18版高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大必修4201808223186
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一 条件求值【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式化简和证明【例2】 求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明 左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边， 所以原式得证．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】 设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】 若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解 原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝ －31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案 －135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 －125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析 原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案 －110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案 －111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析 利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时， 原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大版必修4201808223186
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一 条件求值【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式化简和证明【例2】 求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明 左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边， 所以原式得证．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】 设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】 若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解 原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝ －31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案 －135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 －125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析 原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案 －110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案 －111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析 利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时， 原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件． 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式一课件北师大版必修4
3 ，则 3
5π － cos 6 －θ ＝
3 3 .
解析
5π π cos 6 －θ＝cosπ－6＋θ
π ＝－cos6＋θ ＝－
3 . 3
解析
答案
类型三 例3 化简下列各式.
利用诱导公式化简
sin－2π－αcos6π－α (1) ； cosα－πsin5π－α
解 sin－αcos－α 原式＝ cosπ－αsinπ－α
－sin αcos α ＝ ＝1. －cos αsin α
解答
1＋2sin 290° cos 430° (2) . sin 250° ＋cos 790°
题型探究
类型一 例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°；
给角求值问题
解 cos 210°＝cos(180°＋30°) 3 ＝－cos 30° ＝－ 2 . 11π (2)sin 4 ； 11π 3π 3π π 解 sin 4 ＝sin(2π＋ 4 )＝sin 4 ＝sin(π－4)
3 ＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
3 ＝－sin(180° －60° )＝－sin 60° ＝－ 2 .
解答
31π － (2)cos . 6
第一章
§4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)
学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
【素材】单位圆的对称性与诱导公式
单位圆的对称性与诱导公式教学设计一、教材分析:“单位圆的对称性与诱导公式”是北师大版必修4第一章第四节，其主要内容是三角函数的诱导公式推导和应用.它是圆的对称性的“代数表示”.利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想.诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用.本节教学内容为公式2,3,4.二、学情分析:本节课的授课对象是本校高一文科实验班同学，本班学生水平处于中等偏下，但学生具有善于动手的良好学习习惯，并且学生已经掌握了正、余弦函数的定义以及它们的周期，所以采用发现式和启发式的教学方法，学生可以探究出诱导公式.三、教学目标:1.知识与技能借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题.2.过程与方法经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、特殊到一般的转化过程，培养化归思想.3.情感、态度与价值观通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.四、教学重点和难点1.教学重点理解并掌握诱导公式.2.教学难点探究角α与角-α终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导出(与单位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图,正确运用诱导公式,求三角函数值,化简三角函数式.五、教学过程设计教学环节教师活动预设学生行为设计意图一：课题引入问题1：在单位圆中，任意角α的正弦、余弦函数是怎样定义的？问题2：用已学的知识能不能求下列三角函数值：（1）sin3π，（2）sin(-3π)，（3）sin43π（4）sin23π.1.给学生2分钟左右的时间独立思考，教师请1小组代表回答问题12.抓住学求-3π，43π，23π的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《单位圆的对称性与诱导公式》.1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x.2.学生独立思考，小组内部交流，可能会尝试用定义解答.3.根据教师的引导产生探索新知识的欲望.1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础.2.设置问题情境，产生知识冲突，引发思考，既调动学生学习积极性，激发探究欲望，又顺利导入新课.三：自主合作探究公式2 、公式3 1.引导学生回顾刚才探索公式2的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.为学生指明探索公式3、公式4的方向.2.探究：（1）角π+a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）角π-a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？3.组织学生分组探索角π+a和角a、角π-a和角a的三角函数之间的关系.先让学生先独立思考，然后小组交流.在学生交流时教师巡视，让两个小组拿探究成果展台展示.同时派出优秀学生到其他小组提供帮助.4、汇总成果，并求解sin43π和sin23π值5、归纳出公式的口诀：函数名不变，符号看象限.1.体会研究诱导公式的线路图.画出图形，先独立思考尝试自主解答，一定时间后在组长的带领下展开组内讨论.2. 2至3名中等学生到黑板上展示，其他学生分组讨论.3.观察教师的动画演示，验证讨论的结论.得到公式3：sin（π＋）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα公式4：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，4.学生先自由发言，尝试归纳公式的特征.然后在教师的引导下小组交流讨论形成对公式的正确认识.归纳出公式的特征：的三角函数值，等于 a 的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符合，得到公式1.8～1.12在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.四 ： 公 式 运 用 1、随堂练习：教材20P 第一题 集体核对答案 2、教材20P 的例题：利用公式求下列各三角函数值： (1) 7sin()4π- ; (2)2cos 3π（3）cos （-316π）. （1）让3小组展示解题过程，组织全班学生观察纠错. （2）.引导学生归纳用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤. 3、反馈练习： 学生独立完成，组内核对解题方法和步骤，选2组的学习成果展台展示 1.学生独立完成练习.2.观察小组代表投影出的解答过程，提出自己的看法.3.通过例题和反馈练习这的解答体会、叙述用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~ 的三角函数→锐角的三角函数.1.巩固所学公式.调整课本例题所求三角函数值，让知识显得更全面.2.观察、欣赏黑板上的解答，形成规范格式，培养敢于质疑的品质.体会化归思想. 学生学习活动评价设计(1)今天所学内容是什么，新的知识我掌握了吗?自己的课前理解与教师讲解后的差别在哪儿?(2)例题涉及哪些数学思维方法、数学思想方法,这些思想方法是怎样应用的,应用的过程有什么特点,这样的方法是否在其它地方应用过.(3)课上不懂的地方,如何弄清楚?另外,还可对学习态度、情绪、意志自我评价. 这样,就给学生在课后理清自己的思想、评价自己的学习情况、自我评价自己的学习过程创造了条件,从而能够逐步培养学生的自我评价习惯.教学反思1、在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”， 由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.2、预期效果：本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.3、欠缺之处:备课不仅要备教材还要备足学生.由于对学生的学习习惯和知识水平预判不够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象.赣县中学——刘小兰 11.cos(3),4cos παα-=-已知求的值.2.cos(3)sin()sin()cos(3)πααπαππα+⋅+--⋅-化简：。
北师大版高中数学必修四 4.3单位圆与诱导公式
单位圆的对称性与诱导公式
单位圆的对称性与诱导公式
学习目标 :
（1）识记诱导公式 （ 2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初 步运用诱导公式求三角函数的值（重点） （ 3）会进行简单三角函数式的化简和证明（难 点）。
一：问题提出
（1）复习回顾：任意角三角函数的定义
二:探索研究
（一）
对称美是形式美的美学法则之一．人和 动物的对称能给人以健康的美感,角的终边也 有对称的现象，它们存在什么美呢？又隐藏 着哪些规律呢？
一切平面图形中最美的是圆形，一切 圆中最美的是单位圆。
——— 毕达哥拉斯学派
巴黎埃菲尔铁塔
巴黎圣母院
北京故宫
（二）互动探究
已知任意角的终边与单位圆相交于点Px，y，
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ y
终边
y
P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
（3）正切tanα＝ y x
O
x
公式一
sin( k 360 ) sin cos( k 360 ) cos tan( k 360 ) tan
其中 kZ
3sin34 sin4sin422
4cos2040cos2040cos6360120
cos1201 2
例2 化简
cos180•sin360 sin180•cos180.
解 :s i n -- 1 8 0 s in 1 8 0
sin180sin sin
c o s 1 8 0 c o s 1 8 0
1 c o s 4 2 0 cos60cos601
2
2
sin
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性与诱导
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4。
3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学习目标 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质,并能初步运用性质解决相关问题（重点）。
2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用。
3.理解诱导公式的推导过程(重点）.4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点）．知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x定义域R值域[－1,1］周期2π在［0,2π]上的单调性在错误!，错误!上是增加的；在错误!上是减少的在［π,2π］上是增加的；在[0,π］上是减少的（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R。
（√）(2）函数y＝sin x在［0，π］上是单调减函数．(×)（3）函数y＝cos x在［0，π］上的值域是[0，1］．(×)（4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√）知识点2 2kπ±α，－α，π±α（k∈Z)的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin（2kπ＋α)＝sin α,cos(2kπ＋α）＝cos α.（1。
高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修420180814270
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1 设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：思考2 2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.答案它们交点间对称关系如表：设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P 和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.梳理 对任意角α，有下列关系式成立： sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α(1.9) sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.1.sin(α－π)＝sin α.( × )提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 2.cos 43π＝－12.( √ )提示 cos 4π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12.3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × ) 提示 在角度制和弧度制下，公式都成立.类型一 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6；(4)cos(－1 920°).考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4＝sin 3π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝sin π4＝22.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6＝－sin 7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式1.9来转化.(2)“大化小”：用公式1.8角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－31π6.考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32.方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝ . (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝22，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝ .考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 (1)－0.3 (2)－22解析 (1)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，∴sin α＝0.3，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－22.反思与感悟 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用. 跟踪训练2 (2017·大同检测)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )A.1B.－1C.13D.－13考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 D解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2k π＋π＋β(k ∈Z )，sin(α＋2β)＝sin(2k π＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.类型三 利用诱导公式化简例3 化简：sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α).考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简解 原式＝sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝(－sin α)cos α(－cos α)sin α＝1.引申探究若本例改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.解 当n ＝2k 时，原式＝(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝1；当n ＝2k ＋1时，原式＝sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝1.综上，原式＝1.反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).考点 利用诱导公式化简题点 利用诱导公式化简解 原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.1.sin 585°的值为( ) A.－22 B.22 C.－32D.32考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－16π3的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋12考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 C解析 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.3.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( ) A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β C.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 B4.sin 750°＝ . 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题答案 12解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，k ∈Z ， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.5.化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简解 原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)·(－cos α)＝1.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、选择题1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C.－32 D.－12考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.sin(－390°)的值为( ) A.32 B.－32 C.12 D.－12考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 D解析 sin(－390°)＝sin(－360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－12.3.下列三角函数中，与sinπ3数值相同的是( ) ①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π3(n ∈Z ).A.①②B.①③④C.②③⑤D.①③⑤考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 C4.sin(π－2)－cos(4π－2)化简的结果为( ) A.sin 2－cos 2 B.－1 C.2sin 2 D.－2sin 2考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 A解析 原式＝sin 2－cos 2，所以选A.5.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z ).若f (2 009)＝5，则f (2 015)等于( ) A.4 B.3 C.－5 D.5 考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值解析 ∵f (2 009)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5， ∴f (2 015)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5.6.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A.12 B.－12 C.32 D.－32 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 C 解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.二、填空题 7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)＝ .考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.8.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx (x ＜0)，f (x －1)－1(x ＞0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝ . 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 －2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.9.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ .考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 15解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15.10.已知sin(π＋α)＝35，则cos(α－2π)的值是 .考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 ±45解析 由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35，所以cos α＝±45，所以cos(α－2π)＝cos α＝±45.11.①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝ ； ②sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)＝ . 考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 ①34②1解析 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 三、解答题12.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α的值. 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 解 cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m .13.已知角α终边上一点P (－4，3)， 求sin (3π＋α)sin (－π－α)sin (－α＋2π)cos (－α－4π)的值.考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值解 点P 到原点O 的距离|OP |＝(－4)2＋32＝5. 根据三角函数的定义得sin α＝35，cos α＝－45，sin (3π＋α)sin (－π－α)sin (－α＋2π)cos (－α－4π)＝sin (π＋α)[－sin (π＋α)]sin (－α)cos (－α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34. 四、探究与拓展14.在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.15.已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)cos (－α)cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值. 考点 诱导公式与函数的综合题点 诱导公式与函数的综合解 (1)f (α)＝－sin αcos αcos α(－cos α)sin α＝cos α. (2)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝cos 5π3＝cos π3＝12. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
北师大版必修4高中数学第1章三角函数44.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与
1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值 时的自变量 x 的值．
(1)y＝－sin x，x∈π3，π；(2)y＝cos x，x∈[－π，π]． [解] (1)y＝－sin x，x∈π3，π的单调递减区间为π3，π2，单调递 增区间为π2，π.
当 x＝π2时，ymin＝－1；当 x＝π 时，ymax＝0，故函数 y＝－sin x， x∈π3，π的值域为－1，0.
[提示] 它们的对应关系如表：
相关角
终边之间的对应关系
2kπ＋α 与 α π＋α 与 α －α 与 α 2π－α 与 α π－α 与 α
终边相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称
1．当 α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A．sinπ2＋α＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α C．cos (210°＋α)＝cos (30°＋α) D．cos (－α－β)＝cos (α＋β) D [由诱导公式知 D 正确．]
x 取最大值 1，当 x＝－6π时，y＝sin x 取最小值－12.
①
(2)由图②可知，y＝cos x 在
[ －π，0] 上是增加的，在0，3π上是减少的．且
当 x＝－π 时取最小值－1，当 x＝0 时，取最大值 1.
②
利用单位圆研究三角函数性质的方法 第一步：在单位圆中画出角 x 的取值范围； 第二步：作出角的终边与单位圆的交点 P(cos x，sin x)； 第三步：研究 P 点横坐标及纵坐标随 x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．
(2)y＝cos x，x∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区 间为[－π，0]．
当 x＝0 时，ymax＝1；当 x＝－π 或 π 时，ymin＝－1，故函数 y＝ cos x，x∈[－π，π]的值域为[－1,1].
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式学案 北师大版必修
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．正弦函数、余弦函数的基本性质函数y＝sin x y＝cos x基本性质定义域R值域[－1,1]最大(小)值当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数取得最小值－1当x＝2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取得最小值－1基本性质周期性周期是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π单调性在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π上的最大值为1.( ) (3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.( )【解析】 (1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的，y max ＝sin π2＝1，故(2)正确．(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减少的，故y min ＝cos π2＝0，故(3)错误．【答案】 (1)× (2)√ (3)×教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导 阅读教材P 19～P 21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．(2)公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.2．诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导(1)π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．(2)公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 用－α代替α↓并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(2π－α)＝cos α.( ) (2)sin(2π－α)＝sin α.( )(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( )【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]正弦、余弦函数的性质求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π； (1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.【精彩点拨】 画出单位圆，借助图形求解．【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )； 第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．[再练一题]1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.【导学号：66470010】(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．【解】 (1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]． 当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．给角求值(1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3.【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解． 【自主解答】 (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－sin π3·cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝32·32·22＝34·22＝328. (2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．[再练一题]2．求下列各式的值．(1)sin 495°·cos(－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．【解】 (1)sin 495°·cos(－675°) ＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°) ＝sin 135°·cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°·cos 45°＝22×22＝12. (2)当n 为奇数时，原式＝sin 23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34；当n 为偶数时，原式＝sin 23πcos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34.给值求值已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－α. 【精彩点拨】 解答本题要注意到⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∵⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－13×13＝－19.1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．[再练一题]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．【解】 ∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.[探究共研型]三角函数式的化简探究1 【提示】 总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数． 探究2 怎样处理含有k π±α的角？【提示】 含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．化简下列各式．(1)cos2π－αsin 3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos α－3πsin －π－α；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z )．【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简． (2)对n 是奇数或偶数进行讨论．【自主解答】 (1)原式＝cos α·－sin α·－sin αsin α·－cos αsin α＝－1.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； ②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则： (1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；(2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．[再练一题] 4．化简：cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α，其中k ∈Z .【解】cos ⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3－α.①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， 原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α； ②当k ＝2n ，n ∈Z 时，原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α.综上可知，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，k 为奇数.[构建·体系]1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α【解析】 由诱导公式知D 正确．【答案】 D2．cos 2π3的值是( ) 【导学号：66470011】A ．－32 B ．32 C.12 D ．－12【解析】 cos 2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 D3．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为_______． 【解析】 在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2 4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. 【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12. 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 【答案】 125．计算：sin π4·cos 19π6·sin 21π4. 【解】 原式＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π ＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4 ＝sin π4·⎝⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π42 2·⎝⎛⎭⎪⎫－32·⎝⎛⎭⎪⎫－22＝＝3 4 .我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修4
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4、4 单位圆的对称性与诱导公式( 一)内容要求 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质,并能初步运用性质解决相关问题( 重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.3.理解诱导公式的推导过程( 重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题( 难点)、知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x定义域R值域[－1,1] 周期2π在[0,2π]上的单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是增加的；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的在[π,2π]上是增加的；在[0,π]上是减少的( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R.( √)( 2)函数y＝sin x在[0,π]上是单调减函数、( ×)( 3)函数y＝cos x在[0,π]上的值域是[0,1]、( ×)( 4)函数y＝sin x的最大值为1,最小值为－1.( √)知识点2 2kπ±α,－α,π±α( k∈Z)的诱导公式对任意角α,有下列关系式成立：sin( 2kπ＋α)＝sin α,cos( 2kπ＋α)＝cos α.( 1.8)sin( －α)＝－sin α,cos( －α)＝cos α.( 1.9)sin( 2π－α)＝－sin α,cos( 2π－α)＝cos α.( 1.10)sin( π－α)＝sin α,cos( π－α)＝－cos α.( 1.11)sin( π＋α)＝－sin α,cos( π＋α)＝－cos α.( 1.12)这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”、其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号、【预习评价】1、视α为锐角,则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.角2kπ＋π－π＋－α2π－αααα所在象限一二三四四2.设α为任意角,则2k π＋α,π＋α,－α,2k π－α,π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.相关角 终边之间的对称关系2k π＋α与α终边相同 π＋α与α 关于原点对称 －α与α 关于x 轴对称 2π－α与α 关于x 轴对称 π－α与α关于y 轴对称题型一 正弦函数、余弦函数的定义域问题 【例1】 求下列函数的定义域： ( 1)y ＝4－cos x ； ( 2)y ＝2sin x ＋1.解 ( 1)由y ＝4－cos x 知定义域为R .( 2)由题意知2sin x ＋1≥0,即sin x ≥－12在一周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2内满足上述条件的角为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6,由此可以得到函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋7π6( k ∈Z )、规律方法 利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间,正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提,要树立定义域优先的意识、求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式、 【训练1】 ( 1)函数y ＝12＋cos x 的定义域为________、( 2)函数y ＝ln sin x 的定义域为________、 详细解析 ( 1)由2＋cos x ≠0知cos x ≠－2, 又由cos x ∈[－1,1],故定义域为R .( 2)由题意知sin x ＞0.又y ＝sin x 在[0,2π]内sin x ＞0满足0＜x ＜π,∴定义域为( 2k π,2k π＋π)( k ∈Z )、答案 ( 1)R ( 2)( 2k π,2k π＋π)( k ∈Z ) 题型二 正弦函数、余弦函数的值域问题 【例2】 求下列函数的值域：( 1)y ＝( sin x －2)2＋1；( 2)y ＝m sin x ＋n ( m ≠0)、 解 ( 1)设t ＝sin x ,则有y ＝( t －2)2＋1,t ∈[－1,1], ∴当t ＝－1时 ,y ＝( t －2)2＋1取得最大值10； 当t ＝1时,y ＝( t －2)2＋1取得最小值2, ∴y ＝( sin x －2)2＋1的值域为[2,10]、 ( 2)∵sin x ∈[－1,1],且m ≠0,∴当m ＞0时,y ＝m sin x ＋n 的值域是[n －m ,n ＋m ]； 当m ＜0时,y ＝m sin x ＋n 的值域是[n ＋m ,n －m ]、综上可知,函数y ＝m sin x ＋n ( m ≠0)的值域是[n －|m |,n ＋|m |]、规律方法 求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用、【训练2】 求y ＝13cos x ,x ∈[π2,3π4]的最大值、解 结合单位圆知y ＝13cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0.故最大值为0,即y max ＝13cosπ2＝0.方向1 给角求值问题【例3－1】 求下列三角函数的值：( 1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π；( 2)cos 960°.解 ( 1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π＝－sin 194π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋34π ＝－sin 34π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－sin π4＝－22.( 2)cos 960°＝cos( 240°＋2×360°)＝cos 240° ＝cos( 180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.方向2 给值求值问题【例3－2】 已知sin( α－75°)＝－223,求sin( 105°＋α)的值、解 sin( 105°＋α)＝sin[180°＋( α－75°)] ＝－sin( α－75°)＝223.方向3 化简问题 【例3－3】 化简1＋2sin 290°cos 430°s in 250°＋cos 790°( 注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立). 解 原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法 1.解决条件求值问题的策略( 1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系、( 2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化、 2、化简三角函数式的策略( 1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数( 或角度数)的绝对值尽量小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值、( 2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱导公式变角.课堂达标1、sin 585°的值为( ) A 、－22 B.22 C 、－32D.32详细解析 sin 585°＝sin( 360°＋225°)＝sin( 180°＋45°) ＝－sin 45°＝－22. 答案 A2、若sin x ＝2m ＋3,且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6,则m 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，－54D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，12详细解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6,∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12,即－12≤2m ＋3≤12.∴－74≤m ≤－54.答案 C3、在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13,则sin β＝________、详细解析 α与β的终边关于y 轴对称,则α＋β＝π＋2k π,k ∈Z ,∴β＝π－α＋2k π,k ∈Z .∴sin β＝sin( π－α＋2k π)＝sin α＝13.答案 134、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝________.详细解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33.答案 －335、化简：cos 180°＋αsin α＋360°sin －α－180°cos －180°－α.解 原式＝－cos αsin α[－sin α＋180°]cos 180°＋α＝sin αcos αsin α＋180°cos 180°＋α ＝sin αcos α－sin α－cos α＝1.课堂小结1、求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用,同时注意周期性在求解时的作用、2、明确各诱导公式的作用( 1)将角转化为0～2π之间的角求值；( 2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；( 3)将负角转化为正角求值、 3、诱导公式的记忆诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”、其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号,α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角.基础过关1、cos 660°的值为( ) A 、－12B.12 C 、－32D.32详细解析 cos 660°＝cos( 360°＋300°)＝cos 300° ＝cos( 180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos( 180°－60°) ＝cos 60°＝12.答案 B2、若sin( θ＋π)<0,cos( θ－π)>0,则θ在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限D 、第四象限详细解析 ∵sin( θ＋π)＝－sin θ<0,∴sin θ>0.∵cos( θ－π)＝cos( π－θ)＝－cos θ>0,∴cos θ<0,∴θ为第二象限角、 答案 B 3、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝32,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B 、－12C.32D 、－32详细解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝－32.答案 D4、函数y ＝2－sin x 的最小正周期为________、详细解析 因为2－sin( 2π＋x )＝2－sin x ,所以y ＝2－sin x 的最小正周期为2π. 答案 2π5、f ( x )＝a sin( πx ＋α)＋b cos( πx ＋β)＋2,其中a 、b 、α、β为非零常数、若f ( 2 016)＝1,则f ( 2 017)＝________.详细解析 ∵f ( 2 016)＝a sin( 2 016π＋α)＋b cos( 2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1,∴a sin α＋b cos β＝－1.f ( 2 017)＝a sin( 2 017π＋α)＋b cos( 2 017π＋β)＋2＝－( a sin α＋b cos β)＋2＝－( －1)＋2＝3. 答案 36、化简下列各式、 ( 1)sin( －193π)cos 76π；( 2)sin( －960°)cos 1 470°－cos( －240°)sin ( －210°)、 解 ( 1)sin( －193π)cos 76π＝－sin( 6π＋π3)cos( π＋π6)＝sin π3cos π6＝34.( 2)sin( －960°)cos 1 470°－cos 240°sin ( －210°) ＝－sin( 180°＋60°＋2×360°)cos ( 30°＋4×360°) ＋cos( 180°＋60°)sin ( 180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝1.7、( 1)已知函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是0,最小值是－4,求a 、b 的值； ( 2)求y ＝－2sin x ,x ∈[－16π,34π]的最大值与最小值、解 ( 1)当a ＞0时,⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，当a ＜0时,⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a ＝2,b ＝－2或a ＝b ＝－2. ( 2)当x ＝－π6时,y max ＝1,当x ＝π2时,y min ＝－2.能力提升8、若cos( π＋α)＝－12,32π<α<2π,则sin( 2π＋α)等于( )A.12 B 、±32C.32D.－32详细解析 由cos( π＋α)＝－12,得cos α＝12,∵32π＜α＜2π,∴α＝53π. 故sin( 2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32 ( α为第四象限角)、答案 D9、在△ABC 中,给出下列四个式子：①sin( A ＋B )＋sin C ；②cos( A ＋B )＋cos C ；③sin( 2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos( 2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( ) A 、①③ B 、②③ C 、①④D 、②④详细解析 ①sin( A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos( A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin( 2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2( A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2( π－C )]＋sin 2C＝sin( 2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos( 2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2( A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2( π－C )]＋cos 2C＝cos( 2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B. 答案 B10、下列三角函数,其中n ∈Z ,则函数值与sin π3的值相同的是________( 只填序号)、①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3.详细解析 对于①,当n ＝2m 时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3,∴①不同；对于②,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3,∴②,③相同；对于④,cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6＝cos 5π6＝－sin π3.∴④不同； 对于⑤,sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝sin π3,∴⑤相同、 答案 ②③⑤11、已知f ( x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πxx ＜0，f x －1－1x ＞0，则f ( －116)＋f ( 116)＝________.详细解析 f ( －116)＝sin( －116π)＝sin π6＝12,f ( 116)＝f ( 56)－1＝f ( －16)－2＝sin( －π6)－2＝－52,∴f ( －116)＋f ( 116)＝12－52＝－2.答案 －212、化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α( k ∈Z )、解 当k ＝2n ( n ∈Z )时,原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －αcos －π－αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1；当k ＝2n ＋1( n ∈Z )时,原式＝sin[2n ＋1π－α]cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－αcos αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1. 综上,原式＝－1.13、( 选做题)若π3≤x ≤3π4,求函数y ＝sin 2x －sin x ＋1的最大值和最小值、解 令t ＝sin x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4,结合单位圆知t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1,∴y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1, 又t ＝12∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1,∴当t ＝22时,y min ＝12－22＋1＝3－22； 当t ＝1时,y max ＝1.。
2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对
4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一 条件求值【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式化简和证明【例2】 求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明 左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边， 所以原式得证．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】 设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】 若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解 原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝ －31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案 －135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 －125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析 原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案 －110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案 －111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析 利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时， 原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式11 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
高中数学 第一章 三角函数 1_4_3 单位圆的对称性与诱导公式(1)学案(无答案)北师大版必修4
1.4.3 单位圆的对称性与诱导公式 1班级姓名组号【学习目标】1、感受数学探索的成功感，提高学习数学的兴趣；2、经历诱导公式的探索过程，感悟由未知到已知、复杂到简单的数学转化思想。
3、能借助单位圆的对称性理解记忆诱导公式，能用诱导公式进行简单应用。
【学习重点】三角函数的诱导公式的理解与应用【学习难点】诱导公式的推导及灵活运用【学习过程】一、预习自学（一）温故知新（1）单位圆中任意角α的正弦、余弦的定义：在平面直角坐标系单位圆中，若角α的终边与单位圆交于P（U,V），则U= ,V= ;（2）对称性：已知点P(x,y)，那么，点P关于x轴、y轴、原点对称的点坐标分别是（二）学习新知阅读书第19页——20页内容，通过对－α、π－α、π＋α、2π－α、α的终边与单位圆的交点的对称性规律的探究，结合单位圆中任意角的正弦、余弦的定义，从中自我发现归纳出三角函数的诱导公式，并写出下列关系：(1)-α与α的正弦函数、余弦函数关系±的正弦函数、余弦函数关系(2)角α与角απ(3)角α与角-πα的正弦函数、余弦函数关系(4)角α与角2-πα的正弦函数、余弦函数关系- 2 - 二、合作探究探究1、求下列函数值，思考你用到了哪些三角函数诱导公式？试总结一下求任意角的三角函数值的过程与方法。
（1）7sin()4π-（2）2cos 3π (3)sin(－1650 )；探究2: 化简：)sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+探究3、书20页练习1第2（2）三、学习小结（1）你本节课学了的哪些知识内容？涉及到什么数学思想方法？（2）你能说说化任意角的正（余）弦函数为锐角正（余）弦函数的一般思路吗？（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？【达标检测】1、在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点Ｐ（-513，1213）, 则sin(－α)= ;cos(α±π)= ;cos(π－α)=2.求下列函数值:（1）sin （31-6π）= ； (2) cos210º= 3、若cos α=-1/2,则α的集合S=。
2018_2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修42
4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与终边相同απ＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.答案它们交点间对称关系如表：1相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与重合απ＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cosα.梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.1.sin(α－π)＝sin α.(×)提示sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.4 12.cos π＝－.(√)3 24πππ 1 提示cos ＝cos ＝－cos ＝－.3 (π＋3)3 23.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.(×)提示在角度制和弧度制下，公式都成立.类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值.211π43π(1)cos 210°；(2)sin；(3)sin ；(4)cos(－1 920°).4(－ 6 )考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题3 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－ .2 11π3π3πππ2 (2)sin 4 ＝sin (2π＋ 4 )＝sin 4 ＝sin (π－ 4)＝sin＝ .4 2 43π7π7ππ π 1(3)sin(－ 6 )＝－sin (6π＋ 6 )＝－sin 6 ＝－sin (π＋ 6)＝sin＝ .6 2 (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) 1 ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－ .2反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式 1.9来转化.(2)“大化小”：用公式 1.8角化为 0°到 360°间的角.(3)“角化锐”：用公式 1.10或 1.11将大于 90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练 1 求下列各三角函数式的值.31π(1)sin 1 320°； (2)cos(－ 6 ).考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°) 3 ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－ .2方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 360°＝－ .231π31π7ππ π3(2)方法一 cos(－ 6 )＝cos 6 ＝cos (4π＋ 6 )＝cos (π＋ 6)＝－cos＝－ .6231π5πππ3 方法二cos(－ 6 )＝cos (－6π＋ 6 )＝cos (π－ 6)＝－cos＝－ .62类型二 给值(式)求值问题例 2 (1)已知 sin(π＋α)＝－0.3，则 sin(2π－α)＝.π25π(2)已知cos( －α)＝2，则cos( ＋α)＝.6 6考点利用诱导公式求值3题点给值(式)求值问题答案(1)－0.3(2)－2 2解析(1)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，∴sinα＝0.3，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.5πππ 2(2)cos( ＋α)＝cos[π－( －α)]＝－cos( －α)＝－.6 6 6 2反思与感悟解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.1跟踪训练2(2017·大同检测)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为3()1 1A.1B.－1C.D.－3 3考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案 D解析由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，1sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.3类型三利用诱导公式化简sin－2π－αcos6π－α例3化简：.cosα－πsin5π－α考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简sin－αcos－α－sin αcos α解原式＝＝＝1.cosπ－αsinπ－α－cos αsin α引申探究sin nπ－αcos nπ－α若本例改为：(n∈Z)，请化简.cos[α－n＋1π]·sin[n＋1π－α]解当n＝2k时，－sin α·cosα原式＝＝1；－cos α·sinα当n＝2k＋1时，sin α·－cos α原式＝＝1.综上，原式＝1.cos α·－sin α反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要4求出值.cos π＋α·sin 2π＋α跟踪训练 3 化简：.sin －α－π·cos －π－α考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简－cos α·sin α cos α·sin α 解 原式＝ ＝ ＝1.－sin π＋α·cos π＋αsin α·cos α1.sin 585°的值为( ) 2 A.－ B.2 2 23 C.－D. 23 2考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题答案 A2 解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－ .216π16π2.cos(－ 3 )＋sin (－ 3 )的值为( )1＋ 3 1－ 3 A.－ B.22 3－1 C.D. 23＋1 2考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题答案 C16π 16π 4π 4π π π 3－1 解析 原式＝cos －sin ＝cos －sin ＝－cos ＋sin ＝ . 3 3 3 3 3 3 2 3.如果 α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( ) A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β C.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 B54.sin 750°＝.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题1答案2解析∵sinθ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，1∴sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝.2cos180°＋αsinα＋360°5.化简：.sin－α－180°cos－180°－α考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简－cos α·sinα解原式＝[－sinα＋180°]·cos180°＋αsin αcos αsin αcos α＝＝＝1.sinα＋180°cos180°＋α－sin α·－cos α1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1.8 将角转化为0～2π之间的角求值公式1.12 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式1.9 将负角转化为正角求值π公式1.11 将角转化为0～之间的角求值22.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、选择题1.cos 600°的值为()63 1 3 1A. B. C.－ D.－2 2 2 2考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案 D1 解析cos 600°＝c os(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.22.sin(－390°)的值为()3 3 1 1A. B.－ C. D.－2 2 2 2考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案 D1解析sin(－390°)＝sin(－360°－30°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.2π3.下列三角函数中，与sin 数值相同的是()34ππππ①sin(nπ＋3 )；②cos(2nπ＋6)；③sin(2nπ＋3)；④cos[2n＋1π－6]；⑤sinπ[2n＋1π－3](n∈Z).A.①②B.①③④C.②③⑤D.①③⑤考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案 C4.sin(π－2)－cos(4π－2)化简的结果为()A.sin 2－cos 2B.－1C.2sin 2D.－2sin 2考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案 A解析原式＝sin 2－cos 2，所以选A.5.设f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z).若f(2 009)＝5，则f(2 015)等于()7A.4B.3C.－5D.5 考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 D解析 ∵f (2 009)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5， ∴f (2 015)＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5.π35π6.已知 sin (α－ 4)＝ 2，则 sin (－α)的值为()41 1 3 A. B.－ C. D.－2 2 23 2 考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 C5ππ π 3 解析sin(－α)＝sin [π－(α－ 4)]＝sin (α－ 4)＝.42二、填空题cos －585°7. ＝ .sin 495°＋sin －570° 考点 利用诱导公式求值 题点 利用诱导公式求值 答案 2－2cos 360°＋225°cos 225°解析 原式＝ ＝sin 360°＋135°－sin 210°＋360°sin 135°－sin 210°2－cos 180°＋45°－cos 45°2＝ ＝＝ ＝ 2－2. sin 180°－45°－sin 180°＋30° sin 45°＋sin 30°21 ＋2 2 11118.已知 f (x )＝Error!则 f (－ 6 )＋f (6 )＝.考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 －21111 π 1解析f (－ 6 )＝sin(－ π)＝sin＝ ，66 2 11 51π5f (6)＝f (6 )－1＝f (－6 )－2＝sin (－ 6 )－2＝－ ，211111 5 ∴f (－ 6 )＋f(6 )＝ － ＝－2.2 2839.已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝.5考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题1答案53解析∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，53∴cosα＝.53π 又∵π<α<2π，∴<α<2π，24∴sinα＝－.5∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)4 3 1＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－(－＋＝.5)5 5310.已知sin(π＋α)＝，则cos(α－2π)的值是.5考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题4答案±53 3 4解析由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，所以cos α＝±，5 5 54所以cos(α－2π)＝cos α＝± .519 711.①sin(－π)cos π＝；3 6②sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)＝.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简3 答案①②1419 7 ππππ 3解析(1)sin (－π)cos 6π＝－sin(6π＋3)cos(π＋6)＝sin cos ＝.3 3 6 4(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋930°)＝sin 60°cos30°＋cos 60°sin30°＝1.三、解答题π5π12.已知cos( －α)＝m(|m|≤1)，求cos( ＋α)的值.6 6考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题5πππ( ＋α)＝cos[π－( －α)]＝－cos( －α)＝－m.解cos6 6 613.已知角α终边上一点P(－4，3)，sin3π＋αsin－π－α求的值.sin－α＋2πcos－α－4π考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值解点P到原点O的距离|OP|＝－42＋32＝5.3 4根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－，5 5sin3π＋αsin－π－αsinπ＋α[－sinπ＋α]－sin αsin αsin α 3 ＝＝＝＝sin－α＋2πcos－α－4πsin－αcos－α－sin αcos αcos α 55 3×(－4 )＝－.4四、探究与拓展14.在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(A＋B)＋cos C；③sin(2A＋2B)＋sin 2C；④cos(2A＋2B)＋cos 2C.其中为常数的是()A.①③B.②③C.①④D.②④答案 B解析①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C＝cos[2(π－C)]＋cos 2C＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.10故选 B.sin π＋αcos 2π－αcos －α15.已知 f (α)＝ .cos －π－αsin －π－α(1)化简 f (α)；31π (2)若 α＝－ ，求 f (α)的值.3 考点 诱导公式与函数的综合 题点 诱导公式与函数的综合－sin αcos αcos α 解 (1)f (α)＝ ＝cos α. －cos αsin α 31π 5π (2)∵－ ＝－6×2π＋ ， 3 331π5π5ππ 1 ∴f (－ 3)＝cos (－6 × 2π＋ 3 )＝cos＝cos ＝ .33 211。
2018_2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4
单位圆的对称性与诱导公式(二)内容要求.掌握诱导公式～的推导(重点).能应用公式～解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点±α的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：(＋α)＝α，(＋α)＝－α.()(－α)＝α，(－α)＝α.()诱导公式～的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．(π－α)＝－α，(π－α)＝－α.(π＋α)＝－α，(π＋α)＝α.知识点诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．()函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角π＋α(∈)，－α，π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．()函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角＋α，－α(为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．【预习评价】()(α－)＝.()(α＋)＝.()(π－α)＝.()(π＋α)＝.答案() α() α()－α() α题型一条件求值【例】已知＝，≤α≤，求的值．解∵α＋＝＋，∴(α＋)＝＝＝.规律方法利用诱导公式和诱导公式求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．【训练】已知＝，求的值．解∵＝＝＝＝.题型二利用诱导公式化简和证明【例】求证：错误!＋＝.证明左边＝θθ－θ－)＋θ,－θθ＋θ)＝θ)＋θ)＝θ＋＋θ,＋θ－θ)＝＝右边，所以原式得证．规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：()从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．()左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．()凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练】设(α＋)＝(α＋)，求证：＝.证明∵(α＋)＝(α＋)．∴左边＝＝＝＝＝右边．∴原等式得证．【例】已知(α－π)＝(α－π)，求的值．解由(α－π)＝(α－π) 得(α－π)＝α，即α＝－α.∴错误!＝α＋α,－α＋α)。
高中数学北师大版必修4 1.4 教学课件 《单位圆的对称性与诱导公式》(数学北师大高中必修4)
间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和 规律吗？ 提示：-α， α± π ，π－α的三角函数值，等于α的 同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
诱导公式作用：转化为 0°～90°的角
北京师范大学出版社 高一 | 必修4
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第一章 · 三角函数
4.4 单位圆的对称性 与诱导公式
新课导入
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在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数的 定义，以及终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+α)
＝sinα (k∈Z )，通过这个公式能把任意角的正弦函数值转
例1 求下列各角的三角函数值：
(1)sin( 7). (2) cos 2 . (3) cos( 31).
4
3
6
解：(1)sin( 7) sin 7 sin(2 )
4
4
4
( sin
) 4
sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
4
2. 2
(2) cos
2 3
cos(
) 3
sin( ) sin ,cos( ) cos （1.12）
sin( ) cos ,cos( ) sin （1.13）
2
2
sin( ) cos ,cos( ) sin
2
2
（1.14）
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角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
2018版高中数学北师大版必修四学案：第一章4.4单位圆的对称性与诱导公式(二)
4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）【学习目标】1•掌握诱导公式1.13〜1.14的推导，并能应用它解决简单的求值、化简与证明问题2对诱导公式1.8〜1.14能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力3继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.IT问题导学--------------------------n知识点一 2 士a的诱导公式n思考1角a与才+ a的正弦函数、余弦函数有何关系?a得出2—a的正弦、余弦与角思考2能否利用公式sin( a+ n)= cos a, cos(a+》=—sin的正弦、余弦的关系?梳理对任意角a,有下列关系式成立：si门(2'^_a)= cos a, 。
0$(扌+ a) = - sin a(1.13)n nsin(2 — a= cos a, cos(2 — a) = sin a(1.14)n na的正（余）弦函数值，等于a的三角函数值, 诱导公式1.13〜1.14的记忆：2—a, 2 +前面加上一个把a看成，记忆口诀为“知识点二诱导公式的记忆方法2公式才+ aCOs a —sin a1. a+ 2k n K € Z )，— a, n ±的二角函数值，等于角 a 的同名二角函数值，前面加上一个把 a看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.n n 2.2±a 的正弦、余弦函数值，函数名改变，把a 看作锐角，符号看㊁土a 的函数值符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”.n诱导公式可以统一概括为“ k2±a k € Z )”的诱导公式•当k 为偶数时，函数名不改变；当 k 为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把 a 视为锐角时原函数值的符号•记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.题型探究类型一利用诱导公式求值例1 (1)已知COS (卄a = — 2 , a 为第一象限角，求 COS 才+ a 的值;—a 的值.反思与感悟 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：女口 扌一a 与a,扌+ a 与a,才一a 与：+ a 等互余，扌+ B 与29,才 3 n+ 9与［—9等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1已知sina二宁，求cos a 的值.类型二利用诱导公式化简(2)已知 COS a = 1，求 COScos k n+ 2- a sin k n—才-a 例2化简：—一—一，其中k€乙sin[ k+ 1 n+ a cos k n+ a2反思与感悟 用诱导公式进行化简时， 若遇到k n ±的形式，需对k 进行分类讨论，然后再运 用诱导公式进行化简.化简 sin( — 2 n ~ a yos(6 n ~ a ) 化间： 3 厂.Sin a+ 2 n cos a+ §n反思与感悟 本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将 三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 3nsin( n — a cos 2 n — api n( — a+1J 已知 f( -------------------- ；—； -------------------- .(i)化简 f( a ；1⑵若cos( a — n> 5,求f (a 的值.当堂训练1.已知 sin (a —3，则 cos ”+ n 的值为()跟踪训练2类型三诱导公式的综合应用例3 已知f(x) =(1)化简 f(x)；⑵若x 是第三象限角，且cos x -|n= 5,求f(x)的值; (3)求 f -31n .cos 3 n — x sin n — x in — n+ xsinj + x跟踪训练3sin 才+ a sin — n — a •— x 3 sin n — x cos n+ x cos 2 n+ xC 並C. 34 .已知 sin n — x=3，贝y cos x +n15 .已知 sin( n+a = — 3.计算: (1)cos a —3n； (2)sin n+ a .p-规律与方法■ -----------------------------------n1.学习了本节知识后， 连同前面的诱导公式可以统一概括为“k • ±a（k € Z ）”的诱导公式. k 为偶数时，得 a 的同名函数值；当 k 为奇数时，得 a 的异名函数值，然后前面加一个把 看成锐角时原函数值的符号.2 •诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系， 并具有一定的规律性，变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法. 3 .诱导公式是三角变换的基本公式，其中角 a 可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.1 C.32 .若 cos(2 n a)^_35，贝卩a 等于（ ）.右 cos$=于，贝y cos 3n —sin （（））- n 的值为（D. .3D . ±T“思考2以一a 代换公式中的a 得到 sin (2— a )= cos(— a = cos a,n . .cos (2 — a = — sin( — a) = sin a题型探究 例1 解⑴T cos （卄a=—cos a=—7t 2，答案精析问题导学 知识点一 思考1 sin a+ n = cos a, CO S—sin • •• cos a= 1.又a 为第一象限角,跟踪训练1解••：+%+「a6 3梳理 余（正）弦 锐角时原函数值的符号函数名改变，符号看象限=sin例2解 当k 为偶数时，设k = 2m(m € Z )，则原式 cos 2m n+ 2— a sin 2m n —扌sin[ 2m + 1 n+ a]cos 2m n+ a Sin n+ a cos a —sin (xcos a=1.—sin (xcos a当k 为奇数时，设 k = 2m + 1(m € Z ). 仿上化简得：原式=1.故原式=1.—sin a cos as __石__、 —sin 2 — a cos2 — a—sin a cos a=1.—cos a sin asin x — cos x例 3 解(1)f(x) =cos n — x sin x[ — sin n — x ]sin n nsin x — cos x [ — cos ?+ x ][ — cos — x ]—cos xsin x — sin x cos xsin x cos xf n 、•••cos3—a= cosn6+a7t 跟踪训练2 解原式=zsin 2 n —sin — a C OS — a—sin a cosn+ Xcos 扌-acos 2 n —sincos兀g+ x *os [3 n+2cos a= 1 — si n 21a= 1 —8 9.■ f (x ) =COs^=需.1⑵因为 cos( a — n = 5,当堂训练1=—sin a=— 3.(2)sin 2 十 a = cos a,sin x ,T x 是第三象限角， …cos x = —-sin 2x 一 攀5sin —乎 n — si n10n+ 扌COS( —31n ) COS(10 n+nn —sin3ncos33.跟踪训练3sin a C OS a •— cos解(1)f ( a =COs a Sin aa—=—cos a. 所以 f( a) = — cos1 a= 5.2.A3.D 34・5 ■/ sin( n1a =—3,• sin1 a=3'(1)cos 3na —2 = cos T T — a ⑶f1sin a= 3，二a 为第一或第二象限角.3①当a 为第一象限角时，②当a 为第二象限角时，1所以cos a=- £,sincos a 一 ¥•3 sin '+cos a2 点3。
2017_2018版高中数学第一章三角函数章末温习课学案北师大版必修4
反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的阻碍．
跟踪训练3 已知函数y＝asin(2x＋ )＋b在x∈[0， ]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
命题角度2 可化为sinx或cosx的二次函数型
2．诱导公式
六组诱导公式能够统一归纳为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．经历口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
定义域
R
跟踪训练6 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．假设f(x)在区间[ ， ]上具有单调性，且f( )＝f( )＝－f( )，那么f(x)的最小正周期为________．
1．假设一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝ ，那么a的值为( )
A．4 B．±4
因此 解得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．
1．任意角三角函数的概念
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫作α的________，记作________，即________；
(2)x叫作α的________，记作________，即________；
(3) 叫作α的________，记作________，即____________________．
第一章 三角函数
学习目标 1.明白得任意角的三角函数的概念.2.把握三角函数诱导公式.3.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像.4.明白得三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，把握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换．
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4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
知识点 2k π±α，－α，π±α的诱导公式
思考1 设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？
思考2 2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．
梳理 对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2k π＋α)＝sin α， cos(2k π＋α)＝cos α (1.8) sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α
(1.9) sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α (1.10) sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α
(1.11) sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α (1.12)
公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．
这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．
类型一 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°；(2)sin 11π4
；
(3)sin(－43π
6
)；(4)cos(－1 920°)．
反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值．
(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
31π6.
类型二 给值(式)求值问题
例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π
6
＋α)＝________.
反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝________.
类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式．
(1)sin －2π－α cos 6π－α
cos α－π sin 5π－α ；
(2)1＋2sin 290°cos 430°
sin 250°＋cos 790°
.
引申探究
若本例(1)改为：sin n π－α cos n π－α
cos[α－ n ＋1 π]²sin[ n ＋1 π－α](n ∈Z )，请化简．
反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的
要求出值．
跟踪训练3 化简：cos π＋α ²sin 2π＋α
sin －α－π ²cos －π－α
.
1．sin 585°的值为( ) A ．－
22 B.22 C ．－32 D.32
2．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )
A ．－1＋3
2
B.1－3
2 C.
3－1
2
D.3＋1
2
3．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( ) A ．cos α＝cos β B ．cos α＝－cos β C ．sin α＝－sin β D ．sin α＝cos β
4．sin 750°＝________.
5．化简：cos 180°＋α sin α＋360°
sin －α－180° cos －180°－α .
1．明确各诱导公式的作用
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只
是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
答案精析
问题导学 知识点
思考1 它们的对应关系如表：
思考2 它们交点间对称关系如表：
设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P 和P ′，因为P 和P ′关于x 轴对称，所以点
P 和P ′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－
α)＝cos α.
梳理 函数名不变，符号看象限 一致 锐角 题型探究
例1 解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－
3
2
. (2)sin 11π4＝sin(2π＋3π4)
＝sin 3π4＝sin(π－π
4
)
＝sin π4＝22
.
(3)sin(－43π6)＝－sin(6π＋7π6)
＝－sin 7π6＝－sin(π＋π
6)
＝sin π6＝1
2
.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5³360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°) ＝－cos 60°＝－1
2
.
跟踪训练1 解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3³360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°) ＝－sin 60°＝－
32
. 方法二 sin 1 320°＝sin(4³360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－
32
. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
31π6＝cos 31π6
＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫4π＋7π6
＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－3
2
.
方法二 cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－31π6
＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 例2 (1)－0.3 (2)－
22
跟踪训练2 －
3
3
例3 解 (1)原式＝sin －α cos －α
cos π－α sin π－α
＝
－sin α cos α
－cos α sin α
＝1.
(2)原式 ＝1＋2sin 360°－70° cos 360°＋70°
sin 180°＋70° ＋cos 720°＋70°
＝1－2sin 70°cos 70°
－sin 70°＋cos 70°
＝|cos 70°－sin 70°|
co s 70°－sin 70°
＝
sin 70°－cos 70°
cos 70°－sin 70°
＝－1.
引申探究 解 当n ＝2k 时，
原式＝ －sin α ²cos α－cos α²sin α＝1；
当n ＝2k ＋1时，
原式＝sin α² －cos α cos α² －sin α ＝1.
综上，原式＝1. 跟踪训练3 解 原式 ＝－cos α²sin α
－sin π＋α ²cos π＋α
＝
cos α²sin α
sin α²cos α
＝1.
当堂训练
1．A 2.C 3.B 4.1
2
5．解 原式＝ －cos α ²sin α
[－sin α＋180° ]²cos 180°＋α
＝sin αcos α
sin α＋180° cos 180°＋α
＝
sin αcos α
－sin α ² －cos α
＝1.。