【北京石景山区高三一模数学】2020年北京市石景山区高三统一测试数学试卷含参考答案

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2020-2021学年北京市石景山区高三统一测试(一模)数学(理)试题及答案解析

高考数学模拟试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且AB B =，则集合B 可能是（）A ．}2,1{B ．}1|{≤x xC ．}1,0,1{-D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（）AB ．2 C． D ．33．执行如右图的程序框图，若输出的48S =，则输入k 的值可以为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）② ③ ④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=xy． 13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）a ．b ．c ．ACDE FB下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市3月某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．石景山区高三统一测试数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分又因为EDBD=D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则0n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30，所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120所以1cos ,24AP n AP n AP n⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =-………12分当y z =-时，（*）式无解当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，P 或(0,P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分（Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞．又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分（III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减．故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b =………………1分由c e a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分（Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2020年北京市石景山区高考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}，则P∩Q=()A. [−1,0]B. [0,2]C. [−2,3]D. [−1,3]2.在复平面上，复数3−2i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=x3B. y=ln|x|C. y=x−2D. y=|log2x|4.直线x−y+1=0与圆x2+y2=1的关系是()A. 相切B. 相交但不过圆心C. 相离D. 相交且过圆心5.将4名志愿者全部分配到三个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的分配方案总数为()A. 18B. 24C. 36D. 726.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 87.设函数的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则()A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减C. f(x)在(0,π2)单调递增 D. f(x)在(π4,3π4)单调递增8.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，给出下列命题：①当x>0时，f(x)=e x(1−x)；②f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)；③函数f(x)有2个零点；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内(含边界)一点，若，则线段A1P长度的取值范围是()A. (√22,√52) B. [3√24,√52] C. [1,√52] D. [0,√52]二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知向量a⃗=(1,√3)，向量a⃗,c⃗的夹角是π3，a⃗·c⃗=2，则|c⃗|等于________．12.已知首项为1的正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3=10，则S4a4−2=_______．13.由命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a,+∞)，则实数a=______ ．14.M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，则∠xFM的大小为______．15.某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共用17名，无论是否把我算在内，下面是否都是对的，在这些医务人员中：医生不少于护士，女护士多于男医生，男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．17.天津高考数学试卷共有8道选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，评分标准规定：“选对得5分，不选或选错得0分”.某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：(Ⅰ)该考生得40分的概率；(Ⅱ)写出该考生所得分数孝的分布列，并求：①该考生得多少分的可能性最大？②该考生所得分数ξ的数学期望⋅18.已知，△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3；②cosB=−23；③a=7；④b=3．(Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由；(Ⅱ)求△ABC的面积．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．20.已知函数f(x)=x−lnx−1．(Ⅰ)求函数f(x)在x=2处的切线方程；(Ⅱ)若x∈(0,+∞)时，f(x)≥ax−2恒成立，求实数a的取值范围．21.已知首项为3的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且−2S2，S3，4S4成等差数列．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于数列{A n}，若存在一个区间M，均有A i∈M，(i=1,2，3…)，则称M为数列{A n}的“容，试求数列{b n}的“容值区间”长度的最小值．值区间”.设b n=S n+1Sn-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合P=[−1,3]，Q={x||x−1|≤1}={x|0≤x≤2}，∵P∩Q={x|0≤x≤2}=[0,2]．故选：B．先分别求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接写出复数3−2i对应的点的坐标得答案．解：在复平面上，复数3−2i对应的点的坐标为(3,−2)，位于第四象限．故选：D．3.答案：B解析：本题考查函数的单调性与单调区间，函数的奇偶性，指数函数及其性质，对数函数及其性质．掌握奇偶函数的判定方法及常见函数的性质是解题的关键．解：A.y=x3为奇函数，故A错；B.y=ln|x|既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增，故B正确；C.y=x−2在(0,+∞)上是减函数，故C错；D.y=|log2x|，函数的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，不是偶函数，故D错．故选B．4.答案：B解析：本题主要考查了直线与圆位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道容易题．解：由圆的方程x2+y2=1，得圆心坐标为(0,0)，圆的半径r=1，圆心到直线x−y+1=0的距离为d=√1+1=√22<1=r，且d≠0所以直线与圆相交且不过圆心，故选B．5.答案：C解析：本题考查排列、组合的运用，为基础题．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：首先把4名志愿者分为3组，则有一个组有2人，共有C42种分法，再把分好的3组分到不同的3个场馆，则有A33种分法，所以共有C42A33=36种分法．故选C．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×22=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．解：直观图为四棱锥F−ABHI，如图所示：=3，四棱锥的高为2，底面为梯形，面积为(1+2)×22×3×2=2．∴几何体的体积为13故选A．7.答案：A解析：本题主要考查了辅助角公式以及三角函数的图象和性质，属于基础题．首先根据辅助角将其变成，根据函数周期求出ω，再结合其为偶函数，，再利用余弦函数的图象解答．求出φ=π4解：f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0)，且函数f(x)的最小正周期为π，=π，解得ω=2，∴2πω，∵f(−x)=f(x)，，即，，∴取k=0，可得，则f(x)=√2cos2x．)单调递减，则f(x)在(0,π2故选A．8.答案：C解析：【试题解析】本题考查充要性，以及数列，属于基础题．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的充要条件，故选：C．9.答案：B解析：解：设x>0，则−x<0，故f(−x)=e−x(−x+1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(−x)=−f(x)=e−x(−x+1)，所以f(x)=e−x(x−1)，故①错误；因为当x<0时，由f(x)=e x(x+1)>0，解得−1<x<0，当x>0时，由f(x)=e−x(x−1)>0，解得x>1，故f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)，故②正确；令e x(x+1)=0可解得x=−1，当e−x(x−1)=0时，可解得x=1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(0)=0，故函数的零点由3个，故③错误；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，正确，因为当x>0时f(x)=e−x(x−1)，图象过点(1,0)，又f′(x)=e−x(2−x)，可知当0<x<2时，f′(x)>0，当x>2时，，f′(x)<0，故函数在x=2处取到极大值f(2)=1，e2且当x趋向于0时，函数值趋向于−1，当当x趋向于+∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f(x)的图象，可得函数−1<f(x)<1，故有|f(x1)−f(x2)|<2成立．综上可得正确的命题为②④，故选B逐个验证：①为函数对称区间的解析式的求解；②为不等式的求解，分段来解，然后去并集即可；③涉及函数的零点，分段来解即可，注意原点；④实际上是求函数的取值范围，综合利用导数和极值以及特殊点，画出函数的图象可得范围．本题考查命题真假的判断，涉及函数性质的综合应用，属中档题．10.答案：B解析：本题考查点、线、面间的距离问题，线面平行，属中档题．分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，由此可解．解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN//BC1，EF//BC1，∴MN//EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN//平面AEF；∵AA1//NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N//AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N//平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN//平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M=√A1B12+B1M2=√52，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=√52，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O=√A1M2−OM2=3√24，A1M=A1N=√52，所以线段A1P长度的取值范围是[3√24,√5 2].故选B．11.答案：2解析：本题考查向量的坐标以及向量数量积的定义，由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．解：∵|a⃗|=√12+(√3)2=2又∵a⃗⋅c⃗=|a⃗|⋅|c⃗|⋅cosπ3=2即：2×|c⃗|×12=2∴|c⃗|=2故答案为2.12.答案：85解析：本题考查等比数列通项和求和，属于基础题．先求出公比q，再利用等比数列通项和求和化简求解即可．解：等比数列{a n}中，a1=1，a1+a3=10，由题意设公比为q(q>0)，故1+q²=10，解得q=3(q=−3舍去)，故S4a4−2=1−341−333−2=85．故答案为85．13.答案：1解析：解：存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m>0”，∴△=4−4m<0，∴m>1，m的取值范围为(1,+∞)．则a=1存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m> 0”，根据一元二次不等式解的讨论，可知△=4−4m<0，所以m>1，则a=1．考察了四种命题间的关系和二次函数的性质，属于常规题型．14.答案：60°解析：解：M是抛物线y2=8x上一点，F是抛物线的焦点，若|FM|=8，可得M(6,4√3).|FM|=8，则∠xFM的大小，可得cos∠xFM=6−28=12，则∠xFM的大小为：60°．故答案为：60°．求出抛物线中的M的坐标，然后求解∠xFM的大小．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15.答案：女医生解析：解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c>a，③a>b④d≥2得出：c>a>b>d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b−1符合，即女医生．假设：d>2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生．故答案为：女医生．设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．16.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD 是正三角形，E 是AD 中点，∴PE ⊥AD ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD =AD ， ∴PE ⊥底面ABCD ，∴PE ⊥CE ， ∵底面ABCD 是矩形且AD =2AB ， ∴AE =DE =AB =CD ， ∴∠AEB =∠DEC =45°， ∴∠AEB +∠DEC =90°， ∴∠BEC =90°，∴BE ⊥CE ， ∵PE ∩BE =E ，∴CE ⊥平面PBE ．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)，设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)，则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．17.答案：解：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ， “不能理解题意的”该题选对为事件C ，则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14， ∴该考生得40分的概率：P =[P(A)]2⋅P(B)⋅P(C)=14×13×14=148．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40， P(ξ=20)=[P(A .)]2P(B .)P(C .)=14×23×34=648，P(ξ=25)=C 21P(A)P(A .)P(B .)P(C .)+[P(A .)]2P(B)P(C .)+[P(A .)]2P(B .)P(C .)=2×(12)2×23×34+14×13×34+14×23×14=1748，P(ξ=30)=[P(A)]2P(B .)P(C .)+C 21P(A .)P(A)P(B .)P(C)+[P(A .)]2P(B)P(C)=(12)2×23×34+2×12×12×23×14+2×12×12×13×34+(12)2×13×14=1748，P(ξ=35)=C 21P(A)P(A .)P(B)P(C)+[P(A)]2P(B .)P(C .)=2×12×12×13×14+(12)2×13×34+(12)2×23×14=748， P(ξ=40)=1−648−1748−1748−748=148，∴该考生得25分或30分的可能性最大． ②Eξ=20×648+25×1748+30×1748+35×748+40×148=33512．解析：(Ⅰ)设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A ，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B ，“不能理解题意的”该题选对为事件C ，则P(A)=12，P(B)=13，P(C)=14，由此能求出该考生得40分的概率．(Ⅱ)①该考生所得分数ξ=20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出该考生得25分或30分的可能性最大． ②由①能求出Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．18.答案：(Ⅰ)解：△ABC 同时满足①，③，④.理由如下：若△ABC 同时满足①，②．因为cosB =−23<−12，且B ∈(0,π)，所以B >23π．所以A +B >π，矛盾．所以△ABC 只能同时满足③，④．因为a >b ，所以A >B ，故△ABC 不满足②．故△ABC 满足①，③，④．(Ⅱ)解：因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以72=32+c 2−2×3×c ×12．解得c =8，或c =−5(舍)．所以△ABC 的面积S =12bcsinA =6√3．解析：(Ⅰ)判断三角形的满足的条件，推出结果即可； (Ⅱ)利用余弦定理求出c ，利用面积公式求解△ABC 的面积．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．19.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形，则 PA//MN ，且|PA|=|MN|．所以直线PA 的方程为y =k(x −2)，所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|，所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)=1−1x ，∴f′(2)=1−12=12，f(2)=1−ln2，∴函数f(x)在x =2处的切线方程为：y −(1−ln2)=12(x −2) 即x −2y −ln4=0(Ⅱ)当x ∈(0,+∞)时，f(x)≥ax −2恒成立， ∴a ≤1+1x −lnx x ，令g(x)=1+1x −lnx x，则g′(x)=lnx−2x 2=0，即x =e 2，可得g(x)在(0,e 2)上单调递减，在(e 2,+∞)上单调递增， ∴g(x)min =g(e 2)=1−1e 2，即a ≤1−1e 2故实数a 的取值范围是(−∞,1−1e 2]．解析：(Ⅰ)求切线方程，关键是求斜率，也就是求f(x)在x =2时的导数，然后利用点斜式，问题得以解决；(Ⅱ)求参数的取值范围，转化为a ≤1+1x −lnx x，也就是求最值的问题，问题得以解决．本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题，中等题．21.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，由−2S 2，S 3，4S 4成等差数列，知2S 3=−2S 2+4S 4，即a 1+a 2+a 3=−(a 1+a 2)+2(a 1+a 2+a 3+a 4)， ∴a 4a 3=−12=q ，又a 1=32，∴a n =32⋅(−12)n−1；(2)由(1)可知S n =1−(−12)n ，当n 为偶数时，S n =1−(12)n ，易知S n 随n 增大而增大， ∴S n ∈[34,1)，此时b n =S n +1S n∈(2,2512]，当n 为奇数时，S n =1+(12)n ，易知S n 随n 增大而减小， ∴S n ∈(1,32]，此时b n =S n +1S n∈(2,136]，又136>2512，∴b n ∈(2,136]，故数列{b n }的“容值区间”长度的最小值为16．解析：本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，考查新定义的理解和运用，以及分类讨论的思想方法，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设等比数列{a n }的公比为q(q ≠0)，运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的通项公式，解方程可得q ，即可得到所求通项公式；(2)运用等比数列的求和公式，讨论n 为偶数，n 为奇数，结合数列的单调性，以及“容值区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．。

北京市2020年石景山区高三统一测试数学附答案与评分标准

17.（本小题 14 分）
2020 年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
1 两名男生选考案相同
18.（本小题 14 分）
已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：
2020 年石景山区高三统一测试
数学
本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
f
(
x)
1 x
0
x 0 ；② f (x) x2 ；③ f (x) | x2 1| ； x0
具有性质 P 的函数的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
高三数学试题第 2页（共 6页）
10. 点 M ，N 分别是棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中棱 BC,CC1 的中点，动点
1. 设集合 P {1，2，3，4} ， Q {x || x | 3, x R} ，则 P Q 等于
A. 1
B. 1, 2，3
C. 3，4
D. 3, 2, 1, 0,1, 2,3
2. 在复平面内，复数 5+6i , 3-2i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是

2020年石景山区高三数学一模试题(含答案)

21.（本小题 14 分）
有限个元素组成的集合 A {a1, a2 ,, an } ， n N* ，记集合 A 中的元素个数为
card (A) ，即 card (A) n .定义 A A {x y | x A, y A} ，集合 A A 中的元素个数
记为 card (A+A) ,当 card (A+A)= n(n 1) 时，称集合 A 具有性质 P . 2
（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有 8 人选择物理、化学和生物；有 4 人选择
物理、化学和历史；有 2 人选择物理、化学和地理；有 2 人选择物理、化学和政
治.
……9 分
的可能取值为 0，1.
P(
0)
C81C81
C
41C
1 4
C126
C
21C
1 2
7 10
P(
1)
C82
C
2 4
C
2 2
A. 2 B. 4 C. 5 D. 8
7.
函数
f
x
cos x
6
（
0 ）的最小正周期为
，则
f
x
满足
A.
在
0,
3
上单调递增
B. 图象关于直线 x 对称 6
C.
f
3
3 2
D. 当 x 5 时有最小值 1 12
8. 设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn . 则“ S1+S3 2S2 ”是“{an}为递增数列”的
1 两名男生选考方案相同
18.（本小题 14 分）
已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：
① A = p ② a = 13 ③ c = 15 ④ sin C = 1

2020北京市石景山区高三一模拟数学(含答案)

2020北京市石景山区高三一模拟数学（含答案）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a = A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.32fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.2⎡⎢⎣1AN第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=．（Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>．（Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.。

2020年石景山高三一模数学

2020年石景山区高三统一测试数学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A. 43-B. 34-C.D. 25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种 A. 36B. 64C. 72D. 816. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C. 5D. 87. 函数()cos6f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x满足A.在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6xπ=对称C.3fπ⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512xπ=时有最小值1-8. 设{}n a是等差数列，其前n项和为n S. 则“132+2S S S>”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设()f x是定义在R上的函数，若存在两个不等实数12,x x∈R，使得1212()()()22x x f x f xf++=，则称函数()f x具有性质P，那么下列函数：①1()00xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x=；③2()|1|f x x=-；具有性质P的函数的个数为A.0B. 1C. 2D. 310. 点M N，分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中棱1,BC CC的中点，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动.若1PA∥面AMN，则1PA的长度范围是A.⎡⎣B.⎣1A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=__________． 12. 已知各项为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112a a a -=，则4S =_________． 13. 能够说明“设,ab 是任意非零实数，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组整数,a b 的值依次为______________．14. 已知F 是抛物线C:24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =__________．15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师C.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,3组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O ⋂=．（Ⅰ）求证：BO ⊥面PAC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科C目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.18.（本小题14分）已知锐角ABC △，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A p =② 13a = ③ 15c = ④1sin 3C = (Ⅰ)请指出这三个条件，并说明理由； (Ⅱ)求ABC △的面积.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F . 直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20. （本小题14分）已知函数2()(0),()ln (0)f x x x g x a x a =>=>．（Ⅰ）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，过()f x 上一点11（，）作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.（本小题14分）有限个元素组成的集合},,,{21n a a a A Λ=，*N ∈n ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为(+)card A A ,当(1)(+)=2n n card A A +时，称集合A 具有性质P . (Ⅰ)}7,4,1{=A ，}8,4,2{=B ，判断集合B A ,是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）设集合}2020,,,{321a a a A =，2020321<<<a a a 且)3,2,1(*=∈i N a i ，若集合A 具有性质P ，求321a a a ++的最大值；（Ⅲ）设集合},,,{21n a a a A Λ=，其中数列}{n a 为等比数列，),,2,1(0n i a i Λ=>且公比为有理数，判断集合集合A 是否具有性质P 并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．6π； 12．15； 13． 21，-；答案不唯一 14．3； 15. 小学中级．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）（Ⅰ）证明：联结PO ．在正四棱锥P ABCD -中， PO ⊥底面ABCD ．因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BO ． …………3分在正方形ABCD 中，BO AC ⊥，又因为PO AC O =I ，所以BO ⊥面PAC ． …………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，PO ，AO ，BO 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 . …………7分在正方形ABCD 中，因为AB = 所以2AO =．又因为PB = 所以2PO =．所以点P 的坐标为(0,0,2)P ，点C 的坐标为(2,0,0)C -，点B 的坐标为(0,2,0)B ． …………8分则(2,0,2)PC =--u u u r ，(2,2,0)CB =u u u r． …………9分由（Ⅰ）知，BO ⊥平面PAC ．所以平面PAC 的一个法向量为1(0,2,0)n OB ==u r u u u r． …………10分设平面PBC 的一个法向量2(,,)n x y z =u u r．则220,0,n PC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g 即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩ 令1y =，则1x =-，1z =．故平面PBC 的一个法向量2(1,1,1)n =-u u r． …………13分121212cos ,3||||n n n n n n <>==u r u u ru r u u r g u ru u r所以二面角A PC B --的余弦值为3． …………14分17.（本小题14分）解：(Ⅰ)由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 …1分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 3926028840=⨯人 ………4分 (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。

2020届北京市石景山区高三4月统一测试数学试题(含答案)

2020年石景山区高三统一测试数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{}1,2,3,4P =，{}3,Q x x x R =≤∈，则P Q 等于（）A. {}1B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}3,2,1,0,1,2,3---2.在复平面内，复数56i +，32i -对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（） A. 84i +B. 28i +C. 42i +D. 14i +3.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（） A. 22y x =-+B. 2xy -=C. ln y x =D. 1y x=4.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（） A. 43-B. 34-C.3D. 25.将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种． A. 72B. 36C. 64D. 816.如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 5D. 87.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π，则()f x 满足（） A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6x π=对称C. 332f π⎛⎫=⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1- 8.设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S .则“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（） A. 0B. 1C. 2D. 310.点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（）A .5⎡⎣B. 3252⎡⎢⎣C. 322⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,3二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量13,22BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3122BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=______.12.已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()*n S n N ∈，且123112aa a -=，则4S =__________． 13.能够说明“设a ，b 是任意非零实数”，若“a b >，则11a b<”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为______.14.已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在正四棱锥P ABCD -中，22AB PB ==，ACBD O =.（1）求证：BO ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PC B --的余弦值.17.2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文､数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理､化学､生物､历史､地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理､化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理､化学和生物”为其选考方案. 某校为了解高一年级840名学生选考科目意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（2）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理､化学､生物”的概率；（3）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量01ξ⎧=⎨⎩两名男生选考方案不同两名男生选考方案相同，求ξ的分布列和期望.18.已知锐角ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求ABC的面积.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F .直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率. 20.已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由.21.有限个元素组成的集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ，记集合A 中的元素个数为()card A ，即()card A n =.定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +中的元素个数记为()card A A +，当()()12n n card A A ++=时，称集合A 具有性质P .（1）{}1,4,7A =，{}2,48B =,，判断集合A ，B 是否具有性质P ，并说明理由；（2）设集合{}123,,,2020A a a a =，1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)，若集合A 具有性质P ，求123a a a ++的最大值；（3）设集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，其中数列{}n a 为等比数列，0i a >(1,2,,i n =⋅⋅⋅)且公比为有理数，判断集合A 是否具有性质P 并说明理由.2020年石景山区高三统一测试数学一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B 【解析】【分析】由333x x ≤⇒-≤≤，又因为{}1,2,3,4P =.所以PQ ={}1,2,3.【详解】由{}3,Q x x x R =≤∈得：333x x ≤⇒-≤≤，又因为{}1,2,3,4P = 所以P Q ={}1,2,3.故选：B【点睛】本题主要考查两个集合的交集，属于基础题目. 2.【答案】C 【解析】【分析】根据复数z a bi =+ 在复平面内所对应点的坐标为(,)a b ，得出A ，B 的坐标，进而得出点C 的坐标，进而得出答案.【详解】因为复数56i +，32i -对应的点分别为A ，B ，所以在复平面内点A 的坐标为()5,6A ，点B 的坐标为()3,2B -，又因为C 为线段AB 的中点，所以点C 的坐标为5362,(4,2)22+-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点C 对应的复数是42i +. 故选：C【点睛】主要考查复数在复平面内所对应点的坐标知识，属于基础题目. 3.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性对4个选项一一判断，即可得出答案.【详解】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2x y -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题目. 4.【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A.【考点】圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．5.【答案】B 【解析】【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有234336C A =．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏． 6.【答案】B 【解析】如图所示，题中的几何体是棱长为2的正方体被平面ABCD 截得的正方体的下部分，很明显截得的两部分是完全一致的几何体，则该几何体的体积为31242V =⨯=. 本题选择B 选项.7.【答案】D 【解析】由函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π得2ω=，则()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当(0,)3x π∈时，52(,)666x πππ+∈，显然此时()f x 不单调递增，A 错误；当6x π=时，()cos062f ππ==，B 错误；53()cos 362f ππ==-，C 错误；故选择D. 8.【答案】C 【解析】【分析】先由1322S S S +>进行化简，能推出0d >，即{}n a 为递增数列. 再由{}n a 为递增数列，得321a a a >>，能推出1322S S S +>故“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件. 【详解】设{}n a 的公差为d .充分性证明：由1322S S S +>得：112312322()a a a a a a a a +++>+⇒> ，即：0d >. 所以{}n a 为递增数列.必要性证明：由{}n a 为递增数列得：321a a a >> ，所以11231122122132()2a a a a a a a a a S S a S =+++>+++=+=+所以“1322S S S +>”是“{}n a 为递增数列的充分必要条件故选：C.【点睛】本题主要结合等差数列考查充分条件及必要条件的判断.属于基础题目. 9.【答案】C 【解析】【分析】对于①，取121,1x x ==-便可得出答案.对于②，运用反证法，即可证明()2f x x =不具有性质P .对于③，取12x x ==.【详解】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==- 此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=.所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾. 故函数②不具有性质P .对于③：取12x x == 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.【点睛】本题主要考查对函数性质的理解，属于中档题目. 10.【答案】B 【解析】【分析】取11B C ，1B B 中点E ，F ，得平面1A EF ∥平面AMN .进而得到点P 的轨迹为线段EF ，又因为1A EF 为等腰三角形，进而便可得出答案. 【详解】取11B C ，1B B 中点E ，F ，连接1A E 、1A F . 则1A E ∥AM .EF ∥MN .又因为1A E EF E ⋂= . 所以平面1A EF ∥平面AMN .又因为动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，所以点P 的轨迹为线段EF .又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11A E A F ==EF =所以1A EF 为等腰三角形.故当点P 在点E 或者P 在点F 处时，此时1PA 最大，最大值5.当点P 为EF 中点时，1PA 最小，最小值为22232(5)()22-= . 故选：B.【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属于中档题目，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点P 的位置.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】6π；【解析】【分析】由向量的数量积公式得：cos BA BC ABC BA BC⋅∠=⋅，代入化简，便可求得答案.【详解】由13,22BA ⎛= ⎝⎭，31,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得：332cos 12BA BC ABC BA BC⋅∠===⋅ 又因为[]0,ABC π∠∈，所以6ABC π∠=.故答案：6π. 【点睛】本题主要考查向量的数量积知识，属于基础题目. 12.【答案】15 【解析】解：由题意可知：2111111a a q a q -= ，结合11,0a q => 解得：2q ，则4124815S =+++= .13.【答案】2，1-；(答案不唯一) 【解析】【分析】取2,1a b ==-，再使用反证法即可得出答案.【详解】取2,1a b ==- ，则a b >，但是1121>-，即11.a b> 故答案为：2，1-.【点睛】本题考查了真假命题的定义及反例的应用，属于基础题目. 14.【答案】3；【解析】【分析】由题意得：(1,0)F ，又因为M 为FN 的中点，且点N 在y 轴上，设点(0,)N N y ，所以点M 为1(,)22Ny ，又因为点M 在抛物线上，代入抛物线便可得出N y ，进而求得 3FN =. 【详解】根据题意画出图象，如下图所示：因为F 是抛物线C ：24y x =的焦点，所以点F 坐标为(1,0)F . 设点N 为(0,)N N y ，因为M 为FN 的中点，所以点M 为1(,)22Ny ，因为点M 在抛物线上，则214()22N y =⨯.则28Ny = .故：3FN === . 故答案为：3.【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a b c d ,,,，根据条件列不等式组，推出a b c d ,,,取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a b c d ,,,，则13,1,,,a b c d d c d a b b c a b +++=≥+≤+<< 所以13(),7,6a b a b a b c d -+≤+∴+≥+≤，若7,a b +=则6,3,4,5,1c d a b a b c d +=<∴====，若8,a b +≥则5,14,3,5c d d c b c b a b +≤≥∴≤∴≤≥矛盾队长为小学中级时，去掉队长则2,4,5,1a b c d ====，满足11,64,45,24d c d a b b c a b =≥+=≤+==<==<=；队长为小学高级时，去掉队长则3,3,5,1a b c d ====，不满足a b <；队长为中学中级时，去掉队长则3,4,4,1a b c d ====，不满足b c <；队长为中学高级时，去掉队长则3,3,5,0a b c d ====，不满足1d ≥；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）证明见解析.（2）3【解析】【分析】（1）P ABCD -为正四棱锥.所以ABCD 为正方形，PO ⊥面ABCD ，PO BO ⊥. 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥ . POAC O =，所以BO ⊥面PAC .（2）要求二面角A PC B --的余弦值，通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可得出答案. 【详解】（1）证明：联结PO.在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD . 因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥. 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥，又因为POAC O =，所以BO ⊥面PAC .（2）解：由（1）知，PO ，AO ，BO 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 在正方形ABCD 中，因为22AB = 所以2AO =. 又因为22PB = 所以2PO =.所以点P 的坐标为()002P ,,，点C 的坐标为()2,0,0C -，点B 的坐标为()0,2,0B .则()2,0,2PC =--，()2,2,0CB =. 由（1）知，BO ⊥平面PAC .所以平面PAC 的一个法向量为()10,2,0n OB ==. 设平面PBC 的一个法向量()2,,n x y z =.则2200n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩令1y =，则1x =-，1z =.故平面PBC 的一个法向量()21,1,1n =-. 1212123cos ,3n n n n n n ⋅==所以二面角A PC B --的余弦值为3. 【点睛】本题主要考查线面垂直及空间向量求面面角的应用，属于中档题目.17.2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文､数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理､化学､生物､历史､地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理､化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理､化学和生物”为其选考方案. 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（2）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理､化学､生物”的概率；（3）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量01ξ⎧=⎨⎩两名男生选考方案不同两名男生选考方案相同，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）392人.（2）815.（3）分布列答案见解析，期望为310【解析】【分析】（1）计算男生和女生确定选考生物的人数，进行估算即可.（2）根据表格数据可得选考方案确定的男生中选择“物理､化学､生物”的人数，进而得到答案. （3）求出随机变量的数值和对应的概率，即可得到分布列和期望.【详解】（1）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有82028+=人所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有2884039260⨯=人（2）选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人. 设“恰好有一人选物理､化学､生物”为事件A()1188216815C C C P A ==（3）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理､化学和生物；有4人选择物理､化学和历史；有2人选择物理､化学和地理；有2人选择物理､化学和政治.ξ的可能取值为0，1.()1111118844222167010C C C C C C P C ξ++=== ()222284222163110C C C C P C ξ+++=== 所以ξ的分布列为：73301101010E ξ=⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查统计与概率的综合知识，涉及到离散型随机变量、数学期望的求法，考查了频数分布表、古典概型的知识，题目难度稍大.18.【答案】（1）ABC 同时满足①，②，③，理由见解析.（2）【解析】【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.（2）利用余弦定理求出b ，利用面积公式求解ABC 的面积. 【详解】（1）ABC 同时满足①，②，③. 理由如下：若ABC 同时满足①，④，则在锐角ABC 中，11sin 32C =<，所以06C π<< 又因为3A π=，所以32A C ππ<+<所以2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾，所以ABC 不能同时满足①，④，所以ABC 同时满足②，③.因为c a >所以C A >若满足④. 则6A C π<<，则2B π>，这与ABC 是锐角三角形矛盾.故ABC 不满足④.故ABC 满足①，②，③.（2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以222113152152b b =+-⨯⨯⨯. 解得8b =或7b =.当7b =时，22271315cos 02713C +-=<⨯⨯所以C 为钝角，与题意不符合，所以8b =. 所以ABC的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.19.【答案】（1）2212x y +=.（2）证明见解析.（3）直线l的斜率：【解析】【分析】（1）由题意知1c =，2c a =，可得a =1c =，1b =.故得到椭圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)，将直线与椭圆进行联立，利用中点坐标公式，结合韦达定理得到12M OM M y k x k-==，进而得解.（3）四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=.所以2122421P k x x x k =+=+，2221P ky k -=+，又因为点P 在圆上，把点P 坐标代入椭圆方程，即可得出答案. 【详解】（1）由已知1c =，2c e a ==，又222a b c =+，解得a =1b =所以椭圆方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220kx k x k +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y 则2122421k x x k ，因为M 为线段AB 的中点所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k-== 所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. （3）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=所以2122421P k x x x k =+=+ ()()()1212122211221P ky y y k x k x k x x k -=+=-+-=+-=+因为点P 在椭圆上，所以2222242222121k k k k ⎛⎫-⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭解得212k =，即2k =±所以当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l的斜率为2k =±【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题目. 20.【答案】（1）02e a <<.（2）2条切线，理由见解析【解析】【分析】（1）把()()f x g x >转化为：()()()h x f x g x =-，要使得()()f x g x >恒成立，即满足()h x 的最小值大于0.（2）设切点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-，对方程化简，判断0x 的个数即可，得出切线的条数. 【详解】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：⎫+∞⎪⎪⎭所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：)所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增. 且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.【点睛】本题主要考查利用导数解决恒成立问题及切线的问题，考查了逻辑思维能力，属于中档题目. 21.【答案】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P ，理由见解析.（2）6050.（3）集合A 具有性质P ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据定义即可判断，进而得出答案.（2）运用反证法即可得出答案.（3）设11n n a a q -=，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，进而结合反证法证明假设不成立，进而得出答案.【详解】（1）集合A 不具有性质P ，集合B 具有性质P .{}2,5,8,11,14A A +=，()()33152card A A ++=≠不具有性质P ； {}4,6,8,10,12,16B B +=，()()33162card B B ++==具有性质P . （2）若三个数a ，b ，c 成等差数列，则{},,A a b c =不具有性质P ，理由是2a c b +=.因为1232020a a a <<<且i a N *∈(1,2,3i =)所以32019a ≤，要使123a a a ++取最大，则32019a =；22018a ≤，易知{}2018,2019,2020不具有性质P ，要使123a a a ++取最大，则22017a =；12016a ≤，要使123a a a ++取最大，检验可得12014a =；()123max 6050a a a ++=（3）集合A 具有性质P .设等比数列的公比为为q ，所以11n n a a q -=(10a >)且q 为有理数，假设当i k l j <≤<时有i j l k a a a a +=+成立，则有1j i k i l i q q q ---=+-因为q 为有理数，设m q n=(m ，n *∈N )且(m ，n 互质)，因此有 1j i k i l i m m m n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即j i k i j k l i j l j i m m n m n n ------=+-（1），（1）式左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，又m ，n 互质，显然i j l k a a a a +=+不成立.所以()() 1212n nn ncard A A C C ++=+=，所以集合A具有性质P.【点睛】本题考查了集合新定义问题，考查了等比数列的应用，以及学生的阅读能力，属于难题.。

石景山2020届高三一模数学试卷及答案

2020-2021学年北京市石景山区高三统一测试（一模）数学（理）试题及答案解析

2020-2021学年北京市⽯景⼭区⾼三统⼀测试（⼀模）数学（理）试题及答案解析⾼考数学模拟试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆效．考试结束后上交答题卡．第⼀部分（选择题共40分）⼀、选择题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（）AB ．2 C． D ．33．执⾏如右图的程序框图，若输出的48S =，则输⼊k 的值可以为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．⼆项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所⽰的空间直⾓坐标系O xyz -中，⼀个四⾯体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四⾯体的正视图和俯视图分别为（）②③④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离⼼率215+=e ，则称此双曲线为黄⾦双曲线．有以下⼏个命题：①双曲线115222=--y x 是黄⾦双曲线；②双曲线115222=+-x y 是黄⾦双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=?,则该双曲线是黄⾦双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=?，则该双曲线是黄⾦双曲线．其中正确命题的序号为（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第⼆部分（⾮选择题共110分）⼆、填空题共6⼩题，每⼩题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ?+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤??+≥??--≤?表⽰的平⾯区域为D ，在区域D 内随机取⼀点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66?的⽅格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c v v v 满⾜,(,)c xa yb x y R =+∈v v v，则=x y．13．若甲⼄两⼈从6门课程中各选修3门，则甲⼄所选的课程中恰有2门相同的选法．．有种（⽤数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成⽴，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==；②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|2}xM x y y e ==-；④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本⼩题满分13分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，设锐⾓α的始边与x 轴的⾮负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针⽅向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ?的⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .16．（本⼩题满分13分）ACDE FB下表是由天⽓⽹获得的全国东西部各6个城市3⽉某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空⽓质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进⾏调研，记选到空⽓质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本⼩题满分14分）如图，多⾯体ABCDEF 中，平⾯ADEF ⊥平⾯ABCD ，正⽅形ADEF 的边长为2，直⾓梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平⾯BDE ；(Ⅱ)试在平⾯CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平⾯BEF 所成的⾓等于30°．18．（本⼩题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成⽴，求a 的取值范围．19．（本⼩题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>离⼼率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准⽅程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率⽆关）？请证明你的结论．20．（本⼩题满分13分）设数列{}n a 满⾜：①11a =；②所有项*N a n ∈；③ΛΛ<<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最⼤值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满⾜不等式n a m ≤的所有项的项数的最⼤值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．⽯景⼭区⾼三统⼀测试数学（理）参考答案⼀、选择题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．三、解答题共6⼩题，共80分．15．（本⼩题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2 y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ?中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本⼩题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===Q ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=?+?+?=． ………………13分 17．（本⼩题共14分）（Ⅰ）证明：因为平⾯ABEF ⊥平⾯ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平⾯ABCD ………………1分⼜因为BC ?平⾯ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分在直⾓梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分⼜因为ED I BD=D ，所以BC ⊥平⾯BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建⽴空间直⾓坐标系D -xyz ……6分则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-u u u r u u u r…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=r是平⾯BEF 的⼀个法向量，则00n EF n Eb ??==??r u u u r r u u r 所以202220x x y z '=??'''+-=?，令1y '=，得011x y z '=??'=??'=?所以()0,1,1n =r …………9分因为AP 与平⾯BEF 所成的⾓等于30o，所以AP 与(0,1,1)n =r 所成的⾓为60o 或120o所以1cos ,2AP n AP n AP n ?<>===?u u u r r u u u r r u u ur r………11分所以22440(*)y z yz ++-=L L L⼜因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分当y z =-时，（*）式⽆解当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，P或(0,P --. ………14分 18.（本⼩题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极⼩值，极⼩值为(1)1ln11f =-=； ……..4分（Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞．⼜222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分（III ）若在[1,]e 上存在⼀点0x ，使得00()()f x g x <成⽴，即在[1,]e 上存在⼀点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最⼩值⼩于零． …8分①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减．故()h x 在[1,]e 上的最⼩值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最⼩值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满⾜题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本⼩题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b =………………1分由c e a ===224,2a b ==．∴椭圆C 的标准⽅程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA ⽅程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分直线QA ⽅程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分【或通过求得圆⼼00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的⽅程】即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本⼩题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分（Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ====……………………5分当*∈≤≤N m m ,269时，326109====b b b ……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=?+?+?+?=+++b b b ……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分由21n a n m =-≤得：*1 ()2m n m N +≤∈因为使得n a m ≤成⽴的n 的最⼤值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -======∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=?-+==+……………………11分当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=?=+=+……………………12分所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ?+=-∈??=?+?=∈??……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2020年北京石景山区高三一模数学试卷

（ 2 ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（ 3 ）延长线段与椭圆交于点，若四边形
为平行四边形，求此时直线的斜率．
20. 已知函数
，
．
（1）若
恒成立，求实数的取值范围．
（2）当
时，过上一点
作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．
21. 有限个元素组成的集合
，
，记集合中的元素个数为
15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由名一线中小学教师组成的支教团队，记者
采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于
小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称
只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队
2. C
解析:
复数
，
对应的点分别为（，），（，），
∵ 为线段的中点，
∴ （，），
则点对立的复数是
．
故选．
3. D 4. A
解析: 方法一：将圆方程化为标准方程圆心到直线的距离为
，解得圆心为
，半径为
，
，解得
．
方法二：由所以圆心为因为圆所以
配方得
，半径，
的圆心到直线
，解得
．
，的距离为，
故选．
5. A
解析:
∵将位志愿者分配到个不同场馆服务，
每个场馆至少人，
∴先从个人中选出个作为一个元素看成整体，
再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有

北京市2020年石景山区高三统一测试数学试题(含标准答案)

21.（本小题 14 分）
解：(Ⅰ)集合 A 不具有性质 P ，集合 B 具有性质 P . A A {2,5,8,11,14} , card (A+A)=5 3(3 1) 不具有性质 P ; 2 B B {4,6,8,10,12,16} , card (B+B)=6 3(3 1) ,具有性质 P . 2
所以 PO BO ．
…………3 分
在正方形 ABCD 中， BO AC ，
又因为 PO AC O ，所以 BO 面 PAC ． …………6 分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知， PO ， AO ， BO 两两垂直，以 O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 .
在正方形 ABCD 中，因为 AB 2 2 ，所以 AO 2 ．又因为 PB 2 2 ，所以 PO 2 ．
…………3 分
（Ⅱ）若三个数 a, b, c 成等差数列，则 A {a, b, c}不具有性质 P ，理由是 a c 2b .
因为 a1 a2 a3 2020 且 ai N * (i 1,2,3) 所以 a3 2019 ，
要使 a1 a2 a3 取最大，则 a3 2019 ；
所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
840 28 392 人 60
………4 分
(Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有 8 人。
……5 分
设“恰好有一人选物理、化学、生物”为事件 A
……6 分
p( A)
C81C81 C126
8 15
……8 分
高三数学答案第 2页（共 8页）
1)
k ( x2
1)
k ( x1
x2
2)
2k 2k 2 1

2020北京市石景山区高三数学一模试题文新人教B版精

2020年石景山区高三统一测试数学（文科）第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}032|{2<--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M I 等于（）A ．(1,1)-B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1,0)-2．在复平面内，复数21ii-+对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数1sin()y x π=+-的图象（）4.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα5．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（）A ．120B ．720C ．1440D ．50406．直线5x y +=和圆22: x 40O y y +-= 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交不过圆心D ．相交过圆心A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A ．4383+B ．4283+C ．2383+ D ．3238．如图，已知平面l αβ=I ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆面积的最大值是（）A ．239 B ．536 C ．12 D ．24αAC BDP β第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设向量(cos ,1),(1,3cos )a b θθ==r r ，且b a ρρ//，则θ2cos = ．10．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若0,141=+=k a a a ，则k =________．11. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,1.x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩点O 为坐标原点，那么PO 的最小值等于______，最大值等于_____．12．在区间[]9,0上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式21log 2x ≤≤的概率为．13．设函数,1,()2,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是．14．集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==现给出下列函数：①xa y =，②x y a log =，③()sin y x a =+，④cos y ax =，若10<<a 时，恒有,P M C P U =I 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2,4==a A π，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分13分）我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：（Ⅰ）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．17 ．（本小题满分13分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ；（Ⅱ）在棱11D C 上是否存在一点F ，使F B 1//平面BE A 1？证明你的结论．18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；306090120150E A BCDB 1A 1 D 1C 1（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a 1，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若线段AB ，求直线AB 的方程．20．（本小题满分13分）若数列}{n A 满足21n n A A =+，则称数列}{n A 为“平方递推数列”．已知数列}{n a 中，21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列；（Ⅱ）设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即)12)12)(12(21+++=n n a a a T （Λ，求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；（Ⅲ）记21log n n a n b T += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2020年石景山区高三统一测试高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵ C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得∴ C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，………4分 ∵ ()π，0∈A , ∴0sin ≠A ∴ 21cos =B ．又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分（Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得622232=⨯=b …………8分,43A B ππ==Q426sin +=∴C …………11分 2334266221sin 21+=+⨯⨯⨯==∴C ab s ．…………13分16．（本小题满分13分）解：（I ）由频率分布表得31000.03M ==, …………1分所以100(333715)42m =-+++=， …………2分420.42100n ==，0.030.030.370.420.151N =++++=． …………3分…………5分（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为4215600342100+⨯=人．………7分（III ）设考试成绩在(]0,30内的3人分别为A 、B 、C ；考试成绩在(]30,60内的3人分别为a 、b 、c ，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有： (A ，B)，(A ，C)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)， (B ，C)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(C ，a)，(C ，b)，(C ，c)，(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)共有15个. …………10分设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D ．则事件D 含有3个结果： (A ，B)，(A ，C) ，(B ，C) …………11分 ∴31()155P D == ．…………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明:因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体，所以1111B C A ⊥面ABB ；因为111A B A ⊂面ABB ，所以111B C A ⊥B ． …………2分又因为11A AB ⊥B ，1111B C AB B ⋂=，所以111DC A A B ⊥B 面.…………4分因为11A A ⊂B 面BE ,所以平面11ADC B ⊥平面1A BE . …………6分（Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1. …………7分以下证明之：易知：EF //112C D ，且EF 11=2C D ， …………9分设11AB A B O ⋂=，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D , 所以EF //1B O 且EF 1=B O ，所以四边形1B OEF 为平行四边形. 所以1B F //OE . …………11分又因为11B F A BE ⊄面，1OE A BE ⊂面．所以F B 1//面BE A 1 …………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …………1分由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分E F A BCD B 1A 1D 1C 1（2）当0a <时2('()x x f x x+=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分（II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，…………9分由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分19．（本小题满分14分）解：解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==．即：椭圆方程为.12322=+y x ------------4分（Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆=不符合题意故舍掉； -----------6分当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：)1(+=x k y ，代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-= ．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ -----------8分所以221)23k AB k +=+ ， ------------11分由22AB k k =⇒=⇒= ------------13分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=． ---------14分20．（本小题满分13分）解：（I ）因为2221122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” ． --------2分由以上结论21lg(21)lg(21)2lg(21)n n n a a a ++=+=+ ，所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列． --------4分（II ）11121lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，11221215,(51)2--+==-n n n n a a ．--------6分1lg lg(21)lg(21)(21)lg 5nn n T a a =++++=-L ，215nn T -=．--------9分（III ）11lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a ，11222n n S n -=-+． --------13分[注：若有其它解法，请酌情给分]。

北京市石景山区2020届高三一模数学试题(含解析)

A. 4
B. 3
C. 3
D.2
3
4
5. 将 4 位志愿者分配到博物馆的 3 个不同场馆服务，每个场馆至少 1 人，不同的分配
方案有（）种
A.36
B.64
C.72
D.81
6. 如图，网格纸的小正方形的边长是 1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三
视图，则该几何体的体积为
A.2
B.4
C.5
D.8
所以 C 为钝角，与题意不符合，所以 b 8 ．所以△ ABC 的面积 S 1 bcsin A 30 3 ．
设随机变量
=
0
两名男生选考方案不同，求的分布列和期望.
1 两名男生选考方案相同
18. （本小题 14 分）
已．知．锐角 ABC ，同．时．满．足．下列四个条件中的三个：
① A 3
② a 13
③ c 15
④ sin C 1 3
（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；
（Ⅱ）求 ABC 的面积.
2020 年石景山区高三统一测试
数学
本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
9. 设 f x 是定义在 R 上的函数，若存在两个不等实数 x1, x2 R ，使得
f ( x1 x2 ) f x1 f x2 ，则称函数 f x 具有性质 P ，那么下列函数：

北京市石景山区2020届高三数学3月统一测试(一模)试题理

2020年石景山区高三统一测试数学（理）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{|1}P x x =∈R ≥，{2,3}Q =，则下列关系中正确的是 A. P ＝QB. P ÜQC. Q ÜPD. P Q =R U2. 设i 是虚数单位，若复数(1i)2i z -=，则复数z 的模为 A. 1B. 2C. 3D. 23. 某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 A. 2 B. 6 C. 10 D. 244. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用n a 表示解下*(9,)n n n ∈N ≤个圆环所需的移动最少次数，{}n a 满足11a =，且1121,22,n n n a a a ---⎧=⎨+⎩ ，则解下4个圆环所需的最少移动次数为 A. 7B. 10C. 12D. 225. 中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的1,2x n ==，依次输入的a 为1，2，3，运行程序，n 为偶数输出的s 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 66. 已知平面向量(,2),(1,),a k b k k ==∈R r r ，则k =a r 与b r同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若1x y a b >>>>，则下列各式中一定正确的是 A. x y a b >B. ln ln x y <C. sin sin x y >D.a b x y<8. 已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 A.π6B.π3C.2π3D.4π3第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 若变量,x y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为_________．10. 等比数列{}n a 的首项12a =，416a =，则其前n 项和n S =_______．11. 在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为______．（填“相交”、 “相切”或“相离”）12. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 ______．（只需写出一个可能的值）13. 过双曲线22221x y a b-=的一个焦点F 作其渐近线的平行线l ，直线l 与y 轴交于点P ，若线段OP 的中点为双曲线的虚轴端点（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为____． 14.在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A , B 到x 轴距离之和的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题13分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b =3c=，1cos 3B =-．（Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积．16. （本小题13分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．17. （本小题14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面AEB ，且四边形ABCD 为矩形，120BAE=∠︒，4AE=AB=，2AD=，F G ，分别为BE AE ，的中点，H 在线段BC 上（不包括端点）．（Ⅰ）求证：CD ∥平面FGH ；（Ⅱ）求证：平面DAF ⊥平面CEB ；（Ⅲ）是否存在点H ，使得二面角H GF B --的大小为π6？若存在，求BH BC；若不存在，说明理由．18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断HE以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20.（本小题13分）若项数为n 的单调递增数列{}n a 满足： ①11a =；②对任意k （*k ∈N ，2k n ≤≤），存在,i j （**,i j ∈∈N N ，1i j n ≤≤≤）使得k i j a a a =+，则称数列{}n a 具有性质P .（Ⅰ）分别判断数列1,3,4,7和1,2,3,5是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）若数列{}n a 具有性质P ，且36n a =，（ⅰ）证明数列{}n a 的项数7n ≥；（ⅱ）求数列{}n a 中所有项的和的最小值．2020年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBBADCAC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．1-； 10．122n +-； 11．相交； 12．15232+或15 或3315+； 13．2 ； 14．12，3．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）解：(Ⅰ)在ABC V 中，1cos 3-B =， ∴2212sin 1cos 1()33--=B =B ， ∵23b =3c=，由正弦定理sin sin =b cB C 233sin 22=C，∴6sin C =(Ⅱ)由余弦定理222+2cos -b =a c ac B 得2112+923()3-⨯⨯-=a a ，∴2230+-a a =，解得1a=或3-a=（舍） ∴1sin 2ABC S =ac B V 1213223=⨯⨯⨯= 16．（本小题13分）解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A ．则23241()2C P A C ==．(Ⅱ)ξ可能取0，1，2，3，4．0044331(0)()(1)44256P C ξ==-=，1134333(1)()(1)4464P C ξ==-=， 22243327(2)()(1)44128P C ξ==-=，33143327(3)()(1)4464P C ξ==-=， 44043381(4)()(1)44256P C ξ==-=．所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P1256 364 27128 2764 81256（Ⅲ）75． 17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∵F G ，分别为BE AE ，的中点，∴FG ∥AB ，且FG 12=AB ， ∴CD ∥FG ， ∵⊄CD 平面FGH ，⊂FG 平面FGH ，∴CD ∥平面FGH ．（Ⅱ）证明：在矩形ABCD 中，⊥AD AB ，∵矩形⊥ABCD 平面AEB ，且平面ABCD I 平面AEB=AB ， ∴⊥AD 平面AEB ，又⊂BE 平面AEB ， ∴⊥AD BE ，∵AE =AB ，F 为BE 的中点， ∴⊥AFBE ，又AD AF =A I ，∴⊥BE 平面ADF ，∵⊂BE 平面CEB ， ∴平面⊥DAF平面CEB ．（Ⅲ）在平面ABE 内作AB 的垂线，如图建立空间直角坐标系A xyz -，∵o 120∠BAE =，4AE=AB=，2AD=， ∴(000)A ，，，(040)B ，，，(042)C ，，，(2320)-E ，，，(310)-G ，，，(310)F ，，，设BH =BCλ，∴(002)(002)λλλ==BH =BC u u u r u u u r ，，，，， ∴(042)λH ，，，∴=(020)GF ，，u u u r ，(332)λ-FH =u u u r ，，，设平面FGH 的法向量为=()n x y z r，，，∴00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n GF n FH r uu u r r uuu r ，，即203320λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩y x+y+z ，，令2λ=x ，则3=z ，∴=(203)λn r，，是平面FGH 的一个法向量，∵⊥AD 平面AEB ，∴平面AEB 的法向量为(002)=AD uuu r，，，∵二面角--H GF B 的大小6π∴2233|cos >|=(2)32λ<=+⋅n AD r uuu r，，解得12λ=±，∵H 在BC 上，∴12λ=． 18．（本小题13分）解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(，a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a=满足题意。

2020年北京石景山区高三一模数学试卷-学生用卷

2020年北京石景山区高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第1题4分2017年天津河东区高三一模文科第1题5分2017年天津河东区高三一模理科第1题5分2016~2017学年北京海淀区中央民族大学附属中学高二下学期期末理科第1题5分设集合P={1,2,3,4}，Q={x||x|⩽3,x∈R}，则P∩Q等于（）．A. {1}B. {1,2,3}C. {3,4}D. {−3,−2,−1,0,1,2,3}2、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第2题4分在复平面内，复数5+6i，3−2i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）．A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i3、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第3题4分下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）．A. y=−x2+2B. y=2−xC. y=ln⁡xD. y=1x4、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第4题4分2019~2020学年黑龙江哈尔滨香坊区哈尔滨市第六中学高三上学期期中文科第9题5分2019~2020学年四川成都温江区成都实验外国语学校高二上学期段考文科（一）第10题5分2017~2018学年广东佛山禅城区佛山市第一中学高二上学期期中文科第2题5分2019~2020学年10月山东青岛市南区青岛第一中学高二上学期月考理科第3题5分圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（）．A. −43B. −34C. √3D. 25、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第5题4分将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种．A. 36 B. 64 C. 72 D. 816、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第6题4分如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）．A. 2B. 4C. 5D. 87、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第7题4分2017年河北唐山高三三模文科第8题5分2019~2020学年5月北京海淀区中国人民大学附属中学高一下学期月考第6题6分2020~2021学年北京西城区北京市第七中学高三上学期开学考试第8题5分2020年广东深圳福田区深圳明德实验学校高三二模理科第8题5分函数f(x)=cos⁡(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)满足（）．A. 在(0,π3)上单调递增B. 图象关于直线x=π6对称C. f(π3)=√32D. 当x=5π12时有最小值−18、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第8题4分设{a n}是等差数列，其前n项和为S n．则“S1+S3>2S2”是“{a n}为递增数列”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第9题4分2020~2021学年10月北京西城区西城外国语学校高三上学期月考第10题4分2020~2021学年10月北京西城区西城外国语学校高三上学期月考第10题4分设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R．使得f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2，则称函数f(x)具有性质P，那么下列函数：①f(x)={1x,x≠00,x=0；②f(x)=x2；③f(x)=|x2−1|；具有性质P的函数的个数为（）．A. 0B. 1C. 2D. 310、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第10题4分2019~2020学年四川成都金牛区成都市石室外语学校高一下学期期中理科第12题5分2019~2020学年6月江苏南京建邺区金陵中学河西分校高一下学期月考第10题5分点M，N分别是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1//面AMN，则PA1的长度范围是（）．A. [2,√5]B. [3√22,√5] C. [3√22,3] D. [2,3]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第11题5分2019~2020学年3月天津和平区天津市第一中学高一下学期周测B 卷第11题已知向量BA →=(12,√32)，BC →=(√32,12)，则∠ABC = ．12、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第12题5分已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且1a 1−1a 2=2a 3，则S 4= ．13、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第13题5分能够说明“设a ，b 是任意非零实数，若“a >b ，则1a <1b”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为．14、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第14题5分2020~2021学年北京石景山区高二上学期期末第15题4分2020~2021学年山西太原高二上学期期末理科第15题4分已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN |= ．15、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第15题5分石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是、．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第16题14分如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=PB=2√2，AC∩BD=O．(1) 求证：BO⊥面PAC．(2) 求二面角A−PC−B的余弦值．17、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第17题14分2020年，北京将实行新的高考方案．新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(1) 估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(2) 从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选”物理、化学、生物”的概率．(3) 从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量ξ={0两名男生选考方案不同1两名男生选考方案相同，求ξ的分布列和期望．18、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第18题14分已知锐角△ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：①A =π3②a =13③c =15④sin⁡C =13(1) 请指出这三个条件，并说明理由．(2) 求△ABC 的面积．19、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第19题15分2020~2021学年北京石景山区高二上学期期末第20题10分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第19题已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为√22，直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(3) 延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．20、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第20题14分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第20题已知函数f(x)=x2(x>0)，g(x)=aln⁡x(a>0)．(1) 若f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围．(2) 当a=1时，过f(x)上一点(1,1)作g(x)的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21、【来源】 2020年北京石景山区高三一模第21题14分2020~2021学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三上学期期中第21题2020~2021学年北京东城区北京市东直门中学高三上学期期中第21题2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第21题有限个元素组成的集合A={a1,a2,⋯,a n}，n∈N∗，记集合A中的元素个数为card(A)，即card(A)=n．定义A+A={x+y|x∈A,y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card(A+A)，当card(A+A)=n(n+1)时，称集合A具有性质P．2(1) A={1,4,7}，B={2,4,8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由．(2) 设集合A={a1,a2,a3,2020}，a1<a2<a3<2020且a i∈N∗(i=1,2,3)，若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值．(3) 设集合A={a1,a2,⋯,a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i>0(i=1,2,⋯,n)且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;;11 、【答案】π612 、【答案】15;13 、【答案】2，−1，;14 、【答案】3;15 、【答案】小学;中级;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3．3;17 、【答案】 (1) 392人．;(2) 8．15;(3) ξ的分布列为：Eξ=3．10;18 、【答案】 (1) △ABC同时满足①，②，③，证明见解析．;(2) 30√3．;+y2=1．19 、【答案】 (1) 椭圆方程为x22;(2) 证明见解析．;(3) 直线l的斜率为k=±√2．2;20 、【答案】 (1) 0<a<2e．;(2) 过点(1,1)可作出y=ln⁡x的2条切线．;21 、【答案】 (1) 集合A不具有性质P，集合B具有性质P，证明见解析．;(2) 6049．;(3) 集合A具有性质P，证明见解析．;。

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P 在正方形 BCC1B1 （包括边界）内运动.若 PA1∥面 AMN ，则 PA1 的长度范围是
A. 2, 5
C.
3
2 2
,
3
B.
3
2,
5
2
D. 2, 3
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 小知向量
uuv BA
(
1
,
3)
uuuv ， BC (
某校为了解高一年级 840 名学生选考科目的意向，随机选取 60 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别选考方案确定情况
物理化学生物历史地理政治
选考方案确定的有 16 人 16
16
8
男生
选考方案待确定的有 12 人 8
6
0
4
2
2
2
0
0
选考方案确定的有 20 人
6
女生
选考方案待确定的有 12 人 2
A. 2 B. 4 C. 5 D. 8
7.
函数
f
x
cos x
6
（
0 ）的最小正周期为
，则
f
x
满足
A.
在
0,
3
上单调递增
B. 图象关于直线 x 对称 6
C.
f
3
3 2
D. 当 x 5 时有最小值 1 12
8. 设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn . 则“ S1+S3 2S2 ”是“{an}为递增数列”的
1. 设集合 P {1，2，3，4} ， Q {x || x | 3, x R} ，则 P Q 等于
A. 1
B. 1, 2，3
C. 3，4
D. 3, 2, 1, 0,1, 2,3
2. 在复平面内，复数 5+6i , 3-2i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是
10
20
16
2
6
8
10
0
0
2
(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ (Ⅱ)从选考方案确定的 16 名男生中随机选出 2 名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”
的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的 16 名男生中随机选出 2 名，
设随机变量
0
两名男生选考方案不同，求的分布列和期望.
A.充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 设 f (x) 是定义在 R 上的函数，若存在两个不等实数 x1, x2 R ，使得
f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 具有性质 P ，那么下列函数：
2
2
①
A. 4 3
B. 3 4
C. 3
D. 2
5. 将 4 位志愿者分配到博物馆的 3 个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配
方案有（）种
A. 36
B. 64
C. 72
D. 81
高三数学试题第 1页（共 6页）
6. 如图，网格纸的小正方形的边长是 1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为
17.（本小题 14 分）
2020 年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
整数 a, b 的值依次为______________．
14. 已知 F 是抛物线 C : y2 4x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于
点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN __________．
高三数学试题第 3页（共 6页）
15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由 13 名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题 14 分）
如图，在正四棱锥 P ABCD 中， AB PB 2 2 ， AC BD O ．（Ⅰ）求证： BO 面 PAC ；（Ⅱ）求二面角 A PC B 的余弦值．
高三数学试题第 4页（共 6页）
3 , 1) ，则 ABC __________．
22
22
12. 已知各项为正数的等比数列an 中， a1 1，其前 n 项和为 Sn n N * ，且
1 a1
1 a2
2 a3
，则 S4
__________．
13. 能够说明“设 a,b 是任意非零实数，若“ a b ，则 1 1 ”是假命题的一组 ab
A. 8+4i
B. 2+8i
C. 4+2i
D. 1+4i
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间 0, 上单调递减的是
A. y x2 2 B. y 2x
C. y ln x
D. y 1 x
4. 圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则 a
2020 年石景山区高三统一测试
数学
本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
f
(
x)
1 x
0
x 0 ；② f (x) x2 ；③ f (x) | x2 1| ； x0
具有性质 P 的函数的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
高三数学试题第 2页（共 6页）
10. 点 M ，N 分别是棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中棱 BC,CC1 的中点，动点
1 两名男生选考方案相同
18.（本小题 14 分）
已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：