第一讲 有理数专题
第一讲《有理数》《数轴》
第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。
它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。
在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。
一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。
•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。
二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。
2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。
分数可以是正数、负数或零。
2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。
它可以是正整数、负整数或零。
2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。
它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。
三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。
原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。
3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。
我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。
数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。
有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。
有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。
了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。
参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。
第一讲 认识有理数
2. -5是整数吗？是负数吗？是有理数吗？
3. 自然数是整数吗？是正数吗？是有理数吗？
问题5 观察温度计的刻度规律，你能发 现什么？
数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度
Hale Waihona Puke 的直线叫做数轴.判断下列图形哪些是数轴？
如图 所示， （1）写出数轴上的A、B、C、D、E、F 表示的有理数．
EA D
F
C
B
问题6
观察下列数，并把它们在数轴上标出: 6和－6， 7和－7，
（1）上述各对数之间有什么特点？
（2）表示每对数的两个点在数轴上有什么特点？
（3）你能够写出具有上述特点的数么？
归纳：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 特别规定: 0的相反数是0．
问题7
• 在数轴上标出到原点距离是6个单位 长度的点．这样的点有几个？ • 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离， 叫做数a的绝对值，记作 |a| ．
问题3讨论
如何对有理数进行分类？
正整数 整数 零 有理数 负整数 正分数 分数 负分数
正整数 正有理数 正分数 有理数 零 负整数 负有理数 负分数
问题4
你能解决下列问题吗？谈谈你的看法？
1. 0是整数吗？是正数吗？是有理数吗？
第一讲 认识有理数
问题1
有了负数以后，我们学过的数有哪些？
1 1, 2,－1, －3， ，0等． 2
问题2
在上述列举的数中，我们可以 怎样进行分类？ 正整数：如1、2、3...
零：0
负整数：-1，-2，-3...
1 22 正分数： , , 4.5, ... 3 7
2 7
中考数学专题训练第1讲有理数(原卷版)
有理数易错点梳理易错点01 误把0当成正数0既不是正数也不是负数.0是正数与负数的分界点。
易错点02 误以为带“+”号的数就是正数.带“-”号的数就是负数 不能简单地理解为带“+”号的数就是正数.带“-”号的数就是负数。
例如：当0>a 时.a 表示正数.a -表示负数；当0=a 时.a 与a -都表示0；当0<a 时.a 表示负数.a -表示正数。
易错点03 误把无限循环小数看成无理数有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.所以有限小数和无限循环小数都是有理数；无限不循环小数是无理数。
易错点04 误把数轴当成线段数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
易错点05 混淆“单位长度”和“长度单位”单位长度是指具体的时间内具体的长度为1；长度单位是指毫米、厘米、分米、米、千米等。
它们是完全不同的概念。
易错点06 误认为0的倒数是00的相反数是0,0的绝对值为0,0没有倒数。
易错点07 混淆n a -与na )(-的意义 n a -表示n a 的相反数.n a )(-表示n 个a -相乘。
易错点08 运用加法交换律时弄错符号运用加法交换律时.在交换各加数的位置时.要连同它前面的符号一起交换.不能漏掉符号。
易错点09 运用分配律时易漏乘运用分配律时.括号内的每一项都要乘以括号外的数.不要漏乘。
考向01 正负数的概念易错点梳理例题分析例题1：（2021·青海西宁·中考真题）中国人最先使用负数.魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中.用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正.黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2）.根据这种表示法.可推算出图2所表示的算式是（ ）A ．()()36+++B ．()()36++-C ．()()36-++D ．()(36)-+-考向02 数轴的概念例题2：（2021·广东广州·中考真题）如图.在数轴上.点A 、B 分别表示a 、b .且0a b +=.若6AB =.则点A 表示的数为（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．6-考向03 相反数的概念例题3：（2021·湖南永州·中考真题）1||202--的相反数为（ ）A ．2021-B ．2021C ．12021-D ．12021考向04 绝对值和概念和非负性例题4：（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）A ．||x x <B ．若|1|2x -+取最小值.则0x =C ．若11x y >>>-.则||||x y <D ．若|1|0x +≤.则1x =-考向05 有理数大小的比较例题5：（2021·四川巴中·中考真题）下列各式的值最小的是（ ）A ．20B ．|﹣2|C ．2﹣1D ．﹣（﹣2） 考向06 有理数加减法的运算例题6：（2021·四川广元·中考真题）计算()32---的最后结果是（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．5-考向07 科学计数法例题7：（2021·山东青岛·中考真题）2021年3月5 日.李克强总理在政府工作报告中指出.我国脱贫攻坚成果举世瞩目.5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000.用科学记数法将55750000表示为（ ）A ．4557510⨯B ．555.7510⨯C ．75.57510⨯D ．80.557510⨯一、单选题1．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）-2021的绝对值是（ ） A ．2021- B ．12021- C ．2021 D ．120202．（2021·浙江·温州市教育教学研究院一模）2的相反数是（ ）A ．2B ．12 C ．2- D ．4-3．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测）下列是有理数的是（ ）A ．tan 45︒B ．sin 45︒C ．cos45︒D ．sin 60︒ 4．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图.数轴上点A 表示的数为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．15．（2021·广东·佛山市华英学校一模）在2. 1.5-.0.23-这四个数中最小的数是（ ） A ．2 B ． 1.5- C ．0 D ．23- 6．（2021·浙江·翠苑中学二模）计算42=（ ）A ．8B ．18C ．16D ．1167．（2021·内蒙古东胜·二模）截止2021年4月17日.全国接种新冠病毒疫苗达到81.89810⨯剂次.则数据81.89810⨯表示的原数是（ ）A ．1898000B ．18980000C ．189800000D ．1898000000 8．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）计算：2﹣(﹣2)等于（ ）A ．﹣4B ．4C ．0D ．1 二、填空题9．（2021·福建·泉州五中模拟预测）计算：1012(3)2--+-=_______． 10．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）实数a 与b 在数轴上对应点的位置如图所示.a ＜c ＜﹣b .且c 为整数.则实数c 的值为________．微练习11．（2021·广东·执信中学模拟预测）()0222cos4512 3.14π--+︒-+--＝____________ 12．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）新华社北京5月11日电11日发布的第七次全国人口普查结果显示.全国人口共141178万人.与2010年第六次全国人口普查数据相比.增加7206万人.增长5.38%.年平均增长率为0.53%．数据表明.我国人口10年来继续保持低速增长态势．用科学记数法将数据“7206万”表示为 __．三、解答题13．（2021·广西·南宁十四中三模）计算：()()3425284+-⨯--÷．14．（2021·云南昭通·二模）计算：1020211(1)|2|3-⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭(-2021)． 15．（2021·黑龙江·二模）计算： 1202031(1)83-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭16．（2021·吉林长春·二模）计算：()()20111323π--+---+⎛⎫ ⎪⎝⎭。
(word完整版)初一数学上册完全辅导——第一章有理数精讲
初一数学上册重点知识学习参考第一章 有理数一、知识结构有理数： 按定义分 按符号分正整数 正整数 正有理数0 整数 有 正分数（含正有限小数负整数 理 0 和循环小数）有限小数 正分数 数 负整数分数 负有理数无限循环小数 负分数 负分数（含负有限小数和循环小数）注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。
如：0.0100100010001000010000010000001……二、掌握要点1、了解有理数的概念（什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较）。
（1）大于0的数叫做正数，如3、1.8、5%等。
（2）在正数前面加上负号“—”的数叫负数，即小于0的数，如-3、-2.5、-5%等。
（3）数0既不是正数，也不是负数。
0除了表示一个也没有以外，是正数和负数的分界，是基准。
（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
强调：用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是他们的意义相反，如向东与向西、收入与支出；二是他们都是数量，而且是同类的量。
（5）正整数、0、负整数统称整数。
整数可以看作分母为1的分数。
（6）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
（7）把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”。
所有有理数组成的数集叫“有理数集”，所有整数组成的数集叫“整数集”，所有负数组成的数集叫“负数集”……数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的。
（8）有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类结果也不同。
问：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？有理数可分为整数和分数两大类，对吗？为什么？2、有理数与数轴上的点一一对应（数轴的三要素、怎样看数轴、掌握应用数轴来进行去绝对值符号的简单运算）。
（1）通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。
数轴三要素：原点、正方向、单位长度原点——在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点。
中考数学专题训练第1讲有理数(知识点梳理)
有理数知识点梳理考点01 正数和负数1.正数：像1,2,3,4,0.1等这样大于0的数叫作正数。
正数的前面的“+”可以省略不写。
2.负数：像-0.2.-2.-6这样在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫作负数。
3.注意事项：（1）0既不是正数也不是负数.0是正数和负数的分界线；（2）对于正数和负数.不能简单地理解为带“+”号的数就是正数.带负号的数就是负数.要根据正负数的含义.看其是符合正数的定义还是符合负数的定义。
4.正负习惯：习惯上把零上、增加、前进、海平面以上、收入、向南、盈利、上升等记为正.把与它们意义相反的量记为负。
考点02 有理数与数轴1.有理数定义：正整数、0、负整数统称整数.正分数、负分数统称分数.整数和分数统称有理数。
2.有理数的分类3.注意：（1）整数可以看成是分母为1的分数.所以有理数都可以写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式.所以有限小数和无限循环小数都是有理数。
（2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。
4.零的作用（1）表示数的性质.例如0是自然数；（2）表示没有.例如有5个本子.用+5表示.没有本子用0表示；（3）表示正数与负数的分界。
5.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
数轴的三要素即原点、正方向和单位长度。
6.数轴上的点与有理数有理数都可以用数轴上的点来表示.任何一个有理数都能在数轴上找到与它对应的点.而且是唯一的点.但数轴上的点不一定都是有理数。
考点03 相反数和绝对值1.相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数.把其中一个数叫作另一个数的相反数。
0的相反数是0.2.相反数的几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧且到原点的距离相等；这两点关于原点对称。
3.多重符号的化简：数字前面的“-”号的个数若有偶数个.化简结果为正；有奇数个时.花间结果为负。
4.相反数的性质：如果b a 、互为相反数.那么0=+b a 或b a -=或a b -=；反过来.如果0=+b a .那么b a 、互为相反数。
第1讲绝对值有理数的巧算专题
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++ .3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321 ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321- 的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321- 是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。
初中七年级数学辅导讲义：《有理数》知识点总结及经典题型精讲
七年级数学辅导讲义数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
（如，数轴上的点π不是有理数）3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
相反数⒈相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=03.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。
专题一：有理数六大概念(1)
一、有理数六大基本概念Ⅰ：正数、负数及有理数概念正数：像、、等的数，叫做正数.在小学学过的数，除外都是正数.正数都大于.负数：像、、等在正数前加“”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于. 既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“”，“”号叫做它的符号.正数前面的“”可以省略.用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:整数与分数统称有理数.注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.⑷正有理数和零统称为非负有理数.⑷负有理数和零统称为非正有理数.Ⅱ：数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.310.33+001- 3.12-175--00+-+()ììüïýïíþïïïíîïìïíïîî正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()ììíïîïïíïìïïíïïîî正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数ìüïýíþïî有限小数可化成分数形式,是有理数小数无限循环小数无限不限循环小数---不可化成分数形式,不是有理数第一讲有理数之六大必考概念注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.Ⅲ：相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．当时，；当时，；当时，.π-a a -a a -0a >0a -<0a =0a -=0a <0a ->⑷互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则，反之，若，则与互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）. Ⅳ：绝对值绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.求字母的绝对值：① ② ③ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若，则，，Ⅴ：倒数、负倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数. ，互为倒数，则；反之亦然.倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是；0没有倒数； 负倒数：乘积为的两个数互为负倒数.，互为负倒数，则.反之亦然.二、有理数大小的比较数轴上的数，右边的数总大于左边的数．正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 两数比较大小，可按符号情况分类： 注☆“0”的9种说法：（1）既不是正数也不是负数的数． （2）最大的非正数． （3）最小的非负数． （4）与其相反数相等的数． （5） 最小的非负整数． （6） 最大的非正整数． （7） 最小的自然数． （8） 绝对值最小的有理数． （9） 没有倒数的数．a b 0a b +=0a b +=a b +-----a a a a 005-5a (0)0(0)(0)a a a a a a >ìï==íï-<î(0)(0)a a a a a ì=í-<î≥(0)(0)a a a a a >ì=í-î≤0a b c ++=0a =0b =0c =a b 1a b ×=11-a b 1a b ×=-0ììïíîïïíïìïíïîî同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0补充练习【例1】 （北京师范大学附属中学初一期中考试第1题3分）如果零上记作，那么零下记作（ ）A. B . C. D.【例2】 （铁路第二中学初一第二次月考第1题2分）关于零,下列几种说法不正确．．．的是 （ ） A ．零既不是正数,也不是负数 B ．零的相反数是它本身C ．零是绝对值最小的有理数D ．零是最小的有理数【例3】 （京源学校初一期中考试第1题3分）1是（ ）A ．最小的整数B ．最小的正整数C ．最小的自然数D ．最小的有理数【例4】 （人大附中初一期中考试第2题3分）在15，，0.15，，，中，负分数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例5】 （一六一中学初一期中考试第14题2分）和的大小关系是____ 【例6】 （北京四中初一期中考试第13题2分）数轴上与原点距离是3个单位长度的点所表示的数是__________．【例7】 （北京市中考题第1题4分）7的相反数（ ）A ．B ．7C ．D ． 【例8】 （一六一中学初一期中考试第13题2分）数的相反数是________【例9】 （北京市中考题第1题4分）的绝对值等于（ ）A ．6B ．C ．D ． 【例10】 （上地实验初一期中考试第17题3分）绝对值大于2而小于5的负整数是 ．【例11】 （101中学初一期中考试第6题4分）已知、为有理数，且，，，则、、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【例12】 （人大附中初一期中考试第4题3分） 下列说法正确的是（ ）A ．符号相反的数互为相反数B ．任何有理数均有倒数C ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右D ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远【例13】 （101中学初一期中考试第1题4分）下列说法错误的是（ ）A ．0既不是正数，也不是负数B ．1是绝对值最小的数C ．一个有理数不是整数就是分数D ．0的绝对值就是0 【例14】 （101中学初一期中考试第5题4分） 下列各数中互为相反数的是（ ）A ．和B ．和 5℃5+℃5℃5-10-5-℃10-℃38-30-12.8-22545-0.9-45-0.9-1717-7-a 6-1616-6-a b 0a <0b >||||b a <a b a -b -b a b a -<<<-b b a a -<<-<a b b a <-<<-a b b a -<<-<()a --||a --(2)-+(2)+-C ．和D ．和 【例15】 （京源学校初一期中考试选择第8题3分）若为有理数，则表示的数是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数【例16】 （2007北京市中考题第一题4分）的倒数（ ）A ．B ．C ．D ．3 【例17】 （西城外国语初一期中第6题3分）下列说法正确的是（ ）. A ．符号相反的数互为相反数 B ．任何有理数都有倒数C ．最小的自然数是1D ．一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远【例18】 （北大附中初一期中考试试卷第14题2分）的绝对值为_______，的相反数为_______，的倒数是________．【例19】 （北京师范大学附属中学初一期中考试第2题3分，14题2分）⑴ 在0，，，这四个数中，最小的数是 （ ） A. B. C. 0 D. ⑵ 大于而小于2的所有整数是 . ⑶（北京四中初一期中考试第15题2分）比较大小： ； _______． 【例20】 若是非负有理数，则下列说法中正确的有 ．① 是负有理数；② 是正有理数或0；③ 是正有理数或0；④ 可以是正有理数，也可以是负有理数；⑤ 也是有理数；⑥ 是正有理数或0或负有理数．【例21】 （北京四中初一期中考试第30题4分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续走了1.5千米到达小红家，又向西走了10千米到达小刚家，最后回到百货大楼.⑴ 以百货大楼为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明、小红、小刚家的位置；⑵ 小明家与小刚家相距多远？⑶ 若货车每千米耗油0.05升，那么这辆货车共耗油多少升？(5)--|5|-132- 3.5x ||x x -3-13-133-3.5- 3.5-3.5-211-3-3-1-21313-31-52-()1--1--a -()a -+()a ---éùëû()a +--éùëû()a --a ()a -+百货大楼-。
有理数ppt课件
03
有理数的混合运算
运算顺序
先算乘方或开方，再 算乘除，最后算加减 。
同一级运算按从左到 右的顺序进行。
如果有括号，先算括 号里面的，再算括号 外面的。
运算律
加法交换律：a+b=b+a
分配律：a(b+c)=ab+ac 乘法结合律：(ab)c=a(bc)
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba
几何应用
有理数在几何学中常被用于描述 长度、面积和体积等几何量。
借助有理数的运算，可以方便地 求解几何量之间的关系，如计算 两点之间的距离、三角形或四面
体的面积和体积等。
有理数在几何作图中的应用也十 分广泛，如绘制直线、圆、椭圆 等图形时，有理数可以提供重要
的数学依据。
实际应用
有理数在实际生活中有着广泛的应用 ，如物理学中的力学、热学、电磁学 等都离不开有理数的运算。
有理数ppt课件
目录
• 有理数的定义 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的扩展知识
01
有理数的定义
整数
整数的分类
整数可以分为正整数、负整数和 零。
整数的性质
整数具有封闭性、可数性等性质。
整数的运算
整数可以进行加、减、乘、除等运 算。
分数
01
02
03
分数的定义
在信息科学领域，有理数被用于计算 机编码、信息压缩、加密和纠错等技 术中。
在金融领域，有理数被用于计算利息 、汇率、投资回报等经济指标。
在统计学中，有理数被用于描述数据 分布特征、进行假设检验和回归分析 等。
05
专题01有理数(知识点串讲)(解析版)
专题 01 有理数【思想导图】【知识重点】知识点一有理数基础观点有理数（观点理解）正数：大于 0 的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“- ”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思想导图）数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三因素：原点、正方向、单位长度（重点）任何有理数都能够用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上的点表示的数从左到右挨次增大；原点左侧的数是负数，原点右侧的数是正数 . 【注意】1.数轴是一条直线，可向两段无穷延长。
2.在数轴上原点，正方向，单位长度的选用需依据实质状况而定。
相反数只有符号不一样的两个数叫做互为相反数. （绝对值相等，符号不一样的两个数叫做互为相反数）绝对值绝对值的观点：一班数轴上表示 a 的数与原点之间的距离叫做数 a 的绝对值。
绝对值的意义：正数的绝对值是它自己；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。
）比较大小1）数轴上两个点表示的数，右侧的总比左侧的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
1．（ 2018 ·海南琼山中学中考模拟）以下各组数中，互为相反数的是()A ． |+2|与 |-2|B． -|+2|与 +(-2)C． -(-2) 与 +(+2)D． |-(-3) | 与 -|-3|【详解】解： A、 |+2|=2， |-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；B 、 -|+2|=-2 ， +（ -2） =-2 ，故这两个数相等，故此选项错误；C、 -（ -2）=2 与 +（ +2） =2，这两个数相等，故此选项错误；D、 |-（ -3） |=3， -|-3|=-3 ， 3+（ -3） =0，这两个数互为相反数，故此选项正确．应选： D．2．（ 2019 ·四川中考真题） a 必定是A ．正数B．负数C． 0 D ．以上选项都不正确【详解】∵ a 可正、可负、也可能是0∴选 D.3．（ 2018 ·内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（）A．点A和点C B．点B和点C C．点A和点 B D．点B和点D【详解】A 、 B、 C、 D 所表示的数分别是2， 1， -2， -3，由于 2 和 -2 互为相反数，应选 A ．4．（ 2013 ·江苏中考真题）如图，数轴上的点 A 、 B 分别对应实数a、 b，以下结论中正确的选项是（）A ． a＞b B． |a|＞ |b|C．﹣ a＜ b D． a+b＜ 0【详解】依据数轴， a＜ 0， b＞ 0，且 |a|＜ |b|，A 、应为 a＜ b，故本选项错误；B 、应为 |a|＜ |b|，故本选项错误；C、∵ a＜ 0， b＞0，且 |a|＜ |b|，∴ a+b＞ 0，∴﹣ a＜ b 正确，故本选项正确；D 、应当是a+b＞0，故本选项错误．应选 C．5 ．（2019 ·a 1，b是2的相反数，则 a b的值为() 甘肃中考真题）已知A ．-3 B． -1 C．-1 或-3 D． 1 或-3 【详解】∵ a 1 ， b 是2的相反数，∴a 1 或a﹣1，b﹣2，当 a 1 时，a b 1﹣2﹣1；当 a﹣1 时， a b ﹣﹣12 ﹣3 ；综上， a b的值为-1或-3，应选： C．观察题型一绝对值非负性应用1．（ 2016 ·山东中考真题）当1<a<2 时，代数式 |a－ 2|＋ |1－ a|的值是（）A．－1B．1C．3D．－ 3【详解】解：当 1＜a＜ 2 时，|a﹣ 2|+|1﹣ a|=2﹣ a+a﹣ 1=1．应选 B．2．（ 2019 ·山东中考模拟）表示实数a， b 的点在数轴上的地点以下图，化简 a b a2的结果是()A ． 2a－ b B． b C．－ b D．－ 2a+b【详解】依据数轴能够判断出 a 0 b ，则 a b a b ，a2 a，因此a b a2 a b a b因此选 C.3．（ 2017 ·广西中考模拟）若|x|=7，|y|=5，且 x+y>0 ，那么x-y的值是（）A．2或 12 B．2或-12 C．-2 或 12 D． -2 或 -12 【详解】由 x 7 可得x=±7 ，由 y 5 可得y=±5 ，由 x+y>0 可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5，则 x y 7 5 12或2 ，应选： A4 ．（2018 ·|a| ≥0）浙江中考模拟）假如，那么（A ． a＞0 B． a＜ 0 C． a≠0D． a 为随意数a0，解：∵∴a 为随意数，应选：D．5．（ 2017 ·湖北中考模拟）若|x﹣2|+|y+2|=0 ，求 x﹣ y 的相反数．【详解】∵|x﹣ 2|+|y+2|=0 ，∴ x﹣ 2=0， y+2=0 ，解得 x=2， y= ﹣ 2，∴x﹣y=2﹣（﹣2）=4，∴ x﹣ y 的相反数是﹣ 4．6.（ 2017 ·广东中考模拟）已知|a+3|+|b﹣ 5|=0，求：（1） a+b 的值；（2） |a|+|b|的值．【详解】（1）由题意得，a+3=0， b﹣ 5=0，解得 a=﹣3， b=5 ，因此， a+b=﹣ 3+5=2 ；（2） |a|+|b|=|﹣ 3|+|5|=3+5=8 ．观察题型二有理数比较大小1．（ 2018 ·山东中考模拟）假如a+b+c=0，且 |a|＞|b|＞ |c|．则以下说法中可能建立的是（）A ． b 为正数， c 为负数B． c 为正数， b 为负数C． c 为正数， a 为负数D． c 为负数， a 为负数【分析】由题目答案可知a， b， c 三数中只有两正一负或两负一正两种状况，假如假定两负一正状况合理，要使 a+b+c=0 建立，则必是 b＜0、 c＜ 0、a＞ 0，不然 a+b+c≠0，5若 a， b 为正数， c 为负数时，则： |a|+|b|＞ |c|，∴a+b+c≠0，∴ A 被否认，若 a， c 为正数， b 为负数时，则： |a|+|c|＞ |b|，∴a+b+c≠0，∴ B 被否认，只有 C 切合题意．应选： C．2．（ 2019 ·北京中考模拟）实数a， b，c 在数轴上的对应点的地点以下图，假如a+b＝0，那么以下结论正确的是（）A ． |a|＞ |c|B． a+c＜ 0C． abc＜ 0D．a0 b【详解】∵a+b=0，∴原点在a， b 的中间，如图，由图可得： |a|＜ |c|， a+c＞ 0， abc＜ 0，a=-1，b应选 C.12．（ 2019 ·山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a，b 在数轴上的对应点以下图，则下边式子中正确的选项是 ()①b＜ 0＜ a；② |b|＜ |a|；③ab＞ 0；④a﹣ b＞ a+b．A ．①②B．①④C．②③D．③④【分析】③错误，由①知 a-b>a+b，因此④正确 .应选： B.4．（ 2018 ·湖北中考真题）在0，﹣ 1，，（﹣ 1）2四个数中，最小的数是（）A ．0B．﹣ 1C．D．（﹣ 1）2【详解】依占有理数比较大小的方法，可得﹣ 1＜ 0＜＜（﹣ 1）2，∴在 0，﹣ 1，，（﹣ 1）2四个数中，最小的数是﹣1．应选 B．5．（ 2018 ·山东中考真题）实数a， b，c， d 在数轴上的地点以下图，以下关系式不正确的选项是（）A ． |a|＞ |b|B． |ac|=ac C． b＜ d D． c+d＞ 0【详解】从 a、 b、 c、 d 在数轴上的地点可知：a＜ b＜ 0， d＞c＞ 1；A、 |a|＞ |b|，应选项正确；B、 a、c 异号，则 |ac|=-ac，应选项错误；C、 b＜d，应选项正确；D 、 d＞ c＞ 1，则 a+d＞ 0，应选项正确．应选： B.知识点二有理数四则运算有理数的加法（重点）有理数的加法法例：（先确立符号，再算绝对值）1.同号两数相加，取同样的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（假如两个数的和为 0，那么这两个数互为相反数）4.一个数同 0 相加，仍得这个数。
讲义_有理数的基本概念及分类
第一讲有理数令狐采学11正数与正数B. 任意有限小数可以化为分数，但无限循环小数不克不及化为分数；C. 圆周率兀是无限不循环小数，故不是有理数；D. 0暗示没有，它是正数和正数的分界点知识点2：有理数的分类1.下列说法中正确的是（）［正整数正有理数［正整数 A.-个有理数不是正数就是正数；整数〔正分数B.-个有理数不是整数就是分数；有理数＜负整数有理数＜C.有理数是指整数、分数、 正数、 正数和0；分数正分数 负有理数［负整数 D.有理数是指正数和正数、负分数、负分数2.在有理数中，不存在这样的数 ()A.既是整数，又是正数；正数和正有理数有什么区别呢？B.既不是正数，也不是正数注意：正数和正有理数是不合的，例如：就是正数，但不是正有理数； C.既是正数，又是正数；D.既是分数，又是正数正数和0统称为 ；0和正数统称为 0 3.小于5.5的正整数有.0和正整数统称为；0和负整数统称为 04.比正数年夜的所有有理数中， 最小的数 是知识点3： 数集把下列各数填入它所属的集合内:把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。
22o 3女口：所有有理数组成的集合叫有理数集。
所有整数组成的集合叫整数集。
3,21,0,—3,+8,—0.1,3 +4 ,,所有正数组成的集合叫正数集。
所有正数组成的集合叫正数集。
221.7,25%,7,—o所有正整数和零组成的集合叫自然数集。
等等。
0。
正整数集合：｛…}负整数集合：｛…} 【例5】把下列各数中的正数和正数辨别填在暗示正数集合和正数集 正分数集合：｛…} 合里： 1 。
丄/1负分数集合：｛…} 12,—,,—3.14,兀,0,-2,—2,1,10%;整数集合：｛…}分数集合：｛…} 正整数集合：非负整数集合：｛…} 负分数集合： 有理数集合：｛…}正有理数集合：非正数集合：二、当堂检测一、填空题1、把下列各数填入相应的年夜括号里：16.——,0.61&—3.14,260,-2009,—,—0.010010005,0,03 37，正分数集合｛ ■•｝;整数集合｛非正数集合｛ ■ •｝;有理数集合｛…}无理数集合｛■ ■}...统称为整数； 和统称为有理数；和统称为非正数；和统称为非正数；和统称为非正整数；和统称为非负整数;有限小数和无限循环小数可看作;无限不循环小数称为。
有理数 绝对值培优
（3）求下列各数的绝对值
板块三有理数的运算
知识要点：
1、有理数加减运算技巧
①同号结合；②同分母结合；③凑整数；④相反数结合
2、有理数乘法的简便运算
①互为倒数或可以约分结合；②逆用乘法分配律；③凑成整数；④换元法。
3、乘方的符号法则
①正数的任何次幂都是正数；
②0的任何正数次幂都是0；
（3）（枣庄中考题）在原有运算法则中，我们补充新运算法则“ ”如下：当 时， ；
当 时， ，则当 时， （“·”和“ ”为乘号和减号）
例题6：（1）（黔南州中考题）观察下列算式： ， ， ， ， 根据上述算式中的规律，请你猜想 的末尾数字是（）
、2 、4 、8 、6
（2）（十一中学期中考试）有依次排列的三个数：3、9、8对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可以产生一个新的数串：3、6、9、-1、8这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新的数串：3、3、6、3、9、-10、-1、9、8；继续依次操作下去，问：从数串3、9、8开始操作第一百次所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
③负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数
精讲精练
例题5：计算
例题6：（1）①若 ， ， ，则
②若 ，且 ，则 ，
③已知 ，则（）
、 、 、 ， 、 ，
（2）
例题7：计算
（1）
（2）
例题8：计算
例题9：计算
例题10：（1）若 、 互为相反数， 、 互为倒数，且 为最大的负整数，求 的值。
（2）已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值等于 ，
如：0.00027有两个有效数字：2，7；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7.
第1讲-有理数的概念分类与表示-精英班讲义及作业
第1讲：对数的认识的发展【引言】一般地说，人们对“数”的认识是随着对“量”的认识发展而发展的。
人们对数的认识的发展体现了实践与认识的辩证关系。
“数表示量”是数的发展的线索。
我们即将所学的数与前面所学的数相比，它可以表示相反意义的量。
【回顾】小学所学的各类数。
【实例】足球比赛中的净胜球问题；某天的气温表示问题；金属零件的误差范围问题；某企业的收入支出问题等。
一、有理数的概念的引入1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
思考与注意：(1)正数还有没有其他的定义方式？(2)正数前面的正号是否可以省略不写，即一个数前面有或没有正号是否影响该数的大小？(3)思考正号与加号之间的区别与联系。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
思考与注意：(1)负数还有没有其他的定义方式？(2)负数前面的负号能不能省略不写？即一个不等于零的数前面的负号是否影响了这个数的大小？(3)思考负数与减号之间的区别与联系。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：零的归属：零与正数统称为非负数，零与负数统称为非正数。
思考：(1)零还有哪些角色？(3)零前面的符号是否影响它的大小？4、思考与拓展(1)判断一个数是正数还是负数，是否只看前面有没有正号或负号？答：(2)正数与负数表示相反意义的量，它们因生活生产中的需要产生的，你能举出生活中用正数和负数表示的相反意义的量吗？答：5、有理数的概念：整数与分数统称为有理数。
注意：(1)此时的整数包括：正整数，0，负整数；分数包括：正分数与负分数。
(2)“统称”的含义为：任何整数与分数都是有理数，任何有理数要么是整数，要么是分数。
(3)正数中不仅含有正有理数，还含有其他的正数，负数类似。
例题1：（1）―10表示支出10元，那么+50表示 ；（2）如果零上5度记作5°C ，那么零下2度记作 ；（3）如果上升10m 记作10m ，那么―3m 表示 ；（4）太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米，可记作海拔 米（即低于海平面11034米）。
第一讲有理数
第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例 题 示 范1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示：仿例5，造零。
结论：2003。
例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
第一章 有理数知识点、考点、难点总结归纳
第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是初中数学中的重要概念，它是进一步学习数学的基础。
下面我们来详细总结归纳一下有理数的知识点、考点和难点。
一、有理数的定义有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
整数可以看作是分母为 1 的分数。
分数则是两个整数的比值，形式为\（＼frac{m}｛n}＼）（其中\（n\neq 0\））。
二、有理数的分类1、按定义分类整数：正整数、0、负整数。
分数：正分数、负分数。
2、按性质分类正有理数：正整数、正分数。
负有理数：负整数、负分数。
三、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴的作用：1、可以直观地表示有理数，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
2、可以比较有理数的大小，数轴上右边的数总比左边的数大。
四、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
例如，＼（5\）的相反数是\（－5\），＼（－3\）的相反数是\（3\），＼（0\）的相反数是\（0\）。
相反数的性质：1、互为相反数的两个数之和为\（0\），即\（a ＋（a) ＝ 0\）。
2、数轴上表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
五、绝对值数轴上表示数\（a\）的点与原点的距离叫做数\（a\）的绝对值，记作\（＼vert a\vert\）。
绝对值的性质：1、正数的绝对值是它本身，即当\（a ＞ 0\）时，＼（＼vert a\vert ＝ a\）。
2、 0 的绝对值是 0，即\（＼vert 0\vert ＝ 0\）。
3、负数的绝对值是它的相反数，即当\（a ＜ 0\）时，＼（＼vert a\vert ＝ a\）。
绝对值的计算：例如，＼（＼vert －5\vert ＝ 5\），＼（＼vert 3\vert ＝ 3\）。
六、有理数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例如，比较\（－3\）和\（－5\）的大小，因为\（＼vert －3\vert ＝3\），＼（＼vert －5\vert ＝ 5\），＼（3 ＜ 5\），所以\（－3 ＞－5\）。
有理数专题讲座
有理数专题讲座第一部分 有理数的意义一、知识梳理1．有理数的分类：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），在画数轴时三者缺一不可． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．3．相反数的意义及其与倒数的区别： 相反数的代数意义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，特别地，0的相反数是0。
相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
（0是惟一的相反数等于自身的数）在一个有理数a 的前面加上“－”号，就表示这个数的相反数，即“－a ”与“a ”互为相反数。
相反数与倒数的区别：（1）两个互为相反数的数，它们符号相反；两个互为倒数的数，它们符号相同． （2）两个互为相反数的数，其绝对值相等；两个互为倒数的数，除±1外，其绝对值不等．（3）零的相反数是零，而零没有倒数．（4）两个互为相反数的数和为零；两个互为倒数的数积为1． 4．绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
对于任意一个数a , a 的绝对值用||a 表示。
||a 是数轴上表示a 的点到原点的距离，即||a 代表的是一个长度，所以||a 表示的一定是一个非负数。
||a 和a 的关系如下：||a ＝⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 。
5．比较两个有理数的大小：（1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大，负数小于0，正数大于0，正数大于一切负数．二、典例剖析1、最小的正整数是______；最大的负整数是_____；最小的非负整数是______；最大的非正整数是_______。
2：填空：1、 比―4大的负整数有__________________；2、 大于―3.5而不大于3的整数有______个；3、简化（1）+（―5.2）=______； (2) ―[―(+5)] =______；(3)―{―[―(+2.7)]}=_______； (4)|―[―(―2.3)]|=______。
第一讲 有理数基础知识
第一讲 有理数基础知识1.下列说法中正确的是( )A.数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是2B.-1是最大的负整数 任何有理数的绝对值都大于0 D.0是最小的有理数2.一个点从数轴上的-3表示的点开始,先向右移动2个单位长度,再向左移动4个单位长度,这时该只所对应的数是( )A.3B.-5C. -1D.-93.已知:如图,数轴上A 、B 、C 、D 四点对应的分别是整数a 、b 、c 、d,且有a+2b+c-d=-1,那么,原点应是点( )A. AB. BC. CD. D4.如图,如果数轴上A,B 两点之间的距离是8,那么点B 表示的数是( )A.5B.-5C.3D.-3 5.如图,数轴上点M 所表示的数可能是( )A.1.5B. -2.6C. -1.4D.2.6 6.如图,数轴的单位长度为1,如果B 、C 表示的数的和为2,那么A 、D 表示的数的和是( )A.5B. 4C. 3D.27.下图数轴上A 、B 、C 、D 、E 、S 、T 七点的坐标分别为-2、-1、0、1、2、s 、t. 若数轴上有一点R,其坐标为s-t+l,则R 会落在下列哪一线段上?A. ABB. BCC. CDD. DE8.比较大小：65-87-(填“>”或“<”) 9.已知a+b=0,b+c=0,c+d=0,d+f=0,则a,b,C,d,f 这五个数中,哪些数相等,哪些数互为相反数?10.化简:-{+[-(-|-65|)]}.11.如果a,b 表示有理数,a 的相反数是2a+1,b 的相反数是3a+1,求2a-b 的值.12.已知:有理数m 所表示的点到点3距离4个单位,a,b 互为相反数,且都不为零,c,d 互为倒数.求:2a+2b+(2-3cd)-m 的值.13.化简下列各式的符号,并回答问题：(1) -(-2)；(2) +(-3)；(3) -[-(-4)]；(4) -[-(+3.5)；(5) (-{-[-(-5)]})；(6) -{-[-(+5)}14.已知数轴上点A对应的数是2,点B对应的数是-3,乌龟从A点出发以每秒1个单位长度的速度爬行,兔子从B出发以每秒3个长度单位的速度运动,若它们同时出发,在数轴上运动3s,请回答:(1)它们相距最近时,乌龟和兔子所在的位置对应的数分别是多少?(2)它们距离最远时,乌龟和兔子所在的位置对应的数分别是多少?15.如图所示,在数轴上点A表示的有理数为-6,点B表示的有理数为4,点P从点A出发, 以每秒2个单位长度的速度在数轴上向点B运动,当点P到达点B后立即返回,仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止.设运动时间为t(单位:秒).(1)求t=1时点P表示的有理数;(2)求点P与点B重合时的t值;(3)在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中,求点P与点A的距离(用含t 的代数式表示);(4)当点P表示的有理数与原点的距离是2个单位长度时,直接写出所有满足条件的t值.错题更正:对于本次作业的错题,学生已全部更正。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲 有理数专题 一、知识思维导图：
二、数学思想方法：
1、利用数形结合的数学思想直观地解决问题
数本身是无形的、抽象的，但点线却是直观的，数轴正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，将图形和数有机地结合起来，从而便于学习和研究。
利用数轴上的点来表示有理数，利用数轴理解相反数、绝对值的概念，利用数轴探究有理数的运算法则等，都充分体现了数形结合的思想。
2、在有理数运算中，体现转化思想
转化思想的宗旨是把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，如减法可以转换成加法，除法可以转换成为乘法。
3、运用分类讨论思想，全面解答问题
在学习相反数、绝对值及有理数乘方运算的符号法则时，应把有理数分成正数、零、负数三类分别研究，运用分类讨论法的思想，在一些看上去比较复杂抽象的计算题中，通过分类讨论，就能全面地把代数式的值一一求出来。
三、典型例题选讲：
A 、加强有理数混合运算的训练 例题1 计算：
① ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--814332124353212
2
② ()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-91311994153143212222
2
例题2 计算：⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-526110132301
例题3 计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-211434000321999652000
例题4 计算：
20
191651541431⨯+∙∙∙+⨯+⨯+⨯
B 、探索规律问题
例题5 （2009黑龙江牡丹江）有一列数21-，52，103-，17
4，···， 那么第7个数是 。
例题6 （2009湖北恩施）观察数表
根据表中数的排列规律，则字母A 所表示的数是 。
例题7 （2009山西）图是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 。
四、巩固提高： A ：选择题 1、（2009湖北宜昌）如果+20%表示增加20%，那么-6%表示 （ ） A.增加14% B.增加6% C.减少6% D.减少26%
2、在(-3)2，(-5)3，-(-4)，-|-6|，-23，|-2-(-2)|中，负数的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3、已知a 、b 两数在数轴上对应的点如下所示，下列结论正确的是 （ ）
A.a>b
B.ab<0
C.b-a>0
D.a+b>0 4、若a b ≠0，则等式|a|+|b|=|a+b|成立的条件是 （ ） A.a>0,b<0 B.ab<0 C.a+b>0 D.ab>0 5、下列比较大小正确的是 （ ） A.-(-21)<+(-21) B.82
1
10
>- C.-|-7|=-(-7) D.5465-<-
6、（2009广东深圳）如果a 的倒数是-1，那么a 2009等于 （ ）
A.1
B.-1
C.2009
D.-2009 7、已知|x|=3，|y|=2，且xy<0，则x+y 的值等于 （ ） A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1 8、（2009浙江宁波）根据《宁波是休闲基地和商务会议基地建设五年行动计划》，预计到2012年，宁波是接待游客量将达到4640万人，其中4640万用科学记数法可表示为 （ ）
A.0.464×109
B.4.64×108
C. 4.64×107
D. 46.4×107
9、横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥(Shenzhen Bay Bridge)是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数字用科学记数法表示为(保留两个有效数字) （ ）
A.47×102
B.4.7×103
C. 4.8×103
D. 5.0×103
10、（2009 湖北鄂州）为了求1+2+22+23+…+22008的值，可令S=1+2+22+23+…+22008
，则2S=2+22+23+…+22008+22009，因此2S-S=22009-1，所以1+2+22+23+…+22008=22009-1。
仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是 （ ） A.5
2009
-1 B.5
2010
C.5
2010
-1 D.4
1
52010-
B ：填空题
11、把-22，(-2)2，-|-2|，2
1
-
按从小到大的顺序排列是 。
12、如下图数轴上A 、B 两点所表示的有理数的和是 。
13、自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将和乘3后加1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷阱”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”。
那么最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R= 。
14、如下图所示的运算程序中，若开始输入的x 的值为48，我们发现第1次输出的结果为
24，第2次输出的结果为12，…，第2009次输出的结果为 。
15、（2009湖北武汉）将一些半径相同的小圆按下图所示的规律摆放：第一个图形有6个小圆，第二个图形有10个小圆，第三个图形有16个小圆，第四个图形有24个小圆，…，依此规律，第六个图形有 个小圆。
C ：计算题：
16、(1) ()()%252155.2425.041370-⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- (2) (-2)3×0.5-(-1.6)2÷(-2)2
17、(1) ()5244361832411-÷⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+- (2) ()()()23222794313322--÷--+-÷-----
D ：计算题
18、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于2，
试求x 2-(a+b+cd)x+(a+b)1994+(-cd)1995的值。
19、我们规定运算“*”，两数A 、B 通过“*”运算得(A+2)×2-B ，即A*B=(A+2)×2-B 。
例如：3*5=(3+2)×2-5=5。
① 求6*7的值 ② 6*7与7*6相等吗？
20、已知|a|=1，|b|=2且a 、b 异号，请比较|a+b|，|a-b|，|4a+b|和|2a-b|四个数的大小。