信息论与编码(第二版)陈运主编课件第六章 (2)
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信息论与编码(第二版)陈运主编课件第六章 (3)
x xa x i i a x x a x
a
1
mod x 1
n
mod x 1
n
定理： （n,k）循环码C( x)中存在唯一的一个
非零的，首一的和最低次为r（r<n）的码
多项式g(x)满足： g(x)=xr+gr-1xr-1+….+g X+g0
1
信息论与编码
Information Theory and coding
内蒙古工业大学 电子信息工程系 宋丽丽
Email: songlili@
§6.3.1 循环码的多项式描述
§6.3.2循环码的生成矩阵 §6.3.3系统循环码
循环码
循环码是采用循环移位特性界定的一类线性分组码。 编码设备不太复杂，而且检纠错能力较强。
循环码的定义
定义
如果一个线性分组码的任意一个码字c(n 元组)都是另外一个码字c’的循环移位,称 此线性分组码为一个循环码.
例 6.3.2 如下确定的CA是线性循环码，CB是非 循环的线性分组码，CC是非线性的循环码。
， ，
循环码的多项式描述
将循环码的码字用多项式c(x)， 称为码多项式（简称码式）表示后，循环码集合 表示C(x),
k n
(n,k)循环码的校验矩阵为
hk , hk 1 , 0, h , k H 0, 0,
h0 , 0, 0, 0 h1 , h0 , 0, 0 hk , hk 1 , h0 rn
i 1, 2,, n
a x an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0 ai 0,1 1 a x an 2 x n 1 an 3 x n 2 a1 x 2 a0 x an i a x an 1i x n 1 an 2i x n 2 a1 x i 1 a0 x i an 1 x i 1 an i
信息论与编码 ppt课件
➢ “信息”是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述， 这就是仙农关于信息的定义。
2020/12/12
13
信息的度量
➢ 信息的度量（信息量）和不确定性消除的程度有关，消除了 多少不确定性，就获得了多少信息量；
➢ 不确定性就是随机性，可以用概率论和随机过程来测度不确 定性的大小，出现概率小的事件，其不确定性大，反之，不 确定性小；
➢ 仙农注意到：收信者在收到消息之前是不知道消息的具体 内容的。通信系统消息的传输对收信者来说，是一个从不 知到知的过程，或者从知之甚少到知之甚多的过程，或是 从不确定到部分确定或全部确定的过程。
➢ 因此, 对于收信者来说, 通信过程是消除事物状态的不确定 性的过程，不确定性的消除，就获得了信息，原先的不确 定性消除的越多，获得的信息就越多；
➢ 由以上两点可知：概率小 信息量大，即信息量是概率的单 调递减函数；
➢ 此外，信息量应该具有可加性；
2020/12/12
14
信息的度量
➢ 由于信息量与概率成反比，并且具有可加性，可以证明， 信息量的计算式为 1 I(xk)log2 pk log2pk 其中pk是事件xk发生的概率，这也是仙农关于(自)信息量 的度量(概率信息)，单位为bit
信息论与编码
基础楼319
2016年3月
2020/12/12
1
课程目标与安排
课程特点
➢ 它是信息处理方向的一门重要的专业基础课，是后续课程 的基础，如通讯原理、数字图像处理、语音信号处理等。
➢ 介绍信息科学的基础理论和基本方法，课程将基于一个通 讯系统的抽象数学模型进行展开，课程分为基础理论和编码 理论两部分组成。
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
陈运-信息论与编码-第六章 信道编码
i 1, 2, , n
a x an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0 ai 0,1 1 a x an 2 x n 1 an 3 x n 2 a1 x 2 a0 x an i a x an 1i x n 1 an 2i x n 2 a1 x i 1 a0 x i an 1 x i 1 an i
T T T
S可以指示差错的存在
25
6.4 线性分组码
s [ s0 s1 s2 ]T Hz T z0 z 1 0 z2 z 0 3 1 z4 z5 z 6
26
1 0 1
1 1 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
6.4 线性分组码
伴随式 错误 s0 s1 s2 位置 z0 101
111 110 011 z1 z2 z3 错误图样 1000000 0100000
s1 z0 z1 z2 z4 s2 z1 z2 z3 z5 s3 z0 z1 z3 z6
第 6 章 信道编码
6.1 概述
• 作用
提高信息传输时的抗干扰能力
• 目的
增加信息传输的可靠性
• 手段
增加信息冗余度
• 名称
信道码、数据传输码、差错控制码
2
6.1 概述
• 信道编码器在通信系统中的位置
信源
信源编码
加密
信道编码
信宿
信源译码
解密
信道译码
3
6.1 概述
• 分类
分 组 码 树 码 线 性 码 非 线 性 码 检 错 码 纠 错 码 抗 随 机 差 错 码 抗 突 发 差 错 码 代 几 组 数 何 合 码 码 码
《信息论与编码》课件
优点
可以快速计算出哈希值，常用于数据完整性验证和密码存储。
缺点
对于某些输入，哈希函数可能产生冲突，即不同的输入可能会产生相同的哈希值。
信息论的应用
05
数据压缩
数据压缩是信息论的一个重要应用，通过编码技术减少数据冗余，提高存储和传输效率。
压缩算法
常见的压缩算法包括哈夫曼编码、算术编码、LZ77和LZ78等，这些算法利用数据的统计特性进行压缩。
定义
RSA（Rivest-Shamir-Adleman）、ECC（椭圆曲线加密）等。
常见的非对称加密算法
密钥管理相对简单，安全性较高。
优点
加密速度较慢，通常比对称加密算法慢几个数量级。
缺点
定义
哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度哈希值的函数。
常见的哈希函数
MD5（Message Digest Algorithm 5）、SHA（Secure Hash Algorithm）等。
互信息定义
条件互信息表示一个随机变量在给定另一个随机变量的条件下与第三个随机变量之间的相关性。
条件互信息定义
信源编码
02
无损压缩编码是一种完全保留原始数据，没有任何信息损失的编码方式。
有损压缩编码是一种允许一定信息损失的编码方式，通常用于图像、音频和视频等连续媒体数据的压缩。有损压缩编码通过去除数据中的冗余信息和细节来减少存储空间或传输时间。解压缩时，虽然不能完全恢复原始数据，但人眼或耳朵通常无法察觉到损失的信息。因此，它常用于需要快速传输或低成本存储的场景，如数字电视广播、互联网流媒体等。有损压缩编码的优点是压缩率高，适合处理大量数据；缺点是原始数据的完整性和真实性可能受到损失。常见的有损压缩算法包括JPEG、MPEG、MP3等。这些算法通过离散余弦变换、小波变换等技术来减少数据量，同时采用量化等技术来控制信息损失的程度。
信息论与编码教学课件(全)
信息论与编码教学课件(全)
目录
• 课程介绍与背景 • 信息论基础 • 编码理论基础 • 信道编码技术 • 数据压缩技术 • 多媒体信息编码技术 • 课程总结与展望
01
课程介绍与背景
Chapter
信息论与编码概述
信息论的基本概念
01
信息、信息量、信息熵等
编码的基本概念
02
信源编码、信道编码、加密编码等
02
极化码（Polar Codes）
一种新型信道编码方式，通过信道极化现象实现高效可靠的信息传输。
03
深度学习在信道编码中的应用
利用深度学习技术优化传统信道编码算法，提高编码性能和效率。
05
数据压缩技术
Chapter
数据压缩概述与分类
数据压缩定义
通过去除冗余信息或使用更高效的编码方式，减小数据表示所需存储空间的过 程。
线性分组码原理：线性分组码是一 种将信息序列划分为等长的组，然 后对每组信息进行线性变换得到相 应监督位的编码方式。
具有严谨的代数结构，易于分析和 设计；
具有一定的检错和纠错能力，适用 于各种通信和存储系统。
循环码原理及特点
循环码原理：循环码是一种特殊的线 性分组码，其任意两个码字循环移位
后仍为该码的码字。
03
编码理论基础
Chapter
编码的基本概念与分类
编码的基本概念
编码是将信息从一种形式或格式转换为另一种形式的过程，以 满足传输、存储或处理的需要。
编码的分类
根据编码的目的和原理，可分为信源编码、信道编码、加密编 码等。
线性分组码原理及特点
线性分组码特点
监督位与信息位之间呈线性关系， 编码和解码电路简单；
目录
• 课程介绍与背景 • 信息论基础 • 编码理论基础 • 信道编码技术 • 数据压缩技术 • 多媒体信息编码技术 • 课程总结与展望
01
课程介绍与背景
Chapter
信息论与编码概述
信息论的基本概念
01
信息、信息量、信息熵等
编码的基本概念
02
信源编码、信道编码、加密编码等
02
极化码（Polar Codes）
一种新型信道编码方式，通过信道极化现象实现高效可靠的信息传输。
03
深度学习在信道编码中的应用
利用深度学习技术优化传统信道编码算法，提高编码性能和效率。
05
数据压缩技术
Chapter
数据压缩概述与分类
数据压缩定义
通过去除冗余信息或使用更高效的编码方式，减小数据表示所需存储空间的过 程。
线性分组码原理：线性分组码是一 种将信息序列划分为等长的组，然 后对每组信息进行线性变换得到相 应监督位的编码方式。
具有严谨的代数结构，易于分析和 设计；
具有一定的检错和纠错能力，适用 于各种通信和存储系统。
循环码原理及特点
循环码原理：循环码是一种特殊的线 性分组码，其任意两个码字循环移位
后仍为该码的码字。
03
编码理论基础
Chapter
编码的基本概念与分类
编码的基本概念
编码是将信息从一种形式或格式转换为另一种形式的过程，以 满足传输、存储或处理的需要。
编码的分类
根据编码的目的和原理，可分为信源编码、信道编码、加密编 码等。
线性分组码原理及特点
线性分组码特点
监督位与信息位之间呈线性关系， 编码和解码电路简单；
《信息论与编码》课件
发展趋势与未来挑战
探讨信息论和编码学领域面临的未 来挑战。
介绍多媒体数字信号压缩和编码技术的发展和应用。
可靠的存储与传输控制技术
解释可靠存储和传输控制技术在信息论中的重要性。
生物信息学中的应用
探讨信息论在生物信息学领域的应用和突破。
总结与展望
信息论与编码的发展历程
回顾信息论和编码学的发展历程和 里程碑。
信息技术的应用前景
展望信息技术在未来的应用前景和 可能性。
介绍误码率和信噪比的定义和关系。
2
码率与修正码率的概念
解释码率和修正码率在信道编码中的重要性。
3
线性码的原理与性质
探讨线性码的原理、特点和应用。
4
编码与译码算法的实现
详细介绍信道编码和译码算法的实现方法。
第四章 信息论应用
无线通信中的信道编码应用
探索无线通信领域中信道编码的应用和进展。
多媒体数字信号的压缩与编码技术
《信息论与编码》T课 件
# 信息论与编码 PPT课件
第一章 信息的度量与表示
信息的概念与来源
介绍信息的定义，以及信息在各个领域中的来源和 应用。
香农信息熵的定义与性质
介绍香农信息熵的概念和其在信息论中的重要性。
信息量的度量方法
详细解释如何度量信息的数量和质量。
信息压缩的基本思路
探讨信息压缩的原理和常用方法。
第二章 信源编码
等长编码与不等长编码
讨论等长编码和不等长编码的特点 和应用领域。
霍夫曼编码的构造方法与 性质
详细介绍霍夫曼编码的构造和优越 性。
香农第一定理与香农第二 定理
解释香农第一定理和香农第二定理 在信源编码中的应用。
信息论与编码基础教程第六章
Page 10
第6章信道编码
最大后验概率准则(最小错误概率准则):
6.1 信 道 编 码 概 念
F (b j ) a* , a* X , b j Y
*
使
*
p(a | b j ) p(ai | b j ), ai X , ai a .
即在收到bj的条件下,发出的是a*的概率最大, 就将bj译为a*,这样就使得pe最小。
Page 16
第6章信道编码
6.1
信 道 采用重复编码的方法(线性分组码): 编 码 概 若发送0，则发 000； 念
下面研究如何编码以使pe变小。
发送1，则发111。
这样，在输入端有两个码字，但在输出端,由于信 道干扰作用,各码元之间可能发生错误则有8个可
能的输出序列.在接收端有8个可能的序列。
列最大那个元素所对应的ai。
当输入符号的先验概率均相等时,两个准 则相同。
Page 13
第6章信道编码
6.1 信 道 编 码 概 念
【例6-1】设有单符号离散信道。信道矩阵为
0.5 0.3 0.2 0.2 0.3 0.5 P 0.3 0.3 0.4
求下面译码函数(规则)的pe：
page18第6章信道编码61重复码编码译码表未用码字输出码字接收序列译码000000000001001000010010000100100000011011111101101111110110111111111111page19第6章信道编码输入输出序列000000111001page20第6章信道编码输入是八种可能出现的二元序列中选中两个作为消息而输出端这8个可能的输出符号都是接收序列这时信道距阵为page21第6章信道编码译码后的错误概率3104取p0011010page22第6章信道编码此码元n3重复3次把错误概率降低了接近两个数量级
信息论与编码课件(全部课程内容)
P(b1 | a1 ) P(b2 | a1 ) P(b | a ) P(b | a ) 2 2 [ PY | X ] 1 2 P(b1 | ar ) P(b2 | ar )
一.1.”输入符号 a,输出符号 b”的联合概率 i j
P{X a i ,Y=b j } p a i ,b j p a i p b j /a i
1。当p (ai / b j ) 1时， 1 I (ai ; b j ) log I (ai )(i 1, 2, , r; b 1, 2, , s) p (ai )
信号 a i ．
收信者收到输出符号 bj 后，推测信源以概率１发
2。当p (ai〈p (ai / b j〈1时， ) ) I (ai ; b j ) log p (ai / b j ) p (ai ) 〉 i 1, 2, , r ; b 1, 2, , s ) 0(
此式称为符号 a i 和 bj 之间的互信函数． 我们把信宿收到 bj 后，从 bj 中获取关于 a i 的信 息量 I (ai ; bj ) 称为输入符号 a i 和输出符号 bj 之间 的交互信息量，简称互信息．它表示信道在把 输入符号 a i 传递为输出符号 bj 的过程中，信道 所传递的信息量．
收信者收到 b j后，推测信源发信号 a i的后验概率，反而小于 收到 b j 前推测信源发信号 a i的先验概率.
例2.3 表2.1中列出某信源发出的八种不同消息ai(i=1,2,…,8),相应的
先验概率p(ai)(i=1,2,…,8),与消息ai(i=1,2,…,8)一一对应的码字wi
(i=1,2,…,8).同时给出输出第一个码符号“0”后，再输出消息a1,a2,a3,
信息论与编码PPT教学课件
4. 干扰源 • 是整个通信系统中各个干扰的集中反映，用以 表示消息在信道中传输时遭受干扰的情况。 • 对于任何通信系统而言，干扰的性质、大小是 影响系统性能的重要因素。
第二节 通信系统的模型
5. 密钥源 • 是产生密钥k的源 • 信源编码器输出信号x经过k的加密运算后，就 把明文x变换为密文y
三、通信系统的性能指标及相应的编码问题
第二节 通信系统的模型
问题：能否将三种码（信源编码、信道编码和密码） 合成一种码进行编译？
• 提高有效性必须去掉信源符号中的冗余部分， 此时信道误码会使接收端不能恢复原来的信息 ，也就是必须相应提高传送的可靠性，不然会 使通信质量下降；
• 反之，为了可靠而采用信道编码，往往需扩大 码率，也就降低了有效性。安全性也有类似情 况
▪ 到70年代，有关信息论的研究，从点与点间的单用 户通信推广到多用户系统的研究。1972年盖弗（Caer ）发表了有关广播信道的研究，以后陆续有关于多接 入信道和广播信道模型的研究，但由于这些问题比较 难，到目前为止，多用户信息论研究得不多，还有许 多尚待解决的课题。
第一节 信息论的形成和发展
➢ 几个概念
3．三处最有可能发展成为城 市的是哪一处？为什么？除此 而外，你知道哪些地方还分布 有较大的城市？ 4. 综上所述，影响聚落形成 和发展的因素有哪些？
• 通信系统的性能指标主要是有效性、可靠性、安全 性和经济性。通信系统优化就是使这些指标达到最 佳。
• 根据信息论的各种编码定理和上述通信系统的指标 ，编码问题可分解为三类：信源编码、信道编码和 密码。
第二节 通信系统的模型
1. 信源编译码器 信源编码器的作用 • 是把信源发出的消息变换成由二进制码元（或 多进制码元）组成的代码组，这种代码组就是 基带信号； • 同时通过信源编码可以压缩信源的冗余度（即 多余度），以提高通信系统传输消息的效率。
第二节 通信系统的模型
5. 密钥源 • 是产生密钥k的源 • 信源编码器输出信号x经过k的加密运算后，就 把明文x变换为密文y
三、通信系统的性能指标及相应的编码问题
第二节 通信系统的模型
问题：能否将三种码（信源编码、信道编码和密码） 合成一种码进行编译？
• 提高有效性必须去掉信源符号中的冗余部分， 此时信道误码会使接收端不能恢复原来的信息 ，也就是必须相应提高传送的可靠性，不然会 使通信质量下降；
• 反之，为了可靠而采用信道编码，往往需扩大 码率，也就降低了有效性。安全性也有类似情 况
▪ 到70年代，有关信息论的研究，从点与点间的单用 户通信推广到多用户系统的研究。1972年盖弗（Caer ）发表了有关广播信道的研究，以后陆续有关于多接 入信道和广播信道模型的研究，但由于这些问题比较 难，到目前为止，多用户信息论研究得不多，还有许 多尚待解决的课题。
第一节 信息论的形成和发展
➢ 几个概念
3．三处最有可能发展成为城 市的是哪一处？为什么？除此 而外，你知道哪些地方还分布 有较大的城市？ 4. 综上所述，影响聚落形成 和发展的因素有哪些？
• 通信系统的性能指标主要是有效性、可靠性、安全 性和经济性。通信系统优化就是使这些指标达到最 佳。
• 根据信息论的各种编码定理和上述通信系统的指标 ，编码问题可分解为三类：信源编码、信道编码和 密码。
第二节 通信系统的模型
1. 信源编译码器 信源编码器的作用 • 是把信源发出的消息变换成由二进制码元（或 多进制码元）组成的代码组，这种代码组就是 基带信号； • 同时通过信源编码可以压缩信源的冗余度（即 多余度），以提高通信系统传输消息的效率。
信息论与编码(第二版)陈运主编课件第六章 (1)
c
m m0 , m1 ,, mk 1
纠错编码
c c0 , c1 ,, cn1
编码码率 ：每个码字的序列符号（或码元）平均传送
的消息比特数
k /n
检错和纠错方法
偶（或奇）校验方法：实现检纠错目的的一个基本方法。
一个偶校验位 即
p 是对消息 m使得如下校验方程成立的二进制符号，
n
c0
c0 000,
c1 111
重复码可以检测出任意小于 个差错的错误图案， 纠正任意小于n / 2 个差错的错误图案。
n
n
检错和纠错方法
等重码或定比码：实现检纠错的第三个方法 设计码字重量w
。
c 恒为常数，即 C c wc m
4 5 6 7 8 9 0
5中取3等重码
l t d min 1 t l
检错和纠错能力
最小码距与检纠错能力
FEC与ARQ纠错应用方式
检错和纠错能力
常用汉明距离来描述检纠差错的数目，对于两n 长向量u，v 汉明距离为：
d u, v
i 1,
v 1 u
i i
n
最小汉明距离 min （最小码距d）：任意两码字之间的汉明距 离的最小值
d
d min min d c, c'
c c '
检错和纠错能力
m0+m1+m2+…+mk－1+p=0 （mod 2）
称c=(m0,m1,m2…mk-1,p)为一个偶校验字 确定校验位P的编码方程为： P=m0+m1+…+mk-1
检错和纠错方法
重复消息位：实现检纠错目的第二个基本方法
信息论与编码(第二版)陈运主编课件(全套)
？信息究竟是什么呢？
1928年,美国数学家 哈 特 莱 (Hartley)在 《贝尔系统电话杂志》上发表了一篇题为《信 息传输》的论文。他认为“信息是选择的自由
度”。
事隔20年， 香农
另一位美国数学家 (C. E. Shannon)
在《贝尔系统电话杂志》发表了题为《通信
的数学理论》的长篇论文。他创立了信息论，
信源
连 续 信 源
多符号
随机矢量
随机过程
单符号离散信源
信源发出的消息是离散的，有限的或可数的， 且一个符号代表一条完整的消息。 例如： 投骰子每次只能是{1，2，…6}中的某 一个。 其中的数叫做事件/元素，以一定的概率出现；
信源可看作是具有一定概率分布的某些符号的 集合。
单符号离散信源的数学模型
所表述的相应事物的运动状态及其变化方式（包 括状态及其变化方式的形式、含义和效用）。
全信息 全信息
同时考虑事物运动状态及其变化 方式的外在形式、内在含义和效用价值的认识
语法信息 论层次信息。
语义信息
语用信息
信息的重要性质：
存在的普遍性 有序性 相对性 可度量性 可扩充性 可存储、传输与携带性 可压缩性 可替代性
地渗透到诸如医学、生物学、心理学、神经生理学等自然 科学的各个方面，甚至渗透到语言学、美学等领域。
通信系统模型
信源 信源编码 加密 信道编码 调制器
噪声源
信 道
信宿
信源译码
解密
信道译码
解调器
信息论研究对象
1
一般信息论
信号滤波 预测理论
调制 理论
香农 信息论
噪声 理论
统计检测 估计理论
2 香农信息论
信息论与编码(第二版)习题答案+陈运+主编
4
课
后
2.12 略
答 案
网
(3) 0.189 比特/符号，0.137 比特/符号，0.137 比特/符号，0.458 比特/符号， 0.406 比特/符号，0.406 比特/符号
ww
(2) 0.811 比特/符号，0.811 比特/符号，0.863 比特/符号，0.406 比特/符号， 0.863 比特/符号，0.406 比特/符号，0.405 比特/符号
com?????1???????81830211100100yzpyzz的概率分布??????????????818710zpz11比特符号1比特符号0543比特符号1406比特符号1406比特符号1811比特符号20811比特符号0811比特符号0863比特符号0406比特符号0863比特符号0406比特符号0405比特符号30189比特符号0137比特符号0137比特符号0458比特符号0406比特符号0406比特符号212略213设有一个信源它产生什么符号均按1试问这个信源是否是平稳的
2.13 设有一个信源，它产生 0,1 序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过 什么符号，均按 p ( 0 ) = 0.4, p (1) = 0.6 的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算 H ( X 2 ) , H ( X 3 X 1 X 2 ) 及 N lim H ( X ) ； →∞ (3) 试计算 H ( X 4 ) 并写出 X 4 信源中可能有的所有符号。 解：(1) 是 (2) 信源熵 0.971 比特/信源符号， H ( X 2 ) = 1.942 比特/信源符号，由题设知 道这个信源是无记忆信源，因此条件熵和极限熵都等于信源熵。 (3) H ( X 4 ) = 4 × 0.971 = 3.884 比特/信源符号， X 4 信源中可能的符号共 16 个。 2.14 设 X = X 1 , X 2 ,L , X N 是 平 稳 离 散 有 记 忆 信 源 ， 试 证 明 ：
课
后
2.12 略
答 案
网
(3) 0.189 比特/符号，0.137 比特/符号，0.137 比特/符号，0.458 比特/符号， 0.406 比特/符号，0.406 比特/符号
ww
(2) 0.811 比特/符号，0.811 比特/符号，0.863 比特/符号，0.406 比特/符号， 0.863 比特/符号，0.406 比特/符号，0.405 比特/符号
com?????1???????81830211100100yzpyzz的概率分布??????????????818710zpz11比特符号1比特符号0543比特符号1406比特符号1406比特符号1811比特符号20811比特符号0811比特符号0863比特符号0406比特符号0863比特符号0406比特符号0405比特符号30189比特符号0137比特符号0137比特符号0458比特符号0406比特符号0406比特符号212略213设有一个信源它产生什么符号均按1试问这个信源是否是平稳的
2.13 设有一个信源，它产生 0,1 序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过 什么符号，均按 p ( 0 ) = 0.4, p (1) = 0.6 的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算 H ( X 2 ) , H ( X 3 X 1 X 2 ) 及 N lim H ( X ) ； →∞ (3) 试计算 H ( X 4 ) 并写出 X 4 信源中可能有的所有符号。 解：(1) 是 (2) 信源熵 0.971 比特/信源符号， H ( X 2 ) = 1.942 比特/信源符号，由题设知 道这个信源是无记忆信源，因此条件熵和极限熵都等于信源熵。 (3) H ( X 4 ) = 4 × 0.971 = 3.884 比特/信源符号， X 4 信源中可能的符号共 16 个。 2.14 设 X = X 1 , X 2 ,L , X N 是 平 稳 离 散 有 记 忆 信 源 ， 试 证 明 ：
第6章信息论与编码课件
增大E(R)的途径
25
6.2.1 纠错编码的基本思路
增大信道容量C
扩展带宽 加大功率 降低噪声
减小码率R
Q、N不变而减小K Q、K不变而增大N N、K不变而减小Q
增大码长N
26
6.2.2 最优译码与最大似然译码
译码器的任务是从受损的信息序列中尽 可能正确地恢复出原信息。 译码算法的已知条件是：
实际接收到的码字序列{r}, r=(r1,r2,…,rN) 发端所采用的编码算法和该算法产生的码 集XN, 满足 c i = ( c i1 , c i 2 , L , c iN ) ∈ X N 信道模型及信道参数。
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维线性空间， n维矢量又称n重(n-tuples)。
9
矢量空间中矢量的关系
对于域F上的若干矢量 V 1 , V 2 , L , V i 及 V k 线性组合：
V k = a1V1 + a 2V 2 + L a iVi , ( a i ∈ F )
线性相关：
a1V1 + a 2V 2 + L a iVi = 0, ( a i ∈ F且不全为零)
从功能角度：检错码 、纠错码 对信息序列的处理方法：分组码、卷积码 码元与原始信息位的关系：线性码、非线 性码 差错类型：纠随机差错码、纠突发差错 码、介于中间的纠随机/突发差错码。 构码理论：代数码、几何码、算术码、组 合码等
7
差错控制系统分类
前向纠错（FEC）：发端信息经纠错编码 后传送，收端通过纠错译码自动纠正传递 过程中的差错 反馈重发（ARQ）：收端通过检测接收码 是否符合编码规律来判断，如判定码组有 错，则通过反向信道通知发端重发该码 混合纠错（HEC）：前向纠错和反馈重发 的结合，发端发送的码兼有检错和纠错两 种能力
精品课件-信息论与编码-第6章
第6章 离散信源及其信息冗余
6.1.1 由于信源输出的消息载荷着信息，这种消息所具有的一
个基本属性便是随机性，因此信源输出的符号或符号序列可 以使用随机变量、随机矢量或随机过程表示。由第2章的讨 论我们知道，如果已知信源的消息集合（即样本空间或值域） 和消息发生的概率分布，则可以使用由样本空间和它的概率
第6章 离散信源及其信息冗余
1． 根据信源输出消息X的取值特点，可将信源划分为连
1） 信源输出符号为离散随机变量的信源称为离散信源。 设离散信源输出随机变量X的值域R为一离散集合 R={a1, a2, …, an}，其中，n可以是有限正数，也可以 是可数的无限大正数。若已知R上每一消息发生的概率分 布为
P(a1), P(a2), …, P(an)
第6章 离散信源及其信息冗余
则离散信源X的概率空间为
[
R,
P]
[
X
,
P]
a1 p(a1
)
a2 pБайду номын сангаасa2 )
an p(an )
(6.1)
其中, 信源输出消息的概率 P(ai)（i=1, 2, …, n）满 足:
p(ai )
n
p(ai
i 1
0 )
第6章 离散信源及其信息冗余
第6章 离散信源及其信息冗余
6.1 信源的描述与分类 6.2 离散无记忆信源的扩展信源 6.3 离散平稳信源 6.4 马尔可夫信源 6.5 信源的信息冗余 习题6
第6章 离散信源及其信息冗余
6.1 信源是发出信息的某种设备，可以是人、生物、机器 或其他任何向外发出信息的事物。信源的输出称做消息。 在人类的社会活动中，发出信息的信息源多种多样，其输 出可以是离散的符号，如书信中的文字和字母，也可以是
信息论与编码(第二版)陈运主编课件第六章 (2)
c
（5）G的每一行都是一个码字； （6）消息相加后的编码等于各自编码后相加；
d min min wc c
补充线性分组码的监督矩阵
监督矩阵
cn1 cn2 cnk cnk 1 cnk 2 c0
k个信息位 nk个校验位
R3 R3 R2 , R1 R1 R3 , R1 R3
（5，3）线性分组码码例
消息m
G生成码字 Gs生成码字 对偶码码字
000 001 010 011 100 101 110 111
00000 11010 01011 10001 10110 01100 11101 00111
00000 00111 01011 01100 10001 10110 11010 11101
由一致校验矩阵可以比较容易确定线性分组码的最小码距min定理线性分组码的最小码距为且仅当其一致校验矩阵h中任意列线性无该定理实际给出了计算线性分组码最小码距的一种方法
信息论与编码
Information Theory and coding
内蒙古工业大学 电子信息工程系
§6.2 线性码
§6.2.1 线性分组码的描述
0 0 c n 1 0 hn k 1,n 1 hn k 1,n k 1 1 0 c n 2 0 hn k 2,n 1 hn k 2,n k 0 h h01,n k 0 0 1 c 0 0 0, n 1
T
GH 0kr
T
系统码：生成矩阵
G Gs I k Qkr 对于系统码相应的一致校验矩阵 H s
信息论与编码第二版复习课件第六章
10
第6章 信道编码
• 按照构码理论：代数码、几何码、算术码、组合码等 • 按照每个码元取值：二进制码与多进制码 3 差错控制系统分类 • 前向纠错(FEC)： – 发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠 错能力的码。 – 接收端信道译码器对接收码字进行译码，若传输 中产生的差错数目在码的纠错能力之内时，译码 器对差错进行定位并加以纠正。
• 若满足条件：
–V中矢量元素在矢量加运算下构成加群； –V中矢量元素与数域F元素的标乘封闭在V中； –分配律、结合律成立。
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维线性空 间，n维矢量又称n重。
码字 码矢 n重 码多项式
14
第6章 信道编码
矢量空间中矢量的关系 对于域F上的若干矢量 V 1 , V 2 , L , V i 及 V k • 线性组合：
消息m
纠错编码
码字C
信道
收码R
纠错译码
消息m′
11
第6章 信道编码
• 自动请求重发(ARQ)： – 发端发送检错码， – 收端译码器判断当前码字传输是否出错； – 当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送 端重传已发送的码字(全部或部分)。
消息m 码字C 收码R 消息m′
检错编码
信道
检错译码
12
2
差错图样类型
为了定量地描述信号的差错，定义收、发码之“差” 为差错图样： 差错图样E＝发码C－ 收码R （模M）
8进制码元
发码C=(0,2,5,4,7,5,2) 收码R=(0,1,5,4,7,5,4) 差错图样E=C－R=(0,1,0,0,0,0,6)（模8）
二进制码： 差错图样等于收码与发码的模2加 E=C⊕R 或 C=R⊕E 发送码字C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 接收码字R 差错图样E 1001001111 0110110000
第6章 信道编码
• 按照构码理论：代数码、几何码、算术码、组合码等 • 按照每个码元取值：二进制码与多进制码 3 差错控制系统分类 • 前向纠错(FEC)： – 发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠 错能力的码。 – 接收端信道译码器对接收码字进行译码，若传输 中产生的差错数目在码的纠错能力之内时，译码 器对差错进行定位并加以纠正。
• 若满足条件：
–V中矢量元素在矢量加运算下构成加群； –V中矢量元素与数域F元素的标乘封闭在V中； –分配律、结合律成立。
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维线性空 间，n维矢量又称n重。
码字 码矢 n重 码多项式
14
第6章 信道编码
矢量空间中矢量的关系 对于域F上的若干矢量 V 1 , V 2 , L , V i 及 V k • 线性组合：
消息m
纠错编码
码字C
信道
收码R
纠错译码
消息m′
11
第6章 信道编码
• 自动请求重发(ARQ)： – 发端发送检错码， – 收端译码器判断当前码字传输是否出错； – 当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送 端重传已发送的码字(全部或部分)。
消息m 码字C 收码R 消息m′
检错编码
信道
检错译码
12
2
差错图样类型
为了定量地描述信号的差错，定义收、发码之“差” 为差错图样： 差错图样E＝发码C－ 收码R （模M）
8进制码元
发码C=(0,2,5,4,7,5,2) 收码R=(0,1,5,4,7,5,4) 差错图样E=C－R=(0,1,0,0,0,0,6)（模8）
二进制码： 差错图样等于收码与发码的模2加 E=C⊕R 或 C=R⊕E 发送码字C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 接收码字R 差错图样E 1001001111 0110110000
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c
（5）G的每一行都是一个码字； （6）消息相加后的编码等于各自编码后相加；
d min min wc c
补充线性分组码的监督矩阵
监督矩阵
cn1 cn2 cnk cnk 1 cnk 2 c0
k个信息位 nk个校验位
纠错码的分类
根据对信息码元处理方法的不同分为：
分组码：信息序列以每k个码元进行分组，每组k 个信息元按一定规律产生r个监督码元，输出序列 长为n=k+r，r只与k个信息位有关， 记（n，k）。分组码分为循环码和非循环码 卷积码：以k个码元分段，r不仅与k个信息位有关， 还与前面L段的信息元有关， 记为（n，k，L）。
6-1 dmin=2
1 1 H 1 0
0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1
监督矩阵与生产矩阵的关系
cH
T
由 G 的每一行都是一个码字有
G Gs I k Qkr
H H s [Qkr , I r ]
00000 11101 01110 10011
由一致校验矩阵可以比较容易确定线性分组码 的最小码距 d min 定理 线性分组码的最小码距为 d min d ，当 且仅当其一致校验矩阵H中任意d 1 列线性无 关，某 d 列线性相关。 该定理实际给出了计算线性分组码最小码距的一 种方法。
作业
线性分组码的生成矩阵
1 0 0 q11q12 q1,n k 0 1 0 q21q22 q1,n k G I k Qk r 0 01 qk 1qk 2 q1,n k k n
例6.2.1 3重复码是一个（3，1）线性分组码
信息论与编码
Information Theory and coding
内蒙古工业大学 电子信息工程系
§6.2 线性码
§6.2.1 线性分组码的描述
§6.2.2 线性分组码的译码 §6.2.3 码例与码的重构
纠错码的分类
根据信息元和监督元之间的关系分为：
线性码：信息元与监督元之间呈线性，可用一 组线性方程 联系起来； 非线性码：信息元与监督元之间不具有线性关 系。
n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来
c nk 1 hnk 1,n1 c n1 hnk 1,n2 c n2 hnk 1,nk c nk c nk 2 hnk 2,n1 c n1 hnk 2,n2 c n2 hnk 2,nk c nk c0 h0,n1 c n1 h0,n2 c n2 h0,nk c nk
1 0 1 1 0 G 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 0 1 1, H 0 1 1 1 0 Gs s 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
EERRRR
其中 G 到 Gs 的行初等变换过程为（ Ri 表示第i 行），
例题
（7，4）线性码的生成矩阵如下，列出所有许 用码组。
G47
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
性质
（1）零向量 0,0,,0一定是一个码字，称为 零码字； （2）任意两码字的和仍是一个码字； （3）任意码字 是 G 的行向量的线性组合； （4）线性分组码的最小距离等于最小非零码字重 量；
T
GH 0kr
T
系统码：生成矩阵
G Gs I k Qkr 对于系统码相应的一致校验矩阵 H s
H H s [Qkr , I r ]
T
G
具有如下形式
对偶码： 以线性分组码的一致校验矩阵为生成矩阵称
为原线性分组码的对偶码。
例6.2.3一个（5，3）线性分组码的G, Gs , H s
校验矩阵 ( n k行，n列)
校验矩阵H与任意一个码字之积为零，因此有
H G 0
T
1 c 3 1 c 6 0 c 5 1 c 4 1 c 1 c 1 c 1 c 2 6 5 4 1 c1 1 c 6 0 c 5 0 c 4 1 c 0 0 c 6 1 c 5 1 c 4
0 0 c n 1 0 hn k 1,n 1 hn k 1,n k 1 1 0 c n 2 0 hn k 2,n 1 hn k 2,n k 0 h h01,n k 0 0 1 c 0 0 0, n 1
线性分组码
线性分组码：通过预定的线性运算将长为k 的信息码组变成长为n的码字（n>k），由2k 个信息码组组成的集合称为线性分组码。
（n，k）线性码：信息位长k，码字长n， k 监督位r=n-k，编码效率 n
分组码 C是称为码字c的n维向量的集合 C={c| c=mG}
G 1 1 1
c0 , c1, c2 m0 1
1 1 m0 , m0 , m0
例6.2.2（4，3）偶校验码是一个（4，3）线性分 组码
1 0 0 1 G 0 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 c0 , c1 , c2 , c3 m0 , m1 , m2 0 1 0 1 m0 , m1 , m2 , m0 m1 m2 0 0 1 1
R3 R3 R2 , R1 R1 R3 , R1 R3
（5，3）线性分组码码例
消息m
G生成码字 Gs生成码字 对偶码码字
000 001 010 011 100 101 110 111
00000 11010 01011 10001 10110 01100 11101 00111
00000 00111 01011 01100 10001 10110 11010 11101
其中m为任意的k维向量并称为消息向量。
线性分组码的生成矩阵
G是k行n行列秩为k（n≥k）的矩阵称为 生成矩阵，
g11 g12 g1,n g 21 g 22 g 2,n 行初等变换 G g k ,1 g k2 g k ,n k n