同济大学《高等数学》(第四版)1-8节 无穷小的比较
同济高等数学教材哪版最好
同济高等数学教材哪版最好同济大学是我国著名的理工科学府之一，其高等数学教材备受学子们的关注。
随着时间的推移，同济高等数学教材也不断迭代更新，其中的每个版本都有不同的特点和优势。
在选择适合自己的教材版本时，我们应该根据自身的实际情况和学习需求进行选择。
下面将介绍一些同济高等数学教材的版本，并对其进行评价。
1.第四版第四版的同济高等数学教材是同济大学出版社于上世纪90年代初推出的版本。
这个版本的特点是内容全面、清晰明了。
它采用了比较传统的教学方法，结构合理，适合初学者掌握基本的数学概念和运算方法。
但是，第四版教材的一些内容已经有些过时，无法完全满足现今高等数学的教学要求，因此在实际应用中逐渐被新版教材所取代。
2.第五版第五版同济高等数学教材是在第四版的基础上进行了改进和完善的版本。
在第五版中，教材的内容更加系统和完备，更符合现代高等数学的发展趋势。
此外，第五版注重数学思维的培养和拓展，通过一些实际问题的引入，激发学生的兴趣，增强数学的应用性。
总体而言，第五版教材是一个良好的选择，能够满足大多数学生对高等数学知识的学习需求。
3.第六版第六版同济高等数学教材是同济大学数学系于21世纪初重新编写和推出的一套教材。
相比于前几版，第六版在内容安排和教学方法上进行了更加彻底的改革。
教材的内容更加注重数学理论与实际应用的结合，强调数学思维的培养和数学建模的能力。
此外，第六版还增加了一些案例分析和扩展知识，帮助学生更好地理解高等数学的概念和方法。
总体而言，第六版教材是一本与时俱进的教材，推荐给对数学有一定兴趣和基础的学生们。
综上所述，同济高等数学教材的版本众多，每个版本都有其自身的特点和优势。
对于不同的学生群体而言，选择适合自己的教材版本至关重要。
在选择教材版本时，可以根据自己的学习需求和兴趣爱好进行选择，或者多个版本结合使用。
最重要的是，无论选择哪个版本，都需要踏实学习、勤于实践，才能真正掌握高等数学的知识和方法。
1-8 无穷大 无穷小的比较
4x2 + x − 1 求 lim . x→ ∞ 3x + 5
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《高等数学B1》
1 例如, 当 x → 0 时, x , 2 x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2x2 lim 2 x 2趋向于零的速度比 x 快得多; = 0,
2 2
8.2
无穷小的比较
x →0
f ( x) 1 如果 lim f ( x ) = 0 ( f ( x ) ≠ 0)，那么 lim = ∞. f ( x) 即：无穷小与无穷大为倒数关系
这样有关无穷大的讨论，可转化为无穷小的讨论． 1 = 0． tan x = ∞， ∴ lim 例如 ∵ lim π π x → tan x x→
1 = ∞. ∵ lim （x − 1) = 0， ∴ lim x→1 x −1 x →1
例4 求 lim 解1
tan 5 x − cos x + 1 . x→0 sin 3 x tan 5 x 1 − cos x 原式 = lim + lim x → 0 sin 3 x x → 0 sin 3 x 1 2 x 5x 5 2 = lim + lim = . x →0 3 x x→0 3 x 3
如果 lim f ( x ) = ∞，
则直线 x = x0 是曲线 y = f ( x ) 的铅直渐近线．
1 例如: x = 0 是曲线 y = 的铅直渐近线． x
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《高等数学B1》
2. 无穷小与无穷大的关系 1 = 0； 定理8.1 如果 lim f ( x ) = ∞，那么 lim
( 或 f ( x ) < − M )，
同济大学《高等数学》(第四版)1-6节 极限的运算法则
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + ⋯ + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + ⋯ + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
n −1
+ ⋯ + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
sin x 例6 求 lim . x→∞ x
同济大学《高等数学》(第四版)1-5节 无穷小与无穷大
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
同济大学高等数学第一章无穷小比较
n
n
～
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定理1.
证:
～
o( )
lim 1 lim( 1) 0, 即 lim 0
～
o( ) , 即 o( )
例如, x 0 时,
～
tan x ～x , 故
tan x x o( x)
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价 , lim , 则 ~ , 且 lim
x 0 时,
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称 是 的同阶无穷小;
若 lim k C 0 , 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~
高等数学-第八节-无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版第八节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12★ 等价无穷小的充要条件 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x xx三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''= 定理2 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较.（1）;233+-x x （2）;lg x （3）.11sin )1(--x x 例4 （讲义例3）证明.~1x e x -例5 （讲义例4）求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例5）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例6）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8 求 .1cos 1)1(lim3/120--+→x x x 例9（讲义例7）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 .)1ln(lim2cos 0x x e e xx x x +-→ 例11 计算 .sin cos 12lim20xxx +-→例12 求 .cos sec )1ln()1ln(lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例8）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→.课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?。
高等数学(同济大学)课件上第1_4无穷小无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
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一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或x →∞)
时 , 函数
则称函数
(或x →∞)
例如 :
时的无穷小 . 无穷小
函数 函数 当 函数
当
时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.
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lim f (x) = A
证: lim f (x) = A
x→x0
f (x) = A + α , 其中α 为 x → x0
时的无穷小量 .
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时,有 f (x) − A < ε
α = f (x) − A
x→x0
lim α = 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
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例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 .
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渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若
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二、 无穷大
定义2 任给 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当
( x > X ) 的 x , 总有
同济大学《高等数学》(第四版)第一章习题课知识讲解
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)初 等来自函 数函无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
1、函数的定义
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h
无穷小的比较
原式 lim ( x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的乘积（或除法）因子作等 价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分 别代换.
例6 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不
同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()；
(2) 如果lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
即 sin x ~ x ( x 0).
当 x 0 时，sin x 与 x 是等价无穷小．
例1 证明 : 当x 0时,tan x sin x为x的三阶无穷小.
解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
lim( 1 x0 cos
x
sin x
x
1
cos x2
x)
1 lim x0 cos x
lim sin x x0 x
3
x
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设
~ 1,
~
且
1
lim
1 1
存在,
则 lim
lim
1 . 1
证
lim
lim(
1 1 )
1 1
lim lim 1 lim 1
高数1-8无穷小的比较
例5：求 lim x sin
注：熟练运用经常用到的等价无穷小的替换 当 ϕ (x ) → 0 时，
sin ϕ ( x ) ~ tan ϕ ( x ) ~ arcsin ϕ ( x ) ~ arctan ϕ ( x ) ~ ϕ ( x ) ln[1 + ϕ ( x )] ~ ϕ ( x ),
1 − cos ϕ ( x ) ~ 1 [ϕ ( x )]2 , 2
β α + o(α) = lim1 + o(α) = 1 ⇐ 设β =α + o(α ), 则lim α =lim α α
∴α～β
3.等价无穷小的替换定理 等价无穷小的替换定理
2 定理 设 α ～ α ′, β ～ β ′且 lim
β′ β β′ 存在 , 则 lim = lim α' α α′
β′ α′ α
α′
证： lim β = lim β ⋅ β ′ ⋅ α ′ = lim β ⋅ lim β ′ ⋅ lim α ′ = lim β ′
α
β ′ α′ α
4
二、例题
1.确定无穷小的阶 1.确定无穷小的阶 的几阶无穷小？ 例1 当 x →0时，下列函数分别为 x的几阶无穷小？
2.等价无穷小的充要条件 等价无穷小的充要条件 定理1 定理1：β 与α 是等价无穷小
β = α + o (α ).
β − 证：⇒设α～β , 则lim β α = lim β −1 = lim − 1 = 0 α α α ∴β −α = o(α ),即β =α + o(α ).
tan 2 4 x 例4： 求 lim x → 0 2(1 − cos x )
x2 解： 当x → 0时, tan 4 x～4 x ,1 − cos x～ , Q 2 tan 2 4 x (4 x )2 = 16 ∴ lim = lim x → 0 2(1 − cos x ) x →0 1 2⋅ ⋅ x2 2
无穷小的比较公式
无穷小的比较公式在数学中，无穷小是一种特殊的数值概念，它可以用来描述接近于零的量。
无穷小的比较公式是用来比较两个无穷小的大小关系的公式。
在本文中，将详细介绍无穷小的比较公式，并给出一些具体的例子。
1.高阶无穷小比低阶无穷小大2.函数与它的微分比无穷小大3.无穷小的乘积是无穷小4.极限运算首先来看第一种形式，即高阶无穷小比低阶无穷小大。
假设有两个无穷小量a和b，如果当x趋近于其中一点时，a/x和b/x的极限都为零，且a/x的阶数高于b/x的阶数，则有a比b大。
举个例子，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2，当x趋近于零时，f(x)/x 的极限为1，g(x)/x的极限为0，因为x^2的阶数比x的阶数高，所以可以得出x^2是一个比x大的无穷小。
第二个形式是函数与它的微分比无穷小大。
如果函数f(x)在其中一点处可微分，且其微分f'(x)在该点处不为零，那么当x趋近于该点时，f(x)与f'(x)的比值趋近于零，即f(x)/f'(x)的极限为零。
举个例子，考虑函数f(x)=x^2，它在x=0处可微分，且其导数f'(x)=2x在该点处不为零。
当x趋近于零时，f(x)/f'(x)=x^2/(2x)=x/2的极限为零。
因此，x^2是一个比2x大的无穷小。
第三个形式是无穷小的乘积是无穷小。
如果a是一个无穷小，b是一个有界函数，那么a乘以b也是一个无穷小。
考虑两个无穷小量a和b，其中a是一个无穷小，b是一个有界函数。
当x趋近于其中一点时，a的极限为零，而b的取值在一些区间内有限。
因此，a乘以b的极限仍为零，即a乘以b也是一个无穷小。
最后一个形式是极限运算。
如果有两个无穷小量a和b，且a比b大，那么a和b之间的任何有限运算后的结果仍然是一个无穷小。
举个例子，考虑两个无穷小量a=x，b=x^2、根据前面的分析，x^2是一个比x大的无穷小。
那么，无论我们对a和b进行加法、减法、乘法或除法，结果仍然是一个无穷小。
无穷小的比较【高等数学PPT课件】
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三
第六讲-无穷小与无穷小的比较全篇
x
lim
x0
2x
1 2
x
x
2
12
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则
lim( x) lim ( x)
例如, limarcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x
x0
x
(1
x
2
)
1 3
1
例3. 求
lim
x0
cos x 1
.
解:
13
例4 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
( 4 ) 1 , 1 n .
n n1
解:
lim
x0
4 3
x3 x2
0,
所以 x 0 时,4x3 o 3x2
1
lim n
n 1
,
n2
当n
时
,
1 n
是
比
1 n2
低
阶
的
无
穷
小.
lim x2 16 8, x4 x 4
所以 x 4 时, x2 16与 x 4是同阶无穷小
1
lim x0
x0
sin 3x
解 tan5x 5x, sin3x 3x, 1 cos x 1 x2 2
5x 1 x2 原式 lim 2
x0 3x
5 1 x lim 2
5.
x0 3
3
16
二、无穷大
定义3
在变量
y的变化过程中，如果
1 y
为无穷小量.
则称变量 y在该变化过程中为无穷大量，简称无穷大。
记作: lim y
例如:(1). lim(x 1) 0, 所以 x 1 为 x 1 时的无穷小量.
高等数学《无穷小比较》课件
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则:
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则.
若 = o() ,
(2) 和差代替规则:
例如,
例如,
(见下页例3)
(3) 因式代替规则:
界, 则
例如,
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解:
例5. 证明: 当
时,
证:
利用和差代替与取大规则
说明
内容小结
记作
例如 , 当
～
时
～
～
又如 ，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
设对同一变化过程 ,
, 为无穷小 ,
第一章
都是无穷小,
第七节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较定义.若源自则称 是比 高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小,
常用等价无穷小 :
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
无穷小比较-习题讲解
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小
是 的 k 阶无穷小
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常用等价无穷小 :
～
～
～
2. 等价无穷小替换定理
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o(), 即 o()
例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x, 故
tan x x o(x)
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证: lim lim
第八节
第一章
无穷小的比较
引例 . x 0 时, 3 x , x2 , sin x 都是无穷小, 但
lim x2 0, x0 3x
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
lim
lim
lim
lim
例如, lim tan 2x lim 2x 2 x0 sin 5x x0 5x 5
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
思考与练习 P75 题1 , 2
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练 习 题
(1 ax ) 1 6、lim =_________. x 0 x
1 n
7、当 x 0 时， a x 3 a (a 0) 对于 x 是_______阶无穷小 . 8、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则 m _______,n _______ . 二、求下列各极限： tan x sin x 1、lim ； 3 x 0 sin x e e 2、 lim ； sin x sin x 3、lim ； x 0 x tan x tan a lim 4、 ； x a xa
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
一、填空题： tan 3 x 1、lim =__________. x 0 sin 2 x arcsin x n 2、lim =________. x 0 (sin x ) m ln( 1 2 x ) 3、lim =_________. x 0 x 1 x sin x 1 4、lim =________. 2 x0 x arctan x x n 5、lim 2 sin n =________. n 2
例5 解
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
tan x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 5 x o( x ) x o( x 2 ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x )
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e 1 ~ x,
x
1 2 1 cos x ~ x . 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim 1, lim 0, 即 o( ), 于是有 o(). 1 2 sin x x o( x ), cos x 1 x o( x 2 ). 例如, 2
o( x ) 1 o( x 2 ) 5 x x 2 x 5. lim x 0 o( x ) 3 3 x
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
sin 2 x x , x 1 1 cos(a b) , x 1 2 1 cos(a b ) , x 1 2 cos(a bx ), x 1 四、1、 ； 2、a 2k ( k 0 , 1, ) , b 0 .
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证
lim lim( ) lim lim lim lim .
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ) . 四、设 f(x)= lim
2 n x 2n 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) f (1) ，
x 1 x 1
x
2 n 1
sin
tan 2 x 例3 求 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
注意
2
不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
tan x sin x 例4 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
一、无穷小的比较
1 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x lim 0, x 2比3 x要快得多; x0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 各 lim x 1, x0 极 1 2 x sin 限 x lim sin 1 lim 不存在. 不可比. 2 x 0 x0 x x
x cos(a bx )
lim f ( x ) f ( 1) .
练习题答案
3 一、1、 ； 2
0, m n 2、1, m n ；3、2； , m n
a 6、 ； ne ； ຫໍສະໝຸດ 、 4、 ；5、 ；
1 二、1、 ； 2
x
7、3；
1 8、 , 2. 2
； 4、sec 2 a . 3、
错 解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim x 0 3 0. (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 1. 原式 lim x 0 ( 2 x )3 16
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( ); ( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
( 3) 如果 lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的
无穷小.
例1 证明: 当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim 4 lim( ) 4, 4 x 0 x 0 x x
故当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
常用等价无穷小:
当x 0时,