积分计算中的对称性定理及应用
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献谢词一、 引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义.二、相关的定义定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）.定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --,则D a x y +=对称,称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域.定义3：(1)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性.(2)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性.定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,则)(x f 为关于()0,a 中心对称.当且仅当0=a 时有)()(x f x f -=-则)(x f 为奇函数.若)()(a x f a x f +=-且)()(x a f x a f +-=-则)(x f 既关于a x =对称,又关于()0,a 中心对称.定义5若n 元函数),,,,,,(),,,(11121-+≡i x x x x x f x x x f n i i n , (n i ,,2,1 =),则称n 元函数),,,(21n x x x f 关于n x x x ,,,21 具有轮换对称性.定义6：若)(),,,(21N n R D x x x p nnn ∈⊂∈∀ 有),,,,,,(1111-+i x x x x x p n i i nD ∈),,2,1(n i =成立，则称n D 关于),,,(21n x x x p 具有轮换对称性.三、重积分的对称性（一）对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下,甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理,由此得出一系列的结论,并通过实例说明这是结论的应用. 引理 设函数)(x f 在[]h a h a +-,上连续,则有[]⎰⎰+--++=ha ha hdx x a f x a f dx x f 0)()()( (1)证令t a x +=,有 ⎰⎰⎰+--+++=h a ha h hhdt t a f dt t a f dx x f 0)()()( (2)令u t -=,则⎰⎰⎰--=--=+000)()()(hhhdu u a f du u a f dt t a f （3）将（3）式带入（2）式,并将积分变量统一成x ,则[]⎰⎰-++=+-hh a ha dx dx x a f x a f dx x f 0)()()(特别地，令0=a ，就得公式[]dx x f x f dx x f hhh⎰⎰--+=0)()()(由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1 设函数)(x f 在[]h h ,-上连续，那么2） 若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=hh hodx x f dx x f )(2)(3） 若)(x f 为奇函数，则⎰-=hhdx x f 0)(次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助，例1 求xdx x x I cos 1122223⎰-+++=ππ解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分x x x cos 123+和x cos ，前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.⎰⎰--++=222223cos cos 1ππππxdx dx x x x I =⎰2cos 2πxdx=2注：而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间[]h h ,-上求解。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
对称性求解积分
(x y z)2dV
x2dV y2dV z2dV xydV yzdV xzdV
3
z2dV 3
2
d
sin d
R r4 cos2 dr 6
sin cos2 d
R r4dr
0
0
0
0
0
4 R5.
5
D
解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f(x,-y)=-(xy+y3 )=-f(xy)
即f (x, y)是关于y的奇函数，由定理知， (xy y3)dxdy=0. D
计算 （x+y+z）2dV ,其中是x2 y2 z2 R2的球体.
解由对称性知
xydV yzdV xzdV, x2dV y2dV z2dV,
D
答案：1. ln 2 2.- 2 3. a b
2Hale Waihona Puke 52利用对称性简化二重积分计算
1、I=
z ln(x2 1 x2
y2 y2
zz22)dxdydz,
其中为x2
y2
z2
1.
解：由被积函数可以看出，此函数是关于z的奇函数，因为关于坐标轴 、坐标原点都对称，则：I=0
2、计算I = (xy y3)dxdy,其中D为由y2 2x与x 2围成的区域
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D1
D2
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D
D
对称性的应用
例1：设区域D={（x,y)|x2 y2 1, x 0},计算二重积分I = 1 xy dxdy
D 1 x2 y2
例2：计算 x[1 yf (x2 y2 )]dxdy，其中D是由y=x3, y 1, x 1围成的区域，f
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
对称性在积分计算中应用
对称性在积分计算中应用对称性在积分计算中的应用是数学领域中的一个重要主题。
对称性是指数学对象在一定变换下保持不变的性质。
在积分计算中，对称性可以极大地简化计算过程，使其更加高效且容易处理。
本文将从对称性的定义、对称积分的概念和性质以及对称积分的应用三个方面展开详细阐述。
首先，我们来介绍对称性的定义。
在数学中，对称性是指对象在其中一种变换下保持不变的特性。
常见的对称性包括轴对称、面对称、旋转对称等。
对称性是研究各种数学对象的基本性质，对于深入理解和应用数学有着重要的作用。
对称积分是指根据数学对象的对称性，进行积分计算时可以简化积分表达式的一种方法。
具体而言，对称积分是通过利用积分函数的对称性，减少积分计算时所需的代数运算和变换，简化积分表达式，从而得到更加简洁和高效的计算结果。
对称积分有许多重要的性质。
首先，对称积分满足线性性质，即对于两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。
其次，对称积分满足区间可加性，即对于两个不相交的区间[a, c]和[c, b]，有∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。
除了这些基本性质外，对称积分还有一些重要的应用。
首先，对称积分可以用于求解一些特殊函数的积分。
例如，高斯函数e^(-x^2)经常出现在概率论和统计学中，而该函数的积分在正态分布的计算中起着重要作用。
通过对高斯函数具有的轴对称性进行积分，可以简化计算过程，得到高斯函数积分的解析表达式。
其次，对称积分可以用于计算一些几何问题。
例如，计算平面上其中一函数图像与坐标轴之间的面积。
如果该函数具有轴对称性或者面对称性，可以利用对称积分的方法进行计算。
通过选择适当的坐标系，并利用积分的对称性对积分区间进行简化，可以将原问题转化为更加简单的计算。
1对称性在二重积分中的应用
定义 2：若二元函数 f (x, y)的定义域 D 关于 x
轴对称，且满足 f (x, y) f (x, y)
（或 f (x, y) f (x, y)），则称 f (x, y) 关于y
为奇（偶）函数.
定义 3：若二元函数 f (x, y) 的定义域 D 关于
直线 y 对x称，且满足 f (x, y) f ( y，, x)
解：由 e ydxdy etdudt exdydx
x2 y2 R2
u2 t2 R2
y2 x2 R2
exdxdy x2 y2 R2
计算
(ex e y )dxdy
x2 y2 R2
解： 由 e ydxdy exdxdy
x2 y2 R2
x2 y2 R2
故 (ex e y )dxdy exdxdy e ydxdy
片的质量M.
解：根据二重积分的物理意义，M e|x||y|dxdy. D
由于积分区域 D 关于x 轴，y 轴都对称，且
数关于 x, y 都是偶函数，根据推论1.1得
被积函
y
1
D
y 1 x
M e|x||y| dx d y 4 exy dx d y
D1DD1源自1 1x1 O1x
4 d x exy d y 4.
y
定理 1’
D1 D
若有界闭区域 D 关于 x 轴对称，f (x, y) O
x
在区域 D 上连续， 则
f
(x,
y)
dx
d
y
0
当 f (x, y) 关于y 为奇函数时
D
2 f (x, y)dxdy
D1 当 f (x, y) 关于 y 为偶函数时
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用对称性是数学中重要的概念之一，它的应用涉及到各个数学领域中。
在积分计算中，对称性也是一个非常重要的工具和思想，能够帮助我们简化、优化和解决复杂的积分问题。
本文将介绍对称性在积分计算中的应用，以及如何利用对称性求解各类复杂积分。
一、对称性概述对称性是指物体或者数学对象的部分或整体运动具有某种规则性的现象。
常见的对称性包括轴对称、中心对称、对角线、对边对称、等等。
对称性是自然界现象和数学理论中广泛存在的一种现象，也是数学中强有力的工具和思想。
二、对称性在积分计算中的基本应用对称性在积分计算中的使用具有以下优点：1.减少计算量：使用对称性可以将积分的计算范围缩小为对称区间内的一半，从而大大减少了计算量，简化了计算过程。
2.避免重复计算：利用对称性可以避免重复计算某些部分，减少了计算量和出错的概率。
3.提高准确度和精度：对称性具有非常清晰的数学定义和可操作性，使用对称性可以提高准确度和精度，更好地描述数学对象的性质和特征。
下面分别对轴对称、中心对称、对角线对称、对边对称等对称性进行介绍，并说明其在积分计算中的具体应用。
1.轴对称轴对称是指数学对象在某个轴线旋转180度以后不改变其形状和大小。
在数学中，轴对称包括平面上的x轴、y轴和45度斜线轴等。
轴对称在积分计算中的应用非常广泛，常见的应用包括：（1）基本函数关于坐标轴对称的性质：例如正弦函数和余弦函数关于y轴对称，正切函数和余切函数关于x轴对称。
利用这些对称性质可以简化复杂函数的积分。
（2）轮换对称性：对于一类具有一定规则性的函数，可以通过对其进行轮换得到新的函数，这样可以将原函数分成几个对称的部分，从而提高计算效率。
例如，对于函数f(x,y) = x + y的积分计算，因为其具有xy的轮换对称性，可以将其分解成两部分f1(x,y) = x和f2(x,y) = y，从而使积分计算简化。
（3）利用轴对称性质求偶函数和奇函数的积分：如果f(x)是关于y轴对称的偶函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于2∫f(x)dx从0到x之间的积分，即∫-xf(x)dx = 2∫0f(x)dx如果f(x)是关于y轴对称的奇函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于0。
二重积分的对称性计算
二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。
4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。
5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。
对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。
通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。
除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。
这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。
总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。
在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。
积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用
积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用在积分计算中，积分区域的对称性和被积函数的奇偶性是非常有用的工具。
它们可以简化积分计算的过程，减少计算的复杂性。
本文将详细介绍积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用。
一、积分区域的对称性1.轴对称性当被积函数在积分区域上关于一个轴对称，可以利用轴对称性将积分区域的整个积分化简为积分区域的一半。
具体来说，对于轴对称的积分区域，可以通过在轴上取等于0的新变量，达到积分区域的简化。
例如，对于关于x轴对称的积分区域，可以将原来的积分区域分成上下两个相等的部分，只需计算其中一个部分的积分，再乘以2即可得到整个积分的结果。
2.点对称性当被积函数在积分区域上关于一个点对称，可以利用点对称性将积分区域的整个积分化简为积分区域的一部分。
具体来说，对于关于原点对称的积分区域，可以将原来的积分区域分成两个对称的部分，只需计算其中一个部分的积分，再乘以2即可得到整个积分的结果。
3.面对称性当被积函数在积分区域上关于一个平面对称，可以利用面对称性将积分区域的整个积分化简为积分区域的一部分。
具体来说，对于关于xy平面对称的积分区域，可以将原来的积分区域分成上下两个对称的部分，只需计算其中一个部分的积分，再乘以2即可得到整个积分的结果。
利用积分区域的对称性可以有效地简化积分计算的过程，减少计算量，提高计算效率。
同时，对称性还可以帮助我们更好地理解被积函数在不同区域上的行为，为进一步的积分分析提供指导。
二、被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性是指被积函数在积分区域上的对称性质。
被积函数的奇偶性可以决定积分的结果，从而简化积分计算的过程。
下面，我们将介绍两种常见的被积函数的奇偶性。
1.奇函数如果被积函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则被积函数f(x)是奇函数。
奇函数具有以下特点：在关于原点对称的积分区域上，奇函数的积分结果为0，即∫[-a, a] f(x) dx = 0。
对称性在积分计算中的应用精编
对称性在积分计算中的应用引言积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.一、相关的定义设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）。
二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念设函数)(x f 在],[b a 上有界，(1) 在],[b a 内插入若干个分点,......210b x x x x a n =<<<<=把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],......[,],n n x x x x x x -各个小区间长度依次为110221,,x x x x x x ∆=-∆=-1.......n n n x x x -∆=-(2) 在每个小区间上任取一点1(),()i i i i i x x f ξξξ-≤≤作函数与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,......,),i i f x i n ξ∆=,并作出和 1().ni i i S f x ξ==∆∑(3) 记12max{,,......,},n x x x λ=∆∆∆如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么这个极限称为函数的()f x 在区间],[b a 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(即记为1()()nbi i ai f x dx I f x ξ===∆∑⎰其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间. 2. 几何意义几何上,⎰<ba b a dx x f )()(表示曲线()y f x x =与轴，,x a x b ==所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若()x f [,]a b k 在上可积，为常数，则()x kf 在],[b a 上也可积，则⎰b adx x kf )(⎰=badx x f k )(性质 2 ()()上也可积，且在则上可积都在若],[)()(,],[,b a x g x f b a x g x f ±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰±=±性质 3 ()()()()上也可积在上可积，则在都在若],[],[,b a x g x f b a x g x f ⋅ 性质 4 ()()上与在任给上可积的充要条件是：在],[],[),,(],[b c c a x f b a c b a x f ∈.都可积.)()()(⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f 此时又有等式规定 1 0)(⎰==badx x f b a 时，令当.规定 2 .)()(⎰⎰-=>abb adx x f dx x f b a 时，令当 .性质 5 ()⎰≥∈≥badx x f b a x x f b a x f .0)(],,[,0)(.],[则若上的可积函数为设推论（积分不等式性）()()],,[),()(],[b a x x g x f b a x g x f ∈≤上的两个可积函数，且为与若性质 6()().)()(],[],[dx x f dx x f b a x f b a x f baba⎰⎰≤上也可积，且在上可积，则在若（三） 对称性在定积分中的定理定理1 若)(x f 在a][-a,(a>0)上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为 ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分作代换-t x =,则得⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(所以 ⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 00)]()([)()()((1) 若)(x f 为偶函数，则)(2)()(),()(x f x f x f x f x f =+-=-即 所以⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若)(x f 为奇函数，则0)()(),()(=+--=-x f x f x f x f 即 所以0)(=⎰-aa dx x f .注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 dx x x 23111)1(-+⎰-解 =⎰⎰---+-112311211dxx x dx x因为积分区间关于原点对称，而2-1x 是偶函数，231x x -是奇函数，故,011123=-⎰-dx x x设 x =y sin 2cos 1222112πππ⎰⎰--==-dy y dx x原式=2π 例 2 计算()2x 2ln 1e x dx -+⎰因为积分区间关于原点对称，但()x e 1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可()().b ba af x dxg x dx ≤⎰⎰则有利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令()()x x f e 1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，()()2222x x -x 222220118ln 1+e ln 2e e d 223x dx x x dx x x x dx ---⎡⎤=+++===⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以有例3 计算 ⎰-+22223sin )cos (ππxdx x x分析 由于x x 23sin 是一个奇函数, x x 22sin cos 是一个偶函数,并且积分区域]2,2[ππ-关于原点对称,因此可用定理1来计算. 解 由定理1得 原式⎰⎰--+=22222223sin cos sin ππππxdx x xdx x⎰-+=2222sin cos 0ππxdx x=)sin sin (2204202⎰⎰-ππxdx xdx 其中220sin xdx π⎰=22222220sin cos (sin cos cos )sin xd x x xx dx dx x dx πππππ-=--=-⎰⎰⎰⎰2220sin xdx π⎰=2π ，220sin xdx π⎰=221π⋅ 同理得：22143)sin 204ππ⋅⋅=⎰xdx原式 )22143221(2ππ⋅⋅-⋅=8π=.利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念 1 概念设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，(1) 将闭区域D 任意分成n 个小闭域12,,......,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个i σ∆上任取一点(,),i i εη 作乘积(,)i i i f εησ∆ (1,2,......,),i n =并作和1(,),niiii f εησ=∆∑(3) 如果当个小闭区域的直S 径的最大值0λ→时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分,记作 01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσεησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x y 与叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f εησ=∆∑叫做积分和.2 几何意义当(,)f x y 为闭区域D 上的连续函数，且(,)0,f x y ≥则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，侧面以D 的边界曲面为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积.一般地，(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 上也可积，且在为常数，则上可积，在区域若D y x kf k y x f ),(D ),(⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf .),(),(σσ性质 8 上也可积，且在上都可积，则在若D y)g(x,y)f(x,D ),(),,(±y x g y x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f .),(),(]),(),([σσσ性质 9 若 ),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在1D ⋃2D 上可积，且.),(),(),(2121σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋃性质 10 则上可积，且在与若,),(),,(),(),(),(D y x y x g y x f D y x g y x f ∈≤⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f .),(),(σσ性质 11 ⎰⎰Dd y x f D y x f D y x f σ),(),(),(上也可积，且在上可积，则在若σd y x f D⎰⎰≤),(性质 12 σd y x f mS D y x M y x f m D y x f DD ),(,),(,),(),(⎰⎰≤∈≤≤则上可积，在若.,的面积是积分区域这里D S MS D D ≤（三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则⎰⎰Dd y x f σ),(0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)iD f x y d σ⎰⎰(1,2)i =注 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续(i)若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中2D 是D 的上半部分 2D =}0|),{(≥∈y D y xy)(x y ϕ=1Da 0b x2D)(-x y ϕ= 图1 证明12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1)若区域D 对称于x 轴(图1)，对任意(,)P x y ∈1D ，其对称点(,)P x y '-∈2D1D ={}0(),y x a x b ϕ≤≤≤≤，2D ={}()0,x y a x b ϕ-≤≤≤≤，令x xy t=⎧⎨=-⎩， 则2D 变换为xot 坐标面上的{}10()D t x a x b ϕ=≤≤≤≤，，且雅可比行列式(,)(,)x y x t ∂∂10101==--． 故2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)1D f x t dxdt -∙-⎰⎰=1(,)D f x y dxdy -⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，于是，代入（1）式得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y =--⎧⎪=⎨=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,(ii) 若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f x y x f d y x f 1),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y xy)(y x ϕ-= d )(y x ϕ=2D 1D 0 xc图2证明 若区域D 对称于y 轴(图2)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点(,)P x y '-∈2D ，类似 (i) 的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,定理 3 设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续 （1）若),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则1(,)4(,),DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰其中1D 是D的第一象限的部分1{(,)|0,0}D x y D x y =∈≥≥(,)f x y （2）若关x 和y 均为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰定理 4 设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y xy2D 1D )(x y ϕ= 0 x a b)(x y ψ=图3证明 若区域D 对称于原点(图3)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点P '(,)x y --∈2D ，{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，, {}2()()D x y x b x a ϕψ=--≤≤---≤≤-，,令x uy v =-⎧⎨=-⎩， 则区域2D 变换为uov 坐标平面内区域{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，，雅可比行列式(,)(,)x y u v ∂∂10101-==-，所以2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)D f u v dudv --⎰⎰=1(,)D f x y dxdy --⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdyf x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧---=-⎪⎪⎨--=⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，代入12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 ，若 ，若定理 5 设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数，故由定理225sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例 5 设 :sin ,,12D y x x y π==±= 围成求 (1)Dxy dxdy-⎰⎰x 2π-= y x 2π=y=1x图5x11-10 图4y解 12DDD D DI xydxdy dxdy xydxdy xydxdy dxdy =-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为12D D 和关于y 轴对称，所以由定理2知120D D xydxdy xydxdy +=⎰⎰⎰⎰所以 原式 =Ddxdy π=⎰⎰例 6 计算二重积分 222(373),: 1.DI x x y d D x y σ=++++≤⎰⎰其中解 见下图 D 关于x y 轴轴都对称，而37x y 和分别关于变量x 和变量y 为奇数 所以由定理330,Dxd σ=⎰⎰70Dyd σ=⎰⎰设 θσθr d r d d r x ==,c o s ，=⎰⎰σd x D2rdr r d ⎰⎰πθθ2012)cos ( 所以 原式πθθπ3)cos (2012+=⎰⎰rdr r d π411=yDx图6例 7 计算 (),DI x y d x d y =+⎰⎰ 其中: 1.D x y +≤解 D x y 关于轴，轴对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有(,)f x y -=(,)(,)f x y f x y -=由定理3，有1()()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰，其中1D D 是的第一象限部分，由对称性知11D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰22(3)3DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 11144()4()8.3D D D I x y d x d y xx d x d y x d x d y =+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 8 计算2()Dxy x y dxdy +⎰⎰其中D 是由,1,1y x y y ===-0x =以及所围城的闭区域图7解 如图， 12D D D =+，1D 、2D 关于原点对称，但被积函数不满足(,)(.)f x y f x y =--,也不满足(,)(.)f x y f x y =---,故不能直接用定理来计算， 所以令1(,)f x y xy = ， 22(,)f x y x y =对1(,)f x y 和2(,)f x y 分别应用定理4，则11(,)2DD f x y dxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰，2(,)0Df x y dxdy =⎰⎰，故 2()DI xy x y dxdy =+⎰⎰41221001==⎰⎰⎰⎰xD xydydx xydxdy 例 9 设()f x 为恒正的连续函数，计算积分222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 解 由于积分区域222x y r +≤关于y x =对称，所以由定理5 ，可得222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=222()()()()x y r af y bf x dxdy f y f x +≤++⎰⎰， 于是222()()2()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 222222()()()()()()()()x y r x y r af x bf y af y bf x dxdy dxdy f x f y f y f x +≤+≤++=+++⎰⎰⎰⎰ 222()x y r a b dxdy +≤=+⎰⎰=2()a b r π+．故222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=2()2a b r π+．四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理. （一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设Ω由0),,(≤z y x ϕ表示,若将x 和y 的位置交换后,0),,(≤z x y ϕ仍然表示Ω,则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=⎰⎰⎰Ωdv z x y f ),,(,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于xoy 面对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上是关于在当的偶函数上是关于在当z f z f dxdydvz y x f dv z y x f ,0,),,,(2),,,(1定理8 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于z 轴对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上为关于在当的偶函数上为关于在当y x f y x f dxdydzz y x f dxdydz z y x f ,,0,,),,,(2),,,(1（二） 对称性在三重积分中的应用举例例10 计算⎰⎰⎰++ωdu z y x )(,其中Ω：≤++222z y x R 2,（0,00,≥≥≥z y x ）.解 本题具有变量位置的对称,因此有⎰⎰⎰ωxdu =⎰⎰⎰ωydu =⎰⎰⎰ωzdu 设D z :)0,0(2222≥≥=++y x R z y x ,则原式为 3⎰⎰⎰ωzdu =3⎰⎰⎰RD zdxdy zdz 0=43⎰Rdz z R z 022)-(π=1634R π 可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222,其中ω：≤++222z y x 1. 分析 很显然,ω关于xoy 面对称,可以直接运用定理7.解 因为ω关于xoy 面对称,且被积函数1)1ln(),,(222222++++++=z y x z y x z z y x f 在ω上连续并为关于z 的奇函数,故 ⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 =0. 例12 计算⎰⎰⎰Ω+dV yx xyz 22,其中Ω为xy a 22222)z y (x =++与0=z 两曲面所围区域.解 显然,积分区域Ω关于z 轴对称,且22),,(y x xyzz y x f +=为关于x 、y 的偶函数,又因为≥++2222)(z y x 0,所以xy 同号.因而Ω分布在一、四象限内,从而由定理8得到⎰⎰⎰Ω+dV y x xyz 22=⎰⎰⎰Ω+1222y x xyzdxdydz =⎰⎰⎰θθϕππθθϕϕϕθcos sin sin 03202cos sin cos sin 2a dr r d d= ⎰⎰=202045334144cos sin cos sin 2ππϕϕϕθθθad d a .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上1.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ,则称),(y x f 为偶函数.2.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f -或),(y x f -=),(y x f -,则称),(y x f 为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,记L 在上半平面的部分为1L ,下半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L Ly y x f ds y x f y y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 定理10 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,记L 在右半平面的部分为1L ,左半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L L x y x f ds y x f x y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 推论1 设分段光滑的平面曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧I =⎰⎰11),(,),(4),(, 0),(L L L L x y y x f ds y x f x y y x f ds y x f 象限中的部分）位于第是的偶函数（其中或为关于的奇函数或为关于定理11 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,则(1)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dx y x P ),(=21⎰--Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰-L dy y x P ),(=21⎰-+L dy y x P y x P )],(),([定理12 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,则 (1)⎰Ldx y x P ),(=⎰-Ldx y x P ),(=21⎰-+Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dy y x P ),(=21⎰--L dy y x P y x P )],(),([ 推论2 设分段光滑的有向平面曲线L 关于x 轴对称,（L 在上半平面部分记为1L ,在下半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则(1) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于y y x P dy y x P y y x P dy y x P(2) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于y y x Q dy y x Q y y x Q dy y x Q推论3 设分段光滑的有向平面曲线L 关于y 轴对称,（L 在右半平面部分记为1L ,在左半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则（1）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于x y x P dy y x P x y x P dy y x P（2）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于x y x Q dy y x Q x y x Q dy y x Q（二） 对称性在曲线积分中的应用举例 例13 计算⎰=++1||||||||y x ds y x x解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数||||),(y x xy x f +=为关于x 的奇函数,由推论1,得⎰=++1||||||||y x ds y x x=0 例14 计算⎰+Lxydy e x1,其中L 关于x 轴对称,取逆时针方向, L 所围成的闭区域D 的面积为σ.分析 显然,题目已知L 关于x 轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果解 由定理11,有⎰+Lxydy e x 1=21dy e xe x Lxy xy ⎰-+++)11(=21⎰++Lxy xy dy e xe x 1=21⎰Lxdy =21⎰⎰Dd σ=21σ. 例15 计算⎰++L xy dydx 1||,其中1:=+y x L ,取逆时针方向.解 因为⎰++L xy dy dx 1||=⎰+L xy dx 1||+⎰+L xy dy 1||而L 关于x 轴、y 轴对称且对称两部分方向相反,函数),(y x f =1||1+xy 既为关于x 的偶函数,又为关于y 的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性（一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲面上1.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f )或=-),,(z y x f ),,(z y x f ,则称),,(z y x f 为偶函数.2.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f -或=-),,(z y x f ),,(z y x f -,则称),,(z y x f 为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线Γ关于xoy (或yoz 或zox )坐标面对称,记1Γ为位于对称坐标面一侧的部分, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1)(y)f(x,,),,(2)(),(,0),,(τ的偶函数或或为关于的奇函数或或为关于y x z ds z y x f y x z y x f ds z y x f z定理14 设曲面S 是由关于P （或平面α）对称的1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的对称点为22S M ∈,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===S12S 12)(M )(M ,0)(M )(M ,(M)2(M)1f f f f ds f ds f 若若 证明 以曲面S 关于平面α对称为例,不妨设曲面S 是关于xoy 对称的曲面1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的坐标为),,(z y x ,则其对称点22S M ∈的坐标为),,(z y x -,设1S 、2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),,(),,(),,(S S Sds z y x f ds z y x f ds z y x f =⎰⎰++-+dxdy z zy x z y x f y x z y x f y x 221)]},(,,[)],(,,[{(1)当=-),(z y x f ),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=⎰⎰1),,(2S ds z y x f(2)当=-),(z y x f -),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=0.（二） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算⎰⎰++εds zx yz xy )(,其中∑为锥面z =22y x +被曲面ax y x 222=+所截下的部分.分析 由于曲面∑关于zox 面对称,而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数 解 根据定理,知⎰⎰++εds zx yz xy )(=⎰⎰εzxds =⎰⎰+++xyD y x dxdy z z y x x22221=⎰⎰+xyD dxdy y x x 222=2⎰⎰-22cos 203cos ππθθθa dr r d =42⎰-225cos ππθθd =156424a .例17 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ||,其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1=z 之间的部分.解 因曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称,而||),,(xyz z y x f =,由定理知⎰⎰=14S xyzds I ,其中1S 是S 在第一象限的部分22y x z +=,'x z x 2=,y z y 2'=,dxdy y x ds 22441++=.故I=dxdy y x y x xy xyD 2222441)(4+++⎰⎰=⎰⎰122cos sin 4θθθπr d ·2r ·241r +·rdr=4201-5125.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J]，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.后记本论文在选题及研究过程中得到指导老师的悉心指导。
对称性在积分计算中的应用
引言对称性是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初高等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选用合理的解题途径和方法。
解决积分问题的方法多种多样，若仅限定于初等数学方法，解题往往需要较强的技巧，因此高等数学又从对称性的角度找到了便利，它是讨论积分问题的有力武器。
对称性的作用在许多工程，经济等方面也非同小可。
因此无论从考试角度及能力方面都需要对对称性进行系统的总结。
1 对称性在积分计算中的应用1.1 对称性在计算区间[],a a -上的定积分的应用性质1 对于对称区间[],a a -上的定积分，有：0()()2()()aaaf x x f x dx f x dx f x x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量为奇函数如果关于变量为偶函数证明：①设()f x 为奇函数，则()f x =()f x --，故：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰在第二个式子中令x t =-，则(1)dx dt =-，所以：原式0()(1)()aaf t dt f x dx -=--+⎰⎰()()a af t dt f x dx =-+⎰⎰0=②如果()f x 为偶函数，证明方法类似于①。
例1.1 已知()f x =36x x +为定义于闭区间[]1,1-上的函数。
求：11()f x dx -⎰。
解：因为3()6f x x x =+为定义于定义域上的奇函数，故由上面的性质可得：11()0f x dx -=⎰例1.2 设2242sin cos 1x x M dx xππ-=+⎰，2234(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰，22234(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰。
则有______()A N P M << ()B M P N << ()C N M P << ()D P M N <<解：在M 中，因为被积分函数42sin cos 1x x x +是奇函数且积分区域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因此 0M =。
积分的对称性
积分的对称性在数学中，积分的对称性是一个重要的概念。
它指的是积分的值在某些变换下不变。
这些变换可以是几何变换，如旋转、平移、反射等，也可以是数学变换，如代数变换和微积分操作。
积分的对称性不仅有理论价值，而且在实际应用中也具有广泛的意义。
一、平移对称性平移对称性是指在平移变换下，积分的值不变。
具体地说，设$f(x)$是一个定义在实数轴上的函数，$a$是任意实数，则有：$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x+a)dx$$这个结论表明，在积分中，我们可以通过平移变换来改变积分的区间，而不影响积分的值。
这在积分的计算中经常会用到。
二、旋转对称性旋转对称性是指在旋转变换下，积分的值不变。
具体地说，设$f(x,y)$是一个定义在平面上的函数，$a\in[0,2\pi]$是任意实数，则有：$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x'\cos a-y'\sin a,x'\sin a+y'\cos a)dxdy$$这个结论表明，在积分中，我们可以通过旋转变换来改变积分的求和顺序，而不改变积分的值。
这在二重积分和三重积分中经常会用到。
三、对称函数的积分为零对称函数的积分为零是指对于一个偶函数或奇函数，其积分在对称轴之间的区间上等于零。
例如，对于一个偶函数$f(x)$，其对称轴是$y$轴，则有：$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx=0$$同样地，对于一个奇函数$f(x)$，其对称轴是原点，则有：$$\int_{-a}^af(x)dx=0$$这个结论表明，在计算偶函数和奇函数的积分时，我们可以将积分区间缩小到对称轴的一侧，从而简化计算。
积分对称性定理
曲面 1取前侧，在 yoz后半空间的部分曲面 2 取后侧，则
P x, y, z dxdy
0,
P x, y, z 关于x是偶函数,
2 P x, y, z dydz, P x, y, z 关于x是奇函数.
1
（3）设分片光滑的曲面 关于 xoz 坐标面对称，且 在 xoz 右半空间的部分 曲面 1取右侧，在 xoz 左半空间的部分曲面 2 取左侧，则
f x, y ds
L
0,
f x, y 为x的奇函数,
2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数. L1
（2）若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f x, y 在 L 上为连续函
数， L1 为 L 位于 x 轴上侧的弧段，则
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3
—
f x, y ds
L
0,
f x, y 为y的奇函数,
4
—
位于 xoy上侧 z 0的部分曲面，则
f x, y, z dS
0,
f x, y, z 为z的奇函数,
2 f x, y, z dS, f x, y, z 为z的偶函数.
1
曲面关于 yoz, xoz坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数 P( x, y, z) , Q (x, y, z) , R( x, y, z) 在分片光滑的曲面 上连续，
—
f x, y dxdy
D
0,
f x, y 为x的奇函数 ,
2 f x, y dxdy, f x, y 为x的偶函数 .
D2
其中： D2 为 D 满足 x 0 的右半平面区域。 （3） 如果积分区域 D 关于原点对称， f ( x, y) 为 x, y 的奇（或偶）函
对称性在定积分中的-应用
对称性在定积分中的应用a定积分的计算中，对称性也简称“偶倍奇零”性质。
恰当地运用对称性能够大大地简化计算步骤，得到事半功倍的效果。
还可以根据问题的特点发现潜在的对称关系或构造某种对称性，使问题得到巧妙的解决。
一、对称性适用的条件对称性包括积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，两个条件缺一不可。
当然很多情况下，我们可以挖掘潜在的对称性和奇偶性。
二、对称性解决的题型1. 积分区间对称且被积函数具有奇偶性时，直接利用“偶倍奇零”性质。
定理：例题：2. 积分区间对称的前提下，被积函数非奇非偶利用任一函数可写成一奇函数和一偶函数的和,把积分改写成0()()()()()[][()()]22aa a a a f x f x f x f x f x dx dx f x f x dx --+---=+=+-⎰⎰⎰ 例题：例2 计算积分44cos .1x x dx e ππ-+⎰ 解：原式40cos cos()[]11x xx x dx e e π--=+++⎰ 40cos xdx π=⎰2= 例3 计算积分()121ln 1.x x e dx -+⎰ 解：原式()()1220[ln 1()ln 1]x x x e x e dx -=++-+⎰ ()21201[ln 1ln ]x x x e x e x dx e ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭⎰ ()()12220[ln 1ln 1ln ]x x x x e x e x e dx =+-++⎰1202x dx =⎰ 23=a)b) 充分利用被积函数某一项的奇偶性进行简化积分的运算例1 计算积分(121arctan .x x dx -⎰解：原式121arctan x xdx -=⎰11x -+⎰1002x =+⎰令sin x t = 原式2202sin cos cos t t tdt π=⋅⋅⎰ 22402(sin sin )t t dt π=-⎰ 1312()2422π=-8π=c)3. 积分区间不对称的情况a) 作变量代换使变换后的积分区间对称。
对称性在定积分的应用原理有哪些
对称性在定积分的应用原理有哪些1. 引言定积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线下方面积、体积等问题。
在定积分的计算过程中，对称性是一个非常有用的工具，可以简化计算，并提供更加直观的解释。
本文将介绍对称性在定积分中的应用原理。
2. 对称性的定义对称性是指某种规律或性质在变量改变时保持不变的特性。
在定积分中，常见的对称形式包括奇偶对称和周期性对称。
2.1 奇偶对称函数f(x)在区间[-a,a]上的奇偶对称性定义如下：•若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)在区间[-a,a]上具有奇对称性；•若f(-x)=f(x)，则函数f(x)在区间[-a,a]上具有偶对称性。
2.2 周期性对称函数f(x)在区间[a,b]上的周期性对称性定义如下：•若存在正整数T，使得f(x+T)=f(x)，则函数f(x)在区间[a,b]上具有周期性对称性。
3. 对称性在定积分中的应用原理对称性在定积分中有许多应用原理，主要包括减少计算量、简化积分表达式和提供直观解释。
3.1 减少计算量利用对称性可以将积分区间减半，从而减少计算量。
例如，若函数f(x)在区间[-a,a]上具有奇对称性，则可以利用对称性将积分区间变为[0,a]，计算结果乘以2即可得到在[-a,a]上的定积分值。
3.2 简化积分表达式对称性还可以帮助我们简化积分表达式。
例如，若函数f(x)在区间[-a,a]上具有偶对称性，则可以将定积分转化为对区间[0,a]上的函数进行积分。
这样做的好处是，可以利用积分函数在对称轴上的值和性质简化计算步骤。
3.3 提供直观解释对称性在定积分中还可以提供直观的解释。
例如，考虑函数f(x)在区间[0,a]上具有周期性对称性，可以将函数的周期范围内的积分结果乘以周期次数，得到整个区间的定积分值。
这样做的好处是，可以将定积分问题转化为周期性函数的积分问题，从而更容易理解和解决。
4. 实例分析为了更好地理解对称性在定积分中的应用原理，我们以一个具体的实例进行分析。
对称性在第一型曲线积分中的应用
对称性在第一型曲线积分中的应用1对称性在第一型曲线积分中的应用对称性是几何学中重要的概念，也是微积分中重要的概念。
一般来说，利用对称性可以简化求解某些微积分问题的难度，特别是第一型曲线积分的求解，解决这种问题时特别利用对称性的优势，有效的完成求解。
1.1对称性的基本定义```对称性(Symmetry)指一个图形或系统能够通过某种转换（如旋转、镜像等）保持不变，换而言之，它指的是一种图形或系统的对称性。
```对称性存在于自然界的几何结构，特别是物理系统的结构。
它可在数学的曲线、抛物线、多面体等几何图形中观察到。
根据这些形状在不同的位置上可以表示出来，可以形成一个个带有对称性的图形。
1.2对称性的应用第一型曲线积分是利用曲线的对称性进行积分。
具体来说，如果一条曲线能够对折，则该曲线拥有对称性，即曲线两端所有特征都是对称的，存在自反特性。
例如，抛物线具有翻转对称性，可将其翻转180度;函数椭圆具有绕椭圆中心0度旋转后仍然保持不变的空间变换;函数双曲线具有绕双曲线中心旋转180度后仍然保持不变的变换。
从直观上看，这类曲线的总积分为0，因为其两端的面积是对称的，可以用一条曲线的积分为另一条曲线的积分的负值来表示，即可以用只进行一次实现曲线的积分。
1.3典型的第一型曲线积分的例子第一型曲线积分是求函数及其导函数存在对称性的情况下关于自变量的积分，比如抛物线，它是给定一条抛物线关于x轴正负相等的积分。
又例如，当函数y=sin(ax+b)有它的对称性时，积分可以转换成求零点来计算；此外，第一型曲线积分还可以用于求解月牙形的面积等问题。
1.4总结综上所述，对称性对于求解第一型曲线积分十分重要，它能够有效减少计算量，使求解问题更加简便，从而提高计算效率。
积分对称性定理
积分对称性定理积分对称性定理是数学中的一个重要定理，它可以帮助我们更好地理解积分如何用于解决问题，进一步引发我们对数学知识的思考和研究。
积分对称性定理指出，当连续函数 $f(x)$ 作为积分上下界的差值被积分时，该积分的值可以通过将上下界互换来得到相同的结果。
简单来说，就是积分上下界的交换不影响积分的结果。
这个定理具体是如何证明的呢？我们可以考虑一个一般形式的积分：$$\int_a^bf(x)dx$$将上下界互换之后，该积分变为：为了证明积分对称性定理，我们需要证明上述两个积分的值相等。
这可以通过积分中值定理来得到。
根据积分中值定理，当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续时，存在 $c\in [a,b]$ 使得：由于 $[a,b]$ 和 $[b,a]$ 实际上是同一个区间，因此我们可以将 $d$ 表示为$c$ 的对称点，即 $d=2b-c$。
这样，我们可以将 $\int_b^af(x)dx$ 中的 $d$ 替换为$c$：如果我们能证明 $f(c)=f(2b-c)$，则可以得到：证明这个等式的关键在于，$f(x)$ 是否具有对称性。
如果 $f(x)$ 是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$，则有：$$f(2b-c)=f(2b-(2b-a))=-f(a+c-2b)=-f(2b-c)$$即 $\int_a^bf(x)dx=\int_b^af(x)dx=0$。
综上所述，无论 $f(x)$ 是奇函数还是偶函数，都有$\int_a^bf(x)dx=\int_b^af(x)dx$。
这就是积分对称性定理的证明过程。
具体来说，积分对称性定理在实际问题中的应用非常广泛。
比如，我们可以利用积分对称性定理来求解较为复杂的积分问题，特别是在变量替换时，通过对称性来方便地改变积分上下限，简化计算过程。
此外，积分对称性还可以用于求某些未知函数的积分值，通过对称性进行简化和化简，为后续工作提供便利。
总之，积分对称性定理是数学学习中的一个重要定理，我们需要认真学习并灵活运用。
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２ ４
高 等 数 学 研 究
ＳｒＵＤ１ ＥＳ Ｎ ） １ Ｃ（ ＬＬＥＧＥ ＡＴ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ１ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． １ Ｎｏ ２ １１ ． ．
Ｍ ａ ．， ２ ８ ｒ ００
积分 计 算 中的对 称 性 定理 及 应 用
吴 克 坚 李 文 潮 王连 昌 （ 军医大学数理教 第四 研室 西安 ７０３） １ ２ ０
．
二 三 重 积 分 的 对 称 性 定 理
定理 ３ 设空 间有 界 闭区域 Ｑ— Ｑ。 Ｑ－ Ｑ 关 于 ｏ ＵＱ ， 与 ｙ坐标面 对称 ， 函数 ｆ ｘ， ， 在 （ Ｙ ） Ｑ上连 续 ， 么 那
（）若 ｆ ｘ， ，）是关 于 的奇 函数 ， ｉ （ Ｙ 则
）在 Ｄ 上连 续 ， 么 那
（ 若 ｆ ｘ 是关于直线 Ｌ的奇函数 ， ¨ （ ， 一 ０ ｉ ） （ ，） 则 ｆ ｘ ） ；
为
（） ｆｘ 是关于直线 Ｌ的偶函数， ｌ （，） 一 ２ｌ（，） （＝１２． ｉ 若 （，） ｉ 则 ｌｘ 如 ｆ Ｉ ｘ ｄ ｉ ， ｆ ａ ）
的 函 ，ｆ（ ２ ｚ ）（ １）证 从 ） 偶 数则 ｚ ） 一 （ ａ一 ，． 明 略 ｗ ，ｄ ｒ ，ｄｉ ２（
Ｄ ｗ Ｄ
将 定理 １中的 ｚ 或 ） 改为 ｚ， （ 轴 Ｙ轴或 坐标原 点 ， 结论依 然成 立． 推论 设 有界 闭 区域 Ｄ — Ｄ 。 Ｄ Ｕ Ｄ ， 与 Ｄ 关 于直线 Ｙ— ｚ对 称 ， 。 函数 ｆ ｘ， （ ）在 Ｄ上 连
设 Ｊ＝
．
篆
ｄｙ 函关 两 变 的 称得一 告 ｘ， 数 于个 量 对 性 Ｊ ｄ由 篆
ｄｙ ｘ． ｄ以
上两式相加， ２ ＝一（ ＋６ｄ ｄ —ｎ ， Ｊ 音（ ＋６． 得： １ Ｉ口 ）ｘ ｙ 若 Ｉ ＋ｂ从而 一 厶 ｎ ）
一
般地 ， 有下 面 的定 理 ：
定 理 ２ 设 有界 闭 区域 Ｄ — Ｄ。Ｕ Ｄ。 Ｄ。 Ｄ 关 于直线 Ｌ：．＋ｂ ， 与 ａ Ｔ ｙ＋ｃ一 ０ 称 ， ｇ 对 函数 ｆ ｘ， （
其 中 ａ ６为 常数 ， 一 （ｚ， ， Ｄ （ ）ｌ ０≤ ．， ２ Ｙ≤ １． ７ ｝
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第 １ 第 ２期 １卷
吴 克 坚 ，李 文 潮 。王 连 昌 ：积 分 计 算 中 的对 称 性 定 理 及 应 用
２ ５
证明 积分区 域Ｄ关于Ｙ—ｚ 对称， ｌ （，） Ｉ（，） ． 于是 ｌ ｘｙｄ —ｌ ｙｘｄ ｆ ｆ ａ
对 称 ， （ ， 关 于 Ｙ为奇 或偶 函数 ， ｆ ｘ ｙ，） 同样有 类似 的结论 ．
例 ３ 设有 一半 径为 Ｒ 的球 体 ， 。 Ｐ 是此球 表 面上 的一个 定 点 ， 体 上 任 一点 的密 度 与该 点 到 球 Ｐ 距离 的平 方成 正 比（ 。 比例 常数 ｋ＞ Ｏ ， 球体 的重 心位置 ． ）求
） 为奇函 则有ｌｙｘｙ ． 数， Ｉ ｄｄ 一０ ｘ
（ ）由（ 一 ２ ｙ围成 的区域对 称于 原点 ， ２ ｚ ＋Ｙ ） ｘ 而被 积 函数 ｘ ｙ是关 于 ｚ， Ｙ的 偶 函数 ， 有 则
Ｄ
ｄ ２ｙｄ由坐 知 —ｃ， ｒ 入 。 ２＝ｘ － ￣ ， ｚ ＝￣ ｄ 极标 ｚ ｒ８＝ｓ ， （＋ ） ２￣一／ ｄ ｘｚ． 。ｙ ｉ 代 ｚ ｙ。 ｙ ｒ ｓ ｎ
应用 对称性 定理 可 以 极 大地简化 计算 过程 ．
一
二重 积分 的对称 性定理
定理 １ 设 有界 闭 区域 Ｄ— Ｄ Ｕ Ｄ ， 与 Ｄｚ 于 ｚ 或 ） 对称 ， 。Ｄ 关 （ 轴 函数 ｆ ｘ， 在 Ｄ上连 （ ）
续， ｉ （，） 那么（ 若ｆｘ 是关于 （ ） ） 或ｚ 的奇函 则 ｌ （，） 一０（） （，） 数， Ｉ ｘｙｄ ；ｉ若ｆｘ 是关于 （ ） ｆ ａ ｉ 或ｚ
摘 要 介 绍 了 积 分 计 算 中 应 用 十 分广 泛 的对 称 性 定 理 的 内容 ，同 时 列举 了 相关 例 题 积 分 ；对 称 性 ；应 用 中 图 分类 号 Ｏ１ ２ ２ ７，
关键词
积分的对称性包括重积分、 曲线积分 、 曲面积分的对称性 ， 在积分计算过程 中根据题 目的条件
ｊ ｄ ｏ Ｉ 『 ， ； 一
ｎ
（ｉ 若 ｆ ｘ， ， ｉ ） （ Ｙ ）是关 于 的偶 函数 ， 则
ｘ， ２ （ｙ）． ， ）一￣ ｘ， 口 ｙ ｄ ｆ， ｄ ｚ ｚ
ｆ１ ｌ
同 时 ， Ｑ关于 Ｙ０； 若 ２坐标 面对称 ， （ Ｙ，） 于 为奇 或偶 函数 ； 者若 Ｑ关 于 ｏ ｆ ｘ， 关 或 ｚ坐标 面
解 取球 心 为原点 ， 面与 ｚ轴正 向交 点为 Ｐ。则 Ｐ 球 ， 。的坐标 为（ ０ Ｏ ． Ｒ， ，） 记所考 虑球 体 为 Ｑ，
则球 面 方程 为 ＋ ｙ ＋ 一 Ｒ ．
Ｄ １
且由ｘ ＞０ ，ｉ２＞ｏ ≤ ｙ 知告 卫ｎ ８ ， ｓ 则０ ≤詈， 是 于
捌Ｙ ２ｄ 一
瑚ｏ 丢 ｃ ｓ ＝
例 ２ 设 函数 厂 ｚ （ ）为［ ，］上 的正 值连续 函数 ， 明 ｏ１ 证
琵
＊ 收 稿 日期 ；２ ０ 一Ｄ —２ ０７ ５ ８
ｄ 丢 ＋ ｚ一 ｃ ｄ 口
续， 则 （ ） 一 （ 由下列双纽线围成： Ｉ ｄｄ ， ｘ
（）ｚ ＋ Ｙ ） １（ 。 。 。一 ２ ｘ （ 。一 ｙ ） 。 ； （ ） ＋ Ｙ ） ２ （ 。 。一 ２ ｙ ｘ
解 （ ）由（ 。 。 。 ２ ｘ 一 Ｙ ）围成 的 区域关 于 ｚ 轴 均对称 ， １ ｚ ＋ｙ ） 一 （ 。 。 ， 而被积 函数 ｘ ｙ关 于 ｚ（ 或