数值计算课件_03

1) a ≤ ϕ ( x) ≤ b, x ∈ [a, b],
2) ϕ ( x) 可导，且存在正常数L<1，使得
则：
∀x ∈[a, b], ϕ '( x) ≤ L.
* * * x , x = ϕ ( x ). 1）存在唯一的点
2）∀x0 ∈ [a, b], 迭代收敛，且有误差估计 k L x* − xk ≤ x1 − x0 事前误差估计 1− L L * x − xk ≤ xk − xk −1 事后误差估计 1− L
1 (2) x = 1 + = ϕ2 ( x) x
xk +1 = ϕ ( xk ) 收敛到 ϕ ( x) 的不动点 x , 设迭代 定义
记 ek = xk − x .
*
*
若
| ek +1 | lim = C > 0, p k →∞ | e | k
则称该迭代为 p 阶收敛，其中C为误差常数.
p = 1 线性收敛，p = 2 二次收敛 （平方收敛，p>1超线性收敛
1 ∗ 取 xn = (an + bn ) 为 x 的近似值，则 2 1 1 * | xn − x |≤ (bn − an ) = n +1 (b − a). 2 2
a
a
x0
x*
b
x1 b
算法
Input a,b,eps,eps2 while(|a-b|>eps) x=(a+b)/2 f(x) if (|f(x)|<eps2) break; if f(a)*f(x)<0 [a,b]=[a,x] if f(x)*f(b)<0 [a,b]=[x,b] end if end while Output x=(a+b)/2
y=x
交点横坐标
x * x2
x1
x0
例2.3 试用迭代法求方程
f ( x) = x 3 − x − 1 = 0
在区间(1,2)内的实根。 解：由 x = 3 x + 1 代关系 建立迭
xk +1 = 3 xk + 1, k = 0,1,2,3......
计算结果如下：
k 0 1 2 3 4
xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
设所求的根为 x ,
∗
则 即
x ∈ [an , bn ], n = 1, 2,L
∗
1 lim(bn − a n ) = lim n (b − a ) = 0 n →∞ n →∞ 2
an ≤ x ≤ bn , n = 1, 2,L
∗
*
∴ lim an = lim bn = x .
n →∞ n →∞
解：取h=0.1，扫描得：
f (1.3) = −0.61 < 0 f (1.4) = 0.344 > 0
因此方程的有根区间是[1.3,1.4].
∵ f ( x ) = 3x − 1 > 0, x ∈ [1.3,1.4]
∴ f ( x) = 0 在[1.3,1.4]有唯一解.
' 2
2.1 二分法
基本思想：将区间二等分，考虑区间中点 令 a0 = a, b0 = b, x0 = 1 2 (a0 + b0 ), 若 f (a0 ) f ( x0 ) < 0, 则 [a0 , x0 ] 为有根区间, 否则 [ x0 , b0 ] 为有根区间.
∴ xk + p − xk ≤ xk + p − xk + p−1 + ! + xk +1 − xk
≤ ( Lk + p−1 + L + Lk ) x1 − x0
Lk (1 − Lp ) Lk = x1 − x0 < x1 − x0 , 1− L 1− L
由p的任意性，令
p → +∞,
证毕
k L x* − xk ≤ x1 − x0 . 1− L
x* − α = ϕ ( x* ) − ϕ (α ) = ϕ '(ξ )( x* − α ) ≤ L x* − α ,
⇒ x = α.
*
( L < 1)
2）迭代序列收敛性
∀x0 ∈[a, b]
xk +1 − x* = ϕ ( xk ) − ϕ ( x* ) = ϕ '(ξ )( xk − x* )
* 定理 设 x * 为方程 x = ϕ( x) 的根， ʹ′ 在 ϕ ( x) x
的邻近连续且 | ϕ '( x* ) |< 1，则迭代过程在 x * 附近具有局部收敛性。
例：考虑方程 f ( x) = x 2 − x − 1 = 0. [1.5,2]为有根区间.
(1) x = x + 1 = ϕ1 ( x)
x k +1 − x ≤ L x k − x ≤ ≤ L
∴ limxk = x* .
k →∞
*
*
k +1
x0 − x ,
*
即迭代格式对[a,b]中任意初值都收敛。
3）误差估计
xk +1 − xk = ϕ ( xk ) − ϕ ( xk −1 ) ≤ L xk − xk −1 ≤ ! ≤ Lk x1 − x0
3
∴ϕ[1, 2] ⊂ [1, 2],
− 1 1 3 又 | ϕ '( x) |=| ( x + 1) |≤ 3 = L < 1, x ∈ [1, 2], 3 3 4
∴ ϕ ( x) = 3 x + 1 在[1,2]满足全局收敛定理。
若取迭代函数 ϕ ( x) = x − 1,
| ϕ '( x ) |=| 3x |≥ 3, x ∈ [1,2]
迭代法的基本步骤如下： 1）给出方程的等价形式
f ( x) = 0 ⇔ x = ϕ ( x)
2）取合适的初值，产生迭代序列
x 0 , x1 ,, x k +1 = ϕ ( x k ),
3）求极限 x = lim xn ，为方程的根
n →+∞ *
一定收敛吗？
几何意义：
⎧ y = x x = ϕ ( x) ⇒ ⎨ . ⎩ y = ϕ ( x)
将 f (x) 在 x0 处作Taylor展开：
f ' ' ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + ! 2!
取线性部分作为 f(x) 的近似，有
f ( x0 ) + f '( x0 )( x * − x0 ) ≈ 0
若x>b输出失败信息，停机. (4) 若 f1 = 0，已算出方程的一个根. 输出x，停机. (5) 若 f 0 ⋅ f1 < 0, 令b=x，输出有根区间[a,b],停机; 否则令a=x，转(3).
3 f ( x ) = x − x − 1, [a, b] = [1, 2]. 例2.1 考虑方程
{xk } 是发散序列。 显然结果越来越大，
3 k
几何解释：
y p1 p0 y=x y=g(x) y y=g(x) p0 y=x
!
x0 x1 x* x x0 x*
p1
!
x
x1
ϕ ( x)
基本问题：
如何构造？
{xk}的收敛性(收敛否？*如何加速?) 误差估计
（全局收敛定理） 定理 若迭代函数 ϕ ( x)在 [a, b] 满足：
• 确定有根区间（零点定理）： 设 f ( x) ∈ C[a, b] ，且 f (a) f (b) < 0 ，则 方程
f (x) = 0
在区间 在
(a, b)
上至少有一 上恒正或恒
个根。如果 f '( x) 负，则根唯一。
( a, b)
• 作y = f(x)的草图，根据f(x)与x轴的交点 的大致位置来定区间[a, b] • 等步长扫描法求有根区间： 设h>0是给定步长，取 x0 = a, x1 = a + h 若 f ( x0 ) ⋅ f ( x1 ) < 0 ，则扫描成功；否则令
k 5 6 7 8
xk 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
精确到小数点后五位
x = 1.32472
∗
1 ε = × 10 −5 2
但如果由 x = x3 − 1 建立迭代公式
xk +1 = x − 1, k = 1, 2,...
仍取 x0 = 1.5, 则有 x1 = 2.375, x2 = 12.39,
x0 = x1 , x1 = x0 + h ，继续上述方法，直到
成功。如果 x1 > b ，则扫描失败。再将h 缩小，继续以上步骤。
• 算法：（求方程 f ( x) = 0 的有根区间）
(1) 输入 a, b, h;
(2) f 0 = f (a);
(3) x = a + h, f1 = f ( x).
二分法的优缺点： • 二分法计算过程简单，程序容易实现，对 函数要求低，可在大范围内求根。 • 该方法收敛较慢，其收敛速度仅与一个以 ½ 为比值的等比级数相同；并且不能求偶 数重根和复根。 • 一般用于求根的初始近似值，而后再使用 其它的快速求根方法。
例2.2 用二分法求方程 x − x − 1 = 0 在[1,1.5]内 的一个实根，要求误差不超过0.005. 解：由
若 f '( x0 ) ≠ 0, 则有
f ( x0 ) x ≈ x0 − f '( x0 )
故不能确定 xn+1 = ϕ ( xn ), n = 0,1,....是否收敛到 方程的根。