第4讲 立体的投影

A s
●
S O
●
O1
●
s

k(n)
●
(n)
k

n● s

如何在圆锥面 过锥顶作 上作直线？ 一条素线。 圆的半径？
k
（3）、 圆锥的转向轮廓线
主视转 向线 侧视转向线
（4）圆锥表面上取点
S’ S”
(2’)
(2”)
a’ a 2 s
y
y
（5）圆锥表面上取线
S’ S”
2” 2’ 3’
a"
C S B A
s
2'
a
B A
C
s'
三棱锥表面上取点3
s"
(3 ')
3"
S
3
b' b
a' e’c' e c 3 s
(c") b"
a"
C B A
a
s'
s"
(3”)
3’ 2’ 1’
2”
1” b" (c") y1
y3
b'
d’ b d 1
a'
e’
c'
a"
s 2 a
3
cy y 3 1 e y2
y2
3.1.2 平面与平面立体表面相 交
（3”）
s
2
3
3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的投影
三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。
（3）、 圆球的转向轮廓线
主 视 转 向 线
侧视 转向 线
俯视 转向 线
（4）圆球表面上取点
1”
y
圆的半径？
辅助圆法
y
3.2.2 平面与回转体表面相交
A
s'
4、三棱锥表面上取点1
s"
同样采用平面上取点法。
S
r' 1'
1"
b' b
a'
r
c'
c
(c") b"
a"
R I C
1s
B
S
B A
a
C A
s'
s"
S
1' 1"
b' b
e’ a'
c'
c
(c")b"
y y B
a" I C
s
e
E
A
a
s'
2'
三棱锥表面上取点2
s"
2"
S
2
b' b
a'
c'
c
(c") b"
求作截交线的三面投影。
例2:求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。
例3:
5'(6')
4'(3')
3"
6"
4" 5"
1'(2')
2"
1"
2
3
3
1
6
2
6 5 1
4
5
4
例4
6' 4'(5') 1' 5" 6" 求立体截切后的投影 4" 3" 1" 2"
2'(3')
6 3 5 1 2 4 6 1 5
例4：求左视图
例5：求俯视图
三.平面与圆锥相交
• 根据截平面与圆锥轴线的相对 位置有五种情况，截交线有五种形 状：
1。截平面与圆锥面的轴线垂直。 2。截平面与圆锥面的轴线倾斜 且倾斜角大于椎角。 3。截平面与圆锥面的素线相平行。
4。截平面与圆锥面的轴线倾 斜且倾斜角小于或等于椎 角。 5。截平面通过圆椎面的椎顶。
磨床顶尖
圆锥
圆柱
完成磨床顶针的视图
结束
基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
3.1平面立体的投影
• 工程上常用的平面立体是棱柱和棱锥(包括棱 台)。
• 立体的投影可不画投影轴。只要按照各 点的正面投影和水平投影位于铅垂的投 影连线上．正面投影与侧面投影位于水 平的投影连线上，以及任两点的水平投 影和侧面投影保持前后方向的宽度相等 和前后对应的三条原则绘图，投影轴是 不必画的。
二.平面与圆柱相交
• 平面与圆柱面的轴线有三种情况：平行、垂直、倾斜。
• 因此平面与圆柱面的交线有三种情况。
• 第一种情况：截平面与圆柱面的轴线平行。
截交线是一对平行直线（素线）
• 第一种情况：截平面与圆柱面的轴线垂直。
截交线是圆（纬圆）
• 第一种情况：截平面与圆柱面的轴线倾斜。
截交线是椭圆
一、截切的概念及基本形式 二、平面截切体的画图
一、截切的概念及基本形式
截切:用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
截交线的性质：
⒉ 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置 —— 确定截交线的形状 ☆ 截平面与投影面的相对位置 —— 确定截交线的投影特性
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交线，并连接 成多边形。
s'
s"
a'
b'
c' c
c"
a"
b"
a
s 例1:已知三棱锥SABC和正垂的截平面P， b
高
1.视图的概念
长
宽
2.三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
三等关系
宽
长对正 高平齐 宽相等
3.三视图之间的方位对应关系
上
左 右 后
上
前
下 后 左
前
下 右
主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后
平面立体
1、棱柱的投影特性 2、棱锥的投影特性 3、 棱柱表面上取点 4、 棱锥表面上取点
1、棱柱 ⑴ 棱柱的组成
由两个底面 和几个侧棱面组 成。侧棱面与侧 棱面的交线叫侧 棱线，侧棱线相 互平行。
⑵ 棱柱的三视图
在图示位置时，六棱柱的两 底面为水平面，在俯视图中反映 实形。前后两侧棱面是正平面， 其余四个侧棱面是铅垂面，它们 的水平投影都积聚成直线，与六 边形的边重合。
截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的 点也都是它们的共有点。可用在曲面立体表面上取线和点的 方法作截交线。 • 求共有点的方法： 1、利用投影的积聚性 2、素线法 3、纬圆法 4、辅助平面
作图步骤:截交线上有一些能确定截交线的形状和范围的
特殊点，包括曲面投影的转向轮廓线上的点，交线在对称轴 上的顶点，以及最高、最低、最左、最右、最前、最后点等。 求作曲面立体的截交线时，通常先作出这些特殊点，然后按 需要再作一些一般点，最后判断可见性，连成截交线的投影。
4
3 2
例5:作有正方形通孔的六棱柱被正垂面截断后的侧面投影。
例6:求立体截切后的投影
1 ' （2 ' ）
2" 1" 4" 3" 5" 2 4 1 3 5
3 ' （4 ' ）
5 ' （6 ' ） 6 4 3 5 2 1 6"
6
3.2 曲面立体的投影 曲面立体
• 曲面立体由曲面或曲面和平面所围成。 • 有的曲面立体有轮廓线．即表面之间的交线．如 圆柱的顶面与圆住面的交线圆； • 有的曲面立体有尖点．如圆锥的锥顶； • 有的曲面、立体全部由光滑的曲面所围成．如球。 • 在画曲面的投影时．除了画出轮廓线和尖点外， 还要画出曲面投影的转向轮廓线．
• [例] 球被正垂面截去左上方，补全球被截断后的截交线．
五. 复合回转体的截切
首先分析 复合回转体由 哪些基本回转 体组成以及它 们的连接关系， 然后分别求出 这些基本回转 体的截交线， 并依次将其连 接。
a’ c’ d’ b’
d”
c
复合回转体的截切
[例3] 补全回转体被铅垂平面切割后其截交线的正面投影
圆柱截交线例题:
圆柱截交线[例1]
1' 2'3' 4'5' 5" 3" 1" 2"
4" 3
6'7 '
8' 5
1"
2 4
7" 8"
6" 5 7
7
8
2
1
8"
6 4 3
6
[例2] 如图，补全其水平投影作出截交线
这是平面与圆柱面的轴线倾斜的例子
• 截交线是椭圆
[例3][例]补全接头的正面投影和水平投影
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形， 其形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截 切位置。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线 ——求截交线的实质是求两平面的交线。 多边形的边数取决于截平面截到的棱面数。
二、平面截切体的画图
⒈ 求截交线的两种方法：