2006年高考福建卷理科数学试题及参考答案
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2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
(理工农医类)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
(1)设a 、b 、c 、d ∈R ,则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是
A.ad -bc =0
B.ac -bd =0
C. ac +bd =0
D.ad +bc =0 (2)在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于
A.40
B.42
C.43
D.45
(3)已知α∈(
2π,π),sin α=53,则tan(4
π
α+)等于
A.
71 B.7 C.- 7
1
D.-7 (4)已知全集U =R,且A={x ︱︱x -1︱>2},B ={x ︱x 2
-6x +8<0},则(
U
A )∩等于
A.[-1,4]
B. (2,3)
C. (2,3)
D.(-1,4)
(5)已知正方体外接球的体积是
π3
32
,那么正方体的棱长等于 A.22 B.
332 C.324 D.3
3
4 (6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出3个
球,至少摸到2个黑球的概率等于
A.
72 B.83 C.73 D.28
9 (7)对于平面α和共面的直线m 、n ,下列命题中真命题是
A.若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α
B.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
C.若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n
D.若m 、n 与α所成的角相等,则n ∥m (8)函数y=㏒2
1
-x x
(x ﹥1)的反函数是 A.y =122-x x (x >0) B.y = 122-x x
(x <0)
C.y =x x 212- (x >0)
D. .y =x
x 2
12- (x <0) (9)已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-
,
4
π
]上的最小值是-2,则ϖ的最小值等于
A.
32 B.2
3
C.2
D.3
(10)已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,+∞]
D.(2,+∞)
(11)已知︱︱=1,︱︱=3,∙=0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC =30°,设
OC =m OA +n OB (m 、n ∈R ),则
n
m
等于 A.
31 B.3 C.3
3 D.3 (12)对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),定义它们之间的一种“距离”:‖AB ‖=︱x 1-x 2︱+︱y 1-y 2︱.
给出下列三个命题:
①若点C 在线段AB 上,则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;
②在△ABC 中,若∠C =90°,则‖AC ‖2
+‖CB ‖2
=‖AB ‖2
;
③在△ABC 中,‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(13)(x 2
-
x
1)2展开式中x 2
的系数是 (用数字作答) (14)已知直线x -y -1=0与抛物线y =ax 2
相切,则a=
(15)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2,将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是 (16)如图,连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1,又连结的△A 1B 1C 1各边中点得到,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC ,△A 1B 1C 1,△A 2B 2C 2,…,这一系列三角形趋向于一个点M ,已知A (0,0) ,B (3,0),C (2,2),则点M 的坐标是 .
二、 解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R.
(I )求函数f (x )的最小正周期和单调增区间;
(Ⅱ)函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到?
(18)(本小题满分12分)
如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 (Ⅰ)求证:AO ⊥平面BCD ;
(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的大小; (Ⅲ)求点E 到平面的距离.
(19)(本小题满分12分)
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:y =
880
3
12800012+-x x (0 地相距100千米。 (Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? (20)(本小题满分12分) 已知椭圆12 22 =+y x 的左焦点为F ,O 为坐标原点。 (Ⅰ)求过点O 、F ,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围. (21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=-x 2 +8x,g (x )=6ln x+m (Ⅰ)求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t ); (Ⅱ)是否存在实数m ,使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点?