人教B版高中数学必修一3.3幂函数

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1.数学：3.3《幂函数》教案(新人教B版必修1)

幂函数教学设计一、教学目标1.知识与技能理解、掌握幂函数的图象与性质，并进一步掌握研究函数的一般方法。

2.过程与方法渗透分类讨论、数形结合的思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力。

3.情感态度价值观培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程. 二、教学重、难点本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法。

相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点。

学情分析及教学内容分析三、学情分析 1.知识储备方面学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难. 2. 思维水平方面所授课班级是理科实验9班，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，对课堂教学有较高需求. 四. 教学内容分析1.幂函数在教材中的地位幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质. 2.幂函数的作用新教材将幂函数重新加入,主要考虑到幂函数在以下几方面的作用： 1.是幂函数在实际中的应用.2.学生在初中已经学习了x y =、2x y =、1-=x y 三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.3.幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.组织探究二、幂函数的定义自然地，给出幂函数定义（板书，学生打开课本）一般地，形如：αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数．（由上面的式子可以看出幂函数和幂联系紧密，由于根式推广时，我们仅推广到有理数的情况，所以仅研究有理数）。

人教B版高中数学必修一《第三章基本初等函数(Ⅰ) 3.3 幂函数》_13

幂函数一、教材分析了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了12,,-===x y x y x y 三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.二、教学目标1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题； 2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.三、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律．难点：幂函数的图象与性质的简单应用重、难点突破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣. 2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.四、设计理念与任务分析本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值.围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。

3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修1【配套备课资源】3.3

研一研·问题探究、课堂更高效
§ 3.3
1 例 1 在函数 y＝ 2,y＝2x2,y＝x2＋x,y＝1 中,幂函数的个数为 x ( B )
本课时栏目开关
A.0
B.1
C.2
D.3
1 －解析 ∵y＝ 2＝x 2,所以是幂函数;y＝2x2 由于出现系数 2, x 因此不是幂函数;y＝x2＋x 是两项和的形式,不是幂函数;常函数 y＝1 不是幂函数.
答幂函数的定义:一般地,形如 y＝xα (α∈R)的函数叫做幂函数,其中 α 是常数.
问题 4 判断一个函数是幂函数的标准是什么？
答幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为 1,底数为自变量 x,指数为一常数这 x 2 3 三个条件时,才是幂函数.如:y＝3x ,y＝(2x) ,y＝24 都不是幂函数.
－ 2 3,在区间[0,＋∞)上是单调减函数.
因为
小结
2 2 －－ 2＋a2≥2,所以(2＋a2) 3 ≤2 3 .
比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点,指数相
同底数不同时,要利用幂函数的单调性比较,底数相同而指数不同时,要利用指数函数的单调性比较,指数与底数都不同时, 要通过增加一个数起桥梁作用进行比较.
§ 3.3
本课时栏目开关
§ 3.3
【学习要求】 1.了解幂函数的概念.
2 3
－1
本课时栏目开关
2.会画幂函数 y＝x,y＝x ,y＝x ,y＝x ,y＝x 的图象. 3.理解幂函数的性质. 【学法指导】类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性,体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法,进一步渗透数形结合与类比的思想方法.

人教B版,必修1第3章第3节幂函数

3.3幂函数教学设计一、教学内容分析幂函数是人教B 版，必修1第3章第3节的内容。

是继指数函数和对数函数后研究的又一基本初等函数。

幂函数在实际生活中有着广泛的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，要让学生体会其实际应用。

学生在初中已经了解21,,y x y x y x -===三个简单的幂函数；前面也学习了指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。

因此，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型并能用系统的眼光看待以前接触的函数，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，再次体会利用信息技术来探索函数及性质的便利。

因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。

二、学生学习情况分析：学生学过了一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，知道了他们的图象和性质；对于用函数图象的性质解决一些数学问题有一定的基础。

学生已经具备了从特殊到一般的逻辑推理能力，有了一定的团队合作能力，小组合作使学生积极性和主动性有所提高，学习兴趣浓度高。

这为学习幂函数作好了准备，让学生对幂函数的学习感到不会太难。

三、设计思想本节课的设计以破案为思路，时刻抓住基本函数的思想,由名侦探柯南入新课题。

运用类比的数学方法,适当运用多媒体辅助教学手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握幂函数的图象及性质，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标了解幂函数的概念，明确其图象的形状，理解其性质并简单应用.五、教学重点与难点学习重点：幂函数的概念,图象,性质. 学习难点：幂函数的图象和性质.六、教学过程设计第一阶段：创设情景-探索发现【学生活动】：学生观察树状图，说出破案思路【设计意图】由名侦探柯南引出重大案件：基本初等函数，用类比方法引出幂函数的三部曲定义、图像、性质第二阶段：合作探究-获得新知【第一关】幂函数的定义用三个线索的共同特征引出幂函数的定义【学生活动】：学生小组讨论，说出幂函数的定义[定义] 幂函数：一般地，我们把形如_____的函数称为幂函数，其中_____是常数.【设计意图】培养学生自学能力，语言表达能力[过关检测1]判断下列函数是不是幂函数(1)4y x = (2)21y x = (3) 2x y = (4) 12y x = (5)22y x = (6) 32y x =+ (7) 0y x =【学生活动】：学生回答，师生交流。

高一数学人教B版必修1：3.3 幂函数学案

§3.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1．幂函数定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)．重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．2．图象：当α＝1,2,3，12，－1时的图象如右图．3．性质(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．(3)当α＝0时，y ＝x α＝x 0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除(0,1)点)．(4)当α＝1,2,3，12，－1时的函数的性质同学们可自行研究．二、重点和难点重点：幂函数的定义、图象和性质．难点：幂函数图象的位置和形状变化．三、典型例题剖析例1 不论α取何值，函数y ＝(x －1)α－2的图象都通过A 点，求A 点的坐标．解因为幂函数y ＝x α的图象恒通过(1,1)点，所以y ＝(x －1)α的图象恒通过(2,1)点．所以y ＝(x －1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．例2 将幂函数：①y ＝x 23；②y ＝x －4；③y ＝x 13；④y ＝x －13；⑤y ＝x 14；⑥y ＝x 43；⑦y ＝x －12；⑧y ＝x 53的题号填入下面对应的图象中的括号内．解析先根据图象是否经过原点区分幂指数n 的正负：图象A ，B ，C ，D ，H 的幂指数大于零；而图象E ，F ，G 的幂指数小于零．再考察函数的定义域和值域．图象A 对应的幂函数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y ＝x 14；图象E 对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y ＝x －12；图象D ，H 对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D 对应函数为⑥y ＝x 43，H 对应函数为①y ＝x 23；图象G 对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y ＝x －4.余下的图象B ，C ，F 依次对应函数为③y ＝x 13，⑧y ＝x 53，④y ＝x －13.答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①点评以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．幂函数常见错误剖析本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考．一、概念不清例3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) A ．y ＝x 0 B ．y ＝2x 2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x错解选A ，或选C ，或选D剖析错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：y ＝x α(α∈R )称为幂函数，因此，A ，C ，D 中的函数均可化为幂函数，而B 中的函数不能化为幂函数．正解 B二、忽视隐含条件例4 作出函数y ＝4log 2x 的图象．错解 y ＝4log 2x ⇒y ＝22log 2x ⇒y ＝2log 2x 2⇒y ＝x 2. 故函数的图象如图所示．剖析在将函数式y ＝4log 2x 变形为y ＝2log 2x 2，即y ＝x 2时，定义域扩大了．正解 y ＝4log 2x (x >0)⇒y ＝22log 2x (x >0)⇒y ＝2log 2x 2(x >0)⇒y ＝x 2(x >0)．作出幂函数y ＝x 2(x >0)的图象，如图所示，即为函数y ＝4log 2x 的图象．三、思维片面例5 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值集合．错解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.剖析求得m 的值后，未检验是否符合题意．正解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1，或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝2时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去．故所求实数m 的取值集合为{－1}．四、单调性理解不透彻例6 若(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求实数a 的取值范围．错解考查幂函数f (x )＝x －1，因为该函数为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得a ＋1>3－2a ，解得a >23.故实数a 的取值范围是(23，＋∞)．剖析函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．正解考查幂函数f (x )＝x －1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，或a ＋1>3－2a >0，或3－2a <a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如y ＝x α的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．例1 如果f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，则f (x )在其定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数解析要使f (x )为幂函数，则m －1＝1，即m ＝2. 当m ＝2时，m 2－4m ＋3＝－1， ∴f (x )＝x －1.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．答案 D二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系从x 轴的正方向按逆时针旋转到y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．如图为y ＝x α在α取－2,2，－12，12四个值时的图象，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2，其规律为在直线x ＝1的右侧“指大图高”．三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a ＋1)－23<(3－2a )－23，求a 的取值范围．解 y ＝x －23为偶函数，其图象如图所示．∴|a ＋1|>|3－2a |，∴23<a <4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．例3 已知实数a 、b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ； ④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．解析首先画出y 1＝x 12与y 2＝x 13的图象(如图所示)，已知a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .如果m ＝0或1，则a ＝b ；如果0<m <1，则0<b <a <1；如果m >1，则1<a <b .从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.答案 ①③⑤例4 函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是____________．解析结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x ＝a (0<a <1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x (0<a <1)是单调减函数可得n >m >p .答案 n >m >p点评以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．解分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.点评考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．二、数形结合的思想例6 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.点评数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例7 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1(x＋2)2＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－22)．点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例8 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.点评本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．解由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0.(1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0. 若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0，这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1. (2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0，又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0，由x 为任意实数，知f (x )>0. 故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.点评从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例10 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (xy)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x )≤2的解集．解由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数．(1)将x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )－f (y )，得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )，而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋36≤6x x ＋36>0，解得x ≥335，因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞)．点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决．谈函数模型法的应用例11 定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )具有下列两条性质：①对于任意x ∈R 都有f (x 3)＝[f (x )]3；②对于任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，都有f (x 1)≠f (x 2)．则f (－1)＋f (0)＋f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0分析通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．解析根据题设条件设f (x )＝3x ，则可以求得f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，答案为D. 答案 D例12 已知f (x )是R 上的增函数，且f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，若f (2)＝4，则f (2x ＋1)>8的解集是________．分析性质f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)类似于指数函数的性质a m ＋n ＝a m ·a n ，故可以构建指数函数模型．解析设f (x )＝a x (a >1)，则由f (2)＝4可得a ＝2，所以f (x )＝2x .由f (2x ＋1)>8，则22x ＋1>8，解得x >1.故不等式f (2x ＋1)>8的解集是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)例13 已知函数f (x )是定义域为R 的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )A ．f (x )＋f (－x )B ．f (x )－f (－x )C ．f (x )·f (－x ) D.f (－x )f (x )分析指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)中，在a >1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R ；②增函数；③值域为(0，＋∞)．解析不妨设f (x )＝2x ，通过观察四个选项，可以得出f (－x )f (x )＝(14)x 符合题意，故选D.答案 D幂函数高考考点透视(一)考情分析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．(二)考题例析1．(陕西高考)函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)解析 ∵1＋x 2≥1，∴0<11＋x 2≤1∴f (x )＝11＋x 2的值域是(0,1]．答案 C2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 解析 ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．答案 B3．(北京高考)函数f (x )＝x ＋1－12－x 的定义域为______________．解析要使函数f (x )＝1＋x －12－x有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2即x ∈[－1,2)∪(2，＋∞)．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)4．(山东高考)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 3(f 2(f 1(2 007)))＝________.解析 f 3(f 2(f 1(2 007)))＝f 3(f 2(2 00712))＝f 3(2 007－12)＝2 007－1＝12 007.答案 12 007。

3-3幂函数

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2 3 数，又∵ > ， 3 5 2 0.5 3 0.5 ∴(3) >(5) .
第三章
基本初等函数(I)
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第三章
基本初等函数(I)
[点评]
利用函数单调性比较两实数的大小首先要
通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂的形式的数，
若同指数不同底数，则考虑幂函数；若同底数不同指数，
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f(x)＝x－4的图象如图所示：
第三章
基本初等函数(I)
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第三章
基本初等函数(I)
已知幂函数f(x)的图象过点( 1 象过点(2， )． 4 (1)求f(x)，g(x)的解析式；
2 ，2)，幂函数g(x)的图
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(2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)； ③f(x)＜g(x)．
第三章
基本初等函数(I)
[解析]
(1)设f(x)＝xα，∵其图象过点(
2 ，2)，故2
＝( 2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2. 1 设g(x)＝x ，∵其图象过点(2，4)，
β
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1 － ∴4＝2β，∴β＝－2，∴g(x)＝x 2. (2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象，如图所示：
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，
2 解得a＜3且a≠－1或a＞4.
第三章
基本初等函数(I)
2 ∴a 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1， )∪(4，＋∞)． 3
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第三章
基本初等函数(I)
1 1 若(a＋1)－＜(3－2a)－，试求 a 的取值范围． 3 3 [分析] 1 考查幂函数 y＝x－，可知它在(－∞，0)和(0， 3

高中数学新教材《3.3幂函数》说课稿(经典、完美)

(7min)
9
引入概念:（5min）
（2）引导学生对幂函数做出定义：
一般地，函数 y xa 叫作幂函数，其中x是
自变量，a是常数。
10
• （3）引导学生用列表描点法，应用函数的性质
，如奇偶性，定义域等，在直角坐标系内作出幂
函数
1
y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
设计意图
使学生强化认识，更深刻地理解球的体积和表面积的公式及其应用并且逐渐地培养学生形成良好的个性。
19
4、布置作业（2min） P79 1、2
设计意图：巩固知识并及时反馈教学信息，了解学生对幂函数图像性质的掌握程度。
20板书设计：Fra bibliotek幂函数
1、幂函数定义
根据函数单调性判断
2、幂函数与指数
同指数的幂函数的大小的方法
函数、的区别
3、幂函数的图像及简单的性质
例一
练习1、2 作业
设计意图：简洁明了，重点突出，使学生更好地掌握这节课的重点知识。
21
22
的图像最后，
利用电脑软件画出以上几个函数的图像并展示给
学生：
(8min)
11
图像：
12
让同学们一起观察与谈论，共同得出各函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等，并填入表格：
13
(5min)
（5）让学生通过观察图像与表格，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，引导学生得出幂函数的性质：
1. 所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1， 1）
2. 如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞）上是增函数．
3. 如果a＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当ｘ趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地趋近x轴．

新课标人教B版复习导航 3.3幂函数

3. 3 幂函数励志名言提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。

而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。

——爱因斯坦目标导航通过实例，了解幂函数的概念，结合函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图象，了解它们的情况，探索并了解幂函数的有关性质。

要点聚焦1．幂函数的概念，形如αx y =的函数，其中α为非０有理数．结合函数32,,x y x y x y ===xy 1=，21x y =的图象，了解它们的情况，探索并了解幂函数的有关性质．2．当0>α时，幂函数在第一象限的图象随着α的增大，变化速度越快．函数在),0(∞+　递增．在区间)1,0(　，10<<α时，图象在x y =上方；1>α时，图象在x y =下方；并且沿时针方向，α减小；在区间),1(∞+　情况正好相反． 3．当0<α时，幂函数的图象实质上是双曲线，随着α的减小，变化速度越快．函数),0(∞+ 递减．4．幂函数恒过点)1,1(　，注意结合第2、第3进行大小比较． 3.3幂函数(1)经典题例例1 比较下列各组数的大小，并说明理由221213.0,3.0,3.1分析：∵21213.0,3.1的指数相等，∴考察幂函数21x y =在（0，+∞）的单调性， ∵2213.0,3.0的底数相等，∴考察指数函数x y 3.0=的单调性.解：考察幂函数21x y =，由课本例题可知，21x y =在（0，+∞）为增函数。

∵1.3＞0.3 ，∴21213.03.1>.再考察指数函数xy 3.0=在R 为减函数，∵,221<∴2213.03.0>，故得221213.03.03.1>>。

点评：1．观察指数相同，考察幂函数的单调性；底相同，考察指数函数的单调性。

人教版新课标B版高中数学所有目录和知识点

人教版新课标B版高中数学所有目录和知识点必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算章复习与测试本章小结第二章函数2.1函数2.2一次函数和二次函数2.3函数的应用(i)2.4函数与方程章复习与测试本章小结第三章基本初等函数(i)3.1指数与指数函数3.2对数与对数函数3.3幂函数3.4函数的应用(ii)章复习与测试本章小结第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例章复习与测试本章小结第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性章复习与测试本章小结第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用章复习与测试本章小结必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2点、线、面之间的位置关系章复习与测试第二章平面解析几何初步2．1平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系章复习与测试必修三必修四第一章基本初等函数（ⅱ）1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质章复习与测试第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用章复习与测试第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化.章复习与测试必修五第一章解斜角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例章复习与测试第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列章复习与测试第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式(组)与简单线.章复习与测试选修二(2-1)第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的.章综合第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线2.5直线与圆锥曲线章综合第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2空间向量在立体几何中的应用章综合选修二(2-2)选修4-1几何证明选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲第一章导数及其应用领域1.1导数1.2导数的运算1.3导数的应用领域1.4定分数与微积分基本定理章备考与测试第二章推理小说与证明2.1合情推理小说与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法章备考与测试第三章数系的扩展与复数3.1数系的扩展与复数的概念3.2复数的运算章备考与测试报读二(2-3)第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排序与女团1.3二项式定理章备考与测试第二章概率2.1线性型随机变量及其原产列2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数学特征2.4正态分布章备考与测试第三章统计数据案例3.1独立性检验3.2重回分析章备考与测试每章节主要内容：必修课程1子集1．如何区分φ、{φ}、0、{()；}？2．子集的运算存有哪些常用性质与结论？3．对应、态射、函数有何关系？必修课程1函数4．求函数解析式有哪些常用方法？5．判断函数单调性有哪些常用方法？6．函数的单调性有哪些应用？7．判断函数奇偶性要注意什么？判断函数奇偶性常用的方法有哪些？8．函数的奇偶性有哪些性质？9．函数一定存在反函数么？什么样的函数存在反函数？10．如何谋二次函数在区间上的最值？11．函数的零点就是函数的图像与x轴的交点吗？它与方程的根有何关系？12．分数指数幂与根式有何关系？13．指数式ab=n与对数式logon中，a，6，n三者之间有何关系？14．指数函数、对数函数存有哪些常见问题？必修课程2直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24．平面解析几何中常用的等距公式存有哪些？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27．圆与圆存有几种边线关系？如何认定？28．可以写下过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用领域？必修课程3算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图存有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句存有哪几种？如何采用？必修3统计――抽样33．直观随机抽样存有什么特点？它存有哪些具体内容的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、直观随机抽样、系统抽样存有什么共同点和不同点？必修课程3统计数据――样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么就是众数、中位数、平均数？这些数字特征在充分反映总体时存有哪些优缺点？38．方差和标准差在充分反映总体时存有什么意义？必修3概率39．频率和概率有何关系？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？15．幂函数的图像存有哪几种形式？存有哪些性质？必修2立体几何16．如何证明线线、线面、面面之间的平行和横向？17．四面体中有哪些常见的数量关系和位置关系？18．立体几何中划分与补形存有哪些常用技巧？19．经度、纬度分别指的是什么角？如何求两点间的球面距离？必修2直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式存有哪些管制条件？22．两直线平行、横向的等价条件就是什么？23．什么就是直线系则？常用的直线系则存有哪些？有何应用领域？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25．求圆的方程常用的方法存有哪些？26．直线与圆存有几种边线关系？如何推论？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用领域？必修课程3算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图存有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句存有哪几种？如何采用？必修3统计――抽样33．直观随机抽样存有什么特点？它存有哪些具体内容的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、直观随机抽样、系统抽样存有什么共同点和不同点？必修课程3统计数据――样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么就是众数、中位数、平均数？这些数字特征在充分反映总体时存有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？必修课程3概率39．频率和概率有何关系？40．不相容事件与矛盾事件有何关系？如何推论不相容事件与矛盾事件？……必修4三角函数必修4平面向量必修5解三角形必修5数列必修5不等式报读2-1（报读1-1）直观逻辑报读2-1（报读1-1）圆锥曲线报读2-1空间向量、角度及距离报读2-2导数、微积分定理选修2-2（选修1-2）推理与证明复数选修2-3排列组合、二项式定理、数据分布选修4-1几何证明报读4-4坐标系与参数方程报读4-5不等式选讲。

【数学】3.3《幂函数》课件(新人教B版必修1)

[ 0,+∞)
（２）-∞,０)∪(０,+∞)、 (-∞,０)∪(０,+∞)、(０,+∞) (
共同特征：以幂的底数为自变量，指数为常数。其一般形式如何？
y x (其中a是常数。 )
a
一、幂函数定义：

一般地，形如 y x ( R)的函数称为幂函数。 y 其中为常数。
注意以下几点: （1）系数是1; （2）底是自变量;指数是常数. （3）幂函数与指数函数的区别与联系：
y=x2 y=x1/2
1
y=x-2
1
y=x-1/2
1
0
0
1
X
0
0
X
相同点：在(0,+∞)都有定义,且图象都经过点(1,1) ，第四象限都无图象．
不同点:⑴如果 >0,则图象经过原点,在 0,+ 上是增函数; ⑵如果 <0时,在 0,+ 上是减函数.
思考与讨论1：课本109页
幂函数：底数是变量，指数是常数。指数函数：指数是变量，底数是常数
例1 判断下列函数是否为幂函数？
y （x+1）× （4）y x （1）
4
0
√
×
1 （2）y 2 x
5 √ （）y x 1
2
3
（3）y x
× （6）y x 2 ×
注意：一般一次函数,二次函数不是幂函数．
二、幂函数的图象:
判断下列函数的奇偶性，试作出它们的图象 1
(1) y x , y x , y x
2 3
2
(2) y x , y x
1
2
思考并讨论

高中数学优秀教案几何概型和幂函数《幂函数》教学设计

《幂函数》教案说明东北师范大学附属中学王晓晶教材：普通高中课程标准试验教科书数学1（必修）B版人民教育出版社章节：3.3幂函数一、教学目标定位幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下教学目标：在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数性质的一般方法.在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.三、教学诊断分析虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。

幂函数中的常数参数的范围分类更加复杂，不同幂指数范围对函数性质的影响各有不同，在学生已有的解题经验中，会明确要对幂指数的范围进行讨论，但即使在教师的引导下，学生也很难讨论全面。

针对学生的学情分析，结合学生的最近发展区，根据我对教材的分析和对课程标准的理解，我将本节课的教学重点难点设计如下：重点：幂函数的概念和性质．难点：画六个幂函数的图象并利用图象概括幂函数的一般性质.为了突出重点，提高课堂效率，我预先下发了坐标纸，并在坐标纸中给出了函数2=,的图象，这样做的目的是便于学生作图时明确其他幂函数与这两个函数的位y=xyx置关系，加强学生作图的准确性.为了突破教学难点，我引导学生动手作图，通过小组讨论，互相对照图象，通过合作学习，学生们可以发现自身的缺点，进行第一次修改；再由教师板演作图，纠正学生的错误，学生们进行第二次修改；然后观察6个幂函数的图象，总结性质，再通过几何画板演示在同一直角坐标系中，画出6个幂函数图象，探究这些幂函数的共同性质，深化学生对图象的直观认识，最后演示α>0,和α<0时，渐变的函数图象，归纳了所有幂函数的共性，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.四、教法特点及预期效果分析㈠精心设计课堂环节，共同实现师生互动为了区别于以往的教学方式，体现新课程理念，最大限度的培养学生的能力，取得良好的教学效果，我共设计了5项学生活动：1.问题情境中，让学生从实例中，归纳函数解析式；2.讲解定义后，利用一组辨析题，巩固学生对定义的理解；3.探究函数的性质时，让学生动手画函数图象，规范作图过程；4.列表总结函数的性质，通过小组讨论，合作学习，总结函数的性质；5.应用函数性质，解决问题环节中，例题和练习的讲解，采用问答式，在教师的引导下，辅以多媒体演示，得出结论.㈡教师板演作图过程，纠正学生作图错误板演作图过程是一名数学教师必备的教学技能，能画出准确美观的板图更是对教师自身能力的更高要求，同时也能使学生获得最直接的经验，并且使学生信服。

幂函数公开课教案

北京师大二附中观摩课教案1教案设计说明一、教学目标的确定 1、教材分析本节课选自新课程人教B 版必修1第三章第3.3节，幂函数是总结初中所学一次、二次函数，新学指数函数和对数函数后的又一基本初等函数。

从新课标的要求来看，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待231,,y x y x y x y x====，等以前已经接触的函数，进一步确立从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、零点、图象特征等方面研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

2、学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

3、设计思想由于幂函数的性质随幂指数的轻微改变会出现较大的变化，因此要学生在一节课中象指数函数和对数函数那样完全掌握这类函数的性质是比较困难的，因此本节课采用了从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学：先让学生重点研究了几个常见的幂函数的图象和性质（必选项目），再让学生借助TI研究三个其它形式的幂函数（自选项目），然后通过几何画板软件集中演示幂函数的图象随幂指数连续变化情况，让学生归纳幂函数性质，最后让学生利用得到的结论对具体的几个幂函数分析其相关性质、图象的大致形状，让学生检测自己探索成果的有效性，体验成功，享受学习的乐趣。

本节课的教学目标就是基于上述分析确定的。

二、教学过程的设计基于教学目标的确定，我希望能让学生从以往的只参与微观的例习题的解题探究，上升到让学生参与知识系统框架的探究；渗透给学生独立探求新知识的能力，以及科学的、系统的、严谨的研究问题的方法；切实努力使学生由：“学会”向“会学”的转变。

同时注意以人为本的原则，结合学生的能力基础（建构理论）、结合教材的特点（难易度），设计有层次、有价值的问题以帮助学生的独立探索。

人教版高中数学必修1--第三章幂函数的图象与性质3

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第三章函数的概念与性质
已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
12 3
f(x)
21 1
g(x) 据表回答下列问题．
32 1
(1)f(g(3))＝___2___；
(2)若 g(f(x))＝2，则 x＝___1___．
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第三章函数的概念与性质
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第三章函数的概念与性质
若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
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第三章函数的概念与性质
(1)已知一次函数的图象经过点(1，－1)和点(－1，2).求这个函数的解析式．
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第三章函数的概念与性质
方程组法：已知关于
f(x)与
f
1 x
或
f(－x)的表达式，可根据已知
条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x).
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第三章函数的概念与性质
f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求 f(x)的解析式．解：由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，则ff（（－ x）x－）－2f（2f（－xx））＝＝－9x＋9x＋2，2，解得 f(x)＝3x－2.
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第三章函数的概念与性质
解：(1)列表：
x2 3 4 5 …
y
1
2 3

2013天津高一数学成套教案3.3《幂函数》3(新人教B版必修1)

借幂函数比较大小比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考．一、直接法当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较．例１比较下列各组中两个值的大小：（1） 1.5 1.50.70.6，；（2）232.2-，231.8-．解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．（1）∵幂函数 1.5y x =在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6，∴ 1.5 1.50.70.6>；（2）∵幂函数23y x-=在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8， ∴232.2->231.8-．例2 函数3()()3af x a b x b =-+-是幂函数，比较()f a 与()f b 的大小．解析：∵()f x 是幂函数，∴301b a b -=⎧⎨-=⎩，，解得43.a b =⎧⎨=⎩， ∴43()f x x =． ∵函数43()f x x =在（0，＋∞）上是增函数，且a ＞b ＞0，∴()()f a f b >．二、转化法当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小．例３比较224333(2)(0.7) 1.1---，，的大小．解析：22223333((0.7)0.7---=-=，，42331.1 1.21--=． ∵幂函数23y x -=在（０，＋∞）上单调递减，且0.7＜1.21，∴2223330.7 1.21--->>． ∴224333(0.7)(2) 1.1--->>．三、中间值法当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的．例４比较0.812与0.913的大小．解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选0.913或0.812． ∵12＞0，∴幂函数12y x =在（０，＋∞）上是增函数．又0.8＜0.9，∴0.812＜0.912．又0＜0.9＜1，指数函数0.9x y =在（0，＋∞）上是减函数，且12＞13，∴0.912＜0.913．综上可得0.812＜0.913．四、模型函数法若函数()y f x =满足性质：()()()()()x f x f xy f x f y f y f y ⎛⎫==⎪⎝⎭，等，则可以认为其模型函数为幂函数()a f x x =．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．例５已知函数()f x 满足()()x f x f y f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f （8）=4，则f_________f ⎛ ⎝（填“＞、=、＜”）．解析：()f x 的原型函数是()f x x α=（α为常数），又f （8）=4，∴48α=，∴23α=．于是23()f x x =，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，f f f ⎛=< ⎝．。

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第三章 3.3一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．幂函数的图象不经过点(－1,1)B．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C．若幂函数f(x)＝x a是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限[答案] D[解析]幂函数y＝x2经过点(－1,1)，排除A；幂函数y＝x－1不经过点(0,0)，排除B；幂函数y＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C，故选D.2．函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是( )A．k＝3 B．k＝－2C．k＝3或k＝－2 D．k≠3且k≠－2[答案] C[解析] 由幂函数的定义知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.3．(2013～2014学年度福建厦门一中高一月考)幂函数f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为( )A ．4或12B ．±2C ．4或14D ．14或2 [答案] C[解析] 本题主要考查幂函数的解析式及简单指数方程的求解．设幂函数f (x )＝x a，由图象过点(2，m )，得f (2)＝2a ＝m ，所以f (m )＝m a ＝2a2＝16，解得a ＝－2或2，所以m ＝22＝4或m ＝2－2＝14，故选C.4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x 5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．m ≠1±52[答案] B[解析] ∵函数y ＝(m 2－m －1)x5m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝－1或2，当m ＝2时，y ＝x 7在(0，＋∞)上为增函数，当m ＝－1时，y ＝x －8在(0，＋∞)上为减函数，故选B.5．(2013～2014学年度广东省广雅中学高一期中考试)函数y ＝|x |12的图象大致为( )[答案] C[解析] y ＝|x |12＝|x |＝⎩⎨⎧x (x ≥0)－x (x <0)，函数y ＝|x |12为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ，又函数y ＝|x |12的图象向上凸，排除D ，故选C.6．如图曲线是幂函数y ＝x n在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[答案] B[解析] 根据幂函数性质，C 1、C 2在第一象限内为增函数，C 3、C 4在第一象限内为减函数，因此排除A 、C.又C 1曲线下凸，所以C 1、C 2中n 分别为2、12，然后取特殊值，令x ＝2,2－12>2－2，∴C 3、C 4中n 分别取－12、－2，故选B.二、填空题7．(2013～2014学年度河南信阳市高一期末测试)已知幂函数f (x )过点(4,8)，则f (9)＝________.[答案] 27[解析] 设幂函数f (x )＝x α，则4α＝8，∴α＝32.∴f (x )＝x 32，∴f (9)＝27.8．(2013～2014学年度河南郑州一中高一期中测试)若函数f (x )＝(2m ＋3)x m 2－3是幂函数，则m 的值为________．[答案] －1[解析] 由幂函数的定义可得，2m ＋3＝1，即m ＝－1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．[解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，解得m ＝－1± 2.一、选择题1．下列关系中正确的是( ) A ．(12)23 <(15)23 <(12)13B ．(12)23 <(12)13 <(15)23C ．(15)23 <(12)13 <(12)23D ．(15)23 <(12)23 <(12)13[答案] D[解析] ∵y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且125＜14＜12，∴(125)13 ＜(14)13 ＜(12)13 ，即(15)23 ＜(12)23 ＜(12)13 . 2．如图所示为幂函数y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞1 [答案] B[解析] 由幂函数图象的性质知n ＜0,0＜m ＜1. 3．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[答案] D[解析] y ＝x 3与y ＝x 13互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，故选D.4．设函数y ＝ax －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] C [解析] 函数y ＝ax －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (2，12)，又点A (2，12)在幂函数y ＝x α的图象上，∴12＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y ＝x －1，其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．二、填空题5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，则m 是__________．[答案] 1或2[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或m ＝2.6．如果幂函数y ＝x a的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么a 的取值范围是________．[答案] a <1[解析] 分a >1，a ＝1,0<a <1，a <0分别作图观察，知a <1. 三、解答题 7．已知幂函数y ＝xm 2－m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求出m 的值，并画出它的图象．[解析] 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不合题意；当m ＝－1，或m ＝3时，有y ＝x 0，适合题意；当m ＝1时，y ＝x －4，适合题意． ∴所求m 的值为－1,3或1. 画出函数y ＝x 0及y ＝x －4的图象，函数y ＝x 0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，其图象是除点(0,1)外的一条直线，故取点A(－1,1)，B(1,1)，过A，B作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．函数y＝x－4的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，列出x，y的对应值表：x …－2－1－12－13131212…y …1161168181161116…8．已知函数(1)证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．[解析] (1)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴定义域关于原点对称．∴函数f(x)为奇函数．在(0，＋∞)上任取x1，x2，且x1<x2，又∵f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，0)上也是增函数．故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．由此可推测出一个等式f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x≠0)．证明如下：，故f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立．9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．[解析] ∵f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(x)总是取x2和x－2中最大的一个值．令x2>x－2，得x2>1，∴x>1或x<－1.令x2≤x－2，得－1≤x≤1且x≠0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >1)x －2(－1≤x <0或0<x ≤1)，x 2 (x <－1)函数f (x )的图象如图所示：由图可知，f (x )在x ＝－1与x ＝1时取最小值1. ∴函数f (x )的最小值为1.。