高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3 指数函数(二)课件 北师大版必修
高中数学第三章指数函数和对数函数4.4.1第2课时对数的运算性质课件北师大版必修
1．利用对数运算性质解题时的常用方法 (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差). (2)“并”：将同底对数的和(差)并成积(商)的对数． 2．利用对数运算性质解题时的注意点 (1)拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的． (2)对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5＋lg 2＝1”解题． (3)注意平方差公式、完全平方式的灵活应用．
角度1 由对数式求值
【典例】设lg 2＝a，lg 3＝b，则
lg 12 lg 5
＝(
)
2a＋b A．
1＋a
a＋2b B．
1＋a
2a＋b C．
1－a
a＋2b D．
1－a
【思路导引】把lg 12用lg 2和lg 3表示，把lg 5用lg 2表示． 【解析】选C.因为lg 2＝a，lg 3＝b，
所以llgg152
2lg 2＋lg 3 ＝
1－lg 2
2a＋b ＝
1－a
.
角度2 由指数式求值 【典例】已知a＝2lg 3，b＝3lg 2，比较a，b的大小． 【思路导引】对a，b两边取对数进行判断． 【解析】因为lg a＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2，lg b＝lg 3lg 2＝lg 2lg 3. 所以lg a＝lg b，所以a＝b.
M N
＝
ap aq
＝
ap－q，所以p－q＝logaMN ；即logaMN ＝logaM－logaN.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( √ ) (2)loga(xy)＝logax·logay.( × )
提示：在a>0，a≠1，x>0，y>0的条件下loga(xy)＝logax＋logay.
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_21
(2) y x2
(7) y xx
(3) y 2x （8）y (2a 1)x √
(4) y 2x
(5) y x√
(a 1 且a 1) 2
二：指数函数的图像与性质
1. y 2 x
y
1 2
x
的图像：
列表、描点、连线作图
在同一直角坐标系画出 的图像。
所以 1.7 2.5<1.73
5
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x 2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
（2）0.80.1 ＜ 0.80.2
解：因为 函数 y 0.8x
而指数-0.1>-0.2
所以0.80.1 0.80.2
在R上是减函数，
1.8 1.6
fx = 0.8x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
y
2x
，
y
1 2
x
并观察：两个函数的图像有什么关系？
xy
问：如果已知 f (x) ax 的图像
-2 4
能否直接画出88
f
(
x)
1 a
x
的图像
-1 2
77
fx = 2x
01 1 0.5 2 0.25
66
两个函数图像55 关于y轴对称
xy
-2 0.25
44
例2：
（1）求使不等式 4x 32 成立x的集合；
北师大版高中数学必修1课件3指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件
值域大于0。图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0
＜y＜1；x＞0时，y＞1。图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，
说明函数既不是奇函数也不是偶函数。
通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实 数。图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x轴上 方，说明值域大于 0 。图像经过点 (0,1) ，且 y 值分布有以下特 点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1。图像不关于x轴对称，
答案：b＜a＜c (a，b 可利用指数函数的性质比较，而 c 是大于 1 的)。
2．比较 a 与 a 的大小(a＞0 且 a≠0)。
1 3
1 2
答案：分 a＞1 和 0＜a＜1 两种情况讨论： 当 0＜a＜1 时， a ＞ a ； 当 a＞1 时， a ＜ a 。
1 3 1 2 1 3 1 2
例题解析
2x 1 x 1
故函数 y＝10
的值域是{y|y≥1，y≠10}。
变式训练
3、求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 2
1
2 x x2
；(2)y＝ 32 x 1 ；(3)y＝ ax 1 (a＞0，a≠1)。
1
2 x x2
1 9
答案：(1)函数 y＝ 2
自左向右，图像逐渐 自左向右，图像逐 上升 在第一象限内的图 像纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都小于 1 渐下降 在第一象限内的图 像纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都大于 1
x＞0， ax＞1 x＜0， ax＜1
x＞0， ax＜1ห้องสมุดไป่ตู้x＜0， ax＞1
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数本章整合2
)
A. -∞,
C.
1 3
,
2 2
1
2
B. -∞,
D.
1
2
∪
3
,+∞
2
3
,+∞
2
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∴由 f(2 )>f(- 2)=f( 2)可得 2 < 2 =
对数计算、化简、证明常用的技巧.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用(1)若log34·log48·log8m=log42(m>0),求m的值;
1
(2)计算:
1 -2
4
·
( 4-1 )3
1(a>0,b>0).
0.1-2 (3 -3 )2
提示:(1)中对数的底数不同,应先利用换底公式化为同底的对数
再求解;(2)是关于指数的运算,要把握指数幂的运算性质.
∴f(6-a)=f(-1)=2
1
7
-2= -2=- .
4
4
-1-1
答案:A
1
2
3
4
5
பைடு நூலகம்
6
7
5
2
7(2016 浙江高考)已知 a>b>1,若 logab+logba= ,ab=ba,则
a=
,b=
.
解析:设logba=t,由a>b>1,知t>1.
1
5
2
由题意,得 t+ = ,解得 t=2,则 a=b2.
北师大版高中数学必修一课件3.2
5－2)－1＋(
2－
3)0.
[思路分析] 负化正、大化小，根式化分数指数幂，小数 化分数，是化简运算常用技巧．
[规范解答] (1)原式＝29512 ＋0.112＋6247－23 －3＋3478＝53＋ 100＋196－3＋3478＝100.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1 ＝140－1＋116＋18＋110＝18403.
[思路分析] 根据分数指数幂的定义进行求解．
[规范解答] (1)由分数指数幂的意义可知 x－1>0，解得 x>1，故 x 的取值范围是{x|x>1}． (2)①因为 a3＝54，所以 a＝543 . ②因为 a3＝(－2)8＝28， 所以 a＝283 ； ③因为 a－3＝104m(m∈N＋) 所以 a＝10－43m ＝(110)43m
∴原方程可化为(x－8)－(10－x)＝2x－18，该方程对任意 实数 x 都成立．
当 x<8 时，x－8<0，x－10<0，此时 x－82＝8－x， x－102＝10－x，
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x＝8，不 合题意．
综上所述，所求 x 的取值范围为 8≤x≤10. [规律总结] 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 第三章 指数函数和对数函数
第三章 §2 指数扩充及其运算性质
课前自主预习 课堂典例讲练
易错疑难辨析 课后强化作业
课前自主预习
情境引入导学
指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初，荷兰工程师司 蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号，以后又有人将其扩展到 负指数，直到18世纪，英国数学家牛顿(Newton)开始用an表示 任意实数指数幂．现代工程技术的计算不再仅仅是乘法计算， 它还需要进行乘方、开方运算，科学技术中的许多变化和规律 都与指数的运算密切相关，因此指数幂问题成为科学家研究的 热点．那么，指数的概念是如何一步步扩充的呢？
数学必修ⅰ北师大版3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较.
60 6.907
y4 2 4.322
5.32
2
关于x呈指数型函数变化的变量是________． 解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表
格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，
变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其 中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关 于x呈指数型函数变化．故填y2. 答案：y2
问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当 log2x<2x<x2时，x的范围是什么？ 提示：2<x<4.
问题3：当log2x<x2<2x时，x的
取值范围是什么？ 提示：0<x<2或x>4. 问题4：从三种函数图像的比较，当自变量x越来越大时， 它们的增长速度怎样？
提示：2x的值迅速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数， 描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系； Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a· bt；Q＝a· logbt. (2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低
时的上市天数及最低种植成本．
解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与 上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而 用函数Q＝at＋b，Q＝a· bt，Q＝a· logbt中的任意一个 进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单 调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取
[一点通]
底数大于1的指数函数模型比一次项系数
为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比
底数大于1的对数函数模型增长要快， 从这个实例我们
可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数数y=2^x和y=(1%函2)^x的图像和性质》示范课件_0
问题1 一尺之棰,日取其半,万世不竭
用x表示y的关系式是：
…
设木棒原长为１个单位
截取次数x １ ２ ３ ４ …
剩余长度y
…
情景设计 问题2 细胞分裂问题
用x表示y的关系式是：
………… ………… ………… …………
分裂次数x 1 2 3 4 …
细胞个数y
…
分析：
这两个解析式的形式有什么共同特征？ 1.等号左右两端：左端是因变量 y,
谢 谢 , 再 见！
用图形计算器展示下列四个函数图象
(1) y 2x , (2) y 3x
(3)
y
1 2
x
,
(4)
y
1 3
x
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
0
1
x
y
y
y 1 x
y2 a x
x
-3 0.125
的图象.-2 0.25
8
-1 0.5
01 1 0.5 2 0.25
y
1 2
x
6 4 2
3 0-.110 25
-5
y 2x
5
01 12 24
x
3 10 8
-2
探究2：在同一直角坐标系内作出若干个
底数不同的指数函数 y ax a 0且a 1
的图象.观察图象，你能发现它们有哪些共 同特征？
1、画出函数图象
列表 描点
连线 2、研究函数性质
图形计算 器绘图
①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 ⑤其它
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3 指数函数 3.3 指数函数的图像和性质》示范课课件_0
指数函数
应用举例
例2 填空 １ ①函数y=8 ２x-1 的定义域 x| x≠½ ；
②函数y=0.1 2x-3 的定义域
x| x≥ 2 。
3
指数函数
练习
1.方程2 x= 2-x的解的个数为______
2.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的¾, 写 出存留污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式,若要 使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗几次? (提示：设最初的污垢量为1)
t
y =(½) 5730
=[(½ )
1
] 5730
t
(t≥0)，
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
(x∈N)；
② y=(1+7.3%)x =1.073x
③
t
y =(½) 5730
=[(½
)
1
] 5730
t
(x∈N+,x≤20)； (t≥0)，
有什么共同特征？
由上面几个问题得到的函数
① y=2 x
y=(½ )x
y=2x
思考？
函数y=2x的图象与函数y= (½)x
的图象有什么关系？可否利用
y=2x的图象直接画出y=(½)x 的
图象?
指数函数
思考？ 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象有什么关系？ 可否利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象?
结论: 函数y=2x的图象与函数y= (½)x的图象关于y轴 对称,可以利用y=2x的图象直接画出y=(½ )x的图象.
3 2 1
(0,1)
函数y=(1/5)x和 y=5x的 -2
高中数学 3.3.1、2指数函数的概念 指数函数y=2x和y=(12)x的图像和性质课件 北师大版必修1
• 通过本节课的学习，你就会理解这一有趣的现象.
1.指数函数定义 函数__y_＝__a_x__叫作指数函数，其中_a_>_0_且__a__≠_1__，定义域为 __R____，值域为_(_0_，__＋__∞_)__． 2．指数函数 y＝2x 和 y＝(12)x 的图像与性质 两个函数图像的相同点：都位于___x_轴____的上方，都过点 __(_0_,_1_) __；不同点：函数 y＝2x 的图像是_上__升__的___；函数 y＝(12)x 的图像是_下__降__的___．
1
(1)y＝2x-4
；(2)y＝(23)－|x|；(3)y＝4x＋2x＋1＋1.
[思路分析] 先求定义域→分解原函数→考虑单调性→求
出值域
[规范解答] (1)由 x－4≠0 得 x≠4.∴定义域为{x|x≠4}．
又x－1 4≠0，∴2x1-4
1
≠1.∴y＝2x-4
的值域为{y|y>0 且 y≠1}．
1.若指数函数 y＝ax 经过点(－1,3)，则 a 等于( )
A．3
1 B.3
C．2
1 D.2
[答案] B
[解析] 依题意有 a－1＝3，
即1a＝3.所以 a＝13.
1
1
1
2．若 a＝0.52 ，b＝0.53 ，c＝0.54 ，则 a，b，c 的大小顺
序是( )
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a<c<b
(2)定义域为 R.∵|x|≥0，∴－|x|≤0. ∴(32)－|x| ≥1，∴y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}． (3)定义域为 R. 令 t＝2x，则 t>0，从而函数可化为 y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2>1. ∴y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为{y|y>1}． [规律总结] 对于函数 y＝af(x)
高中数学3-6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件北师大版必修
在区间(0， ＋∞)上， 尽管函数 y＝ax(a>1)， y＝logax(a>1)， y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的 增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y ＝ ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y ＝ xn(n>0) 的增长速度，而 y ＝ logax(a>1) 的增长速度会越来越 慢 ． 因 此 ， 总 会 存 在 一 个 x0 ， 当 x>x0 时 ， 就 有 logax________xn________ax.
同样地， 对于对数函数 y＝logax(a>1)和幂函数 y＝xn(n>0)， 在区间(0，＋∞)上，随着 x 的增大，logax 增长得越来越慢， 图像就像是渐渐地与 x 轴平行一样． 尽管在 x 的一定变化范围 内，logax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn 的增长， 因此总存在一个 x0，当 x>x0 时，就会有 logax<xn.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万．对于模型 y ＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，当 x∈(20,1000]时， y>5，因此该模型不符合要求；对于模型 y＝1.002x，由函数 的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个 点 x0 满足 1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上单调递增， 因此当 x>x0 时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型 y＝ log7x＋1， 它在区间[10,1000]上单调递增， 而且当 x＝1000 时， y＝log71000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过 5 万元 的要求．
北师大版高中数学必修一学第三章指数函数、幂函数、对数函数增长的比较讲解与例题
6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108y35305580105130155y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( )．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3 D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( )．A．一次函数B．二次函数C．指数函数 D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )．A．0 B．1C．2 D． 3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x=-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4对数3.4.1对数及其运算课件北师大版必修1
4．对数的运算性质 条件
性质
a>0，a≠1，且 M>0，N>0
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN (2)logaMn＝nlogaM(n∈R) (3)logaMN ＝logaM－logaN
第六页，共31页。
|自我尝试| 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数 log39 和 log93 的意义一样．( × ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( × ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( √ ) (4)logaMN＝llooggaaMN( × ) (5)log3(－2)2＝2log3(－2)( × )
第七页，共31页。
2．如果 a＝b(a>0 且 a≠1)，则( )
A．2logab＝1
B．loga12＝b
C．log 1 a＝b
D．log 1 b＝a
2
2
【解析】 将四个选项中的对数式转化为指数式，依次为 2logab ＝1⇒ a＝b；
loga 1 ＝b⇒ab＝12；log 1 a＝b⇒21b＝a；log 1 b＝a⇒21a＝b.选 A.
第十七页，共31页。
【解析】 (1)因为 log2(log3x)＝0， 所以 log3x＝1， 所以 x＝3. (2)因为 log5(log2x)＝1， 所以 log2x＝5， 所以 x＝25＝32. (3) 32－1＝2 32＋1＝ 3＋1， 所以 log( 3＋1) 32－1＝log( 3＋1)( 3＋1)＝1， 所以 x＝1.
跟踪训练 1 将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32；(2)21－2＝4； (3)log381＝4；(4)log134＝m.
【解析】 (1)log232＝5； (2)log 1 4＝－2；
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 3.2 指数函数y=2^x和y=(1%2)^x的图像和性质》示范课件_8
的图像向左平移 1 个单位得
到，结合指数函数的图像可知 A 正确．故选 A.
解析 答案
考点一
考点二
考点三
(2)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图像如图所示，由图可知：如 果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈[－1,1]．
[答案] (1)A (2)[－1,1]
C．f(c)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(c)<f(a)
解析 答案
考点一
考点二
考点三
易知
f(x)＝2x－2－x
在
R
上为递增函数，又
a＝79
1 4
＝97
1 4
9 >7
1 5
＝
b>0，c＝log279<0，则 a>b>c，所以 f(c)<f(b)<f(a)．选 B. [答案] B
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型
函数图像，数形结合求解．
考点一
考点二
考点三
[母题变式] 1．将本例(1)改为函数 f(x)＝2|x－1|的图像是( )
解析 答案
考点一
考点二
考点三
2x－1，x≥1， f(x)＝12x－1，x＜1，
故选 B.
答案：B
解析 答案
解析 答案
考点一
考点二
考点三
(1)设 t＝x2＋2x－1，则 y＝12t.因为 t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝12t 为关于 t 的减函数，所以 0＜y＝12t≤12－2＝4，故所求函数的值 域为(0,4]．
(2)因为 x∈[－3,2]，若令 t＝12x，则 t∈14，8.则 y＝t2－t＋1＝
高中数学第三章指数函数和对数函数5.5.3对数函数的图像和性质课件北师大版必修
(2)y＝
log1 x
＝
log
1 2
x,
0
x
1,
其图像如图②.
2 log2x, x 1
其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增
加的．
画出函数 y＝lg |x－1|的图像． 【解析】(1)先画出函数 y＝lg x 的图像(如图).
(2)再画出函数 y＝lg |x|的图像(如图).
同理当 x∈[0，1)时，y＝log1 (1－x2)是增加的． 2
所以函数 y＝log1 (1－x2)的增区间为[0，1). 2
【补偿训练】 已知函数 y＝loga(x＋b)(a>0，且 a≠1)的图
像如图所示． (1)求实数 a 与 b 的值． (2)函数 y＝loga(x＋b)与 y＝logax 的图像有何关系？
【解析】(1)由图像可知，函数的图像过点(－3，0)与点(0，2)， 所以得方程 0＝loga(－3＋b)与 2＝logab， 解得 a＝2，b＝4. (2)函数 y＝loga(x＋4)的图像可以由 y＝logax 的图像向左平移 4 个单位得到．
(2)函数 y＝ logax 与 y＝ log1x 的图像有什么关系？
a
提示：y＝ log1x
a
＝
loga x
loga
1 a
＝－logax ，所以它们关于
x
轴对称．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝3x与函数y＝log3x的图像关于直线y＝x对称．( √ ) 【解析】函数y＝3x与函数y＝log3x互为反函数，图像关于直线y＝x对称． (2)f(x)＝ln (x2－1)是偶函数．( √ ) 【解析】因为函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝ln (x2－1)＝ f(x)，所以该函数是偶函数．
高中数学第三章指数函数和对数函数3.4对数3.4.2换底公式课件北师大版必修1
|自我尝试|
1.lloogg4493的值为(
)
1 A.2
3 C.2
B．2 9
D.2
【解析】 原式＝log39＝2. 【答案】 B
第四页，Байду номын сангаас30页。
2．在log1ba，llggab，log b a，loganbn(a，b 均为不等于 1 的正数， 且 ab≠1)中与 logab 相等的有( )
第二十六页，共30页。
2．关于换底公式的另外两个结论 ①logac·logca＝1； ②logab·logbc·logca＝1.
第二十七页，共30页。
|巩固提升|
1．方程 eln |x|＝2 的解是( )
A．－2
B．2
C．－2 或 2 D．4
【解析】 因为 eln |x|＝2，所以|x|＝2， 所以 x＝－2 或 2. 【答案】 C
log36＝llgg63＝lg2l＋g3lg3 B
第七页，共30页。
5．若 logab·logbc·logc3＝2，则 a 的值为________． 【解析】 由已知可得llggba·llggbc·llgg3c＝2，即llgg3a＝2， ∴lg3＝2lga，∴a2＝3，a＝ 3. 或由已知得 logab·llooggaabc·llooggaa3c＝2，即 loga3＝2，∴a＝ 3. 【答案】 3
【解析】 (1)原式＝llgg98·llgg3227 ＝23llgg32·53llgg23 ＝190.
第十页，共30页。
(2)原式＝llgg34＋llgg38llgg23 ＝2llgg32＋3llgg32·llgg23 ＝2llgg32·llgg23＋3llgg32·llgg23 ＝12＋13＝56.
高中数学 第三章 指数函数和对数函数归纳总结3课件 北
②有理指数幂的运算性质，同正整数指数幂的运算性质一
样有：
aαaβ＝aα＋β(a>0，a≠1，α、β∈Q)；
(aα)β＝aαβ(a>0，a≠1，α、β∈Q)； (ab)α＝aαbα(a>0，a≠1，b>0，b≠1，α∈Q)． ③ 0 指数幂与负有理数指数幂的底数都必须大于 0 才有意 义． 2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫作指数函数．
专题探究
基本题型归纳
• 1.有关指数、对数的运算问题 • 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不
仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容．
• 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指 数，根式化为指数运算，其次，若出现分式，则要注意分子、 分母因式分解，以达到约分的目的，对数运算首先注意公式 应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三 个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、 证明常用的技巧．
[例 1]
4
1
(1)化简 a3 －8a3 b
2
4b3
＋23
2
ab＋a3
3 ÷(1－2
ab)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
1
1
[解析](1)原式＝
a3 a－8b
1
11
1
× 1 a3
1
1 ×a3
2b3 2＋2a3 b3 ＋a3 2 a3 －2b3
1
b3
• (7)对数函数的图像及性质
a>1
0<a<1
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知识点二
比较幂的大小
思考
若x1＜x2，则ax1与a x2 (a＞0且a≠1)的大小关系如何？
答案 当a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以a x1 ＜a x2 ， 当0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以a x1 ＞a x2 .
答案
梳理
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 单调性 来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 图像 的变化
规律来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.
知识点三
解指数方程、不等式
思考
若 a x1 ＜ a x ，则x1，x2的大小关系如何？
2
答案
当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，
第三章 指数函数和对数函数
§3 指数函数(二)
学习目标
1. 掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的
求法及单调性的判断.
2.能借助指数函数性质比较大小. 3.会解简单的指数方程、不等式. 4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
不同底指数函数图像的相对位置
常用的中间量有0和±1.
跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小. (1)0.8－0.1,1.250.2；
解 ∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是减函数.
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.
解答
1 －π (2) ，1. π
1.7 1.7 0.3 又1.5＞1,0.3＞0，∴1.5 ＞1，
∴1.70.3＞1.50.3.
解答
(3)1.70.3,0.83.1. 解 ∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
解答
反思与感悟
当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，
思考
y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何
确定它们两个的相对位置？
答案 上方. 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图像在y＝2x
上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图像
答案
梳理
一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像
时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：
解
1 1 x ∵0＜π＜1，∴函数 y＝π 在 R 上是减函数.
1 1 －π 0 又∵－π＜0，∴π ＞π ＝1， 1 －π 即 ＞1. π
则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2). 所以，当0＜a＜1时， a x1 ＜ a x ⇔x1＞x2，
2
当a＞1时， a x1＜ a x ⇔x1＜x2.
2
此原理可用于解指数方程、不等式.
答案
梳理
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 单调性 求解.
题型探究
类型一 例1 解下列关于x的方程.
解指数方程
(1)81×3
解
2x
1 x＋2 ＝ ； 9
1 x ＋2 ∵81×32x＝ ， 9
∴32x＋4＝3－2(x＋2)， ∴2x＋4＝－2(x＋2)， ∴x＝－2.
解答
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0. 解 ∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小.即无 论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这 一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
1 x x (2)指数函数y＝a 与y＝ a
(a＞0且a≠1)的图像关于y
轴对称.
解答
(2)1.70.3,1.50.3； 解 方法一 ∵1.7 ＞1.5， ∴ 在(0，＋ ∞)上， y＝1.7x的图像位于 y＝1.5x 的图像的上方. 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二
0.3 1.7 1.7 0.3 0.3 ∵1.5 ＞0，且1.50.3＝ ， 1.5
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助
y＝ax的 单调性 求解.
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图像求解.
知识点四
与指数函数复合的函数单调性
思考
1 x y＝2
1
的定义域与
1 1 x y＝x 的定义域是什么关系？y＝2
原方程可化为t2－6t＋5＝0， 解得t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1， ∴x＝1或x＝0.
解答
类型二 命题角度1 比较大小
指数函数单调性的应用
例2 比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7－2.5,1.7－3； 解 ∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数. ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
1 解得 t＝4或 t＝－1(舍去). 1 ∴2 ＝4，解得 x＝－2.
x
解答
反思与感悟
(1)af(x)＝b型通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转 化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.
跟踪训练1 解下列方程. (1)33x－2＝81； 解 ∵81＝34，∴33x－2＝34， ∴3x－2＝4，解得x＝2.
(2) 5 ＝ 25；
x 3
解
∵ 5x＝ 25，∴ 5 ＝5 ，
3
x 2
2 3
4 x 2 ∴2＝3，解得 x＝3.
解答
(3)52x－6×5x＋5＝0. 解 令t＝5x，则t>0，
1
的单调性
1 与 y＝ x 的单调性有什么关系？
答案
梳理
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 相同 的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 相同 的单调性；当0<a<1时， 函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反 .