棱锥(1)2012.许兴华
棱柱与棱锥习题.许兴华
兴T华
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2.如 图 , 棱锥P ABCD中 PB 四 , AD, 面 PAD为 边 长 是 2 正 三 角 形底 面 ABCD 侧 的 , 为 菱 形 侧 面 PAD与 底 面 AB 成 的 角 是 120 , CD所 . (1)求 点 P到 平 面BCD的 距 离 ; A (2)求 面 APB与 面 CPB所 成 二 面 角 的 大 . 小
N T
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件 件
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5.
(2)BG 面CDE
2 (3) sin FBH 4
H
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6.
C1 A1
7
(1)DE AA1, DE A1E DE 面ACC1 A1
B1
面ADE 面ACC1 A1
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3; (key)(1) A 2 2 7. (2)π- arccos 7 Firstpage
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兴T华
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P
3 (key)(1) ; 2 2 7. (2)π- arccos 7
2 2
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AF 22 42 2 2 4 cos120 2 7
棱柱(1)2012.许兴华
{ 正方体 } { 长方体 } { 直平行六面体 } { 平行六面体
}
兴 T 华
许
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课
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[应用举例]
例1.判断下列命题是否正确: (1)有两个侧面是矩形的棱柱是直 错 棱柱; (2)有一个侧面垂直于底面的棱柱是 直棱柱; 错 (3)有一条侧棱垂直于底面两边的棱 柱是直棱柱;错 (4)有两个相邻的侧面是矩形的棱柱 是直棱柱; 对
高中数学.
9.7棱柱(１)
( 20121203 )
Designed by Steven 华 兴 No.3 High School 课 许 of Nanning 件
T N S E
E
V
(月亮河 A )
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许
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课
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[引入]
件
棱柱的概念 定义：有两个面互相平行，而其余每相邻两个 面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱． 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面， 1
E
其余各面叫做棱柱的侧面．
A1
B1
C1
D1
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱顶点， 两个底面的距离叫做棱柱的高．
A
H B E C D
不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱 柱的对角线，
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2012圆锥曲线高考题精讲(许兴华)
y
2m
P
m
F1
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F2
x
铃
end
6、方程 ay b x c 中的 a, b, c {2,0,1, 2,3} ，
2 2
且 a, b, c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中， 不同的抛物线共有（ B ）条 A、28 B、32 C、36 D、48
upwardΒιβλιοθήκη returnnext
end
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D
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F1
A
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B
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12.key：D
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F2
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[填空题]
2
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end
铃
14、在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y 2 =4x 的焦点 F. 且与该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方.若直 3 线 l 的倾斜角为 60º .则△OAF 的面积为
17.
y
M A x
o
N
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end
铃
x2 y2 1, 椭圆 C 以 C 的长轴为短轴，且与 18、已知椭圆 C1 : 2 1 4 C1 有相同的离心率。 （1）求椭圆 C2 的方程； （2）设 O 为坐标原点， 点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， OB 2OA ，求直线 AB 的方程。
2012高考数学综合训练1(理).许兴华
南宁三中2012高考数学模拟试题1(理)命题人：许兴华(Steven)一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．设k =︒460cos ,则)(80tan =︒ 22221)(1)(1)(1)(kk D kk C kk B kk A -±-±---2．若ω是方程01x x 2=++的根(i 是虚数单位)，则)(21011=++++ωωωω1)(2321)(0)(1)(-±-D i C B A3．设向量)37cos ,53(cos b ),67cos ,23(cos a ︒︒=︒︒= ，则)(b a =⋅21)D (23)C (21)B (23)A (--4．已知椭圆1my 5x 22=+的离心率510e =,则)(m =15或3155(D)5(C)325(B)3或(A)35．设集合}N n ,2n 7y y {B },N k ,3k 5x x {A **∈+==∈+==，则B A 中的最小元素是（ ）(D)58(C)23(B)16(A)136．若动点P(x,y)在方程11y 1x =++-围成的封闭图形的内部（含边界），则22y x +的最小值是（ ）21)(23)(23)(22)(D C B A7．曲线012=-+x y 与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点的个数一定是( )个1)(4)(3)(2)(D C B A8．双曲线1y 4x 22=-的两个焦点为21F ,F ，点P 在双曲线上，21PF F ∆的面积是3，则)(PF PF 21=⋅3)(3)(2)(2)(D C B A --9．函数b a x x )x (f ++=是奇函数的充要条件是（ ）1b a )D (0b a )C (0b R a )B (0b 1a )A (=====∈==且且 10．设9)2x x a (-的展开式中3x 项的系数是49,则常数)(a =4)D (4)C (8)B (8)A (--11. 棱长为12的正四面体PABC 有内切球O,该棱锥P-ABC 的中截面为M,则点O 到平面M 的距离是（ ） 223)(6)(62)(3)(D C B A 12．过点P(1,1)作曲线3x y =的两条切线21,l l ,设21,l l 的夹角为θ,则)(tan =θ36)(139)(1315)(33)(D C B A 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．某仪器显示屏上有7个小孔排成一排，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中3个小孔，但相邻的两个孔不能同时显示，则这个显示屏共能显示出的信号总数是 .14．以长方体1111D C B A ABCD -的任意三个顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率P 为 .(用分数作答)15. 过抛物线()220x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．各项都是正数的等比数列}a {n 的公比1q ≠,且132a ,2a ,a 成等差数列，令)N n (b )a a a a (*n 1n 2n 1n 1n n ∈=++-+++,则=+++∞→)(lim 21n n b b b .三、解答题（共6小题，满分共70分）17．（满分10分)已知向量()())x sin(,1b ,1),x sin(a +θ-=-θ=.（1）若R x ∈时,恒有b a⊥成立,求角θ的值；（2）若θ+⋅=cos 2b a )x (f 的最大值为0,且),43(,532sin ππ-∈θ=θ,求θcos 的值.18．(满分12分)由计算机随机选出大批正整数，取其最高位数（如35为3，918为9）出现的次数构成一个分布.已知这个分布中，数字1，2，3，4，…，9出现的概率正好构成一个首项为51的等差数列.现从这批正整数中任取一个，记其最高位数为)9,,3,2,1=( ξξ. （1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望ξE ..19.(12分) 如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC . （Ⅰ）求证：PC ⊥AB ；（Ⅱ）求二面角B-AP-C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离.20．（满分12分）已知定义在区间),0(+∞上的函数)1(ln 21)(2≥+-=m k x m x x f 在),1[+∞上是单调递增函数.(1)求)(x f 的单调区间；(2)若对]3,21[∈x ，不等式2)(k x f >恒成立，求实数k 的取值范围.21．（满分12分）以O 为原点，所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设OF ·FG =1，点F 的坐标为（t,0），),3[+∞∈t ，点G 的坐标为（x 0，y 0）.（1）求x 0关于t 的函数x 0=f(t)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并用定义证明你 的判断； （2）设△OFG 的面积t S 631=，若以O 为中心， Ｆ为焦点的椭圆经过点Ｇ， 求当||取最小值时椭圆的方程.22．（满分12分）已知数列}{n a 满足)(5221212121*33221N n n a a a a n n ∈+=++++ ，其前n 项和为n S . (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)记.834,1433221+<++++=+n T S S S S S S S S T n n n n 求证：OF xyG南宁三中2012高三数学答题卷1班级：姓名：座号：13、；14、；15、；16、.三.解答题(解每个大题时,请注意在“解”字前面标明题号！)。
运用类比思维方法于数学教学之中.许兴华
运用类比思维方法于数学教学之中（ 530021广西南宁三中 许兴华）2011/1/1关键词:类比思维,合情推理,数学教学,发现,新结论.数学家G ·波利亚说：“类比是一个伟大的引路人.”在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法.它是大自然中各种事物之间的一种相似：当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系统进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去猜测和发现另一系统的相应的新结果；在我们分析问题解决问题的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法.在我们平时的学习与生活中处处充满着类比.可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力.如果A ，B 是两个在某些方面类似的事物，从A 具有某些性质推想B 也有类似的性质，这种思维叫做类比思维.如学生在学不等式的加减移项法则时，应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题.但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误.有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”，根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来.这也说明类比的结果不一定正确.类比推理只是一种可能性的合情推理，而不是一种必然性的正确推理；要得到正确的结论，我们还必须经过严格的证明才行.一.运用类比方法温故知新类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具.在学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新.如在学习三棱锥的体积时，教师应引导学生与三角形的面积进行类比：因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形底边上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，而二维空间里的三角形的面积公式ah A 21=，所以由类比方法推测，三维空间里的三棱锥的体积应为SH V 31=.证明三角形面积公式可以把三角形补成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半.类似地，要求三棱锥的体积，应把它补全成一个三棱柱，然后再分割成三个等体积的三棱锥，这就是课本上的方法——如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考，那么他们对这种方法的理解就会毫无困难.另外，梯形的中位线公式)(21b a L +=,可以与台体的中截面面积公式)(21210S S S +=进行类比，这样可以加深学生的记忆.在不等式的学习中，我们有①22b a +≥2ab （a 、b ∈R ），这是大家熟悉的，证明也相当容易.特别地，②a+b ≥),(2+∈R b a ab .运用类比方法，我们与学生进行讨论：是否也有 ③a 3+b 3+c 3≥3abc （a 、b 、c ∈R ）？经探索，我们发现这是个假命题（例如a ＜0，b ＜0，c=0时不真！），只有当a 、b 、c 都为非负实数时才成立.尽管课本上用“配方法”给出了一种证明，我们现在的问题是：能否应用刚刚学过的②式证明？又如何证明呢？[思考一]∵a 3+b 3=(a+b)(a 2+b 2－ab)≥(a+b)(2ab －ab)=(a+b)ab,同理可得:b 3+c 3≥(b+c)bc ，a 3+c 3≥(a+c)ac∴2(a 3+b 3+c 3)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(a+c)ac 即2(a 3+b 3+c 3 )≥a(b 2+c 2)+b(a 2+c 2)+c(a 2+b 2)≥6abc∴a 3+b 3+c 3≥3abc.[思考二]设A=)(31333c b a ++ , 则A ＞0 , 4A=a 3+b 3+c 3+A, 所以 4333333333333)(21)22(214A c b a A c b a A c b a A c b a A ≥+≥+++=+++= 从而A 4≥a 3b 3c 3A , ∴A ≥abc 即 a 3+b 3+c 3≥3abc.以上是通过换元后,由于与公式②进行类比,别出心裁地采用了“公式法”进行证明，达到了“出奇制胜”的良好效果.通过类比，还可以将以上结论推广为n 个正数的情形.二.通过类比发现新结论和编制数学命题数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出来的.事实上，在平面几何和立体几何中，通过类比推广，可以得到一系列相近或相似的结论：（1）三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于它们对应边的平方比.(1')棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于它们的对应高(或对应侧棱)的立方比.把勾股定理进行类比推广，可以得到以下各定理：i ）在Rt △ABC 中，C=90°，则a 2+b 2=c 2 .ii ）长方体的对角线的平方等于从它的一个端点出发的三条棱的平方和,即.2222c b a l ++=.iii)在以D-ABC 为三直三面角的四面体ABCD 中,第四个面的面积的立方等于三直三面角的三个面的面积的立方和,即3332313S S S S ++=.iv ）长方体的一条对角线与它的一个端点出发的三条棱所成的角分别为α、β、Υ，则 cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=1.v ）长方体的一条对角线与它相邻的三个面所成的角分别为α、β、Υ，则cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=2.运用类比方法，是编制数学新命题的一个主要工具.例如，由公式a+b ≥2ab (a 、b ∈R +）, a+b+c ≥33abc （a 、b 、c ∈R +），可编制以下命题：1.设ab ＞0 , 求证：ba ab +≥2 . 2.设a 、b 、c ∈R +，求证：))((ca b c a b a c c b b a ++++≥9. 在上式中,令,,,z a c y c b x b a ===,则有 3.设x 、y 、z ∈R +，求证：)111)((zy x z y x ++++≥9. 在上式中,令x= a+b , y = b+c , z = c+a , (a 、b 、c ∈R +)，得 (2a+2b+2c) (ac c b b a +++++111)≥ 9 .即 ⇔≥+++++++++++29a c c b a c b c b a b a c b a 23≥+++++c b a a c b b a c 于是可得到新命题,这就是北京市的一个数学竞赛题:4.设a 、b 、c ∈R+，求证：23≥+++++c b a a c b b a c . 运用类比方法,可将以上命题推广为:5.设a i ＞0(i=1,2,…,n) , n ≥2 , 且a 1+a 2+…+ a n =S , 求证: (1).12211-≥-++-+-n n a S a a S a a S a n n (2) .1221-≥-++-+-n n a S S a S S a S S n 三.通过类比发现解题的思维方向类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用，教学中应引起足够的重视.1.在立体几何中,这样的一个问题曾难倒了部分学生:“求证:正四面体A-BCD 内的任意一点P 到各个面的距离之和等于常数.”其实,只要与平面几何的问题类比：“求证:等边三角形内的任意一点P 到三角形的三边的距离之和等于常数.”由于平几中该命题的证明可采用“面积法”，类似地，这个立几问题应采用“体积法”，于是问题迎刃而解.2.事实上，当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候，如果能构造一个类似的熟悉问题，从这个熟悉问题的解答过程中得到启发，那么就很有可能悟出原问题的解法.下面的这个问题是非常典型的:“设A={1，2，3，4，5}，从A 到B 的映射中，满足：f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射一共有多少个？”乍看起来，有些学生感到这个问题好象无从下手.你见过一个类似的问题吗？启发学生进行对比联想：“方程x+y+z+u=100总共有多少组正整数解？”这个问题你是怎么解决的？立即有学生想到：相当于用三块隔板将100个排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一个球，有多少种方法？显然是有3100C 种方法.由此，从A 到B 的映射，共分为三类：①五对一的映射有13C 个；②五对二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成两部分，这两部分再分别与6、7、8中选出两个元素对应，共有23C 14C 个；③五对三的映射，先把1、2、3、4、5用两块板分成三部分，分别对应6、7、8三个元素，共有24C 个.因此这样的映射总共有21个.问题获解.类比思维在数学知识延伸和拓广过程中常借助于比较、联想用作启发诱导以寻求思维的变异和发散.在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容，以帮助理解和记忆.在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，都是产生猜测、获得命题的推广和引伸的原动力.因此，类比方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索发现性两个方面.在数学教学中引导学生运用类比思维进行数学学习与探索过程中，我们通常还要结合与之非常类似的“见微知著联想法则”.见微知著联想法则也就是：一看到新问题的假设与结论，已知或未知，或一看到反拐弯转化出来的中间结果或猜想中间法，与某公式，定理，定理之外的基本问题，或解决的老问题有某些相同的成分或相同的结构，甚至仅仅有类似之处，就立即回想其解法，考虑移植的可能性，并立即作出快速的反应，就按此方法试一试，从而走出一条“由尝试走向成功”的道路.数学发展史上大胆的类比，令人惊奇的类比，天天在进行着：曲与直的类比，有限与无限的类比，数与式的类比，数与形的类比，平面与空间的类比……一般来说，差别愈大的对象间的类比，风险也愈大，那么自然地，导致重大发现的可能性也愈大.世界著名的数学家华罗庚在他的《从孙子的神奇妙算谈起》这本著名的小册子中，运用类比的方法，作出了令人惊奇的发现.在数学的应用中只有有限个数据，怎样从这有限个数据出发来确定描述客观事物的函数？这是一门叫做“插入法”的学问.在高等数学中，是用“拉格朗日插值公式”来解决的.怎样用初等方法简单地推导这个公式？华罗庚经过大量的研究，通过类比的方法，使插值问题求解成功.接着，他联想到具有类似结构的许多问题：多项式的神奇妙算，多变数的内插法，一次同余式组的求解，线性不定方程等，都可类似处理.在成功地解决这些问题之后，他把它们的基本思想概括成一个重要原则，这就是著名的华罗庚“合成原则”或称为“孙子——华原则”.总而言之，类比大体可分为如下几个阶段：①知识积累：对系统A 有比较系统的研究；对系统B 有了初步的研究，还有待深入.②发现A、B两系统拟同构：利用见微知著联想，突然认出B的某些属性在结构上与A的某些属性类似.于是原以为没有联系的两系统A、B之间便有了相当程度的拟同构关系.③试图扩大A、B之间的类似程度：盯住尚未参与对比的属性P，竭力找出类似的B的属性P'.④为此，先在A、B的元素间建立对应关系——实际上相当于由系统A到系统B的映射法则.⑤利用这个映射法则，把A的P“翻译”成B的P'.⑥找出P'的证明，或找反例推倒它，进而修改或补充一些题设，使P'为真并给出证明——至此，新知识终于诞生了！通过类比，人们把自然数加法法则，算律推广到整数，有理数，实数，复数；通过类比，人们从线段的性质推测出直线的性质，把有限个自然数的性质推广到所有的自然数；通过类比，人们把正方形面积概念“顺理成章”地推到三角形、一般四边形、多边形和曲边封闭图形；应用类比，人们把平面图形的研究引向三维空间，甚至高维空间.类比的成功激励着人们，人们运用类比策划着，争取着更多的、更大的成功！[参考文献]1. 许兴华,《数学美育的初步认识与实践》,北京《数学通报》,2001第11期2.马忠林,郑毓信,《数学方法论》,广西教育出版社,1996.12.（附:个人简历)许兴华,男,1963年生,中学高级教师,曾任上思中学副校长,1998年调入南宁三中。
棱柱(2)201212.许兴华
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4.在正三棱柱ABC A1B1C1中, 若AB 2, AA1 1, 则点Ａ到平面A1BC的距离为( ) A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 4 2 4
B
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C1
B1
1
(way1)直接法
(way2)也 可 用 等 体 积 法 : VA A1BC VA1 ABC
N S E 许E V 课
兴T华
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[新课内容]
二.性质 定理1:平行六面体的对角线交于一 点,并且在交点处互相平分. 如果是长方体,则对角线的交点到 各个顶点的距离相等.
D1
C1
B1
A1
D
o
C
B
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兴T华
A
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问题1：在平面几何中平行四边形、长方 形各有什么性质?
2
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A
A1
a
2a
E
3a
C1
B1E 6 sin AB1 4
A
2 2a
B1
C
2a
B
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[应用举例]
变 式 知 长 方 体 AC , BD与点B相 邻 .已 中若 1 1 的 三 个 面 成 的 角 分 别 为 α 、、 γ , 所 β 2 2 2 则 cos cosβ cosγ α 2.
立体几何典型题精选1.许兴华
立体几何典型题精选1.许兴华1. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ，∴AB ⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面AC.记E 是AD 的中点，从而ME ⊥AD.∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球.不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心.设球O 的半径为r ，则r ＝MF EM EF S MEF ++△2 设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1.∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(aa +, r ＝22)2(22a a a a +++≤2222+＝2-1 当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.2. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a.(1)求证BD ⊥截面AB 1C ；(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。
()111:DD BD AC ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭证明面ABCD BDAC同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1. (2)AB=BC=BB 1⇒G 为△AB 1C 的中心.AC=2a AG=36323a 22=⨯∙ a ∴BG=222229396)36(a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求cos ∠BB 1G=363611==a a BB GB 3. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 解析： 因M 为PB 的中点，连BD ∩AC 于O 后，可将PD 缩小平移到MO ，可见MO 为所求作的平行线．证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ⊄平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．4. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M ，N ，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A 1D 1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．（２）平面直线A 1E 与MF 所成的角．解析：（１）要证A 1E ⊥平面ABMN ，只要在平面中找到两条相交直线与A 1E 都垂直，显然MN 与它垂直，这是因为MN ⊥平面A 1ADD 1，另一方面，AN 与A 1E 是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用． 证明 （１）∵AB ⊥平面A 1ADD 1，而Ａ1Ｅ⊂平面A 1ADD 1，∴AB ⊥Ａ1Ｅ．在平面A 1ADD 1中，A 1E ⊥AN ，∵AN ∩AB ＝A ，∴A 1E ⊥平面ABMN ．解 （２）由（１）知A 1E ⊥平面ABMN ，而MF ⊂平面ABMN ，∴A 1E ⊥MF ， 则A 1E 与MF 所成的角为９０°5. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD ．解析：要证A 1O ⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗？方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么？（△A 1DB 是否为等腰三角形）∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O ⊥DB ．方法２：A 1O ⊥DB 吗？即DB ⊥A 1O 吗？DB 垂直包含A 1O 的平面吗？（易见DB ⊥平面A 1ACC 1）再观察A 1O 垂直何直线？DM ？BM ？因这两条直线与A 1O 均异面，故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．证明 取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而A 1O ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB ．在矩形A 1ACC 1中，∵tan ∠AA 1O=22，tan ∠MOC=22，∴∠AA 1O=∠MOC ，则∠A 1OA ＋∠MOC ＝９０°，∴A 1O ⊥OM ，∵OM ∩DB ＝O ，∴A 1O ⊥平面MBD ．6. 点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝１∶２，若A ，B 到平面α的距离分别为a ，b ，求点P 到平面α的距离．解析：（１）A ，B 在平面α的同侧时，P 平面α的距离为323132b a b a +=+； （２）A ，B 在平面α的异侧时，P 平面α的距离为32)(3132b a b a -=-+．点评 一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b 改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解．7. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面 （ ） （Ａ）有且只有一个 （Ｂ）可能存在也可能不存在（Ｃ）有无数多个 （Ｄ）一定不存在（Ｂ）解析：若存在，则a ⊥b ，而由条件知，a 不一定与b 垂直．8. 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 （ ）（Ａ）AC （Ｂ）BD （Ｃ）A 1D （Ｄ）A 1D 1解析：（Ｂ）BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥CE ．9. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 （ ）（Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个解析：D过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求10. P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是（ ） （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４解析：（A ）设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．11. 线段AB 的两个端点A ，B 到平面α的距离分别为6cm, 9cm, P 在线段AB 上，AP ：PB ＝１：２，则P 到平面α的距离为 ．解析：７cm 或１cm ．分A ，B 在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P 到平面α的距离为319326⨯+⨯＝７（cm ），异侧时，P 到平面α的距离为319326⨯-⨯＝１（cm ）．12. △ABC 的三个顶点A ，B ，C 到平面α的距离分别为2cm, 3cm, 4cm ,且它们在α的同一侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为 ．解析：3cm ．3543++＝3cm ． 13. Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝６，BC ＝８，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝１２，则ED ＝ ．解析：１３．AB ＝１０，∴CD ＝５，则ED ＝22125+＝１３．14. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：（１）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角；（２）B 1B 在平面A 1C 1B 所成角的正切值．解析： 求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．（１）先找到斜足A 1，再找出B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即从B 向平面A 1B 1CD 作垂线，一定要证明它是平面A 1B 1CD 的垂线．这里可证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影．（２）若将平面D 1D 1BB 竖直放置在正前方，则A 1C 1横放在正前方，估计B 1B 在平面A 1C 1B 内的射影应落在O 1B 上，这是因为A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴故作B 1H ⊥O 1B 交于H 时，BH 1⊥A 1C 1，即H 为B 1在平面A 1C 1B 内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B 1BO 1即可．解析：（１）如图，连结BC 1，交B 1C 于O ，连A 1O ．∵A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，BC 1⊂平面B 1BCC 1，∴A 1B 1⊥BC 1．又B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影，则∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．sin ∠BA 1O ＝211=B A BO ，∴∠BA 1O ＝３０°． （２）连结A 1C 1交B 1D 1于O 1，连BO 1，作B 1H ⊥BO 1于H ．∵A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴A 1C 1⊥B 1H ．又B 1H ⊥BO 1，A 1C 1∩BO 1＝O 1，∴B 1H ⊥平面A 1C 1B ，∴∠B 1BO 1为B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角，tan ∠B 1BO =22111=B B O B ，即B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角的正切值为22． 15. Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２；（３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心，∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。
A高一数学期考试题A(许兴华)
南宁三中2013～2014学年度上学期高一期考数学试题（A 卷）命题人：许兴华 审题人：崔朝杰 陈康 2014.01.13一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集},2 , 1 , 0{=U 且},2{=A C U 则集合A 等于 ( )}1 , 0{ . .}1{ .}0{ .D C B A Φ2．已知函数⎩⎨⎧<+≥=)0(),1()0(,2)(x x x x x x f 则)()2(=-f 4 .3 .2.1 .D C B A 3．如果)4 , 0( , )0 , ( , )2 , 2(C a B A 三点共线，则a 的值是（ ）4 .4 .3 .3 .--D C B A4．函数]1 , 1[ , 23)(-∈-=x x f x 的值域是 （ ）]1 , 0[ .]1 , 35[ .]1 , 1[ .]35 , 1[ .D C B A --5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )︒︒︒︒120 .90 .60 .45 .D C B A6．已知直线l 过点A(2,1)且与直线024=--y x 垂直，则直线l 的方程是( )064 .064 .04 .04 .=-+=++=-=+y x D y x C y x B y x A7．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别是1，2，3，则 此球的表面积为 ( )ππππ18 .15 .16 .14 .D C B A8．若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞19．函数f (x )＝ln (x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，e) C ．(0,1) D ．(3,4)10．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A ∈l ，B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝4，AC ＝3，BD ＝12，则CD 等于 ( )A ．8B ．10C ．13D ．1611．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积 之和的最小值是（ ）2cm 32 .22 .52 .23 .D C B A12．如右图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,M是1BB 的中点，则点M 到平面1ACD的距离是（ ） 223 .32 .5 .3 .D C B A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上的相应位置）13.在正方体1111D C B A ABCD -中，若直线C A 1与平面11B BCC 所成的角的大小是θ， 则.sin =θ14．若函数b x ax x x f +-+=2)(23是奇函数，则=-)2(f ___________ .15. 一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．16．下列给出5个命题：①一个正方体的三视图必定是三个全等的正方形；②如果空间不共线的三点到一个平面的距离都相等，则这三点所在的平面与这个平面平行；③经过一个角的顶点引这个角所在平面α的一条斜线l ，如果斜线l 与角的两边所成的角相等，那么斜线l 在平面α上的射影是这个角的平分线；④如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线互相平行；⑤如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.其中所有正确命题的序号是 .三、解答题：(本大题共6小题，满分70分)17．（本题满分10分）（1）（4分）一条直线l 经过点M(2,－3),倾斜角︒=135α，求直线l 的方程;(2)（6分）已知ABC ∆中,A (－5,0)，B(3,－3)，C(0,2)，求BC 边所在的直线方程， 以及BC 边上的中线AM 所在的直线方程.18．（本题满分12分）（1）(6分)计算：3log 72－log 79＋2log 7(322)； （2）（6分）求函数3223)(++-=x xx f 的单调递增区间和值域.19. （本题满分12分）一个圆锥的底面半径为 2 cm ，高为 6 cm ，在圆锥内部有一个高为 x cm 的内接圆柱．（右图为轴截面图）(1)用 x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当 x 为何值时，S 最大？20．（本题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点，(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值；(2)若函数的两个零点是α和)(βαβ≠，求22βα+=u 的取值范围．21. （本题满分12分）如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ．(1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ；(2)若AB ＝BC ＝2BD ，求二面角B －AC －D 的正切值．22．（本题满分12分）已知函数f (x )=log m 33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.2014高一年级期考数学试题参考答案一．DBCCB DABAC DA二．13． 33 14.4- 15.π+6 16.③④⑤ 5.解析：取A 1B 1中点M ，连接GM 、HM .∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、H 、G 为A 1B 1、B 1C 1、B 1B 的中点，∴△GMH 为正三角形，∠MGH 为EF 与GH 所成的角，∴∠MGH ＝60°.故选B.9.解析：∵f (x )＝ln(x ＋1)－2x在给定的四个选项所在的区间内都是单调递增的， 又f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，故选A.10．C 解析：连接BC ，∵AC ⊥l ，∴△ACB 为直角三角形，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝32＋42＝5，又∵BD ⊥l ，BD ⊂β，α∩β＝l ，α⊥β，∴BD ⊥α，∴BD ⊥BC .在Rt △DBC 中，CD ＝BD 2＋BC 2＝122＋52＝13.11．解析：设一个正三角形的边长为x ，则另一个正三角形的边长为12－3x 3＝4－x ， 两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)． 当x ＝2时，S min ＝23(cm 2)．答案：23cm 215．【解】6π+．几何体是由一个长方体与一个圆锥组合的．体积为213211363V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+．三．解答题：17.解：（1）,1135tan -=︒=k故所求的直线方程为：)4(.01 )2(13分即 =++-⋅-=+y x x y（2）由B(3,－3)，C(0,2)得BC 边所在直线方程为030232--=---x y 即BC:5x+3y －6=0.………(7分)BC 边上的中线为AM ，又BC 的中点为),21,23()223,203(-+-+M M 即 ,52350210:++=---∴x y AM 即AM ：x+13y+5=0.………(10分) 18.（1）[解]原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0.……（6分）(2)解：设u ＝－x 2＋2x ＋3，则y ＝3u .∵y ＝3u 在R 上是增函数，且u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在(－∞，1]上是增函数，从而y ＝f (x )在(－∞，1]上是增函数．……（9分） ∴当x ＝1时，y max ＝f (1)＝81，而3223)(++-=x xx f >0， ∴函数的值域为(0,81]．………（12分）19.解：(1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由POPN AO DN PAO PDN =⇒∆∆∽ 即r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3，∴S ＝=⋅=⋅x r DE EF 2－23x 2＋4x (0<x <6)．……（6分） (2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，(0<x <6)． ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.………（12分）20.解：(1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5， 解得k ＝－2.………（5分） (2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，⎪⎩⎪⎨⎧>++--=∆++=-=+∴0)53(4)2(532222k k k k k k αββα 则⎪⎩⎪⎨⎧-<<----=-+=+∴3446102)(2222k k k αββαβα ∴22βα+=u 在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509， 即22βα+=u 的取值范围为).18,950( ………（12分） 20.(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ．又BD ⊥CD ，且BD ∩AB ＝B ，∴CD ⊥平面ABD ．又CD ⊂平面ACD ，∴平面ABD ⊥平面ACD ．………（5分）(2)解：如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，由AB ⊥DE 知，DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥AC ．过E 作EF ⊥AC 于F ，连接DF ，∴AC ⊥平面DEF ，则AC ⊥DF ，∴∠DFE 就是二面角B －AC －D 的平面角．设BD ＝x ，则AB ＝BC ＝2x ．在Rt △BDC 中，CD ＝3x ，BD ·CD ＝BC ·DE ，则DE ＝32x ，BE ＝12x ，CE ＝32x ．由Rt △CEF ∽Rt △CAB 得EF CE ＝AB AC， ∴EF ＝324x ，∴在Rt △DEF 中，tan ∠DFE ＝DE EF ＝32x 324x ＝63． 故二面角B －AC －D 的正切值为63．………（12分） 22. 解：（1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3. ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数. ………（4分）（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-. 故当0＜m＜432-时，满足题意条件的m 存在. ………（12分）。
多面体与棱锥.许兴华
7
[分析]PO 22 32 62 7
2
3
P
6
o
E
D
B
N S E 许E V 课
兴T华
A
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件
4.如图, 设正三棱锥P - ABC 中, APB 30 , 侧棱长为2a, E、F分别是PB 、PC 的点, 则AEF的周长的最小值为 .
件
题型
多面体背景中的线面关系问题
• 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长 方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4， BC=2，CC1=3，BE=1. • 求点C到平面AEC1F的距离. • 解：延长C1E、CB相交于G， • 连结AG，则平面AEC1F∩ • 平面ABCD=AG. • 过点C作CM⊥AG，垂足
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T 华 N S E 课 E V
件
3.三 棱 锥 的 三 条 侧 棱 两 垂 直, 底 面 两 内 一 点 到 三 个 侧 面 的离 分 别 为 距 2 cm,3cm,6cm, 则 这 点 到 三 棱 锥 顶 点 的距离为 .
30
E
E B
F
A
A
B
C
[分析]APA 30 3 90, 2 2 AA (2a) (2a) 2 2a 即为所求．
N S E 许E V 课
兴T华
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件
5.如 图 在 底 面 是 直 角 梯 形 的 棱 锥 , 四 S - ABCD中, ABC 90, S A 面AB 1. C D,S A AB BC 1, AD 2 (1)求 四 棱 锥 - A S S BCD的 体 积 ; (2)求 面S C D 面 与 S BA 成 的 二 面 所 B C 角的正切值 .
《棱锥及其性质》课件
根据棱锥的性质，判断以下说法是否正 确，并说明理由。
进阶习题
01
进阶习题1
求出给定棱锥的侧棱长和高的 关系，并证明。
02
进阶习题2
根据棱锥的性质，推导其表面 积和体积的计算公式，并举例
说明。
03
进阶习题3
求出给定棱锥的内外角和，并 证明。
04
进阶习题4
根据棱锥的性质，判断以下说 法是否正确，并说明理由。
03总结词
正棱锥是所有侧面都是等腰三角形的 棱锥，其性质包括侧面等腰三角形的 高与底面边长相等，侧面等腰三角形 底角相等，侧面等腰三角形顶角相等 。
详细描述
正棱锥的侧面都是等腰三角形，其高 与底面边长相等，因此侧面等腰三角 形的底角相等。同时，由于所有侧面 等腰三角形的高相等，侧面等腰三角 形的顶角也相等。
02
棱锥的面积与体积
棱锥的基面与高
基面
棱锥的基面是一个多边形，其顶点与棱锥的顶点重合。基面的形状和大小决定 了棱锥的形状和大小。
高
棱锥的高是从基面到顶点的线段，是决定棱锥体积和表面积的重要因素。
棱锥的表面积
表面积计算公式
棱锥的表面积等于基面的面积加上所有侧面的面积。侧面积的计算公式为 (S = frac{1}{2} times l times h)，其中 (l) 是侧棱的长度，(h) 是侧面的高。
04
棱锥的应用
几何学中的应用
棱锥在几何学中常被用作研究三 维空间中点、线、面关系的工具
。
通过棱锥，可以深入探讨空间几 何中的一些基本定理和性质，例 如角平分线定理、平行线性质等
。
棱锥在几何学中也有一些实际应 用，例如在计算几何形状的面积 和体积时，可以利用棱锥的特性
江苏省射阳县盘湾中学高中数学 棱柱、棱锥和棱台教案 苏教版必修
一、棱柱1. 教学目标（1）理解棱柱的定义及其性质。
（2）掌握棱柱的画法及其分类。
（3）培养学生的空间想象能力和实际操作能力。
2. 教学内容（1）棱柱的定义及其性质。
（2）棱柱的画法及其分类。
（3）棱柱的实际应用。
3. 教学方法（1）采用讲解法，引导学生理解棱柱的定义及其性质。
（2）采用示范法，教授棱柱的画法及其分类。
（3）采用案例分析法，分析棱柱的实际应用。
4. 教学步骤（1）引入棱柱的概念，引导学生理解棱柱的定义及其性质。
（2）示范棱柱的画法及其分类，让学生动手实践。
（3）分析棱柱的实际应用，巩固所学知识。
二、棱锥1. 教学目标（1）理解棱锥的定义及其性质。
（2）掌握棱锥的画法及其分类。
（3）培养学生的空间想象能力和实际操作能力。
2. 教学内容（1）棱锥的定义及其性质。
（2）棱锥的画法及其分类。
（3）棱锥的实际应用。
3. 教学方法（1）采用讲解法，引导学生理解棱锥的定义及其性质。
（2）采用示范法，教授棱锥的画法及其分类。
（3）采用案例分析法，分析棱锥的实际应用。
4. 教学步骤（1）引入棱锥的概念，引导学生理解棱锥的定义及其性质。
（2）示范棱锥的画法及其分类，让学生动手实践。
（3）分析棱锥的实际应用，巩固所学知识。
三、棱台1. 教学目标（1）理解棱台的定义及其性质。
（2）掌握棱台的画法及其分类。
（3）培养学生的空间想象能力和实际操作能力。
2. 教学内容（1）棱台的定义及其性质。
（2）棱台的画法及其分类。
（3）棱台的实际应用。
3. 教学方法（1）采用讲解法，引导学生理解棱台的定义及其性质。
（2）采用示范法，教授棱台的画法及其分类。
（3）采用案例分析法，分析棱台的实际应用。
4. 教学步骤（1）引入棱台的概念，引导学生理解棱台的定义及其性质。
（2）示范棱台的画法及其分类，让学生动手实践。
（3）分析棱台的实际应用，巩固所学知识。
四、棱柱、棱锥和棱台的关系1. 教学目标（1）理解棱柱、棱锥和棱台之间的关系。
十年级数学下册 认识棱锥第一课时教案 西师大版
十年级数学下册认识棱锥第一课时教案
西师大版
一、教学目标
通过本课研究，使学生能够：
1.认识棱锥的基本概念和特征；
2.掌握棱锥的分类和命名方法；
3.理解棱锥的投影图与实体图的关系。
二、教学内容
1.棱锥的定义和构造；
2.棱锥的分类和命名方法；
3.棱锥的投影图与实体图的关系。
三、教学过程
1.引入（5分钟）
通过展示一些日常生活中的棱锥的例子，引导学生思考有关棱锥的问题，激发学生的研究兴趣。
2.新知讲解与示范（15分钟）
（1）讲解棱锥的定义和构造，帮助学生理解棱锥的基本概念
和特征。
（2）介绍棱锥的分类和命名方法，让学生了解棱锥的不同类型。
（3）解释棱锥的投影图与实体图的关系，示范如何根据实体
图画出棱锥的投影图。
3.学生练与合作（20分钟）
（1）学生进行课堂练，通过练题加深对棱锥的认识和理解。
（2）学生分组合作，设计并制作一幅棱锥的实体图和投影图。
同时，学生互相检查和交流，提高合作能力。
4.展示与总结（10分钟）
学生展示自己设计制作的棱锥实体图和投影图，共同讨论、总
结棱锥的特点和规律。
四、教学反思
通过本课的教学，学生对棱锥的定义、特征、分类和命名方法
有了更深入的理解。
通过合作设计制作棱锥实体图和投影图的活动，
培养了学生的动手能力和合作能力。
同时，通过展示和总结，加深了学生对棱锥的认识和理解，提高了学生的综合能力。
棱锥1
S---棱锥的顶点
（4）棱锥的高
棱锥的高----- ---棱锥的侧棱 E D ---棱锥的侧面
棱锥的表示方法
棱锥S ABCDE
A
O
---棱锥C的底面
B
棱锥S AC
棱锥的分类
1 分类标准 ：底面多边形的边数
三棱锥、四棱锥、五棱锥……
三棱锥
2 分类标准 ： 正棱锥 非正棱锥
四棱锥
五棱锥
正棱锥
侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直 M
O
C
角三角形.
B
思考
(1)如果一个棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，那么 它是否是正棱锥？
ab
b
b
a
b
(2)如果一个棱锥的底面既有外接圆，又有内切圆，且 侧棱长都相等，那么它是否是正棱锥？
练习
（1）判断下列命题是否正确：
①有一个面是多边形，其余各面是 三角形的几何体是棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
O
C
= l2 _ h2
M B
因为棱锥S-ABC是正棱锥,所以点O是正三角形ABC的中心
AB = 2AM = 2OM ·tan600 = 2 3 . l2 4
AB2 =
根据棱锥截面性质,有
3 . 4 . 3 . ( l2 _ h2 ) =
4
3 ( l2 _ h2 )
s h △A 1B1C1
定义 : 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面 的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质:
S
（1） 正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等
的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高
相等(它叫做正棱锥的斜高);
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D
M
o
B
N
C
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件
[新课内容]
六.正棱锥的性质 七.棱锥的体积(四面体顶点选择的任意性)
P
h
P
h
A
D o B
C
A
E
D
M
o
B
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设S为 棱 锥 的 底 面 面 积 为 体 积 ： ,Ｖ 兴 华 V 1 Sh 3 许
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棱锥的性质
S
截面 A' B' C' D'E∽ 底面 ABCDE E’
A’
D’
C’ B’
D O
SA'B'C'D'E' SH'2 SABCDE SH 2
C
E A
Hale Waihona Puke BN S E 许E V 课
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P
斜高
A
E
侧棱 斜高
D
M
o
B
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[新课内容]
六.正棱锥的性质 (2)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内 的射影组成一个直角三角形,正棱锥的 高、侧棱、侧棱在底面的射影也组成 一个直角三角形.
P
A
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一.棱锥的概念
如果一个多面体的一 个面是多边形,其余 各面是有一个公共顶 点的三角形,那么这 个多面体叫做棱锥;
A B
P
P
F
E
C
D
D A 首页 Firstpage B
C
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T N S E 课 E V
件
[应用举例]
判断正误
1、侧面与底面所成的角 都相等的棱锥是正棱锥; 2、棱锥的高可以等于它 的一条侧棱长; 3、棱锥的高一定在棱锥 的内部; 4、侧面均为全等的等腰 三角形的棱锥是正棱锥.
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例1．一棱锥被平行于底面的截面所
截,顶点到截面的距离与截面到底 面的距离比为2：3，则截面与底 面的面积比为（ B ）
（A)2:5 (B)4:25
P
o
(C)2:3
(D)4:9
S ( PO)2 (2)2 4 S PO 5 25
D
A
E
o
B
C
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二.棱锥的表示:棱锥P—ABCD, P 棱锥P—AC A 三.棱锥的分类
P
C
B
根据底面的边数,底 面是三角形的叫三棱 锥,底面是四边形的 叫四棱锥,底面是五 边形的叫五棱锥…
A
D
P
C B
A
E
D
B
C
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五.正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且 顶点在底面的射影是底面的中心,那么 这样的棱锥叫做正棱锥.
P P C B P
A
D
C A B
D
D A
O
C
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[新课内容]
六.正棱锥的性质 (1)正棱锥个侧棱相等,各侧面都是全 等的等腰三角形,各三角形底边上的高 相等(它叫做正棱锥的斜高).
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已知:在棱锥S－AC中，SH是高，截面A'B'C'D'平行于 底面，并与SH交于H'．求证：截面A'B'C'D'∽底面 2 ABCD，并且 SABCD SH2 . SABCD SH
高二数学.
9.8棱锥(1)
(20121207 )
Designed by Steven 兴T华 No.3 High School N S 许E V 课 of Nanning 件
E
(月亮河 ) A
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埃及 金字塔
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•THE END •Goodbye!
南宁三中 许兴华
(文学博客)http : //blog.sin /s teven1970 在google 搜索里输入：月亮河A， 兴 T 华 N兴 华 出现的第一个“新浪博客”即是。 E S SVVE课 许许 课
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定理:如果棱锥被 平行于底面的平 面所截,那么所得 的截面与底面相 似,截面面积与底 面面积的比等于 顶点到截面的距 A 离与棱锥高的平 方比.
四.棱锥的性质
P
D`
A`
O
C` B`
D H
C
B
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SABCD PO2 2 SA B C D PH
N T
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件 件
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一.棱锥的概念
棱锥中有公共顶点的各个三角形叫做 棱锥的侧面;余下的那个多边形叫做 棱锥的底面或底;
两个相邻侧面的公共边叫 做棱锥的侧棱,各个侧面 的公共顶点叫做棱锥的顶 A 点,由顶点到底面所在平 B 面的垂线段叫做棱锥的高.
P
F
E
O
C
D
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因为棱锥S-ABC是正棱锥,故点O是正三角形的中心．
SABC 1 SABC 4 3 3 (l 2 h2). SABC 4
.
O´
C´
B´ A M O C
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B
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课堂小结: 1、定义： 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，这些面所围成的几何体叫做棱锥 。底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是 底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥． 2、棱锥的性质： 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截 面和底面相似，并且他们的面积的比等于截得 的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。（面积 比=相似比的平方）
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例2． 已知：正三棱锥S－ABC的高SO=h,斜高 SM= l ，求经过SO的中点且平行于底面的截面 ΔA'B'C'的面积.(课本题) OM 解：连结OM、OA.在RtΔSOM中， l 2 h2.
∴AB=2AM=2·OM ·tan600 2 3 l 2 h2 S SABC 3 AB2 3 4 3(l 2 h2) 3 3(l 2 h2) 4 4 根据棱锥截面的性质，有 A´
证明：因为截面平行于底面，所以A'B'∥AB，B'C'∥BC,C'D'∥CD,„ S
∴∠A'B'C'=∠ABC,∠B'C'D'=∠BCD, „
又因为SA、SH的平面角与截面和底面分别交于 A’H’和AH, ∴ A’H’∥AH,由此得
AB SA SH . 同 理, BC SH ,- - AB SA SH BC SH
件
棱锥
性质： 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么 截面和底面相似，并且他们的面积的比等于 截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。 （面积比=相似比的平方）
注: 如果两个多边形的各对应角 相等,各对应边的比也相等,那么 这两个多边形是相似多边形.相 似多边形的面积比等于对应边的 平方比.
中截面：经过棱锥高的 中点且平行于底面的截 面，叫棱锥的中截面
D´ A´ B´ H C´ H´ D C
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AB BC - - - SH . AB BC SH
因此,截面A'B'C'D'∽底面ABCD
SABCD AB2 SH2 SABCD AB2 SH 2
A
B
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