有理数基础知识复习
七年级数学有理数的知识点
七年级数学有理数的知识点在七年级数学中，有理数是一个重要的知识点。
本文将介绍有理数的概念、有理数的加减乘除、负数的概念、相反数、绝对值以及有理数的比较等方面的知识点。
一、有理数的概念有理数是指可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。
有理数包括正有理数、负有理数以及0。
可以用分数形式表示，例如2/3、-3/4等，也可以用小数表示。
二、有理数的加减乘除1.有理数的加法：同号相加，异号相减，保留符号取绝对值相加。
例如：3+5=8，-3+(-5)=-8，-3+5=2，-3-(-5)=2。
2.有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如：3-5=3+(-5)=-2，-3-(-5)=-3+5=2。
3.有理数的乘法：符号相同为正，符号不同为负，绝对值相乘。
例如：3×4=12，-3×4=-12，-3×(-4)=12。
4.有理数的除法：除数不为0，符号相同为正，符号不同为负，绝对值相除。
例如：8÷2=4，-8÷2=-4，-8÷(-2)=4。
三、负数的概念1.负数的概念：小于0的整数即为负数。
例如：-1、-2、-3等。
2.相反数：两个数互为相反数，当且仅当它们的和等于0。
例如：2和-2互为相反数。
3.绝对值：一个数的绝对值，表示这个数到0的距离。
例如：|-3|=3，|5|=5。
四、有理数的比较1.相等与不等：两个有理数相等，当且仅当它们的差等于0。
例如：-4+6=2，所以-4和6不相等。
2.大小比较：可以用数轴比较大小，也可以比较绝对值。
例如：-5<2，|3|>|-5|。
总之，在数学学习中，有理数是一个非常基础且重要的知识点。
希望这篇文章能够对大家更好地掌握有理数的概念、加减乘除、负数的概念、相反数、绝对值以及有理数的比较等方面的知识点提供一定的帮助。
第一章有理数基础知识复习
注：取近似数时，只对精确到那一位的后一位数进行四 舍五入，再后面的数字不考虑。
2.4 万 =24000
看这里！
1.60×104 =16000
看这里！
精确到千位！
（1）0.03086 （2）2.4万
十万分位 千位
精确到百位！
⑷2.40万 ⑸3.14 ×104 百位 百位
分别精确到哪一位？
2、按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1） 26058（精确到千位） 解：26058= 2.6058×104 ≈2.6×104 （2）805690（精确到千位） 解：805690= 8.05690×105 ≈8.06×105 （3）53 204 000 （精确到万位） 注：较大的数时， 可先把大数转化 为科学记数法， 在来取近似。
1、同号两数相加，取相同的符号， 并把绝对值相加。 2、绝对值不相等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的符号，并用较 大的绝对值减去较小的绝对值。 3、互为相反数的两个数相加得零。
4、一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置和不变。
加法交换律：a + b=b + a
注意：减法在运算时有 2 个要素要发生变化。
1 减号 2 减数
加号 相反数
1、数轴上A、B两点表示的有理数分别是2和5，
则A、B两点间的距离是 5一2 = 3 ； 2、数轴上A、B两点表示的有理数分别是一2和5， 则A、B两点间的距离是 5一（一2）= 7 ； 数轴上表示数的两点间的距离的公式：
大的数一小的数（即右边的数一左边的数）
1、整数位数比指数多1，或者指数比整数 位数少1。
2、小数点向左移动几位，10的指数就是几。
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是我们学习数学的基础，掌握有理数的知识是进行后续学习的关键。
本章将对有理数的知识点、考点和难点进行总结归纳，帮助我们更好地理解和掌握有理数。
一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值，包括正整数、负整数和零。
有理数的表示形式为分数或整数。
二、有理数的基本运算1. 加法和减法：有理数的加法和减法运算都可以通过分数的相加相减来完成，要注意同分母的分数之间的加减法运算规则，并进行合并和化简。
2. 乘法和除法：有理数的乘法和除法运算也可以通过分数的乘法和除法来完成，要注意分数的乘法规则和除法规则，并进行化简。
三、有理数的大小比较比较两个有理数的大小，可以首先将它们转化为相同分母的分数形式，然后按照分数的大小关系进行比较。
四、有理数的相反数与绝对值1. 相反数：一个有理数的相反数是它的数值相反而符号不变。
2. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号后的数值，即该数的非负值。
五、有理数的混合运算混合运算是指同时进行加减乘除等多种运算的情况。
在有理数的混合运算中，需要根据运算法则和优先级进行计算，并注意括号的运用。
六、有理数的分数表示和小数表示有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
分数形式适用于精确计算，而小数形式便于运算和比较大小。
七、有理数的化简有理数的化简是指将其写成最简形式，即分子与分母没有公约数的分数表示。
通过寻找最大公约数，可以将有理数化简为最简形式。
八、有理数的乘方运算乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。
在有理数的乘方运算中，可以根据乘方运算法则简化计算过程，并注意负次幂的运算规律。
九、有理数与实际问题的应用有理数在实际问题中有广泛的应用，如温度计的读数、海拔高度的表示、财务账目的计算等。
通过将实际问题转化为有理数运算，可以得出准确的答案。
总结：有理数是我们日常生活和学习中经常遇到的数，掌握有理数的知识对于数学学习至关重要。
本章总结了有理数的定义，基本运算，大小比较，相反数与绝对值，混合运算，分数与小数表示，化简，乘方运算以及应用等知识点、考点和难点。
有理数 基础知识详解
有理数目录一、有理数的意义二、数轴与相反数三、绝对值四、有理数的加减法五、有理数的乘除六、有理数的乘方及混合运算七、科学记数法与近似数八、《有理数》全章复习与巩固一、有理数的意义要点梳理【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．二、数轴与相反数要点梳理【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素；2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4.掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 .要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3.作差法：设a、b 为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4.求商法：设a、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立．若a、b 为任意负数，则与上述结论相反．5.倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.四、有理数的加减法要点梳理【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a 加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.五、有理数的乘除要点梳理【学习目标】1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0) a b a bb÷=≠.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．六、有理数的乘方及混合运算要点梳理【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅= 个.在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数.要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．七、科学记数法与近似数要点梳理【学习目标】1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；3.体会近似数在生活中的实际应用.【要点梳理】要点一、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l≤|a |＜10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯；（2）把一个数写成10n a ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.要点二、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米.八、《有理数》全章复习【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4.理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用；5.体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 ．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a 的绝对值记作a ．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=5210 ．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.。
有理数基本知识
§1 数 轴、相 反 数【基础知识】:一、数轴的概念： 规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴。
注意：（1） 原点 、正方向和 单位长度是数轴的三要素。
规定从数轴的原点向右（或上）为正方向，从数轴的原点向左（或下）为负方向。
同时，从数轴的原点向右（或上）的部分叫做数轴的正半轴，从数轴的原点向左（或下）的部分叫做数轴的负半轴。
（2）单位长度要一致。
（3）如果a 是正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，到原点的距离是a 个单位；如果a 是负数，则数轴上表示数a 的点在原点的左边，到原点的距离是︱a ︱个单位；（4）数轴的正半轴上的点对应的数是正数，原点对应的数是0，负半轴上的点对应的数是负数； 数轴的正半轴和原点对应的数是非负数，负半轴和原点对应的数是非正数。
二、相反数1.相反数：只有符号不同的两个数称互为相反数， 如211 和-211 互为相反数.即211是-211 的相反数. -211是211的相反数. 我们还规定： 0的相反数是0.2.相反数的几何意义：在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.3. 相反数的表示：a 的相反数是 。
【即：通常在一个数的前面添上“-”号，表示原来那个数的相反数，在一个数的前面添上“+”号，仍表示原来那个数。
】（这是化简一个数的符合的依据）0的相反数是 。
-0= ；+0= 。
注意：（1）一个数的相反数的相反数是它的本身。
（2）一般地，奇数个负号为负，偶数个负号为正；4.互为相反数的两个数的特性：（1）它们的和等于零，（2）非零数的相反数与原数的商等于-1.（3）当0>a 时，0<-a ；当0<a 时，0>-a ；当0=a 时，0=-a【基础巩固训练】一、选择题1．图中所画的数轴，正确的是（ ）-1A 1B -1210C D23-1-2-30D C B A 2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数3．与原点距离是2.5个单位长度的点所表示的有理数是（ ）A ．2.5B ．-2.5C ．±2.5D ．这个数无法确定4．关于-32这个数在数轴上点的位置的描述，正确的是（ ） A ．在-3的左边 B ．在3的右边 C ．在原点与-1之间 D ．在-1的左边5．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是（ ）A ．+6B ．-3C ．+3D ．-96．下列说法正确的是（ ）A ．带“＋号”和带“－”号的数互为相反数B ．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数C ．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数D ．一个数前面添上“－”号即为原数的相反数7．如图所示，表示互为相反数的点是（ ） A ．点A 和点D B ．点B 和点C; C ．点A 和点C D ．点B 和点D8．下列说法错误的是（ ）A ．+（-3）的相反数是3；B ．-（+3）的相反数是3C ．-（-8）的相反数是-8；D ．-（+18）的相反数是8 9．若a 的相反数是b ，则下列结论错误的是（ ）A ．a =-bB ．a +b=0；C ．a 和b 都是正数D ．无法确定a ，b 的值10．一个数的相反数大于它本身，这个数是（ ）A ．有理数B ．正数C ．负数D ．非负数11．a -b 的相反数是（ ） A ．a+b B ．-（a+b ） C ．b-a D ．-a -b12．下列各数+（-4），-（14），-[+（-14）]，+[-（+14）]，+[-（-4）]中，正数有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13．如果a 与-3互为相反数，那么a 等于（ ）A ．3B ．-3C ．13D ．-1314、下列说法错误的是( )(A)6是－6的相反数; (B)－6是－(－6)的相反数;(C)－(+8)与+(－8)互为相反数; (D)+(－8)与－(－8)互为相反数二、填空题1．在数轴上表示数6的点在原点_______侧，到原点的距离是_______个单位长度，表示数-8的点在原点的______侧，到原点的距离是________个单位长度．表示数6的点到表示数-8的点的距离是_______个单位长度．2．数轴上到原点的距离5个单位的点有个，分别表示的有理数是。
人教版第一章有理数知识点总结及习题
第一章有理数知识点总结及习题一、有理数的基础知识（1）正数：像1、2.5，这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数要严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。
1.在4，0，-7，3.09，-3.2，-5, 6中，正数的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42..下列说法正确的是( )A 、一个数前面有“－”号，这个数就是负数；B 、非负数就是正数；C 、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数；D 、0既不是正数也不是负数；知识窗口：我们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。
3.若-3000元表示亏损3000元，那么1390元表示的意义是4.已知小红比小勇高13cm ，小明比小勇矮9cm ，若将小红的身高记为+13cm ，那么小明的身高应记为 ，小勇的身高应记为 。
5.观察下列一列数：1，-2, 3，-4, 5，-6, 7，-8, 9，........。
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2015个数；（2）在前2015个数中，正数和负数分别有多少个？（3）2016和-2016是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别在第几个？若不在，请说明理由。
2、有理数的概念及分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 概念剖析： ②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数只有有限小数和无限循环小数是有理数；例1.下列说法中不正确的是（ ）A.-3.14是分数、负数，也是有理数B.0不是正数，也不是负数，但是整数。
C.-2015是负数，且是有理数D.0.9不是整数，也不是分数，因此它不是有理数。
(完整版)有理数知识点总结
有理数基础知识正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
如：有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
有理数知识点及典型例题
第1章：有理数知识点及典型例题（一）数的分类（强化记忆）⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 （按符号分） （按定义分、按性质分）注意点：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数 （2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.（3）0即不是正数，也不是负数。
0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量的基准。
如0不能理解为没有温度。
（4）初中范围内 数是指实数 正数是指正实数 负数是指负实数（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数例-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；（6）π不是有理数，而是无理数；（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“‘非'负整数”，即正整数与零。
{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数例1、把下列各数填在相应的集合里5，-2，4.6，，0，-2.25，1，+0.34，+13，-3.1416，整数集合｛ 5，-2，0，+13，…｝非负整数集合{5，0，+13，… }负分数集合｛，-2.25， -3.1416，…｝正有理数集合｛5， 4.6，1，+0.34，+13，｝例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10％，（1）±10％的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。
人教版有理数基础知识汇总常考题基础训练培优训练(含答案解析)
一、初一有理数所有知识点总结知识点1、正数和负数（1）、大于0的数叫做正数。
（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。
（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。
π不是有理数；(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数⇔0和正整数； a ＞0 ⇔a 是正数；a ＜0 ⇔a 是负数；a ≥0⇔a 是正数或 0⇔是非负数；a ≤0⇔a 是负数或0⇔a 是非正数.3、数轴【重点】（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。
数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。
注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
（4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。
4、相反数（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
① 注意：a 的相反数是-a ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-(a+b)=-a-b ；② 非零数的相反数的商为-1；③ 相反数的绝对值相等。
七年级有理数的知识点总结
七年级有理数的知识点总结有理数是由整数和分数构成的数集，是数学中重要的基础概念之一。
在七年级的数学学习中，有理数是必须掌握的知识点之一。
本文将对七年级有理数的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握有理数的理论和应用。
1. 有理数的概念有理数包括正有理数、负有理数和零。
其中正有理数是指可以表达为两个正整数之比的数；负有理数是指可以表达为两个负整数之比的数；零是可以表示为分母为1的分数。
即有理数可以用形如 a/b（其中 a 和 b 都是整数，且b ≠ 0）表示。
例如，1、-2、3/4 都是有理数。
2. 有理数的比较在数轴上，有理数按大小由左到右依次排列。
任意两个有理数可以进行比较，其比较方法是先求出两数的通分数，然后比较分子的大小即可。
例如，要比较 3/4 和 1/3 的大小，先通分为 9/12和 4/12，比较分子即可。
3. 有理数的运算有理数可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中，加法和乘法满足交换律、结合律和分配律；减法和除法则不满足交换律和结合律。
有理数的运算需要注意符号、分数化简、通分等问题。
4. 有理数的绝对值有理数的绝对值是其到0 点距离的数字表示，可以用|x| 表示。
例如，|3| = 3，|-2| = 2。
有理数的绝对值有以下性质：- 非负性：对任意有理数 x，|x| ≥ 0；- 正零性：对任意有理数 x，当且仅当 x = 0 时，|x| = 0；- 反对称性：对任意有理数 x 和 y，当且仅当 x = -y 时，|x| = |y|；- 三角不等式：对任意有理数 x 和 y，有|x+y|≤|x|+|y|。
5. 有理数的倒数有理数 a 的倒数是指与 a 乘积为 1 的数，可以用 a⁻¹或 1/a 表示。
例如，3 的倒数是 1/3。
有理数的倒数有以下性质：- 非零性：对任意非零有理数 a，a⁻¹也是非零有理数；- 互逆性：对任意非零有理数 a，a 和 a⁻¹互为倒数；- 分配律：对任意非零有理数 a 和 b，有 (ab)⁻¹ = a⁻¹ b⁻¹。
初中需要掌握的数学知识点
初中需要掌握的数学知识点一、知识概述《有理数》①基本定义：有理数就是整数（像-3、-2、-1、0、1、2、3这样的数）和分数（比如1/2、3/4这样的数）的统称。
简单说，能写成两个整数之比的数就是有理数。
②重要程度：有理数在初中数学里是特别基础的概念，基本上后面好多知识都会用到，像解方程、算函数之类的。
③前置知识：要先知道整数的概念，然后对简单的分数运算有点了解。
④应用价值：在生活里，比如算账，商品打个八折，就是按原价的4/5算，这里的4/5就是有理数。
《一元一次方程》①基本定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程，像3x+5 = 14这样的。
②重要程度：这是初中代数里相当重要的一块，是解更复杂方程的基础。
③前置知识：知道有理数的运算，还有基本的等式性质。
④应用价值：比如说去买东西，知道单价和总价，求买的数量，就可能用到一元一次方程。
《三角形的内角和》①基本定义：三角形的内角和就是三角形三个内角的度数加起来的和，是180度。
②重要程度：三角形相关知识的基石，在几何证明和计算里到处都用。
③前置知识：知道角的概念，度数的概念。
④应用价值：生活里做个三角形状的架子，就用到这个原理来保证结构稳定。
二、知识体系①知识图谱：有理数属于数与代数领域的基础部分，一元一次方程也在代数体系里，三角形的内角和在几何部分的三角形知识板块里。
②关联知识：有理数和一元一次方程有关系，方程里的系数很多都是有理数。
三角形内角和跟三角形的边、角的其他性质相互关联。
③重难点分析：- 对于有理数，难点在于有理数运算中符号的处理。
说实话我以前经常搞混正数和负数乘除时的符号。
- 一元一次方程的重点就是理解怎么去求解，移项变号这地方挺容易错的。
- 三角形内角和简单概念好懂，难的是在复杂的几何图形里找出包含内角和的三角形去证明或者计算。
④考点分析：- 有理数在考试里可能就单独出些运算的题，或者是作为综合题里数值的一部分。
有理数的知识点
有理数的知识点1. 有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不等于0。
有理数集合包括所有的整数、分数和它们的负数。
2. 有理数的性质- 封闭性：有理数集合在加法、减法、乘法和除法（除数不为零）下是封闭的。
- 有序性：任何两个有理数都可以比较大小，即对于任意两个有理数a 和b，总有a=b、a>b或a<b中的一种关系成立。
- 稠密性：任何两个有理数之间都存在另一个有理数。
3. 有理数的分类- 正有理数：大于0的有理数。
- 负有理数：小于0的有理数。
- 整数：分母为1的有理数，即形式为a/1的数。
- 分数：分子和分母都是整数，且分母不为1的有理数。
4. 有理数的运算规则- 加法：(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd- 减法：(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd- 乘法：(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)- 除法：(a/b) / (c/d) = (a/b) * (d/c) = (ad) / (bc)5. 有理数的简化通过约分，可以将有理数化为最简形式，即分子和分母没有公因数（除了1）。
6. 有理数的比较- 正有理数都大于0。
- 负有理数都小于0。
- 正有理数大于所有的负有理数。
- 两个负有理数比较大小，绝对值大的反而小。
7. 有理数的混合运算在进行有理数的混合运算时，应先乘除后加减，并注意括号的优先级。
8. 有理数的分数形式- 真分数：分子小于分母的分数。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数。
- 带分数：一个整数和一个真分数的和，形式为a + b/c，其中a和c是整数，b是大于1的整数。
9. 有理数的实际应用有理数在日常生活中广泛应用，如计算价格、测量距离、统计数据等。
10. 有理数与无理数有理数与无理数是实数的两个子集。
无理数不能表示为两个整数的比，例如√2和π。
以上是有理数的主要知识点，理解和掌握这些知识点对于学习更高级的数学概念至关重要。
七年级有理数知识点总结
七年级有理数知识点总结在初中数学中，有理数是一个非常重要的概念。
在七年级的数学课堂中，有理数也是必学的知识点之一。
本文将从基础概念、加减乘除法则、有理数的大小比较和绝对值四个方面，总结七年级有理数的知识点。
一、基础概念有理数是可以表示为分数形式的实数。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
正有理数可以写成分子分母都是正整数的分数；负有理数可以写成分子是正整数，分母是正整数的相反数的分数；零是分子为0的分数。
有理数可以用数轴来表示，其中正有理数在数轴的右侧，负有理数在数轴的左侧，而0则在数轴的中间。
二、加减乘除法则1. 加法法则：有理数相加，要先找到它们的公共分母，然后把分数相加，最后化简分数。
2. 减法法则：有理数相减，可以转化为加上相反数的操作，例如 a - b = a + (-b)。
3. 乘法法则：有理数相乘，先把它们的分子和分母相乘，然后化简分数。
4. 除法法则：有理数相除，可以转化为乘以倒数的操作，例如a ÷b = a × 1/b。
三、有理数的大小比较有理数的大小比较，要先化为同分数，再比较它们的大小。
对于正有理数而言，分数越大，数值越大；对于负有理数而言，分数绝对值越小，数值越大；对于有理数0而言，它与任何有理数比较的结果都是0。
四、绝对值有理数的绝对值是指该数到0点的距离，绝对值一定是非负数。
对于正有理数而言，它的绝对值等于它本身；对于负有理数而言，它的绝对值等于它的相反数；对于0而言，它的绝对值是0。
综上所述，七年级的有理数知识点主要包括基础概念、加减乘除法则、有理数的大小比较和绝对值四个方面。
只有掌握了这些概念和技巧，才能更好地应对与有理数有关的数学问题。
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是初中数学中的重要概念，它是进一步学习数学的基础。
下面我们来详细总结归纳一下有理数的知识点、考点和难点。
一、有理数的定义有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
整数可以看作是分母为 1 的分数。
分数则是两个整数的比值，形式为\（＼frac{m}｛n}＼）（其中\（n\neq 0\））。
二、有理数的分类1、按定义分类整数：正整数、0、负整数。
分数：正分数、负分数。
2、按性质分类正有理数：正整数、正分数。
负有理数：负整数、负分数。
三、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴的作用：1、可以直观地表示有理数，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
2、可以比较有理数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。
四、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例如，＼（5\）的相反数是\（－5\），＼（－3\）的相反数是\（3\），＼（0\）的相反数是\（0\）。
相反数的性质：1、互为相反数的两个数之和为\（0\），即\（a ＋（a) ＝ 0\）。
2、数轴上表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
五、绝对值数轴上表示数\（a\）的点与原点的距离叫做数\（a\）的绝对值，记作\（＼vert a\vert\）。
绝对值的性质：1、正数的绝对值是它本身，即当\（a ＞ 0\）时，＼（＼vert a\vert ＝ a\）。
2、 0 的绝对值是 0，即\（＼vert 0\vert ＝ 0\）。
3、负数的绝对值是它的相反数，即当\（a ＜ 0\）时，＼（＼vert a\vert ＝ a\）。
绝对值的计算：例如，＼（＼vert －5\vert ＝ 5\），＼（＼vert 3\vert ＝ 3\）。
六、有理数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例如，比较\（－3\）和\（－5\）的大小，因为\（＼vert －3\vert ＝3\），＼（＼vert －5\vert ＝ 5\），＼（3 ＜ 5\），所以\（－3 ＞－5\）。
有理数知识点考点复习
有理数知识点基础复习有理数知识点基础复习考点1、正数和负数 正数：大于零的数负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数） 注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数例1、向北走200米与向南走100米，若规定向北走为正，则向北走200米可记作，向南走100米，原地不动记作例2、七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为90分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—10分，—4分， 0分，4分，10分。
这五名同学的实际成绩分别是多少分？例3、观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、第2010个的数是什么？1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、、、⋯⋯ 2）、—1、 1 2 、—3、 1 4 、—5、 1 2 、—7、1 8 、、、⋯⋯易错点：1、误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数 例：a 一定是正数吗？2、对于“0”的含义理解不准确 例：下列说法错误的是（）A 、0是自然数B 、0是整数C 、0是偶数D 、海拔0米表示没有海拔考点2、有理数1、有理数的分类正整数整数0按定义分：有理数负整数分数正分数负分数正整数正有理数正分数按性质符号分：有理数0负有理数负整数负分数注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。
2、0是整数不是分数例1、把下列各数填在相应的集合内：π，14错误！未找到引用源。
，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，错误！未找到引用源。
，0.618，10整数集合：｛⋯｝分数集合：｛⋯｝非负数集合：｛⋯｝例2、下列说法正确的是（）A有理数分为正数和负数B有理数-a一定表示负数C正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数D有理数包括整数和分数2、数轴（重点）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
有理数知识点
有理数知识点个性化辅导讲义：有理数本章主要包括有理数的概念和有理数的运算。
有理数的概念可以通过数轴来理解，同时也可以将这些概念串联起来。
有理数的运算是本章的重点，需要注意运算法则、运算律、运算顺序和近似计算。
正数是大于零的数，而负数是小于零的数（在正数前加上负号“-”）。
需要注意的是，零既不是正数也不是负数，但它是整数。
正数和负数可以表示两种具有相反意义的量。
有理数可以按定义和性质符号进行分类。
按定义分为正整数、负整数、正分数和负分数。
按性质符号分为正有理数、负有理数和零。
需要注意的是，两种分类方法都包含了所有的有理数，而零既不是正数也不是负数，但它是整数。
数轴可以用来表示有理数并比较它们的大小。
画数轴时需要注意三个要素：原点、正方向和单位长度。
所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上还有些点不代表有理数，如π。
数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大，即负数小于正数。
两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
相反数是数轴上在两侧且到原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数（几何定义），只有符号不同的两个数互为相反数（代数定义）。
一个数的相反数可以通过在这个数前添“-”号后化简得到。
倒数是乘积等于1的两个数互为倒数。
一个数的倒数可以通过将1除以这个数得到。
绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，具有非负性，即绝对值大于等于0.互为相反数的两个数的绝对值相等。
如果表示两个非负数的式子和为0（或这两个式子互为相反数），则这两个式子都等于0.算。
非负条件式的例子是：若（x-3）+┃x+y+7┃=0，求y的值。
数轴上两点间的距离可以表示为这两个点的数的差的绝对值：表示数a的点A与表示数b的点B之间的距离为AB=︱a-b︱或AB=︱b-a︱。
与表示数m的点的距离为a（a＞0）的点有两个：表示的数是m±a。
去绝对值的三条依据是：正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：a a（a0）；-a（a0）有理数的加法法则包括同号两数相加和异号两数相加。
《有理数》基础知识讲解
《有理数》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作a．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2-=，3(3)9-=-．(3)272．运算律：（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【典型例题】类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】【变式】(1)321-的倒数是 ；321-的相反数是 ；321-的绝对值是 . -（-8）的相反数是 ；21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min.(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____ .(5) 近似数0.4062精确到 位，近似数 5.47×105精确到 位，近似数3.5万精确到 位， 3.4030×105精确到千位是 .【答案】（1）35-； 213； 213；-8；2 （2）降价5.8元，70.2 元；（3）33.7510⨯；（4）3；（5）万分；千；千；3.40×1052．如果(x-2)2+|y-3|＝0，那么(2x-y)2005的值为( )．A．1 B．-1 C．22006 D．32005【思路点拨】利用非负数的性质，求出y,x的值再代入计算．【答案】A【解析】因为(x-2)2，|y-3|都是非负数，且(x-2)2+|y-3|＝0，所以由非负数的性质先求出x=2，y =3的值，代入得： (2x-y)2005=12005=1．【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性．3．在下列两数之间填上适当的不等号：2005 2006________20062007．【思路点拨】根据“a-b＞0，a-b＝0，a-b＜0分别得到a＞b，a＝b，a＜b”来比较两数的大小．【答案】＜【解析】法一：作差法由于20052006200520072006200610 200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007<法二：倒数比较法：因为2006112007 11 2005200520062006 =+>+=所以2005200620062007< 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】比较大小：(1)199-________0.001； (2)23-________-0.68 【答案】（1）＜ （2）＞类型二、有理数的运算4．（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案与解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=×60﹣×60﹣×60=10﹣25﹣8=﹣23（4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算． 举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22-⨯÷⨯- （2）()20064261031-+--⨯-【答案】解：（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= （2）()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系． A ．-a ＜a ＜1 B ．1＜-a ＜a C ．1＜-a ＜a D ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算：31 35()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±8（3）原式=331 35(7)3577246 14142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯=⎪⎝⎭【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1200-．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．。
有理数的概念
一. 知识重点：绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）是本章的重点。
二. 知识难点：绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算是本章的难点。
三．考点：绝对值的有关概念和计算，有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。
四.五、易错：1. 字母的相减，负数减去负数！正数—正数=？负数—负数=？正数—负数=正数负数—正数=负数一、有理数的基础知识1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数； （3）0即不是正数也不是负数。
2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴：三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴：1）画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边）用这点表示0（相当于温度计上的0℃）；2）规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指的方向），那么从原点向左为负方向（相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负）；3）选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为－1，－2，－3，…注意：在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
4、相反数：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；规定0的相反数是0；互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
注意：Ⅰ.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；只有０的相反数仍然是０； 相反数的相反数等于它本身； Ⅱ.相反数的数轴表现：在数轴上，位于原点两边，并且到原点的距离相等的数互为相反数； Ⅲ.一个数和它的相反数的商为－１．5、倒数：如果两个数的乘积为１，那么这两个数互为倒数，反之亦成立． （1）. 注意：Ⅰ.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，只有１和－１的倒数等于它们本身； Ⅱ.０没有倒数！倒数与相反数是两个不同的概念：①互为倒数的两个数的积为1，而互为相反数的两个数的和为0； ②0的相反数是0，而0没有倒数；③互为倒数的两个数同号，而互为相反数的两个数（0除外）异号. （2）倒数的求解方法：（1）求一个整数的倒数时，直接写成这个数分之一即可. 如－3的倒数是31-； （2）求一个分数的倒数时，就是把这个分数的分子和分母交换一下即可.如53-的倒数是 35-（3）若求小数的倒数时，先将小数化成分数再求. 如求 - 0.5的倒数，由-0.5= 21-，21-的倒数是－2，则 -0.5的倒数是 -2； 6、绝对值：（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
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有理数基础知识复习
1、把下列各数填在相应的大括号内：
1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，－590，6/7
·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝ 负分数集｛ …｝
2、定义：
规定了 、 、 的直线，叫数轴。
像2和－2、－5和5、2.5和－2.5这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是 。
一般地：若a 为任一有理数，则a 的相反数为 。
相反数的相关性质：
2、相反数的几何意义：
表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O 的两边，并且到原点的距离相等。
互为相反数的两个数，和为0。
一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值，记作 。
任一个有理数a 的绝值，用式子表示就是：（1）当a 是正数（即a >0）时，∣a ∣= ；
（2）当a 是负数（即a <0）时，∣a ∣= ；（3）当a =0时，∣a ∣= .
2、在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，－|－2|， －4.5， 1， 0
3、比－3大的负整数是______；已知ｍ是整数且－4<m<3，则ｍ为_____________。
5、有理数中，最大的负整数是 ，最小的正整数是 。
最大的非正数是 。
6、与原点的距离为三个单位长的点有_ _个，他们分别表示的有理数是 _和_ _。
7、在数轴上点A 表示－4,如果把原点O 向左边方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的数是 。
a-b 的相反数是 。
8、|－8|= 。
－|－5|= 。
绝对值等于4的数是______。
9、绝对值等于其相反数的数一定是（ ）A ．负数B ．正数 C ．负数或零D ．正数或零
10、7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x
11、如果a a 22-=-，则a 的取值范围是（ ）
A 、a ＞O
B 、a ≥O
C 、a ≤O
D 、a ＜O ．
12、如果3>a ，则______3=-a ，______3=-a ．
13、33= ；（2
1-）2= ；－52= ；22的平方是 ； 14、下列各式正确的是（ ）
A 、225(5)-=-
B 、1996(1)1996-=-
C 、2003(1)(1)0---=
D 、99(1)10--=
15、用科学记数数表示：1305000000= ；－1020= 。
16、有理数的运算：
1、()2253[]39⎛⎫-⨯-
+- ⎪⎝⎭
2、（－1）10×2+（－2）3÷4 （3）、11135()532114⨯-⨯÷ （4）、3342293⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭
（5）、25171
()24(5)138612⎡⎤--+⨯÷-⎢⎥⎣⎦ （6）、（－10）4+［（－4）2－(3+32)×2］
（7）、2310110.25(0.5)()(1)82-÷-+-⨯- （8）、338(2)1()(2)(1)(4)421
--⨯-
--⨯-⨯-
17、已知a =3，2b =4，且a b >，求a b +的值。
18、当a<0,化简a a
a -,得( ) A 、－2 B 、0 C 、1 D 、2
19、若│x+2│+（y －3）2=0,则xy=____。
1、“a 的 3 倍与 b 的的和”用代数式表示为 ，若 n 为整数，则奇数可表示为 ，
校园里刚栽下一棵 1.8m 的高的小树苗，以后每年长 0.3m 。
则 n 年后的树高是＿＿m 。
2、已知：a ＝12，b ＝3，则 = ，若当x ＝－，y ＝－，则4x 2－y= 。
如果a ＋b ＝4，ab ＝1，则2a ＋3ab ＋2b= 。
如果1=+y x ，则=--y x 223________。
3、在式子 x －2，2a 2b ，a ，c ＝πd ，，a ＋1＞b 中，代数式有 个。
4、已知249x 与n
n x 5是同类项，则n 等于 ，若32323265y x y ax y x =+-，则=a _______。
5、323
4y x -的系数是 ，次数是 ；220053xy 是 次单项式；单项式
21xy 2z 是_____次单项式，多项式：y y x xy x +-+3223534是 次 多项式；42234263y y x y x x --+-的次数是 ；多项式x 3y 2－2xy 2－43
xy －9是___次___项式，其中最高次项的系数是 ，二次项是 ，常数项是 ．
6、合并同类项
（1）、(5
31)(21)x x y x y +-+--+ （2）、322223b ab b a ab b a a +-++-
（3）、)3(2)2(322b ab ab a +--- （4）、4a 2b －[3ab 2－2（3a 2
b －1）]
7、已知4433m n x y x y +-与是同类项，求代数式10099(3)m n mn +--的值。
8、先化简，在求值：
（1）2211312()()2323x x y x y --+-+其中22,3
x y =-=。
（2）7x 2y －xy －[3x 2y －2（4xy 2 －21xy ）]－4x 2y ，其中x=－21，y=21。