详解——1998年全国初中数学竞赛试题
1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答
1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答 1988年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1．下面四个数中最大的是（）A．tan48 cot48 C．tan48 cos48B．sin48 cos48 D．cot48 sin48 19885a 12．在实数范围内，设x1 a 1 1 a，那么x的个位数字是（）A．1B．2C．4 D．63．如图，在直角梯形ABCD中，AB 7，AD 2，BC 3，假如这AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（）A．1个 C．3个4．下面有四个命题：⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；B．2个D．4个P⑶一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；⑷一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．其中，正确的命题的个数是（）A．1二、填空题1．假如质数p，q满足关系式3p 5q 31，那么log2p的值是________． 3q 1B．2 C．3 D．42．如图，△ABC的边AB 2，AC 3，1，2，3分别表示以AB，BC，CA 为边的正方形，那么图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________． 3．假如自然数x1，x2，x3，x4，x5，满足x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5，那么x5的最大值是_______．4．如图，A，B，C，D四点在同一圆周上，且BC CD 4，AE 6，线段BE和DE的长都是正整数，那么BD的长等于_________．第二试一、一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是：第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加3，直到700为止，将所有这些数相乘，试求所得数的尾部零的个数（例如12022000尾部零的个数是3）．二、假如p，q，2p 12q 1，都是整数，并且p 1，q 1，试求p q的值． qp三、如图，△PQR和△P Q R 是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为：AB a1，BC b1，CD a2，DE b2，EF a3，FA b3．求证：a222221 a2 a3 b1 b2 b23．Ab1P'bC1a2Qba2R1988年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题 1．A【解析】∵0 cos48 1，0 sin48 1，sin48 cos48sin48 cos48 cos48sin48tan48 cot48 ，tan48 cos48 tan48 cos48sin48tan48 cot48 ，cot48 sin48 cot48sin48cos48cot48 tan48 ，所以最大的是tan48 cot48 ．应选A2．D【解析】要使两个根式都有意义，必须(a 2)(|a| 1)≥0，且(a 2)(1 |a|)≥0，但(a 2)(1 |a|) (a 2)(|a| 1)，所以只能是(a 2)(|a| 1) 0，解得a1 2，a2 1，a3 1．假设a1 2，那么110， 1 a假设a2 1，那么1 a 0，均使分母为零．因此仅有a3 1适用． 5 ( 1) 1此时x1 ( 1) 1988( 2)1988 24 497 16497．所以x的个位数字是6．应选D．3．C【解析】如图，设AP x，那么PB 7 x，⑴假如△PAD∽△PBC，那么∴x147，符合条件． 5x2，37 xx2 ， 7 x3P⑵假如△PAD∽△CBP，那么∴x1 1，x2 6也都符合条件．所以满足条件的点p有3个．应选C． 4．A【解析】对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例，例如：⑴如下左图中四边形ABCD，其中△ABC是等腰三角形，△ADC与△CEA 关于AC的中垂线对称．A⑵如上右图，作等腰△ADE，延长底边ED至任意点O，以O为对角线的交点可作出平行四边形ABCE，而此时的四边形ABCD满足条件AD AE BC，且AO CO，但不是平行四边形．⑷如下左图中的四边形ABCD，其中B，D是AC的垂直平分线上的任意两点．AA以下证明命题⑶是正确的．如上右图，已知 BAD DCB，且OB OD．以O为中心，将△ABD逆时针旋转180度，由于OB OD，所以D与B 重合，B与D重合，点A与射线OC上的某点A 重合．假如A 不是C，那么 BA D BCD（A 在线段OC内部）或 BA D BCD （A 在OC的延长线上），都与 BA D BAD BCD矛盾！从而A 即是C．即OA OA OC，所以四边形ABCD是平行四边形．综上，仅有命题⑶正确．应选A．二、填空题 1． 3或0【解析】由条件知，3p和5q中必有一个是偶数，而另一个是奇数，假设3p是偶数，那么只有p 2，从而q 5，这时 log2p21log2 log2 3 3q 13 5 18假设5q是偶数，那么只有q 2，从而p 7，这时 log2p7log2 log21 0． 3q 13 2 1所以log22．9p的值是 3或0． 3q 11【解析】利用公式S absinC和sin(180 ) sin ，2易知，三个阴影三角形的面积都分别等于△ABC的面积，1因此三个阴影部分与面积的和 3 3 sin BAC 9sin BAC≤9．2当 BAC 90 时，等号成立．所以三个阴影部分面积的和的最大值是9．3．5【解析】方法一：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，由111111x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4≤111113 x4 x5，x4x5x4x5x4x5x5x4x4x5得x4x5≤3 x4 x5．∴(x4 1)(x5 1)≤4．假设x4 1，那么x1 x2 x3 x4 1这时，题设等式成为4 x5 x5，矛盾！假设x4 1，那么x5 1≤4，即x5≤5．假设x5 5时，容易找到满足条件的解组：（1，1，1，2，5），所以，最大值是5．方法二（LTX）：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，那么x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5≤5x5，即x1x2x3x4≤5，7从而易枚举得所有的解为：（1，1，1，2，5），（1，1，1，3，3），（1，1，1，4，），3（1，1，2，2，2），其中符合题意并且x5取到最大值的解为：（1，1，1，2，5）. 所以，最大值是5．【点评】给出一个一般的结论，满足等式x1 x2xi(i 1，2，，n)至少有一组：1，1，，1，2，n．(n 2)个xn x1x2xn的自然数利用它我们不难解答下面的问题：试写出方程x1 x2 答案x1 x2 4．7【解析】如图，设EC x，BE y，ED z．由△DCE∽△ACD，得CDEC4x，即，CADC6 x4 x1987 x1x2x1987的在自然数集中的一组解．x1985 1，x1986 2，x1987 1987．解得x 2（x 8不合题意），又由AE EC BE ED，得yz 6 2 12，但在△BCD中，又可得y z 4 4 8，y 3 y 4从而，只能求出正整数解组或，此时，都有BD y z 7．z 4z 3第二试一、【解析】首先，求出积中含有因数5的个数．数组中：10，25，40，35，…，700均含有因数5．这一组数共有 (700 10) 15 1 47个，假如每一个数各计一个5，共47个5，但是，其中：25，100，175，…，700还有含有第二个因数5，这些数共计有 (700 25) 75 1 100因此，就该再添上10个5．类似地，250，625还会有第三个因数5，625还会有第四个因数5．这样，积中因数5的个数为47 10 2 1 60个至于积中因数2的个数显然多于60个，所以，积的尾部共有60个零．二、【解析】解法1：首先有p q．事实上，假设p q，那么 2p 1q 2p 1p 2 1p，因为p 1，2p 1q不是整数，与题设矛盾．由对称性，不妨设p q，且令2q 1pm，那么m为正整数．∵mp 2q 1 2p 1 2p，∴m 1．这样p 2q 1，据此，2p 1q 4q 3q 4 3q，但2p 1q也是正整数，且q 1，∴q 3，于是p 2q 1 5，∴p q 8．解法2：由解1知p q，不妨设p q，令2p 1qm，① 2q 1pn．②那么m，n都是正整数，且易知m n．由②，qnp 1，③ 2np 1将③代入①，得2p 1 mq m 2，∴(4 mn)p m 2，∴4 mn是正整数．即mn 1，mn 2或mn 3，再注意到m n，因此仅有m 2，或 n 1 n 3，n 1 当m 2，n 1时，由①、②解得 p 2，q32，不合题意．当m 3，n 1时，由①、②解得 p 5，q 3．∴p q 8．三、【解析】证明：首先容易证明△PAB∽△Q CB∽△QCD∽△R ED∽△REF∽△P AF，依次记上述六个三角形的面积为S1，S1 ，S2，S 2，S3，S3 ．易知 S1 S2 S3 S1 S2S3 ，由b221S1 b2S b23S3 a ， 222，2 ， 1S1a1S1a1S12得b21 b2 b23 S3 a2 S1 S21S1即a21S1b222 1 b2 b3S1 S2 S3，同理a22S2a23S3b222 1 b2 b3S1 S2 S，b22 ， 3 1 b2 b23S1 S2 S3 ∴a2 a22 12 a3S1 S2 S3b222 1 b2 b3S1 S2S 1， 3 ∴a2 a22 b2212 a31 b2 b231988年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1．下面四个数中最大的是（）A．tan48 cot48 C．tan48 cos48B．sin48 cos48 D．cot48 sin48 19885a 12．在实数范围内，设x1 a 1 1 a，那么x的个位数字是（）A．1B．2C．4D．63．如图，在直角梯形ABCD中，AB 7，AD 2，BC 3，假如这AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（）A．1个 C．3个4．下面有四个命题：⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；B．2个 D．4个P⑶一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；⑷一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．其中，正确的命题的个数是（）A．1二、填空题1．假如质数p，q满足关系式3p 5q 31，那么log2p的值是________． 3q 1B．2 C．3 D．42．如图，△ABC的边AB 2，AC 3，1，2，3分别表示以AB，BC，CA 为边的正方形，那么图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________． 3．假如自然数x1，x2，x3，x4，x5，满足x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5，那么x5的最大值是_______．4．如图，A，B，C，D四点在同一圆周上，且BC CD 4，AE 6，线段BE和DE的长都是正整数，那么BD的长等于_________．第二试一、一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是：第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加3，直到700为止，将所有这些数相乘，试求所得数的尾部零的个数（例如12022000尾部零的个数是3）．二、假如p，q，2p 12q 1，都是整数，并且p 1，q 1，试求p q的值． qp。
1998年北京市中学生数学竞赛
1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．已知如下数组3，32-③12402，12240，1998 ④1998，640，2098其中可作为直角三角形三边长度的数组是（）A．①④B．②④C．②③D．③④2．在下面时间段内，时钟的时针与分针会出现重合的是（）A．5：25～5：26 B．5：26～5：27C．5：27～5：28 D．5：28～5：293．已知()=---A为正数的自然数x有（）A x25A．1个B．2个C．多于2的有限个D．无限多个4．将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么不全等的三角形的个数是（）A．5 B．6 C．8 D．105．在ABC∠=°，12△的面积等于（）AC∠=°，15△中，90AB=．则ABCA．16 B．18 C．D．6．已知432c=，324b=，423a=，342d=，则a，b，c，d，e的大小关系是（）A．a b d e c===>===<B．a b d e cC．e d c b a<<<<D．e c d b a<<<<2．P为正方形ABCD内一点，10PA PB==，并且P点到CD边距离也等于10．求正方形ABCD 的面积．D CPAB 3．已知a为整数，2--是质数，试确定a的所有可能值的和．a a412274．如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线交平行四边形于E ，F ，G ，H 四点．若3AHPE S =，5PFCG S =．求PBD S △．HCA5．实数a ，b ，x ，y满足21y a =-，231x y b -=--，求22x ya b+++之值．6．多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-．试确定a b +的值．7．梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5厘米，梯形的高等于4厘米．此梯形的面积是多少平方厘米？8．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后达到楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙、登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上．问由楼下到楼上自动扶梯共有多少级？初中二年级复赛试题（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1．若x y +x y -，则xy = ．2．等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别为腰AC 、BC 上（异于端点）的点，DE DF ⊥，10AB =，设x DE DF =+，则x 的取值范围是 ．FE DCBA3．实数a ，b1032b b -+--，则22a b +的最大值为 ． 4．若y ，z 均为质数，x yz =，且x ，y ，z 满足113x y z+=，则199853x y z ++= ． 5．黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作．每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0，等等．如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是 ． 二、（满分15分）今有浓度为5%，8%，9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7%的盐水100克．问：甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？三、（满分15分）矩形ABCD中，20AB=厘米，10BC=厘米．若在AC、AB上各取一点M，N（如右图），使BM MN+的值最小，求这个最小值．N MD CBA四、（满分15分）国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分．今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手手电分均不相同，当按得分由大到小排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名选手得分总和．问：前三名选手各得多少分？说明理由．五、（满分15分）正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定HAF∠的大小并证明你的结论．P HGF E DCB A1998年北京市中学生数学竞赛初中二年级初赛试题答案（1998年4月5日8：30～10：30）一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案．请将你的答案填在括号内，答对得6分，答错或不答均记0分）1．D验算222+≠，排除A ．)(((2231913+=-+- (23232=--，排除B ，C ．又()()2212402122401240212240124021224024642162-=+-=⨯ ()222231111998=⨯⨯=()()2222098199820981998209819984096100640-=+-=⨯= 所以③，④合于要求．选D ．2．C设5点x 分时，时针与分针重合．因为分针速度是时针速度的12倍，5点钟时，时针在分针前面25格，所以可得方程2512xx -=解得32711x =．因此5点32711分时时针与分针重合．选C ．算术解法：分针速度是时针速度的12倍，所以时针指到26格时，分针指到12格（即5点12分）．时针指到27格时，分针指到24格，分针落后于时针．当时针指到28格时，分针指到36格，此时分针已超过时针．所以在27格到28格之间时针与分针重合．3．C因为()2532A x x =----++由320x -++>，解得 3.02x <． 所以满足条件的自然数是1，2，3． 故选C ．4．C设三角形三边a ，b ，c 满足a b c ≤≤因为a b c +>，所以22010c a b c c <++=⇒<．又因为320c a b c ++=≥，所以2673c c ⇒≥≥．因此79c ≤≤．当7c =时，7b =，6a =．当8c =时，8b =，4a =；7b =，5a =；6b =，6a =．当9c =时，9b =，2a =；8b =，3a =；7b =，4a =；6b =，5a =．共有8组解． 选C ． 5．B如图，作CE AB ⊥于E ，D 为AB 中点，6CD =．因为230CDB A ∠=∠=°，所以132CE CD ==．1123182ABC S =⨯⨯=△．选B ．6．C因为432a =，342b =，423c =，234d =，324e =即812a =，642b =，163c =，91842d ==，81642e ==． 又643232162433b c ==>>=，186681628993d c ==<<==． 所以e d c b a <<<<．选C ．二、填空题（满分64分，每小题答对得8分，答错或不答均记0分）1．， 此式要有意义，应有1a ≤．2a <，3a ≠， 因为{1}{2}{3}{1}a a a a <= ≤≠≤，所以，原式=0==．2．256设CD 中点为M ，则PM CD ⊥．所以10PM =．延长MP 交AB 于N ，则AN NB =．MN AB ⊥．设正方形边长为2x ，则AN BN x ==，210PN x =-． 在Rt APN △中，由勾股定理得：()22210210x x =+-化简得25400x x -=即()580x x -=因为0x >，解得8x =．所以正方形的边长为16，面积为256． 3．6设241227a a --是质数p ，则241227a a --有因子1±及p ±． 由()()2412272329a a a a --=+-可得： 当231a +=时，1a =-．此时()21911--=-． 当231a +=-时，2a =-．此时()22913--=-． 当291a -=时，5a =．此时()25313+=． 当291a -=-时，4a =．此时()24311+=．ED CBAM xx NABCDP所以当a 取1-，2-，5，4时，241227a a --是质数．a 的所有可能值的和为()()12546-+-++=．4．1设PBD S x =△，ABD CDB S S s ==△△，则PBCD S s x =+，PDAB S s x =- 所以53s x s x +-=--． 解得1x =．即1PBD S =△．5．17由已知21y a =- ①231x y b -=-- ② ①+223x a b +-=--30x -≥，220a b --≤，30x +-=0=，30x -=；220a b --=，6．3-设()()22562f x y x axy by x y x y =++-++=+-，，()g x y ，是()f x y ，的另一个因式，于是，()()()2f x y x y g x y =+-⋅，，令1x y ==，则()110f =，，()0g x y =，，即得15160a b ++-++=， 所以3a b +=-．7．503 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC BD ⊥，5BD =，DH BC ⊥于H ，4DH =．于是3BH =．过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于E ，则DE AC =．令DE AC x ==，则HE 在Rt BDE △中，2DH BH HE =⨯，即243=解得203x =．所以梯形ABCD 的面积11205052233BD AC =⨯⨯=⨯⨯=（平方厘米）．8．66设自动扶梯共n 级．甲登梯速为每分钟y 级，则乙登梯速为每分钟2y 级．电梯速度为每分钟x 级． 则依题意列得关系式： ()55x y n y +=，()6022x y n y+=． 所以()()556022x y x y y y+=+得55553060x y x y +=+ 即255x y =所以15x y =．45xxHED CBA因此，()55551555555665x n x y y y =+=+=⨯+=． 也就是说，楼下到楼上自动扶梯共有66级．初中二年级复赛试题答案（1998年5月3日8：30～10：30）一、填空题（满分40分）1解：由x y +x y -①+②得x ①-②得y =2．10x < 连接CD ．易证ADE CDF △≌△，所以DE DF =． 因此2x DE =．因为D 为定点，E 为AC 边上的动点．而5AD CD ==．当E 为AC 中点时，DE AC ⊥，DE．当点E 向A 运动或向C 运动时，DE 增大，但5DE AD <=，所以55DE <，也就是10x <． 3．45由已知得()161032a a b b -+-=--+-，由绝对值的几何意义，易知 左边165a a -+-≥，右边()1032055b b --+--=≤1， 所以，左边=右边5=，此时16a ≤≤，32b -≤≤．因此22a b +的最大值为()226345+-=． 4．20005由已知x ，y ，z 满足113x y z+=得3yz xz xy +=． 因为x yz =，所以3x xz xy +=． 又0x ≠，所以13z y +=．若2z =，则1y =，与“y 与质数”的条件相矛盾，所以2z ≠，因此质数z 必为奇数，13z y +=为偶数．y 只能是偶数，又y 是质数，所以2y =．于是取2y =，5z =，则10x =．所以199853199810523520005x y z ++=⨯+⨯+⨯=． 5．6由操作规则知，每次操作后黑板上所有的数之和被10除的余数保持不变． 因为123199719981997001+++++=…，故黑板上的数之和被10除的余数为1始终不变．最后剩下的两个数中，至少有一个为新添加的数．而新添加的数只能是一位数，所以25不是新添加的数．因此另一个数必是新添加的数．他应是个F′E′ABCDE F一位数，且与25的和被10除余1．故只能是6．二、（满分15分）解：设甲、乙、丙三种盐水分别各取x 克，y 克，z 克可配成浓度为7%的盐水100克．依题意，得100589700x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①② 其中060x ≤≤③ 060y ≤≤④047z ≤≤⑤由①，②解得2004y x =-，3100z x =-，所以由④0200460x -≤≤，解得3550x ≤≤⑥由⑤0310047x -≤≤，解得133493x ≤≤⑦综合③，⑥，⑦可知3549x ≤≤．事实上，当甲种盐水取35克时，乙种盐水取60克，丙种盐水取5克，可满足方程①，②； 当甲种盐水取49克时，乙种盐水取4克，丙种盐水取47克，也可满足方程①，②． 答：甲种盐水最多可用49克，最少可用35克．三、（满分15分）解：作B 关于AC 的对称点B '，连结AB '． 则N 点关于AC 的对称点为AB '上的N '点．这时，B 到M 到N 的最小值等于B M N '→→的最小值，等于B 到AB '的距离BH '．即BM MN +的最小值为BH '．现在求BH '的长．设AB '与DC 交于P 点，连结BP ，则ABP △的面积等于120101002⨯⨯=．注意到PA PC =（想一想为什么？） 设AP x =，则PC x =，20DP x =-． 根据勾股定理得222PA DP DA =+，即()22222201040040100x x x x x =-+⇒=-++， 解得12.5x =（cm ）．所以10021612.5BH ⨯'==（cm ）． 即BM MN +的最小值是16厘米．N′H′B′P HAB CD M N四、（满分15分）A 7A 654Ai j A A →表示i A 胜j A i j A A …表示i A 平j A解：设第i 名选手得分为i a ，则12345678a a a a a a a a >>>>>>> 由于8名选手每人比赛7局，最多可胜7场， 所以17a ≤．大家共赛78282⨯=场，总积分为28分．所以1234567828a a a a a a a a +++++++=①因为每局的积分为0，0.5，1这三种值，所以每人的积分只能取0，0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，6.5，7这15个值．又知4 4.5a =，25678a a a a a =+++ ②若3 5.5a ≥，则26a ≥，1 6.5a ≥，此时123 6.56 5.518a a a ++++=≥． 由①4567810a a a a a ++++≤，但4 4.5a =，由②2567810 4.5 5.5a a a a a =+++-=≤，这与26a ≥矛盾．所以3 5.5a <，但34 4.5a a >=，所以35a =．这时由①得125678285 4.518.5a a a a a a +++++=--=，也就是12218.5a a += 若2 5.5a =，那么118.5117.57a =-=>，与17a ≤矛盾！若2 6.5a ≥，那么12218.5218.513 5.5a a a =--=<≤矛盾！所以只能26a =． 此时118.526 6.5a =-⨯=．所以前三名选手的积分分别为：6.5分，6分，5分．事实上，当第一名选手平第三名选手、胜其余六人，第二名选手负于第一名而胜其他六名选手，第三名选手平第一名、负于第二名、平第四名、胜其他各名选手时，这时第四名选手负于第一名、第二名，平第三名时即可达到．如图所示． 五、（满分15分）解：容易猜测到45HAF ∠=°． 我们证明如下．设AG a =，BG b =，AE x =，ED y =．则有关系式 2a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①② 由①a x y b -=-平方得22222a ax x y by b -+=-+，将②代入得222224a ax x y ax b -+=-+，M D H∴()222a xb y a x+++⇒+∵22222b y CH CF FH+=+=，∴a x FH+=．即DH BF FH+=．将Rt ADH△绕A旋转90°到Rt ABM△的位置．易证：AMF AHF△≌△，M AF H AF∠=∠．而90 MAH MAB BAH DAH BAH DAB∠=∠+∠=∠+∠=∠=°∴1452HAF MAH∠=∠=°。
1998年全国初中数学联赛试题(含答案)
1998年全国初中数学联赛试题(含答案)1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x的两根之差是1，那么p的值为（ ）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线ppx y +=一定通过第（ ）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a ax a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
1998年全国初中数学试题
1998年全国初中数学试题一、选择题（每小题6分，满分30分）1．已知a，b，c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ]A．ab＞bc B．a+b＞b+c. C.a-b>b-c; D. a bc c >.2．如果方程x2+px+1=0（p＞0）的两根之差为l，那么p等于[ ]3．在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于[ ] A． 12 B．14 C．16 D．184.已知abc≠0,,并且a b b c c apc a b+++===,那么直线y=px+p一定通过[ ]A．第一、二象限B．第二、三象限. C．第三、四象限D．第一、四象限5.如果不等式组9080x ax b-≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1,2,3,那么整数a,b的有序数对(a,b)共有[ ]A．17个B．64个. C．72个D．81个二、填空题（每小题6分，满分30分）6．在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=______．7．已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于______．8．已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为______cm．9．已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，那么a=＿＿．10.B船在A船的西偏北450,两船相距若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船速度为A船速速度的2倍,那么A,B两船的最近距离是___________km.三、解答题（每小题20分，满分60分）11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，点E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．12.设抛物线y=x2+(2a+1)x+2a+54的图象与x轴只有一个交点.(1)求a的值；(2)求a18+323a-6的值．13．A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台，现在决定把这些机器支援给D市18台、E市10台，已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市运费分别为400元和500元．(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数式，并求W的最小值和最大值．(2)设从A市x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x，y表示总运费W（元），并求W的最小值和最大值．1998年全国初中数学联赛参考答案一、选择题1．B根据不等式性质．2．D由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，得l2=(-p)2-4．∴p2=5，3．C如图连ED，又∵DE是△ABC两边中点连线．故选C．4．B得2(a+b+c)=p(a+b+c)．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B．5．C在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图∴a=1，2，3…9，共9个．∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…，3×8+8．共8个．∵9×8=72（个），故选C．二、填空题6．解如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”．∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD=13．7．解如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O8．解如图，当圆环为3个时，链长为3a+故a可取1，3或5．10．解如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|．三、解答题11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13，a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610．a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597．∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1．∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200．∴5≤x≤9．∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200∴W=-500x-300y+17200，W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．。
初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)2002年全国初中数学竞赛试题 (15)2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)2006年全国初中数学竞赛试题 (32)2007年全国初中数学竞赛试题 (38)2008年全国初中数学竞赛试题 (46)2009年全国初中数学竞赛试题 (47)2010年全国初中数学竞赛试题 (52)2011年全国初中数学竞赛试题 (57)2012年全国初中数学竞赛试题 (60)2013年全国初中数学竞赛试题 (73)2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
1998年第10届“五羊杯”初中数学竞赛初一试卷
1998年第10届“五羊杯”初中数学竞赛初一试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．五个数：0.86、56、1113、78、0.86，按照从小到大的顺序排列时，排在中间的是（）A．0.86B．1113C．78D．0.862．小伍和小杨比赛登楼，他俩在36层的五羊大厦底层(1楼）出发，当小伍到达6楼时，小杨刚到达5楼．按此速度，当小伍到达顶层时，小杨可到达（）A．31层B．30层C．29层D．28层3．天平砝码是1克、2克、4克、8克、 ，每种重量有1个砝码．如果天平的一个托盘上放置1998克的物体，那么另一个托盘放置（）不同的砝码便可以平衡．A．10个B．9个C．8个D．7个4．电视台播放60集的电视连续剧《五羊城的故事》，星期二、三、四、五每天播1集，星期六、日每天播2集，星期一不播，如果小高每天都看这部电视剧，但她要参加一次长达17天的旅游，旅游期间看不到这部电视剧，那么小高至少可以看到（）A．41集B．40集C．39集D．38集5．除以8和9都余1的所有3位数之和是（）A．6492B．6565C．7501D．75746．下面数列中，每个△都代表一个数，而且从第3项起，每个数都等于前面两个数的和，则列出的全部9个数的和是（）△、△、△、△、7、△、△、△、47．A．108B．112C．116D．1227．如图，图中的线段AB长为1，那么图中的多边形（阴影部分）的周长、面积分别为（）A．62、31B．64、32C．62、32D．64、318．小芳在镜子里看到时钟的影像如图所示，时针和分针的位置就好像正常的钟面上7时30分的位置一样，那么这时实际时间是（），又如果实际时间是1时50分，则镜子里时钟的影像中，两针的位置应该如同正常钟面上（）的两针位置一样．A．4时30分、10时10分B．9时30分、10时50分C．8时30分、10时50分D．3时30分、1时50分9．1998的不同约数的个数是（）A．20 B．16 C．14 D．1210．现规定跳棋的跳子规则是（如图1)：从A跳至B，中间需要有1个棋子作“桥”，“桥”两旁可以没有空格，如有空格则应有相同的个数，还允许连跳，图2的棋盘上有9个棋子，其中A、B、C三个棋子能否分别跳到对角X、Z、Y位置（）A．A，B子行；C子不行B．B，C子行；A子不行C．C，A子行；B子不行D．A，B，C三子均行二、填空题（每小题5分，共50分）11．化简求值：851719299961812895923+-=-．12．计算113135()()244666++++++…+（139898++…798+）．13．如果1998a b b b b=，其中a、b是自然数，那么a的最小值是．14．n不是质数，n可以分解为2个或多于2个质因数的积，每个质因数都不大于10，n的最小值等于．15．对每一个三位数，算出其各位数字之和，则所有这些和的总和为．16．小学生小明问爷爷今年多大年纪，爷爷回答说：“我今年岁数是你岁数的7倍多，过几年变成你的6倍，又过几年变成你的5倍，再过若干年变成你的4倍，你说我今年多少岁？”小明计算一番，终于明白爷爷今年是岁．17．油罐有A、B两条进油管，C、D、E三条出油管，要灌满空罐，单开A管要1.5小时，单开B管要2小时．要排光一罐油，单开C管要3小时，单开D管要4小时，单开E管要4.5小时．现在罐内有14罐油，按A、B、C、D、E的顺序打开油管，每次每管打开1小时，循环进行，问多少时间后油罐灌满？答小时．18．欧阳教授的存书依次用3个英文字母按字典排列法编号，即AAA、AAB、AAC、…、AAZ、ABA、ABB、…、ABZ、…、AZZ、BAA、…．已知欧阳教授的数学书籍从HZP 编号直到LAC截止，则他的数学书共有本．19．由一块底长2m、高3m的等腰三角形木板中锯下一块最大的正方形（正方形木板有一边与三角形木板的底边重合）．这块正方形木板的面积是平方米．20．从变电站到五羊医院的输电线路有一处发生故障，外表看不出，需派人爬到电线杆顶检查．每次检查都可以发现故障出现在线路哪一端．如果输电线路中共有240根电线杆．为加速查出在哪两根相邻电线杆之间，每次派2人爬上杆顶，则在最佳方案中，最多次便可以确保查明故障所在．。
初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)2002年全国初中数学竞赛试题 (15)2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)2006年全国初中数学竞赛试题 (32)2007年全国初中数学竞赛试题 (38)2008年全国初中数学竞赛试题 (46)2009年全国初中数学竞赛试题 (47)2010年全国初中数学竞赛试题 (52)2011年全国初中数学竞赛试题 (57)2012年全国初中数学竞赛试题 (60)2013年全国初中数学竞赛试题 (73)2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析目录1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (3)1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (10)2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (19)2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (26)2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (34)2003年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (42)2004年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (53)2005年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (61)2006年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (69)2007年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (78)2008年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (91)2009年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (100)2010年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (110)2011年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (119)2012年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (128)2013年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (144)2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案 (153)1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).1、已知c b a ，，都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是(B ).A. ；bc ab >B. ；c b b a +>+C. ；c b b a ->-D..cbc a > 【解析】B.根据不等式的基本性质.2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为(D ).A. 2；B. 4；C. ；3D. .5【解析】D..514)(14)()(.1.200422212212212121212=⇒⨯--=⇒-+=-∴⎩⎨⎧=-=+>⇒⎭⎬⎫>>-=∆p p x x x x x x x x px x x x p p p 为方程的两根，那么有、设由3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且64==⊥CE BD CE BD ，，，那么△ABC的面积等于(C ). A. 12； B. 14；C. 16；D. 18.【解析】C..16123434.4141.12642121=⨯==∴=-⇒=⇒∆=⨯⨯=⋅⋅=⇒⊥∆∆∆∆∆BCDE ABC ABC BCDE ABC ABC AED BCDE S S S S S S S ABC DE CE BD S CE BD DE 四边形四边形四边形的中位线是，则如图所示，连接Θ4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第()象限.(B ) A. 一、二； B. 二、三； C. 三、四； D. 一、四.【解析】B...11222.12.10.02)()(2一定通过第二、三象限直线过第二、三、四象限时，直线当过第一、二、三象限；时，直线当或或p px y x y p x y p p p cc c b a p c b a c b a p c b a p c b a pba c pa cb pcb a p b ac a c b c b a +=∴--=-=+==-==∴-=-=+=⇒=++=++=⇒++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒=+=+=+ΘΘ5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有(C ). A. 17个； B. 64个； C. 72个； D. 81个.【解析】C..7298)(.832313029282726259987654321.322490483190.89个有，满足条件的整数有序对个，共，，，，，，，个；，共，，，，，，，，则依题意，知由原不等式组可得=⨯∴==∴⎩⎨⎧≤<≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<<≤b a b a b a b a b x a二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE +PF =_____.【解析】.1360 .136013560135.1355125sin 135605125)12(sin .12)120(2222=-+=+∴=+⋅=∠⋅=-=+⨯-=∠⋅=∴-=<<=x x PF PE xx PAF AP PF xx PDE DP PE x DP x x AP ；，则如图所示，设FEADCBP7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_____.【解析】6..639211121)31()91(21'.''').93()11(32''''2=⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯=--=-=+-=∆∆∆O BB O AA B B AA OAB S S S S B A x BB AA B A x y x y 梯形则，轴，垂足分别为分别垂直于，作，，，的交点为与抛物线如图所示，直线8、已知圆环内直径为cm a ，外直径为cm b ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_____cm .【解析】49a+b..49)150(225050242332222b a ab b b a ab b b a ab b +=-⨯--⋯⋯+=⨯--+=⨯--个时，链长为当圆环为；个时，链长为当圆环为；个时，链长为如图所示，当圆环为9、已知方程())(015132832222是非负整数其中a a a x a a x a =+-+--，至少有一个整数根，那么a =_____.【解析】1，3或5..53151322)2()83(2)15132(4)83()83(21222222222，或，可取故，a ax a x a a a a a a a a a a a a a x -=-=∴+±-=+---±-=Θ10、B 船在A 船的西偏北o 45处，两船相距km 210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是_____km .【解析】52..52''620)6-(5)210()10(''''./.''.102221045sin 102221045cos 22222o o 取得最小值时，当则船的速度为并设处，船分别航行到船、小时后，设经过，如图所示，B A xt xt xt xt C B C A B A h km x A B A B A t AB BC AB AC =+=-+-=+==⨯=⋅==⨯=⋅=三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).11、如图，在等腰ABC ∆中，o 901=∠=A AB ，，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.AB CEF【解】解法一：.24161212121612214522122∽9090.o o o =⨯⨯=⋅⋅=∴=⇒=-∴=⇒=∠-=-=∴=⇒==∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆GF CE S GF GF GF GF CG C GFGE CE CG GF GE AEABGF GE GEABGF AE GEF Rt ABE Rt GEF ABE AEB GEF AEB ABE G CE FG CEF ΘΘ于如图所示，作解法二：241)21()(∽9090.22o o ==∴====∴∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆∆AEABCH CE CE AB CH AE AB CE S S CEH Rt ABE Rt CEH ABE AEB CEH AEB ABE H EF CE CH C ABE CEH ，的延长线交于，与作如图所示，过Θ.2412112141324132322.45o =⨯⨯⨯⨯=⨯==∴==∴⇒∠⇒=∠=∠∆∆∆∆∆ABE CHE CEF CHF CEF S S S CH CE S S CE CH F HCE CF HCF ECF 的距离相等、到的角平分线是Θ12、设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点.(1)求a 的值； (2)求618323-+a a 的值. 【解】.5796)138(323)15972584(3231381011)1(310113)2)(53(1115344)1(44)2()1(1212)1(12)1()1(11101159725846101597)1(9876101597987)1)(610987(610987169546)1(441169546441)1321()(1321412)1(94129)23()(2312)1(12)1()(101)1()2(.251010)452(4)12(.0452)12(.452)12()1(618224622224222222216182228162224822224222222=+-++=+∴+-=+-+=+-=+-+-=⋅=+-=+-+=+-=+-==+-=+-+=+-=-==-=∴=--+=+++=++=++=⋅=+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=∴=--±=∴=+-=+-+=∆∴=++++∴++++=-a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a x x a x a x y 又知，由，即有两个相等的实根一元二次方程轴只有一个交点的图像与抛物线ΘΘ13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元.(1)设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W (元)关于x (台)的函数关系式，并求W 的最大值和最小值.(2)设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W (元)，并求W 的最大值和最小值. 【解】.1420014200100142001720010300020017200)(300200.98009800810980017200183001020017200)(300200.1810100100172003005001810100100818010010017200300500)10(500)10(700)10(800)18(400300200.101010182.132005100009958218010017200800)102(500)10(700)10(800)218(400300200.10210102181元的最大值是，故时，，即当；又元的最小值是，故时，，即当是整数，，，且又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（元取到最大值时，元；当取到最小值时，所以，当又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（W W y x y x x W W W y x y x x W y x y x y x y x W y x y x y x y x y x y x y x y x y x W y x y x E y x y x D C B A W x W x x x x x x x x x x x W x x x E x x x D C B A ====+⨯-⨯-≤++--=====+⨯-⨯-≥++--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤+--=-++-+-+--++=-+----==≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤≤≤+-=-+-+-+-++=----1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).14、一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是(C ).A. 11；B. 12；C. 13；D. 14.【解析】C.18019131999)2(180o o <⇒<-n n .15、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费(B ). A. 60元； B. 66元； C. 75元； D. 78元.【解析】B.设4月份用户使用煤气x (x >60)立方米.则 60×0.8+1.2×(x -60)=0.88x .解得x =75. 故4月份该用户应交煤气费0.88×75=66元.16、已知11=-a a，那么代数式a a +1的值为(D ).A.；25 B. ；25-C. ；5-D. .5【解析】D..1111110②52321)1(113111110①2222222此时无解时，当；时，当-=+⇒=+⇒=-<=+=++=+=+⇒+∴=+⇒=-⇒=->a aa a a a a a aa a a a a a a aa a a a a17、在ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，已知51065====CD BD AD AC ，，，，那么ABC ∆的面积是(B ). A. 30； B. 36； C. 72； D. 125.【解析】B..36524)510(212152454621214353621215.2222=⨯+⨯=⋅⋅=∴=⨯=⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅=∴=-=-=∴=⨯==⇒⊥==⊥⊥∆∆AF BC S CD CE AD AF AF CD CE AD S AE AC CE AD AE AD CE CD AC F BC AF E AD CE ABC ADC ，则于，于如图所示，作18、如果抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是(A ). A. 1； B. 2；C. 3；D. 4.【解析】A.().1184)1(452522145221214524)]1([)1(444212)1(252)1(4)1(4)(11.01)1(32222212222221221212121212取得最小值时，当，，则，的两实根为设一元二次方程ABC C ABC S k k k kk k k k x x y AB S k k k k a b ac k k a b k k k k x x x x x x k x x k x x x x k x k x ∆∆-=++=++⋅++⋅=++⋅-⋅=⋅⋅=∴++-=-----=--=---=-++=----=-+=-∴--=-=+=----19、在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为(D ). A. 2； B. 3； C. 4； D. 5.【解析】D..③②①.31452P P BA B P BA BP P AB A P AB AP P P AB P BP AP ABP CD CD B P BCD PCD ，为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；，的中垂线上，此时有必在线段时，点当是等腰三角形，则要使的对称直线上的直线或此直线关于且平行于一定在过点的面积相等，则点与如图所示，要使===∆∆∆二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).20、已知231231-=+=y x ，，那么22y x +的值为_____. 【解析】10..10)23)(23(2)]23()23[(2)(23232312312222=+--++-=-+=+∴+=-=⇒-=+=xy y x y x y x y x ，，Θ21、如图，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上，且EB =10cm ，点P 在边DC 上运动，EP 与AB 的交点为F .设DP =xcm ，△EFB 与四边形AFPD的面积和为ycm 2，那么，y 与x 之间的函数关系式是_____(0＜x ＜10).【解析】y=5x+50.50510)]215([2110)215(21)(2121215)215(10215)10(21)(212121101010∽+=⨯++⨯+⨯-⨯=⋅+⋅+⋅⋅=+=∴+=--=-=∴-=-=-==⇒=+==⇒∆∆∆x x x x AD AF DP BE BF S S y xx BF AB AF x x DP DC CP BF EC EB CP BF ECP EBF AFPD EFB 四边形Θ22、已知02022=-+≠b ab a ab ，，那么ba ba +-22的值为_____. 【解析】3135或. 35)2(2)2(22231222220)2)((0222=+-⨯--⨯=+-=+-=+-∴-==⇒=+-⇒=-+b b b b b a b a b b b b b a b a b a b a b a b a b ab a 或或Θ23、如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第Ⅰ象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标是_____.【解析】)213213(+-，.212321232323130cos 2121130sin 2323130cos 2121130sin .o o o o +=+=+=-=-=-=∴=⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅=⊥⊥⊥AE BF FD BF BD AF OE DE OE OD AB BF AB AF OA OE OA AE F BD AF D x BD E x AE ，，，则于，轴于，轴于如图所示，作F EDCBOxyA24、设有一个边长为1的正三角形，记作A1(如图3)，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4)；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(如图5)；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长_____.【解析】964..964])31(1)[43(316])31(1)[43(4)311()43(313.31433422321=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯的周长是，的周长是，的周长是，的周长是为原来的条边，每条线段长度变把一条边变成变化规律为：每次变化AAAA25、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机_____台.【解析】6..6103210316010103231601641640240台故至少需要抽水机，则水，每台抽水机每分钟抽，每分钟涌出的江水是涌出的江水是设使用抽水机抽水前已=⨯+=+⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧⨯=+⨯=+ccccbacbcacbacbacba三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).26、设实数ts，分别满足019991991922=++=++ttss，，并且1≠st，求tsst14++的值.【解】.519141991419199191991.199911119199)1(19919222-=++--=++∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+∴=++∴≠⇒≠=+⋅+⇒=++∴ssstsststssttstsxxtsststssss的两个不等实根是一元二次方程，Θ27、如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长.【解】如图所示，连接BO并延长交AD于H，连接OD.则HDPOAB.632213)6(36)2123()2221()()21(221316.0236.023∽∥909022222222222222o o +++∴=-=-==++⨯=++=+==-=-==-⨯=⋅=∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒∴=∠⇒∠=∠=∠⇒≅∆∴的周长为四边形上的圆周角是直径ABCD AB AC BC OH BO AD BH AH AB CD AC AD OP CP OB CD CPOPCD OB CPD OPB CDP OBP CD BH ADC AC ADC DHB AHB DBH ABH Θ28、有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3.例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+.(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到22297100-+.【解析】(1)倒过来考虑：①22假设是通过乘法得到，则必是×2； A ，11假设是通过+2得到； 9必是×3得到. 3必是+2得到.(*) B ，11假设是通过+3得到. 8必是×2得到. (A)4是+2得到； 2必是×2得到.(*) (B)4是+3得到.(*) ②22假设是通过加法得到.A ，假设是+2得到； 20必是×2得到. (A)10假设是+2得到； 8必是×2得到. a ，4是+2得到； 2必是×2得到.(*) b ，4是+3得到.(*) (B)10假设是+3得到. 7不能通过乘法得到，不满足.B ，假设是+3得到.19不能通过乘法得到，不满足. 故所有方法有148102022124810202214811221248112213911223-22-22-22-22-22-3-23-222-23-22-32-2−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷(2)倒过来考虑：148423)2293(423223423123322122222③)(2471416222)23247(222422122222②)(247222)2296(222422222①3-222-2952-952963-96396992-969929710023-22-1423-29598296993-969929710023-0322-96992971002-97100−→−−→−=-⨯→-÷−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−−→−−→−=-+→÷-÷−→−−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−=-+→÷-−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷，次不满足，，次不满足，次【解】证明：(1)22119312232−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+. 或222010841222010842122118412211842122223222222232323222−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯证明：(2)222229129329123423)2292(423223423223423223197100972962963963962242323222223-+=-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯→⨯+−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，次2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).29、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若cba>>，则M与P的大小关系是(B).A.；PM=B.；PM>C.；PM<D.不确定.【解析】B..1221221224234222223PMccccbaPMcbacbacbacbaPMcbacbacNPbaNcbaM>⇒=-+>-+=-∴>>-+=++-++=-∴++=++=+=+=++=ΘΘ，，30、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(b﹤a)，再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是(C).【解析】C.图(A)中没有反映休息所消耗的时间；图(B)虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图(C)正确地表述了题意.31、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么(A).A. 甲比乙大5岁；B. 甲比乙大10岁；C. 乙比甲大10岁；D. 乙比甲大5岁.【解析】A.设甲、乙的年龄差是x 岁.则乙现在(10+x )岁，甲现在(25-x )岁，年龄差为[(25-x )-(10+x )]=15-2x 岁. 故15-2x =x ，即x =5.32、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1，－25)，则在线段AB 上(包括端点A 、B )，横、纵坐标都是整数的点有(B ). A. 4个； B. 5个； C. 6个； D. 7个.【解析】B..5012340419419)(419190)()4950()019().19(4549545)251(4954500000个点故共有，，，，是整数点，则上横纵坐标都是整数的是线段，设，，，则的一次函数的解析式是，平行，且过与直线----=⇒≤-=≤-⇒⎩⎨⎧=-≤≤∴--=-=--+=t x t t tx x AB y x B A x x y x y33、设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是(B ). A. ∠B ＞2∠A ； B. ∠B =2∠A ； C. ∠B ＜2∠A ；D. 不确定.【解析】B.BACD BAD D ABC DBAD D BAC DAC ABC DCACAC BC C C DAC ABC c a CD AB BD D CB c a b b a c b a b b a a b a c b a b a b a c b a b a b a ∠=∠=∠+∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴=∠=∠∆∆+==+=⇒+++-++-=--⇒+++=--⇒+++=22∽.)()(Θ，中，和在，于是，使到如图所示，延长ca bcDC B A34、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ，，，面积为S ，111C B A ∆的三边长分别为111c b a ，，，面积为S 1，且111c c b b a a >>>，，，则S 与S 1的大小关系一定是(D ). A. ；1S S > B. ；1S S < C. ；1S S = D. 不确定.【解析】D..2121214121..2.2.11111111111111111`111S S h CB S S h CB S S h CB h AB S CB AB S c c b b a a ABc b a h AB C B A AB c ABAB b a l C AB l AB B >>==<<⋅=⋅⋅=>>>===∆==>=时，；当时，；当时，当，而，，显然满足，则为为边的等边三角形，高是以，则上任一点为的中垂线，是的中点，是如图所示，二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).35、已知：333124++=a ，那么=++32133aa a _____. 【解析】1..11)]12(1[1)11(1)1(113313313312111)2()124)(12()12(12433333323323233333333333=--+=-+=-+=-+++=++=++∴-=⇒=-=++-=-⇒++=aa a a a a a a a a a a a aa a Θ36、在梯形ABCD 中，o o 12045268∥=∠=∠==BAD BCD BC AB DC AB ，，，，，则梯形ABCD 的面积等于_____.【解析】3666+..36666)]3214(8[21)(21321468323223630tan30120.62264526.oooo+=⨯++=⋅+=∴+=++=++=∴=⨯=⋅=⇒=∠⇒=∠====⇒=∠=AECDABSFCEFDEDCAEDEDAEBADCFBFAEBCDBCFEDCBFAEABCD梯形，、于垂直、如图所示，作37、已知关于x的方程012)1(2=--+-axxa的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个.【解析】5..5①②.32121112111②11①.0)]1()1)[(1(12)1(212个有知，符合条件的整数结合，，，，即，是整数知，，由，时，当；时，当aaaxaxxaxaaxaxaxxa-=±±=----==≠===++--⇒=--+-38、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为_____米.【解析】2.4..4.24.21561541515615∽415∽.米离地面的高度是即点则于如图所示，作PPQPQPQBQQDPQCDBDPQBQBDBQCDPQBCDBPQPQABBDPQQDBDQDABPQDABDPQQBDPQ=⇒=+∴=+=⋅=⇒=⇒∆∆=⋅=⇒=⇒∆∆⊥Θ39、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线bxy+=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b=_____.【解析】0.5..211)515()0(===-==+b BQ OP S S b BQ b OP b Q b P OPQA BQPC，即，则要使，，知，，，由梯形梯形40、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_____.）进价进价销售价（注：利润率%100⨯-=【解析】17%.%17%10017.117.1%8%100%100%)4.61(%)4.61(%.100%)4.61(%)4.61(%4.6%.100=⨯-==⨯--⨯---⨯---⨯-xxx xy x x y x x y xxy xxy y x 率为故这种商品原来的利润解得，依题意得，为后，在销售时的利润率原进价降低的利润率为元，那么按原进价销售元，销售价为设原进价为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).41、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根21x x ，.(1)若62221=+x x ，求m 的值； (2)求22212111x mx x mx -+-的最大值. 【解】.1011.101.11)11(25)23(2)13(2)13(2)1()13)(1(2)2882(1)42()33()]42)(33()10102[(1)()]([)1)(1()]1()1([11)2(.217511217561010210102)33(2)]2(2[2)()1(.1110)33(4)]2(2[.033)2(222212122222232222121212122212112222122212122222122122212222的最大值是故取得最大值时，当上是单调递减的在设根据题设，有有两个不相等的实数根方程x mx x mx y m m y m m m m y m m m m m m m m mm m m m m m m m m m m m m m x x x x x x x x x x m x x x x x x m x mx x mx m m m m m m m m m m x x x x x x m m m m m m m x m x -+--=∴<≤-<≤---=+-=+-=-+--=--+-=+-++--+-++-=++-+-+=---+-=-+--=∴<≤-±=⇒=+-∴+-=+----=-+=+<≤-<⇒>+---=∆∴=+-+-+ΘΘΘΘ42、如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，322===BD AE AB EC AE ，且，，求四边形ABCD 的面积.【解】由题设，得ADAB ADB ABE ACBADB ACB ABE ACB ABE BACEAB AB AE AC AB AC AE AB EC AE AE AB AE AB =⇒∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴∠=∠=⇒⋅=⇒⎭⎬⎫==⇒=ΘΘ∽2222232333.313221211121)3(233221212222=+=+=∴==∴=⨯⨯=⋅⋅=∴=-=-==-=-=∴=⨯===⇒∆≅∆∴∠=∠⇒∆≅∆∆∆∆∆∆ABD CBD ABCD ABD CBD ABD S S S S S AC E AH BD S OH OA AH BH OB OH BD DH BH ADH ABH DAO BAO ADO ABO H BD AO DO BO AO 四边形的中点是，，则于交，、、如图所示，连接Θ43、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)【解】易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人.先证明：要使不满意的总分达到最小，则对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.证明：设乘电梯上、下楼和直接走楼梯上楼的2个人分别住第s 和第t 层. 并设电梯停在第x 层.①当x ≤s 时，这两者不满意总分为3(s -x )+3(t -1)=3s +3t -3x -3.与t ，s 的大小关系无关； ②当x >s 时，这两者不满意总分为(x -s )+3(t -1)=3t +x -s -3，要使总分最小，则t <s . 故s <t ，即乘电梯上、下楼的人，他所住的层数大于直接走楼梯上楼的人所住的层数. 今设电梯停在第x 层，并设住在第2层到第a (a <x )层的人直接走楼梯上楼. 那么不满意总分为：.31672774101316)7(815)4101(216832)101(22)33)(34(32)1)((2)1(32)33)](33(1[32)1)](1(1[2)1)](1(1[3)]33(21[3)]1(21[)]1(21[32222取得最小值时，当S a x a a x a a x a a x a x x x a x a x a a x x a x a x a a x a x a S ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-++-=+-++-=--+---+-=--+⨯+----++--+⨯=-+⋯+++--+⋯+++-+⋯++= 所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分.2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).44、化简)2(2)2(2234++-n n n ，得(C ). A. ；8121-+nB. ；12+-nC. ；87 D. .47【解析】C.872122)12(2222)2(2)2(223343141434=-=-=-=-+++++++n n n n n n n n .45、如果c b a ，，是三个任意整数，那么222ac c b b a +++，，(C ). A. 都不是整数； B. 至少有两个整数； C. 至少有一个整数； D. 都是整数.【解析】C.①若a ，b ，c 中有0个奇数，则3个数都是整数； ②若a ，b ，c 中有1个奇数，则只有1个数是整数； ③若a ，b ，c 中有2个奇数，则只有1个数是整数； ④若a ，b ，c 中有3个奇数，则3个数都是整数.46、如果b a ，是质数，且01301322=+-=+-m b b m a a ，，那么baa b +的值为(B ). A.；22123B.；或222125C.；22125D..222123或 【解析】B.①当a =b 时，2=+=+aa a ab a a b ； ②当a ≠b 时，a ，b 是一元二次方程x 2-13x +m =0的两实根.故a +b =13. 又a ，b 是质数，故a =2，b =11或a =11，b =2.故22125112211=+=+b a a b . 47、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B ).A. 6；B. 8；C. 10；D. 12.【解析】B.设正方形的边长为a ，则分成的矩形的长为a /2.宽为(a -a /2)/2=a /4，故中间竖排有4个.所以，正方形分成8个全等的矩形.48、如图，若PA =PB ，∠APB =2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB =4，PD =3，则AD ·DC 等于(B ).A. 6；B. 7；C. 12；D. 16.【解析】B.如图所示，以P 为圆心，以PA =PB 为半径作圆，延长BD 交圆于M .则由∠APB =2∠ACB ，知点C 必在⊙P 上.故根据相交弦定理，有AD •DC =BD •DM =(PB -PD )(PM +PD ）=(4-3)×(4+3）=7.49、若b a ，是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是(A ).A. ；b a >C. ；b a <D. 不能确定.【解析】A.由12345=(111+a )(111-b )，得111(a -b )-ab =24>0，故a >b .二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).50、已知：23232323-+=+-=y x ，.那么=+22y x x y _____. 【解析】970.9701101310)()(3)(110625625232323232323223322=⨯⨯-=+-+=+=+∴⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=xy y x xy y x y x y x y x xy xy y x y x y x Θ.51、若281422=++=++x xy y y xy x ，，则y x +的值为_____.【解析】6或-7.两式相加，得(x +y )2+(x +y )-42=0，即[(x +y )-6][(x +y )+7]=0，故x +y =6或-7.52、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_____.【解析】1036或.①若1，4为底.如图所示，延长DA ，CB 相交于G ，并设AG =x ，BG =y ，则35345414==⇒+==+⇒==y x y y x x GC GB DC AB GD GA ，.在△GAB 中，GA 2+AB 2=GB 2，故△GAB 是直角三角形，即∠D =∠GAB =90o .于是，S =(AB +DC )·AD /2=(1+4)·4/2=10. ②若1，5为底.如图所示，作AE 、BF 垂直DC 于E 、F .则DE =CF =(5-1)/2=2，32242222=-=-=DE AD AE .于是，3632)51(21)(21=⨯+=⋅+=AE DC AB S .③若4，4为底.应为平行四边形，但不满足.④若4，5为底.则1，4为腰，由于1+4=5，故不满足.53、销售某种商品，如果单价上涨%m ，则售出的数量就将减少150m.为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为_____.【解析】25.设这种商品的原单价为A ，原销售量为B ，销售总额为W ，则)1500050(15000150150100100)1501(%)1(2---=-⋅+⋅=-⋅+=m m AB m m AB m B m A W当25250=--=m 时，W 取得最大值.54、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点)0(，x M 到定点)12()55(，、，Q P 的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP +MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x _____.【解析】25.如图所示，作P 关于x 轴的对称点P’.则MP +MQ =MP’+MQ ，故当Q 、M 、P’三点共线时，MP +MQ最小.过P’，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为I ，H .于是255251'=⇒--=⇒=x x x IM HM I P QH . 55、已知实数b a ，满足22221b a ab t b ab a --==++，且，那么t 的取值范围是_____.【解析】313-≤≤-t . 31)1(2123113121210)(211310)(231122222222222222-=--⨯≥-=--=-=-⨯≤-=--=∴-≥⇒≥+=++=+⇒++=≤⇒≥-=+-=-⇒++=ab b a ab t ab b a ab t ab b a b ab a ab b ab a ab b a b ab a ab b ab a Θ.三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).56、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次.在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环.他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数.如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环.那么他在第10次射击中至少要得多少环？(每次射击所得环数都精确到0.1环)【解】设前5次射击的平均环数为x ，则前9次射击的平均环数为98.34593.91.84.80.95+=++++x x . 由题设知，x x >+98.345，即7.8<x . 故前9次的总环数至多为8.7×9-0.1=78.2.所以，第10次射击至少得8.8×10+0.1-78.2=9.9（环）.57、如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A ，B 两点，并交ST 于点C .求证：)11(211PBPA PC +=.【解】如图所示，作OE ⊥AB 于E ，连接OP 交ST 于F ，连接OT .PBPA PB PA PB PA PC PB PA PC PB PA PE PC PB PA PE PC PB PA PBPA PT PAB PT POPF PT POPTPT PF PTO PFT PEPC PO PF PE PFPO PC POE PCF BEAE ST OP 112)(222.∽∽22+=⋅+=∴+⋅=⋅⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅∴⋅=⇒⋅=⇒=⇒∆∆⋅=⋅⇒=⇒∆∆∴=⊥∴是割线是切线，，ΘΘ58、已知：关于x 的方程01)1)(72()1)(1(22=+-+---x x a x x a 有实根. (1)求a 取值范围；(2)若原方程的两个实数根为21x x ，，且113112211=-+-x x x x ，求a 的值.【解】(1)令1-=x xt ，得)1(1≠-=t t t x . 原方程转化为关于t 的方程01)72()1(22=++--t a t a 有不为1的实数根. ①当a 2-1=0时，符合题意； ②当a 2-1≠0时，28530)1(4)]72([22-≥⇒≥--+-=∆a a a . 若t =1，则22101)72()1(2±=⇒=++--a a a . 故a 的取值范围是2212853±≠-≥a a 且. (2))(3810113172113111721)72(112122211222211舍去，-==⇒=-+∴=-+--+=-+--=-+-a a a a x x x x a a a a x x x x Θ.所以，a 的值为10.2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).59、设ab b a b a 4022=+<<，，则ba ba -+的值为(A ). A. ；3 B. ；6 C. 2； D. 3.【解析】A ..3242422)()()(0002222222=-+=-+++=-+=-+=-+∴>-+⇒⎩⎨⎧<+<-⇒<<abab abab ab b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a Θ60、已知200219992001199920001999+=+=+=x c x b x a ，，，则多项式ca bc ab c b a ---++222的值为(D ). A. 0； B. 1； C. 2； D. 3.【解析】D..3]2)1()1[(21])()()[(21222222222=+-+-=-+-+-=---++a c c b b a ca bc ab c b a61、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于(D ).A. ；65B. ；54 C. ；43 D. .32【解析】D..32612)(261412412....=⨯-=+-=∴=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴====∴=∆∆∆∆∆∆a a a S y x S S S ay x a y x S a y x S y S S x S S BC AB ABCD F E BG a S ABCD ABCD ABCDAGCD ABF CBE AGE BGE BGF CGF ABCD 矩形矩形矩形四边形矩形，的中点、的边是矩形、如图所示，连接设Θ62、设c b a 、、为实数，323232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则z y x 、、中至少有一个值(A ). A. 大于0； B. 等于0； C. 不大于0； D. 小于0.【解析】A..00)3()1()1()1(222323232222222222中至少有一个大于、、，，z y x c b a c b a c b a z y x a c z c b y b a x ∴>-+-+-+-=+---++=++∴+-=+-=+-=ππΘ63、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根21211x x x x <<，且，，那么a 的取值范围是(D ). A. ；5272<<-a B. ；52>aC. ；72-<aD. .0112<<-a 【解析】D..0112102012901)(0)1)(1(121212121<<-⇒-<+⇒<+++∴<++-⇒<--⇒<<a a a a a x x x x x x x x Θ64、9321A A A A ⋯是一个正九边形，b A A a A A ==3121，，则51A A 等于(D ).A. ；22b a +B. ；22b ab a ++C. ；)(21b a + D. .b a +【解析】D.ba A A A A P A A A P A A A A PA A PA A PA A PA A A A A A A A A A A PA A PA A A A Ab A A A A A A P A A A A +=+=+==∴∆∆∴=+=∠=∠∴=-=∠=∠∆=-=∠=∠∴=-⨯⋯==42212211515142oo o 2442ooo243423432oo o 3432o o 93213142424521.602040202140180.40140180.1409)29(180..是等边三角形是等边三角形，中，在的每个内角都为正九边形则，连接相交于点，如图所示，延长Θ6A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).65、设21x x 、是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为_____.【解析】863-. .863863)49(21892)2(9)(29)(25]2)[(25)(2)2)(2(.04)2()2(4222212212121221212221122122-≤---=-+-=-+-⨯-=++-=+-+-=++-=-->+-=--=∆a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a 为一切实数知，由66、已知b a 、为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为_____.【解析】b-a...))((a b c b a c b c c a b c a x d c x c x y d c c -=-+-=-+-∴<<---=+则轴的交点与是抛物线，如图所示，67、如图，在△ABC 中，∠ABC =60o ，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB =∠BPC =∠CPA ，且PA =8，PC =6，则PB=_____.【解析】34..3468∽6060120o o o =⨯=⋅=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠⇒∠=∠=∠PC PA PB PBPAPC PB PBCPAB PBC PAB PBC PBA PBA PAB BPC APB CPA BPC APB ΘΘ68、如图，大圆O 的直径cm a AB =，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为_____cm 2.【解析】261a ..61322212132)62(22.6)4()4()2(244⊙24321343222331134321a a a O O O O S aa a OO O O a x x a a x a xa OO x a O O a OO x O O O O O =⨯⨯=⋅⋅=∴=-⨯==∴=⇒+=+-∴-=+==菱形，，，则的半径为设69、满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有_____个.【解析】4.201211211021)1(2222，，，是偶数或或--=⇒⎩⎨⎧-=--+=--=+⇒=--+n n n n n n n n n n70、某商品的标价比成本高%p ，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣(即降价的百分数)不得超过%d ，则d 可以用p 表示为_____.【解析】ppd +=100100. .100100%)1%)(1(ppd a d p a a +=⇒=-+，则设成本为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).。
初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)2002年全国初中数学竞赛试题 (15)2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)2006年全国初中数学竞赛试题 (32)2007年全国初中数学竞赛试题 (38)2008年全国初中数学竞赛试题 (46)2009年全国初中数学竞赛试题 (47)2010年全国初中数学竞赛试题 (52)2011年全国初中数学竞赛试题 (57)2012年全国初中数学竞赛试题 (60)2013年全国初中数学竞赛试题 (73)2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
1998年全国初中数学联赛试题(含标准答案)
19９8年全国数学联赛试卷一、选择题：(每小题６分，共30分）1、已知ａ、b 、c 都是实数,并且c b a >>,那么下列式子中正确的是（ ）（A)bc ab >（Ｂ)c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-(D)c b c a > ２、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1,那么p 的值为( ）(Ａ)2(Ｂ)4(C ）3(D)5３、在△ＡBC 中，已知B Ｄ和CE 分别是两边上的中线,并且ＢD ⊥CE ，BD=4，CE=6,那么△ABC 的面积等于( ）（Ａ)1２(Ｂ）14（C ）1６（D)184、已知0≠abc ,并且p ba c a cbc b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过第（ )象限 （Ａ)一、二(Ｂ)二、三（C)三、四(Ｄ）一、四５、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1,2,3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有（ ）(Ａ)17个（B)64个（C ）72个(Ｄ）８１个二、填空题：（每小题6分,共３０分）6、在矩形ABCD 中,已知两邻边A Ｄ=1２，A Ｂ=5,P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD,ＰF ⊥AC,Ｅ、Ｆ分别是垂足,那么PE+PF=_＿_＿＿__＿_＿_。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,那么△ＯA Ｂ的面积等于＿___＿_____＿。
8、已知圆环内直径为a c ｍ,外直径为ｂｃm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为__＿_＿___＿_＿ｃm 。
９、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a (其中ａ是非负整数)，至少有一个整数根，那么a =＿_＿_＿__＿__＿。
10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km,若Ａ船向西航行,B 船同时向南航行,且B 船的速度为A 船速度的２倍,那么Ａ、Ｂ两船的最近距离是___＿______＿ｋm 。
1998年全国初中数学联合竞赛试题答案
1998年全国初中数学联赛参考答案一、选择题1．B根据不等式性质．2．D由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根，那么有x+x2=-p，x1x2=l．又由1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，得l2=(-p)2-4．∴p2=5，3．C如图连ED，又∵DE是△ABC两边中点连线．故选C．4．B得2(a+b+c)=p(a+b+c)．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B．5．C在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图∴a=1，2，3…9，共9个．∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…，3×8+8．共8个．∵9×8=72（个），故选C．二、填空题6．解如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”．∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD=13．7．解如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB =S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O8．解如图，当圆环为3个时，链长为3a+故a可取1，3或5．10．解如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．C=|10-x|，B1C=|10-2x|．∴A1三、解答题11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD 的距离相等．解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13，a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610．a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597．∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1，即(8a+5)(8a-13)=-1．∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200．∴5≤x≤9．∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200∴W=-500x-300y+17200，W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．。
全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
-1998年全国初中数学竞赛试卷(含答案)
1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a ，那么下列式子中正确的是（ ） A 、bc ab B 、c b b a ++ C 、c b b a -- D 、cbc a 2、如果方程()0012 p px x =++的两根之差是1，那么p 的值为（ ） A 、2 B 、4 C 、3 D 、53、在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且CE BD ⊥，4=BD ，6=CE ，那么ABC ∆的面积等于（ ）A 、12B 、14C 、16D 、18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限A 、一、二B 、二、三C 、三、四D 、一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧-≥-0809 b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）A 、17个B 、64个C 、72个D 、81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边12=AD ，5=AB ，P 是AD 边上任意一点，BD PE ⊥，AC PF ⊥，E 、F 分别是垂足，那么=+PF PE ___________.27、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB ∆的面积等于___________.8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为cm __________.9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么_______=a .10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是km __________.三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰ABC ∆中，1=AB ，︒=∠90A ，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积。
1998年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
P M A B C1998年全国初中数学联合竞赛试题 第一试1. 设m ＝5＋1,那么m ＋1m的整数部分是 .2. 在直角三角形ABC 中,两条直角边AB ,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.3. 已知x 2－x －1＝0,那么代数式x 3－2x ＋1的值是 .4. 已知m ,n 是有理数,并且方程x 2＋mx ＋n ＝0一个根是25-,那么m ＋n 的值是 .5. 如图,ABCD 为正方形,A ,E ,F ,G 在同一条直线上,并且AE ＝5厘米,EF ＝3厘米,那么FG ＝ _____厘米.6. 满足19982＋2m ＝19972＋2n )19980(<<<n m 的整数对),(n m ,共有 _______个.7. 设平方数y 2是11 个连续整数的平方和,则y 的最小值是 .8. 直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知MP ⊥BC ，△BMP 的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP ＝2厘米, PC ＝3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是 _________平方厘米.BA G A BC DE F 9. 已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E , F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于点G ,并且△ABF 的面积为5平方厘米, △BCE 的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是____________平方厘米.10. 把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有_________ 人.11. 设a ，b 为实数,那么a 2＋ab ＋b 2－a －2b 的最小值是 __________.12. 在1, 2, 3,……，98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是 _______.13. 在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A 与B 乘积的最大值是 ____________.14. 直线AB 和AC 与圆O 分别为相切于B ,C 两点,P 为圆上一点,P 到AB ,AC 的距离分别为4厘米,6厘米,那么P 到BC 的距离为 厘米.15. 每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J 是检查号码.令S ＝10A ＋9B ＋8C ＋7D ＋6E ＋5F ＋4G ＋3H ＋2I , x 是S 除以11所得的余数,若x 不等于0或1,则规定J ＝11－x .(若x ＝0,则规定J ＝0;若x ＝1,规定J 用x 表示)现有一本书的书号是962y 707015,那么y ＝ .第二试1．求所有正实数a,使得方程x2－ax＋4a＝0仅有整数根.2．已知P为□ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN 与DM的交点,求证:（1）P,Q,O三点在一条直线上;（2）PQ＝2OQ.3. 试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.1998年答案第 一 试1. 3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2. 322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，1==AB AE ，2=EB ，又C D A ∆∽CBE ∆，32==CE AC EB AD ，∴32232==EB AD .3．22)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x22)1()1(22=+--+--=x x x x x .4．3因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理. 得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .5．316 由原图AE FG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EF AE FG -=23163352=-=(厘米).6．1647175399522⨯⨯==-m n ,47175))((⨯⨯=+-m n m n .显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).7．1111个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x 22)10(11y x =+=,则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .8．39∵ MBP ∆∽CBA ∆，3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=∆ABC S .9．27204 ∵ 72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG . 记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得 2728=b ， 27100=c .∴ )(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF .10．13 由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n2)1(321+=++++n n n ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.11．-1 b a b ab a 222--++b b a b a 2)1(22-+-+= 412343)21(22--+-+=b b b a 1)1(43)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 021=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为 -1.12．73对 ))((22m n m n m n x -+=-= (1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)因为n ＋m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49＋24＝73个.13．15设算式a c f Bb e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+B b +e =9+A∴ A ≤6.35876543219)(2=++++++=++B A .∴ 8=+B A .欲令A ·B 最大，取A ＝5，B ＝3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.14．62如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P,Q,C,N 四点共圆，P,Q,B,N 四点共圆, NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，∴ MPQ ∆∽QPN ∆， NPPQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).15．7 213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5＝6，因此7y 被11除所得余数为6-1＝5, ∴y ＝7第 二 试一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，则⎩⎨⎧>=>=+04,0a xy a y x2a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .于是25=a 或18或16均为所求.二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q .在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步：设a ,a ＋2,a ＋3,a ＋4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a ＝12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b ,b ＋12,b ＋14,b ＋15,b ＋16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即b ＝1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。
一九九八年全国初中数学竞赛试题及解答
一九九八年全国初中数学竞赛试题及解答
陈宏伯
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1998(000)005
【摘要】根据国家教委的批示,中国教育学会中学数学教学专业委员会于1998年4月18日举办全国初中数学竞赛.这次竞赛在总结以往竞赛经验的基础上,其宗旨是:积极推进素质教育,根据国家教委颁布的义务教育初中课程方案和初中数学教学大纲提出的要求,促进初中活动课程的建设和初中数学课外活动的开展,激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学的意识和能力,满足学有余力的学生学习数学的愿望,发展他们的才能.力求使竞赛活动成为学生课外主动的读书、学习活动,有利于他们数学知识、能力的发展和身心的健康成长,促进初中数学教学质量的提高.其命题的范围是:以义务教育初中数学教学大纲的内容、要求为基本依据,着重考查学生对数学知识的理解、技能的掌握和应用数学知识的能力.现将这次竞赛的试题及参考答案刊登如下,供读者研究.
【总页数】2页(P46-47)
【作者】陈宏伯
【作者单位】人民教育出版社
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.2003年全国初中数学竞赛试题解答 [J],
2.2002年全国初中数学竞赛试题解答 [J],
3.2001年TI杯全国初中数学竞赛试题解答 [J],
4.2000年全国初中数学竞赛试题解答 [J],
5.2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题及解答 [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
1998数学竞赛
1998数学竞赛
（实用版）
目录
1.1998 年数学竞赛的背景和意义
2.1998 年数学竞赛的试题特点
3.1998 年数学竞赛的参赛者和获奖情况
4.1998 年数学竞赛的影响和启示
正文
【1998 年数学竞赛的背景和意义】
1998 年数学竞赛，全名为 1998 年全国高中数学竞赛，是我国高中阶段数学教育的一项重要活动。
该竞赛自 1980 年代开始举办，旨在选拔和培养优秀的数学人才，激发学生学习数学的兴趣，提高我国高中数学教育水平。
【1998 年数学竞赛的试题特点】
1998 年的数学竞赛试题在保持以往竞赛试题特点的基础上，更加注重考察学生的数学思维和解题能力。
试题分为几何、代数、组合、数论等多个领域，题型包括选择题、填空题和解答题。
这些题目不仅要求学生具备扎实的数学基本功，还要求学生具有较强的逻辑思维和创新能力。
【1998 年数学竞赛的参赛者和获奖情况】
1998 年的数学竞赛吸引了全国各地众多优秀高中生参加。
经过层层选拔，最终有数千名选手进入决赛。
决赛分为省级一等奖、省级二等奖和省级三等奖。
获得省级一等奖的选手有资格参加全国决赛，全国决赛的前十名选手将获得金、银、铜奖。
【1998 年数学竞赛的影响和启示】
1998 年的数学竞赛对于我国高中数学教育产生了深远的影响。
一方面，它激发了学生学习数学的热情，提高了学生的数学素养；另一方面，它为选拔和培养优秀数学人才提供了一个公平、公正的舞台。
1998年第10届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷
1998年第10届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）1111111321616842(12)(12)(12)(12)(12)(12)---------++++=（ ）A ．11321(12)2---B ．1321(12)2--C ．12D ．1132(12)---2．（5分）凸n 边形的内角中至多有（ ）个锐角． A ．5B ．4C ．3D ．以上都不对3．（5分）正整数系数二次方程20ax bx c ++=有有理数根，则a ，b ，c 中（ ） A ．至少有一个偶数 B ．至少有一个质数 C ．至少有一个奇数D ．至少有一个合数4．（5分）三角形中长为a ，b ，c 的边上的高分别为a h ，b h ，c h ．若a a h ，b b h ，则此三角形为（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角非等腰三角形D ．以上结论都不对5．（5=（ ）组． A ．无数B ．4C ．2D ．06．（5分）设a 与b 是正整数，且33a b +=，最小公倍数[a ，]90b =，则最大公约数(a ，)b =（ ） A ．1B ．3C ．11D ．97．（5分）连续正整数a ，b ，c ，d ，e 之和为完全立方数，b ，c ，d 之和为完全平方数，则c 的最小值为（ ） A ．100B ．225C ．375D ．6758．（5分）平面上两点A ，B 距离为a b +，其中a ，0b >为定值，则平面上共有（ ）条直线，使AB 到此直线距离分别为a 和b ． A ．无穷多B ．3C ．2D ．19．（5分）三角形三边a ，b ，c 适合a a b cb c b c a++=+-，则此三角形是（ ） A ．以a 为腰的等腰三角形 B ．以a 为底的等腰三角形C ．等边三角形D ．以上答案都不对10．（5分）(,)x y 称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法、乘法运算如下： 1(x ，12)(y x +，212)(y x x =+，12)y y +1(x ，12)(y x ，21212)(y x x y y =-，1212)x y y x +，则（ ）不成立．A ．乘法交换律：1(x ，12)(y x ，22)(y x =，21)(y x ，1)yB ．乘法结合律：1(x ，12)(y x ，23)(y x ，31)(y x =，12)[(y x ，2)y ，3(x ，3)]yC ．乘法对加法的分配律：(x ，1)[(y x ，12)(y x +，2)][(y x =，1)(y x ，1))(y x +，2)(y x ，2)]yD ．加法对乘法的分配律：(x ，1)[(y x +，12)(y x ，2)][(y x =，1)(y x +，1)][(y x ，2)(y x +，2)]y二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）设01x <<，化简1)x 得 ．12．（5分）设||1a =，b 为整数，方程2250ax x b --+=有两负实数根，则b = ． 13．（5分）设实数x ，y ，z 适合333987x y z ==，9871x y z++=，则，= ．14．（5分）设实数x ，y ，z 满足x y z ++=，则x = ，y = ，z = ．15．（5分）已知三角形三边a ，b ，c 满足9843a b c ，则三角形面积的最大值= ． 16．（5分）以[]x 表x 的整数部分，即不大于x 的最大整数．例如[3.4]3=，[ 3.4]4-=-．方程298[]1x x -=的所有有理数根是 ．17．（5分）设实数x ，y 满足222||64||270x x y y x y -+--+=，则y 的取值范围是 ． 18．（5分）如图，过P 点作3条线段MN ，IJ ，EF 分别平行于ABC ∆的三边，把ABC ∆分成三个三角形和三个平行四边形，图中标出了其中三个的面积：9IMP S ∆=，42BFPMS =，70CNPJS=，则ABC S ∆= ．19．（5分）方程32322(32)(47)615180x x x x x x x x -+---++-+=的全部相异实根是 ． 20．（5分）如图过Q 点的三条直线AA '，BB '，CC '把ABC ∆分成六个小三角形，已知4AQB BQA S S ''∆∆==，3CQA S '∆=，则AQC x S '∆== ，BQC y S '∆== ，CQB z S '∆== ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1998年全国初中数学联合竞赛试题答案及详解
第 一 试
1．3 15+=m ，4151511-=+=m ， ∴ 435451+=+
m m ，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+m m . 2．
322 如图，AD 为直角A 的平分线，过B 作DA BE //交CA 的延长线于点E .=∠EBA ︒=∠45BAD ，
1==AB AE ，2=EB ，又CDA ∆∽CBE ∆，3
2==CE AC EB AD ，∴3
2232==EB AD . 3．2
2)1()(122233+--+--=+-x x x x x x x
22)1()1(22=+--+--=x x x x x .
4．3
因为m 、n 为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.
得 4=m ，1-=n ，∴3=+n m .
5．3
16 由原图 AE
FG EF AE EG ED BE EF AE +===， ∴ EF EF
AE FG -=2
3
163352=-=(厘米). 6．16
47175399522⨯⨯==-m n ,
47175))((⨯⨯=+-m n m n .
显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m ,n )，故满足条件的整数对(m ,n )共162222=⨯⨯⨯(个).
7．11
11个相继整数的平方和为
22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x ΛΛ
22)10(11y x =+=,
则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .
8．39
∵ MBP ∆∽CBA ∆，
3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP ,
∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=
∆ABC S . 9．27
204 ∵
72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG .
记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆.
又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，
解之得 2728=b ， 27
100=c .
∴ )(27
20427128平方厘米==+=c b S BEGF . 10．13
由题意，设有n 人，分苹果数分别为1,2,…,n 2
)1(321+=++++n n n Λ≤100, ∴ n ≤13，所以至多有13人.
11．-1
b a b ab a 222--++
b b a b a 2)1(22-+-+= 4
12343)21(22--+-+
=b b b a 1)1(4
3)21(22--+-+=b b a ≥-1. 当 02
1=-+b a ，01=-b ， 即 0=a ，1=b 时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1. 12．73 对 ))((22m n m n m n x -+=-=
(1≤m <n ≤98 m ,n 为整数)
因为n +m 与n -m 同奇同偶，所以x 是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.
13．15
设算式
∴ A ≤6.
35876543219)(2=++++++=++B A .
∴ 8=+B A .
欲令A ·B 最大，取A =5，B =3，此时b ,e 为6,8;a ,c ,f 为2,4,7，故A ·B 最大值为15.
14．62
a c f
B b e A d h + g 显然：g =1,d =9,h =0. a +c +f =10+B
b +e =9+A
如图，AB PM ⊥，AC PN ⊥，BC PQ ⊥.P ,Q ,C ,N 四点共圆，P ,Q ,B ,N 四点共圆,
NPQ NCQ MBQ MPQ ∠=∠-︒∠=∠-︒=∠180180，
QNP BCP MBP MQP ∠=∠=∠=∠，
∴ MPQ ∆∽QPN ∆， NP PQ PQ MP =， 62=⋅=NP MP PQ (厘米).
15．7
213047506778296109⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y S
∴ S 被11除所得的余数等于17+y 被11除所得的余数.由检查号码可知，S 被11除所得的余数是11-5=6，因此7y 被11除所得余数为
6-1=5, ∴y =7
第 二 试
一、设两整数根为x ,y (x ≤y )，
则⎩
⎨⎧>=>=+04,0a xy a y x 2
a ≤y ≤a ,4≤x ≤8.可推出4≠x ， ∴ 42-=x x a ，由于x 为整数, ∴ 5=x 时，25=a ，20=y ； 6=x 时，18=a ，12=y ；
7=x 时，a 不是整数；8=x 时，16=a ，8=y .
于是25=a 或18或16均为所求.
说明 没有说明理由，仅指出a 的每一个正确值给4分.
二、证明 如原图，连PO ，设PO 与AN ，DM 分别交于点'Q ,''Q . 在PAC ∆中，∵OC AO =，NC PN =，
∴'Q 为重心，'2'OQ PQ =
在PDB ∆中，∵BO DO =，MP BM =，
∴''Q 为重心，''2''OQ PQ =
这样'''Q Q =，并且'Q ,''Q 就是AN ，DM 的交点Q .故P ,Q ,O 在一条直线上，且OQ PQ 2=.
三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一） 以上5个数可用以下步骤找出：
第一步：2,3,4为满足要求的三个数.
第二步：设a ,a +2,a +3,a +4为满足条件的四个数，则a 可被2,3,4整除.取a =12，得满足条件的四个数12，14，15，16.
第三步：设b ,b +12,b +14,b +15,b +16.取12,14,15,16的最小公倍数为b .即b =1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.。