应用统计学试题2005.6(A)(参考答案)

华东理工大学2004–2005学年第二学期
《应用统计学》课程期末考试试卷 A 2005.6
开课学院：商学院，考试形式：开卷，所需时间： 120 分钟
考生姓名：学号：专业：班级
一、某橡胶配方试验分析（30分）
对某种橡胶配方进行研究，目的是提高其弯曲次数（越多越好），现考察三个二水平因子，选取因素水平表如下。

试验除考察三个因素的作用外，还要考察B×C的交互作用。

选用L 8 ( 2 7 ) 表安排试验，试验计划和试验结果见表1。

表1 试验计划和试验结果
经SPSS软件的计算，列表如下，请根据计算结果表格进行分析。

表2 ANOVN
（1）表2中有些数据没给出，请根据方差分析表的原理将其计算出来，给出计算过程。

源于因子C的误差平方和＝1.718-0.781-0.031-0.781-0.094=0.031
均方和V A＝0.781/1=0.781
F A=0.781/0.031=25
（2）由表2分析哪些因子是显著的，给出理由。

因子A 是显著的，因为其P=0.015<0.1
因子B * C 是显著的，因为其P=0.015<0.1
（3）由表2和表3分析出该橡胶最优配方条件，给出理由。

该橡胶最优配方条件：A 2B 1C 2
因为121.750 2.375A A μμ=<=
在因子B 和C 的组合中，12 2.5B C μ=最大
（4）根据表1，得出在该橡胶最优配方条件下生产出的橡胶弯曲次数，给出理由。

在该橡胶最优配方条件下生产出的橡胶弯曲次数为3万次，因为因子A 、B 和C 的水平分别取2、1和2时所对应的试验结果为3万次。

二、医院工作满意程度研究（30分）
某医院管理工作者希望了解病人对医院工作的满意程度Y和病人的年龄X1、病情的严重程度X2和忧虑程度X3之间的关系。

他们随机选取了23位病人，得到下表所列数据：
经SPSS软件的计算，得到下列计算结果：
表4 Variables Entered/Removed(a)
a: Dependent Variable: Y
表5 ANOVA(c)
a: Predictors: (Constant), X1; b: Predictors: (Constant), X1, X3; c: Dependent Variable: Y
表6 Coefficients(a)
a: Dependent Variable: Y
表7 Variables Entered/Removed(a)
a: Dependent Variable: RY
表8 ANOVA(b)
a: Predictors: (Constant), RX1*RX2; b: Dependent Variable: RY
表9 Coefficients(a)
a: Dependent Variable: RY
（1）利用SPSS 计算结果，建立Y 关于X 1，X 2，X 3的逐步回归方程
13
ˆ147.431 1.034X 19.189X Y =-⋅-⋅ （2）利用SPSS 计算结果，建立RY 关于RX 1、RX 2、RX 3及它们的平方项RX 11,RX 22,RX 33，相互乘积项RX 12,RX 13,RX 23的R 逐步回归方程。

1217.3900.033 RY RX RX ∧
-⋅⨯＝
（3）试用上面所求得的两个回归方程，计算第3点、第22点的残差。

①由13ˆ147.431 1.034X 19.189X Y =-⋅-⋅得322ˆˆ63.86575,46.29844Y Y == 则第3点残差33ˆ80.0063.8657516.13425Y Y -=-= 第22点残差2222
ˆ52.0046.29844 5.70156Y Y -=-= ②根据1217.3900.033 RY RX RX ∧
-⋅⨯＝计算残差 第3点对应的12()12.000,() 6.000R X R X ==， 则3()17.3900.03312615.014R Y ∧
=-⨯⨯=，其对应的
3(15)(16)(15)3
ˆ()(()15)67(7767)(15.01415)67.14Y Y Y Y R Y ∧
=+-⨯-=+-⨯-= 则第3点残差33
ˆ80.0067.1412.86Y Y -=-= 第22点对应的12()17.000,()22.000R X R X ==， 则2217.3900.03317 22 5.048R Y ∧
-⨯⨯=＝，其对应的
22(5)(6)(5)22
ˆ()(()5)48(4948)(5.0485)48.048Y Y Y Y R Y ∧
=+-⨯-=+-⨯-= 则第22点残差2222
ˆ5248.048 3.952Y Y -=-= （4）试利用R 回归方程 ，求出X 1=54，X 2=52，X 3=2.2时，Y 的预测值。

X 1=54，X 2=52，X 3=2.2对应的1(22)1
1(23)1(22)1
5453()222222.55553
X X
R X X X
--=+
=+
=--，
2()16R X =
则17.3900.03322.5 16 5.51RY ∧
-⨯⨯=＝，其预测值为
(5)(6)(5)
ˆ()(()5)48(4948)(5.515)48.51Y Y Y Y R Y ∧
=+-⨯-=+-⨯-=
三、主成分回归分析（40分）
某科学基金会的管理人员希望估价从事数学研究工作的中等或较高水平的数学家的年工资额Y与他们的研究成果（论文、著作）的质量指标X1，从事研究工作的时间X2以及能成功获得资助的指标X3之间的关系，为此按一定的试验设计
经SPSS软件的计算，得到下列计算结果：
表10 Descriptive Statistics
表11 Total Variance Explained
Extraction Method: Principal Component Analysis.
表12 Component Matrix(a)
Extraction Method: Principal Component Analysis; a: 2 components extracted.
表13 Component Score Coefficient Matrix
Extraction Method: Principal Component Analysis. Component Scores.
表14 Variables Entered/Removed
(b)
a: All requested variables entered.; b: Dependent Variable: Zscore(Y)
表15 ANOVA (b)
a: Predictors: (Constant), REGR factor score 2 for analysis 1 , REGR factor score 1 for analysis 1
b: Dependent Variable: Zscore(Y)
表16 Coefficients (a)
a: Dependent Variable: Zscore(Y)
（1）根据表10，可将因变量Y 和自变量X 1、 X 2、 X 3作“标准化”变换，请写出其标准化变量Z X 1、 ZX 2、 ZX 3 、Z Y 的数学表达式。

11
122
2121233
333
5.3624.961.2911.22
5.9939.501.30
5.47
Y
X X X X X X ZX ZX X X X Y Y
Y ZX ZY σσσσ----==
==
----=
=
=
=
（2）根据表11，请写出前两个特征值及其对应主成分的贡献率。

第一个特征值1 2.330λ=，其对应主成分的贡献率为77.674%
第二个特征值20.662λ=，其对应主成分的贡献率为22.069%
（3）根据表13所示的因子得分系数矩阵，请写出前两个特征值所对应的两个经标准化处理的主成分的表达式。

（即两个主成分12,f f 分别关于标准化变量Z X 1、 ZX 2、 ZX 3的关系式）
11232123
0.5570.2780.5470.150 1.1020.128f ZX ZX ZX f ZX ZX ZX =⋅-⋅+⋅=-⋅+⋅-⋅
（4）根据表12所示的因子负荷矩阵，对这两个主成分12,f f 的意义作一个合理的解释。

主成分1f 表示数学家的研究成果和能成功获得资助的情况，实际是说明了其科研能力；
主成分2f 表示数学家从事科研工作的时间。

（5）根据表16，求标准化变量ZY 关于主成分12,f f 的回归方程，并化为Y 关于X 1、 X 2、 X 3的回归方程。

12123123123
3120.5010.759ˆ39.500.501(0.5570.2780.547)5.47
0.759(0.150 1.1020.128)
ˆ39.50.91 3.82 1.15 5.995.3624.96ˆ39.50.91 3.82 1.151.2911.22ZY f f Y ZX ZX ZX ZX ZX ZX Y ZX ZX ZX X X X Y
∧
=⋅+⋅-=⋅⋅-⋅+⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=+⋅+⋅+⋅---=+⋅+⋅+⋅1
2
3
1.30
ˆ21.9220.7050.340.885Y
X X X =+++。