高中数学人教a版必修二 第三章 直线与方程 评19 含答案
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二 线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三 直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0； 条件：A ，B 不同时为零； 简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。
高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.3知识点总结含同步练习及答案
例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交．
3 3 m2 + 1 m2 + 1 和 − ，因为方程 − 无解，所以两直线相 = 2 3 3 2
已知直线 l 1 ：ax + 2y + 6 = 0，l 2 ：x + (a − 1)y + a2 − 1 = 0，求适合下列条件的 a 的取值 范围． （1）l 1 与 l 2 相交； （2）l 1 与 l 2 平行； （3）l 1 与 l 2 重合； （4）l 1 与 l 2 垂直． 解：（1）因为 l 1 与 l 2 相交，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 ≠ 0 ，即 a(a − 1) − 2 ≠ 0 ，所以 a ≠ −1 且 a ≠ 2，所以 a ∈ R 且 a ≠ −1 且 a ≠ 2 时，l 1 与 l 2 相交． （2）因为 l 1 与 l 2 平行，所以 A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 且 B 1 C2 − B 2 C1 ≠ 0，即
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例题： 已知点 A(−1, 2) ，B(2, √7 ) ，在 x 轴上求一点 P ，使 |P A| = |P B|，并求 |P A| 的值． 解：设所求点为 P (x, 0) ，于是有
2019-2020学年高中人教A版数学必修二习题：第3章 直线与方程 学业分层测评19 Word版含答案
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)一、选择题1．直线4x ＋2y －2＝0与直线3x ＋y －2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(1，－1)D ．(1,1) 【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋2y －2＝0，3x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1，∴交点坐标为(1，－1)．【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，∴三角形为等腰三角形．故选B.【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)．【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3 【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B二、填空题6．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为__________．【解析】 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM |＝|PN |， 即＋＋＋4＋＝ －＋＋4－，解得a ＝－32， 故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 7．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】 设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)三、解答题8．设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程.【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5，∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝－，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)． 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34. ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)【解析】 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．【答案】 A11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图332.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图332【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a2＋ac ＋c2，同理|CD |＝a2＋ac ＋c2，所以|AE |＝|CD |.。
高中数学 人教A版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题(选择题1-100)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题（选择题1-100）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知点P 为直线y =x +1上的一点，M,N 分别为圆C 1 :(x −4)2+(y −1)2=4与圆C 2： x 2+(y −2)2=1上的点,则|PM |−|PN |的最大值为（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 72．设x,y ∈R ，则(3−4y −cosx )2+(4+3y +sinx )2的最小值为（ ）A ． 4B ． 16C ． 5D ． 253．m R ∈，动直线110l x my +-=：过定点A ，动直线2:230l mx y m --+=：过定点B ，若1l 与2l 交于点P (异于点,A B )A ．B ．C ．D ． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，且P 满足|PF 1|−|PF 2|=2b ，则C 的离心率e 满足（ ）A ． e 2−3e +1=0B ． e 4−3e 2+1=0C ． e 2−e −1=0D ． e 4−e 2−1=05．已知x 1,x 2∈R ，则(x 1−e x 2)2+(x 2−e x 1)2的最小值等于A ． 12B ． √22C ． √2D ． 26．已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，AB =1，BC =2，若AM 是BC 边上的高，点P 在△ABC 内部或边界上运动，则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BP⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（） A ． [−1,0] B ． [−12,0] C ． [−34,12] D ． [−34,0] 7．P 是ΔABC 所在平面上的一点,满足PA⃑⃑⃑⃑⃑ +PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,若S ΔABC =6,则ΔPAB 的面积为（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 88．在平面直角坐标系xOy 中， O 是坐标原点，设函数()()23f x k x =-+的图象为直线l ，且l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，给出下列四个命题： ①存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有一条；②存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有二条；③存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有三条；④存在正实数m ，使AOB 的面积为m 的直线l 仅有四条．其中，所有真命题的序号是（ ）．A ． ①②③B ． ③④C ． ②④D ． ②③④9．已知1F ， 2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ， B 两点， 12AF F ∆的内切圆半径为1r ， 12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ． 10．“在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数y =x +4x 是双曲线，它到两渐近线距离的积是2√2,根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（ ）A ． x =0与y =xB ． x =0与y =2xC ． x =0与y =0D ． y =x 与y =2x 11．设A ， B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =， 3AB =且1AB n n⋅=-，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2或4B ． 3或4C ． 3D ． 3 12．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点.下列结论中正确的个数有 ( )①直线MN 与A 1C 相交.②MN ⊥BC ．③MN∥平面ACC 1A 1.④三棱锥N -A 1BC 的体积为1N A BC V -=3. A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个13．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， ,E F 分别为线段111,A B CC 上两个）A ． 存在某个位置,E F ，使BE DF ⊥B ． 存在某个位置,E F ，使//EF 平面11A BCDC ． 三棱锥1B BEF -的体积为定值D ． AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等14．已知12,l l 分别是函数图像上不同的两点12,P P 处的切线， 12,l l 分别与y 轴交于点,A B ，且1l 与2l 垂直相交于点P ，则ABP ∆的面积的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ． ()0,2C ． ()0,+∞D ． ()1,+∞15．下列四个结论中正确的个数是（ ）①若am 2<bm 2，则a <b②已知变量x 和y 满足关系y =−0.1x +1，若变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关 ③“已知直线m ，n 和平面α、β，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β”为真命题 ④m =3是直线(m +3)x +my −2=0与直线mx −6y +5=0互相垂直的充要条件A ． 1B ． 2C ． 3D ． 416．如图，在矩形ABCD 中，AB =4,BC =6,四边形AEFG 为边长为2的正方形，现将矩形ABCD 沿过点F 的动直线l 翻折，使翻折后的点C 在平面AEFG 上的射影C 1落在直线AB 上,若点C 在折痕l 上射影为C 2，则C 1C 2CC 2的最小值为（ ）A ． 6√5−13B ． √5−2C ． 12D ． 2317．在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≤0x −y ≤0x 2+y 2≤r 2（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若x,y 满足上述约束条件，则z =x+y+1x+3的最小值为（ ） A ． -1 B ． −5√2+17 C ． 13 D ． −7518．已知函数f(x)=aln(x +1)−x 2在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p ≠q ，不等式f(p+1)−f(q+1)p−q >1恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )A ． [11,+∞)B ． [13,+∞)C ． [15,+∞)D ． [17,+∞)19．已知,,A B P 为双曲线上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则 ） A ． 8 B ． 4 C ． 2 D ． 120．实系数一元二次方程x 2+ax +b =0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则2−b 3−a 的取值范围是 （ ）A ． (2,+∞)B ． (−∞,12)C ． (12,2)D ． (0,12) 21．已知函数()()()()223x f x x m ae m m R =-+-∈的最小值为则正实数a =（ ） A ． 3 B ． 23e - C ． 23e D ． 3或23e -22．已知双曲线C ： 22194x y -=的两条渐近线是1l ， 2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是A ． 1213B ． 1C ． 3613D ． 323．若正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点P 满足()2113CA PA PC PC ⋅+=，则动点P 的轨迹为（ ）A ． 三段圆弧B ． 三条线段C ． 椭圆的一部分和两段圆弧D ． 双曲线的一部分和两条线段24．已知曲线C:y =1x (x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，过A 3作x 轴垂线交曲线C 于点B 3，直线B 2B 3与x 轴交于点A 4(x 4,0)，依此类推，若x 1=2，x 2=2，则点A 8的坐标为（ ）A ． (21,0)B ． (34,0)C ． (36,0)D ． (55,0)25．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，点P ,Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上动点，则PEQ ∆周长的最小值为（）A ．B ．C ．D ． 26．设a >0，若关于x ，y 的不等式组{ax −y +2≥0x +y −2≥0x −2≤0，表示的可行域与圆(x −2)2+y 2=9存在公共点，则z =x +2y 的最大值的取值范围为（ ）A ． [8，10]B ． (6，+∞)C ． (6，8]D ． [8，+∞)27．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ． [−√3,√3]B ． (−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ． [−√33,√33]D ． [−23,0]28．如图，两个椭圆的方程分别（0a b >>， 1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为 ）A ．B ．C ．D ．29．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A(2,3)P 点坐标是( )A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)30．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F P 是抛物线 E 上位于第一象限内的任意一点， Q 是线段 PF 上的点，且满足21OQ OP OF =+，则直线 OQ 的斜率的最大值为（ ）A ．B ．C ． 1D ． 31．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y =√33(x +c)与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为（ ）A ． √2B ． √3C ． 2√3+1D ． √3+132．过点M(2,−2p)引抛物线x 2=2py(p >0)的切线，切点分别为A,B ，若|AB|=4√10，则p 的值是（ ）A ． 1或2B ． √2或2C ． 1D ． 233．33．经过原点，且倾斜角是直线y ＝2x ＋1倾斜角2倍的直线的方程为( )A ． x ＝0B ． y ＝0C ． yD ． y ＝34．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为A ． (－4，0)B ． (－3，-1)C ． (－5，0)D ． (－4，-2)35．已知P,Q 分别是直线l:x −y −2=0和圆C:x 2+y 2=1上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点A (1,0)，则|PA |+|PQ |的最小值为（ ）A ． √2B ． 2C ． √5−1D ． √2+√102−136．已知f′(x)为函数y =f(x)的导函数，当x(x ∈(0,π2))是斜率为k 的直线的倾斜角时，若不等式f(x)−f′(x)⋅k <0恒成立，则（ ）A ． √3√2>f(π3)f(π4) B ． f(1)sin1>2f(π6)C ． √2f(π6)−f(π4)>0 D ． √3f(π6)−f(π3)>0 37．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=， OAC ∆的面积为1S ， ABC ∆的面积为2S ；则12S S = A ． 310 B ． 38 C ． 25 D ． 42138．过抛物线x 2=2py(p >0)上两点A,B 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点P(1,−2),则直线AB 的方程为（ ）A ． y =12x +2B ． y =14x +2C ． y =12x +3D ． y =14x +3 39．已知点P 是曲线y =sinx +lnx 上任意一点，记直线OP （O 为坐标系原点）的斜率为k ，则（ ）A ． 至少存在两个点P 使得k =−1B ． 对于任意点P 都有k <0C ． 对于任意点P 都有k <1D ． 存在点P 使得k ≥140．已知直线1:3l y ax =+与2l 关于直线y x =对称， 2l 与3:210l x y +-=垂直，则a =（）A ．B ．C ． -2D ． 2 41．已知点A 在直线210x y +-=上，点B 在直线230x y ++=上，线段AB 的中点为()00,P x y ，且满足002y x >+，则 ）A ．B ．C ．D ． 42．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC 的顶点A (2,0),B (0,4)，若其欧拉线的方程为x −y +2=0，则顶点C 的坐标为（ ）A ． (−4,0)B ． (−3,−1)C ． (−5,0)D ． (−4,−2)43．在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1C 的中点，F 是棱C 1D 1上的动点，若点P 为线段BD 1上的动点，则PE +PF 的最小值为（ ）A ． 5√26B ． 1+√22C ．√62 D ． 3√22 44．已知函数()32(0)f x ax bx x a =++>的导函数()'f x 在区间(],1-∞内单调递减，且实数a ， b 满足不等式2220b a a -++≥，则 ）A ．B ．C ．D ． 45．过点A(1 , 2)且与直线x +2y −1=0垂直的直线方程是（ ）A ． 2x −y =0B ． 2x −y −3=0C ． x +2y −5=0D ． x +2y −4=046．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A ． 2√5B ． 3√3C ． 6D ． 2√1047．设点(),P x y (),x y 满足）A ． []0,2B ． []1,2 C ． [1,) +∞ D ． [2,) +∞48．设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx −y −m +3=0交于点P(x,y)，（点P 与点A ，B 不重合），则ΔPAB 的面积最大值是（ ）A ． 2√5B ． 5C ． 52D ． √549．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 50．已知抛物线C: 24x y =，直线:1l y =-，PA,PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A,B ，则“点P 在直线l 上”是“PA ⊥PB ”的( )条件A ． 必要不充分B ． 充分不必要C ． 充要D ． 既不充分也不必要51．若两直线3x +y −3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为A ．√105 B ． 2√105 C ． 5√1026 D ． 720√1052．已知直线l:x +my +3m −√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点，过A,B 分别作l 的垂线与y 轴交于C,D 两点，若|AB|=2√3，则|CD|=（ ）A ． 4B ． 3C ． √3D ． 4√353．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中, 14,2AA AB BC === ，动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上，则线段PQ 长度的最小值是A ．B ．C ．D ． 54．若点P (a,b )在函数y =−x 2+3lnx 的图象上，点Q (c,d )在函数y =x +2的图象上，则(a −c )2+(b −d )2的最小值为 （ ）A ． √2B ． 8C ． 2√2D ． 255．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c,0)，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B 、C 两点，过B 、C 分别作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a +c ， 则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ． (1,√2)B ． (1,√3)C ． (√2,+∞)D ． (√3,+∞)56．已知02x <<， 02x <<，则）A ．B ．C ． 2D ． 57．如图是正方体的平面展开图。
高中数学必修2第三章知识点+习题+答案
第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k)(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(bb kx y +=3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠),(1212112121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评20 Word版含答案.doc
学业分层测评（二十）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为() A．(8,0) B．(－12,0)C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x－4×0＋6|32＋(－4)2＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．【答案】 C2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()A.75 B.715C.415 D.23【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|92＋122＝415.【答案】 C3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为() A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】 B4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－12 B.12或－6C．－12或12D．0或12【解析】由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，∴m＝12或m＝－6.【答案】 B5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.43 B.75C.85 D.203【解析】设P(x0，－x20)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4x0－3x20－8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎪⎫x0－232－2035，∴当x0＝23时，d min＝2035＝43.【答案】 A二、填空题6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【导学号：09960122】【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】2 27．已知x＋y－3＝0，则(x－2)2＋(y＋1)2的最小值为________．【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2.【答案】 2三、解答题8．已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程．【解】 由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l . 设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0， 则2·|c －9|72＋82＝|c －(－3)|72＋82， 解得c ＝21或c ＝5.∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.9．已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程．【解】 ∵由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0，∴中心坐标为(－1,0)． ∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0. ∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310. ∴m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.∴其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.[自我挑战]10．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0. ∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43. 故所求直线共有两条． 【答案】 B11．如图3-3-3，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．图3-3-3【解】 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，则题图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，所以b 2＝9，b ＝±3.但b >1，所以b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.。
2019年高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课时作业(含解析)新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程1.直线2x+5y-10=0在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则( B )(A)a=2,b=5 (B)a=5,b=2(C)a=-2,b=5 (D)a=-5,b=22.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.3.已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,则a的值是( C )(A)0 (B)1(C)0或1 (D)0或-1解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,所以(2a-1)a+a(-1)=0,解得a=0或a=1.4.直线x+ay-7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行,则a的值是( B )(A)1 (B)-2(C)1或-2 (D)-1或2解析:由题1×2-a(a+1)=0,所以a2+a-2=0,所以a=-2或a=1,当a=-2时,直线x-2y-7=0与直线-x+2y-14=0互相平行;当a=1时,直线x+y-7=0与直线2x+2y-14=0重合,不满足题意;故a=-2.5.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.6.若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )(A)A,B,C同号(B)AC>0,BC<0(C)AC<0,BC>0 (D)AB>0,AC<0解析:如图所示,若直线经过第一、二、三象限,应有所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,从而A,C同号.选项B符合要求.7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是如图中的( B )解析:直线l1:y=ax+b,斜率为a,在y轴截距为b.直线l2:y=-bx+a,斜率为-b,在y轴截距为a.图中A选项:l1中a>0,b<0,则应有l2的斜率-b>0,不合适.B选项:l1中a>0,b<0,则应有l2中斜率-b>0,截距a>0,合适.类似可知C,D不合适,选B.8.已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )(A)x+y=0 (B)x-y=0(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,所以直线l为线段PQ的中垂线,PQ的中点为(,),PQ的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1,即直线l的方程为y-=x-,化简可得 x-y+1=0.9.经过点(3,2)且与直线4x+y-2=0平行的直线方程是.解:设与直线4x+y-2=0平行的直线为4x+y+c=0,该直线过点(3,2),故有12+2+c=0,所以c=-14,所以该直线方程是4x+y-14=0.答案:4x+y-14=010.过点(-1,3),且与直线l:3x+4y-12=0垂直的直线l′的方程为.解析:设l′方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.则l′的方程为4x-3y+13=0.答案:4x-3y+13=011.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为.解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.。
人教A版高中数学必修二第三章《直线与方程》检测题含答案.docx
第三章《直线与方程》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1. 不论刃为何值，直线(m —\)x+ (2/7?—l)y=/77—5恒过定点()( \\ A. 1,—— B. (-2,0) C. (2,3) D. (9, -4) I 2丿 '2.x — y — 3 S 02. 已知不等式组x + y-3>0表示的平面区域为M,若以原点为圆心的圆0与M 无公x — 2y + 3 n 0共点，则圆。
的半径的取值范围为()A. (0,—)B. (3匹,+8)C. (0,VK)U(3^,+8)D. (0,—)U(3V2,+oo) 3. 若直线厶：x+ay+6=0与厶：U-2)%+3y+2a=0平行,则厶与厶之间的距离为 ()A. V2B.吨C. V3D.出3 84. 若点A (l,l)关于直线y = kx + b 的对称点是3(-3,3),则直线y = kx + b 在y 轴上 的截距是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知直线/I ：x-y-l=0,动直线?2：(k + l)x +炒+ k = 0(kw/?)，则下列结论够 误的是( )A.存在k, I 、使得厶的倾斜角为90。
B.对任意的k, I 、与厶都有公共点C.对任意的4人与厶都不重合D.对任意的人与厶都不垂皐 3(-3,-2),直线1过点且与线段AB 相交，则1的斜 率k 的取值范围( A. k> — ^ik<-4 43 C. — 一 <^<4 D.4 7.图中的直线/,,/2,/3的斜率分别是，则有( )B. k y <k }< k 2C. k 3<k 2< k 、D. k 2<k y < k 、6.设点 A (2,—3),)B. -4<k<-4 以上都不对A. ky<k 2< k 3TV TV 27V 5 7TA. 3 B . 6 c. 3 D . 69. 直线3x + y-4 = 0的斜率和在y 轴上的截距分别是（）A. 一3,4B. 3,-4C. -3,-4D. 3,410. 过点（一2, 1）,且平行于向量v=（2, 1）的直线方程为（）A. % — 2y + 4 = 0B. % 4- 2y — 4 = 0C. % — 2y — 4 = 0D. % + 2y + 4 =11・过点水3, 3）且垂直于直线4x + 2y - 7 = 0的直线方程为A. y = -x + 2B. y = —2x + 7 C ・ y = -x + - D. y = -x - 丿 2 J 丿 22 丿 2212. 在平面直角坐标系中，己知A （l,-2）, B （3,0）,那么线段A3中点的坐标为（）. A.（2,-1） B.（2,1） C.（4,-2） D. （-1,2）二、填空题13. 已知G,b,c 为直角三角形的三边长，C 为斜边长，若点在直线Z ：Q + by + 2c = 0上，则加2 +/?2的最小值为 __________ ・14. me R ,动直线 l }\x + my -1 =（）过定点 动直线 /2: nix - y- 2m + A /3 = 0 定点3,若直线1与人相交于点P (异于点A,B),则\PAB 周长的最大值为15. ______________________________________________________________ 过点(2, —3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ________________________ 16. 定义点POoJo)到直线上似+ By + C = 0(护+ B 2^ 0)的有向距离为d =已知点Pi ，P2到直线2的有向距离分别是心,〃2,给出以下命题: ① 若di — d.2 - ② 若心+ d = =0,则直线P1P2与直线2平行；=0,则直线EE 与直线/平行；③若心+ 〃2 = 0,则直线RE 与直线2垂直；④若didzVO,则直线ED 与直线2相交; 其中正确命题的序号是 ___________________ •三、解答题17. 求符合下列条件的直线方程：(1) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0平行;(2) 过点P(3,—2),且与直线4% 4- y - 2 = 0垂直;(3) 过点P(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等.18.己知ZMBC的三个顶点坐标分别为＞1(-4,-2), B(4,2), C(1 , 3).(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边4B上的中线所在直线的一般式方程.19.已知直线/ :3x + 2y-2 + 22x + 4y + 22 = 0(1)求证：直线1过定点。
高中数学 人教A版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题(解答题1-100)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修2 第三章 直线与方程 高考复习习题（解答题1-100）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题 1．设椭圆的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： . 2．如图，圆 ： ． （1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （2）求圆心 的轨迹方程；（3）已知 ，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧）．过点 任作一条直线与圆 ： 相交于两点 ．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由。
3．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()()5,1,1,5A B .（1）若A 为ABC ∆的直角顶点，且顶点C 在y 轴上，求BC 边所在直线方程； （2）若等腰ABC ∆的底边为BC ，且C 为直线:23l y x =+上一点，求点C 的坐标. 4．过点()2,1P 作直线l 分别交,x y 轴的正半轴于,A B 两点. 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程； 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程.5．在直角坐标系 中，椭圆的离心率为，点在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程；（2）若斜率存在，纵截距为 的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若直线 的斜率均存在，求证：直线 的斜率依次成等差数列． 6．设 、 分别是椭圆的左、右焦点.若 是该椭圆上的一个动点，的最大值为1. （1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ( 与 不重合)，则直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC , D 为AB 的中点，(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1ACD ； (Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；8．如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ， AB BC ⊥，点,D E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===， 4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF 平面PBC .（1）证明： //EF BC ； （2）证明： AB ⊥平面PEF ；（3）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长.9．（题文）（题文）已知两条直线 ． （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求实数 的值．10．已知直线l 经过点P （2，2）且分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A 、B 两点，O为坐标原点.(1)求AOB ∆面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)l 的方程.11．为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的 次数学测试成绩（满分 分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中 处的数字模糊不清,已知甲同学成绩的中位数是 ，乙同学成绩的平均分是 分.甲 乙（1）求 和 的值;（2）现从成绩在 之间的试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到一份甲同学试卷的概率.12．在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 的极坐标方程为：，点 ，参数 .（1）求点 轨迹的直角坐标方程； （2）求点 到直线 距离的最小值.13．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥平面A B C D ， AD BC ，3AB AD AC ===， 4PA BC ==， M 为线段AD 上一点， 2AM MD =， N为PC 的中点.（1）证明： MN 平面PAB ；（2）求异面直线AN 与CD 所成角的余弦值.14．已知圆 ，圆 的圆心为 ， 与 交于点 ，过点 且斜率为 的直线 分别交 、 于点 ． （1）若 且 ，求的方程；（2）过点 作垂直于 的直线 分别交 、 于点 ，当 为常数时，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．15．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱2AB =， ,D E 分别为棱11,AC B C 的中点， ,M N 分别为线段1AC 和BE 的中点.（1）求证：直线//MN 平面ABC ； （2）求二面角C BD E --的余弦值.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，右顶点分别为A ， B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ， Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ， BQ 的斜率分别为1k ， 2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．17（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围.18．已知圆 与圆 ：关于直线 对称，且点在圆 上． （1）判断圆 与圆 的公切线的条数；（2）设 为圆 上任意一点，，， 三点不共线， 为 的平分线，且交 于 ，求证： 与 的面积之比为定值．19 2F 为椭圆C 的右焦点，12,A A 分别为椭圆C 的左，右两个顶点.若过点()4,0B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且线段12,MA MA 的斜率之积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明： 2,,G P F 三点共线.20．已知 = ，- ， =，若存在非零实数k ，t 使得 ， ，且 ⊥,试求：的最小值． 21．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值与最小值． 22．设点()11A --，， ABC ∆是正三角形，且点B C 、在曲线10xy x =（＞）上． （1）证明：点B C 、关于直线y x =对称； （2）求ABC ∆的周长． 23．已知椭圆的左右顶点分别为 、 ， 为椭圆 上不同于 ， 的任意一点.(1)求 的正切的最大值并说明理由；(2)设 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 的另一交点为 ， 的中点为 ，若 ，求直线 的斜率.24．（双鸭山）已知圆22:4230P x y x y +-+-=和圆外一点(4,8)M -． （1）过点M 作圆的割线交圆于,A B 两点，若||4AB =，求直线AB 的方程； （2）过点M 作圆的两条切线，切点分别为,C D ，求切线长及CD 所在直线的方程． 25．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,时，求k 的值.（2是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=边形FGFH 的面积的最大值.26．（题文）在直角坐标系中，椭圆 ：的左、右焦点分别为 ， ，其中 也是抛物线 ： 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且． （1）求椭圆的方程；（2）过 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 、 两点，若线段 上存在定点 使得以 、 为邻边的四边形是菱形，求 的取值范围．27．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， 分别为 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 平面 ； （Ⅲ）求三棱锥 的体积．28．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线上横坐标为12的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等。
《必修2》第三章“直线与方程”测试题(含答案)
《必修2》第三章“直线与方程”测试题(含答案)《必修2》第三章“直线与方程”测试题一．选择题：1. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）x y O x y O x y O xyOA B C D2．若直线20x ay ++=和2310x y ++=互相垂直，则a =（ ）A ．32-B ．32C ．23- D ．23 3．过11(,)x y 和22(,)x y 两点的直线的方程是( )111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----=4．直线2350x y +-=关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A 、3x+2y-5=0 B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=05 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）23-二．填空题：11. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程方程1=+y x 表示的图形所围成的封闭区域的面积为_________13 点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22xy +的最小值是________14 直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是15 已知直线,32:1+=x y l若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________；23y x =-+三、解答题16．求过点(5,4)A --的直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为517． 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点为(0,0)时，求此直线方程18．直线313y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等， 求m 的值19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B （-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评含答案
学业分层测评(1)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】 选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．【答案】 D2．若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.【答案】 C3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 【解析】 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B4．(2015·陕西府谷高一检测)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解析】直线l可能有两种情形，如图所示，故直线l的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是() A．0 B．1C.12D．2【解析】如图，k OA＝2，k l′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.【答案】 D二、填空题6．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】 27．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB 所在直线的斜率之和为________．【解析】如图，易知k AB＝3，k AC＝－3，则k AB＋k AC＝0.【答案】 0 三、解答题8．已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线P A 的倾斜角为60°. 【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)， ∵A (1,2)，∴k P A ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线P A 的倾斜角为60°， ∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3)．9．已知直线l 上的两点A (－2,3)，B (3，－2)． (1)求直线AB 的斜率；(2)若C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系式；当a ＝12时，求b 的值． 【解】 (1)由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. (2)∵点C 在直线l 上， ∴k BC ＝b ＋2a －3＝k AB＝－1. ∵a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12.[自我挑战]10．斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A ．4,0B ．－4，－3C ．4，－3D ．－4,3【解析】 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3. 【答案】 C11．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【解】 y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)， 设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB . ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.学业分层测评(2)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，m－4－2－m＝－2，得m＝－8.【答案】 A3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为() A．－30°B．30°C．150°D．120°【解析】k AB＝4－13－0＝3，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C. 【答案】 C4．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 【解析】 ∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角． 【答案】 C5．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14.又P 、Q 、S 、R 四点不共线， ∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS . 故①②④正确． 【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【解析】 由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1， 所以m －34－(－2)·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6.【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】 设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ， 即y －2x －3＝－1， ① y －1x ＝1，②联立①②解方程组得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)． 【答案】 (2,3) 三、解答题8．(2016·泰安高一检测)已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a (a ≠2)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3×12－a＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在． ∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直．9．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形．【解】 (1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6，所以D(－1,6)．(2)因为k AC＝4－23－1＝1，k BD＝6－0－1－5＝－1，所以k AC·k BD＝－1，所以AC⊥BD，故▱ABCD为菱形．[自我挑战]10．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是()A．19 B.19 4C．5 D．4【解析】由题意知AB⊥BC，∴k AB·k BC＝－1，即4－03－2×4－y3－0＝－1，解得y＝194，故选B.【答案】 B11．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).【解】设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于k AB＝3，k BC＝0，所以k AB·k BC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.因为k BC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.又k AD＝k BC，所以y－3x＝0，即y＝3.此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD.因为k AD ＝y －3x ，k CD ＝yx －3，由于AD ⊥AB ，所以y －3x ·3＝－1. 又AB ∥CD ，所以yx －3＝3. 解上述两式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝185，y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.学业分层测评(3)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为( ) A ．y ＋2＝3(x －3) B ．y －2＝33(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝33(x ＋3)【解析】 因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y －2＝3(x ＋3)．【答案】 C2．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12【解析】 当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.【答案】 D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4 B ．y ＝2x ＋4 C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4【解析】 ∵直线y ＝2x ＋1的斜率为2， ∴与其垂直的直线的斜率是－12，∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D. 【答案】 D4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图3-2-2所示，则有( )图3-2-2A ．k 1<k 2且b 1<b 2B ．k 1<k 2且b 1>b 2C ．k 1>k 2且b 1>b 2D．k1>k2且b1<b2【解析】设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，由题意可知90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2，故选A.【答案】 A5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【解析】直线x－2y－2＝0的斜率为12，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.【答案】 A二、填空题6．经过点(0,2)，且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线l的方程为________．【解析】由已知所求直线l的斜率k＝±1，故其方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.【答案】y＝x＋2或y＝－x＋27．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．【答案】(3,2)三、解答题8．分别求满足下列条件的直线方程．(1)过点A(2，－1)且与直线y＝3x－1垂直；(2)倾斜角为60°且在y轴上的截距为－3.【解】(1)已知直线的斜率为3，设所求直线的斜率为k，由题意，得3k＝－1，∴k ＝－13.故所求的直线方程为y ＋1＝－13(x －2)．(2)由题意，得所求的直线的斜率k ＝tan 60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距为－3，代入直线的斜截式方程，得y ＝3x －3.9．求满足下列条件的m 的值：(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直. 【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1.∴m ＝±1.(2)∵l 1⊥l 2，∴(2m －1)·(－2)＝－1，∴m ＝34.[自我挑战]10．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，则直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【答案】 B11．已知在△ABC 中，A (0,0)，B (3,1)，C (1,3)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线的方程；(3)求过A与BC平行的直线方程．【解】(1)直线AB的斜率k1＝1－03－0＝13，AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1)．(2)直线BC的斜率k2＝3－11－3＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y＝x.(3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其点斜式方程为y＝－x.学业分层测评(4)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2015·淄博高一检测)下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x －x 1)(y 2－y 1)＝(y －y 1)(x 2－x 1)，同理x 1≠x 2，y 1＝y 2时也可用此方程表示．故选B.【答案】 B2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0【解析】 直线经过第一、二、三象限， 则由y ＝－a b x －cb 可知， ⎩⎪⎨⎪⎧－a b >0，－c b >0⇒⎩⎨⎧ab <0，bc <0，选D. 【答案】 D4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2(k －3)2－2(3－k )＝0， 即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3. 【答案】 C5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A 二、填空题6．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________． 【解析】 当直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为0，满足题意．此时直线方程为y ＝2x ，当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，因为直线过P (1,2)，所以1－2＝a ，所以a＝－1，直线方程为x －y ＋1＝0【答案】 y ＝2x 或x －y ＋1＝07．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0， 分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3、－d4， ∴6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3. 【答案】 3或－3 三、解答题8．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由⎩⎨⎧m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2，若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2. (2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，解得m ＝0.9．已知三角形的三个顶点A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求三角形三边所在直线的方程； (2)求AC 边上的垂直平分线的方程． 【解】 (1)直线AB 的方程为y －46－4＝x －0－2－0，整理得x ＋y －4＝0；直线BC 的方程为y －06－0＝x ＋8－2＋8，整理得x －y ＋8＝0；由截距式可知，直线AC 的方程为x －8＋y4＝1，整理得x －2y ＋8＝0.(2)线段AC 的中点为D (－4,2)，直线AC 的斜率为12，则AC 边上的垂直平分线的斜率为－2，所以AC 边的垂直平分线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，整理得2x ＋y ＋6＝0.[自我挑战]10．(2016·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图3-2-3所示，则( )图3-2-3A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c【解析】 由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c >0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－dc >0， ∴b <0，d >0，故选C. 【答案】 C11．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【解】 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ① 又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1， 即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若满足条件(2)，则ab ＝12， ③ 由题意得：43a ＋2b ＝1， ④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.学业分层测评（5）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·西安高一检测)直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)【解析】 解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴交点坐标为(－2,2)． 【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B. 【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)． 【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3【解析】 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B 二、填空题6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．【解析】 法一 由⎩⎨⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.法二 设所求直线方程为2x －y －5＋λ(x ＋y ＋2)＝0. 即(2＋λ)x ＋(－1＋λ)y －5＋2λ＝0， 则2＋λ3＝－1＋λ1≠－5＋2λ－1，解得λ＝52，则所求直线的方程为92x ＋32y ＝0， 即3x ＋y ＝0. 【答案】 3x ＋y ＝07．(2016·潍坊四校联考)点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________．【解析】设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2) 三、解答题8．(2016·珠海高一检测)设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0， 由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1， 由⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5， ∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)． 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)． 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34.∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.[自我挑战]10．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．则AC 的方程为y －10－1＝x －31－3， 即x －2y －1＝0. 【答案】 C11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图3-3-2.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图3-3-2【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a 2＋ac ＋c 2， 同理|CD |＝a 2＋ac ＋c 2， 所以|AE |＝|CD |.学业分层测评（6）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为() A．(8,0) B．(－12,0)C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x－4×0＋6|32＋(－4)2＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．【答案】 C2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()A.75 B.715C.415 D.23【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|92＋122＝415.【答案】 C3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为() A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意|c－(－11)|32＋(－4)2＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】 B4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－12 B.12或－6C．－12或12D．0或12【解析】由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，∴m＝12或m＝－6.【答案】 B5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.43 B.75C.85 D.203【解析】设P(x0，－x20)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4x0－3x20－8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎪⎫x0－232－2035，∴当x0＝23时，d min＝2035＝43.【答案】 A二、填空题6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】2 27．已知x ＋y －3＝0，则(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________． 【解析】 设P (x ，y )，A (2，－1)， 则点P 在直线x ＋y －3＝0上， 且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2.【答案】 2三、解答题8．已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程．【解】 由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l . 设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0， 则2·|c －9|72＋82＝|c －(－3)|72＋82， 解得c ＝21或c ＝5.∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.9．已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程．【解】 ∵由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0，∴中心坐标为(－1,0)． ∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0. ∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310. ∴m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.∴其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.[自我挑战]10．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0. ∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立， 解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43. 故所求直线共有两条． 【答案】 B11．如图3-3-3，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．图3-3-3【解】 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，则题图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，所以b 2＝9，b ＝±3.但b >1，所以b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.。
2019高中数学 第三章 直线与方程学案 新人教A版必修2含答案
人教版高中数学必修精品教学资料第三章直线与方程学案新人教A版必修2_3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1 倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中,直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示,直线l的倾斜角是∠APx,直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中,常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度,例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更陡一些,因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系？ 提示：与倾斜角的正切值相等． [导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示,即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时,直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时,斜率越大,直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换,就是说, 如果分子是y 2－y 1,分母必须是x 2－x 1；反过来,如果分子是y 1－y 2,分母必须是x 1－x 2,即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看,二用,三求值．一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步；二用,就是将点的坐标代入斜率公式；三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论．[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角,则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中,正确的是( )A ．直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α,则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tan α[解析] (1)如图,直线l 有两种情况,故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A,当α＝90°时,直线的斜率不存在,故不正确；对于B,虽然直线的斜率为tan α,但只有0°≤α＜180°时,α才是此直线的倾斜角,故不正确；对于C,当直线平行于x 轴时,α＝0°,sin α＝0,故C 不正确,故选D.[答案] (1)D (2)D [类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x 轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]1．直线l 经过第二、四象限,则直线l 的倾斜角范围是( ) A ．[0°,90°) B ．[90°,180°) C ．(90°,180°)D ．(0°,180°)解析：选C 直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又直线l 经过第二、四象限,所以直线l 的倾斜角范围是(90°,180°)．2．设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l 1,则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°,当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D 当0°≤α＜135°时,l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l 1的倾斜角为α－135°,故应选D.[例2] (1)已知过两点A (4,y ),B (2,－3)的直线的倾斜角为135°,则y ＝________； (2)过点P (－2,m ),Q (m,4)的直线的斜率为1,则m 的值为________； (3)已知过A (3,1),B (m ,－2)的直线的斜率为1,则m 的值为________． [解析] (1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1, 又k ＝－3－y 2－4,由－3－y 2－4＝－1,得y ＝－5.(2)由斜率公式k ＝4－mm ＋2＝1,得m ＝1.(3)当m ＝3时,直线AB 平行于y 轴,斜率不存在． 当m ≠3时,k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1,解得m ＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0 [类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”,即直线不与x 轴垂直,因为当直线与x 轴垂直时,斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1,P 2的先后顺序无关,也就是说公式中的x 1与x 2,y 1与y 2可以同时交换位置．[活学活用]3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2),(4,2＋3),则此直线的倾斜角是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α, 直线斜率k ＝＋3－24－1＝33,∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°,∴α＝30°.[例3] 已知实数x ,y 满足y ＝－2x ＋8,且2≤x ≤3,求y x的最大值和最小值．[解] 如图所示,由于点(x ,y )满足关系式2x ＋y ＝8,且2≤x ≤3,可知点P (x ,y )在线段AB 上移动,并且A ,B 两点的坐标可分别求得为A (2,4),B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率,且k OA ＝2,k OB ＝23,所以可求得yx的最大值为2,最小值为23. [类题通法]根据题目中代数式的特征,看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式,若能,则联想其几何意义(即直线的斜率),再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]4．点M (x ,y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上,当x ∈[2,5]时,求y ＋1x ＋1的取值范围． 解：y ＋1x ＋1＝y －－x －－的几何意义是过M (x ,y ),N (－1,－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上,且x ∈[2,5], ∴设该线段为AB 且A (2,4),B (5,－2)． ∵k NA ＝53,k NB ＝－16,∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16,53]．6.倾斜角与斜率的关系[典例] 已知两点A (－3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点,则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如图,由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1,k PB ＝2－03－1＝1,则直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是45°,PA 的倾斜角是135°,∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.[答案] 45°≤α≤135° k ≤－1或k ≥1 [易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k ≤1,结合图形考虑,l 的倾斜角应介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间,要特别注意,当l 的倾斜角小于90°时,有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时,则有k ≤k PA .2.如图,过点P 的直线l 与直线段AB 相交时,因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在,而PC 所在的直线与线段AB 不相交,所以满足题意的斜率夹在中间,即k PA ≤k ≤k PB .解决这类问题时,可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l 过点P (3,4),且与以A (－1,0),B (2,1)为端点的线段AB 有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线PA 的斜率k PA ＝4－03－－＝1,直线PB 的斜率k PB ＝4－13－2＝3,∴要使直线l 与线段AB 有公共点,k 的取值范围为[1,3]．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率,下列说法正确的是( ) A ．任一直线都有倾斜角,都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞,＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角,但当倾斜角为90°时,斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1,所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5,m )和(m,8)的直线的斜率等于1,则m 的值是( ) A ．5 B ．8 C.132D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1,解之得m ＝132.3．直线l 经过原点和(－1,1),则它的倾斜角为________． 解析：k l ＝1－0－1－0＝－1,因此倾斜角为135°. 答案：135°4．已知三点A (a,2),B (3,7),C (－2,－9a )在同一条直线上,实数a 的值为________． 解析：∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB ＝k BC ,即53－a ＝9a ＋75,∴a ＝2或29.答案：2或295．已知A (m ,－m ＋3),B (2,m －1),C (－1,4),直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍,求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在,即m ≠－1. ∴k AC ＝－m ＋－4m ＋1,k BC ＝m －－42－－.∴－m ＋－4m ＋1＝3·m －－42－－.整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1), 即(m ＋1)(m －4)＝0, ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法,正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,①错；直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°,③错；不同的直线可以有相同的倾斜角,④错．2．过两点A (4,y ),B (2,－3)的直线的倾斜角为45°,则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2,即y ＋34－2＝1,所以y ＝－1.3.如图,设直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则k 1,k 2,k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“斜率越大,直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确． 4．经过两点A (2,1),B (1,m 2)的直线l 的倾斜角为锐角,则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角, ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0,∴－1＜m ＜1.5．(2012·广州高一检测)如果直线l 过点(1,2),且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时,图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0,若平面内三点A (1,－a ),B (2,a 2),C (3,a 3)共线,则a ＝________. 解析：若平面内三点共线,则k AB ＝k BC ,即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2,整理得a 2－2a －1＝0,解得a ＝1＋2,或a ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 27．如果直线l 1的倾斜角是150°,l 2⊥l 1,垂足为B .l 1,l 2与x 轴分别相交于点C ,A ,l 3平分∠BAC ,则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°,所以∠BCA ＝30°,所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知实数x ,y 满足方程x ＋2y ＝6,当1≤x ≤3时,y －1x －2的取值范围为________． 解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ,y ),N (2,1)两点的直线的斜率,因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上,且1≤x ≤3,所以可设该线段为AB ,且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32,由于k NA ＝－32,k NB ＝12,所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2),B (m,3),求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解：设l 的斜率为k ,倾斜角为α, 当m ＝1时,斜率k 不存在,α＝90°, 当m ≠1时,k ＝3－2m －1＝1m －1,当m ＞1时,k ＝1m －1＞0,此时α为锐角,0°＜α＜90°, 当m ＜1时,k ＝1m －1＜0,此时α为钝角, 90°＜α＜180°.所以α∈(0°,180°),k ∈(－∞,0)∪(0,＋∞)． 10．已知A (3,3),B (－4,2),C (0,－2), (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时,求直线AD 的斜率的变化范围．解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17,直线AC 的斜率为53.(2)如图所示,当D 由B 运动到C 时,直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ,所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[提出问题]平面几何中,两条直线平行同位角相等．问题1：在平面直角坐标中,若l1∥l2,则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等．问题2：若l1∥l2,则l1,l2的斜率相等吗？提示：不一定,可能相等,也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等,则l1与l2一定平行吗？提示：不一定．可能平行也可能重合．[导入新知]对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1∥l2⇔k1＝k2.[化解疑难]对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,l1与l2的倾斜角都是90°,则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1,l2斜率都不存在.[提出问题]已知两条直线l1,l2,若l1的倾斜角为30°,l1⊥l2.问题1：上述问题中,l1,l2的斜率是多少？提示：k1＝33,k2＝－ 3.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直且都有斜率,它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定．[导入新知]如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于－1；反之,如果它们的斜率之积等于－1,那么它们互相垂直,即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.[化解疑难]对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零．[例1] 根据下列给定的条件,判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1),B (－3,5),l 2经过点C (3,－3),D (8,－7)； (2)l 1经过点E (0,1),F (－2,－1),l 2经过点G (3,4),H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°,l 2经过点M (1,3),N (－2,－23)； (4)l 1平行于y 轴,l 2经过点P (0,－2),Q (0,5)．[解] (1)由题意知,k 1＝5－1－3－2＝－45,k 2＝－7＋38－3＝－45,所以直线l 1与直线l 2平行或重合,又k BC ＝5－－－3－3＝－43≠－45,故l 1∥l 2.(2)由题意知,k 1＝－1－1－2－0＝1,k 2＝3－42－3＝1,所以直线l 1与直线l 2平行或重合,k FG ＝4－－3－－＝1,故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知,k 1＝tan 60°＝3,k 2＝－23－3－2－1＝3,k 1＝k 2,所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在,且不是y 轴,l 2的斜率也不存在,恰好是y 轴,所以l 1∥l 2. [类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]1．试确定m 的值,使过点A (m ＋1,0),B (－5,m )的直线与过点C (－4,3),D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD 的斜率存在,则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－m ＋＝m－6－m ,k CD ＝5－30－－＝12,由于AB ∥CD ,即k AB ＝k CD ,所以m －6－m ＝12,得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在,所以m ＝－2.[例2] 已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a －2,－3),直线l 2经过点C (2,3),D (－1,a －2),如果l 1⊥l 2,求a 的值．[解] 设直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2.∵直线l 2经过点C (2,3),D (－1,a －2),且2≠－1, ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时,a －2＝3,则a ＝5,此时k 1不存在,符合题意．当k 2≠0时,即a ≠5,此时k 1≠0, 由k 1·k 2＝－1,得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1,解得a ＝－6.综上可知,a 的值为5或－6. [类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看,就是看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值,进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论．总之,l 1与l 2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时,满足k 1·k 2＝－1.[活学活用]2．已知定点A (－1,3),B (4,2),以A 、B 为直径作圆,与x 轴有交点C ,则交点C 的坐标是________．解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ,则AC ⊥BC .设C (x,0),则k AC ＝－3x ＋1,k BC ＝－2x －4,所以－3x ＋1·－2x －4＝－1,得x ＝1或2,所以C (1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)[例3] 已知A (－4,3),B (2,5),C (6,3),D (－3,0)四点,若顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ,B ,C ,D 四点在坐标平面内的位置,如图所示,由斜率公式可得k AB ＝5－32－－＝13, k CD ＝0－3－3－6＝13,k AD ＝0－3－3－－＝－3,k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ,由图可知AB 与CD 不重合, 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ,所以AD 与BC 不平行． 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形． [类题通法]1．在顶点确定的情况下,确定多边形形状时,要先画出图形,由图形猜测其形状,为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时,仅有k 1＝k 2是不够的,注意排除两直线重合的情况． [活学活用]3．已知A (1,0),B (3,2),C (0,4),点D 满足AB ⊥CD ,且AD ∥BC ,试求点D 的坐标． 解：设D (x ,y ),则k AB ＝23－1＝1,k BC ＝4－20－3＝－23,k CD ＝y －4x ,k DA ＝y x －1.因为AB ⊥CD ,AD ∥BC ,所以,k AB ·k CD ＝－1,k DA ＝k BC,所以⎩⎪⎨⎪⎧1×y －4x ＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10,－6)．8.利用平行或垂直确定参数值[典例] 已知直线l 1经过A (3,m ),B (m －1,2),直线l 2经过点C (1,2),D (－2,m ＋2)． (1)若l 1∥l 2,求m 的值； (2)若l 1⊥l 2,求m 的值． [解题流程]欲求m 的值，需根据l 1∥l 2或l 1⊥l 2列出关于m 的关系式由直线l 1过A 、B 两点，直线l 2过C 、D 两点，求斜率[规范解答]由题知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－m ＋1－－＝－m 3①分若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m3，解得m ＝1或m ＝6，分经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l ③2分若l 1⊥l 2，当k 2＝0②时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；分当k2≠0②时,直线l2的斜率存在且不为0,则直线l1的斜率也存在,且k1·k2＝－1,即－m 3·2－mm－4＝－1,解得m＝3或m＝－4,(10分)所以m＝3或m＝－4时,l1⊥l③2.(12分)[名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值,解答过程不严谨②处讨论k2＝0和k2≠0两种情况③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范[活学活用]已知A(－m－3,2),B(－2m－4,4),C(－m,m),D(3,3m＋2),若直线AB⊥CD,求m的值．解：因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,故m≠－3.当AB与x轴垂直时,－m－3＝－2m－4,解得m＝－1,而m＝－1时,C,D纵坐标均为－1,所以CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意．当AB与x轴不垂直时,由斜率公式得k AB＝4－2－2m－4－－m－＝2－m＋,k CD＝3m＋2－m 3－－m ＝m＋m＋3.因为AB⊥CD,所以k AB·k CD＝－1,解得m＝1.综上,m的值为1或－1.[随堂即时演练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行；②若l1∥l2,则k1＝k2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A 若k1＝k2,则这两条直线平行或重合,所以①错；当两条直线垂直于x轴时,两条直线平行,但斜率不存在,所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,才有这两条直线垂直,所以③错；④正确．2．直线l 1,l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根,则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中,A (0,3)、B (2,－1),E 、F 分别为AC 、BC 的中点,则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点, ∴EF ∥AB .∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2.答案：－24．经过点(m,3)和(2,m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直,则m 的值是________． 解析：由题意可知k l ＝14,又因为k l ＝m －32－m ,所以m －32－m ＝14,解得m ＝145.答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10,l 2经过点A (10,2),B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4),B (3,100),l 2过点M (－10,40),N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1),B (1,0),l 2过点M (－1,3),N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2),B (－3,10),l 2过点M (5,－2),N (5,5)． 解：(1)k 1＝－10,k 2＝3－220－10＝110.∵k 1k 2＝－1,∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°,则l 1⊥x 轴．k 2＝40－4010－－＝0,则l 2∥x 轴,∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝0－11－0＝－1,k 2＝0－32－－＝－1,∴k 1＝k 2.又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1,∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直,∴l 1∥l 2.[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2,－1)和点N (－3,4)的直线平行,则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ,所以k MN ＝k PQ ,即4－－－3－2＝2－2m m －3,解得m ＝－1. 2．以A (－1,1),B (2,－1),C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C 如右图所示,易知k AB ＝－1－12－－＝－23,k AC ＝4－11－－＝32,由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形． 3．已知点A (－2,－5),B (6,6),点P 在y 轴上,且∠APB ＝90°,则点P 的坐标为( )A ．(0,－6)B ．(0,7)C ．(0,－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0,y )．因为∠APB ＝90°,所以AP ⊥BP ,且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52,k BP ＝y －6－6,k AP ·k BP ＝－1,即y ＋52·(－y －66)＝－1,解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0,－6)或(0,7)．4．若A (－4,2),B (6,－4),C (12,6),D (2,12),则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得k AB ＝－4－26－－＝－35,k CD ＝12－62－12＝－35,k AD ＝12－22－－＝53,k AC＝6－212－－＝14,k BD ＝12－－2－6＝－4,所以AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AC ⊥BD .5．已知点A (2,3),B (－2,6),C (6,6),D (10,3),则以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示,易知k AB ＝－34,k BC ＝0,k CD ＝－34,k AD ＝0,k BD ＝－14,k AC ＝34,所以k AB ＝k CD ,k BC ＝k AD ,k AB ·k AD ＝0,k AC ·k BD ＝－312, 故AD ∥BC ,AB ∥CD ,AB 与AD 不垂直,BD 与AC 不垂直． 所以四边形ABCD 为平行四边形． 二、填空题6．l 1过点A (m,1),B (－3,4),l 2过点C (0,2),D (1,1),且l 1∥l 2,则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2,且k 2＝1－21－0＝－1,∴k 1＝4－1－3－m ＝－1,∴m ＝0.答案：07．已知直线l 1的倾斜角为45°,直线l 2∥l 1,且l 2过点A (－2,－1)和B (3,a ),则a 的值为________．解析：∵l 2∥l 1,且l 1的倾斜角为45°,∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1,即a －－3－－＝1,所以a ＝4.答案：48．已知A (2,3),B (1,－1),C (－1,－2),点D 在x 轴上,则当点D 坐标为________时,AB ⊥CD .解析：设点D (x,0),因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0,所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知,k AB ·k CD ＝－1,所以4·－2－0－1－x ＝－1,解得x ＝－9.答案：(－9,0) 三、解答题9．当m 为何值时,过两点A (1,1),B (2m 2＋1,m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2),(0,－7)的直线垂直； (3)与过两点(2,－3),(－4,9)的直线平行？ 解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1,解得m ＝－32,或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2,且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13,解得m ＝32,或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2, 解得m ＝34,或m ＝－1.10．直线l 1经过点A (m,1),B (－3,4),直线l 2经过点C (1,m ),D (－1,m ＋1),当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时,分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时,由于直线l 2的斜率存在,则直线l 1的斜率也存在,则k AB ＝k CD ,即4－1－3－m ＝m ＋1－m －1－1,解得m＝3；当l 1⊥l 2时,由于直线l 2的斜率存在且不为0,则直线l 1的斜率也存在,则k AB k CD ＝－1, 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1,解得m ＝－92. 综上,当l 1∥l 2时,m 的值为3； 当l 1⊥l 2时,m 的值为－92.3．2直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅,力感十足．若以桥面所在直线为x 轴,桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ,那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B (0,b ),斜率为k ,则该斜拉索所在直线上的点P (x ,y )满足什么条件？提示：满足y －bx －0＝k . 问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示,直线l 过定点P (x 0,y 0),斜率为k ,则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程,简称点斜式．(2)说明：如图所示,过定点P (x 0,y 0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x －x 0＝0,或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示,直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b ),则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程,简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0,b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0,y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的,前者是整条直线,后者表示去掉点P (x 0,y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时,方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0,y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同,都是y ＝kx ＋b 的形式,但有区别,当k ≠0时,y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时,y ＝b ,不是一次函数,一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离,可正、可负也可为零．[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．[解析] (1)∵直线平行于y轴,∴直线不存在斜率,∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1,又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l 的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知,所求直线的斜率为2,且过点P(1,2),∴直线方程为y－2＝2(x－1),即2x －y＝0.[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时,直线方程为x＝x0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5),斜率是4；(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°；(3)经过点C(－1,－1),与x轴平行．解：(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．(2)∵直线的倾斜角为45°,∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)∵直线与x轴平行,∴倾斜角为0°,斜率k＝0.∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1),即y＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°,在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3,l 2的方程为y ＝4x －2,直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同,求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°,∴斜率k ＝tan 150°＝－33,由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2, 又∵l ∥l 1,∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2,∴l 在y 轴上的截距b ＝－2,由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时,y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时,y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数或零,而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14,且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3,∴其倾斜角α＝120°,由题意,得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°,故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33,在y 轴上的截距为－5, ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[例3] 当a 为何值时,(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1,k 2,则k 1＝a ,k 2＝a ＋2.∵两直线互相垂直, ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1, 解得a ＝－1.故当a ＝－1时,两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3,k 4, 则k 3＝－1,k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.故当a ＝－1时,两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2,则两直线相交． (2)若k 1＝k 2,则两直线平行或重合, 当b 1≠b 2时,两直线平行； 当b 1＝b 2时,两直线重合．(3)特别地,当k 1·k 2＝－1时,两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况,应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直,则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行,则a ＝________. 解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1,kl 2＝4. ∵l 1⊥l 2,∴4(2a －1)＝－1,解得a ＝38.(2)因为l 1∥l 2,所以a 2－2＝－1,且2a ≠2,解得a ＝－1,所以a ＝－1时两直线平行． 答案：(1)38(2)－17.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0,l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0,当l 1∥l 2时,求m 的值． [解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ,则其斜率k 2＝－m －23,在y 轴上的截距b 2＝－23m . ∵l 1∥l 2,∴l 1的斜率一定存在,即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2,得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m ，解得m ＝－1.∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时,斜率存在且相等,截距不相等．当两条直线的斜率相等时,也可能平行,也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件,尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时,直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2,∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2, 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,3 B ．－3,－3 C ．－3,2 D ．2,－3答案：D2．直线l 经过点P (2,－3),且倾斜角α＝45°,则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3 解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1, ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．过点(－2,－4),倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．解析：α＝60°,k ＝tan 60°＝3, 由点斜式方程,得y ＋4＝3(x ＋2)． 答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．在y 轴上的截距为2,且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________． 解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3, 所求直线与此直线平行,∴斜率为－3,又截距为2,∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1),且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2,－2),且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2,由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1), 即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3,由两直线垂直知,所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2),即x ＋3y ＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1,则( ) A ．直线经过点(－1,2),斜率为－1 B ．直线经过点(2,－1),斜率为－1 C ．直线经过点(－1,－2),斜率为－1 D ．直线经过点(－2,－1),斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)],故直线经过点(－1,－2),斜率为－1.2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知,斜率和截距必须异号,故B 正确．3．与直线y ＝2x ＋1垂直,且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )。
高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.2知识点总结含同步练习及答案
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
直线斜率 直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）．斜率常用小写字母k 表示，即k = tan α． 倾斜角是90∘ 的直线没有斜率．我们得到经过两点P1 (x1 , y 1 )，P2 (x2 , y 2 )(x1 ≠ x2 ) 的直线斜率 公式k = 直线的方程 点斜式：直线 l 经过点P0 (x 0 , y 0 )，且斜率为k ，设点P (x, y) 是直线 l 上不同于点P0 的任意一 点，因为直线 l 的斜率为k ，由斜率公式得k =
y x + = 1 表示 a b
√3 ，与 x 轴交点的横坐标为 −7； 2 （2）过点 P (−1, 2) 且与 x 轴有相同斜率； （3）过点 A(−5, 0) 和点 C (0, 2) ； （4）过点 P (2, 3) ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
（1）斜率为 解：（1）由直线与 x 轴交点的横坐标为 −7，得直线过点 (−7, 0) ，又斜率为 方程为 y − 0 =
x 轴，y 轴上的截距均为 a ，
3. 若直线 ax + by + c = 0 通过第一、二、三象限，则 ( A．ab > 0, bc > 0
答案： D 解析： 由
)
D．ab < 0, bc < 0
B．ab > 0, bc < 0
C．ab < 0, bc > 0
高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评19 Word版含答案.doc
学业分层测评（十九）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·西安高一检测)直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)【解析】 解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴交点坐标为(－2,2)． 【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6D ．24【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B. 【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)． 【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3【解析】 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.【答案】 B 二、填空题6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．【导学号：09960117】【解析】 法一 由⎩⎨⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)， 即3x ＋y ＝0.法二 设所求直线方程为2x －y －5＋λ(x ＋y ＋2)＝0. 即(2＋λ)x ＋(－1＋λ)y －5＋2λ＝0， 则2＋λ3＝－1＋λ1≠－5＋2λ－1，解得λ＝52，则所求直线的方程为92x ＋32y ＝0， 即3x ＋y ＝0.【答案】 3x ＋y ＝07．(2016·潍坊四校联考)点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________．【解析】设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2) 三、解答题8．(2016·珠海高一检测)设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0， 整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0， 由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1， 由⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5， ∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)． 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)．由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34.∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.[自我挑战]10．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )【导学号：09960118】A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．则AC 的方程为y －10－1＝x －31－3， 即x －2y －1＝0. 【答案】 C11．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，如图3-3-2.试用坐标法证明：|AE |＝|CD |.图3-3-2【证明】 如图所示，以B 点为坐标原点，取AC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，则A (－a,0)，C (c,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，3a 2，于是由距离公式，得|AE |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2－(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32c －02 ＝a 2＋ac ＋c 2， 同理|CD |＝a 2＋ac ＋c 2， 所以|AE |＝|CD |.。
高中数学 第三章 直线与方程单元质量测评(含解析)新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第三章 单元质量测评对应学生用书P77 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的X 围是( ) A ．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 答案 B解析 ∵k＝2＞1，即tanα＞1，∴45°＜α＜90°． 2．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．y ＝－x ＋2 B ．y ＝－x －2 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝x －2 答案 A解析 由题可知直线方程为y ＝tan135°·(x－2)，即y ＝－x ＋2． 3．若三点A(4，3)，B(5，a)，C(6，b)共线，则下列结论正确的是( ) A ．2a －b ＝3 B ．b －a ＝1 C ．a ＝3，b ＝5 D ．a －2b ＝3 答案 A解析 由k AB ＝k AC 可得2a －b ＝3，故选A ．4．若实数m ，n 满足2m －n ＝1，则直线mx －3y ＋n ＝0必过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13答案 D解析 由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x ＋2)m＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13，所以此直线必过定点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－13，故选D ．5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 B解析 直线ax ＋y ＋2＝0过定点C(0，－2)，k AC ＝－52，k BC ＝43．由图可知直线与线段没有交点时，斜率－a 的取值X 围为－52＜－a ＜43，解得a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52．6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．5x ＋4y ＋1＝0 B ．5x ＋4y －1＝0 C ．－5x ＋4y －1＝0 D ．－5x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 设所求直线上的任一点为(x′，y′)，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．因为点(x′，－y′)在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x′＋4y′＋1＝0，即所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0．7．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )A ．平行B ．垂直C ．不确定D ．相交 答案 D解析 易知A(2，1)，B(4，2)，原点O(0，0)，∴k OA ＝k OB ＝12，∴直线AB 过原点，同理，C(2，lg 2)，D(4，2lg 2)，k OC ＝k OD ＝lg 22≠12，∴直线CD 过原点，且与AB 相交．8．过点M(1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)．∵M(1，－2)为线段PQ 的中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1，即2x －y －4＝0．故选B ．9．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n)到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.把(1，2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得m ＋2n ＋5＝0， ∴m＝－5－2n ，∴点(m ，n)到原点的距离d ＝ m 2＋n 2＝5＋2n 2＋n 2＝5n ＋22＋5≥5，当n ＝－2时等号成立，此时m ＝－1．∴点(m ，n)到原点的距离的最小值为5．故选A ．10．点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A ． 3 B ．3m C ．3 D ．3m 答案 A解析 由点到直线的距离公式得点F(3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝3．11．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值X 围是(－3，3)，则其斜率的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 在平面直角坐标系中作出点A(1，2)，B(－3，0)，C(3，0)，过点A ，B 作直线AB ，过点A ，C 作直线AC ，如图所示，则直线AB 在x 轴上的截距为－3，直线AC 在x 轴上的截距为3．因为k AB ＝2－01－－3＝12，k AC ＝2－01－3＝－1，所以直线l 的斜率的取值X 围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．12．已知△ABC 的边AB 所在的直线方程是x ＋y －3＝0，边AC 所在的直线方程是x －2y ＋3＝0，边BC 所在的直线方程是2x －y －3＝0．若△ABC 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 联立直线方程，易得A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A ，B ，又两平行直线的斜率为1，直线AB 的斜率为－1，所以线段AB 的长度就是过A ，B 两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l 的方程为________．答案 x ＝3解析 直线y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°．直线l 的倾斜角是已知直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，所以直线l 的倾斜角为90°，直线l 的斜率不存在，所以直线l 的方程为x ＝3．14．直线x 3＋y4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．答案 ±15解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为3t2＋4t2＝1，解得t ＝±15．15．已知点A(2，4)，B(6，－4)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，则实数λ的值为________．答案 58解析 设点P 的坐标为(a ，b)．∵A(2，4)，B(6，－4)，∴|PA|2＋|PB|2＝[(a －2)2＋(b －4)2]＋[(a －6)2＋(b ＋4)2]＝λ，即2a 2＋2b 2－16a ＋72＝λ．又∵点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，∴3a－4b ＋3＝0，∴509b 2－803b ＋90＝λ．又∵满足|PA|2＋|PB|2＝λ的点P 有且仅有1个，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8032－4×509×(90－λ)＝0，解得λ＝58．16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x≥a，－x ＋a －1，x<a ，所以该函数的大致图象如图所示．又直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－12．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知Rt△ABC 的顶点坐标A(－3，0)，直角顶点B(－1，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求斜边所在直线的方程．解 (1)解法一：依题意，Rt△ABC 的直角顶点坐标为B(－1，－22)， ∴AB⊥BC，∴k AB ·k BC ＝－1．又∵A(－3，0)，∴k AB ＝0＋22－3－－1＝－2，∴k BC ＝－1k AB ＝22，∴边BC 所在的直线的方程为y ＋22＝22(x ＋1)，即x －2y －3＝0． ∵直线BC 的方程为x －2y －3＝0，点C 在x 轴上，由y ＝0，得x ＝3，即C(3，0)． 解法二：设点C(c ，0)，由已知可得k AB ·k BC ＝－1，即0＋22－3－－1·0＋22c ＋1＝－1，解得c ＝3，所以点C 的坐标为(3，0)． (2)由B 为直角顶点，知AC 为直角三角形ABC 的斜边． ∵A(－3，0)，C(3，0)，∴斜边所在直线的方程为y ＝0．18．(本小题满分12分)点M(x 1，y 1)在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x 1∈[2，5]时，求y 1＋1x 1＋1的取值X 围． 解y 1＋1x 1＋1＝y 1－－1x 1－－1的几何意义是过M(x 1，y 1)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．点M 在直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A(2，4)，B(5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y 1＋1x 1＋1≤53，∴y 1＋1x 1＋1的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53． 19．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．解 (1)联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，则两直线的交点为P(－2，2)．∵直线x －2y －1＝0的斜率为k 1＝12，所求直线垂直于直线x －2y －1＝0，那么所求直线的斜率k ＝－112＝－2，∴所求直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0．(2)对于方程2x ＋y ＋2＝0，令y ＝0则x ＝－1，则直线与x 轴交点坐标A(－1，0)， 令x ＝0则y ＝－2，则直线与y 轴交点坐标B(0，－2)， 直线l 与坐标轴围成的三角形为直角三角形AOB ， ∴S＝12|OA||OB|＝12×1×2＝1．20．(本小题满分12分)一条光线经过点P(2，3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求：(1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P 到Q 所经路线的长度．解 (1)设点Q′(x′，y′)为点Q 关于直线l 的对称点，QQ′交l 于点M ．∵k l ＝－1，∴k QQ′＝1， ∴QQ′所在直线的方程为y －1＝1·(x－1)， 即x －y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－12，∴交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x′2＝－12，1＋y′2＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2，y′＝－2，∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l 交于点N ，则P ，N ，Q′三点共线， 又∵P(2，3)，Q′(－2，－2)，∴入射光线所在直线的方程为y －－23－－2＝x －－22－－2，即5x －4y ＋2＝0．(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝[2－－2]2＋[3－－2]2＝41，即这条光线从P 到Q 所经路线的长度为41．21．(本小题满分12分)设直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．解 设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点分别为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋2y C －1＝0，x C －y C －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)⎩⎪⎨⎪⎧x D ＋2y D －3＝0，x D －y D －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23． 则C ，D 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 即直线l 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13． 又直线l 经过点(－1，1)，由两点式得直线l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43，即2x ＋7y －5＝0． 22．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510．(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶5．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72．又因为a ＞0，解得a ＝3．(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0．若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0． 若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①．所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
2019秋高中数学 第三章 直线与方程 评估验收(三)(含解析)新人教A版必修2.doc
评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由3x ＋y ＋1＝0，知直线的斜率为－3， 所以tan α＝－3，则倾斜角α＝120°. 答案：D2．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则定点坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(3，1)D ．(3，－1)解析：直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4＝0，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即定点为(3，－1)． 答案：D3．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 6 C ．2D. 2解析：由k AB ＝1，得b －a ＝1，所以|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝1＋1＝ 2. 答案：D4．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23 B ．－1 C ．2D ．－1或2解析：由a ×1＋2×(a －1)＝0，得a ＝23.答案：A5．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x ＋3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：因为直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，故可设l 的方程为3x ＋2y ＋b ＝0，又因为直线l 过点(－1，2)，所以－3＋4＋b ＝0，即b ＝－1. 故所求直线l 的方程为3x ＋2y －1＝0. 答案：A6．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：易知k PA ＝－4，k PB ＝34，画图观察可知k ≥34或k ≤－4.答案：A7．已知直线x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意知所给两条直线平行，所以n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式， 得d ＝|m ＋3|12＋（－2）2＝|m ＋3|5＝ 5. 解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝0. 答案：B8．已知定点P (－2，0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：把直线l 的方程化为x ＋y －2＋λ(3x ＋2y －5)＝0， 则直线l 过直线x ＋y －2＝0与3x ＋2y －5＝0的交点． 设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，解得Q (1，1)， 所以点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝（1＋2）2＋12＝10. 故点P 到直线l 的距离的最大值为10. 答案：B9．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0，1)关于直线x ＝3的对称点(6，1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：D10．直线l 1与直线l 2：2x －3y －10＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．5B ．－5 C.152D ．－152解析：依题意得直线l 2：2x －3y －10＝0与x 轴的交点为(5，0)，斜率kl 2＝23.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率kl 1＝－32.于是直线l 1的方程为y ＝－32(x －5)，即3x ＋2y －15＝0.令x ＝0，得y ＝152，即直线l 1在y 轴上的截距是152.答案：C11．若在直线y ＝－2上有一点P ，它到点A (－3，1)和B (5，－1)的距离之和最小，则该最小值为( )A ．2 5B ．4 5C ．5 2D ．10 2解析：如图所示，点B (5，－1)关于直线y ＝－2的对称点为B ′(5，－3)，设AB ′交y ＝－2于点P ，因为|PB |＝|PB ′|，所以|PA |＋|PB |＝|PA |＋|PB ′|.所求最小值即为|AB ′|，|AB ′|＝（5＋3）2＋（－3－1）2＝4 5. 答案：B12．如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A ′(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A ′(－2，0)两点间的距离．于是|A 1A ′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________．解析：设P (x ，1)，则Q (2－x ，－3)，将点Q 的坐标代入x －y －7＝0，得2－x ＋3－7＝0. 所以x ＝－2，所以P (－2，1)， 所以k l ＝－23.答案：－2314．由点P (2，3)发出的光线射到直线x ＋y ＝－1上，反射后过点Q (1，1)，则反射光线所在直线的一般式方程为________________．解析：设点P 关于直线x ＋y ＝－1的对称点为P ′(x 0，y 0)，则P ′(x 0，y 0)满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋22＋y 0＋32＝－1，y 0－3x 0－2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－3，所以点P ′的坐标为(－4，－3)．所以由直线的点斜式方程可求得反射光线所在直线方程为y －1＝－3－1－4－1·(x －1)，即4x －5y ＋1＝0. 答案：4x －5y ＋1＝015．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：设P (m ，n )，原点为O ，则|OP |2＝m 2＋n 2，显然|OP |的最小值即为点O 到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ，且d ＝|2c |a 2＋b2＝2ca 2＋b2＝2cc＝2.所以m 2＋n 2的最小值为4. 答案：416．已知平面上一点M (5，0)，若在某一直线上存在点P 使得|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝1；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：看所给直线上的点到定点M 的距离能否取4，可通过各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析；①d ＝5＋12＝32＞4，故直线上不存在到点M 的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”；②d ＝1＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；③d ＝205＝4，所以直线上存在一个点P ，到点M 的距离等于4，该直线是“切割型直线”；④d ＝115＝1155＞4，故直线上不存在到点M的距离等于4的点P ，该直线不是“切割型直线”．答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1满足下列条件？(1)倾斜角为45°；(2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1或m ＝1(舍去)．直线方程为2x －2y －5＝0，符合题意，所以m ＝－1. (2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12或m ＝2，当m ＝－12或m ＝2时都符合题意，所以m ＝－12或m ＝2.18．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1. (1)求证：直线l 过定点；(2)当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．证明：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)．若当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x 轴上方，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）≥0，f （3）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0.解得－15≤k ≤1.故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1. 19．(本小题满分12分)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1，3)和点B (5，2)的距离相等，求直线l 的方程．解：法一 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)． 即kx －y －3k －1＝0.则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1，解得k ＝－14.所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意，故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.法二 同法一求得两直线的交点为(3，－1)．由直线l 与A ，B 的距离相等，可知l ∥AB 或l 过AB 的中点，所以由l ∥AB ，得l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0.由l 过AB 的中点，得l 的方程为x ＝3. 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求．法三 设直线l 的方程为3x －y －10＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(3＋λ)x ＋(λ－1)y －10－2λ＝0， 由题意，得|（3＋λ）＋3（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2＝|5（3＋λ）＋2（λ－1）－10－2λ|（3＋λ）2＋（λ－1）2. 解得λ＝－133或λ＝1.故所求的直线l 的方程为x ＋4y ＋1＝0或x ＝3.20．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1，0)． 因为直线y ＝0为∠A 的平分线， 故k AC ＝－k AB ＝－2－01＋1＝－1.于是，直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0. 因为BC 边上的高所在直线的斜率为12，所以k BC ＝－2.于是BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6. 所以点C 的坐标为(5，－6)．21．(本小题满分12分)直线l 经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点．(1)若直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，求直线l 的方程； (2)点A (3，1)到直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，所以两直线的交点M (－2，2)．(1)设直线l 的方程为3x ＋y ＋c ＝0(c ≠－1)， 把点(－2，2)代入方程，得c ＝4， 所以直线l 的方程为3x ＋y ＋4＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－2， 此时点A (3，1)到直线l 的距离为5，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋2＝0，则点A (3，1)到直线l 的距离d ＝|3k －1＋2k ＋2|k 2＋1＝|5k ＋1|k 2＋1＝5，所以k ＝125，则直线l 的方程为12x －5y ＋34＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或12x －5y ＋34＝0.22．(本小题满分12分)已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0，0)，M (0，3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：如图，设点O (0，0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点O ′(x ，y )，则y x ·2＝－1，且2·x 2－y 2＋1＝0，由此得O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25， 则直线MO ′的方程为y －3＝134x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝134x ，2x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－115，即P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－115，||PO |－|PM ||≤|MO ′|＝1855， 即||PO |－|PM ||的最大值为1855.。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
∴ 3 2 (2-3 k)=24. 解得 k=- 2 . ∴所求直线方程为 y -2=- 2 ( x -3). 即 2x+3y-12=0.
k
3
3
9. 已知线段 PQ两端点的坐标分别为（ -1 ， 1）、（ 2， 2），若直线 l ：x +my+m=0 与线段 PQ有交点，求 m的取
值范围 .
解 方法一 直线 x+my+m=0 恒过 A（0，-1 ）点 .
必修二 第三章 直线与方程来自（1）直线的倾斜角定义： x 轴 正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与
x 轴平行
或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤ α＜ 180°
（2）直线的斜率
①定义： 倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
程.
解 方法一 设直线 l 的方程为 x a
∴ A( a,0), B(0, b),
y 1 （ a＞ 0, b＞ 0）, b
ab 24,
∴3 2
解得 a 6,
1.
b 4.
ab
∴所求的直线方程为
x
y =1, 即 2x +3y-12=0.
64
方法二 设直线 l 的方程为 y -2= k ( x -3),
令 y =0, 得直线 l 在 x 轴上的截距 a=3- 2 , 令 x=0, 得直线 l 在 y 轴上的截距 b=2-3 k. k
ab 的 截距 分别为 a,b 。
⑤一般式： Ax By C 0 （ A， B 不全为 0）
注意： ○1 各式的适用范围
○2 特殊的方程如：
平行于 x 轴的直线： y b （ b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： x
2020高中数学人教A版必修二 第三章 直线与方程 学业分层测评19 Word版含答案
学业分层测评（十九）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2016·西安高一检测)直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2， ∴交点坐标为(－2,2)．【答案】 C2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24 【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.【答案】 C3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，∴三角形为等腰三角形．故选B.【答案】 B4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)【解析】 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2,3)． 【答案】 B5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )A ．－3，－4B ．3,4C ．4,3D ．－4，－3 【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4. 【答案】 B二、填空题6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．【解析】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3， 则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)，即3x ＋y ＝0.法二 设所求直线方程为2x －y －5＋λ(x ＋y ＋2)＝0.即(2＋λ)x ＋(－1＋λ)y －5＋2λ＝0，则2＋λ3＝－1＋λ1≠－5＋2λ－1，解得λ＝52， 则所求直线的方程为92x ＋32y ＝0， 即3x ＋y ＝0.【答案】 3x ＋y ＝07．(2016·潍坊四校联考)点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________．【解析】 设对称点坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)． 【答案】 (5,2)三、解答题8．(2016·珠海高一检测)设直线l 经过2x －3y ＋2＝0和3x －4y －2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．【解】 设所求的直线方程为(2x －3y ＋2)＋λ(3x －4y －2)＝0，整理得(2＋3λ)x －(4λ＋3)y －2λ＋2＝0，由题意，得2＋3λ3＋4λ＝±1， 解得λ＝－1，或λ＝－57.所以所求的直线方程为x －y －4＝0，或x ＋y －24＝0.9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．【解】 若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5， ∴x ＝1为所求；当l 不与x 轴垂直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2(k ≠－2)． 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝5， 解得k ＝－34. ∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.[自我挑战]10．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)． 则AC 的方程为y －10－1＝x －31－3， 即x －2y －1＝0.【答案】 C。
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学业分层测评（十九）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．(2016·西安高一检测)直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点坐标是( )
A ．(2,2)
B ．(2，－2)
C ．(－2,2)
D ．(－2，－2)
【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，
2x ＋y ＋2＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，
∴交点坐标为(－2,2)．
【答案】 C 2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为
( )
A ．－24
B ．6
C ．±6
D ．24
【解析】 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.
【答案】 C
3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形 【解析】 ∵|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝32，
∴三角形为等腰三角形．故选B.
【答案】 B
4．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，则这个定点是( )
A ．(2,3)
B ．(－2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－12 D ．(－2,0)
【解析】 直线化为a(x ＋2)－x －y ＋1＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，
－x －y ＋1＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，
y ＝3，所以直线过定点(－2,3)．
【答案】 B
5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( )
A ．－3，－4
B ．3,4
C ．4,3
D ．－4，－3
【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －8＝0，
x －2y ＋3＝0，得交点B(1,2)，代入方程ax ＋by －
11＝0中，有a ＋2b －11＝0①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝
0，所以－a b ＝－34②，11b ≠12
③.由①②③，得a ＝3，b ＝4. 【答案】 B
二、填空题
6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．
【09960117】
【解析】 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，
x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－3，
则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)，
即3x ＋y ＝0.
法二 设所求直线方程为2x －y －5＋λ(x ＋y ＋2)＝0.
即(2＋λ)x ＋(－1＋λ)y －5＋2λ＝0，
则2＋λ3＝－1＋λ1≠－5＋2λ－1，解得λ＝52
， 则所求直线的方程为92x ＋32
y ＝0， 即3x ＋y ＝0.
【答案】 3x ＋y ＝0
7．(2016·潍坊四校联考)点P(－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________．。