2006年普通高等学校招生全国统一考文试题参考答案(福建卷)

2006年普通高等学校招生全国统一考文试题参考答案（福建卷）一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．1014．1415．4 16．32三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力．满分12分．解：（I ）1cos 2()222x f x x -=+112cos 222x x =-+ π1sin 262⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x ．()f x ∴的最小正周期2ππ2T ==． 由题意得πππ2π22π262k x k k --+∈，≤≤Z ,即ππππ63-+k x k ≤≤，k ∈Z ．()f x ∴的单调增区间为ππππ+63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k k ，k ∈Z ．（II ）方法一：先把sin 2y x =图象上所有的点向右平移π12个单位长度，得到πsin 26⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x 的图象，再把所得图象上所有的点向上平移12个单位长度，就得到π1sin 262⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x 的图象．方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量a π1122⎛⎫= ⎪⎝⎭，平移，就得到π1sin 262⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x 的图象．18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（I ）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则655()666P A ⨯==⨯． 答：抛掷2次，向上的数不同的概率为56． （II ）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．向上的数之和为6的结果有(15)(24)(33)(42)(51)，，，，，，，，，5种， 55()6636∴==⨯P B ． 答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536． （III ）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，3235511105()(3)C 223216⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P C P ． 答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为516． 19．本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 方法一：（I ）证明：连结OC ．BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ，，．BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ ，，． 在AOC △中，由已知可得1AO CO =， 而2AC =，222AO CO AC ∴+=．90AOC ∴=︒∠，即AO OC ⊥． = BD OC O ， AO ∴⊥平面BCD .（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM ME OE ，，，由E 为BC 的中点知ME AB OE DC ，∥∥,∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角． 在OME △中，111222EM AB OE DC ====，， OM 是直角AOC △斜边AC 上的中线，112OM AC ∴==．cos4OEM∴=∠．∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos4. （III）解：设点E到平面ACD的距离为h，E ACD A CDEV V--=，1133ACD CDEh S AO S∴=△△．在ACD△中，2CA CD AD===，12ACDS∴==△．而21122CDEAO S===，△，1CDEACDAO ShS∴===△△．∴点E到平面ACD．方法二：（I）同方法一．（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则1 (100)(100)(0(001)(2B DC A E-，，，，，，，，，，(101)(1BA CD=-=-，，，．cos4BA CDBACDBA CD∴<>==，，∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos4．（III）解：设平面ACD的法向量为n ()x y z =，，，则n n⎧⎨⎩()(101)0()(01)0AD x y z AC x y z =--==-=，，，，，，，，00+=⎧⎪∴-=，．x z z 令1y =，得n (=是平面ACD 的一个法向量． 又1022EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴点E 到平面ACD的距离7===n nEC h ．20．本小题主要考查直线、圆、椭圆的基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分12分．解：（I ）22a = ，21b =，1c ∴=，()10F -，，2=-:l x ．圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线12x =-上．设12M t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则圆半径()13222⎛⎫=---= ⎪⎝⎭r ． 由=OM r32=，解得=t∴所求圆的方程为(221924x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭． （II ）设直线AB 的方程为()()10y k x k =+≠，代入2212x y +=，整理得()2222124220k x k x k +++-=． 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根，记()11A x y ，，()22B x y ，，AB中点()00N x y ，，则2122421k x x k +=-+，2012002212()(1)22121=+=-=+=++，k k x x x y k x k k ，线段AB 的中点N 在直线0x y +=上，20022202121k kx y k k ∴+=-+=++，0k ∴=或12k =， 当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线0x y +=上，∴直线AB 的方程是0y =或210x y -+=．21．本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解： ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(05)，， ∴可设()(5)(0)f x ax x a =->．()f x ∴在区间[]14-，上的最大值是(1)6f a -=．由已知，得612a =．2a ∴=．2()2(5)210()f x x x x x x ∴=-=-∈R ．（Ⅱ）方程37()0f x x+=等价于方程32210370x x -+=． 设32()21037h x x x =-+， 则2()6202(310)h x x x x x '=-=-．当1003x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0()h x h x '<，是减函数；当103x ⎛⎫∈+⎪⎝⎭，∞时，()0()h x h x '>，是增函数． 101(3)100(4)50327h h h ⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭，，，∴方程()0h x =在区间10103433⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，内分别有惟一实数根，而在区间(03)(4)+，，，∞内没有实数根．所以存在惟一的自然数3m =，使得方程37()0f x x+=在区间(1)m m +，内有且只有两个不同的实数根．22．本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）证明：2132n n n a a a ++=- ，()2112n n n n a a a a +++∴-=-． 1213a a == ，，()2112n n n na a n a a *+++-∴=∈-N ．{}1n n a a +∴-是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（I ）得12(n n n a a n +-=∈*N )，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+122221n n --=++++21(n n =-∈*N )．（III ）证明：()121114441n nbb b b n a ---=+ …，()1242n n b b b nnb +++-∴=…．()122n b b b n bn ∴+++-=⎡⎤⎣⎦ ， ① ()()()1211211n n n b b b b n n b ++++++-+=+⎡⎤⎣⎦ ． ②②－①，得()()11211n n n b n b nb ++-=+-，即()1120n n n b nb +--+=， ③21(1)20n n nb n b ++-++= ④④－③，得2120n n n nb nb nb ++-+=， 即2120n n n b b b ++-+=，()211n n n n b b b b n *+++∴-=-∈N ，{}n b ∴是等差数列．。