大学物理光学例题

[例10] 某个单缝衍射实验中，光源发出的光有两种波长 λ1和λ2 ，若 λ1 的第一级衍射极小与 λ2 的第二级衍射极 小相重合，求： （1）这两种波长之间有何关系？ （2）这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其 它极小相重合？ 解：（1）由单缝衍射暗纹条件：
a=
λ = 10 − 6 m = 0. 01mm sin 30�
A.
. .C θφ
f
B
屏 0
0.01 = 2 × 10 −6 m 解：（1） d = a + b = 5000
由光栅公式
x
(a + b) sin φ = kλ
在进入光栅之前有一附加光程差，所以：
当 sin φ = 1 时，k有最大值。
δ = ( a + b) sin θ + ( a + b) sin φ
[ 例13] 一束单色光垂直照射到光栅上，衍射光谱中共出 现五条明纹，若光栅的缝宽与不透光部分的宽度相等， 试分析：在中央明纹一侧的第一、二条明纹各是第几级 谱线？ 解：d = 2a 缺级条件：(a + b) sin φ = ±kλ
[例14]波长为 λ = 600 nm 的单色光垂直照射到一光栅上， 第二级、第三级谱线分别出现在衍射角ϕ 2、 ϕ 3 满足下 式的方向上，即 sin ϕ 2 = 0 .20 , sin ϕ 3 = 0 . 30 , 第四级缺级。 试求：（1）光栅常数; (2) 光栅上狭缝的宽度； （3）写出屏上可能出现的全部光谱线的级数。 解：（1）由光栅方程
�
δ′ = 0
∴ r2 − r1 = (n − 1)e
: 联立求解 联立求解:
2
s2
k =7
[例4] 在玻璃表面镀一层MgF2薄膜，使波长λ =5500 Å
的绿光全部通过。求：膜的最小厚度。
解二: 使透射绿光干涉相长
δ = 2n2 e −
n0 = 1 n2 = 1.38 n1 =1.50
1 2 n0 = 1
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思考题
在双缝干涉实验中： （1）如何使屏上的干涉条纹间距变宽？
∆x =
D λ d
（1） 如何使屏上的干涉条纹间距变宽？
[ 例6]利用空气劈尖测细丝的直径。已知 λ = 5893 A，
�
L = 28.88 × 10−3 m,
4.295 × 10 −3 m,
测得30条条纹的间距为
d θ ≈ sin θ = L
求细丝直径d。
解：间距个数为： ∆k = 30 − 1 = 29 相邻条纹的间距为
l= λ = λ 2nθ 2θ
k=
a +b = 10 λ
缺级，
ห้องสมุดไป่ตู้
k = 4n
( ±4,±8,±12⋯)
片振偏后的光强分别为 I1 , I 2 , I 3 , I 4。 则
可能出现的全部光谱线的级数为：
e≈ r 2R
由反射光干涉减弱的条件，有
2
e e0
d=Nλ 2
∴ λ = 2 d = 2 × 0.2334 = 5.89 × 10 −7 m N 792
2e + 2e0 + λ = ( 2k + 1) λ 2 2
即
r 2 + 2e = kλ 0 R
r = ( kλ − 2e0 ) R
(k > 2e0
D λ d
(k = 0,1,2, ⋯)
D λ × (4 − 1) d
k = 1 .1
∆ x = x 4 − x1 =
λ=
k =1
d ∆x ⋅ = 5 ×10−7 m = 500nm D 3
结果表明：中央白色明纹两侧，只有第一级彩色光谱 是清晰可辨的。
（2） ∆x =
D λ = 3 × 10−3 m d
重合条件：ϕ1′ = ϕ ′ 2 ∴ 2 k1 = k 2的各级暗纹均重合。
[ 例11] 用每厘米有5000条的光栅，观察钠光谱线， λ=589nm 。问： （1）光线垂直入射时；最多能看到几级条纹？ （2） 光线30度角倾斜入射时，最多能看到几条条纹？
（2）倾斜入射 º =30º θ=30 衍射光向主光轴另 一侧衍射时呢？
D λ d 紫
例2 杨氏双缝的间距为0.2 mm ，距离屏幕为1m。
（1）若第一到第四明纹距离为7.5 mm ，求入射光波长； （2）若入射光的波长为600 nm ，求相邻两明纹的间距。 解 （1） x = ± k
由 xk红 = x(k+1)紫 临界情况:
k λ 红 = ( k + 1) λ 紫
将 λ红 = 7600 ⊕， λ紫 = 4000 ⊕代入得: k只能取整数，所以:
l = ∆l ∆k
θ ≈ sin θ =
d L
l=
λ Lλ = = 0.085 cm 2θ 2d
λL ∴ d = λ L= = ∆kλ L 2nl 2∆l 2 n ∆l ∆k
= 29 × 5.893 ×10−3 × 28.88 ×10−3 = 5.75 ×10 −5 (m) 2 × 4.295 ×10
λ
)
[例9] 设所用单色光源波长为 λ = 500 nm （1）如果单缝衍射的第一暗条纹发生在衍射角 ϕ = 30 � 的方位上，计算狭缝宽度. （2）若用单缝宽度a=0.5mm,在焦距f=1m的透镜的焦 平面上观测衍射条纹，中央明纹多宽？其它明纹多宽？ 解：（1）第一级暗纹: a sin ϕ1 = λ
∆x水 < ∆x空气
实验装置放入水中后条纹间距变小。
（3 ）若S1、 S2 两条缝的宽度不等，条纹有何 变化？
两条缝的宽度不等，使两光束的强度不等；虽 然干涉条纹中心距不变，但原极小处的强度不 再为零，条纹的可见度变差。
（4）在两个缝后分别放一红色和绿色滤光片， 能否观察到干涉条纹？为什么？ 不能，因为频率不同。 例 1 用白光作双缝干涉实验时，能观察到几级清晰可辨
−7
条纹的条数：
k = L = 141条 l
[例7]牛顿环装置的平凸透镜与平玻璃间有一小缝隙e0， 现用波长为λ的单色光垂直照射，平凸透镜的曲率半径 为R，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径。 解：设某暗环的半径为r，则
[例8]迈克耳逊干涉仪中，M1反射镜移动 0.2334 mm 的 距离时，数出移动了792条条纹，求所用的波长。 解：
a sin φ = ±nλ
(a + b ) sin φ = ±kλ
k = 2n = ±2, ± 4, ± 6 ⋯
的各级谱线缺级， （2）
a + b = kλ = 2λ = 6 ×10 −6 m sin ϕ sin ϕ 2
(a + b ) sin ϕ 4 = 4λ
中央明纹一侧的第一、二条明纹分别是第一、三级谱线。 五级谱线为
k = 0, ± 1, ± 3
a sin ϕ4 = nλ
n =1
∴a =
a+b = 1.5 × 10−6 m 4
（3）当 sin ϕ = 1 时，出现的谱线最多。
(a + b) sin ϕ = kλ
[例15] 一束自然光入射到相互重叠的四块偏振片上，每块 偏振片的偏振化方向相对前面一块偏振片沿顺时针（迎着 º角。问入射光中有百分之多少透过这 透射光看）转过30 30º 组偏振片？ 解：设入射光的光强为 I 0 ，透过第一、二、三、四块
在进入光栅之前有一附加光程差，所以：
. θ .φ D C .
x
测得 λ1 的第三级主极大和 λ2 的第四级主极大的衍射 角均为 30 � ，已知 λ1 = 560nm 。求： （1）光栅常数 （2）波长 λ2 解：（1）由光栅方程对 λ1： (a + b) sin 30� = 3λ1
f
δ = ( a + b) sin θ − (a + b) sin φ
的彩色光谱？ 解: 用白光照射时，除中央明纹为白光外，两侧 . 形成内紫外红的对称彩色光谱 形成内紫外红的对称彩色光谱. xk红大于 k+1 级紫色明纹位置 当k级红色明纹位置 级红色明纹位置x 大于k+1 k+1级紫色明纹位置 x(k+1) 紫时，光谱就发生重叠。据前述内容有 (k+1)紫
I1 ≠ I 2
[例 3] λ = 5500 A 的单色光照射在相距 d = 2 × 10 −4 m
D=2m 。求： 的双缝上，屏到双缝的距离 的双缝上，屏到双缝的距离D=2m D=2m。求： 10 级明纹中心的间距； （1）中央明纹两侧的两条第 ）中央明纹两侧的两条第10 10级明纹中心的间距；
−6 n=1.58 的云母片 （2）用一厚度 e = 6.6 ×10 m ，折射率 ，折射率n=1.58 n=1.58的云母片 覆盖上面的一条缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹 处？ p r1 1）双缝干涉条纹等宽，则 解：（ 解：（1 s1 D r2 ∆X = 2 ×10 ∆x = 20 × λ = 0.11m o d s2
I I max I min
∆ϕ
I
4I 1
I1 = I 2
-4π
-2π
o
2π
4π
-4π
-2π
o
2π
4π
∆ϕ
可见度差 现： 现：可见度差
可见度好 原： 原：可见度好
x k红 = k
D λ红 d
x ( k +1) 紫 = ( k + 1)
D λ d 紫
x k红 = k
D λ红 d
x ( k +1) 紫 = ( k + 1)