故答案为：BM+DN=MN；（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．在△ABE和△ADN中，∵AB ADABE DBE DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．在△AEM和△ANM中，∵AE ANEAM NAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．证明如下：如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．△ABM和△ADF中，∵AB ADABM DBM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠F AN=45°．在△MAN和△F AN中，∵AM AFMAN FANAN AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得AM=AN是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查了知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．34．（1）证明见解析；（2）∠BED=45°.【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，＝＝，＝∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．35．（1）证明见解析；（2）FC=3．【解析】试题分析：（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=2，正方形的边长为6，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF；（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=2，且BC=6，∴BM=BC+CM=6+2=8，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，则EF=5．点睛：熟练掌握旋转的性质，正方形的四个角都是直角，四条边相等，勾股定理，全等三角形的判定(SAS)，全等三角形的性质是解答本题的关键.。

初中数学培优专题二全等三角形解题模型

专题二全等三角形解题模型解题模型一平移模型针对训练1．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．图示：解题模型二对称模型针对训练2．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．3．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．图示：4．（2018•乐山）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．5．（2017•郴州）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．6．（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．7．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．8．（2018•镇江）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=75°．解题模型三旋转模型图示：针对训练9．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．10．（2018•昆明）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：BC=DE．11．（2017•常州）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．12．（2017•恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．解题模型四平移+旋转模型针对训练13．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．图示：14．（2017•孝感）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF=DE，求证：AB∥CD15．（2018•铜仁）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB．16．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．解题模型五角平分线模型针对训练17.（2016•咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，.求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．图示：解题模型六三垂直模型针对训练18.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．19.如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．图示：专题二全等三角形解题模型解题模型一平移模型针对训练1．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．【小结】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等．解题模型二对称模型图示：针对训练2．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．图示：3．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．【解答】证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（SAS）.∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．【小结】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．4．（2018•乐山）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．【分析】由∠3=∠4可以得出∠ABD=∠ABC，再利用ASA就可以得出△ADB≌△ACB，就可以得出结论．【小结】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．（2017•郴州）已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE ≌△ACD，即可得到结果【小结】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．6．（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF.∴BF=CE.在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）.∴∠GEF=∠GFE.，∴EG=FG．【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．7．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO 与△CDO全等，所以有OB=OC．【小结】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．8．（2018•镇江）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=75°．【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，BE=CF，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【小结】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答解题模型三旋转模型针对训练9．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断．【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，图示：，∴△ABC≌△EDC（ASA）．【小结】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．10．（2018•昆明）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：BC=DE．【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.11．（2017•常州）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论；（2）根据∠ACD=90°，AC=CD，得到∠2=∠D=45°，根据等腰三角形的性质得到∠4=∠6=67.5°，由平角的定义得到∠DEC=180°﹣∠6=112.5°．【小结】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL12．（2017•恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．【分析】利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，可得可得∠CAE=∠CBD，根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可．【小结】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．解题模型四平移+旋转模型针对训练13．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；【解答】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，图示：∴∠C=∠B.∵CE=BF，∴CF=BE.又∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE（SAS）.∴DF=AE．【小结】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型14．（2017•孝感）如图，已知AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF=DE，求证：AB∥CD【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠B=∠D，根据平行线的判定，可得答案．【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等式的性质得出BE=DF是解题关键，又利用了全等三角形的判定与性质．15．（2018•铜仁）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥FB．【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是SSS证明△ACE≌△BDF．16．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C.在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）.（2）∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴ED=CD.∵EG=5，∴CD=10.∵△ABE ≌△CDF ，∴AB=CD=10．【小结】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C ．解题模型五角平分线模型针对训练17.（2016•咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上， .求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO ≌△PEO ，由全等三角形的性质可得结论．图示：【小结】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证是解答此题的关键．解题模型六三垂直模型针对训练18.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE．【分析】先证明∠BCE=∠CAD，再证明△ADC≌△CEB，可得到AD=CE，DC=EB，等量代换，可得出DE=AD+BE．图示：【小结】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明两线段的和等于一条线段常常借助三角形全等来证明，要注意运用这种方法19.如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．【分析】分析图可知，全等三角形为：△ACD≌△CBE．根据这两个三角形中的数量关系选择ASA 证明全等．【小结】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。

2019-2020人教版九年级上册数学23.1图形的旋转培优专题 (含答案)

2019-2020图形的旋转培优专题（含答案）一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB 边上，则点B'与点B 之间的距离为（）A ．12B ．6C ．62D ．632．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A.3B.23C.13D.153．如图，在ABC 中，65CAB ∠=，将ABC 在平面内绕点A 旋转到''AB C 的位置，使'//CC AB ，则旋转角的度数为（）A.35B.40C.50D.654．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A.1B.2C.3D.不能确定5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(2，0)D.(0，-2)6．点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于( )A．75°B．60°C．45°D．30°7．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A.3B.33C.332D.329．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）A．B．6 C．D．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A.AD=BDB.AC∥BDC.DF=EFD.∠CBD=∠E11．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．65°12．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD 上，且DE=EF，则AB的长为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，23）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．17．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为23，则B′E的长为__．19．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．20．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．21．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．22．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接E ，F ．给出下列五个结论：①AP=EF ；②PD=EC ；③∠PFE=∠BAP ；④△APD 一定是等腰三角形；⑤AP ⊥EF ．其中正确结论的序号是_____．三、解答题23．已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ 、QC ．（1）求证：PB ＝QC ；（2）若PA ＝3，PB ＝4，∠APB ＝150°，求PC 的长度．24．如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点，点D 与A ，B 不重合，连结CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．1（）求证：△ACD≌△BCE；（）当AD BF2∠的度数．=时，求BEF25．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将BCE 绕点C 顺时针方向旋转90得到DCF ，连结EF ，若30EBC ∠=，求EFD ∠的度数．30．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．31．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON=；∠CON=．（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．32．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC =12，DE =5，求△AEF 的面积．33．已知正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、(DC 或它们的延长线于点M 、N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时如图1)，则()1线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系是______；()2当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；()3当MAN ∠绕点A 旋转到（如图3)的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．34．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：∠AEB=∠ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC=105°，求∠BED 的度数．35．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且，将△绕点D逆时针旋转，得到△．求证：．当时，求EF的长．参考答案1．D【解析】【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．【详解】连接B'B，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，∴△AA'C是等边三角形，∴∠AA'C=60°，∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，∴△BCB'是等边三角形，∴∠CB'B=60°，∵∠CB'A'=30°，∴∠A'B'B=30°，∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=12，∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，∴B'B=63，故选D．【点睛】此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．2．C【解析】分析：连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可. 详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=22223213+=+=BC CM∴FE=13.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．3．C【解析】分析：根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.详解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°故选C.点睛：本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键. 4．A 【解析】【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG 与△DEF 全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF 的长，即△ADE 的高，然后得出三角形的面积．【详解】如图所示，作EF ⊥AD 交AD 延长线于F ，作DG ⊥BC ，∵CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ， ∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD ，又∵∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠CDG=∠EDF ，在△DCG 与△DEF 中，90CDG EDFEFD CGD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF （AAS ）， ∴EF=CG ， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC ﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1，∴△ADE 的面积是：12×AD×EF=12×2×1=1，故选A ．【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．5．B【解析】试题分析：根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.考点：规律探究题.6．C【解析】【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，先利用AAS证明△ADP≌△PEF，根据全等三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE 的度数．【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°，∴∠ADP=∠EPF，在△APD和△FEP中∠ADP=∠FPE∠A=∠F=90°PD=EP，∴△APD≌△FEP（AAS），∴AP=EF，AD=PF，又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，∴AP=BF，∴BF=EF，又∠F=91°，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，则∠CBE=45°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．7．D【解析】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．考点：旋转的性质．8．B【解析】分析：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，根据旋转角的定义易得：∠BAB′=30°，根据HL易得△AB′M≌△ADM，所以公共部分面积等于△ADM面积的2倍；设DM=x，在△AMD中利用勾股定理求得DM，进而解答即可.详解：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，设DM=x，根据旋转的性质以及正方形的性质可得AB′=AD，AM=AM，∠BAB′=30°，∠B′=∠D=90°.∵AB′=AD，AM=AM，∴△AB′M≌△ADM.∵∠BAB′=30°，∴∠MAD=30°，AM=2x.∵x2+1=4x2，∴x=33，∴S ADM′=1331236⨯⨯=,∴重叠部分的面积S ADMB′=326=33．故选B.点睛：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含30°三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△AB′M≌△ADM是解答本题的关键；9．A【解析】试题分析：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=，∴∠CA B′=90°，∴B′C==，故选A．考点：勾股定理．10．C【解析】【分析】由旋转的性质知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C=∠E，证AC∥BD 得∠CBD=∠C，从而得出∠CBD=∠E．【详解】由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60°，∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD，∴AC∥BD，∴∠CBD=∠C，∴∠CBD=∠E，则A、B、D均正确，故选C．【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．11．C【解析】试题解析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，∴∠CAC′=∠BAB′=30°故选A．考点：旋转的性质．12．D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．13．32【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得. 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴AE=22AD DE+=32，∴AB=32，故答案为：32.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.14．2 3π【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=22，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22，∴S扇形ABD =()2302223603ππ⨯=，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=23π，故答案为：23π．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分=S扇形ABD是解题的关键. 15．（-23，6）【解析】分析：连接OB 1，作B 1H ⊥OA 于H ，证明△AOB ≌△HB 1O ，得到B 1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB 1，作B 1H ⊥OA 于H ，由题意得，OA=6，AB=OC-23，则tan ∠BOA=33AB OA =， ∴∠BOA=30°， ∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B 1OB=∠BOA=30°， ∴∠B 1OH=60°，在△AOB 和△HB 1O ，111B HO BAOB OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AOB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为：（-23，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．23【解析】【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【详解】由题意可得，DE=DB=CD=12 AB，∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=23，∴AE=23．故答案为23．【点睛】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．234+．【解析】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴BD BE BA BC=，即456BCBC-=，解得BC=234+（负值已舍去），即BC的长为234+．故答案为：234+．点睛：本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．18．23﹣2【解析】【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=3C′E，根据阴影部分面积为23得出12×C′E×3C′E=23，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．【详解】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AE=30°，∴AE=2C′E，AC′=3C′E，∵阴影部分面积为23，∴12×C′E×3C′E=23，C′E=2，∴AC=BC=C′B′=3C′E=23，∴B′E=23-2，故答案为：23-2．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．19．【解析】试题解析∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2cm．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．20．【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，∵，∠ABG=∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴，解得，CE=，故答案为：．点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．21．1.5试题解析：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB=22=5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=OA OB1AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．2故答案为：1.5．22．①③⑤【解析】【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可.【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤.【点睛】做辅助线证明全等是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠P AQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴PB=QC；（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，∵∠APB=150°，∴∠PQC=150°﹣60°=90°，∵PB=QC，∴QC=4，∴△PQC 是直角三角形，∴PC===5．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明△BAP ≌△CAQ 是解（1）的关键，证明∠PQC =90°是解（2）的关键. 24．()1证明见解析；()2BEF 67.5∠=. 【解析】【分析】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，由于ACB 90∠=，从而可得ACD BCE ∠∠=，根据SAS 即可证明ACD ≌BCE ；()2由ACD ≌()BCE SAS 可知：A CBE 45∠∠==，BE BF =，从而可求出BEF ∠的度数．【详解】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，ACB 90∠=，ACD ACB DCB ∠∠∠∴=-，BCE DCE DCB ∠∠∠=-，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 与BCE 中，AC BCACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ACD ∴≌()BCE SAS ；()2ACB 90∠=，AC BC =，A 45∠∴=，由()1可知：A CBE 45∠∠==，AD BF =， BE BF ∴=，BEF 67.5∠∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．25．(1) 150°；(2)43+16 【解析】试题分析：（1）连接BD ，首先证明△ABD 是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC 是直角三角形，进而可得答案；（2）过B 作BE ⊥AD ，利用三角形函数计算出BE 长，再利用△ABD 的面积加上△BDC 的面积可得四边形ABCD 的面积．试题解析：（1）连接BD ，∵AB=AD ，∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4， ∵42+82=（4）2，∴DB 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B 作BE ⊥AD ，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×32=23， ∴四边形ABCD 的面积为：12AD•EB+12DB•CD=12×4×23+12×4×8=43+16．26．（1）45°；（2）12.5.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【详解】（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB=10，∴∠ABD=45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴AD AE AC AB，∵AB=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE ∽△ACB 是解本题的关键． 27．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=BE ﹣AD ．【解析】【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE ，然后根据“AAS”可判断△ADC ≌△CEB ，所以CD=BE ，AD=CE ，再利用等量代换得到DE=AD+BE ；（2）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；（3）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CD ﹣CE=BE ﹣AD ．【详解】(1)∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE+CD=AD+BE；(2)与(1)一样可证明△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；(3)DE=BE﹣AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，根据实际情况选择合适的方法证明△ADC≌△CEB是解决问题的关键．28．（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．详解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴∠EFM=∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，， ∴△FME ≌△BMH ， ∴HM=EM ，EF=BH ， ∵CD=BC ，∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ， ∴CM=ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接AE ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形， ∴∠FDE=45°，∠CBD=45°， ∴点B 、E 、D 在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，∴CM=12AF ，EM=12AF ， ∴CM=ME ，∴∠EFC=135°， ∵CM=FM=ME ，∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ， ∴∠MCF+∠MEF=135°， ∴∠CME=360°-135°-135°=90°， ∴CM ⊥ME ．（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，在△EDM 和△GDM 中，DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△EDM ≌△GDM ，∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ， ∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ， ∴GN=NC ，又MN ⊥CD ， ∴MC=MG ，∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ，∵∠MGC+∠MGD=180°， ∴∠MCG+∠MED=180°， ∴∠CME+∠CDE=180°， ∵∠CDE=90°， ∴∠CME=90°， ∴（1）中的结论成立．点睛：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．15° 【解析】【分析】根据旋转性质可得：BEC DFC ∠=∠，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =，由等腰直角三角形三角形性质可得45CFE FEC ∠=∠=，所以EFD DFC EFC ∠=∠-∠.【详解】解：DCF 是BCE 旋转得到的图形，903060BEC DFC ∴∠=∠=-=，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =， 45CFE FEC ∴∠=∠=．604515EFD DFC EFC ∴∠=∠-∠=-=．【点睛】本题考核知识点：旋转性质，等腰直角三角形. 解题关键点：熟记旋转性质，等腰直角三角形性质.30．（1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形；（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【详解】（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，，∴MN最大=2+5=7∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2= ．【点睛】解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN 最大时，△PMN的面积最大31．25°40°25°【解析】【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MOC的度数；（2）根据OC平分∠MOB，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度数，由∠MON=90°，可得∠BON的度数，继而可得∠CON的度数；（3）由∠NOC=5°，∠BOC=65°，∠MON=90°结合平角的定义即可求得.【详解】（1）∠MOC=∠MON﹣∠BOC=90°﹣65°=25°，故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，∴旋转角∠BON=∠MOB﹣∠MON=130°﹣90°=40°，∠CON=∠BOC﹣∠BON=65°﹣40°=25°，故答案为：40°，25°；（3）∵∠NOC=5°，∠BOC=65°，∴∠BON=∠NOC+∠BOC=70°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB=180°，∵∠MON=90°，∴∠AOM=∠AOB﹣∠MON﹣∠BON=180°﹣90°﹣70°=20°.【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的定义等，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键.32．（1）见解析；（2）84.5．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB ，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，依据“SAS”即可证得；（2）根据勾股定理求得AE=13，再由旋转的性质得出AE=AF ，∠EAF=90°，从而由面积公式得出答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°，而F 是CB 的延长线上的点， ∴∠ABF=90°，在△ADE 和△ABF 中，∵AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（2）∵BC=12，∴AD=12，在Rt △ADE 中，DE=5，AD=12， ∴AE==13，(勾股定理)∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF ，∠EAF=90°，∴△AEF 的面积=12AE 2=12×169=84.5．【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．33．（1）BM DN MN +=；（2）猜想：BM DN MN +=，详见解析；（3）DN BM MN -=，详见解析.【解析】【分析】（1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△F AN，可得到MN=NF，从而可得到DN﹣BM=MN．【详解】（1）如图1，连接AC，交MN于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵90B AGMBAM GAMAM AM∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．故答案为：BM+DN=MN；（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．在△ABE和△ADN中，∵AB ADABE DBE DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．在△AEM和△ANM中，∵AE ANEAM NAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．证明如下：如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．△ABM和△ADF中，∵AB ADABM DBM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠F AN=45°．在△MAN和△F AN中，∵AM AFMAN FANAN AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得AM=AN是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查了知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．34．（1）证明见解析；（2）∠BED=45°.【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC ，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD ，从而得∠EAB=∠DAC ，再证△EAB ≌△DAC 可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD 知△EAD 为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．试题解析：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC ．∵线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ， ∴∠DAE=60°，AE=AD ．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC ． ∴∠EAB=∠DAC ．在△EAB 和△DAC 中，＝＝＝，∴△EAB ≌△DAC ． ∴∠AEB=∠ADC ．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD ， ∴△EAD 为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．35．（1）证明见解析；（2）FC=3．【解析】试题分析：（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=2，正方形的边长为6，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF；（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=2，且BC=6，∴BM=BC+CM=6+2=8，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，则EF=5．点睛：熟练掌握旋转的性质，正方形的四个角都是直角，四条边相等，勾股定理，全等三角形的判定(SAS)，全等三角形的性质是解答本题的关键.。

部编数学九年级上册23.10《旋转》全章复习与巩固(培优篇)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题23.10 《旋转》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A ．M （1，﹣3），N （﹣1，﹣3）B ．M （﹣1，﹣3），N （﹣1，3）C ．M （﹣1，﹣3），N （1，﹣3）D ．M （﹣1，3），N （1，﹣3）2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（）A B ．C D 3．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB Ð等于（）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°4．如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN Ð绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF V 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．B 2C ．4D 16．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为（8，4），若直线经过点D （2，0），且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式是（）A ．y=x-2B ．y=2x-4C ．y=x-1D ．y=3x-67．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，把AB 绕点B 逆时针旋转一定角度到点D ，连接AD 、DC ，使得∠DAC=∠BDC ，当时，线段AC 的长（）A ．3B ．C ．D 8．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P （2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l 上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C ，若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（）A ．12B ．14C ．16D ．189．在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()2,0，()0,2，()2,0-．一个电动玩具从原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点2021P 的坐标是（）.A ．()4,-0B ．()4,0C ．()4,4D ．()0,4-二、填空题11．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，60ABC Ð=°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是______．14．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =PB =PC个等边三角形ABC 的边长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．16．如图，C 为线段AB 的中点，D 为AB 垂直平分线上一点，连接BD ，将BD 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB =6AE =，则CD 的长为 __________ ．17．如图所示，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3顶点为Q ，交x 轴于点E 、F 两点（F 在E 的右侧），T 是x 轴正半轴上一点，以T 为中心作抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的中心对称图形，交x 轴于点K 、L 两点（L 在K 的右侧），已知∠FQL ＝45°，则新抛物线的解析式为 __．18．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB 1C 1D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 (如图1（2）)；以此下去，则正方形 A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；(3)请在x 轴上找一点D 得到▱ACDB ，则点D 的坐标为________，若直线y =32-x +b 平分▱ACDB 的面积，则b =_______．20．如图，一伞状图形，已知120AOB Ð=°，点P 是AOB Ð角平分线上一点，且2OP =，60MPN Ð=°，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN Ð在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转a 度()060a <<°，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．21．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB V V ≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE V 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.22．[问题提出]（1）如图,ABC ADE V V ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE V绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB Ð的大小为度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．23．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM Ð=°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.24．（1）观察理解：如图 1，ABC D 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线l 过点C ，点,A B 在直线l 同侧， ,BD l AE l ^^，垂足分别为,D E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以AEC CDB D @D （）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且,AE AB BC CD =^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =_________；（3）类比探究：如图 3， Rt ABC D 中，90ACB Ð=°,4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转 90°至AB ¢，连接B C ¢，则AB C ¢D 的面积=_________ .（4）拓展提升：如图4，等边EBC D 中，3EC BC ==cm ，点O 在BC 上，且2OC =cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以1cm/s 速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段OF ，设点P 运动的时间为t 秒．①当t =________秒时，OF ∥ED ；②当t =________秒时，点F 恰好落在射线EB 上．参考答案1．C解：M 点与A 点关于原点对称，A 点与N 点关于x 轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M 点与A 点的横、纵坐标都互为相反数，N 点与A 点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M （－1，－3），N （1，－3）．2．C【分析】连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AB CAE =Ð=°，再根据等边三角形的判定与性质可得AE CE ==，然后根据勾股定理分别求出EH BE 、，由此即可得出答案．解：连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC BC ==∴2AB ===，∴112AB =，由旋转可知：60AC AE CAE ==Ð=°，∴ACE V 是等边三角形，∴60AC AE EC ACE ===Ð=°，∴30BCE Ð=°，∴12EH EC ==∴CH ==∴BH BC CH =-=，∴1BE =====，∴1112BE AB +=+=故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．3．C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．解：连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点拨】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM 为等边三角形以及△PMB 是直角三角形是解答本题的第一个关键．4．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．解：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S =V V ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、同角的余角相等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．B【分析】连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，通过SAS 证明△AEF ≌△AGP ，得PG =EF =2，再利用勾股定理求出GE 的长，在△GPE 中，利用三边关系即可得出答案．解：连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，∵将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，∴AF =AP ，∠PAF =90°，∴∠FAE +∠PAE =∠PAE +∠PAG =90°，∴∠FAE =∠PAG ，在△AEF 和△AGP 中，,AF AP FAE PAG AE AG =ìïÐ=Ðíï=î∴△AEF ≌△AGP （SAS ），∴PG =EF =2，∵BC =3，CE =2BE ，∴BE =1，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE ==，∵AG =AE ，∠GAE =90°，∴GE =，在△GPE 中，PE ＞GE -PG ，∴PE 的最小值为GE -PG 2，故选：B ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B 的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，则4220k b k b +=ìí+=î，解得12k b =ìí=-î，∴直线DE 的解析式为y=x-2．故选：A ．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．7．D【分析】如图（见分析），先根据等腰直角三角形的性质可得45,BAC AC AB Ð=°=，再根据旋转的性质、等腰三角形的性质可得,45AB BD ADC BAC =Ð=Ð=°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45,BEC ADC BE AD Ð=Ð=°=，从而可得,2,4BE AD AE DE BE AD ^====，最后利用勾股定理即可得．解：如图，过点C 作CE CD ^，交AD 于点E ，连接BE ，ABC Q V 是等腰直角三角形，AC BC =，45,BAC AB \Ð=°==，即AC AB =，由旋转的性质得：AB BD =，BAD BDA \Ð=Ð，DAC B B C C AC AD D \Ð+=ÐÐ+Ð，DAC BDC Ð=ÐQ ，45ADC BAC \Ð=Ð=°，CDE \V是等腰直角三角形，2,45CE CD DE CED \====Ð=°，又90DCE ACB Ð=Ð=°Q ，DCE ACE ACB ACE \Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE ACD SAS \@V V ，45,BEC ADC BE AD \Ð=Ð=°=，90BED BEC CED \Ð=Ð+Ð=°，即BE AD ^，又AB BD =Q ，2AE DE \==（等腰三角形的三线合一），24BE AD DE \===，在Rt ABE △中，AB ==AC AB \===故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键．8．A【分析】连接CQ ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB ＝90，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．解：连接CQ ，如图：由中心对称可知，AQ ＝BQ ，由轴对称可知：BQ ＝CQ ，∴AQ ＝CQ ＝BQ ，∴∠QAC ＝∠ACQ ，∠QBC ＝∠QCB ，∵∠QAC +∠ACQ +∠QBC +∠QCB ＝180°，∴∠ACQ +∠QCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图，∵A （2，0），C （8，6），∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB Ð=°-Ð=°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为（14，0），设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∵C ，E 点在直线上，可得：14086k b k b ì+=ïí+=ïî，解得：114k b ì=-ïí=ïî，∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点拨】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解：当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10．A【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后1P 、2P 、3P 、4P 、5P 、6P 、7P的坐标，可得出规律，继而可求点2021P 的坐标．解：由题意得：点()14,0P 、()24,4P -、()30,4P -、()44,4P 、()54,0P -、()60,0P 、()74,0P ，∴点P 的坐标的变化规律是6次一个循环，∵20216336...5¸=，∴点2021P 的坐标是()4,-0．故选：A ．【点拨】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律．11．1【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =AB=2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB Ð=°，推出1''302ABD B BD ABB Ð=Ð=Ð=°，得到BD =′C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC=∴AB===2，∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，∴C′D12=AB′＝1，'60ABBÐ=°，∴1''302ABD B BD ABBÐ=Ð=Ð=°，∴BD=∴C′B＝C′D＋BD＝1故答案为1【点拨】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D，BD的长是解题的关键．12．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD ＝2，∴112BD =．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12B D 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，∴C 到BA 中点的距离即122AB =，又∵112BD =，∴CE 的最大值即1121322AB BD +=+=．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．13【分析】以AB 为边向右作等边△ABK ，连接EK ，证明△ABF ≌△KBE （SAS ），推出AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，EK 的值最小，求出EK 即可解决问题．解：如图，以AB 为边向右作等边△ABK ，由60ABC Ð=°可知点K 在BC 上，连接EK ，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，AK＝1，∴AE＝12∴EK=，∴AF【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．14【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH ⊥直线AP 于H ，如图所示，由旋转知，△BDP 为等边三角形，AD =PC =，∴BP =PD =BD ，∠BPD =60°，∵PA ，∴222PD PA AD +=，∴∠APD =90°，∴∠BPH =30°，∴BH =12BP =，由勾股定理得：AB．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．15．13【分析】将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，由矩形的条件和旋转的性质可得3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，可说明四边形EBMH 是矩形，然后由正方形的性质可得到12CN =，GM CN ^，从而说明GM 是CN 的垂直平分线，进一步推导出CG DG NG DG ND +=+³，当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值，最后由勾股定理可求解．解：将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，∵在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，2AE =，∴3EB AB AE =-=，90B BCD Ð=Ð=°，5CD =，∴3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，∴90EHM Ð=°，∴四边形EBMH 是矩形，∴3BM EH ==，90BMH Ð=°，∴()229312CN CM ==´-=，GM CN ^，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG NG =，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG DG NG DG ND +=+³，∴当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值ND ，在Rt NCD V 中，12CN =，5CD =，13ND ===，∴+CG DG 的最小值是13．故答案为：13．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点C 关于GM 的对称点N 是解题的关键．16．9【分析】连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，可证△BDE 是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，从而得到3601502BDE BAE °-ÐÐ==°，进而可求出∠HAE =30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH ，AH ，再利用勾股定理即可先后求出BE 和CD ．解：如图，连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ．∵C 为AB 中点，点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD =BD =DE ，12BC AB ==∴18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，∴()36036022ADB ADE BDE BAD EAD °-Ð+Ð°-ÐÐ+Ð==，即3602BDE BAE °-ÐÐ=．∵∠BDE =60°，∴∠BAE =150°，∴∠HAE =180°-150°=30°．∵AE =6，∴132EH AE ==，∴AH ==∴BH AH AB =+=∴BE ==，∴BD =，∴9CD ==．故答案为：9．【点拨】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17．y＝﹣x2+18x﹣77【分析】根据顶点式求得Q点的坐标，进而令0y=求得点,E F的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，根据∠FQL＝45°，证明△PQF≌△NFM（AAS），进而求得点M的坐标，求得直线QL的解析式为y11133x=-，继而求得L（11，0），T点坐标为（4，0），根据中心对称的性质可得K（7，0），根据交点式即可写出新抛物线的解析式．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴Q（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴E（﹣3，0），F（1，0），作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，∵∠FQL＝45°，∴△QFM为等腰直角三角形，∴FQ＝FM，∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，∴∠PQF＝∠MFN，∴△PQF≌△NFM（AAS），∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，∴M（5，﹣2），设直线QL的解析式为y＝kx+b，把Q （﹣1，﹣4），M （5，﹣2）代入得452k b k b -+=-ìí+=-î，解得13113k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线QL 的解析式为y 11133x =-，当y ＝0时，11133x -=0，解得x ＝11，∴L （11，0），∵点E （﹣3，0）和点L （11，0）关于T 对称，∴T 点坐标为（4，0），∵点F 与点K 关于T 点对称，∴K （7，0），∵新抛物线与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3关于T 对称，∴新抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）（x ﹣11），即y ＝﹣x 2+18x ﹣77．故答案为y ＝﹣x 2+18x ﹣77．【点拨】本题考查了二次函数的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求抛物线的解析式，求得对称中心是解题的关键．18．5n解：根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA 1B 1的面积是1，新正方形A 1B 1C 1D 1的面积是5，从而正方形A 2B 2C 2D 2的面积为5×5=25，正方形A n B n C n D n 的面积为5n ．考点：找规律-图形的变化【点拨】解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.19．(1)见分析(2)画图见分析，B 2(－5，－2)(3)(3，0)，6【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；(1)解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，连接相应顶点得△A1B1C即为所求；(2)解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），如图，△A2B2C2即为所求，(3)解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；∵A 点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B ，∴BD 可由AB 平移得到，即BD ∥AB ，BD =AB ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∵C （1，1），B （5，2），平行四边形是中心对称图形，∴平行四边形ACDB 的中心坐标为（3，32），如图所示，当直线y 经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，∴（3，32）代入直线y =32-x +b ，可得b =6；【点拨】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．20．（1）＝PE PF ，证明详见分析；（2）＝PE PF 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，解：（1）∵120AOB Ð°＝，OP 平分AOB Ð，∴60POF Ð°＝，∵60MPN Ð°＝，∴60MPN FOP ÐÐ°＝＝，∴PEF D 是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ^，PH OB ^，∵OP 平分AOB Ð，∴PQ PH ＝，90PQO PHO ÐÐ°＝＝，∵120AOB Ð°＝，∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH Ð+Ð+Ð，∴QPE EPF ÐÐ＝，在QPE D 与HPF D 中EQP FHP QPE HPF PQ PH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴QPE HPF AAS D D ≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ^，PH OB ^，OP 平分AOB Ð，∴30QPO Ð°＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S D ´´＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S D【点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见分析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）S £分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO Ð=Ð，再根据矩形的性质得CBA OAB Ð=Ð.从而BAD CBA Ð=Ð，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（ⅢS ££解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C Ð=Ð=°.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴DC = 4==.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE Ð=°.又点D 在线段BE 上，得90ADB Ð=°.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB Ð=°，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO Ð=Ð.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB Ð=Ð.∴BAD CBA Ð=Ð.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35æöç÷èø.（ⅢS ££【点拨】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.22．（1）见分析；（2）60或120；（3）1212S ££【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB Ð的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论解：（1）,ABC ADE Q V V 均为等边三角形，AD AE \=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAEÐ=Ð在ADB △和AEC △中AD AE BAD CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î()ABD ACE SAS \@V V ；（2）当,,D E C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵ADE V 是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°，180120AEC AED \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC @V V ，120ADB AEC \Ð=Ð=°，1206060EDB ADB ADE \Ð=Ð-=-°=°Ð°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，ADE Q V是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°180120ADC ADE \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC@V V 60ADB AEC \Ð=Ð=°，60EDB ADB ADE \Ð=Ð+Ð=° 60120+=°°综上所述，EDB Ð的大小为60°或120°（3）过点A 作AF BC ^于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==AF \==4DF \=此时1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==，AF \==4AD =Q4DF AF AD \=+=此时，1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；综上所述，DBC △的面积S 取值是1212S -££【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．23．（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见分析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是P 的坐标为（）【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN。

全等三角形证明题专练(培优)

1.（★★★）已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA2.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA3.（★★★★）已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C4.（★★）如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ．求证：∠E =∠F5.（★★）如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．ABCDE F6.（★★★）如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B7.（★★★）如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA8.（★★★）如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA9.（★★★）已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM∆、CBN∆是等边三角形．（1）求证：AN BM=．（2）求证：CD=CE (3) 求证：CF平分∠MCN （4）求证：DE∥AB10.（★★★）等边ABD∆和等边CBD∆的边长均为1，E是BE AD⊥上异于A D、的任意一点，F是CD上一点，满足1AE CF+=，当E F、移动时，试判断BEF∆的形状．DFECBA11．（★★★★）如图，在ABC∆中，BE是∠ABC的平分线，AD BE⊥，垂足为D。

中考数学二轮复习数学全等三角形双等腰旋转的专项培优练习题(及答案

中考数学二轮复习数学全等三角形双等腰旋转的专项培优练习题(及答案一、全等三角形双等腰旋转1．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．（3）如图③，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，33BC =+，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．答案：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）．【分析】（1）根据，AD=AE ，运用SAS 证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把绕点解析：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 23=+ 【分析】（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD∵ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △∴DAE 90BAC ∠=∠=︒∴D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠∴D CAE BA ∠=∠∵BA=CA ，AD=AE∴ABD ACE ≅∴ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD∵ACB 45B ∠=∠=︒∴ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE ⊥BD故答案为：CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）如图②，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，则ACE ABG ≅∴AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒∵BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒∴GAD DAE 45∠=∠=︒ 在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADG ADE ≅∴ED=GD∵GBD 90∠=︒ ∴222BD BG DG +=即222BD EC DE +=（3）如图③，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，∴AEC AFB ≅∴AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒∵CAB 120∠=︒，AB=AC∴ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒∴FBD 60∠=︒∵EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒∴DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD∴ADE ADF ≅∴DF=DE ∵以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形∴以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形∴BDF 是直角三角形若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒ ∴BF=2BD=EC ，DF 3BD DE == ∵()BC BD DE EC BD 2BD 33333BD BD =++=++=+=+∴BD 1=∴DE 3=∴BE BD DE 13=+=+若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒∴BD=2BF=2EC ，DF 3BF DE ==∵()BC BD DE EC 2BF BF 33333BF BF =++=++=+=+∴BF 1=∴BD=2，DE 3=∴BE 23=+【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。

人教版初二数学全等三角形双等腰旋转达标提优专项训练(1)

人教版初二数学全等三角形双等腰旋转达标提优专项训练(1)一、全等三角形双等腰旋转1．如图，△ABC 和△CEF 中，∠BAC ＝∠CEF ＝90°，AB ＝AC ，EC ＝EF ，点E 在AC 边上．（1）如图1，连接BE ，若AE ＝3，BE ＝58，求FC 的长度；（2）如图2，将△CEF 绕点C 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，当△CMN 是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF 绕点C 顺时针旋转，使得点B ，E ，F 在同一条直线上，点P 为BF 的中点，连接AE ，猜想AE ，CF 和BP 之间的数量关系并说明理由．答案：（1）；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF ＋AE ＝BP ，见解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB ＝AC ＝7，求出EC ＝EF ＝4即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形，利用等解析：（1）42；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF ＋AE ＝2BP ，见解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB ＝AC ＝7，求出EC ＝EF ＝4即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；（3）结论：CF ＋AE ＝2BP ．如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ABE 中，AB ()2222583497-=-==BF AE ，∴AC ＝AB ＝7，∴EF ＝EC ＝AC ﹣AE ＝7﹣3＝4，∵∠CEF ＝90°，EC ＝EF ＝3， ∴CF 22224442+=+=EF CE（2）①如图2﹣1中，当CM＝CN时，α＝∠MCE＝∠ECN＝12∠ACB＝22.5°．如图2﹣2中，当NM＝NC时，α＝∠MCN＝45°．如图2﹣3中，当CN＝CM时，∠NCE＝12∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°＋67.5°＝112.5°．综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF＋AE＝2BP．理由：如图3中，过点A作AD⊥AE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∴∠ABP＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝EC＝EF，AD＝AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝2AE，∵P是BF的中点，∴BP＝12BF，∵BP＝12BF＝12（2EF＋DE），CF＝2EF，DE＝2AE，∴BP＝12（2CF＋2AE），∴CF＋AE＝2BP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF①求证：△AED≌△AFD；②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．答案：（1）①见解析；②DE＝；（2）DE的值为3或3【分析】（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2解析：（1）①见解析；②DE＝297；（2）DE的值为517【分析】（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝29，7∴DE＝29；7（2）∵BD＝3，BC＝9，∴分两种情况如下：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE ＝35； ②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，连接BE ．同理可证△DBE 是直角三角形，EB ＝CD ＝3+9=12，DB ＝3，∴DE 2＝EB 2+BD 2＝144+9＝153，∴DE ＝317，综上所述，DE 的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．3．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。

图形旋转练习题(培优专题)

图形旋转练习题1. 如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。

2. 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求此正方形ABCD面积。

3.设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持∠EAF=450，AP⊥EF于点P（1）求证：AP=AB，（2）若AB=5，求ΔECF的周长。

4.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF．（2）若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．5．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.⑴求∠DCE的度数；⑵当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长.6. (1)如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连结PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°．(2) 如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连结PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明理由.7.阅读下面材料，并解决问题：(1)如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2 ．QCPAB第6题AB CPQ第6题图②BD AF EGC8. （1）如图1，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 、E 在BC 上，∠DAE=45°，为了探究BD 、DE 、CE 之间的等量关系，现将△AEC 绕A 顺时针旋转90°后成△AFB ，连接DF ，经探究，你所得到的BD 、DE 、CE 之间的等量关系式是．（2）如图2，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC ，D 、E 在BC 上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD 、DE 、CE 之间的等量关系，并证明你的结论．9.操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C ＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 与PE 之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理由．10.把两个三角形按如图1放置，其中，，，且，．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，这时AB 与CD1相交于点，与D1E1相交于点F ．（1）求的度数；（2）求线段AD1的长；（3）若把△D1CE1绕点顺时针再旋转30°得到△D2CE2，这时点B 在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说明理由．11．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取 AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.（1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.B图2AE 1CD 1OF BAC12.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．。

中考数学数学全等三角形旋转模型的专项培优练习题(及答案

中考数学数学全等三角形旋转模型的专项培优练习题(及答案一、全等三角形旋转模型1．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.解析：BD CE ⊥且BD CE =【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =.【详解】解： ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.2．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =13BP PC +的最小值．答案：A解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD 3PA ．理由见详解；（232【分析】（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BC PA AB== （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ，过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得13GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解．【详解】（1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，∴PB ＝PD ，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，∴∠PBA ＝∠DBC ，∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，∴△PBA ≌△DBC （SAS ），∴PA ＝DC ．设BD 交PC 于点O ，如图1，∵△PBA ≌△DBC ，∴∠BPA ＝∠BDC ，∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．故答案是：PA ＝DC ，60；（2）解：结论：CD 3．理由如下：∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°3，BD ═2BP •cos30°3， ∴BC BD BA BP=3 ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ， ∴3CD BC PA AB== ∴CD 3；（3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ，过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG 3=3，AG = AB ×cos ∠BAG 3 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ， ∴BGP CNP ∽， ∴13GP NP BP CP ==，设GP =x ，则AP 3-x ，BP =3x ，∴()22233x x +=，解得：x =324， ∴BP =924，AP =3-324， ∴CP =AC +AP =23+3-324=33-324， ∴13BP PC +最小值=924+13×(33-324)=3+22．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．3．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336+；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP 2 ∴2∴AB 2=AE 2+BE 22∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴AF=AP-PF=3-22 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．4．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

初二数学全等三角形双等腰旋转练习题含答案

初二数学全等三角形双等腰旋转练习题含答案一、全等三角形双等腰旋转1．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，15AD =，6DM =．（1）在旋转过程中，①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长；（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90︒，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D 处，即1290D AD ︒∠=，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ︒∠=，2202CD =2BD 的长．答案：（1）①21或9；②或；（2）【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然不能为直角．当为直角时，根据，计算即可，当时，根据，计算即可．（2）连接．首先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的解析：（1）①21或9；②3213292）252【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然MAD ∠不能为直角．当AMD ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=︒时，根据222AM AD DM =+，计算即可．（2）连接1CD ．首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可．【详解】解：（1）①由题意可得：21AM AD DM =+=，或9AM AD DM =-=．②显然MAD ∠不能为直角．当AMD ∠为直角时，22222156189AM AD DM =-=-=，321AM ∴=321-当90ADM ∠=︒时，22222156261AM AD DM =+=+=， 293AM ∴=或932-（舍弃）．综上所述，满足条件的AM 的值为321或329．（2）如图2中，连接1CD ．由题意：1290D AD ∠=︒，1215AD AD ==，2145AD D ∴∠=︒，12152D D =2135AD C ∠=︒，2190CD D ∴∠=︒，()()22221212202152252CD CD D D ∴=+=+=1290BAC D AD ∠=∠=︒，2212BAC CAD D AD CAD ∴∠-∠=∠-∠，21BAD CAD ∴∠=∠，AB AC =，21AD AD =，21()BAD CAD SAS ∴∆≅∆，21252BD CD ∴==．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图1，已知ABC 和EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．（1）过点E 作//EG BC 交AC 于点G ，试判断AEG △的形状并说明理由；（2）求证：//BF AC ；（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED EC =，求证：AB AD BF =+．答案：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根解析：（1）AEG △是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，再根据平行线的性质可得60AEG ABC ∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根据等边三角形的性质可得,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，从而可得ACE BCF ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得60CBF CAE ∠=∠=︒，从而可得CBF ACB ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证；（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得,DAE EB AE F BF ∠=∠=，再根据等腰三角形的性质可得D ACE ∠=∠，从而可得D BCF ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理可得BEF BCF D ∠=∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BE =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】（1）AEG △是等边三角形，理由如下：如图，过点E 作//EG BC 交AC 于点G ， ABC 是等边三角形，60BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，60AEG ABC ∴∠=∠=︒， ∴AEG 是等边三角形；（2）ABC 和EFC 是等边三角形，,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=∴︒，ACB BCE ECF BCE ∴∠-∠=∠-∠，即ACE BCF ∠=∠，在ACE △和BCF △中，AC BC ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCF SAS ∴≅，60CBF CAE ∴∠=∠=︒，CBF ACB ∴∠=∠，//BF AC ∴；（3）由（2）知，//BF AC ，ACE BCF ≅，DAE EBF ∴∠=∠，AE BF =，ED EC =，D ACE ∴∠=∠，由（2）已证：ACE BCF ∠=∠，D BCF ∴∠=∠， ABC 和EFC 是等边三角形，60ABC EFC ∠∴∠==︒，在BEF 中，180120BEF EBC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠，在BCF △中，180120BCF EFC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， BEF BCF D ∴∠=∠=∠，在ADE 和BEF 中，DAE EBF D BEF AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE BEF AAS ∴≅，AD BE ∴=，AB BE AE AD BF ∴=+=+．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键．3．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．答案：（1）见解析；（2）BE=CD ，理由见解析；（3）EF= ．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥解析：（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF 3105【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BD 2AB 22BC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．4．已知，ABC 中，AB AC =，2BAC α∠=︒，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为AD 的中点，线段CE 绕点E 顺时针旋转2α︒得到线段EF ，连接FC ，FD ．（1）如图1，当60BAC ∠=︒时，请直接写出DF DC的值；（2）如图2，当90BAC ∠=︒时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当2BAC α∠=︒时，请直接写出DF DC的值(用含α的三角函数表示)．答案：（1）；（2）不成立，，理由见解析；（3）．【分析】（1）如图1（见解析），先根据中位线定理得出，再根据旋转的性质、等边三角形的性质得出，，，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出解析：（1）12；（2）不成立，22DF DC =3）sin DF DC α=︒．【分析】（1）如图1（见解析），先根据中位线定理得出12EG DC =，再根据旋转的性质、等边三角形的性质得出EC FC =，CD CG =，DCF GCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得DF EG =，由此即可得出答案；（2）如图2（见解析），先根据中位线定理、等腰三角形的三线合一得出90AEM ∠=︒，再根据等腰直角三角形的性质得出ACE BCF ∠=∠，22AC CE BC CF ==，然后根据相似三角形的判定与性质可得CBF CAE ∠=∠，2AE BF =AE AM BF BD =，最后根据相似三角形的判定与性质可得90BFD AEM ∠=∠=︒，据此利用正弦三角函数值即可得；（3）如图3（见解析），参照题（2）的思路，先根据相似三角形的判定与性质得出,90CBF CAE BFD AEN α∠=∠=︒∠=∠=︒，再在Rt BFD 中，利用正弦三角函数值即可得．【详解】（1）如图1，取AC 的中点G ，连接EG ，则12CG AC = 点E 为AD 的中点 EG ∴是ACD 的中位线12EG DC ∴=，即12EG DC =由旋转的性质可知，EC EF =，60FEC ∠=︒CEF ∴是等边三角形60ECF ∴∠=︒，EC FC =AB AC =，60BAC ∠=︒ABC ∴是等边三角形60,ACB AC BC ∴∠=︒=点D 为BC 边中点1122CD BC AC CG ∴=== 60ECF ECD DCF ∠=∠+∠=︒，60ACB ECD GCE ∠=∠+∠=︒DCF GCE ∴∠=∠在DCF 和GCE 中，CD CG DCF GCE FC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DCF GCE SAS ∴≅DF EG ∴=12DF EG DC DC ∴==；（2）不成立，2DF DC =，理由如下：如图2，连接BF ，取AC 的中点M ，连接EM∵E 是AD 的中点∴//EM BC∴AEM ADC ∠=∠∵AB AC =ABC ∴是等腰三角形∵D 是BC 中点, 2BAC α∠=︒∴AD BC ⊥，12CAD BAC α∠=∠=︒，BD DC = ∴90ADC ∠=︒∴90AEM ∠=︒当90BAC ∠=︒时，则90CEF ∠=︒ABC ∴和CEF △为等腰直角三角形∴45ACB ECF ∠=∠=︒，即45ECD ACE ECD BCF ∠+∠=∠+∠=︒∴ACE BCF ∠=∠，cos 45AC CE BC CF ==︒= ∴ACE BCF ~∴90452CBF CAE α︒∠=∠=︒==︒，2AE AC BF BC ==∵12122AC AM BD BC == ∴AE AM BF BD = ∴BDF AME ~ ∴90BFD AEM ∠=∠=︒在Rt BFD 中，sin DF DF CBF BD DC ∠==，即sin 45DF DC ︒=则2DF DC =；（3）sin DF DCα=︒，求解过程如下：如图3，连接BF ，取AC 的中点N ，连接EN 参照（2），同理可得：12CAD BAC α∠=∠=︒，BD DC =，90AEN ADC ∠=∠=︒ 当2BAC α∠=︒时，则2CEF α∠=︒AB AC =，EC EF =（旋转的性质）ABC ∴和EFC 为等腰三角形 ∴1(180)902ACB ABC BAC α∠=∠=︒-∠=︒-︒ 1(180)902ECF EFC CEF α∠=∠=︒-∠=︒-︒ 90ACB ECF α∴∠=∠=︒-︒ABC EFC ∴~AC CE BC CF∴= 又,ACB ECD ACE ECF ECD BCF ∠=∠+∠∠=∠+∠∴ACE BCF ∠=∠∴ACE BCF ~∴CBF CAE α∠=∠=︒，AE AC BF BC = ∵1212AC AN AC BD BCBC ==∴AE AN BF BD = ∴BDF ANE ~ ∴90BFD AEN ∠=∠=︒在Rt BFD 中，sin DF DF CBF BD DC ∠== 即sin DF DC α=︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 5．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长．（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．答案：（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE⊥BD；（2）由等腰解析：（1）AE=BD且AE⊥BD；（2）6；（3）PQ为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE⊥BD；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠EAC=∠DBC，可得AE⊥BD，由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长．【详解】解：（1）AE=BD，AE⊥BD，理由如下：∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE⊥BD；（2）∵PE=EQ，AE⊥BD，∴PA=AQ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D在AB的延长线上，∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ，AE⊥BD，∴PA=AQ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D在BA的延长线上，∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ，AE⊥BD，∴PA=AQ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3--，EQ AE∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE⊥BD是本题的关键．6．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．答案：（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得A解析：（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90º即可；（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90º即可；（3）BD交AC于点H，AO于M，可证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90º即可．【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明：延长BD交AC于点E．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90º，∴AC⊥BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO ，∴∠AFG=∠BOG=90º，∴AC ⊥BD ；（3）AC=BD ，AC ⊥BD ．证明：BD 交AC 于点H ，AO 于M ，∵△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，∴OC=OD ，OA=OB ，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA ，∠BOD=∠BOA+∠DOA ，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴AC=BD ，∠OAC=∠OBD ，∵∠AMH=∠BMO ，∴∠AHM=∠BOH=90º，∴AC ⊥BD ．【点睛】本题考查三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键．7．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．答案：（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BC解析：（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②由“SAS”可证△ADB ≌△AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠ACE ．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∵DAE BAC ∠=∠，∴DAB EAC ∠=∠，在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△≌△ADB AEC(SAS)， ∴ABD ACE ∠=∠，∵ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∴BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∴BAC BCE ∠=∠，即αβ=．此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．8．如图，锐角ABC 中，分别以AB 、AC 为边向外作等腰直角ABE △和等腰直角ACD △，使AE AB =，AD AC =，90BAE CAD ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，可以通过全等三角形的知识证得BD 与CE 相等．（1）如图，锐角ABC 中分别以AB 、AC 为边向外作等腰ABE △和等腰ACD △，AE AB =，AD AC =，90BAE CAD ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，试猜想BD 与CE 的数量关系，并说明理由．（2）如图，在中ABC ，45ACB ∠=︒，以AB 为直角边，A 为直角顶点向外作等腰直角ABD △，连接CD ，若2,3AC BC ==，求CD 的长．（3）如图，在四边形中ABCD ，60,15,8,ADC BC AB AD CD ∠=︒===，求BD 的最大值．答案：（1），证明见解析；（2）；（3）23．（1）由等腰三角形的性质解得，继而可证及，再由全等三角形对应边相等解题；（2）过A 作交于点，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，，再证明，由全解析：（1）BD CE =，证明见解析；（2）13；（3）23．【分析】（1）由等腰三角形的性质解得,,AE AB AD AC BAE CAD ==∠=∠，继而可证EAC BAD ∠=∠及(SAS)EAC BAD ≌，再由全等三角形对应边相等解题；（2）过A 作AE AC ⊥交BC 于点E ，连接DE ，先证明EAC 是等腰直角三角形，得到 AE AC =，DAE BAC ∠=∠，再证明(SAS)DAE BAC ≌，由全等三角形的性质得到3,45DE BC DEA BCA ==∠=∠=︒，接着在等腰直角三角形EAC 中，由勾股定理解得22222EC AC AE AC =+=，最后在Rt DEC △中，由勾股定理即可解得CD 的长；（3）先证明ACD △为等边三角形，再由等边三角形的性质可得，,60AC CD ACD =∠=︒将BCA 绕点C 顺时针旋转60°得到ECD ，连接BE ，由旋转的性质得815DE AB BC EC ====，，继而证明BCE 是等边三角形，由等边三角形的性质得到75BE BC ==，最后根据三角形三边关系解题即可．【详解】解：（1）∵ABE △和ACD △是等腰三角形，,,AE AB AD AC BAE CAD ∴==∠=∠，BAE BAC CAD BAC ∴∠+∠=∠+∠，即：EAC BAD ∠=∠，在EAC 中BAD 中AE AB EAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)EAC BAD ∴≌，CE BD ∴=；（2）如图（1）所示，过A 作AE AC ⊥交BC 于点E ，连接DE ，45,ACB AE AC ∠=︒⊥，90EAC ∴∠=︒，EAC ∴△是等腰直角三角形，AE AC ∴=，又ABD 是等腰直角三角形，,90AB AD BAD ∴=∠=︒，90BAD EAC ∴∠=∠=︒，BAD BAE EAC BAE ∴∠+∠=∠+∠，即：DAE BAC ∠=∠，在DAE △和BAC 中,AD AB DAE BAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)DAE BAC ∴≌，3,45DE BC DEA BCA ∴==∠=∠=︒，在等腰直角三角形EAC 中，45AEC ∠=︒，90DEC DEA AEC ∴∠=∠+∠=︒，由勾股定理得：22222EC AC AE AC =+=.在Rt DEC △中，由勾股定理得： 229413CD DE EC =+=+=；（3）,60AD CD ADC =∠=︒，∴ACD △为等边三角形，,60AC CD ACD ∴=∠=︒，如图（2）所示，将BCA 绕点C 顺时针旋转60°得到ECD ，连接BE ，由旋转性质可得∶815DE AB BC EC ====，60BCE ∠=︒，∴BCE 是等边三角形，∴75BE BC ==，又∴BE DE BD +≥，即158BD BE DE ≤+=+，即23BD ≤，∴BD的最大值为23．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．9．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．答案：（1）=；⊥（2）见解析（3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析【分析】（1）根据等式的性质可得AC与BD的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC与BD的位置关系；（2）证解析：（1）=；⊥（2）见解析（3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析【分析】（1）根据等式的性质可得AC与BD的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC与BD 的位置关系；（2）证明△OCA≌△ODB，即可得到AC=BD；（3）证明△OCA≌△ODB，可得AC=BD，∠BDO=∠ACO，进而可证∠DEF=90°．【详解】解：（1）∵OA=OB，OC=OD∴OA-OC=OB-OD，∴AC=BD．∵∠AOB=∠COD=90°，∴AO⊥BO，∵C、D分别在OA、OB上，∴AC ⊥BD ；（2）在△OCA 和△ODB 中，90OC OD COA BOD AO BO =⎧⎪∠==⎨⎪=⎩，∴△OCA ≌△ODB ，∴AC=BD ；（3）AC=BD ，AC ⊥BD ．理由：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，∴∠AOC=∠BOD ，在△OCA 和△ODB 中，OC OD COA BOD AO BO =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△OCA ≌△ODB ，∴AC=BD ，∠BDO=∠ACO ，∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE ，∴∠BDO+∠DFE=90°，∴∠DEF=180°-90°=90°，∴AC ⊥BD ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．10．在直线上次取A ，B ，C 三点，分别以AB ，BC 为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D ，E ．（1）如图①，连结CD ，AE ，求证：CD AE =；（2）如图②，若1AB =，2BC =，求DE 的长；（3）如图③，将图②中的正三角形BEC 绕B 点作适当的旋转，连结AE ，若有222DE BE AE +=，试求∠DEB 的度数．答案：（1）见解析；（2）；（3）∠DEB ＝30°.【分析】（1）欲证明CD ＝AE ，只要证明△ABE ≌△DBC 即可；（2）如图②，取BE 中点F ，连接DF ，首先证明△DBF 是等边三角形，然后证明△BD解析：（1）见解析；（2）3DE =3）∠DEB ＝30°.【分析】（1）欲证明CD ＝AE ，只要证明△ABE ≌△DBC 即可；（2）如图②，取BE 中点F ，连接DF ，首先证明△DBF 是等边三角形，然后证明△BDE 是直角三角形，再利用勾股定理计算即可；（3）如图③，连接DC ，先证明△ABE ≌△DBC ，再利用勾股定理的逆定理证明△DEC 是直角三角形，得到∠DEC ＝90°即可解决问题．【详解】解：（1）∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形，∴AD ＝AB ＝BD ，BC ＝BE ＝EC ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，AB BD ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴CD ＝AE ；（2）如图②，取BE 中点F ，连接DF ，∵BD ＝AB ＝1，BE ＝BC ＝2，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴BF ＝EF ＝1＝BD ，∠DBF ＝60°，∴△DBF 是等边三角形，∴DF ＝BF ＝EF ，∠DFB ＝60°，∵∠BFD ＝∠FED ＋∠FDE ，∴∠FDE ＝∠FED ＝30°∴∠EDB ＝180°−∠DBE−∠DEB ＝90°，∴DE ＝2222213BE BD ；（3）如图③，连接DC ，∵△ABD 和△ECB 都是等边三角形，∴AD ＝AB ＝BD ，BC ＝BE ＝EC ，∠ABD ＝∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，AB BD ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴AE ＝DC ，∵DE 2＋BE 2＝AE 2，BE ＝CE ，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，∴∠DEC ＝90°，∵∠BEC ＝60°，∴∠DEB ＝∠DEC−∠BEC ＝30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键，要学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型．二、全等三角形手拉手模型11．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．解析：（1）详见解析；（2）①详见解析；②PB PC PD BE ++=，理由详见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD ，判断出BCE ACD ≌（SAS ），即可得出结论；（2）①同（1）的方法判断出≌ACD BCE （SAS ），ABD CBF ≌（SAS ），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，证明CPM △是等边三角形，进而判断出PCD MCE ≌（SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD ，∴BCE ACD ≌（SAS ），∴BE=AD ；（2）①证明：∵ABC 和DCE 是等边三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠BCE ，∴≌ACD BCE （SAS ），∴AD=BE ，同理：ABD CBF ≌（SAS ），∴AD=CF ，即AD=BE=CF ；②解：结论：PB+PC+PD=BE ，理由：如图2，AD 与BC 的交点记作点Q ，则∠AQC=∠BQP ，由①知，≌ACD BCE ，∴∠CAD=∠CBE ，在ACQ 中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在BPQ 中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP ）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，60,CPE ∴∠=︒ ∠CPD=120°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，∴CPM △是等边三角形，∴CP CM PM ==，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD ，∵CDE △是等边三角形，∴CD=CE ，∠DCE=60°=∠PCM ，∴∠PCD=∠MCE ，∴PCD MCE ≌（SAS ），∴PD=ME ，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD ．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．12．在平面直角坐标系中，已知A （3，0），以OA 为一边在第一象限内画正方形OABC ，D （m ，0）为x 轴上的一个动点，以BD 为一边画正方形BDEF （点F 在直线AB 右侧）．（1）当m ＞3时（如图1），试判断线段AF 与CD 的数量关系，并说明理由．（2）当AF=5时，求点E 的坐标；（3）当D 点从A 点向右移动4个单位，求这一过程中F 点移动的路程是多少？解析：（1）AF CD =，理由见解析；（2）点E 的坐标为(7,1)E 或(1,7)E --；（3）这一过程中F 点移动的路程是向上移动4个单位．【分析】（1）先根据正方形的性质得出,,90AB CB BF BD ABC BDF ==∠=∠=︒，再根据角的和差求出CBD ABF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得；（2）分点D 在点A 的右侧和点D 在点A 的左侧，分别画出图形．①如图1，先利用（1）的结论可得5CD =，再利用勾股定理求出4OD =，从而可得1AD =，然后过点E 作EG x ⊥轴于点G ，根据三角形全等的判定定理与性质可得1,3GE GD ==，从而可得7OG =，由此即可得；②如图2，同①的方法，利用三角形全等的判定定理与性质得出7,3HE HD ==，从而可得1OH =，由此即可得；（3）参照（2）①的方法，求出点F 的坐标，从中可发现点F 的坐标与m 的关系，由此即可得出答案．【详解】（1）AF CD =，理由如下：四边形OABC 和四边形BDEF 都是正方形,,90AB CB BF BD ABC BDF ∴==∠=∠=︒ABC ABD BDF ABD ∴∠+∠=∠+∠，即CBD ABF ∠=∠在BAF △和BCD 中，AB CB ABF CBD BF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAF BCD SAS ∴≅AF CD ∴=；（2）由题意，分以下两种情况：①如图1，点D 在点A 的右侧四边形OABC 和四边形BDEF 都是正方形，(30)A ，3OC AB OA ∴===，BD DE =，90OAB BDE ∠=∠=︒90ABD ADB GDE ADB ∴∠+∠=∠+∠=︒，即ABD GDE ∠=∠由（1）可知，5AF CD ==在Rt COD中，4OD ===431AD OD OA ∴=-=-=过点E 作EG x ⊥轴于点G在ABD △和GDE △中，90BAD DGE ABD GDE BD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD GDE AAS ∴≅1,3AD GE AB GD ∴====437OG OD GD ∴=+=+=此时点E 的坐标为(7,1)E②如图2，点D 在点A 的左侧由（1）可知，5AF CD ==在Rt COD 中，2222534OD CD OC =-=-=437AD OD OA ∴=+=+=过点E 作EH x ⊥轴于点H同理可证：ABD HDE ≅7,3AD HE AB HD ∴====431OH OD HD ∴=-=-=此时点E 的坐标为(1,7)E --综上，点E 的坐标为(7,1)E 或(1,7)E --；（3）由题意，只需求出点D 在点A 的右侧，即3m >时，点F 的坐标即可解决问题如图1，过点F 作FM x ⊥轴于点M由（1）已证：BAF BCD ≅AF CD ∴=，BAF BCD ∠=∠90BAD BCO ∠=∠=︒BAD BAF BCO BCD ∴∠-∠=∠-∠FAM DCO ∴∠=∠在AFM △和CDO 中，90AMF COD FAM DCO AF CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AFM CDO AAS ∴≅3,MA OC MF OD m ∴====336OM OA MA ∴=+=+=此时点F 的坐标为(6,)F m由此可知，当D 点从A 点向右移动4个单位时，点F 向上移动4个单位即这一过程中F 点移动的路程是向上移动4个单位．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、点的坐标变换规律等知识点，较难的是题（2），依据题意，分两种情况讨论，然后分别通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．13．问题发现：如图1，在Rt ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边所在直线上的动点(不与点B 、C 重合)，连结AD ，以AD 为边作Rt ADE ∆，且AD AE =，根据BAC CAD CAD DAE ∠+∠=∠+∠，得到BAD CAE ∠=∠，结合AB AC =，AD AE =得出BAD CAE ∆≅∆，发现线段BD 与CE 的数量关系为BD CE =，位置关系为BD CE ⊥；（1）探究证明：如图2，在Rt ABC ∆和Rt ADE ∆中，AB AC =，AD AE =，且点D 在BC 边上滑动(点D 不与点B 、C 重合)，连接EC ．①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为_____；②求证: 2222BD CD AD +=；（2）拓展延伸：如图3，在四边形ABCD 中，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒．若13BD cm =，5CD cm =，求AD 的长．解析：（1）①BC =CE+CD ；②见解析；（2）AD ＝2．【分析】（1）①根据题中示例方法，证明△BAD ≌△CAE ，得到BD ＝CE ，从而得出BC=CE+CD ； ②根据△BAD ≌△CAE ，得出∠ACE ＝45°，从而得到∠BCE ＝90°，则有DE 2＝CE 2+CD 2，再根据222DE AD =可得结论；（2）过点A 作AG ⊥AD ，使AG=AD ，连接CG 、DG ，可证明△BAD ≌△CAG ，得到CG ＝BD ，在直角△CDG 中，根据CD 的长求出DG 的长，再由DG 和AD 的关系求出AD.【详解】解：（1）①如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ，∴ BC=BD+CD=CE+CD ，故答案为：BC=BD+CD=CE+CD．②∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴22=，DE AD2∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如图3，过点A作AG⊥AD，使AG=AD，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝13，在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，2222=-=-=，DG CG CD13512∵△DAG是等腰直角三角形，∴22DG AD=，2∴AD2．2【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE．（1）如图1，当点P在菱形ABCD内部时，则BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）如图2，当点P在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图2，连接BE，若AB＝23，BE＝219，求AP的长．解析：（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）7【解析】【分析】（1）由菱形ABCD和∠ABC=60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，减去公共角∠PAC得∠BAP=∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP=CE，∠ABP=∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP=30°，故∠ACE=30°即CE平分∠ACD，由AC=CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD．（2）结论不变．证明过程同（1）．（3）在Rt△AOP中，求出OA，OP即可解决问题．【详解】（1）BP=CE，CE⊥AD．理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°∴△ABC、△ACD是等边三角形∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°∵△APE是等边三角形∴AP=AE，∠PAE=60°∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC即∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS）∴BP=CE，∠ABP=∠ACE∵BD平分∠ABC∠ABC=30°∴∠ACE=∠ABP=12∴CE平分∠ACD∴CE⊥AD．故答案为BP=CE，CE⊥AD．（2）结论仍然成立．理由如下：如图，设CE交AD于H，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°．∵△APE是等边三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°．∴△BAP≌△CAE．∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°．∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．（3）如图，连接BE，由（2）可知CE⊥AD，BP= CE．在菱形ABCD中，AD∥BC，∴CE⊥BC．∵3，BE=219在Rt△BCE中，22(219)(23)-=8．∴BP=CE=8．∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD=12∠ABC=30°，AC⊥BD．∴OA=12322AB AO-，∴OP=BP－BO=5，在Rt△AOP中，22PO AO+1，【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．第（2）题的证明过程可由（1）适当转化而得，第（3）题则可直接运用（2）的结论解决问题．15．如图①，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，13AB =，24BD =，点F 是BD 上一动点（不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AM .（1）求OA 的长.（2）若点M ，F ，C 在同一条直线上，求证：3AC AM =. （3）如图②，以AB 为边作等边ABE ∆，40AEM S ∆=，求AF 的长.解析：（1）5（2）3AC AM =（3）41【分析】（1）在Rt OAB ∆中，利用勾股定理22OA AB OB =-,求解即可. （2）由四边形ABCD 是菱形，求出△AFM 为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°.（3）求出△MEM ≌△ABF ，利用△AEAM 的面积为40求出BF ，在利用勾股定理22225441AF AO FO =+=+=..【详解】（1）四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，12OB OD BD ==. 24BD =，12OB ∴=在Rt OAB ∆中，13AB =，222213125OA AB OB ∴=-=-=.（2）如图2四边形ABCD 是菱形，BD ∴垂直平分AC ，FA FC ∴=，FAC FCA ∴∠=∠.由已知AF AM =，60MAF ∠=︒.AFM ∆为等边三角形，60M AFM ∴∠=∠=︒.。

初中数学数学全等三角形旋转模型的专项培优练习题(及解析(1)

初中数学数学全等三角形旋转模型的专项培优练习题(及解析(1)一、全等三角形旋转模型1．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空：①AEBF的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________；（2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出AEBF的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明；（3）（应用）如图3，当90α=︒时，若23,15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积．答案：G解析：（1）1；60°；（2）33AE BF =，∠G =30°，理由见解析；（3）333 【分析】（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；（2）根据题目已知条件可以计算出3BC =，同理可以证得3CF CE =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60° ∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF ∴∠ACE =∠BCF ∴△ACE ≌△BCF∴A E =BF ，即1AEBF= ②∵△ACE ≌△BCF ∴∠EAC =∠CBF由①可知△ABC 是等边三角形 ∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ∴∠CAE =∠CBF =30°∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°（2）AE BF =∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC ∴∠ABD =30°=∠ACB∴BD AB AC CD === ∴BC =同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =∴BC CF AC CE =，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF ∴∠CAE =∠CBF∴3AE AC BF BC ==∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°， ∴∠CAE =∠CBF =60° 又∵∠BDG =90° ∴∠G =30°（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°，AD ⊥BC∴sin 4562BCAD BD CD AB =====∠DAC =45° ∵∠ACE =15°∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60DCDE ==∴AE AD DE =-=2BC CFAC CE==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°， ∴∠CAE =∠CBF =45° ∴△ACE ∽△BCF ∴2BF BCAE AC== ∴()262232BF =-=-∵∠ADC =∠BDG ∴∠G =∠ACB =45° ∴223BG BD ==∴2FG BG BF =-= 过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ， ∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90° ∴=6DG BD CD ==∴232DM DG == ∴132DFG S FG DM ==△第二种情况：当E 在DA 的延长线上时过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，同上可证2BF BCAE AC==，6BG BD ==，3DM =∵∠ACE =15°，∠DAC =45° ∴∠DEC =30°∵AD ⊥CD ，6CD =∴32tan 30DCDE ==∴=6DG BD CD ==326AE DE AD =-=∴2623FB AE ==-∴6FG BF BG =+=1332DFG S FG DM ==△ 故答案为：3或33．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点． 2．问题提出（1）如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，若∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°，则ABD ACDSS＝．问题探究（2）如图②，在正方形ABCD 中，边长为8，点E 是AB 的中点，作∠EDF ＝45°，交BC 于点F ，求DEF 的面积．问题解决（3）如图③，某市为迎接城市运动会，打造融体育、文化、饮食、旅游为一体的综合商业品牌，规划了如图所示的矩形ABCD 观光区，如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16km ，AD ＝12km ，要求在边AB 上确定一点E 为观光区的南门，在边BC 上确定一点F 为观光区的东门，且∠EDF ＝30°，同时为了方便市民游览，还要修建一条观光通道FG ，使FG ∥AB ，交DE 于点G （观光带的宽度不计），为了节约成本，要使FG 的长度最小，那么是否存在符合条件的修建方案？若存在，请求出FG 的最小值；若不存在，请说明理由．答案：B解析：3(2)803，(3) 323．【分析】(1)根据∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°，求出BD 、AD 、DC 的关系即可；(2)将△DCF 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAG ，可证△DEF ≌△DEG ，得到EF =CF +AE ，求出CF 长即可；(3) 作DM ⊥DF ，交BA 延长线于点M ，作EN ⊥DF 于N ，EH ⊥DM 于H ，作△DME 的外接圆⊙O ，连接OD 、OE 、OM ，作OQ ⊥ME 于Q ，求出△DEF 的面积最小值，再用面积求FG 最小值．【详解】解:(1)∵AD 是BC 边上的高，若∠BAD ＝45°，∠DAC ＝30°， ∴AD =BD ，AD = tan 603DC DC ︒=，12312ABD ACDBD AD S SCD AD ⋅==⋅， (2) 将△DCF 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAG ， ∵∠DAG =∠C =90°，∠DAE =90°， ∴G 、A 、E 三点共线，由旋转可知，∠FDG =∠CDA =90°，DF =DG ， ∴∠GDE =∠FDE =45°，DE =DE , ∴△GDE ≌△FDE ， ∴GE =EF ， ∴EF =AE +CF ，设EF 为x ，则CF =x -4，BF =12-x ，2224(12)x x +-=，解得，x =203, DEF 的面积=DEG 的面积=120808233⨯⨯=；(3)作DM ⊥DF ，交BA 延长线于点M ，作EN ⊥DF 于N ，EH ⊥DM 于H ，作△DME 的外接圆⊙O ，连接OD 、OE 、OM ，作OQ ⊥ME 于Q ，∵∠FDM =∠CDA =90°， ∴∠ADM =∠CDF ， ∵∠C =∠DAM =90°， ∴△ADM ∽△CDF ，∴34MD AD DF DC ==, ∵∠FDE =30°， ∴∠EDM =60°，∵1sin 302EN DE DE =︒=,3sin 602EH DE DE =︒=, ∴3EHEN=,1432192DEF DMEDF ENS S DM EH ⋅==⋅,设⊙O 的半径为R ， ∵∠MDE =60°， ∴∠MOE =120°， ∠MOQ =60°，3sin 602RMQ OM =︒=，ME =3R ,OQ =12R ,OD +OQ ≥AD , 1122R R +≥,解得，8R ≥， 138122DMES≥⨯⨯⨯，即483DMES ≥，DME S △的最小值为483，DEF S △的最小值为43483649⨯=，1()62DEFDGFEGFSSSFG CF BF FG =+=+=, FG 的最小值为643263=．本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，解直角三角形等，解题关键是充分理解题意，恰当的构建全等三角形、相似三角形和外接圆． 3．如图．四边形ABCD 、BEFG 均为正方形．（1）如图1，连接AG 、CE ，请直接写出．．．．．AG 和CE 的数量和位置关系（不必证明）．（2）将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转β角（0180β︒︒＜＜），如图2，直线AG 、CE 相交于点M ．①AG 和CE 是否仍然满足（1）中的结论？如果是，请说明理由：如果不是，请举出反例：②连结MB ，求证：MB 平分AME ∠．（3）在（2）的条件下，过点A 作AN MB ⊥交MB 的延长线于点N ，请直接写出．．．．．线段CM 与BN 的数量关系．答案：A解析：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由见解析；②见解析；（3）2．【分析】（1）由正方形BEFG 与正方形ABCD ，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 得出三角形ABG 与三角形CBE 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，再利用同角的余角相等即可得证；（2）①利用SAS 得出△ABG ≌△CEB 即可解决问题；②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC ，可得出BP=BH ，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM 为角平分线；（3）在AN 上截取NQ=NB ，可得出三角形BNQ 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到2BN ，接下来证明BQ=CM ，即要证明三角形ABQ 与三角形BCM 全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM 为等腰直角三角形得到NA=NM ，利用等式的性质得到AQ=BM ，利用SAS 可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．解：（1）AG=EC ，AG ⊥EC ，理由为： ∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB=BE ，∠ABG=90°，AB=BC ，∠ABC=90°，在△ABG 和△BEC 中，BG BE ABC EBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△BEC （SAS ）， ∴CE=AG ，∠BCE=∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ， ∴∠BEC=∠AEM ， ∴∠ABC=∠AME=90°， ∴AG=EC ，AG ⊥EC ；（2）①满足，理由是：如图2中，设AM 交BC 于O ．∵∠EBG=∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC ，在△ABG 和△CEB 中，AB BC ABG CBE BG EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△CEB （SAS ）， ∴AG=EC ，∠BAG=∠BCE ，∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM ， ∴∠BCE+∠COM=90°， ∴∠OMC=90°， ∴AG ⊥EC ．②过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ， ∵△ABG ≌△CEB ， ∴S △ABG =S △EBC ，AG=EC ， ∴12EC•BP=12AG•BH ， ∴BP=BH ， ∴MB 平分∠AME ；（3）2BN ，理由为：在NA 上截取NQ=NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即2BN ， ∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN=MN ， ∴MN-BN=AN-NQ ，即AQ=BM ，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠MBC=∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，AQ BM BAN MBC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABQ ≌△BCM （SAS ）， ∴CM=BQ ，则2BN ．【点睛】此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键． 4．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝（用含α的式子表示）答案：D解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602α︒- 【分析】（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．【详解】解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形， ∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在DAC △和BAE △中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DAC BAE SAS ≅，∴ADC ABE ∠=∠，∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，∴60BPD DAB ∠=∠=︒；（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，∵60BPD ∠=︒，PF PB =，∴PFB △是等边三角形，∴BF BP =，60FBP ∠=︒，∴DBA FBP ∠=∠，∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，∴DBF ABP ∠=∠，在DBF 和ABP △中，DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DBF ABP SAS ≅，∴DF PA =，∵PD PF FD =+，∴PD PB PA =+；（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，由（1）得ADC ABM ∠=∠，∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，∴()1806016022ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1602ABM α∠=︒-，故答案是：1602α︒-．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．5．探究：（1）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若∠B ＝28°，则∠ACD 的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN ＝90°，射线CP 在∠MCN 的内部，点A 、B 分别存CM 、CN 上，分别过点A 、B 作AD ⊥CP 、BE ⊥CP 于点D 、E ，若AC ＝CB ，则AD 、DE 、BE 三者间的数量关系为．请说明理由；应用：（3）如图③，点A 、B 分别在∠MCN 的边CM 、CN 上，射线CP 在∠MCN 的内部，点D 、E 在射线CP 上，连结AD 、BE 、AE ，且使∠MCN ＝∠ADP ＝∠BEP ．当AC ＝BC 时，△ ≌△ ；此时如果CD ＝2DE ，且S △CBE ＝6，则△ACE 的面积是．答案：D解析：（1）28° （2）DE ＝AD ﹣BE ；理由见解析（3）ACD ；CBE ；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD ＝∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC ＝∠CEB ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，得出S △ACD ＝S △CBE ，再求出S △ADE ＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∵∠B ＝28°，∴∠BCD ＝90°﹣∠B ＝68°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．6．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”．请利用上面信息解决以下问题：已知Rt ABC 中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S +=△△△；（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．答案：D解析：（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立：12DEF CEF ABC S S S -=△△△【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到AED 、DFB △、EDF 、ECF △为全等的等腰直角三角形，据此即可证明；（2）对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，根据中位线的性质和等量代换证得MD ND =和MDE NDF ∠=∠，结合90DME DNF ∠=∠=︒，证得DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA 证明DME DNF ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可求证．【详解】（1）证明：连接CD∵D 为AB 边的中点，AC BC =∴AD=CD=BD∴45DAC DCA DCB DBC ∠=∠=∠=∠=︒又∵DE AC ⊥，90EDF ∠=︒，90C ∠=︒，∴四边形ECFD 为矩形∴∠CFD=90°又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD 是正方形∴DE=DF∴DEF CEF DEC DFC S S S S +=+△△△△又∵12DCF DBF ABC S S S +=△△△，且DCF DBF S S =△△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ （2）图2成立，图3不成立对于图2：过点D 作DM AC ⊥，DN BC ⊥，如图2，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=︒又∵90C ∠=︒∴DM BC ，DN AC∵D 为AB 边的中点 ∴根据中位线定理得到：12DN AC =，12MD BC =∵AC=BC∴MD=ND∵90EDF ∠=︒∴90MDE EDN ∠+∠=︒，90NDF EDN ∠+∠=︒∴MDE NDF ∠=∠在DME ∆与DNF ∆中DME DNF MD NDMDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DME DNF ∆≅∆∴DME DNF S S ∆∆=∴DEF CEF DMCN DECF S S S S ∆∆==+四边形四边形 ∴12DMCN ABC S S =△ ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 对于图3：连接DC ，在DEC ∆与DBF ∆中135DCE DBF DC DBCDE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DEC DBF ∆≅∆∴12DEF CFE DBC CFE ABC DBFEC S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+五边形 ∴12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决．7．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，3∴3∴AB 2=AD 2+BD 23∴ABC S =23AB =25336 （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴AF=AP-PF=3-22 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．8．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2713【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点DP及D，连接PD可以得到△PP D'，△PP D'是直角三角形和，利用勾股定理即可求出' PC的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC∴△ABD≌△ACE（2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示：∵△ADB≌△AEC∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F是BC的中点∆'，连接（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到ACPPP'和PC∆'∵将△ABP旋转120°得到ACP∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4 ∴PP '=23，∵∠AP C '=120°，∠AP P '=30°， ∴∠PP C '=90°，∴PC=()2223427+=．当点P 在△ABC 外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4， ∴PP '=23，∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°， ∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=， ()222237213PC PD DC ∴=+=+= ．综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．9．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D．设t＝PDAD，请求出t的最大值和此时点P的坐标；（3）M是x轴上一动点，连接MC，将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME，若点E恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标．答案：A解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为916，此时P（32，154）；（3）M（9332-，0）或（9332+，0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，∴0＝﹣3+c，解得c＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PD AD ＝PFAE， ∵S △PBC ＝12•BC •PF ，S △ACB ＝12•BC •AE ， ∴PD AD ＝PBCABCS S ∆∆， ∵S △ABC ＝12•AB •OC ＝12×4×3＝6， ∴t ＝PD AD ＝6PBC S ∆＝211133(23)332226m m m ⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m 2+34m ＝﹣14（m ﹣32）2+916， ∵﹣14＜0， ∴m ＝32时，t 有最大值，最大值为916，此时P （32，154）；（3）如图，过点E 作EH ⊥x 轴于H ，∵∠COM ＝∠EHM ＝∠CME ＝90°，∴∠EMH +∠CMH ＝90°，∠EMH +∠MEH ＝90°， ∴∠MEH ＝∠CMO ， ∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ，整理得，m 2﹣9m +12＝0，解得m 933-933+， ∴M 933-，0933+0）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．10．如图，在四边形ABCD 中，AB AC =，AD 是对角线，60BAC ∠=︒，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，（1）求ADC ∠的度数；（2）若AD BD CD =+，求证：AD 平分BDC ∠；（3）在（2）的条件下，E 、F 分别在AC 、AB 上，连接BE 、CF ，交于点P ，使得BPC BDC ∠=∠，若7BD EF ==，15AD =，求EFP ∆的面积答案：A解析：（1）=60∠︒ADC ；（2）证明见详解；（34003【分析】（1）先由四边形内角和得到++300B C BDC ∠∠∠=︒，再由4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠可得答案；（2）把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）及题意易得D 、C 、E 三点共线，从而得到ADE 是等边三角形，由等边三角形的性质及旋转的性质易得60ADB E ∠=∠=︒，故得证；（3）过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由（2）及题意易得DC=8，由BPC BDC ∠=∠易得EBC FCA ∠=∠，进而得到AFC CEB △≌△，设AF=CE=x ，根据勾股定理得到AF 、CE 、BC 的长，最后根据BFE BPC 、的面积比等于FP 与PC 的比，进而求解即可．【详解】（1）解：=60BAC ∠︒，∴++36060300B C BDC ∠∠∠=︒-︒=︒，又BDC ADB ADC ∠=∠+∠，4B C ADB BAC ∠+∠+∠=∠，∴30024060ADC ∠=︒-︒=︒；（2）证明：把ABD △绕点A 逆时针旋转60︒得到ACE △，由（1）得：∴AD=AE ，BD=CE ，=ADC=60DAE ∠∠︒AD BD CD =+，DE=DC+CE ，∴D 、C 、E 三点共线，∴ADE 是等边三角形，∴60ADB E ∠=∠=︒， ∴60ADB ADC ∠=∠=︒，∴AD 平分BDC ∠；（3）解：过点B 、点F 分别作BG ⊥CD ，FH ⊥AC ，分别交CD 的延长线于点G 、AC 于点H ，连接BC ，由题意及（2）可得：ABC 是等边三角形，120BDC ∠=︒,∴AB=AC=BC ，60BDG ∠=︒，7BD EF ==，15AD =，∴72DG =，32BG =，DC=AD-BD=8， ∴723822GC GD DC =+=+=，在Rt BGC △中，222273231322BC BG GC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又=120BPC BDC ∠=∠︒，∴18012060PBC PCB ∠+∠=︒-︒=︒，60ECP PCB ∠+∠=︒，∴=ECP EBC ∠∠，=60,FAC BCA AC BC ∠∠=︒=，∴AFC CEB △≌△，∴CE=AF ，设133,1313222CE AF x AE x AH x FH x EH x ==∴=-==∴=-，，，，∴在Rt FHE 中，222FH EH EF +=即22231372x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125,8x x ==，①当CE=AF=5时，则AE=8，∴111322BECAFCSSAC FH ==⋅=⨯=16944ABEABCBECSSS =-=-=∴BFE ABEAFESSS=-==设BFPEFPBPCEPCSa Sb Sc Sd ====，，，，则有：a cb d FP PC ==∶∶∶，,BFE BFPFEP BEC BPCEPC S SSSSS=+=+，∴BFEBECSSFP PC =∶∶，∴6465BFE BECSS FP PC =∶∶，又1152224FECSCE FH =⋅=⨯⨯=，∴64641291294129EFP FECSS ==⨯=； ②当CE=AF=8时，AE=5，则有：∴111322BEAAFCSSAC FH ==⋅=⨯=，1694CBEABCBECSSS =-==∴654BFEABEAFESSS=-=-=由①可得：25=4104BFEBECSS FP PC =∶∶∶，又11822FECSCE FH =⋅=⨯⨯=∴2525129129EFPFECSS ==⨯=综上所述：129EFPS =．【点睛】本题主要考查三角形与四边形的综合问题，主要是利用全等三角形、等边三角形、三角形面积比的转换及勾股定理，熟练掌握各个知识点是解题的关键，尤其是第三问的面积转换问题是本题的难点．11．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C 关于直线l的对称点为点D，连接CD，BD， AD．（1）如图1，①填空：∠ABD∠ADB（填 >，=，<号）．②求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，在直线l绕点A旋转过程中，记直线l与CD的交点为F．①若点M为AC的中点，连接MF， MF的长是否会发生变化？若不变，求出MF的长；若会发生变化，说明理由；②连接BF，当线段BF的长取得最大值时，求tan∠FBC的值．答案：B解析：（1）①=；②∠BDC＝12α；（2）详见解析；（3）①MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化，MF=1；②1 3【分析】（1）①根据点C关于直线l的对称点为点D，得到AD＝AC，且AB＝AC，则AD＝AB＝AC，可得∠ADB＝∠ABD；②连接DA，并延长DA交BC于点M，由①可知AD＝AB＝AC，则有∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，可以得到∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，利用∠BAC＝∠BAM+∠MAC，可得12BDC＝，（2）连接CE，根据∠BAC＝60°，AB＝AC，得到△ABC是等边三角形，则有BC＝AC，∠ACB＝60°，根据12BDC＝，可知∠BDC＝30°，则有∠CDE＝60°，易证△CDE是等边三角形，可以得出△BCD≌△ACE（SAS），则有BD＝AE；（3）①根据∠AFC=90°，M为AC的中点，得到 MF= 12AC=122⨯=1，则可知MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化，②连接MB，根据在△BMF中，BM MF BC，可知当点M，点B，点F三点共线时，BF最长，过点M作MH⊥BC，根据∠BAC＝90°，AB＝AC，可得BC2AC，∠ACB＝45°，且MH ⊥BC ，则有∠CMH ＝∠HCM ＝45°，可得出MC ＝2HC ，根据点M 是AC 中点，得到AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ，则可求出BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ，利用tan ∠FBC ＝3MH HCBH HC=可得出结果．【详解】解：（1）①ABD ADB ∠=∠． ∵点C 关于直线l 的对称点为点D ， ∴AD ＝AC ，且AB ＝AC ， ∴AD ＝AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠ABD ．②如图1，连接DA ，并延长DA 交BC 于点M ，∵AD ＝AB ＝AC,∴∠ADB ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ACD ．∵∠BAM ＝∠ADB +∠ABD ，∠MAC ＝∠ADC +∠ACD ， ∴∠BAM ＝2∠ADB ，∠MAC ＝2∠ADC ，∴∠BAC ＝∠BAM +∠MAC ＝2∠ADB +2∠ADC ＝2∠BDC ＝α ． ∴12BDC ＝．（2）如图3，连接CE ，∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°， ∵12BDC ＝，∴∠BDC ＝30°， ∵BD ⊥DE ， ∴∠CDE ＝60°．∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°．∴△CDE是等边三角形．∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）．∴BD＝AE ．（3）①如图4，因为∠AFC=90°，M为AC的中点，∴ MF= 12AC=122=1．∴MF的长在直线l绕点A旋转过程中，不会发生变化．②法一：如图5，连接MB，∵在△BMF中，BM+MF≥BC∴当点M，点B，点F三点共线时，BF最长，如图6，过点M作MH⊥BC，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC2AC，∠ACB＝45°，且MH⊥BC，∴∠CMH＝∠HCM＝45°，∴MH＝HC，∴MC2HC，∵点M 是AC 中点，∴AC ＝22HC ，∴BC ＝2AC =4HC ． ∴BH ＝BC ﹣HC ＝3HC ． ∴tan ∠FBC ＝3MH HCBH HC =＝13．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 12．探究：如图①和②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，点E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B 、∠ADC 都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，则能得EF=BE+DF ，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足数量关系时，仍有EF=BE+DF ；（3）拓展：如图③，在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE 的长．答案：B解析：（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）53【分析】（1）根据已知条件证明△EAF ≌△GAF ，进而得到EF=FG ，即可得到答案；（2）先作辅助线，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合，根据（1），要使EF=BE+DF ，需证明△EAF ≌△GAF ，因此需证明F 、D 、G 在一条直线上，即180ADG ADF ∠+∠=︒，即180B D ∠+∠=︒；（3）先作辅助线，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ，根据已知条件证明△FAD ≌△EAD ，设DE=x ，则DF=x ，BF=CE=3﹣x ，然后再Rt BDF 中根据勾股定理即可求出x 的值，即DE 的长．【详解】（1）解：如图，∵把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合， ∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，BE=DG ， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴EF=GF ， ∵BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ；（2）解：∠B+∠D=180°，理由是：如图，把△ABE 绕A 点旋转到△ADG ，使AB 和AD 重合，则AE=AG ，∠B=∠ADG ，∠BAE=∠DAG ， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F 、D 、G 在一条直线上，和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF 和△GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△GAF （SAS ）， ∴EF=GF ， ∵BE=DG ， ∴EF=GF=BE+DF ；故答案为：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC 中，AB=AC=22，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=22AB AC +=4，如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ， ∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△EAD ， ∴DF=DE ，设DE=x ，则DF=x ， ∵BD=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，由勾股定理得：222DF BF BD =+，22(3)1x x =-+，解得：x=53，即DE=53．【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．13．如图1，ABC ∆中，CA CB =，ACB α∠=，D 为ABC ∆内一点，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆，点,AD 的对应点分别为点,BE ，且,,A D E 三点在同一直线上．（1）填空：CDE ∠=______（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若60α=︒，请补全图形，再过点C 作CF AE ⊥于点F ，然后探究线段CF ，AE ，BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若90α=︒，52AC =，直接写出四边形ABEC 面积的最大值______．解析：（1）1802α-；（2）233AE BE CF =+；证明见解析；（3）25(21)2+．【分析】（1）由旋转的性质可得CD CE =，DCE α∠=，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD BE =，CD CE =，60DCE ∠=︒，可证CDE ∆是等边三角形，由等边三角形的性质可得33DF EF CF ==，即可求解；（3）如图3中，过点C 作CF BE ⊥交BE 的延长线于F ，设AE 交BC 于J ．证明90ACJBEJ，推出点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CEEB 时，四边形ABEC 的面积最大，此时EC EB =，分别求出ABC ∆，BCE ∆的面积即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角α得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆，DCE α∠= CD CE ∴=1802CDE α︒-∴∠=．故答案为：1802α︒-．（2）233AE BE CF =+理由如下：如图2中，将CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转角60︒得到CBE ∆ACD BCE ∴∆≅∆AD BE ∴=，CD CE =，60DCE ∠=︒ CDE ∴∆是等边三角形，且CF DE ⊥ 33DF EF CF ∴==AE AD DF EF =++ 233AE BE CF ∴=+．（3）如图3中，过点C 作CWBE 交BE 的延长线于W ，设AE 交BC 于J ．CAD ∆绕点C 按逆时针方向旋转90︒得到CBE ∆，CAD CBE ，CAD CBE ∴∠=∠， AJC BJE ，90ACJBEJ，∴点E 在以AB 为直径的圆上运动，即图中BC 上运动，当CEEB 时，四边形ABEC的面积最大，此时EC EB =，CD CE =，90DCE ∠=︒， 45CED ∴∠=︒， 90AEW AEB ， 45CEW ， CF EW ， 45WCE CEW ，CWEW ，设CWEWx ，则2EC EB x ==，在Rt BCW 中，222BC CW BW ，222(2)(52)x xx ，225(22)2x ，21225(21)222BCESBE CW x ， 2521252115252222ABCBCEABECS SS四边形．【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟悉相关性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．14．如图，△ABC 和△CEF 中，∠BAC ＝∠CEF ＝90°，AB ＝AC ，EC ＝EF ，点E 在AC 边上．（1）如图1，连接BE ，若AE ＝3，BE ＝58，求FC 的长度；（2）如图2，将△CEF 绕点C 逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF 分别与直线AC ，BC 交于点M ，N ，当△CMN 是等腰三角形时，求旋转角α的度数；（3）如图3，将△CEF 绕点C 顺时针旋转，使得点B ，E ，F 在同一条直线上，点P 为BF 的中点，连接AE ，猜想AE ，CF 和BP 之间的数量关系并说明理由．答案：C解析：（1）422）22.5°或45°或112.5°；（3）CF ＋AE 2BP ，见解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB ＝AC ＝7，求出EC ＝EF ＝4即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；（3）结论：CF ＋AE 2BP ．如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图1中，在Rt △ABE 中，AB ＝()2222583497-=-==BF AE ，∴AC ＝AB ＝7，∴EF ＝EC ＝AC ﹣AE ＝7﹣3＝4， ∵∠CEF ＝90°，EC ＝EF ＝3，∴CF ＝22224442+=+=EF CE ；（2）①如图2﹣1中，当CM ＝CN 时， α＝∠MCE ＝∠ECN ＝12∠ACB ＝22.5°．如图2﹣2中，当NM ＝NC 时，α＝∠MCN ＝45°．如图2﹣3中，当CN ＝CM 时， ∠NCE ＝12∠BCM ＝67.5°，α＝∠ACE ＝45°＋67.5°＝112.5°．综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF ＋AE ＝2BP ．理由：如图3中，过点A 作AD ⊥AE ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAE ， ∵∠BAC ＝∠BEC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠ACE ， ∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE （ASA ）， ∴BD ＝EC ＝EF ，AD ＝AE ， ∴△ADE 是等腰直角三角形， ∴DE 2AE ， ∵P 是BF 的中点， ∴BP ＝12BF ， ∵BP ＝12BF ＝12（2EF ＋DE ），CF 2EF ，DE 2AE ， ∴BP ＝122CF 2AE ）， ∴CF ＋AE 2．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．如图1，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,AB AD 上，且AE AF =，延长FD 到点G ，使得DG DF =，连接,,EF GE CE ．（特例感知）（1）图1中GE 与CE 的数量关系是______________．（结论探索）（2）图2，将图1中的AEF 绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，连接FD 并延长到点G ，使得DC DF =，连接,,GE CE BE ，此时GE 与CE 还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．（拓展应用）（3）在（2）的条件下，若5,32AB AE ==EFG 是以EF 为直角边的直角三角形时，请直接写出GE 的长．答案：G解析：(1) GE 2CE ，(2)存在，证明见解析，（3）25810或16或4．【分析】(1)连接GC ，证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(2)类似（1）的方法，先证△AFD ≌△AEB ，再证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(3)根据E 、F 是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)连接GC ， ∵AE =AF ，AD =AB ， ∴DF =BE ， ∵DG DF =， ∴DG = BE ，∵∠GDC =∠B =90°，DC =BC ， ∴△CDG ≌△CBE ， ∴CE =CG ，∠GCD =∠ECB ， ∵∠ECB +∠DCE =90°， ∴∠GCE =∠GCD +∠DCE =90°， ∴GE 2CE ；故答案为：GE 2CE ；。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

培优专练之全等三角形中的等腰旋转(附提示）
1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA=OB ，点C 在第一象限，OC=3，连接BC ，AC ，若∠BCA=90°，则BC+AC 的值为_________．
【提示】
可将△OBC 绕着O 点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC 正好拼成等腰直角三角形BC+AC 等于等腰三角形的斜边CD.
2．已知等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 为斜边AB 的中点，45MON ∠=︒.
（1）如图，点M 在BC 边上，ON 与AC 的延长线交于点N ，探索BM 、MN 、CN 的数量关系并证明你的结论.
（2）如图，点M 在BC 边上，ON 与AC 交于点N ，探索BM 、MN 、CN 的数量关系并证明你的结论.
【提示】
(1)BM CN MN +=，连结OC ，过点O 作OH ON ⊥，交CB 的延长线于点H ，证明BOH CON ∠∆≌，HOM NOM ∆∆≌，继而根据线段的和差即可证得结论；
(2)如图，BM CN MN -=，连结OC ，过点O 作OH ON ⊥，同理可证，BOH CON ∆∆≌，MOH MON ∆∆≌，继而根据线段的和差进行推导即可.
3．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠，求证：AD CD =.
【提示】
如图，过点D 作EF BD ⊥，交BA 的延长线于E ，交BC 的延长线于F ，证明EBF ∆为等腰直角三角形，继而证明ABD CFD ∆∆≌，即可得结论.
4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，
点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.
（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.
①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.
（2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。

探究：当ACB ∠多少度时，CE BC ⊥？
5．如图，在四边形ABCD 中，∠C =60°，∠A =30°，CD =BC ．
（1）求∠B +∠D 的度数．
（2）连接AC ，探究AD ，AB ，AC 三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）若BC =2，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足DE 2=CE 2+BE 2
，求点E 运动路径的长度．
【提示】
（1）利用四边形内角和定理计算即可；
（2）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△QDC，连接AQ，证明∠QDA=90°，根据勾股定理可得结论；
（3）如图中，将△BCE绕C点顺时针旋转60°，得到△CDF，连接EF，想办法证明∠BEC=150°即可解决问题.
6．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．
（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；
（2）求∠EOF的度数；
【提示】
（1）设BF=x，则FC=12-x，根据△EBF的周长等于BC的长得出EF=9-x，Rt△BEF中利用勾股定理求出x的值即可得；（2）在FC上截取FM=FE，连接OM．首先证明∠EOM=90°，再证明△OFE≌△OFM（SSS）即可解决问题；
7．问题背景
如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个
角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF
1
2
=α，连接EF，试探究：线段BE，DF，
EF之间的数量关系．
（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，
若BD=DE的长．
【提示】
（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，
∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=1
2
∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，
利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，
根据∠BAD＝α，∠EAF
1
2
=α可得∠BAE+∠FAD
1
2
=α，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS
可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.
8．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【提示】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=1
2
EC，再利用∠1=∠2，∠
3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）根据旋转的性质首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS证明△ABD≌△CBF，进而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM与DM的位置关系及数量关系．
9．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE 上一定点（其中EP<PD）
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
①求证：PG=PF；
②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA 于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
【提示】
（1）①根据矩形性质证△HPG≌△DPF（ASA），得PG=PF；②由①知，△HPD为等腰直角三角
形，△HPG≌△DPF，根据直角三角形性质可得DP；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA 于点H，得到△HPD为等腰直角三角形，证△HPG≌△DPF，得HG=DF，DH=DG-HG=DG-DF，DG-DF=
DP．。