洛阳名校2016—2017学年上期12月份考评卷 高二理科数学答案
河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试理数试题有答案-(数学)
洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，,a b R ，且2a i b i i，则复数a bi 的模等于( )23 5 62.命题“若a b ，则ac bc ”的逆否命题是( ) A.若a b ，则ac bc B.若ac bc ，则a b C.若ac bc ，则a bD.若a b ，则ac bc 3.设0x ，由不等式12x x，243xx ，3274xx ，…，类比推广到1na xn x ，则a ( )A.2nB.2nC.2nD.n n4.设随机变量21N ～，，若3P m ，则13P 等于( )A.122m B.1mC.12mD.12m 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A 两次的点数均为奇数}，{B 两次的点数之和小于7}，则|P B A ( ) A.13B.49C.59D.236.用数学归纳法证明“1111232nF n …”时，由n k 不等式成立，证明1n k 时，左边应增加的项数是( ) A.12kB.21kC.2kD.21k7.学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据： 不关注 关注 总计 男生 30 15 45 女生 45 10 55 总计7525100根据表中数据，通过计算统计量2n ad bc Ka b c da cb d，并参考以下临界数据：20P K k 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.828A.0.10B.0.05C.0.025D.0.018.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( ) A.20种B.15种C.10种D.4种9.设随机变量2,X B p ～，随机变量3,Y B p ～，若519P X ，则31D Y ( )A.2B.3C.6D.710.已知抛物线243y x 的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两点，若3AFFB ，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（ ） A.83B.3C.23311.设等差数列n a 满足5100810081201611a a ，5100910091201611a a ，数列n a 的前n 项和记为S ，则（ ） A.20162016S ，10081009a a B.20162016S ，10081009a a C.20162016S ，10081009a aD.20162016S ，10081009a a12.设函数2ln ,021,0x x f xxx x ，若f a f b f c f d ，其中,,,a b c d 互不相等，则对于命题:0,1p abcd 和命题122:2,2q a b c de e e e 真假的判断，正确的是( )A.p 假q 真B.p 假q 假C.p 真q 真D.p 真q 假第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数3,01,1x x f xx x ，则定积分20f x dx ．14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x (元) 8 8.28.48.68.89 销量y (件)9084 83 80 7568由表中的数据得线性回归方程为y bx a ，其中20b ，预测当产品价格定为9.5(元)时，销量约为件．15.已知,x y 满足约束条件0,2323x x yx y，若y x 的最大值是a ，则二项式61ax x的展开式中的常数项为 ．(数字作答) 16.若函数320h x ax bx cx d a图象的对称中心为00,M x h x ，记函数h x 的导函数为g x ，则有0'0g x ，设函数3232f xx x ，则12403240332017201720172017fff f … ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC △的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1cos 2b Cc a . (1)求ABC △的内角B 的大小； (2)若ABC △的面积234Sb ，试判断ABC △的形状. 18.已知正项数列n a 的首项11a ，且221110n n n nn a a a na 对*n N 都成立.(1)求n a 的通项公式； (2)记2121nn n b a a ，数列n b 的前n 项和为n T ，证明：12nT . 19.第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园. (1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？ (2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,X Y 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记X Y ，求随机变量的分布列和数学期望E .20.如图，已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直，在直角梯形1ABB N 中，1AN BB ∥，AB AN ，112CBBAANBB .(1)求证：BN平面11C B N ；(2)求二面角1C C NB 的大小.21.已知椭圆C 的方程为222210x y a b ab ，双曲线22221x y a b 的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为42.(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围. 22.设函数ln f xx x ax ，a R .(1)当1a 时，求曲线yf x 在点1,1f 处的切线方程；f x b a x b恒成立，求整数b的最大值.(2)若对1x，1洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5:CBDCD 6-10:CABAB 11、12：CA二、填空题13.7414.60 15.540 16.0 三、解答题17.(1)由正弦定理及已知得1sin sin sin sin sin 2B C C A B C ， ∴1cos sin sin 2B CC ，由于sin 0C ，∴1cos 2B. 0,B ，所以3B . (2)由ABC △的面积213sin 234S ac b ，得2b ac ，由余弦定理得，2222cos b a c ac B ac ，所以20a c ，所以a c ，此时有22b ac a ，∴a b c ，所以ABC △为等边三角形.18.(1)由221110n n n nn a a a na 可得1110nn nna a n a na ，∵0n a ，∴11nn n a na ， 从而11211121n n nn a na n a a a …，所以1na n. (2)由(1)知212111111212122121n n n b a a n n n n ，∴12111111123352121nnT b b b n n ……11112212n . 19.(1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有22种，故共有2228种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i 名被分到王城公园的事件为0,1,2,3,4,5i A i ，的所有可能取值是1，3，5.2332535223235551228C C C CP P A A P A P A，11115451141455532216C C C CP P A A P A P A ，055555050555152216C C CP P A A P A P A，则随机变量的分布列为1 3 5P 58516116故随机变量的数学期望55115135816168E.20.(1)证明：∵矩形11BB CC所在平面与底面1ABB N垂直，则CB底面1ABB N.∵1AN BB∥，AB AN，则1AB BB，如图，以B为坐标原点，以BA，1BB，BC为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设14BB，则2,2,0N，10,4,2C，10,4,0B，,0,0,2C，∵1440B N BN，则1B N BN，11BN B C，且1111B N BC B，则BN平面11C B N.(2)设平面1C BN的一个法向量为,,m x y z，由于2,2,0BN，12,2,2C N，由1n BNn C N，得x yx y z，令1x得1,1,2m.同理求得平面1C CN的一个法向量为1,0,1n.设二面角1C C N B的平面角为，则3cos2m nm n.又二面角1C C N B为锐二面角，所以二面角1C C N B的大小是30°.21.(1)一条渐近线与x轴所成的夹角为30°知3tan303ba°，即223a b，又22c，所以228a b，解得26a，22b，所以椭圆C的方程为22162x y.(2)由(1)知22,0F ，设11,A x y ，22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty . 联立221622x y x ty 得223420t y ty ， 由12243ty y t 得122123x x t ，∴2262,33tEt t ，又12,0F ，所以直线1F E 的斜率222236623tt t kt t .①当0t 时，0k ； ②当0t时，2116266t kttt，即60,12k . 综合①②可知，直线1F E 的斜率k 的取值范围是66,1212. 22.(1)由ln f x x x ax 得'ln 1f x x a ， 当1a 时，'ln 2f x x ，11f ，'12f ，求得切线方程为21y x .(2)若对1x ，1f x b a x b 恒成立等价于ln 1x x xbx 对1x 恒成立，设函数ln 1x x xg xx ，则2ln 2'1x x g x x ，再设函数ln 2h x x x ，则1'1h x x. ∵1x ，'0h x ，即h x 在1,上为增函数，又31ln 30h ，42ln 40h ，所以存在03,4x ，使得00h x ，∴当01,x x 时，0h x ，即'0g x ，故g x 在01,x 上递减； 当0,xx 时，0h x，即'0g x，故g x 在0,x 上递增.∴g x 的最小值为00000ln 1x x x g x x .由000ln 20h x x x 得00ln 2x x .所以000021x x x g x x x ，所以0b x ，又03,4x ，故整数b 的最大值为3.。
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑∑∑====--=---=n i i ni ii n i i ni iixn x yx n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数cb a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) cb a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数(C)cb a ,,都是奇数 (D)cb a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111...4131211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C)22e (D)492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A) 81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdxa ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B) 23 (C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A) 87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是(A)]9,24[- (B)]24,24[- (C) ]24,4[(D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122 (11)已知函数)()()(2R b xbx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C)⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D)⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
河南省洛阳名校2016-2017学年高二上学期12月联考理科数学试题 含答案
洛阳名校2016-2017学年高二12月份联考理科数学试题命题学校：河南省正阳县第二高级中学 责任老师：鲁冰凌（考试时间：120分钟 试卷满分:150分）一．选择题：(所给的四个选项中，仅有一个选项是正确的，每小题5分,共60分）1。
已知实数满足a ＞b ＞c ，且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是( ）A ．ab 〈acB ．ac 〈bcC ．a ｜b ｜＞c|b|D ．a 2＞b 2＞c 22.已知数列n a 中;123,6,a a ==且21n n n a a a ，则数列的第100项为_________ A 。
3 B.-3 C 。
6 D 。
-63。
“6πα="是“1sin 2α=”( ) A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若＝则432,5,3S a a ==（ )A ．8B ．10C ．12D ． 165.满足条件a=4，b=32,A=45°的∆ABC 的个数是（ ） A ．一个 B ．两个 C ．无数个 D ．零个6.已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 依次成等比数列，则3152a a a a ++等于（ ）A.2 B 。
4 C.6 D 。
87。
四棱柱1111ABCD A B C D -的所有面均是边长为1的菱形，11DAB A AB A AD ∠=∠=∠=60°，则对角线1AC 的长为（ ）A.2B.4 C 。
6 D.5 8.已知数列{}n a 为等比数列，其中59,a a 为方程2201690xx ++=的二根,则7a 的值为（ ) A.-3 B.3 C.3± D 。
99。
已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+01112y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为（ )A ．3-B ．0C ．1D ．310. 在△ABC 中，内角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ,S ＝错误!（b 2＋c 2－a 2)，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若12=x，则1=x ”的否命题为：“若12=x ,则1≠x ” B ．“1=m "是“直线0=-my x 和直线0=+my x 互相垂直”的充要条件 C ．命题“R x ∈∃0，使得01020<++x x "的否定是：“R x ∈∀，均有012<++x x ” D ．命题”已知B A ,为一个三角形两内角，若B A =，则B A sin sin =”的否命题为真命题12. 已知a ，b,c 分别是△ABC 中角A,B ，C 的对边，G 是△ABC 的三条边上中线的交点，若()20GA a b GB cGC +++=，且14m c a b +≥+恒成立，则实数m 的取值范围为 ． A.17(,]2-∞ B 。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
2016-2017高二年级第一学期期末考试数 学 （理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是 （ ）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为 （ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为 （ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数 学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分） 此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分） 故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分） 点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分） 由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分） 故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分） 则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ， 即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分） 故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分） 由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分） 注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2： 由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分） 则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分） 代入②可以解得25±=k . …………………………（11分） 故l20y -=20y +=. ……………（12分）。
2017年第二学期高二数学理答案
ξ 犘
１ ５ ８
３ ５ １ １ ５ 故随机变量ξ 的数学期望犈（ ） ＝１× ＋３× ＋５× ＝ ． ξ ８ １ ６ １ ６ ８ （ ） 证明： ２ ０ ． １ ∵ 矩形 犅 犅１ 犆 犆１ 所在平面与底面 垂直 ， 则 底面 犃 犅 犅１犖 犆 犅⊥ 犃 犅 犅１犖． ／ ／ ， ， 则 如 ∵ 犃 犖 犅 犅１ 犃 犅 ⊥犃 犖 犃 犅 ⊥犅 犅１， 图， 以 犅 为坐标原点， 以犅 犃， 犅 犅１， 犅 犆 为坐标 建立空间直角坐标系， 不妨设 犅 ， 轴， 犅１ ＝４ 则 犖（ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ２ ２ ０） 犆 ０ ４ ２） 犅 ０ ４ ０） １（ １（ ， ， 犆（ ０ ０ ２） → 犖 → ４ ４ ０ 则犅 ∵ 犅 犖·犅 犖 ⊥犅 犖， ＝ － ＝ ， １ １ 犅 犖 ⊥犅 犆 １ １， 且犅 则犅 犖 ∩犅 犆 犖 ⊥ 平面 犆 犅 犖． １ １ １ ＝犅 １， １ １
１ · １ １ １ １ ） ， ＝ （ － ２ 狀－１ ２ 狀＋１ ２ ２ 狀－１ ２ 狀＋１ …… ８分 １（ １ １ １ … １ １ ） ∴犜 犫 犫 １－ ＋ － ＋ ＋ － 狀 ＝犫 １＋ ２＋… ＋ 狀 ＝ ２ ３ ３ ５ ２ 狀－１ ２ 狀＋１ …… １ ０分 ＝
１（ １ ） １ …… １－ １ ２分 ＜ ． ２ ２ ２ 狀＋１ ２ （ ） 依题意甲， 乙， 丙三人的分配方法只有 ２ 种， 其余二人的分配方法有 ２ 种， 故 １ ９ ． １ ２ …… 共有２×２ ＝８种不同的分配方案． ２分 （ ） 设 名学生中恰有 名被分到王城公园的事件为 （ ， ， ， ， ， ） ， ２ ５ 犻 犃犻 犻＝０１２３４５ ξ的所 有可能取值是１ ， ， …… ３ ５ ． ３分 高二理数答案 第 共 ３ 页） ） １ 页 （ ２ ０ １ ７ ． ６ （
河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试理数试题-含答案
洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，,a b R Î，且2a ib i i+=+，则复数a bi +的模等于( )2.命题“若a b >，则ac bc >”的逆否命题是( ) A.若a b >，则ac bc £ B.若ac bc £，则a b £ C.若ac bc >，则a b >D.若a b £，则ac bc £3.设0x >，由不等式12x x +?，243x x +?，3274x x +?，…，类比推广到1n ax n x+?，则a =( ) A.2nB.2nC.2nD.n n4.设随机变量()21N x ～，，若()3P m x >=，则()13P x <<等于( ) A.122m - B.1m - C.12m - D.12m - 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为奇数}，{B =两次的点数之和小于7}，则()|P B A =( ) A.13B.49C.59D.236.用数学归纳法证明“()1111232n F n ++++<…”时，由n k =不等式成立，证明1n k =+时，左边应增加的项数是( ) A.12k -B.21k -C.2kD.21k +7.学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：根据表中数据，通过计算统计量()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，并参考以下临界数据：超过( ) A.0.10B.0.05C.0.025D.0.018.某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有( ) A.20种B.15种C.10种D.4种9.设随机变量()2,X B p ～，随机变量()3,Y B p ～，若()519P X ?，则)1D +=( )A.2B.3C.6D.710.已知抛物线2y =的焦点为F ，A ，B 为抛物线上两点，若3AF FB =，O 为坐标原点，则AOB △的面积为（ ） A.B.C.11.设等差数列{}n a 满足()()5100810081201611a a -+-=，()()5100910091201611a a -+-=-，数列{}n a 的前n 项和记为S ，则（ ） A.20162016S =，10081009a a > B.20162016S =-，10081009a a > C.20162016S =，10081009a a <D.20162016S =-，10081009a a <12.设函数()2ln ,021,0x x f x x x x ì->ï=íï+-?î，若()()()()f a f b f c f d ===，其中,,,a b c d 互不相等，则对于命题():0,1p abcd Î和命题)122:2,2q a b c d e e e e --é+++?-+-ë真假的判断，正确的是( ) A.p 假q 真B.p 假q 假C.p 真q 真D.p 真q 假第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3,01,1x x f x x x ì＃ï=í>ïî，则定积分()20f x dx =ò ．14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：20b =-9.5时，销量约为 件．15.已知,x y 满足约束条件0,2323x x y x y ì³ïï+?íï+?ïî，若y x -的最大值是a ，则二项式61ax x 骣琪-琪桫的展开式中的常数项为 ．(数字作答)16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++?图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f 骣骣骣骣琪琪琪琪++++=琪琪琪琪桫桫桫桫… ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC △的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1cos 2b Cc a +=.(1)求ABC △的内角B 的大小； (2)若ABC △的面积2S ，试判断ABC △的形状. 18.已知正项数列{}n a 的首项11a =，且()221110n n n n n a a a na ++++-=对*n N "?都成立.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记2121n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <. 19.第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园.(1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设,X Y 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记X Y x =-，求随机变量x 的分布列和数学期望()E x . 20.如图，已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直，在直角梯形1ABB N 中，1AN BB ∥，AB AN ^，112CB BA AN BB ===.(1)求证：BN ^平面11C B N ； (2)求二面角1C C N B --的大小.21.已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，过2F 作直线l (与x 轴不重合)交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，记直线1F E 的斜率为k ，求k 的取值范围. 22.设函数()ln f x x x ax =?，a R Î.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若对1x ">，()()1f x b a x b >+--恒成立，求整数b 的最大值.洛阳市2016-2017学年高二年级质量检测数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5CBDCD 6-10CABAB 11、12：CA二、填空题13.7414.60 15.540- 16.0 三、解答题17.(1)由正弦定理及已知得()1sin sin sin sin sin 2B C C A B C +==+，∴1cos sin sin 2B C C =，由于sin 0C ¹，∴1cos 2B =.()0,B p Î，所以3B p=.(2)由ABC △的面积21sin 23S ac p =，得2b ac =，由余弦定理得，2222cos b a c ac B ac =+-=， 所以()20a c -=，所以a c =， 此时有22b ac a ==，∴a b c ==， 所以ABC △为等边三角形.18.(1)由()221110n n n n n a a a na +-++-=可得()()1110n n n n a a n a na ++轾++-=臌， ∵0n a >，∴()11n n n a na ++=，从而()()11211121n n n n a na n a a a +-+==-===?…， 所以1n a n=. (2)由(1)知212111111212122121n n n b a a n n n n -+骣琪==?-琪-+--桫， ∴12111111123352121n n T b b b n n 骣琪=+++=-+-++-琪-+桫 (11112212)n 骣琪=-<琪+桫.19.(1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有22种，故共有2228?种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i 名被分到王城公园的事件为()0,1,2,3,4,5i A i =，x 的所有可能取值是1，3，5.()()()()2332535223235551228C C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，()()()()11115451141455532216C C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，()()()()055555050555152216C C C P P A A P A P A x ==+=+=+=，则随机变量x 的分布列为故随机变量x 的数学期望()135816168E x =???. 20.(1)证明：∵矩形11BB CC 所在平面与底面1ABB N 垂直，则CB ^底面1ABB N . ∵1AN BB ∥，AB AN ^，则1AB BB ^，如图，以B 为坐标原点，以BA ，1BB ，BC 为坐标轴，建立空间直角坐标系，不妨设14BB =，则()2,2,0N ，()10,4,2C ，()10,4,0B ，(),0,0,2C ， ∵1440B N BN ?-=，则1B N BN ^，11BN B C ^，且1111B NB C B =，则BN ^平面11C B N .(2)设平面1C BN 的一个法向量为(),,m x y z =，由于()2,2,0BN =，()12,2,2C N =--， 由100n BN n C N ì?ïíï?î，得00x y x y z ì+=ïí--=ïî，令1x =得()1,1,2m =-.同理求得平面1C CN 的一个法向量为()1,0,1n =.设二面角1C C N B --的平面角为q ， 则3cos m n m nq ×==. 又二面角1C C N B --为锐二面角，所以二面角1C C N B --的大小是30°. 21.(1)一条渐近线与x 轴所成的夹角为30°知tan 30b a =°，即223a b =， 又c =228a b +=，解得26a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=.(2)由(1)知()22,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为2x ty =+. 联立221622x y x ty ìï+=ïíï=+ïî得()223420t y ty ++-=， 由12243t y y t -+=+得122123x x t +=+， ∴2262,33tE t t 骣-琪琪++桫， 又()12,0F -，所以直线1F E 的斜率222236623ttt k t t -+==+--+.①当0t =时，0k =；②当0t ¹时，2166tk tt t==?++，即k 纟çÎç棼. 综合①②可知，直线1FE 的斜率k 的取值范围是-臌. 22.(1)由()ln f x x x ax =?得()'ln 1f x x a =++， 当1a =时，()'ln 2f x x =+，()11f =，()'12f =， 求得切线方程为21y x =-.(2)若对1x ">，()()1f x b a x b >+--恒成立等价于ln 1x x xb x +<-对1x ">恒成立， 设函数()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-，再设函数()ln 2h x x x =--，则()1'1h x x=-. ∵1x >，()'0h x >，即()h x 在()1,+?上为增函数，又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->， 所以存在()03,4x Î，使得()00h x =，∴当()01,x x Î时，()0h x <，即()'0g x <，故()g x 在()01,x 上递减； 当()0,x x ??时，()0h x >，即()'0g x >，故()g x 在()0,x +?上递增.∴()g x 的最小值为()00000ln 1x x x g x x +=-.由()000ln 20h x x x =--=得00ln 2x x =-. 所以()()00000021x x x g x x x -+==-，所以0b x <，又()03,4x Î，故整数b 的最大值为3.。
高二数学(理科)答案
2016—2017学年度下期教学质量监测高中二年级数学参考答案(理科)一㊁选择题1.A2.B3.D4.B5.B6.C7.A8.D9.B 10.D 11.C 12.A 二㊁填空题13.35 14.(-∞,-2)∪(1,+∞) 15.12 16.12三㊁解答题17.解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 3=0,S 6=6,所以a 1+2d =06a 1+6×52d ìîíïïï=6 解得a 1=-4,d =2.3分…………………………………………………所以a n =-4+(n -1)×2=2n -66分……………………………………………………………(Ⅱ)因为b n =(2)a n =2n -3=14×2n -1所以数列{b n }是以14为首项,2为公比的等比数列,所以T n =14(1-2n )1-2=2n -1412分………………………………………………………………18.解:(Ⅰ)根据题意,列出2×2列联表如下: 年龄段答对与否 21~3031~40总计正确101020错误3070100总计40801202分………………………由列联表计算得k =120×(10×70-10×30)220×100×40×80=3因为3>2.706,所以有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关.4分……………(Ⅱ)由于21~30岁年龄段的人数与在31~40岁年龄段的人数之比为1:2,因此按年龄段选取9名选中在21~30岁年龄段的人数为3,在31~40岁年龄段的人数为6.6分…… 设抽取的3名幸运选手中在21~30岁年龄段的人数为X ,则随机变量X 的取值可以是0,1,2,3,且相应概率为P (X =0)=C 03㊃C 36C 39=521,P (X =1)=C 13㊃C 26C 39=1528,P (X =2)=C 23㊃C 16C 39=314,P (X =3)=C 33㊃C 06C 39=184.所以,X 的分布列为X0123P 521152831418410分………………………………………随机变量X 的数学期望为E (X )=0×512+1×1528+2×314+3×184=112分……………………………………………………19.解:以D 为原点,DA ,DC ,DD 1分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为4,则E (0,0,2),F (2,2,0),C (0,4,0),B (4,4,0),C 1(0,4,4),B 1(4,4,4),G (0,3,0)2分………………………………………………………………………………(Ⅰ)→EF =(2,2,-2),B 1→C =(-4,0,-4)所以→EF ㊃B 1→C =2×(-4)+2×0+(-2)×(-4)=0所以→EF ⊥B 1→C所以EF ⊥B 1C 7分……………………………………………………………………………(Ⅱ)平面D 1DCC 1的一个法向量为→BC =(-4,0,0),设平面EFG 的一个法向量为n =(x ,y ,z ).所以n ㊃→EF =0n ㊃→FG {=0 即x +y -z =0-2x +y {=0令x =1,则y =2,z =3.所以n =(1,2,3).所以cos<n ,→BC >=n ㊃→BC |n ||→BC |=-414×16=-1414故二面角F -EG -C 1的余弦值为-1414.12分………………………………………………20.解:(Ⅰ)依题意知:c =1,-a 2c=-2,所以a 2=2.所以e =c a =12=224分………………………………………………………………………(Ⅱ)由y =x -c x 2a 2+y 2b 2ìîíïïï=1 得(b 2+a 2)x 2-2a 2cx +a 2(c 2-b 2)=0,所以x 1+x 2=2a 2c a 2+b 2,从而y 1+y 2=-2b 2c a 2+b26分……………………………………………………所以→OA +→OB =(2a 2c a 2+b 2,-2b 2c a 2+b 2)→OP =λ(→OA +→OB )=(2λa 2c a 2+b 2,-2λb 2c a 2+b 2)因为P 在椭圆上所以(2λa 2c a 2+b 2)2a 2+(-2λb 2c a 2+b 2)2b 2=18分……………………………………………………………即(2λac a 2+b 2)2+(-2λbc a 2+b 2)2=14λ2a 2c 2+4λ2b 2c 2=(a 2+b 2)24λ2c 2(a 2+b 2)=(a 2+b 2)210分………………………………………………………………所以λ2=a 2+b 24c 2,又因为c 2+b 2=a 2,e =c a 且0<e <1所以λ2=a 2+b 24c 2=2a 2-c 24c 2=12e 2-14>14所以λ>12.故λ的取值范围是(12,+∞).12分…………………………………………………………21.解:(Ⅰ)h (x )的定义域为(0,+∞),h′(x )=-1x 2+3x -2=-2x 2-3x +1x 2=-(2x -1)(x -1)x 23分………………………………………令h′(x )<0,得h (x )的单调递减区间是(0,12)和(1,+∞).5分…………………………(Ⅱ)f (x )有唯一零点⇔alnx =1x有唯一实根.显然a ≠0,则关于x 的方程xlnx =1a有唯一实根.7分………………………………………设φ(x )=xlnx ,则φ′(x )=1+lnx =0得x =e -1.当0<x <e -1时,φ′(x )<0,φ(x )单调递减;当x >e -1时,φ′(x )>0,φ(x )单调递增.所以φ(x )的极小值为φ(e -1)=-e -1.10分…………………………………………………要使方程xlnx =1a 有唯一实根,只需直线y =1a 与曲线y =φ(x )有唯一的交点,则1a =-e -1或1a >0.解得:a =-e 或a >0.故:a 的范围是{-e }∪{a |a >0}.12分………………………………………………………22.证明:(1)当n =1时,左边=12=1,右边=1×(1+1)(2×1+1)6=1,等式成立.2分…………………………………………………………………………………(2)假设n =k (k ∈N *)时等式成立,即12+22+ +k 2=k (k +1)(2k +1)6,4分…………………………………………………………那么,12+22+ +k 2+(k +1)2=k (k +1)(2k +1)6+(k +1)2=k (k +1)(2k +1)+6(k +1)26=(k +1)(2k 2+7k +6)66分…………………………………………………………………=(k +1)(k +2)(2k +3)6=(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]6,8分…………………………………………………即当n =k +1时等式成立.由(1)和(2),可知等式对任何n ∈N *都成立㊂10分………………………………………23.解:设销售价为x 元/件,则利润l (x )=(x -a )(c +c ×b -x b ×4)=c (x -a )(5-4b x ),(a <x <5b 4)5分………………………………………………………令l′(x )=-8c b x +4ac +5bc b =0,得x =4a +5b 8.当x ∈(a ,4a +5b 8)时,l′(x )>0;当x ∈(4a +5b 8,5b 4)时,l′(x )<0.因此,x =4a +5b 8是函数l (x )的极大值点,也是最大值点.所以,销售价为4a +5b 8元/件时,可获得最大利润.10分……………………………………。
河南省洛阳市20162017高二(上)期末数学考试(理科)(解析版)
河南省洛阳市20162017高二(上)期末数学考试(理科)(解析版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R2．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2 C．a2＜b2D．a3＜b33．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0 B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0 D．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31 B．32 C．63或D．645．抛物线的准线方程是（）A．B．y=1 C． D．y=﹣16．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=7．“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos （B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．11．设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．100812．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是．14．若实数x，y满足不等式，则的取值范围为．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E 到面ACD1的距离是．16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA ⊥OB，求a的值．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．20．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，根据集合的基本运算A∪B=A，即可求B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B=A，∴B⊆A．考查各选项，{0，1}⊆A．故选A．2．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【分析】根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．【解答】解：∵a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，显然A、B、C不成立，D成立，故选：D．3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0 B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0 D．【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤0．故选：C．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31 B．32 C．63或D．64【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得=4，=7，解得a1，q．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=4，S3=7，∴=4，=7，解得a1=1，q=2，或q=，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6==63．当q=，a1=9时，S6==．∴S6=63或，故选：C．5．抛物线的准线方程是（）A．B．y=1 C． D．y=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线，即抛物线x2=﹣4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，∴=1∴抛物线的准线方程是y=1，故选：B．6．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2﹣2=2，从而得出正确选项．【解答】解：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．选项B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2﹣2=2，故只有D 满足条件，故选D．7．“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆离心率的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m=5，n=4，则椭圆方程为+=1，则a=5，b=4，c=3，则题意的离心率e=，即充分性成立，反之在中，无法确定a，b的值，则无法求出m，n的值，即必要性不成立，即“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件，故选：A8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB的中点F，连接EF，DF，则EF∥PA．从而∠DEF为异面直线DE 与PA所成角（或补角）．由此能求出异面直线DE与PA所成角的余弦值．【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA．∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．又∵∠PBO=45°，BO=1，∴PO=1，PB=在Rt△AOB中，AO=AB•cos30°==OP，∴在Rt△POA中，PA=2，∴EF=1．∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形．∴DF=，∵PB=PD=，BD=2，∴△PBD为等腰直角三角形，∴DE==，∴cos∠DEF==．即异面直线DE与PA所成角的余弦值为．故选：B．9．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos （B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由1+2cos（B+C）=0可得B+C=120°，A=60°，由余弦定理求得c值，利用△ABC的面积公式，可求BC边上的高．【解答】解：：△ABC中，由1+2cos（B+C）=0可得cos（B+C）=﹣，∴B+C=120°，∴A=60°．∵，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=8+c2﹣2×2×c×，解得c=+．由△ABC的面积等于bc•sinA=ah，（h为BC边上的高），∴•2•3•=•2•h，h=1+，故选：C．11．设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．1008【考点】数列的求和．【分析】分别求出a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，得到数列的规律，即可求出答案．【解答】解：∵a n=ncos，∴a1=1×cos=1×=，a2=2cos=2×（﹣）=﹣1，a3=3cosπ=﹣3，a4=4cos=4×（﹣）=﹣2，a5=5cos=5×=，a6=6cos2π=6×1=6，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，同理可得a7+a8+a9+a10+a11+a12=3，故S2016=×3=1008，故选：D12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|MF|=a，|NF|=b，由抛物线定义，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|MN|的范围，即可得到答案．【解答】解：设|MF|=a，|NF|=b．由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b，由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得，|MN|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|MN|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是2．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，命题的否命题为若{a n}是等差数列，则{a n}是常数列为假命题，当公差d≠0时，{a n}不是等差数列，故逆命题为假命题，则否命题为假命题，故假命题的个数为2个，故答案为：214．若实数x，y满足不等式，则的取值范围为[，] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到D（﹣2，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，OD的斜率最小，由得，即A（2，2），则AD的斜率k==，OD的斜率k=，即≤≤，故答案为：[，]．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E 到面ACD1的距离是．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面ACD1的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，2），∴点E到面ACD1的距离：d==．故答案为：．16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是②③④．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，即4a2﹣2PF1PF2=4c2，则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），则AN⊥x轴，若∠MAN=120°，则∠MAx=30°，则tan30°==，平方得=，即=，则双曲线C的离心率e=====；故③正确，④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M1、N1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：当P真时，∀x∈R，x2+2x＞m，有△=4+4m＜0，解得m＜﹣1．…..当q真时，∃x0∈R，使，所以△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或m≥1 …..又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p，q一真一假，…..当p真q假时，﹣2＜m＜﹣1…..当p假q真时，m≥1…..所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．…..18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA ⊥OB，求a的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）设直线AB的方程为x=ty+a，与抛物线方程联立，利用x1x2+y1y2=0求解即可．【解答】解：（1）由题意，2+=3，∴p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x；（2）设直线AB的方程为x=ty+a．A（x1，y1）、B（x2，y2），联立抛物线方程得y2﹣4ty﹣4a=0，y1+y2=4t，y1•y2=﹣4a∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴a2﹣4a=0∵a＞0，∴a=4．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由（1）及余弦定理，基本不等式可求16≥（a+b）2﹣，解得a+b≤8，利用两边之和大于第三边可求a+b＞c=4，即可得解a+b的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．∴2c2=（2b+a）b+（2a﹣3b）a，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，…3分∴cosC==，∵C∈（0，π），∴C=…6分（2）由c=4及（1）可得：16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣， (8)分∴解得：a+b≤8，…10分又∵a+b＞c=4，∴a+b∈（4，8]…12分20．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知条件推导出（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，从而得到数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由S n=，b n=n•2n，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由6S n=a n2+3a n+2①得6S n﹣1=a n﹣12+3a n﹣1+2②①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵各项均为正数的数列{a n}∴a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴数列{a n}的通项公式是a n=3n﹣2（2）S n=，∴=n•2n，∴T n=1×21+2×22+…+n•2n，③2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1，④③﹣④，得﹣T n=21+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB的中点O，连结OD，OS，推导出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能证明AB⊥SD．（2）推导出OS⊥平面ABCD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点O，连结OD，OS，∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，∵四边形ABCD是直角梯形，DC=，AB∥CD，∴四边形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，∴AB⊥SD．解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴OS⊥平面ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，6，0），B（0，﹣6，0），D（6，0，0），C（6，﹣6，0），S（0，0，6），=（﹣6，0，6），=（6，﹣6，0），设平面SAD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得，同理，得平面SBC的一个法向量=（0，﹣，1），则cosθ==．∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为．22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为： +y2=1．右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得：+=1，又b2=a2﹣c2=1，解得a即可得出．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），与椭圆方程联立化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，可得D（，）．可得AD的中点M，可得k OM．直线l的方程为：y=k（x+2），可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，化简即可得出．【解答】解：（1）∵P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为：+y2=1．右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得： +=1，∴4c2=3a2，又b2=a2﹣c2=1，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为=1．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），联立，消去y化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，∴x1=﹣2，x2=．由x D=，可得y D=k（x D+2）=．∴D（，）．由点M为AD的中点，可得M，可得k OM=﹣．直线l的方程为：y=k（x+2），令x=0，解得y=2k，可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，∴=﹣1，化为（4m+2）k﹣n=0恒成立，由，解得，因此存在定点N．使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN．2017年2月1日。
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洛阳名校2016—2017学年上期12月份考评卷
高二数学（理）参考答案
一、选择题
1-6 BBACDA
7-12 BCACBB 二、填空题
13. 3
14. 74 15.
三、解答题 17. 解：当命题p 为真命题时，则有⎪⎩
⎪⎨⎧>->->m m m m 210102解得0<m <31.….….3分 当命题q 为真命题时,则有⎪⎩
⎪⎨⎧<+<>45110m m 解得0< m <15.….….….6分 因为 q p ∨ 为真命题且p ⌝为真命题，所以p 假且q 真
⎪⎩⎪⎨⎧<<≥≤∴15
0310m m m 或 ….….….….….….….8分
故m 的取值范围为
153
1<≤m ….…….….10分 18. 解：（1） 由余弦定理可得2cos cos sin cos ac B B ac A A
--= ， 因为ABC 是锐角三角形， 所以cos 0B > ，
所以sin 21A = ， 所以22A π=
， 所以4A π
=．….….….….….…..….….….5分
（2） 由（1）知，34
B C π+=，所以
7sin cos()sin cos()126
B C B B ππ+-=+- sin cos cos sin sin 66B B B π
π
=++
3sin 2B B =+
)6B π=+
.….….….7分 因为30,0,422B B πππ<
-<<< 所以,42
B π
π<< 所以52,1263
B πππ<+< 所以,62B π
π
+=即3B π
= 时，7sin cos()12
B C π+-
..….10分
此时，由正弦定理可得sin sin 2
a B
b A === ．.….….….12分 19. 解：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，有已知得⎩⎨⎧=+++=+12
)()(4322121a a a a a a ….…….….….….2分
⎩⎨⎧=+=+843221a a a a ∴ ⎩⎨⎧=+++=++8)2()(4)(11
11d a d a d a a 解得121{==a d ….….….….….4分
12-=∴n a n ….….….….….5分
（2）由（1）得1
12122---=n n n n a ， 所以12212
1223225231---+-++++=n n n n n s ① 212
1223225322---+-++++=n n n n n s ②….….….….….8分
②-①得2222
1222222222----++++
+=n n n n s 111232621221121122---+-=----⨯+=n n n n n ….….….….…..….…12分 20. 解：（1）由题，∠BDM ＝30°，∠BCM ＝60°，得∠CBD ＝30°， 所以BC ＝BD ＝100，
所以S △BCD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12
×100×100×sin 120°＝2 5003平方米..…………5分 （2）由题，∠ADC ＝75°，∠ACD ＝45°，∠BDA ＝45°，
在△ACD 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD
， 即100sin 60°＝AD sin 45°， 所以AD ＝1003 6， .………………7分 在△BCD 中，
BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝1002＋1002－2×100×100×cos 120°＝1003，.………………9分 在△ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝ ⎝⎛⎭⎫100362
＋（1003）2－2×10036×1003×cos 45°＝1003
15..………………11分 即船长为1003
15米. ………………12分 21. 解：（1）∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，且a 2，a 5，a 14成等比数列， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2，d ＝0(舍去)．
∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9. ∴等比数列{b n }的公比q ＝3，b 1＝1，b n ＝3n －1. ………………5分 （2）∵11b c ＋c 2b 2
＋…＋c n b n ＝a n ＋1，① ∴c 1b 1
＝a 2，即c 1＝b 1a 2＝3. 又c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n
(n ≥2)，②
①－②得，c n
b n ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴
c n ＝2b n ＝2×3n －1
(n ≥2)，
∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3 n ＝1 ，2×3n －1 n ≥2 . ………………10分
则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 016
＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 016－1
＝3＋2×(31＋32＋…＋32 015)
＝3＋2×3× 1－32 015 1－3＝32 016
………………12分
22. 解：（1） 因为椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，过点(13A ，和点(0)B ，-1 ，
所以b 1=
，由2
23
111a += ，得23a = ．
所以椭圆G 的方程为2
213x y +=．………………4分
（2） 假设存在实数m 满足题设，由22,
1.
3y
x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22463(1)0x mx m ++-= ．
因为直线与椭圆有两个交点，
所以 0∆>，即 24m <…………①………………5分
设MN 的中点为(,),,p p M N P x y x x 分别为点,M N 的横坐标，则
324M N
p x x m
x +==- ，从而4p p m
y x m =+= ， 所以14
3p BP p y m k x m
++==- ．………………8分 因为BM BN = ，
所以BP MN ⊥ ．
则1BP MN k k =- ，而1MN k =，
所以
4
1
3
m
m
+
-=-，即2
m=，与①矛盾．………………11分
因此，不存在这样的实数m，使得BM BN
=．………………12分。