信息论与编码(第二版)陈运主编课件第六章 (2)

6-1 dmin=2
R3 R3 R2 , R1 R1 R3 , R1 R3
（5，3）线性分组码码例
消息m
G生成码字 Gs生成码字 对偶码码字
000 001 010 011 100 101 110 111
00000 11010 01011 10001 10110 01100 11101 00111
00000 00111 01011 01100 10001 10110 11010 11101
线性分组码的生成矩阵
1 0 0 q11q12 q1,n k 0 1 0 q21q22 q1,n k G I k Qk r 0 01 qk 1qk 2 q1,n k k n
例6.2.1 3重复码是一个（3，1）线性分组码
G 1 1 1
c0 , c1, c2 m0 1
1 1 m0 , m0 , m0
例6.2.2（4，3）偶校验码是一个（4，3）线性分 组码
1 0 0 1 G 0 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 c0 , c1 , c2 , c3 m0 , m1 , m2 0 1 0 1 m0 , m1 , m2 , m0 m1 m2 0 0 1 1
00000 11101 01110 10011
由一致校验矩阵可以比较容易确定线性分组码 的最小码距 d min 定理 线性分组码的最小码距为 d min d ，当 且仅当其一致校验矩阵H中任意d 1 列线性无 关，某 d 列线性相关。 该定理实际给出了计算线性分组码最小码距的一 种方法。
作业
0 0 c n 1 0 hn k 1,n 1 hn k 1,n k 1 1 0 c n 2 0 hn k 2,n 1 hn k 2,n k 0 h h01,n k 0 0 1 c 0 0 0, n 1
n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来
c nk 1 hnk 1,n1 c n1 hnk 1,n2 c n2 hnk 1,nk c nk c nk 2 hnk 2,n1 c n1 hnk 2,n2 c n2 hnk 2,nk c nk c0 h0,n1 c n1 h0,n2 c n2 h0,nk c nk
例题

（7，4）线性码的生成矩阵如下，列出所有许 用码组。
G47
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
性质
（1）零向量 0,0,,0一定是一个码字，称为 零码字； （2）任意两码字的和仍是一个码字； （3）任意码字 是 G 的行向量的线性组合； （4）线性分组码的最小距离等于最小非零码字重 量；
1 1 H 1 0
0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
监督矩阵与生产矩阵的关系
cH
T
由 G 的每一行都是一个码字有
G Gs I k Qkr
H H s [Qkr , I r ]
c
（5）G的每一行都是一个码字； （6）消息相加后的编码等于各自编码后相加；
来自百度文库
d min min wc c

补充线性分组码的监督矩阵
监督矩阵
cn1 cn2 cnk cnk 1 cnk 2 c0
k个信息位 nk个校验位
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 0 1 1, H 0 1 1 1 0 Gs s 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
EERRRR
其中 G 到 Gs 的行初等变换过程为（ Ri 表示第i 行），
纠错码的分类

根据对信息码元处理方法的不同分为：
分组码：信息序列以每k个码元进行分组，每组k 个信息元按一定规律产生r个监督码元，输出序列 长为n=k+r，r只与k个信息位有关， 记（n，k）。分组码分为循环码和非循环码 卷积码：以k个码元分段，r不仅与k个信息位有关， 还与前面L段的信息元有关， 记为（n，k，L）。
信息论与编码
Information Theory and coding
内蒙古工业大学 电子信息工程系
§6.2 线性码
§6.2.1 线性分组码的描述
§6.2.2 线性分组码的译码 §6.2.3 码例与码的重构
纠错码的分类


根据信息元和监督元之间的关系分为：
线性码：信息元与监督元之间呈线性，可用一 组线性方程 联系起来； 非线性码：信息元与监督元之间不具有线性关 系。
校验矩阵 ( n k行，n列)
校验矩阵H与任意一个码字之积为零，因此有
H G 0
T
1 c 3 1 c 6 0 c 5 1 c 4 1 c 1 c 1 c 1 c 2 6 5 4 1 c1 1 c 6 0 c 5 0 c 4 1 c 0 0 c 6 1 c 5 1 c 4
其中m为任意的k维向量并称为消息向量。
线性分组码的生成矩阵
G是k行n行列秩为k（n≥k）的矩阵称为 生成矩阵，
g11 g12 g1,n g 21 g 22 g 2,n 行初等变换 G g k ,1 g k2 g k ,n k n
线性分组码

线性分组码：通过预定的线性运算将长为k 的信息码组变成长为n的码字（n>k），由2k 个信息码组组成的集合称为线性分组码。

（n，k）线性码：信息位长k，码字长n， k 监督位r=n-k，编码效率 n
线性分组码的矩阵描述
一个（n,k）线形分组码 C是称为码字c的n维向量的集合 C={c| c=mG}
T
GH 0kr
T
系统码：生成矩阵
G Gs I k Qkr 对于系统码相应的一致校验矩阵 H s
H H s [Qkr , I r ]
T
G
具有如下形式
对偶码： 以线性分组码的一致校验矩阵为生成矩阵称
为原线性分组码的对偶码。
例6.2.3一个（5，3）线性分组码的G, Gs , H s