专题限时集训3 细节理解之数字确定、事件排序
事件排序的常用解题方法
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完全免费、题目质量高、高手考友等你结识！事件排序题目都不是很难，而且有很多题目都可以运用一些方法直接找到答案。
具体来说，事件排序主要运用的方法有直排法，代入法，首尾法和排除法。
其实这些方法可以联合运用，最终的目的是要把事件排好序即可，还有就是很多考生只是对其中的一个方法比较熟悉，其实也没有关系，只要达到目的就行。
一、直排法所谓直排法，就是不看选项，只看题目的五个事件进行直接排列顺序，排完之后再去查看选项，看哪一项符合所排的顺序，进而选出正确答案。
直排法应用的方法就是挖掘时间之间的逻辑顺序，是最为原始的解题思路和方法。
因为事件排序的核心问题是事件发展的逻辑顺序，这种逻辑顺序可能是顺承关系（按时间或事情脉络发展）、因果关系、充分关系、必要关系等。
但在一个事件中往往会包含多种关系，进行直接排列时考生应该多方考虑。
二、代入法代入法排序恰好是与直接排序法相反的一个过程，直接排序是不看选项直接对事件进行排列，代入法则是依照选项的顺序依次查看题干的五个事件，最为合理的即为正确的顺序。
代入法费时较多，主要针对逻辑关系比较复杂、难以理清楚头绪的事件。
三、首尾法首尾排序法针对的是这样一类题目，这类题目描述的事件的起因和结果非常确定，根据这一特点也可以很快的达到目的。
能够应用首尾排序法的题目往往具备这样的特点，即查看选项每个选项的首尾事件都是不一样的，在这种类型的题目里，首尾法是最能快速准确得出答案的方法。
但在运用时应该注意，当确定事件的起点和终点后，一定要将得出的选项进行验证，以免一时疏忽出现错误。
首尾法的运用技巧是看选项最前面的和最后面的项是哪个，然后回到事件中进行排序。
按规矩排序教案
按规矩排序教案一、教学目标1、让学生理解排序的概念，知道什么是按规矩排序。
2、帮助学生掌握常见的排序方法，如从小到大、从大到小、颜色顺序、形状顺序等。
3、培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
4、让学生在排序活动中体验到成功的喜悦，增强自信心。
二、教学重难点1、教学重点（1）理解按规矩排序的含义。
（2）掌握常见的排序方法，并能正确地进行排序操作。
2、教学难点（1）发现排序的规律，并能根据规律进行正确排序。
（2）在多种排序方法中，能够灵活运用，解决实际问题。
三、教学方法1、讲授法：讲解排序的概念和方法，让学生有初步的了解。
2、演示法：通过展示实物或图片，让学生更直观地感受排序的过程和规律。
3、操作法：让学生亲自动手操作，在实践中掌握排序的技巧。
4、讨论法：组织学生讨论，引导他们思考和交流，培养合作学习的能力。
四、教学准备1、各种颜色、形状、大小不同的物体，如彩色珠子、积木、卡片等。
2、展示板、胶水、记号笔等。
五、教学过程1、导入（3 分钟）通过展示一组杂乱无章的物品图片，如一堆乱放的玩具、一堆没有整理的书籍等，问学生这样看起来怎么样？引导学生说出“很乱”。
然后再展示整理好的图片，问学生现在看起来怎么样？学生回答“整齐”。
接着提问：“那你们知道是怎么变得整齐的吗？”引出排序的概念。
2、讲授新课（12 分钟）（1）讲解排序的定义：按照一定的规则或顺序排列物品就是排序。
（2）举例说明常见的排序规则，如从小到大、从大到小、颜色、形状等。
例如，展示一组数字卡片 1、3、5、2、4，让学生观察并思考如何排序，引导他们说出从小到大的排序方法，即 1、2、3、4、5。
（1）教师在展示板上用彩色珠子进行排序演示，先按照颜色规律，如红、黄、蓝的顺序排列，然后再按照大小规律，从大到小排列。
（2）在演示过程中，边操作边讲解，让学生清楚地看到排序的步骤和方法。
4、学生操作（15 分钟）（1）将学生分成小组，每组发放一些不同颜色、形状、大小的积木或卡片。
全品高考数学考前专题限时训练含答案(基础+提升)作业手册
全品高考数学考前专题限时训练含答案(基础+提升)作业手册-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN专题限时集训(一)[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知全集U ＝{x ∈Z |1≤x ≤5}，集合A ＝{1，2，3}，∁U B ＝{1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{1，3} C ．{3} D ．{1，2，3}2．命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是( )A ．存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2B ．不存在x 0∈R ，使得x 30＞x 2C ．存在x 0∈R ，使得x 30≤x 20 D ．对任意x ∈R ，都有x 3≤x 23．若p ：(x －3)(x －4)＝0，q ：x －3＝0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合M ＝{x |x ≥x 2}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N ＝( ) A ．(0，1) B ．[0，1] C ．[0，1) D ．(0，1]5．已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，则集合A ∩B 的子集个数是________．提升训练6．已知全集I ＝{1，2，3，4，5，6}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，3，4}，则图1-1中阴影部分表示的集合为( )图1-1A ．{1，2}B ．{1，2，6}C ．{1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，6}7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －1x ＝0，x ∈R ，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．98．命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac B ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列9．已知集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)}，N ＝{x |4x ＜4}，则M ∩N 等于( ) A ．[0，＋∞) B ．[0，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，1]10．已知集合M ＝{x |x 2－3x ＝0}，集合N ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，则M ∩N ＝( ) A ．{3} B ．{0} C ．{0，3} D ．{－3}11．若a ，b 为实数，则“ab ＜1”是“0＜a ＜1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．给出如下四个判断： ①∃x 0∈R ，e x 0≤0； ②∀x ∈R ＋，2x ＞x 2；③设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2＜0，a ≥0}，则“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的必要不充分条件；④a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |＞1，则π3＜θ≤π． 其中正确判断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．413．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________________________________________________________________________．14．若集合P ＝{0，1，2}，Q ＝(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＞0，x －y －2＜0，x ，y ∈P ，则集合Q 中元素的个数是__________．15．命题“存在实数x ，使得不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．专题限时集训(二)[第2讲 平面向量与复数](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．复数5i1＋2i的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则在复平面内z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．向量a ＝(3，－4)，向量|b|＝2，若a·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π6C ．2π3D ．3π45．已知平面向量a ，b ，若|a |＝3，|a －b |＝13，a ·b ＝6，则|b |＝________，向量a ，b 夹角的大小为________．提升训练6．复数5i －2的共轭复数是( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．－2－iD ．2－i7．在复平面内，复数z ＝(1＋2i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．已知复数z 1＝(2－i)i ，复数z 2＝a ＋3i(a ∈R )．若复数z 2＝kz 1(k ∈R )，则a ＝( )A ．32B ．1C ．2D ．139．如果复数2－b i1＋2i (b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ． 2B ．23C ．－23D ．210．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA→－BC )的最大值为( )A ．8B ．9C ．12D ．15 11．已知向量a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b|＝1，则|c |的最大值为( ) A ．2 B ．4C ．5＋1D ．3＋112．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若（1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ，则a ＋b i ＝________．13．在△ABC 中，AB ＝2，D 为BC 的中点．若AD →·BC →＝－32，则AC ＝________．14．已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若DE →＝2EC →，CF →＝2FB →，则AE →·AF →的值为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a )，a ∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →|·|OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．专题限时集训(三)[第3讲 不等式与线性规划](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋1)＞0}，则A ∩B ＝ ( ) A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．已知全集U ＝R ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则集合M ，N 的关系用图示法可以表示为( )图3-13．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝x －2y 的最大值为( )A ．32 B ．1C ．－12D ．－24．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立的是( )A ．1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 25．若x ＞0，y ＞0，则x ＋yx ＋y的最小值为( )A ． 2B ．1C ．22D ．12提升训练6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x |2x ＋1＞1}，则∁B A ＝( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)7．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{y |y ＝2x ＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．[1，2) C ．[1，5] D ．(2，5]8．已知向量a ＝(m ，1－n )，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0．若a ∥b ，则1m ＋1n的最小值是( )A ．2 2B ．3＋2 2C ．4 2D ．3＋ 29．已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0表示的平面区域内的动点，则(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值是( )A ．10B ．495C ．13D ．1310．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 2＋b 2＝3c 2，则cos C 的最小值为( )A ．12B ．14C ．32D ．2311．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________．12．已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为________．13．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋2y －6x －4的最大值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )的导函数为f ′(x )，且f ′(0)＝4，则a 2＋2b 2的最小值为________．15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．专题限时集训(四)[第4讲 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．给出下面类比推理的命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”，类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”，类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”，类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比正确的为( ) A ．①② B ．①④ C ．①②③ D ．②③④2．二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 展开式中的常数项是( )A ．15B ．60C ．120D ．2403．执行如图4-1所示的程序框图，其输出结果是( )A ．－54B ．12C ．54D ．－124．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位女生和任何两位男生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是( )A ．20B ．40C ．60D ．805．观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…．根据上述规律，第n 个等式为____________．提升训练6．阅读如图4-2所示的程序框图，若输入n 的值为1，则输出的S 的值为( )A ．176B ．160C ．145D ．1177．已知a n＝3n ＋2，n ∈N *，如果执行如图4-3所示的程序框图，那么输出的S 等于( )A ．18.5B ．37C ．185 D8．阅读如图4-4所示的程序框图，则输出s 的值为( )A ．12B ．32C ．－ 3D ． 39．6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为( )A ．12B ．18C ．24D ．3610．⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 的展开式中各项系数之和为A ，所有偶数项的二项式系数和为B ．若A ＋B ＝96，则展开式中含有x 2的项的系数为 ( )A ．－540B ．－180C ．540D ．18011．对任意实数x ，都有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2＝________． 12．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，且最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)13．观察下列等式：121＝1，12＋221＋2＝53，12＋22＋321＋2＋3＝73，12＋22＋32＋421＋2＋3＋4＝93，则第n 个等式为__________________．14．阅读如图4-5所示的程序框图，若输入i ＝5，则输出的k 的值为________．图4-515．有n个球(n≥2，n∈N*)，任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为S n．例如，对于4个球有如下两种分法：(4)→(1，3)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2，2)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝2×2＋1×1＋1×1＝6．于是发现S4为定值6，则S5的值为________．专题限时集训(五)A[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，（1－i ）x ，x ∉R ，则f (1＋i)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．2＋i2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12 B ．y ＝sin xC ．y ＝x 3D ．y ＝log 12x3．已知a ＝21.2，b ＝0.50.8，c ＝log 23则( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．c ＞a ＞b D ．a ＞c ＞b4．已知函数y ＝f (2x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4 x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝________． 提升训练6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x ，则f (－3)＝( )A ．18B ．－18C ．8D ．－87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x ＞0，若f (x )＞1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减，且是偶函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝－lg|x | D ．y ＝2x9．设a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 125，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a10．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1．若函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为( )A ．152B ．154C ．3D ．3411．设函数f (x )＝x 2AC 图5-112．已知函数f (x )对定义域内的任意x ，都有f (x ＋2)＋f (x )＜2f (x ＋1)，则函数f (x )可以是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝x sin x13．函数f (x )＝16－x －x 2的定义域是________．14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (m )＜f (1) 的实数m 的取值范围是________．15．设函数f (x )＝a ln x ＋b lg x ＋1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12014＝________．专题限时集训(五)B[第5讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)上单调递增的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝cos 2xC ．y ＝2x －2－x 2 D ．y ＝log 22－x2＋x3．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1 D ．－24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝( )A ．12B ．45C ．2D ．95．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．提升训练6．函数y ＝1x －sin x的大致图像是( )AC 图5-27．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f （x ），则f (2014)＝( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 38．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x ，则f (2014)＝( )A ．0B ．2010C ．－2010D ．201410．已知函数y ＝f (x )，若对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，则函数y ＝f (x )可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 3(x ＋3)C ．y ＝x 3D ．y ＝－x 2＋4x －611．若a ＞2，b ＞2，且12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b2，则log 2(a －2)＋log 2(b－2)＝( )A ．2B ．1C ．12D ．012．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1＜a ，x 2＞a ，且|x 1－a |＜|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)＞f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)＜f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)13．若x ，y ∈R ，设M ＝x 2－2xy ＋3y 2－x ＋y ，则M 的最小值为________．14．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l ，使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的“l 高调函数”．如果定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，那么实数m 的取值范围是________． 15．函数f (x )＝2sin πx 与函数g (x )＝3x －1的图像的所有交点的橫坐标之和为________．专题限时集训(六)[第6讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝2x ＋4x －3的零点所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫14，12B ．⎝⎛⎭⎫－14，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，14 D ．⎝⎛⎭⎫12，343．函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由下表知方程f (x )＝g (x )的实数解所在的区间是( )A ．(－1C ．(1，2) D ．(2，3)5．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是x ＝0和x ＝________．提升训练6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝2x －12x ＋a ，则函数f (x )的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f (x )＝4－a x ，g (x )＝4－log b x ，h (x )＝4－x c 的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫12，2，若函数f (x )，g (x )，h (x )的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝( )A ．76B ．65C ．54D ．329．若直角坐标平面内的两个不同的点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对10．若关于x 的方程⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x －kx －1＝0有五个互不相等的实根，则k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－14，14 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－18∪⎝⎛⎭⎫18，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－18，0∪⎝⎛⎭⎫0，18 11．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．12．已知定义在R 上的函数f (x )为增函数，且对任意x ∈(0，＋∞)，有f [f (x )－log 2x ]＝1恒成立，则函数f (x )的零点为________．13．已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，若函数f (x )＝2x ·g (ln x )＋1－x 2，则函数f (x )的零点个数为________．14．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R ．(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 分别有一个解、两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图6-1所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式．(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比值为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？16．如图6-2所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径r＝310 mm，滴管内液体忽略不计．(1)如果瓶内的药液恰好156 min滴完，问每分钟滴下多少滴？(2)在条件(1)下，设开始输液x min后，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13，试将h表示为x的函数．(注：1 cm3＝1000 mm3)专题限时集训(七)[第7讲 导数及其应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．22．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(2，8)C ．(2，8)或(－1，－4)D ．(1，0)或(－1，－4) 3．如图7-1所示，阴影区域是由函数y ＝cos x 的一段图像与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是( )A ．1B ．2C ．π2 D ．π4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A ．12B ．1C ．－2D ．35．曲线y ＝ln x －1在x ＝1处的切线方程为____________．提升训练6．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝( )A ．1B ．12C ．0D ．－17．函数f (x )＝x cos x ( )AC 图7-28．如图7-3所示，长方形的四个顶点为O (0，0)，A (4，0)，B (4，2)，C (0，2)，曲线y＝x 经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A ．512B ．12C ．23D ．349．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在区间[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34B ．12＜a ＜34C ．a ≥34D ．0＜a ＜1210．方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”．如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α<β<γB ．α<γ<βC ．γ<α<βD ．β<α<γ11．已知定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，且恒有f (x )＜f ′(x )·tan x成立，则( )A ．3f ⎝⎛⎭⎫π4＞2f ⎝⎛⎭⎫π3B ．f (1)＜2f ⎝⎛⎭⎫π6sin 1C ．2f ⎝⎛⎭⎫π6＞f ⎝⎛⎭⎫π4D ．3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π312．函数f (x )＝2ln x ＋x 2在点x ＝1处的切线方程是________．13．由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 14．已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝x e x ． (1)求f (x )－g (x )的极值；(2)当x ∈(－2，0)时，f (x )＋1≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝x ln x ． (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，且x 1≠x 2，证明：f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22．16．设函数f (x )＝e x －ax －2． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0恒成立，求k 的最大值．专题限时集训(八)[第8讲 三角函数的图像与性质](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．函数y ＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的最小正周期是( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得的函数图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12(x ∈R )B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12(x ∈R )C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12(x ∈R )D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24(x ∈R )3．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，可将函数y ＝sin 2x 的图像( )A ．向左平移5π6B ．向右平移 5π6C ．向左平移 5π12D ．向右平移5π124．已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(2，－3)，且a ∥b ，则tan θ＝________．5．若点P (cos α，sin α) 在直线y ＝－2x 上，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．提升训练6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)的部分图像如图8-1所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )7． 已知P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若|OP |＝d ，则函数d ＝f (θ)的大致图像是( )AC 图8-28．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图像向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．329．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值与最小值之和为( )A ．3－1B ．3－2C ．23－1D ．210．将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图像向左平移m 个单位⎝⎛⎭⎫m ＞－π2，若所得的图像关于直线x ＝π6对称，则m 的最小值为( )A ．－π6B ．－π3C ．0D ．π1211．如图8-3所示，直角三角形POB 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点，若AB 等分△OPB 的面积，且∠AOB ＝α，则αtan α＝________．12．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的最小值为 ________ ．13．已知α∈R ，sin α＋3cos α＝5，则tan 2α＝________．14．已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x －1，且π4≤x ≤π2．(1)求f (x )的最大值及最小值；(2)求f (x )在定义域上的单调递减区间．15．已知函数f (x )＝23cos x sin x ＋2cos 2 x ．(1)求f ⎝⎛⎭⎫4π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．(1)当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；(2)当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求|AB →|的最大值．专题限时集训(九)[第9讲 三角恒等变换与解三角形](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．在钝角三角形ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．14 B ．32C ．34D ．122．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，A ＝45°，B ＝105°，则c ＝ ( )A ．32B ．1C ． 3D ．6＋223．函数f (x )＝sin 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小值为( )A ．0B ．－1C ．－ 2D ．－24．若cos 2θ＝13，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A ．1318B ．1118C ．59D ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin 2 A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sin C ，则B ＝________．提升训练6．已知sin 2α＝13，则cos 2 ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．13B ．－13C ．23D ．－237．已知△ABC 的外接圆O 的半径为1，且OA →·OB →＝－12，C ＝π3．从圆O 内随机取一点M ，若点M 在△ABC 内的概率恰为334π，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，其对边分别为a ，b ，c ．若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin C (2sin A －sin C )，则B ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π39．在△ABC 中，若AB →·AC →＝7，||AB →－AC →＝6，则△ABC 的面积的最大值为( ) A ．24 B ．16 C ．12 D ．810．已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A 等于( ) A ． π6 B ．π4C ． π3D ．π211．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，则tan 2α＝______ ．12．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________．13．已知∠MON ＝60°，由此角内一点A 向角的两边引垂线，垂足分别为B ，C ，AB ＝a ，AC ＝b ，若a ＋b ＝2，则△ABC 外接圆的直径的最小值是________．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1．(1)若A ＝5π12，求c ；(2)若a ＝2c ，求△ABC 的面积．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ．(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．16．如图9-1所示，已知OPQ 是半径为3，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点(不与P ，Q 重合)，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x )．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及相应的x 值．专题限时集训(十)[第10讲数列、等差数列、等比数列](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．若等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝() A．8 B．12C．16 D．242．等比数列{a n}中，a2＝1，a8＝64，则a5＝()A．8 B．12C．8或－8 D．12或－123．已知等差数列{a n}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝()A．8 B．21C．28 D．354．已知数列{a n}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π，则tan(a2＋a12)的值为()A． 3 B．－ 3C．33 D．－335．等比数列{a n}满足对任意n∈N*，2(a n＋2－a n)＝3a n＋1，a n＋1＞a n，则数列{a n}的公比q＝________．提升训练6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝ ()A．36 B．72C．144 D．707．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S n＋2－S n＝36，则n＝() A．5 B．6C．7 D．88．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3＋a4＝16，则a5＝() A．4 B．8C．16 D．329．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1(n＝2，3，4，…)”是“{a n}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a m＋1a m－1＝2a m(m≥2)，数列{a n}的前n项积为T n，若T2k－1＝512(k∈N*)，则k的值为()A．4 B．5C．6 D．711．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝11，S11＝9，则S20＝________．12．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若a3a4a8＝8，则T9＝________．13．已知等比数列{a n}中，a4＋a8＝⎠⎛24－x2dx，则a6(a2＋2a6＋a10)＝________．14．已知数列{a n}的首项为1，其前n项和为S n，且对任意正整数n，有n，a n，S n成等差数列．(1)求证：数列{S n＋n＋2}为等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1且3a n＋1＋2S n＝3(n为正整数)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若∀n∈N*，32k≤S n恒成立，求实数k的最大值．16．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2且a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若{b n－(－1)n a n}是等比数列，且b2＝7，b5＝71，求数列{b n}的前2n项和．专题限时集训(十一)[第11讲 数列求和及数列的简单应用](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为( )A ．70B ．75C ．100D ．1202．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ． 8D ．2＋log 3 53．等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时， a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17B ．S 16C ．S 15D ．S 144．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋2），则S 10等于( )A ．1112B ．1124C ．175132D ．1752645．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ．若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________．提升训练6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 35＝S 3992 ，a ＝(1，a n )，b ＝(2014，a 2014)，则a ·b 的值为( )A ． 2014B ． －2014C ． 1D ．07．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图像经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n ＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值为( )A ．24B ．25C ．23D ．268．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则当S n ＝10时，n 的值是( )A ． 110B ． 120C ． 130D ． 1409．已知a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x(n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n＝n －8，则b n S n 的最小值为( )A ．－3B ．－4C ．3D ．410．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }的前n 项和可以表示为( )A ．B ．C ．D ．11．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2014＝________ ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________．13．已知函数 f (x )＝⎩⎨⎧（－1）n sin πx2＋2n ，x ∈[2n ，2n ＋1），（－1）n ＋1 sin πx 2＋2n ＋2，x ∈[2n ＋1，2n ＋2）(n ∈N )，若数列{a m }满足a m ＝f ⎝⎛⎭⎫m 2(m ∈N *)，且{a m }的前m 项和为S m ，则S 2014－S 2006＝________． 14．已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3，且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2, 数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n ．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ．15． 已知函数f (x )＝4x ，数列{a n }中，2a n ＋1－2a n ＋a n ＋1a n ＝0，a 1＝1，且a n ≠0, 数列{b n }中， b 1＝2，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．16． 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2012年人口总数为45万，专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将发生如下变化：从2013年开始到2022年每年人口比上年增加0．5万，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%．(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2013年为第一年)．(2)若新政策实施后2013年到2032年的人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问2032年后是否需要调整政策？(0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)专题限时集训(十二)A[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某几何体的三视图如图12-1所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A ．13 cm 3B ．23 cm 3C ．4 cm 3D ．8cm 3图 图2．图12-2是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．11π3． 一只蚂蚁从正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C 1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )图12-A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④4． 某四棱锥的三视图如图12-5( )图12-5A ．2∈A ，且4∈AB ．2∈A ，且4∈AC ． 2∈A ，且25∈AD ．2∈A ，且17∈A提升训练5．如图12-6所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底边长均为2，且侧棱 AA 1⊥底面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为( )A ．3B ．23C ．4图12-6 图6．某几何体的三视图如图12-7所示，则它的体积是( )A ．8＋433B ．8＋423C ．8＋233D ．3237．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图12-8所示，则该棱锥的体积等于( )A ．10 cm 3B ．33 D ．40 cm 3图 8．一个简单组合体的三视图及尺寸如图12-9所示，则该组合体的体积为( )A ．42B ．48C ．56D ．449． 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图12-10所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形， 则该几何体的侧面积为( )A ．12＋103πB ．6＋103π C ． 12＋2π D ．6＋4π图12-10 图12-1110． 如图12-11所示，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′．若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2 B．62 C．112 D．5211．边长是22的正三角形ABC内接于体积为43π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为________．专题限时集训(十二)B[第12讲 空间几何体的三视图、表面积及体积](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．某空间几何体的三视图如图12-12所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．8C ．323D ．16图 2．一个几何体的三视图如图12-13所示，则该几何体的体积为( )A ．13B ．23 C ．2 D ．13． 图12-14 ( )A ．3＋π6B ． 3＋43πC ．33＋43πD ．33＋π64． 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(1，2，0)，(0，2，2)，(3，0，1)，则该四面体以yOz 平面为投影面的正视图的面积为( )A ．3B ．52C ． 2D ．72提升训练5．一个几何体的三视图如图12-15所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A ．32B ．1C ．52D ．126．一个几何体的三视图如图12-16所示，则它的体积为( )A ．203B ．403C ．20D ．407． 已知某几何体的三视图如图12-17所示，其中俯视图是圆，则该几何体的体积为( )A ．π3B ．2π3C ． 23D ．13图 8．图12-18是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．54B ．27C ．18D ．99． 用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图12-19所示)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底面的距离为___________．图10． 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一个球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积为________．11． 如图12-20所示，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为________．专题限时集训(十三)[第13讲空间中的平行与垂直](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．能够得出平面α与平面β一定重合的条件是：它们的公共部分有() A．两个公共点B．三个公共点C．无数个公共点D．共圆的四个公共点2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为()A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直3．a，b，c表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③a⊥c，b⊥c，则a∥b；④a⊥M，b⊥M，则a∥b．其中为真命题的是()A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．设α，β，γ为平面，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件是() A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α5．已知m，n，l是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个提升训练6．已知α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线l，l⊂α，l∥βB．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥βC．存在一条直线l，l⊥α，l⊥βD．存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β7．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．在正方体中，二面角A1BDA的正切值是()A． 2 B．22 C． 2 D．129．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β．其中为真命题的是 ( )A ．①②B ．②③C ． ③④D ．①④ 10．如图13-1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等图 图13-211．如图13-2所示，已知三个平面α，β，γ互相平行，a ，b 是异面直线，a 与α，β，γ分别交于A ，B ，C 三点，b 与α，β，γ分别交于D ，E ，F 三点，连接AF 交平面β于点G ，连接CD 交平面β于点H ，则四边形BGEH 必为________．12． 在三棱锥C -ABD 中(如图13-3所示)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A -BD -C 的大小为60°，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④ cos ∠ADC ＝34；⑤四面体ABCD 的外接球的表面积为 32π．其中正确的是________．13． 已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且俯视图如图13-4所示．关于该四棱锥的下列说法中：①该四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②该四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③该四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面；④该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形．其中，所有正确说法的序号是________________．14．如图13-5所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1．(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BD F．15．如图13-6所示，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BD⊥平面CDE．16．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，CD＝3，点E 是线段AB的中点，G为CD的中点，现沿ED将△AED折起到△PED位置，使PE⊥EB．(1)求证：平面PEG⊥平面PCD；(2)求点A到平面PDC的距离．专题限时集训(十四)[第14讲 空间向量与立体几何](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1． 直线l 1的方向向量s 1＝(1，0，－2)，直线l 2的方向向量s 2＝(－1，2，2)，则直线l 1，l 2所成角的余弦值是( )A ．53B ．－53C ． 23D ．－232．平面α，β的法向量分别是 n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，0，－1)，则平面α，β所成锐二面角的余弦值是( )A ．33B ．－33C ． 63D ．－633．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的单位法向量是( )A ．±(1，1，1)B ．±⎝⎛⎭⎫22，22，22C ．±⎝⎛⎭⎫33，33，33D ．±⎝⎛⎭⎫33，－33，334．已知a ，b 是两个非零的向量，α，β是两个平面，下列命题中正确的是( ) A ．a ∥b 的必要条件是a ，b 是共面向量 B ．a ，b 是共面向量，则a ∥b C ．a ∥α，b ∥β，则α∥βD ．a ∥α，b ∥β，则a ，b 不是共面向量5．若a ⊥b ，a ⊥c ，l ＝αb ＋β c (α，β∈R )，m ∥a ，则m 与l 一定( ) A ．共线 B ．相交 C ． 垂直 D ．不共面提升训练6． 如图14-1所示，三棱锥A -BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD所成角的余弦值为( )1A ．36 B ．32 C ． 336 D ．12 7． 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为( )A ．120B ．1010C ． －1010D ．－1208． 对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →＝________．10．在底面是直角梯形的四棱锥S -ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SBA 夹角的余弦值是_________．11．平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，且∠BAD ＝45°，以BD 为折线，把△ABD 折起到△A 1BD 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BCD ，连接A 1C ．(1)求证：A 1B ⊥DC ； (2)求二面角B -A 1C D 的大小．图12．如图14-3所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB ＝2AD ＝4，BD ＝23，PD ⊥底面ABCD ．(1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ；(2)若二面角P -BC -D 的大小为 π4，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 6 排列与组合综合运用(精练)(含答案)
6.2.3 排列与组合的综合运用(精练)【题组一 排队型】1．(2021·湖南长沙 )一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有( )种． A ．36 B ．48 C ．72 D ．120【答案】B【解析】先排高一年级学生，有22A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A 种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223C C C ⋅⋅种排法，所以共有()221112422348A A C C C ⋅+=种排法．故选：B ．2．(2021·全国)2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初次环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内含，计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有( ) A ．2016种 B ．1512种 C ．1426种 D ．1362种【答案】B【解析】由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名称共有39C 种不同的组合. 选出的4个名称的不同分析顺序有44A 种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有33A 种，故赤兔不是第一个被分析的情况共有()343943 1 512C A A ⋅-=(种)，故选：B3．(2021·北京通州 )中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有( ) A ．408种 B ．240种 C ．192种 D ．120种【答案】A【解析】将六艺全排列，有66A 种，当“射”排在第一次有55A 种， “数”和“乐”两次相邻的情况有2525A A 种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有2424A A 种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有652524652524A A A A A A 408--+=种，故选：A .4．(2021·湖南永州 )永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为( ) A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【解析】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有4424A =种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有2520A =种插法；所以共有2420480⨯=种不同的安排方法.故选：A5．(2021·河北省唐县第一中学 )7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( ) A ．400种 B ．720种 C ．960种 D ．1200种【答案】C【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有6621440A ⨯=种， 而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有5522480A ⨯⨯=种， 故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有1440480960-=种.故选：C.6．(2021·江西临川 )2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种． A ．120 B ．156 C ．188 D ．240【答案】A【解析】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有44A ，越剧、粤剧有前后22A ，共有：2424A A 种；京剧排二三之一有12C ，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有1232C A ，余下三个有33A ，共有：12231332A C C A 种；由分类计数原理知，所有演出顺序有：411242323223A A C C A A 120＝+(种)故选：A7．(2021·江苏海安 )甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有( )种 A ．5 B ．8 C ．14 D ．21【答案】C【解析】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．8．(2021·湖北)“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为( ) A ．12 B ．59C ．67120D ．133240【答案】D【解析】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有66720A =种方法，当只投对一袋时，其他五袋与对应垃圾桶全错位排列，则5个元素全错位544=D (常用数据知识)，当投对两袋时，其他4个元素全错位49D =，所以概率为126666449399133=720240⨯+⨯==C C P A .故选：D. 9(2021·重庆市杨家坪中学)某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E ､F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D【解析】当E ，F 排在前三位时，有()22322324A A A =种安排方案；当E ，F 排在后三位时，有()()1222332272C A A A =种安排方案：当E ，F 排中间两位时，有()1122232224C A A A =种安排方案.综上，不同的安排方案共有247224120++=(种)，故选：D.10．(2021·全国·专题练习)“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P ==故选：B 11．(2021·全国·高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ). A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种【答案】B【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有14C 4=(种).对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114244192C C A =(种)；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有133C =(种)，语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有14C 4=(种)，其他三科可以全排列，有()12332334252C A A +=(种).综上，共有()41922521776⨯+=(种).故选：B12．(2021·重庆市江津中学校高二月考)2021年4月29日是江津中学艺术节总汇演之日，当晚要进行隆重的文艺演出，已知初中，高一，高二分别选送了7，5，3个节目，现回答以下问题：(用排列组合数表示，不需要合并化简)(1)若初中的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序；(2)由于一些特殊原因，高一的12345,,,,A A A A A ，5个节目，1A 必须在其余4个节目前面演出；高二的123,,B B B ，3个节目，1B 必须在其余2个节目前面演出；初中没限制，共有多少种出场顺序；(3)为了活跃气氛，高二年级决定将2000根荧光棒发给1600名台下的高二学生，每个学生至少一根，共计有多少种分配方案；(4)演出结束后，学校安排高二年级的24个班去打扫A ，B ，C 三个区域的卫生，24个班被平均分成3组，每组8个班，每个区域安排一组，若11，12班必须打扫同一个区域，13，14班必须打扫同一个区域，则共有多少种安排方式．【答案】(1)8789A A ；(2)15421542535s A A A A A ⨯⨯⨯；(3)15991999C ；(4)4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯. 【解析】(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有88A 种不同的排法， 再将初中的7个节目插入8个节目构成的9个空隙中的7个，有79A 种方法， 由分步计数原理可得，共有8789A A 种不同的出场顺序.(2)高一的5个节目全排列，有55A 不同的排法，其中1A 必须在其余4个节目前面有44A 种， 高二的3个节目全排列有33A 不同的排法，其中1B 必须在其余2个节目前面有22A 种， 初中、高一和高二的15个节目全排列有1515A 种不同的排法，所以1A 在其余4个节目前面演出；1B 在其余2个节目前面演出，共有15421542535sA A A A A ⨯⨯⨯种. (3)由2000根荧光棒为2000个相同的元素，分给1600名台下的高二学生， 可利用隔板法，在2000根荧光棒构成的1999个空隙中插入1599个板， 把2000根荧光棒分为1600份，共有15991999C 种不同的分法.(4)由题意，可分为两类：①若11,12和13,14在同一组中，共有488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式； ②若11,12和13,14不在同一组中，共有6683201283C C C A ⨯488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式， 由分类计数原理，可得共有4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯不同的安排方式. 13．(2021·福建·厦门海沧实验中学高二期中)现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)：(Ⅰ)6人站成一排，甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数； (Ⅱ)6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；(Ⅲ)把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数； (Ⅳ)6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率． 【答案】(Ⅰ)360；(Ⅱ)192；(Ⅲ)1560；(Ⅳ)35【解析】(Ⅰ)6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数为6613602A =； (Ⅱ)甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共421424192A A C ⋅⋅=种不同排法；(Ⅲ)6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为221131114464216321442232231560C C C C C C C C A A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅； (Ⅳ)记A ：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式232432252535A A A A A ⋅⋅=⋅ 【题组二 数字型】1．(2021·重庆市凤鸣山中学高二月考)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？【答案】(1)648个；(2)156个；(3)2296个；(4)1140个.【解析】()1由题意，无重复的三位数共有1299972648A A=⨯=个；()2当百位为1时，共有299872A=⨯=个数；当百位为2时，共有299872A=⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A+=个数，所以315是第727212156++=个数；()3无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A=个数；当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有1218841792A A A=个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；()4当选出的偶数为0时，共有1335180A A=个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A=个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；2．(2021·江苏·仪征中学高二期中)由1，2，3，4，5组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.【答案】(1)72个；(2)72个；(3)1200个.【解析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.14 3472C A⋅=个.(2)先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即323472A A=个(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即132354531200C C C A=个【题组三分组分配型】1．(2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.2．(2021·江苏常州)CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员．．工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.【答案】360【解析】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C种，一类是甲乙安排1人有1225C C种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共24A种，故不同的安排方案共有()12322554360C C C A +⋅=种.故答案为：360.3．(2021·河北石家庄·高二期末)某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有( ) A ．86种 B ．100种 C ．112种 D ．134种【答案】B【解析】若只有1人参加数学竞赛，有221124244222()(44325)6C C C C A A +=⨯+⨯=种安排方法，若恰有2人参加数学竞赛，有21243263236C C A =⨯⨯=种安排方法，若有3人参加数学竞赛，有3242428C A =⨯=种安排方法，所以共有56368100++=种安排方法． 故选：B4(2021·全国·高二单元测试)有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).【解析】(1)根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=， 所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；(2)由(1)可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；(3)先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)． 【题组四 涂色型】1．(2021·江西·横峰中学高二期中(理))如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )A ．36种B ．24种C ．12种D ．9种\【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P -ABC 的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有3216⨯⨯=种不同的涂法， 第二步：涂三棱柱ABC -111A B C 的三个侧面，先涂侧面11AA B B 有122C =种涂法，再涂11BB C C 和11CC A A 只有1种涂法， 所以涂三棱柱的三个侧面共有212⨯=种涂法，所以对几何体的表面不同的涂色方案共有6212⨯=种涂法，故选：C2．(2021·陕西·韩城市西庄中学高二期中(理))在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )A ．720种B ．2160种C ．4100种D ．4400种【答案】C【解析】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数为354320⨯=种； 考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数为()5434332160⨯⨯⨯⨯⨯=种；考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数为33531620A ⨯=种．所以共有方法数为320216016204100++=种． 故选：C ．3．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【答案】C【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，(1)当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法， ①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法； ②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法. (2)当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法； ②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法. 故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法. (3)当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，(i )若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；(ii )若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法. 故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法. 综上，共有240192168600++=种涂色方法. 故选：C.4(2021·全国·高二课时练习)现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法； 第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：6543434320⨯⨯⨯⨯⨯=种. 故选：D.5．(2020·全国·高二课时练习(理))如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种【答案】B【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.6．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【答案】576 264【解析】(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；(2)若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种． 故答案为：①576；②264.7．(2021·江苏·)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有432248⨯⨯⨯=种.故答案为：48．8．(2021·吉林·乾安县第七中学(理))如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种.(以数字作答)【答案】72【解析】当使用四种颜色时，先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，则第2、4和第3、5区域需一组涂上同一种颜色，另外一组涂上不同颜色，所以共有1112423248C C C A=种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有34C种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有343224C⨯⨯=种.综上共有：482472+=种.故答案为：729．(2021·重庆市实验中学高)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】将区域标注数字序号如下图：当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时共有涂色方法：211533180A C C =种当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311522240A C C =种则不同的涂色方案总数为：180240420+=种 本题正确结果：42010．(2021·江西·宁冈中学 )用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种. 【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂,,A B C ，再涂,,D E F .第一类：若5种颜色都用上，先涂,,A B C ，方法有35A 种，再涂,,D E F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有32532720A A ⋅⋅=种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；先涂,,A B C ，方法有34A 种，再涂,,D E F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有4354331080C A ⋅⋅⋅=种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种；先涂,,A B C ，方法有33A 种，再涂,,D E F ，方法有2种，故此时方法共有33532120C A ⋅⨯=种； 综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种， 故答案是1920.11．(2021·江西·进贤县第一中学高二月考(理))用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A 、B 、C 、D 、E 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．【答案】960【解析】因为区域D和各个区域都相邻，所以首先给区域D染色有5种方法,区域C、E各有4种方法, 区⨯⨯⨯⨯=.域A、B一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法54443960故答案为：960．12．(2021·新疆·阜康市第一中学高二期中(理))现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.(用数字作答).【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B、C、D、E、F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案.所以共有32222296故答案为：9613．(2020·江苏常熟·高二期中)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)【答案】240【解析】从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.14(2021·全国·高二课时练习)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】192【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法； 第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，。
专题09 排列组合高考常见小题全归类(精讲精练)(解析版)
专题09排列组合高考常见小题全归类【命题规律】排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．【核心考点目录】核心考点一：两个计数原理的综合应用核心考点二：直接法核心考点三：间接法核心考点四：捆绑法核心考点五：插空法核心考点六：定序问题（先选后排）核心考点七：列举法核心考点八：多面手问题核心考点九：错位排列核心考点十：涂色问题核心考点十一：分组问题核心考点十二：分配问题核心考点十三：隔板法核心考点十四：数字排列核心考点十五：几何问题核心考点十六：分解法模型与最短路径问题核心考点十七：排队问题核心考点十八：构造法模型和递推模型核心考点十九：环排问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C．3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A．12B．120C．1440D．17280【答案】C【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有3243C C种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有55A种情况．所以共有3254351440C C A=种不同安排方法．故选：C4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种．故选：C6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12．设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称ai ，aj ，ak 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称ai ，aj ，ak 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．15【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=．∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===． 原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=．∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===． 故个数之和为10． 故选：C ．7．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635． 【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===． 故答案为：635． 8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36．【方法技巧与总结】1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ，，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种．2、错位排列公式1(1)(1)!!inn i D n n =-=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k kk A A -+-+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A --·1k n k A -+种．7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形．（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”． （4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．【核心考点】核心考点一：两个计数原理的综合应用 【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）A ．108B ．36C ．9D ．6【答案】C【解析】由题可知中间格只有一种放法；十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；所以不同放法共有133=9⨯⨯种．故选：C ．例2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ）A ．90B ．216C ．144D ．240【答案】B【解析】完成这件事情，可以分两步完成，第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有2519C -=种方案；第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有4424A =种不同方案，所以根据分步乘法计数原理得共有249216⨯=种不同安排方案． 故选：B ．例3．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ）A ．720B ．520C ．600D ．264【答案】D【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：134244192C C A =， 若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：22242372C A A =；因此不同的演出顺序的种数为19272264+=． 故选：D ．核心考点二：直接法 【典型例题】例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种A ．54B ．72C ．96D ．120【答案】A【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A =种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有236A =种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：A．例5．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,,,,,A B C D E F共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗㙳，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”．试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A．720种B．600种C．480种D．384种【答案】D【解析】由题意，,A B不是第一名且B不是最后一名，B的限制最多，故先排B，有4种情况，再排A，也有4种情况，余下4人有44432124A=⨯⨯⨯=种情况，利用分步相乘计数原理知有4424384⨯⨯=种情况．故选：D．例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A．24种B．6种C．4种D．12种【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有333216A=⨯⨯=，故选：B．核心考点三：间接法【典型例题】例7．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）．A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种【答案】D【解析】7个人从左到右排成一排，共有775040A=种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有3535720A A=种不同的站法，甲站在最右端有66720A=种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有242448A A=种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有5040720720483648--+=种不同的站法．故选：D例8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）A ．21种B ．231种C ．238种D ．252种【答案】B【解析】10人中选5人有510C 252=种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有57C 21=种，则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有55107C C 231-=种．故选：B例9．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A ．408种B ．240种C ．1092种．D ．120种【答案】A【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为1555A A ，其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为142442A A A ， 于是得1514255442A A A A A 51204242408-=⨯-⨯⨯=，所以“六艺”讲座不同的次序共有408种． 故选：A核心考点四：捆绑法 【典型例题】例10．（2022·四川自贡·统考一模）在某个单位迎新晚会上有A 、B 、C 、D 、E 、F 6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C 必须安排在第三位，节目D 、F 必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种A ．36B ．48C ．60D ．72【答案】A【解析】由题意D 、F 在一二位或四五位、五六位，C 是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数为23233A A 36=．故选：A ．例11．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）“四书” “五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）A ．622622A A AB ．6262A AC ．622672A A A D ．622662A A A【答案】C【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有66A 种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有22A 种排法， 排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有27A 种排法，故总共有622627A A A 种排法，故选：C ．例12．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法A ．24B ．144C ．48D ．96【答案】D【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种， 物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生物三门课程进行排序，有2424A A 48=种排法．由分步乘法计数原理可知，共有24896⨯=种不同的排法． 故选：D ．核心考点五：插空法 【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）．A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅ C ．4267A A ⋅D ．4267C C ⋅【答案】A【解析】先排4个商业广告，则44A ，即存在5个空，再排2个公益广告，则25A ，故总排法：4245A A ， 故选：A ．例14．（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种【答案】C【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有33A 32=，再将商、角插入4个空中，共有243A 36=种．故选：C ．例15．（2022·全国·高三专题练习）A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）A ．72B ．48C ．36D ．24【答案】C【解析】首先将A 与C 捆绑到一起，与除B 、D 以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有33A 6=种排法，再将B 、D 插空到除最右边的3个位置中，有23A 6= 种排法，因此共有6636⨯=种排法，故选：C核心考点六：定序问题（先选后排） 【典型例题】例16．满足*(1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（ ）个．A ．49CB ．49PC ．410CD ．410P【答案】A【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为49C ． 故选：A ．例17．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A ．120种 B ．80种 C ．20种 D ．48种【答案】C【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为2520A =．故选：C ．例18．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）A ．2520B ．5040C ．7560D ．10080【答案】A【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下， 先对8盏不同的花灯进行全排列，共有88A 种方法， 因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取， 所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，故一共有8822222222=2520A A A A A 种，故选：A核心考点七：列举法【典型例题】例19．（2022春·河南南阳·高三统考期末）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻．某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施．如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（）A．15种B．16种C．17种D．18种【答案】B【解析】因为在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，所以不同的关闭方案如下：''''''''''''ACEB ACED ACB D ACB E ADB E ADC E AEB D，,,,,,,'''''''''''''''''''',,,,,,,,BDAC BDA E BDC E BEAC BEA D CEA D CEB D BAC E DAC E，共16种方案，故选：B例20．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A．6种B．8种C．10种D．16种【答案】C【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，故选：C ．例21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范01数列”{an }如下：{an }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个【答案】C【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：，01010011；010101011，共14个核心考点八：多面手问题 【典型例题】例22．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A ．675B ．575C ．512D ．545【答案】A【解析】分析：根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解． 详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理．第一类2个只会左边的都不选，有3355100C C ⋅=种；第二类2个只会左边的有1人入选，有123256400C C C ⋅=种；第三类2个只会左边的全入选，有213257175C C C ⋅=种，所以共有675种不同的选法，故选A ．例23．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法A ．225B ．185C ．145D ．110【答案】B【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有4454C C 种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有134413254524C C C C C C +种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有22442213132545242514C C C C C C C C C C ++种． 综上分析，共可开出441344132244221313542545242545242514185C C C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=种． 故选：B ．例24．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）A ．26种B ．30种C ．37种D ．42种【答案】C【解析】根据题意，设{A =只会划左桨的3人}，{B =只会划右桨的3人}，{C =既会划左桨又会划右桨的2人}，据此分3种情况讨论：①从A 中选3人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中剩下的人中选取，有35C 10=种选法，②从A 中选2人划左桨，C 中选1人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中选取，有213324C C C 24=种选法，③从A 中选1人划左桨，C 中2人划左桨，B 中3人划右桨，有13C 3=种选法，则有1024337++=种不同的选法． 故选：C ．核心考点九：错位排列 【典型例题】例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）A ．10种B ．20种C ．30种D ．60种【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有2510C =，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2， 所以不同的坐法有10220⨯=种． 故选：B例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）A ．90B ．135C ．270D ．360【答案】B【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有2615C =种选法，假设选出的2个小球的编号为5、6；（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子． 则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入， 对于编号为3、4的小球，只有1种放法．综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为1533135⨯⨯=种． 故选：B ．例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）A ．20B ．90C ．15D ．45【答案】D【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C⋅⋅=种．故选：D．核心考点十：涂色问题【典型例题】例28．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为∴，∴，∴，∴，∴，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域∴，∴涂色相同的涂色方案，第二类区域∴，∴涂色不相同的涂色方案，其中区域∴，∴涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域∴，有4种方法，第二步涂区域∴，有3种方法，第三步涂区域∴，有2种方法，第四步涂区域∴，有1种方法，第五步涂区域∴，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域∴，∴涂色相同的涂色方案有43212⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；区域∴，∴涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域∴，有4种方法，第二步涂区域∴，有3种方法，第三步涂区域∴，有2种方法，第四步涂区域∴，有1种方法，第五步涂区域∴，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域∴，∴涂色不相同的涂色方案有43211⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D．。
数字排列与组合的思维训练
数字排列与组合的思维训练数字排列与组合是一种常见的数学概念，在许多领域都有广泛的应用。
通过掌握数字排列与组合的基础知识，并进行相关的思维训练，可以提高我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
本文将介绍数字排列与组合的基本概念，探讨其在实际生活中的应用，并提供一些思维训练的例题。
1. 数字排列与组合的基本概念数字排列与组合是指从给定的一组数字中选择若干个数字进行排列或组合的方式。
排列是指从一组数字中按照一定顺序选择若干个数字进行排列，组合则是指从一组数字中无序地选择若干个数字进行组合。
排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n表示总的数字个数，m表示选择的数字个数，"!"表示阶乘。
阶乘是指从1到该数的所有正整数相乘，例如5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)2. 数字排列与组合的应用数字排列与组合在实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：2.1. 抽奖活动在抽奖活动中，我们常常需要从一堆数字中选择若干个数字组成中奖号码。
这就涉及到了数字的组合问题。
根据组合的计算公式，我们可以轻松地计算出有多少种中奖的可能性。
2.2. 密码破解密码破解也是数字排列与组合常见的应用之一。
在某些情况下，我们需要尝试不同的数字组合来解开密码，通过排列和组合的方式进行试验，可以提高密码破解的效率。
2.3. 地址编码在地址编码中，我们常常需要将字母和数字进行排列和组合，生成独一无二的地址编码。
通过掌握数字排列与组合的知识，我们能够更加高效地生成地址编码，提高工作效率。
3. 思维训练例题下面是一些数字排列与组合的思维训练例题，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。
3.1. 从数字1、2、3、4中选择3个数字进行排列，问共有多少种排列方式？解答：根据排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。
判断推理答题技巧之事件排序代入排序法
判断推理——图形推理
数量类
点
线
角
面
素
位置类
所给图形/汉字的公共元素
加减同异
剪纸
把已知图形拆分重组
图形样式分类
结构类
对称结构
汉字结构
重心
立体图形
综合类
判断推理——定义判断
法律类
心理类
社会生活类
经济类
管理类
自然科学类
其他类
【例题】(1)被竞争对手起诉(2)产品投放市场
(3)和对手谈判(4)受到很大损失
(5)得知商标被抢注
A. 2—5—3—4—1 B. 2—1—5—3—4
C. 5—2—4—1—3 D. 5—4—3—1—2
【解析】通读题目后可以发现本题中五个事件的顺序较难确定，没有明确的逻辑标志或时间标志，且由于现实情况的多样性，仅依靠常识很难为五个选项排序，此时可选择代入法，将四个选项的顺序分别代入。综合比较四种顺序，B项“产品投放市场后被竞争对手起诉，经了解得知商标被抢注，遂和对手谈判，因此事受到很大损失”的排序最为合理。A项中，如果得知商标被抢注在先，则可以先行起诉竞争对手，而不是等待竞争对手起诉;C、D两项将“得知商标被抢注”放在第一句，此后再将产品投放市场、受到损失，不符合逻辑，应该先投放市场后，再因商标被抢注而受到损失。故本题答案为B。
判断推理答题技巧之事件排序代入排序法
判断推理答题技巧之事件排序代入排序法
代入排序是指直接将选项给出的顺序代入事件中，从中选择最恰当的排序。这种方法适用于完全不能找到事件之间的内在联系、不能用上述方法解答的情况。由于代入需要花费一定的时间，因此，可在时间允许的情况下选择代入的方式，通过比较各个选项的顺序排列从中选择最恰当的一个。
数字的顺序排列应用题
数字的顺序排列应用题数字的顺序排列是我们在日常生活和工作中经常遇到的一种问题。
它可以帮助我们整理数据、分析趋势、做出决策等。
本文将通过几个实际应用场景来说明数字的顺序排列在不同领域中的应用。
一、股票价格排列在金融领域中，数字的顺序排列常常被用来分析股票价格的趋势。
投资者可以通过观察一只股票的历史价格数据，按照时间顺序排列，以便更好地了解股票的走势。
比如，我们可以将一只股票最近一年的交易日价格按照日期顺序排列，然后分析价格的涨跌情况，找出价格变动的规律，从而做出相应的投资决策。
二、学生成绩排列在教育领域中，数字的顺序排列可以帮助教师对学生的成绩进行排名和分析。
教师可以将学生的考试成绩按照从高到低的顺序排列，以便更好地评估学生的学习情况。
排名靠前的学生可能是学习成绩优秀的榜样，而排名靠后的学生可能需要更多的关注和辅导。
此外，通过对成绩数据的分析，教师还可以发现学生的学习问题和差距，及时给予帮助和指导。
三、物品的分类与排序在物流行业或仓库管理中，数字的顺序排列被广泛应用于物品的分类与排序。
对于大量的货物或物品，为了便于查找和管理，我们可以给每个物品标上一个唯一的编号，并按照编号的顺序进行排列，以便快速找到需要的物品。
此外，还可以根据物品的特征和属性，将其按照一定的规则进行分类和排序，提高仓库的运作效率。
四、电话号码的排序在通信领域中，数字的顺序排列可以帮助我们对电话号码进行排序和管理。
比如，电话公司可以根据用户的需求和地域信息，为用户分配不同的号码段，并按照号码的顺序进行分配和管理。
这样做可以方便用户记忆和查找电话号码，同时也有利于提高通信网络的运行效率。
五、图书馆书籍的排列在图书馆管理中，数字的顺序排列被广泛应用于书籍的分类和排列。
图书馆的图书按照一定的分类标准，如作者、出版年份、主题等进行排列，方便读者查找和借阅所需的书籍。
通过数字的顺序排列，读者可以更快地找到自己想要的书籍，提高图书馆的借阅效率。
提高小一数学素养的实用练习方法：数的排序
提高小一数学素养的实用练习方法：数的排序数学是一门重要的学科，而数学素养则是衡量学生数学能力的重要指标。
培养小一学生的数学素养是学校和家庭共同的责任。
在小一阶段，数的排序是数学教育中的基本概念之一，也是培养学生数学思维和逻辑思维能力的重要环节。
本文将为大家介绍一些实用的练习方法，帮助孩子提高小一数学素养，特别是数的排序能力。
一、理解数的排序的概念首先，小一学生需要理解数的排序的概念。
数的排序是指按照一定的规则将一组数从小到大或从大到小排列的过程。
通过数的排序，可以观察数的大小关系，更好地理解数值之间的顺序。
在教学中，可以使用实物来帮助孩子理解数的大小关系。
例如，可以准备一组不同大小的水果，让孩子按照大小顺序排列。
二、比较大小练习为了提高小一学生的数的排序能力，可以进行比较大小的练习。
比较大小可以分为直接比较和间接比较两种形式。
1. 直接比较直接比较是指将两个数直接进行比较。
可以使用物体、数字卡片、小纸条等工具来进行直观的比较。
例如，给小一学生两个数字卡片，让他们用手指指向较大的数字。
逐渐增加比较的数字数量，提高难度，培养学生的辨别能力。
同时，可以设计一些游戏来增加趣味性。
例如，将一组数字卡片随机分发给小一学生，学生们通过比较大小，自行排成一列。
然后，可以进行小组间的比较，看哪个小组排列的最准确。
2. 间接比较间接比较是指通过已知的数来推断出其他数的大小关系。
例如，给小一学生三个数字卡片，分别是5、8和6，让他们判断6是大于还是小于8。
通过比较5和6的大小关系，再比较6和8的大小关系，可以得出6小于8的结论。
通过间接比较的练习，可以培养小一学生的推理能力和逻辑思维能力。
可以使用多样化的题目形式，如填空题、选择题等，让学生灵活运用间接比较的方法。
三、数的排序练习数的排序是培养小一学生数学素养的重要环节。
通过实践数的排序练习，可以提高学生的数的排序能力和思维能力。
1. 升序排序升序排序是指将一组数按照从小到大的顺序排列。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 6 1 排列及排列(精讲)(无答案)
6.2.1 排列及排列数(精讲)考点一排列定义【例1】(2021·全国·高二课时练习)下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算.A．①④B．①②C．④D．①③④【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)已知下列问题：①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组；②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．(2021·全国·高二课时练习)下列问题是排列问题的是( )①从2，3，5，7，9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？②从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？③某班50名同学，每两人握手一次，共需握手多少次？A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③3．(2021·浙江丽水·高二课时练习)已知下列问题:①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组;②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母;④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点二 排列数、方程及不等式【例2】(2021·全国·高二课时练习)(1)用排列数表示(55)(56)(69)n n n --⋯- (n ∈N *且n <55)；(2)计算5488858927A A A A +-； (3)求证：11m m m n n n A A mA -+-=.(4)解方程：4321A 140A x x +=；(5)解不等式：299A 6A x x ->.【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)20212020201919811980⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=( )A ．19802021AB ．19812021AC ．412021AD ．422021A2．(2021·全国·高二课时练习)设m ∈N *，且m <15，则620-m A =( )A ．(20-m )(21-m )(22-m )(23-m )(24-m )(25-m )B ．(20-m )(19-m )(18-m )(17-m )(16-m )C ．(20-m )(19-m )(18-m )(17-m )(16-m )(15-m )D ．(19-m )(18-m )(17-m )(16-m )(15-m )3．(2021·全国·高二课时练习)657645A A A -＝________．4．(2021·全国·高二课时练习)计算：548832109A 5A A 3A +=-______．5．(2021·全国·高二课时练习)(1)解不等式：3221326x x x A A A +≤+；(2)解方程：4321140x x A A +=(3)求证12111n n n n n n A A n A +-+--=； (4)求证(1)!!(1)!()!(1)!!n n n k n k n k k k +-+⋅-=≤-考点三 排列运用之排队【例3】(2021·全国·高二单元测试)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名，在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)2名女同学必须相邻而站；(2)4名男同学互不相邻；(3)若4名男同学身高都不相等，按从高到低或从低到高的顺序站；(4)老师不站正中间，女同学不站两端.2(2021·全国·高二单元测试)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间(三者相邻)，有多少种坐法？3．(2021·全国·高二单元测试)一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？考点四排列运用之数字【例4-1】(2021·浙江·效实中学高二期中)由0，1，2，3，4这五个数字．(1)能组成多少个无重复数字的五位数？(2)能组成多少个无重复数字，且数字1与3相邻的五位数？(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？【例4-2】(2021·全国·高二课时练习)用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列.【一隅三反】1．(2021·重庆巴蜀中学高二月考)用0､1､2､3､4这五个数字组数.(本题最后结果必须写成数字)(1)可以组成多少个允许数字重复的三位数？(2)可以组成多少个无重复数字的三位数？(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？2．(2021·全国·高二课时练习)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项.3．(2021·全国·高二课时练习)用0，1，2，3，4，5可组成多少个：(1)没有重复数字的四位数？(2)没有重复数字且被5整除的四位数？(3)比2000大且没有重复数字的自然数？。
判断推理、资料分析、基础知识、数字推理、事件排序解题技巧
判断推理、资料分析、基础知识、数字推理、事件排序解题技巧事件排序题型分析及解题技巧一、题型分析在每个问题中给出五个事件，每个事件是以简短词语或一句话表述的，接着给出的选项是表示五个事件的四种可能发生顺序的四个数字序列，让考生选择一种最合理、最合乎逻辑的事件排列顺序。
事件排序题，主要考查考生在未掌握全部必要事实的条件下解决问题的能力。
题中给出的五个事件表述虽然简单，但它表示一件事或一个现象演变过程中的几个关键环节，尽管没有给出其他细节，但五个关键环节之间的逻辑联系是必然存在的。
答题时，考生可以利用自己的一般知识作出补充，或作出合理的假设来填补缺欠的事件，以便使自己设想的事件顺序讲得通。
不过，正确的答案要求以最少的假设来联系和安排这五个事件的发生顺序。
当你确定了某一选项后，你要判断一下，这种排序是否合乎事理，是否符合逻辑。
例1：(1)来到现场(2)接到报案(3)抓住了罪犯(4)进行调查(5)发现了疑点A 5-3-1-4-2B 2-1-4-5-3C 2-4-1-3-5D 5-2-4-1-3〔解析〕答案为B。
从这五个事件来看，主要说明罪犯这一事件。
按照这一事件发展的逻辑顺序应该是先接到报案(2)来到现场(1)进行调查(4)发现了疑点(5)抓住了罪犯(3)。
这一顺序相对于其他顺序而言最为合理，故选项B为正确答案。
例2：(1)排列书籍(2)雇用木工(3)打造书架(4)购买材料(5)收集书籍A 2-5-1-3-4B 5-2-4-3-1C 5-1-2-3-4D 5-3-4-2-1〔解析〕答案为B。
本题不易找出关键事件，但我们可以先找联系紧密的两个事件，比如(4)购买材料和(3)打造书架，可以确知其顺序为(4)-(3)。
以此顺序对照备选答案，只有B 合适。
例3：(1)店主生气(2) 小明得分(3) 玻璃被打破(4) 孩子们玩棒球(5) 孩子们四处奔逃A 1-2-3-4-5B 5-2-4-3-1C 4-2-3-1-5D 3-1-2-5-4〔解析〕答案为C。
排列组合专题之定序问题
方法小结
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占 位模型和逐个插空处理
及时小练
1.有4名男生，3名女生。3名左到右，
女生从矮到高排列，有多少种排法？
2.元AA73宵73 节A灯74 =展4后5， 6如图7=悬84挂0有9盏不同
的花灯需要取下，每次取1盏，共有多少种
不同取法？
A99 A33 A33 A33
1680
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
例题讲解
例1.有7人排队,其中甲乙丙3人顺序一 定共有多少不同的排法？
解法一：（倍缩法)对于某几个元素顺 序一定的排列问题,可先把这几个元素与其 他元素一起进行排列,然后用总排列数除以 这几个元素之间的全排列数,则共有不同排 法种数是：A77
A33
例题讲解
例1.有7人排队,其中甲乙丙3人顺序一 定共有多少不同的排法？
解法二： （空位法）设想有7把椅子让 除甲乙丙以外的四人就坐共有 A74 种方法，
其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则
共有 A74 种方法
例题讲解
例1.有7人排队,其中甲乙丙3人顺序一 定共有多少不同的排法？
解法三：（插入法)先排甲乙丙三个人, 共有1种排法,再把其余4四人依次插入则共
有 4*5*6*7 方法
问题总述对若干个元素进行排列时要求某几个元素顺序一定的排列问题这类问题比较抽象解决方法技巧性很强特别是一些具体问题要求能够转化为定序问题例题讲解例1
排列组合之定序问题
教学目标：掌握定序问题的解决方法 教学重点：掌握倍缩法、空位法和逐个插空法 教学难点：能够将具体问题转化为定序问题
问题总述
对若干个元素进行排列时要求某几个 元素顺序一定的排列问题，这类问题比较 抽象解决方法技巧性很强，特别是一些具 体问题要求能够转化为定序问题
数字排序知识点
数字排序知识点在数学中，数字排序是一种常见的技巧，用于将一组数字按照一定的规则进行排列。
数字排序主要涉及到不同的排序方法和一些重要的排序概念，本文将介绍数字排序的知识点，并探讨它们的应用。
一、升序排序和降序排序升序排序是指按照数字的从小到大顺序排列。
比如，对于一组数字：2, 4, 1, 3, 5，将其进行升序排序后，得到的结果是：1, 2, 3, 4, 5。
降序排序则是指按照数字的从大到小顺序排列。
对于同样一组数字：2, 4, 1, 3, 5，将其进行降序排序后，得到的结果是：5, 4, 3, 2, 1。
升序排序和降序排序是数字排序中最基本的两种排序方式，也是其它排序方法的基础。
二、冒泡排序冒泡排序是一种常用的排序算法，其基本思想是相邻的两个数字进行比较，如果顺序不对则进行交换。
这个过程会一直进行到没有可交换的数字为止，最终得到一个有序的数字序列。
冒泡排序的步骤如下：1. 比较相邻的两个数字，如果顺序不对则进行交换；2. 重复进行第一步，直到没有可交换的数字为止。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n是待排序数字的个数。
快速排序是一种高效的排序算法，它采用分治的策略，将待排序的序列分成两个子序列，其中一个子序列的所有数字都小于另一个子序列的所有数字。
然后再对这两个子序列进行排序。
快速排序的步骤如下：1. 随机选择一个数字作为基准值；2. 所有比基准值小的数字放在基准值的左边，所有比基准值大的数字放在基准值的右边；3. 递归地对左右子序列进行排序。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是待排序数字的个数。
四、归并排序归并排序是另一种常见的排序算法，它采用分治的策略，将待排序的序列分成较小的子序列，然后递归地对子序列进行排序，最后将排好序的子序列进行合并，得到有序的序列。
归并排序的步骤如下：1. 将待排序的序列分成两个较小的子序列；2. 递归地对这两个子序列进行排序；3. 将排好序的子序列进行合并。
数学四个事件排序教案中班
数学四个事件排序教案中班教案标题：数学四个事件排序教案（中班）教学目标：1. 学生能够理解和运用数字的顺序概念。
2. 学生能够通过观察和比较，将四个事件按照顺序进行排列。
3. 学生能够通过参与活动，培养合作和沟通能力。
教学准备：1. 数字卡片（1-4）。
2. 事件卡片（如：洗脸、刷牙、吃早餐、穿衣服）。
3. 白板和白板笔。
教学过程：引入活动：1. 引导学生回顾数字的顺序概念，例如：你们能告诉我数字1、2、3、4的顺序吗？2. 展示数字卡片（1-4），请学生按照正确的顺序排列。
探究活动：1. 准备四个事件卡片，将它们打乱顺序展示给学生。
2. 鼓励学生观察卡片上的图片和文字，并尝试通过比较和思考，找出这些事件的正确顺序。
3. 让学生依次选择一张卡片，解释他们认为的正确顺序，并将其放在桌子上。
4. 引导学生进行讨论，比较不同学生的选择，鼓励他们解释自己的观点，并尝试达成共识。
拓展活动：1. 将四个事件卡片放在白板上，让学生按照正确的顺序将其粘贴在白板上。
2. 鼓励学生参与到活动中，可以一个个地将卡片粘贴到白板上，也可以一起合作完成。
3. 引导学生总结出正确的顺序，并进行回顾和复习。
巩固活动：1. 给学生分发纸和铅笔，让他们根据自己的理解，绘制四个事件的图片，并按照正确的顺序进行编号。
2. 鼓励学生互相分享自己的作品，并进行对比和讨论。
结束活动：1. 对学生进行总结，让他们回顾今天学到的内容。
2. 鼓励学生在日常生活中运用所学的顺序概念，例如：整理书包、洗手等。
3. 提醒学生将所绘制的图片和教案带回家，与家长分享所学内容。
教学扩展：1. 针对学生的不同水平，可以适当增加或减少事件的数量，让学生进行排序。
2. 引导学生思考更复杂的排序问题，例如：根据时间先后顺序排列一天的活动等。
评估方法：1. 观察学生在活动中的参与程度和合作能力。
2. 检查学生在白板上粘贴事件卡片的正确顺序。
3. 评估学生绘制的图片和编号是否正确。
小学生数学习题练习数字排序
小学生数学习题练习数字排序数字排序是小学数学学习中的重要环节，它培养了学生的逻辑思维和数学思维能力。
本文将从数字排序的定义、数学习题的重要性、数学习题设计原则以及数学习题在小学数学学习中的应用等方面进行探讨。
一、数字排序的定义数字排序是指将一组数字按照一定的规则进行排列，使其按照一定的顺序进行展示。
数字排序可以根据不同的规则进行分类，如从小到大、从大到小、按奇偶性分类等等。
通过数字排序的练习，可以培养孩子的观察力、分析力和推理能力。
二、数学习题的重要性数字排序作为数学学习的一部分，对于小学生的数学发展至关重要。
通过练习数字排序，学生可以提升自己的逻辑思维能力和数学思维能力。
数字排序习题培养了学生对数字的理解和判断能力，同时也有助于加深对数学概念的理解。
三、数学习题设计原则在设计数学习题时，需要考虑以下原则：1. 渐进性原则：习题的难度应该逐渐增加，以适应学生的不同阶段。
2. 多样性原则：习题的题材和思维方式应该多样化，让学生能够从不同角度思考和解答问题。
3. 实用性原则：习题的内容应该贴近学生的生活，让学生能够将数学知识应用到实际情境中。
四、数学习题在小学数学学习中的应用数字排序习题在小学数学学习中有广泛的应用，可以在以下几个方面展开：1. 发展逻辑思维：通过数字排序，学生需要观察、分析和推理，培养了学生的逻辑思维能力。
2. 提高计算能力：数字排序需要对数字进行对比和计算，可以提高学生的计算能力。
3. 锻炼注意力：数字排序需要学生对数字进行仔细观察，培养了学生的注意力和集中力。
4. 巩固数学概念：数字排序习题可以帮助学生巩固对数字和数学概念的理解。
综上所述，数字排序是小学数学学习中的重要环节，它培养了学生的逻辑思维和数学思维能力。
设计好的数学习题能够帮助学生提高他们的观察力、分析力和推理能力，同时也有助于加深对数学概念的理解。
在小学数学学习中，数字排序习题被广泛应用，并发挥了重要作用。
希望学生们能够通过数学习题的练习，不断提高自己的数学能力。
数学四个事件排序教案设计
数学四个事件排序教案设计教案标题：数学四个事件排序教案设计教学目标：1. 学生能够理解什么是事件，并能够将事件按照一定的顺序进行排序。
2. 学生能够运用逻辑推理和数学思维，对给定的四个事件进行排序，并能够清晰地表达他们的排序逻辑。
教学准备：1. 事件卡片：准备四个事件的卡片，每个卡片上写有一个事件的描述。
2. 排序标准：准备一个排序标准的表格或大屏幕显示，用于记录学生对事件的排序结果。
3. 讨论指导问题：准备一些问题，用于引导学生思考和讨论事件排序的逻辑和原则。
教学过程：1. 导入（5分钟）：- 引入事件的概念：向学生解释事件是指某个具体的行动、发生的事情或者发展的情况。
- 举例说明：给学生举例，比如今天早上起床、吃早餐、上学、放学等都是日常生活中的事件。
- 引入排序概念：解释排序是按照一定的顺序或规则将事物或事件进行排列。
2. 探究（15分钟）：- 分发事件卡片：将四个事件卡片分发给学生，让他们阅读卡片上的事件描述。
- 小组讨论：让学生组成小组，讨论并确定一个他们认为合理的排序顺序，并写在卡片背面。
- 分享讨论：请几个小组分享他们的排序结果，并让其他小组进行评论和讨论。
3. 指导（10分钟）：- 引导学生思考：通过提问，引导学生思考事件排序的逻辑和原则，例如时间先后、发生因果关系等。
- 讨论排序标准：与学生一起讨论并确定一个公认的排序标准，可以将其记录在排序标准表格上。
4. 实践（20分钟）：- 重新排序：要求学生重新根据讨论的排序标准，对事件进行重新排序，并写在卡片背面。
- 分享讨论：请几个学生分享他们的排序结果，并让其他学生进行评论和讨论。
- 记录排序结果：将学生的排序结果记录在排序标准表格上，以便后续的总结和评价。
5. 总结（5分钟）：- 回顾排序标准：与学生一起回顾讨论的排序标准，强调合理的排序需要遵循一定的逻辑和原则。
- 总结学习收获：让学生总结他们在这个活动中学到了什么，以及如何运用逻辑思维进行事件排序。
数字排序练习
数字排序练习1. 介绍数字排序的重要性数字排序是数学中一项基本且重要的技能。
不仅在日常生活和工作中常常需要将数字按照一定的规则进行排列，而且在数学领域的许多问题解决过程中也需要运用数字排序的知识。
通过数字排序练习，我们可以提高我们的思维能力、逻辑推理能力以及解决问题的能力。
下面将介绍几种常见的数字排序方法。
2. 升序排序升序排序是将一组数字从最小到最大进行排列的方法。
例如，给定一组数字：4，2，6，1，5。
我们可以通过比较数字的大小，将它们按升序排列为：1，2，4，5，6。
在这个过程中，我们可以使用冒泡排序、选择排序或插入排序等不同的算法。
这些算法的具体步骤可以在数学和计算机科学相关的书籍中找到。
3. 降序排序降序排序是将一组数字从最大到最小进行排列的方法。
采用降序排序的目的通常是使数字的排列更符合某种规则或需求。
例如，将一组数字：8，3，9，5，2按降序排序为：9，8，5，3，2。
与升序排序类似，我们可以使用不同的排序算法来进行降序排序。
4. 数字排序的应用数字排序在许多领域都有广泛的应用。
例如，在统计学中，我们可以通过对数据进行排序来获得有效的分析结果。
在财务管理和会计领域，对数字进行排序可以帮助我们更好地管理和理解金融数据。
在计算机科学中，排序算法是解决搜索问题、优化算法以及数据结构等方面的核心算法。
5. 数字排序练习为了提高我们的数字排序能力，我们可以进行一些练习。
以下是一些练习题目：练习题一：将以下数字按升序排序：10，5，8，3，1。
解答：1，3，5，8，10。
练习题二：将以下数字按降序排序：6，9，2，4，7。
解答：9，7，6，4，2。
练习题三：对以下数字进行升序排序并去重：4，6，2，8，4，2。
解答：2，4，6，8。
通过这些练习题，我们可以提升我们的数字排序能力，加深对排序算法的理解，并且培养我们的耐心和细致观察的能力。
6. 结论数字排序是一项重要的技能，对我们的学习和工作都有很大的帮助。
数字排列练习题锻炼小学生观察力与逻辑思维
数字排列练习题锻炼小学生观察力与逻辑思维在小学生的数学学习中，观察力和逻辑思维是非常重要的能力。
数字排列练习题通过组织数字的方式，培养小学生的观察力和逻辑思维能力。
本文将探讨数字排列练习题的重要性以及如何通过这种练习锻炼小学生的观察力和逻辑思维。
一、数字排列练习题的重要性数字排列练习题是一种常见的数学题型，要求学生根据一定的规律将数字排列在一定的顺序中。
这种练习题的重要性主要体现在以下几个方面。
1. 培养观察力数字排列练习题要求学生仔细观察数字之间的规律，找出其中的规则并按照规则进行排列。
通过反复的练习，学生的观察力会得到锻炼，能够更加敏锐地捕捉到数字之间的变化和规律。
2. 培养逻辑思维数字排列练习题要求学生按照一定的逻辑关系进行数字的排列。
这种练习能够培养学生的逻辑思维能力，让他们学会运用逻辑关系来进行推理和判断，提升思维的灵活性和准确性。
3. 增强数学能力数字排列练习题是数学中的重要内容，通过这种练习可以增强学生的数学能力。
学生在进行数字排列时需要运用数学知识和方法，如数列、数型、规律等，从而巩固和扩展他们的数学知识。
二、如何通过数字排列练习题锻炼小学生的观察力和逻辑思维数字排列练习题的设计和实施需要注意一些方法和策略，以达到锻炼小学生观察力和逻辑思维的目的。
1. 渐进式难度数字排列练习题应该由简单到复杂、由易到难地设置难度。
初始阶段，可以从简单的数字排列开始，让学生较容易找到规律和顺序。
随着练习的深入，逐渐增加数字的数量和复杂度，挑战学生的观察力和逻辑思维。
2. 多样化题型数字排列练习题可以设计多种多样的题型，涵盖不同的数字组合与规律。
例如，可以有递增数列、递减数列、等差数列、等比数列等多种类型的题目，让学生面对不同的情况进行观察和推理。
3. 提供解题思路在数字排列练习题中，学生可能会遇到一些复杂的情况，难以找到规律。
这时，老师可以适当给予一些解题思路和提示，引导学生进行分析和推理。
通过这种方式，可以帮助学生更好地理解数字排列的规则，提高解题的能力。
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专题限时集训(三)细节理解之数字确定、事件排序(对应学生用书第95页)A(2017·长沙市模拟试卷二) An egg sinks to the bottom if you drop it into a glass of ordinary drinking water but what happens if you add salt？The results are very interesting and can teach you some fun facts about density(密度)．What you'll need：*One egg *Water *Salt *A tall drinking glassInstructions：Pour water into the glass until it is about half full.Mix in lots of salt(about 6 tablespoons)．Carefully pour in plain water until the glass is nearly full(be careful not to mix the salt water with the plain water)．Gently lower the egg into the water and watch what happens.What's happening?Salt water is denser than ordinary tap water.The denser the liquid is，the easier it is for an object to float in it.When you lower the egg into the liquid it drops through the normal tap water until it reaches the salt water，and at this point the water is dense enough for the egg to float.If you were careful when you added the tap water to the salt water，they would not mix，enabling the egg to amazingly float in the middle of the glass.【语篇解读】本文主要介绍了鸡蛋放入盐水中的实验过程。
【长难句解读】If you were careful when you added the tap water to the salt water，they would not mix，enabling the egg to amazingly float in the middle of the glass. [分析]本句是一个复合句。
If引导条件状语从句；when引导时间状语从句；enabling the egg to amazingly float in the middle of the glass是现在分词短语作结果状语。
[译文]如果你把自来水加到盐水里时比较小心的话，它们就不会混在一起，这样会让鸡蛋在玻璃杯的中间奇迹般地漂浮起来。
1．Which of the following is the CORRECT order?①Mix in lots of salt.②Gently lower the egg into the water.③Carefully pour in plain water until the glass is nearly full.④Pour water into the glass until it is about half full.A．④②①③B．④①③②C．①④③②D．③④①②B[考查细节理解。
根据第三部分的“Pour water into the glass until it is about half full.”和“Gently lower the egg into the water and watch what happens.”可知，往杯子里倒半杯水是第一个步骤，而轻轻把鸡蛋放进水里，观察结果是最后一个步骤，故选B。
]2．What will happen if you drop an egg into a glass of water with about 6 tablespoons of salt?A．It will float in the water.B．It will sink to the bottom.C．Nothing will happen.D．The result is not known.A[考查推理判断。
根据第四部分中的“The denser the liquid is，the easier it is for an object to float in it.”和最后一句“If you were careful when you added the tap water to the salt water，they would not mix，enabling the egg to amazingly float in the middle of the glass.”可推知，鸡蛋放入盐水里会浮起来。
]3．Why can the egg float in the water according to the passage?A．Because ordinary tap water is denser than salt water.B．Because ordinary tap water is as dense as salt water.C．Because the denser the liquid is，the easier it is for an object to float in it.D．Because the more the liquid there is，the easier it is for an object to float in it.C[考查细节理解。
根据最后一部分中的“Salt water is denser than ordinarytap water.The denser the liquid is，the easier it is for an object to float in it.”可知，液体的密度越大，物体越容易漂浮，而鸡蛋能够在盐水中浮起来是因为盐水的密度大，故选C。
]B(2017·洛阳市第一次统一考试)Goodreads recommends the following books you want to read for the event to come.1．The Lyrics：1961-2012By Bob DylanSimon&Schuster，$60What it's about：This heavy，welltimed publication contains lyrics by the songwriter who just won the Nobel Prize in Literature，from his first album，Bob Dylan，through Tempest.What's to love：The times may be changing，but Dylan's fans are constant-traditional devotees who will want this epic collection for their shelves，to sit beside those beloved old large papers.2．Taylor S w ift：This Is Our SongBy Tyler ConroySimon & Schuster，$28What it's about：An elegant fanzine celebrating all things about Taylor Swift，especially the pop star's countless fans.What's to love：Mom and/or Dad，the fans of Taylor Swift，will think you're pretty cool if he or she discovers this temple to Taylor under the Christmas tree(even if it is a book)．3．Misty CopelandBy Gregg DelmanRizzoli，$39.95What it's about：Star-figure female ballet dancer Misty Copeland strikes a pose(95，to be exact)in photos taken between 2011 and 2014，in the casual setting of dance studios.What's to love：Since becoming the first African American woman to be named a principal dancer with the American Ballet Theatre，Copeland has become a culturalphenomenon，and Delman's arresting pictures capture(捕捉)her muscular power and elegance.4．@NatGeo：The Most Popular Instagram PhotosBy National GeographicNational Geographic，$19.95What it's about：National Geographic's popular Instagram account(nearly 63 million followers)comes to book form in this title filled with eye-popping images from around the world.What's to love：Here's proof that NatGeo's talented photographers have conquered social media while maintaining the usual quality of their work.And for fans of more traditional coffee-table-size books，check out National Geographic's Wild，Beautiful Places：Picture-Perfect Journeys Around the Globe($40)．【语篇解读】本文主要推荐了几本在圣诞节期间值得阅读的书。