集合的概念

解：显然 A≠∅，又 A⊆B， ∴B≠∅，
2m－1<m＋1 如图所示，∴2m－1<－3 m＋1>4
解得 m∈∅.
，
3 例4 设数集 M＝{x|m≤x≤m＋ }， 4 1 N＝{x|n－ ≤x≤n}，且 M，N 都是集 3 合{x|0≤x≤1}的子集，如果把 b－a 叫 做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，
集合的包含关系．
3．∅{0},若把∅当元素,有∅∈{∅};若
把∅当集合，有∅{∅}．
考向瞭望把脉高考
命题预测
集合的概念和集合间的基本关系是集
合的重要内容之一，也是基础内
容．在高考中以两种形式出现，一是
以小题为主，二是在以其他知识为背
景的综合题中，渗透集合思想或以集
合间的基本关系做为工具，体现了基
存在．当a<0时，若A⊆B，如图：
则 1 －a≤2
4 1 >－ 2 a ∴a<－8.
a<－8 ，∴ 1 ， a≤－2
当a>0时，若A⊆B，如图：
则 4 a≤2
1 1 － ≥－ 2 a
a≥2 ，∴ .∴a≥2. a≥2
综上知，当 A⊆B 时，a<－8 或 a≥2.
A．1 C．0 B．－1 D．i
)
【解析】 ∴b＝－1，
由已知a＝1，b2＝1，
∴c＝±i，由“对任意x，y∈S，
必有xy∈S”，
知±i∈S，∴c＝i，d＝－I 或c＝－i，d＝i， ∴b＋c＋d＝(－1)＋0＝－1，
故选B.
【答案】 B
【名师点评】
本题主要考察集合元素的互异性和确
定性,在解答时,充分考虑条件中的“对
例1 (2012· 广州质检)设 a, b∈R,集合{a，
b ,1}＝{a2, a＋b,0}, 求 a2012＋b2012 的值. a
【思路分析】 根据a在分母上，知 b a≠0，从而 a ＝0，故b＝0，进而知a2 ＝1，可求a，b.
【解】 由已知得 a≠0 ， b ∴ ＝0，∴b＝0. a 则在集合{a2，a＋b,0}中， a2＝1. ∴a＝±1.
【思路分析】
在确定集合A时,需对x的系数a进行讨 论.利用数轴分析，使问题得到解决．
【解】 中不等式的解集应分三种情 A 况讨论： ①若 a＝0，则 A＝R； 4 1 ②若 a<0，则 A＝{x| ≤x<－ }； a a 1 4 ③若 a>0，则 A＝{x|－ <x≤ }． a a
(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不
【解】 ∵B⊆A， 当 B＝∅时，m＋1≤2m－1， 解得 m≥2.
－3≤2m－1 当 B≠∅时，有m＋1≤4 2m－1<m＋1
，
解得－1≤m<2，综上得 m≥－1.
【名师点评】
(1)分析集合关系时，首先要分析、简
化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分
析法,将各个集合在数轴上表示出来，
3 这个长度为 的区间可以在区间[0,1]上 4 1 随意移动;同理,集合 N 的长度为 且也可 3 以在区间[0,1]上随意移动;两区间的移 动又互不影响,因此 M∩N 的“长度” 1 3 1 的最小值即为 － 1－4 ＝ ,故选 C. 3 12
【答案】
C
方法感悟
方法技巧
1．集合的元素与集合的子集的区别
要合理利用数轴、Venn图帮助分析．
互动探究 2．若将本例中的集合A改为A＝{x|a ＋1≤x≤2a－1}，其他条件不变，第 (1)题如何求解？
解：若A⊆B，则A＝∅或A≠∅；
当A＝∅时，则a＋1>2a－1，
解得a<2；
当A≠∅时，若A⊆B，
1 则a＋1>－2 2a－1≤2
2a－1≥a＋1 ，无解．
3．集合中的常用性质
＝ (1)A⊆B，B⊆A，则A_____B； ⊆ A⊆B，B⊆C，则A_____C； (2)∅⊆A，若A≠∅，则∅A.
课前热身
1．已知集合M中的元素a、b、c是
△ABC的三边长,则△ABC一定不
是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
答案：D
2．已知M＝{0，x－1}，则实数x满
又a＝1时，不合题意．
∴a＝－1.
∴a2012＋b2012＝(－1)2012＝1.
【规律小结】 (1)解决此类题目，应利用集合相等的 定义，首先分析已知元素与另一个集 合中的哪一个元素相等，有几种情况 等，然后列方程组，求解．本例中从
元素“0”着手分析，问题变得简单．
(2)对于含有字母的集合，在求出字母 的值后，要注意检验集合是否满足互 异性．
集合的概念
教材回扣夯实双基
重点难点
重点：①集合、元素、子集、真子集
的概念．②空集的概念和意义．③属
于、包含、相等关系的意义．④集合
的有关术语和符号．
⑤Venn图及数轴解有关集合问题．
难点：子集与真子集、属于与包含
关系．
基础梳理
1．集合的基本概念
(1)某些指定的对象集在一起就成为
一个集合．其中每个对象叫做集合中
的元素．集合中的元素具有确定性、 互异性 __________和无序性三个特性．
(2)集合有三种表示方法：列举法、描 Venn图法 述法、___________，还可以用区间来 表示集合．
(3)集合中元素与集合的关系分为属于
∈ 与不属于两种,分别用_____和∉来表示
2．集合之间的关系
(1)若集合A中的任何一个元素都是集
综上，若 A⊆B，则 a 的取值范围 为{a|a<2}．
考点3 利用集合间的关系求参数
利用集合相等或者包含关系，可待定
集合中的字母参数．
例3
(2012· 汕尾调研)已知集合A＝
{x|－3≤x≤4},B＝{x|2m－1<x<m＋1},
且B⊆A.求实数m的取值范围．
【思路分析】
讨论集合B → 列不等式组 → 求m的取值范围
足的条件是( )
A．x≠0
C．x＝0或1
B．x≠1
D．x≠0且x≠1
答案：B
3．(2011· 高考福建卷)i 是虚数单位， 若集合 S＝{－1,0,1}，则( A．i∈S C．i ∈S
3
)
B．i ∈S 2 D. ∈S i
2
答案：B
4．设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}， 则( ) B．Q⊆P
以形定数,还要注意验证端点值,做到准
确无误,一般含“＝”用实心点表示，
不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷
阱”,尤其是集合中含有字母参数时,
初学者会想当然认为非空集合而丢
解．因此分类讨论思想是必须的
互动探究 3．本例中，若将“B⊆A”改为“A⊆B”， 其他条件不变，则实数m的取值范围 是什么？
对象 区别 意义上区别 集合的元素 是元素 集合的子 集 是集合
对象 区别 关系上区 别 符号表示 上区别 举例
集合的元素 从属关系 ∈或∉ m∈{m，n}
集合的子集 包含关系 ⊆、、＝ {m}{m，n}
2.A⊆B，且A≠B，则AB,所以A⊆B包
括A＝B和AB两种情况．
3．关于空集∅：空集是不含任何元素
的集合，不能认为∅＝{0}，也不能认
为{∅}＝∅.诸如{x|x2＋1＝0，x∈R}，
{边长为3,5,9的三角形}等都表示空集
失误防范
1．空集在解题时有特殊地位，它是 任何集合的子集，是任何非空集合的 真子集，时刻关注对空集的讨论，防
止漏掉．
2．解题时注意区分两大关系：一是
元素与集合的从属关系；二是集合与
任意x，y∈S，必有xy∈S”的性质．
互动探究
1．本例中若集合{1，a＋b，a}＝{0， b 2012 2012 ，b}，则 a ＋b 的值是多少？ a
解：由已知得 a≠0， ∴a＋b＝0. ∴b＝1， b ∴ ＝－1. a 从而 a＝－1.
∴a2012＋b2012＝(－1)2012＋12012＝2.
考点2 集合பைடு நூலகம்的基本关系
研究两个集合之间的关系时，应该 从分析构成集合的元素入手．因为 不同集合之间的关系，可以以元素 为桥梁找到它们之间的联系．
合B中的元素,则称集合A是集合B的子
集,记作A⊆B或B⊇A;若A中任意一个元
素均为B中的元素,且B中至少有一个元
素不是A中的元素,则称集合A是集合
B的真子集,记作AB或BA；
(2)若集合A与集合B中的所有元素都
相同，或A⊆B且A⊇B，则称集合A与 集合B相等; (3)不含任何元素的集合叫空集，用∅ 表示．
A．P⊆Q
C．P∈Q
答案：B
D．Q∈P
5．集合{x∈N|2x－5＜0}中所有元 素的和是________．
解析：{x∈N|2x－5＜0} 5 ＝{x∈N|x＜ }＝{0,1,2}． 2
答案：3
考点探究讲练互动
考点突破
考点1 集合的基本概念
解决集合概念相关问题常用到集合元 素的互异性，一可以作为解题的依据 和突破口解决问题，二可以检验所求 结果是否正确．
础性和应用性．
预测2013年广东高考题中集合的概念
作为小题出现的几率比较大，考查学
生对基本知识的掌握程度．
典例透析
例
(2010· 高考福建卷)对于复数
a,b,c，d，若集合S＝{a，b，c，d},具
有性质“对任意x，y∈S,必有xy∈S”，
a＝1 2 则当 b ＝1 时,b＋c＋d等于( c2＝b
那么集合 M∩N 的“长度”的最 小值是( 1 A. 3 1 C. 12 ) 2 B. 3 5 D. 12