人教新课标版数学-高中数学直线与圆锥曲线的位置关系(二)学案
直线与圆锥曲线的位置关系导学案
直线与圆锥曲线的位置关系主编 审核 定稿 班级 组别一．学习目标1.掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2.领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3.理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；4.培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．二． 重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用； 难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、 学习方法指导1、 在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。
2、 涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。
3、 要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。
应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。
应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题4、重视方程的思想，等价转换的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想在解题中的运用四．常考题型解读题型一：直线与椭圆的位置关系：例1.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.10例2.如果椭圆193622=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x题型二：直线与双曲线的位置关系：例3.已知直线1:-=kx y L 与双曲线22:y x C -=4。
⑴若直线L 与双曲线C 无公共点，求k 的范围；⑵若直线L 与双曲线C 有两个公共点，求k 的范围；⑶若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；⑷若直线L 与双曲线C 的右支有两个公共点，求k 的范围；⑸若直线L 与双曲线C 的两支各有一个公共点，求k 的范围。
直线和圆锥曲线位置关系教学设计
数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类比归纳, 总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准的方法。
高中数学教学设计
教学 课题 课程 类型 课时 理论 依据
编写人:管雨坤
直线和圆锥曲线的位置关系 复习课 一课时 有效学习策略：视觉比听觉效果好，所以用多媒体几何画板和板书；自己动手比看效 果好，所以学生要落实好；讲给别人听比自己做一遍效果更好，所以小组合作。 本节课是平面解析几何的核心内容之一。 本节内容是 《直线与圆锥曲线的位置关系》 的 第一节课,着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、 分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。这为后面解决直线与 圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是 解析几何的核心内容之一。 本节内容在高考中的地位：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、 压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出 考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和 解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能。 数学思想方法分析：本节复习课在教学中力图让学生动手操作,自主探究,发现共性,类 比归纳,总结解题规律.同时还需要强化学生的分类讨论的数学意识以及寻找分类讨论标准 的方法。
ax2 bx c 0
a 0时, b 2 4ac (1) 0 相交 (2) 0 相切 (3) 0 相离
学生独立思考，培养 学生的独立思考能 力以及思维的严密 性。 （1）观察图形中 的直线与圆锥曲线 （2） C 的位置关系： 可以利用直线方程 与圆锥曲线方程组 成的方程组，消去某 个变量（x 或 y）后， 所得的方程根的情 况来研究
《直线与圆锥曲线位置关系》导学案
直线与圆锥曲线的位置关系【学习目标】知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力问题1.平面内直线和圆锥曲线有几种位置关系？问题2.该如何判断直线与圆锥曲线的位置关系呢？将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线________；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线________；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线________．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．问题3.若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于AB两点,如何求弦长AB？1.求交点坐标法2.韦达定理法3 . 点差法(中点)技巧传播2.直线方程y=k(x+2) 与x=my-2的区别和联系。
1．若直线l 过点（0，1），则它与椭圆12422=+y x 的位置关系是___________．2．过点（0，1）且与抛物线x y 42=仅有一个公共点的直线有_______条．3．过点（0，1）且与双曲线221x y -=只有一个公共点的直线共有______条．典型例题例：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F ，(1)求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长AB.(2)判断点P(1,1)与椭圆的位置关系,并求以P 为中点椭圆的弦AB 所在的直线方程.小试身手（2018全国）已知抛物线C ：y2=4x 的焦点为F,过点（-2，0）且斜率为23的直线与C 交于M 、N 两点，则 FM FN ∙=（ ） A .5 B.6 C.7 D.8考点预测：预计期末对本考点考查的可能性非常大.本考点主要考查化归思想和运算转化能力，既可以以小题形式考查，也可能应用在解答题中.分值为4~14分备考建议：直线方程与圆锥曲线位置关系关键涉及到两种方程的联立，运算量较大，只有多琢磨多练习方可保证运算的准确性。
高三数学第一轮复习教案第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(2)(学案)
高三数学第一轮复习讲义（53）直线与圆锥曲线的位置关系（2）一．复习目标：1．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；2．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法．二．知识要点：1．弦长公式1212||||AB x x y y =-=-． 2．焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率） 三．课前预习：1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，（1）若12||x x -=则||AB = ．（2）12||y y -则||AB = ． 2．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ．3．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有 （ ） ()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条4．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ）()A ()B()C ()D 5．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB = ． 四．例题分析：例1．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．例2．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．例3．已知倾斜角为45︒的直线l 过点(1,2)A -和点B ，B 在第一象限，||AB =(1) 求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线222:1x C y a-=(0)a >相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为(4,1)，求a 的值；（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点(,0)P t 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.五．课后作业： 班级 学号 姓名1．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是 （ ）()A()B 1+()C 2+()D 32．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于 （ ）()A 2a ()B 12a ()C 4a()D 4a 3．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是 （ ）()A 2 ()B ()C ()D 4．过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB 则=α ．5．若过椭圆2221(02)4x y b b+=<<右焦点2F 且倾斜角为34π的直线与椭圆相交所得的弦长等于247，则b = ．6．设抛物线22(0)y px p =>，Rt AOB ∆ 内接于抛物线，O 为坐标原点，,AO BO AO ⊥所在的直线方程为2y x =，||AB =7．已知某椭圆的焦点是()()124,04,0F F -、，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210FB F B +=．椭圆上不同的两点()()1122,,A x y C x y 、满足条件： 222F A F B F C 、、成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 垂直平分线的方程为y kx m =+，求m 的取值范围．8．设双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ．（1）求双曲线的离心率e 的取值范围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案教学目标：1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)教学难点：恰当选用几何法或者联立消元解决位置相关问题．教学过程：一、情境导入：判断几何图形位置关系的常用方法有哪些？各有什么利弊？二、小组合作：1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋B＋＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线的方程F(x，)＝0，消去(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量)的一元方程．即F(x，)＝0Ax＋B＋＝0，消去，得ax2＋bx＋＝0(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．三、班内交流：（2）问题：当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[小题体验]1．(教材习题改编)直线＝x－＋1与椭圆9x2＋42＝1的位置关系为()A．相交B．相切．相离D．不确定解析：选A直线＝x－＋1＝(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的() A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条解析：选A直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选A教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．四、点拨精讲[题组练透]1．双曲线：a2x2－b22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为，则直线l与双曲线的左，右两支都相交的充要条是() A．＞－ab B．＜ab．＞ab或＜－ab D．－ab＜＜ab解析：选D由双曲线渐近线的几何意义知－ab＜＜ab 2．(2016·兰州检测)若直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，则过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点个数为()A．至多一个B．2．1 D．0解析：选B∵直线x＋n＝4和圆：x2＋2＝4没有交点，∴2＋n24＞2，∴2＋n2＜4∴92＋4n2＜92＋44－2＝1－362＜1，∴点(，n)在椭圆9x2＋42＝1的内部，∴过点(，n)的直线与椭圆9x2＋42＝1的交点有2个．3．(易错题)若直线＝x＋2与双曲线x2－2＝6的右支交于不同的两点，则的取值范围是()A．1 B．31．，01 D．，－11解析：选D由x2－2＝6＝x＋2，得(1－2)x2－4x－10＝0设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，1)，B(x2，2)，则＞0，－10解得－31＜＜－1即的取值范围是，－11[谨记通法]直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点(1)判定方法①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，的方程组，消去(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．如“题组练透”第1题．(2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．五、巩固练习：(教材习题改编)已知抛物线方程为2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为则＝________时，直线l与抛物线有且只有一个公共点．答案：－1或21或0教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．六、堂小结请学生谈一谈本节的收获有哪些。
人教新课标版数学高二B版选修2-1导学案 第二章 直线与圆锥曲线的位置关系(二)
§2.5.2直线与圆锥曲线的位置关系（二）
学习目标
1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方式；
2.能够根据根与系数的关系推导出弦长公式，并会应用弦长公式解决问题；
学习过程
【任务一】阅读课本
阅读课本P68也例3.仿照例3的解法完成下面问题；
仿照练习：已知抛物线x y 82=的弦AB 过它的焦点，直线AB 的斜率为2，求AB 的长。
【任务二】典型例题分析
例1：已知斜率为2的直线l 与抛物线x y 42=相交于B A 、两点，如果线段AB 的长等于5，求直线l 的方程。
变式练习：已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，它的弦PQ 所在直线的方程为12+=x y ，弦长等于15，求抛物线C 的方程。
例2：已知直线m x y +=与椭圆1422
=+y x 相交于B A 、两点，当m 变化时，求AB 的最大值。
变式练习2：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值。
人教版高中数学教案-直线与圆锥曲线的位置关系
直線與圓錐曲線的位置關係 課前預習學案 一、預習目標1．掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關系的問題轉化為研究方程組的解的問題；2. 會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個變數，將交點問題問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與係數關係及判別式解決問題． 二、預習內容1．直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法：； 2、弦的中點或中點弦的問題，除利用韋達定理外，也可以運用“差分法”（也叫“點差法”）．3、弦長公式 ；4、焦點弦長： ；1．直線y x b =+與抛物線22y x =，當b ∈ 時，有且只有一個公共點；當b ∈ 時，有兩個不同的公共點；當b ∈ 時，無公共點．2．若直線1y kx =+和橢圓22125x y m+=恒有公共點，則實數m 的取值範圍為 ． 3．抛物線2y ax =與直線y kx b =+(0)k ≠交於,A B 兩點，且此兩點的橫坐標分別為1x ，2x ，直線與x 軸的交點的橫坐標是3x ，則恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．橢圓122=+ny mx 與直線1=+y x 交於,M N 兩點，MN 的中點為P ，且OP 的斜率為22，則nm的值為（ ） ()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知雙曲線22:14y C x -= ，過點(1,1)P 作直線l ，使l 與C 有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l 共有（ ）()A 1 條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條6．設直線21y x =-交曲線C 於1122(,),(,)A x y B x y 兩點，（1）若12||2x x -=，則||AB = ．（2）12||2y y -=，則||AB = ． 7．斜率為1的直線經過抛物線24y x =的焦點，與抛物線相交於,A B 兩點，則||AB = ．8．過雙曲線2212y x -=的右焦點作直線l ，交雙曲線於,A B 兩點，若||4AB =，則這樣的直線l 有（ ）()A 1條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條9．已知橢圓2224x y +=，則以(1,1)為中點的弦的長度是（ ）()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓的左焦點為F ，離心率為13e =，過F 作直線l 交橢圓於,A B 兩點，已知線段AB 的中點到橢圓左準線的距離是6，則||AB = ． 三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內容課內預習學案 一、學習目標1、使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．2、通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．3、通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、學習過程1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？3．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：4．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．例題例1．過點(1,6)--的直線l 與抛物線24y x =交於,A B 兩點，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直線:1l y kx =+與雙曲線22:21C x y -=的右支交於不同的兩點,A B ， （I ）求實數k 的取值範圍；（II ）是否存在實數k ，使得以線段AB 為直徑的圓經過雙曲線C 的右焦點F ？若存在，求出k 的值；若不存在，說明理由．例3．已知直線l 和圓M ：2220x y x ++=相切於點T ，且與雙曲線22:1C x y -=相交於,A B 兩點，若T 是AB 的中點，求直線l 的方程．例4．如圖，過抛物線22(0)y px p =>上一定點000(,)(0)P x y y >，作兩條直線分別交抛物線於1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求該抛物線上縱坐標為2p的點到其焦點F 的距離；（2）當PA 與PB 的斜率存在且傾斜角互補時，求12y y y +的值，並證明直線AB 的斜率是非零常數． 例5．橢圓的中心是原點O ，它的短軸長為22，相應於焦點)0)(0,(>c c F 的準線l 與x 軸相交於點A ，||2||FA OF =，過點A 的直線與橢圓相交於,P Q 兩點．（I ）求橢圓的方程及離心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直線PQ 的方程；（III ）設)1(>=λλAQ AP ，過點P 且平行於準線l 的直線與橢圓相交於另一點M ，證明FQ FM λ-=． 課後練習與提高1．以點(1,1)-為中點的抛物線28y x =的弦所在的直線方程為（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率為3的直線交橢圓221259x y +=於,A B 兩點，則線段AB 的中點M 的座標滿足方程（ ）()A 325y x =()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．過點(0,1)與抛物線22(0)y px p =>只有一個公共點的直線的條數是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．過雙曲線22221x y a b -=的右焦點2F 作垂直於實軸的弦PQ ，1F 是左焦點，若0190PFQ ∠=，則雙曲線的離心率是（ ） ()A 2 ()B 12 ()C 22 ()D 325．過抛物線2(0)y ax a =>的焦點F 作一直線交抛物線於,P Q 兩點，若線段PF 與FQ 的長分別是,p q ，則11p q+等於（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直線y x m =+與橢圓2214x y +=交於A 、B 兩點，則||AB 的最大值是（ ） ()A 2 ()B 55 ()C 105 ()D 81057．已知雙曲線2290x y kx y -+--=與直線1y kx =+的兩個交點關於y 軸對稱，則這兩個交點的座標為 ．8.與直線042=+-y x 的平行的抛物線2x y =的切線方程是 ．9.已知橢圓的中心在原點，離心率為12，一個焦點是(,0)F m -（m 是大於0的常數）． （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設Q 是橢圓上的一點，且過點,F Q 的直線l 與y 軸交於點M ，若||2||MQ QF =，求直線l 的斜率．10．一個正三角形的三個頂點都在雙曲線221x ay -=的右支上，其中一個頂點是雙曲線的右頂點，求實數a 的取值範圍．11．已知直線1y kx =+與雙曲線2231x y -=相交於,A B 兩點．是否存在實數k ，使,A B兩點關於直線20x y -=對稱？若存在，求出k 值，若不存在，說明理由．點、直線與圓錐曲線的位置關係一、教學目標(一)知識教學點使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．(二)能力訓練點通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．(三)學科滲透點通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、教材分析1．重點：直線與圓錐曲線的相交的有關問題．(解決辦法：先引導學生歸納出直線與圓錐曲線的位置關係，再加以應用．)2．難點：圓錐曲線上存在關於直線對稱的兩點，求參數的取值範圍．(解決辦法：利用判別式法和內點法進行講解．)3．疑點：直線與圓錐曲線位置關係的判定方法中△=0不是相切的充要條件．(解決辦法：用圖形向學生講清楚這一點．)三、活動設計四、教學過程(一)問題提出1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？引導學生回答，點P與圓錐曲線C的位置關係有：點P在曲線C上、點P在曲線C 內部(含焦點區域)、點P在曲線的外部(不含焦點的區域)．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之一．2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？引導學生類比直線與圓的位置關係回答．直線l與圓錐曲線C的位置關係可分為：相交、相切、相離．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之二．(二)講授新課1．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：(由教師引導學生完成，填好小黑板)上述結論可以利用定比分點公式，建立兩點間的關係進行證明．2．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．3．應用求m的取值範圍．解法一：考慮到直線與橢圓總有公共點，由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件可求．由一名同學演板．解答為：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上，知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m對一切實數k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值範圍為m∈(1，5)．解法二：由於直線過定點(0，1)，而直線與橢圓總有公共點，所以定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上，由點與橢圓的位置關係的充要條件易求．另解：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點．∴直線所經過的定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上．故m的取值範圍為m∈(1，5)，小結：解法一由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路易得，但計算量大；解法二由點與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路靈活，且簡捷．稱，求m的取值範圍．解法一：利用判別式法．並整理得：∵直線l′與橢圓C相交於兩點，解法二：利用內點法．設兩對稱點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中點為M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小結：本例中的判別式法和內點法，是解決圓錐曲線上存在兩點關於直線的對稱的一般方法，類似可解抛物線、雙曲線中的對稱問題．練習1：(1)直線過點A(0，1)且與抛物線y2=x只有一個公共點，這樣的直線有幾條？(2)過點P(2，0)的直線l與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點，這樣的直線有幾條？由學生練習後口答：(1)3條，兩條切線和一條平行於x軸的直線；(2)2條，注意到平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，故這樣的直線也只有2條．2=4關於直線y=x-3對稱的曲線C′的方程．練習2：求曲線C∶x2+4y由教師引導方法，學生演板完成．解答為：設(x′，y′)是曲線C上任意一點，且設它關於直線y=x-3的對稱點為(x，y)．又(x′，y′)為曲線C上的點，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲線C的方程為：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小結本課主要研究了點、直線與圓錐曲線的三種位置關係及重要條件．五、佈置作業的值．2．k取何值時，直線y＝kx與雙曲線4x2-y2=16相交、相切、相離？3．已知抛物線x=y2+2y上存在關於直線y=x+m對稱的相異兩點，求m的取值範圍．作業答案：1．由弦長公式易求得：k=-4當4-k2=0，k=±2，y=±2x為雙曲線的漸近線，直線與雙曲線相離當4-k2≠0時，△=4(4-k2)×(-6)(1)當△＞0，即-2＜k＜2時，直線與雙曲線有兩個交點(2)當△＜0，即k＜-2或k＞2時，直線與雙曲線無交點(3)當△=0，即k=±2時，為漸近線，與雙曲線不相切故當-2＜k＜2時，直線與雙曲線相交當k≤-2或k≥2時，直線與雙曲線相離六、板書設計。
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案
高三《直线与圆锥曲线的位置关系》学案教学目标：1、知识教学点：使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、能力训练点：通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、学科渗透点：通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力教学重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．)教学难点：恰当选用几何法或者联立消元解决位置相关问题．教学过程：一、情境导入：判断几何图形位置关系的常用方法有哪些？各有什么利弊？二、小组合作：1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即F(x，y)＝0Ax＋By＋C＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．三、班内交流：（2）问题：当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[小题体验]1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆9x2＋4y2＝1的位置关系为( ) A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.故选A.教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．四、点拨精讲[题组练透]1．双曲线C：a2x2－b2y2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是( )A．k＞－ab B．k＜abC．k＞ab或k＜－ab D．－ab＜k＜ab解析：选D 由双曲线渐近线的几何意义知－ab＜k＜ab.2．(2016·兰州检测)若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆9x2＋4y2＝1的交点个数为( )A．至多一个B．2C．1 D．0解析：选B ∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴m2＋n24＞2，∴m2＋n2＜4.∴9m2＋4n2＜9m2＋44－m2＝1－365m2＜1，∴点(m，n)在椭圆9x2＋4y2＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆9x2＋4y2＝1的交点有2个．3．(易错题)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A．15 B．315C．，015 D．，－115解析：选D 由x2－y2＝6y＝kx＋2，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＞0，－10解得－315＜k＜－1.即k的取值范围是，－115.[谨记通法]直线与圆锥曲线位置关系的2种判定方法及2个关注点(1)判定方法①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．如“题组练透”第1题．(2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．五、巩固练习：(教材习题改编)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k.则k＝________时，直线l与抛物线有且只有一个公共点．答案：－1或21或0教学设计--直线与圆锥曲线的位置关系2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．六、课堂小结请学生谈一谈本节课的收获有哪些。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
高中数学_直线与圆锥曲线的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思
菏泽第一中学《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计设计人：直线与圆锥曲线的位置关系教学设计设计人：【教材分析】圆锥曲线是解析几何的核心内容，在整章的复习中，主要以课本知识系统为线索，全面、深刻地复习基础知识、基本技能和其中蕴涵的基本的数学思想方法．本章内容主要突出了解析几何中的数形结合思想，方程思想，函数思想，对应和运动变化思想等数学思想及定义法，待定系数法，参数法等常用的基本方法．其中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容之一，主要涉及的问题有直线与圆锥曲线的位置关系的判断，求相交弦长，焦点弦长及中点弦等问题，主要考查数形结合，等价转化，函数与方程等数学思想．【学情分析】《直线与圆锥曲线的位置关系》．学生在高二解析几何的学习中已经基本掌握了圆锥曲线的定义、方程、性质以及直线与圆的位置关系等，具备了一定的知识基础和分析问题、解决问题的能力．通过对方程组解的讨论，巩固用代数的方法来研究直线与圆锥曲线公共点的问题，掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系的判断，进一步领会用代数方法研究几何问题的数学本质．同时，借助几何画板，运用运动变化的观念，让学生在直接观察、运动变化的过程中实现自主探究，数形结合，以形助数．【教学目标】1.知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系2.过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力3.情感、态度与价值观：让学生欣赏圆锥曲线曲线之美，体会数形结合和方程的思想在解决几何问题中的价值，体验探索的乐趣，增强学习数学的乐趣。
【教学重点】重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题，对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究，直线与圆锥曲线的综合应用。
【教学程序与设计环节】——与以前所学知识类比，引起认知上的冲突——通过对一个讨论题组的研究，巩固研究问题的基本方法——在讨论和探索中，进一步巩固基本的研究方法，发现容易出错之处并引起重视——师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课前提出的疑问——巩固本节课的知识及方法【教学过程与操作设计】【情景一】 问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成椭圆、双曲线、抛物线，又有怎样的位置关系呢？如何判定？【设计意图】与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】讨论题组1题型一：直线与圆锥曲线的公共点问题1.直线y=kx-k+1与椭圆 14922=+y x 的位置关系为( ) (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程x 2-y 2=1，过P (0，1)点的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 13.直线2+=kx y 与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，则k 的值为4（A ） 1 (B) 1或3 （C ）0 (D) 1或04.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？【设计意图】复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法，注意利用数形结合。
高中数学选修2-1精品教案 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、预习目标1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二、预习内容1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：；2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．3、弦长公式 ；4、焦点弦长： ；1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点． 2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm 的值为（ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条6．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，（1）若12||2x x -=||AB = ．（2）12||2y y -=||AB = ．7．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ． 8．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条9．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ） ()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB = ．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内预习学案一、学习目标1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、学习过程1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？2．直线l ：Ax+By+C=0和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：4．直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．例题例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例4．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数． 例5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．课后练习与提高1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ） ()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是（ ） ()A 2 ()B 12()C 22()D 325．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是（ ）()A 2 ()B 5 ()C 5 ()D 5 7．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．8.与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．9.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =u u u u r u u u r ，求直线l 的斜率．10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：k=-41．由弦长公式易求得：当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计11。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。
5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。
五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。
2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。
六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。
高中数学2.1 直线与圆锥曲线的位置关系 教案人教版必修2
直线与圆锥曲线的位置关系【教学要求】1.深刻领会曲线与方程的概念．2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定，能够应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些实际问题． 【典型例题】例1．已知直线l 过抛物线)0(22>=p px y )的焦点F ，并且与抛物线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，证明:(1)焦点弦公式AB =p x x ++21；(2)若l 的倾斜角为α，则AB =α2sin 2p；(3)FA 1+FB 1为常量；(4)若CD 为抛物线的任何一条弦，则直线l 不可能是线段CD 的垂直平分线．分析：已知直线l 过抛物线的焦点，分斜率存在、不存在将直线方程设出，将直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，设而不求即可简捷求解.证明：(1)作1AH ⊥准线1l 于1H ，作2BH ⊥1l 于2H ， 由定义AF =1AH ，BF =2BH ,准线1l :2px -=, ∴弦长AB =AF +BF =1AH +2BH =++21p x 22px +=p x x ++21； (2)当α=90°时，弦长AB 为通径长．∴AB =2p =90sin 22p． 当α≠90°时，F (2p,0)，设l 的斜率为k ．则αtan =k ,作AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，AC 、BC 交于C ，则),(11y x C ，∠ABC =α，⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(2 将①代入②，得04)2(22222=++-p k px k x k ∴p kk x x 22212+=+ ∴AB = p x x ++21=⋅p 2221k k +=⋅p 2αα22tan 1tan +=ap2sin 2 ∴AB =α2sin AC(3)利用抛物线的焦半径公式，得⋅FA )2()2(21px p x FB +⋅+==4)(222121p x x p x x +++＝4)21(24222p k p p p ++⋅+＝ αα222222sin )cot 1()11(p p k p =+=+ ① ②∴FA 1+FB 1=FB FA FB FA ⋅+=FB FA AB ⋅=αα222sin sin 2p p =p 2为定值； (4)显然当ox l ⊥时，弦CD 不存在．当l 不与x 轴垂直时，设C (p c 22,c )，D (p d 22,d )，且c ≠d ，则CD k =dc p+2．若l ⊥CD ，则l k =-pdc 2+ ∵l k ≠0，∴d c +≠0 设线段CD 的中点为),(00y x M ,则0x =21(p c 22+p d 22)=p d c 422+,0y =2d c +，将0x 代入方程)2(p x k y l -=求得：'0y =-p dc 2+( 0x -2p )=2d c +(21-p x 0) ∵21-p x 0=21-2224pd c +≠1∴'0y ≠21(d c +)= 0y ∴线段CD 的中点M 不在直线l 上． 小结：用抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离来计算，简化了运算，(2)中没有运用弦长公式，而是利用(1)的结论或结合图形，灵活运用平面几何知识解直角三角形，证明较简捷，本题要注意运用直线方程的点斜式时，斜率是否存在，解答时要分斜率不存在(α=90°)和斜率存在(α≠90°)两种情况证明，同样(4)中也要对直线l 的位置进行讨论，同时要注意解题的严密性．例2．设双曲线C ：)0(1222>=-a y ax 与直线l ：1=+y x 相交于两个不同的点B A 、．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且=125，求a 的值． 分析：由曲线C 与直线l 有两个不同交点，得其两方程联立后二次方程的△>0，这样便得出a 、c 的不等式，再求解ac=e 即完成第一问，借助向量相等条件，韦达定理，列出只含a 的方程，再求解． 解：(1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-11222y x y ax 有两个不同的实数解，消去y 并整理得022)1(2222=-+-a x a x a ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-0)1(84012242a a a a 解得0<a <2且a ≠1,双曲线的率心率e =a a 21+=112+a∵0<a <2且a ≠1,∴>e 26且e ≠2,即率心率e 的取值范围为(26，2)∪(2,+∞). (2)设),(),,(2211y x B y x A ,)1,0(P ．∵ =125 ∴=-)1,(11y x )1,(12511-y x ． 由此得=1x2125x ，由于21x x 、都是方程①的根,且1-2a ≠0 所以=21217x 2212a a --,=22125x 2212a a --．消去2x ,得2212a a --=60289 由>a 0,所以a =1317． 小结：本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解方程等知识，考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力，此题涉及知识点多，运算量大，需要学生具有一定的数学能力才能解出此题．例3.已知某椭圆的焦点是)0,4(1-F 、)0,4(2F ，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点B ，且B F 1+B F 2=10，椭圆上不同的两点),(),,(2211y x C y x A ，满足条件A F 2、C F 2成等差数列． (1)求该椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为m kx y +=，求m 的取值范围．分析：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，考查综合运用知识的能力、逻辑推理能力、运算能力． 解：(1)由椭圆定义及条件知：B F a 12=+B F 2=10．∴a =5,又c =4，∴22c a b -==3．∴椭圆方程为252x +92y =1．(2)∵),4(B y B 在椭圆上，∴B F 2=B y =59． 法一：∵右准线为425=x ,离心率54=e ，∴A F 2=54()4251x -, C F 2=54()4252x - 由A F 2、B F 2、C F 2成等差数列，得54()4251x -+ 54()4252x -=2×59∴821=+x x ．设弦AC 中点),(00y x P ，则2210x x x +==28=4． 法二：由A F 2、B F 2、C F 2成等差数列，得2121)4(y x +-+2222)4(y x +-=2×59① ∵),(11y x A 在椭圆252x +92y =1上，∴y 21=)25(2592121x y -=(25-x 21)．∴A F 2=2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++-=21)545(x -=)425(511x - ② 设),(22y x C ，同理可得 C F 2=2222)4(y x +-=)425(512x - ③将②、③代入①，得)425(511x -+)425(512x -=518∴821=+x x ．设弦AC 中点),(00y x P ，则2210x x x +==28=4． (3)法一：由),(),,(2211y x C y x A 在椭圆25925922⨯=+y x 上，∴2592592121⨯=+y x ④ 2592592121⨯=+y x ⑤由④-⑤，得9(2221x x -)+25(2221y y -)=0∴9×221x x ++25×221y y +×2121x x y y --=0(1x ≠2x )将221x x +=0x =4，221y y +=0y ，2121x x y y --=-k1(k ≠0)代入上式，得02549y +⨯(k 1-)=0(k ≠0) , 由上式得03625y k = (当k =0时也成立)， 由点),4(0y P 在弦AC 的垂直平分线上，得m kx y +=0. ∴00009169254y y y k y m -=-=-=. 由),4(0y P 在线段B B ' (B '与B 关于x 轴对称)的内部，得-59<<0y 59, 所以<<-m 516516. 法二：∵弦AC 的中点为),4(0y P ,∴直线AC ：)4(10--=-x ky y ⑥ 将⑥代入252x +92y =1，得0925)4(25)4(50)259(220022=⨯-+++-+k ky x ky x k∴259)4(502021++=+k ky x x =8 解得03625y k = (当k =0时也成立) 以下步骤同法一． 小结： (1)法一根据圆锥曲线的统一定义，将圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而简化运算，法二用两点间距离公式，运算量较大．(2)法一用代点相减法，既有弦的中点，又有斜率，法二用直线与圆锥曲线关系的一般方法进行处理．例4．已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点．(1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线l ：2+=kx y 与椭圆1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A和B 满足·<6(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线2C 的方程为22a x 22by -=1，则3142=-=a ，再由222c b a =+得2b =1,故2C 的方程为1322=-y x ． (2)将2+=kx y 代入1422=+y x ,得0428)41(22=+++kx x k . 由直线l 与椭圆1C 恒有两个不同的交点得△1=0)14(16)41(16)28(2222>-=+-k k k ,即412>k ． ① 将2+=kx y 代入1322=-y x ，得0926)31(22=---kx x k ． 由直线l 与双曲线2C 恒有两个不同的交点B A 、，得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-0)1(36)31(36)26(03122222k k k k 即312≠k 且12<k ． ② 设),(),,(B B A A y x B y x A ,则=+B A x x23126k k -，B A x x =2319k--． 由·<6得B A x x + B A y y <6，而B A x x + B A y y = B A x x +(2+A kx )(2+B kx )＝2)(2)1(2++++B A B A x x k x x k =22319)1(k k --⋅++⋅k 2 23126k k -+2=137322-+k k ，于是137322-+k k <6，即13131522--k k >0解此不等式得15132>k 或312<k , ③ 由①、②、③得<<241k 31或<<21513k 1, 故k 的取值范围为(1513,1--)∪(33-,21-)∪(21,33)∪(1513,1)． 小结：此题是一个椭圆与双曲线的混合问题，应熟练掌握椭圆、双曲线的几何性质，注意分清两者中a 、b 、c 之间的关系，(2)中利用直线与椭圆，双曲线相交构造关于k 的不等式组，准确合理的计算是成功的关键．【巩固练习】一、选择题：1．直线123+=x y 与曲线92y 4x x -=1的公共点个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．设直线l ：022=++y x 关于原点对称的直线为l ',若l '与椭圆1422=+y x 的交点为B A 、，P 为椭圆上动点，则使△PAB 面积为21的点P 的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：3．过原点与双曲线42x 32y -=1-交于两点的直线的斜率的取值范围为 ． 4．过点(0,2)的直线l 与抛物线)2(42--=x y 仅有一个公共点，则满足此条件的直线l 共有 条． 三、解答题：5.已知椭圆E ：22a x +22b y =1(o b a >>)，以)0,(1c F -为圆心，以c a -为半径作圆1F ，过点),0(2b B 作圆1F 的两条切线，设切点为M 、N ．(1)若过两个切点M 、N 的直线恰好经过点),0(1b B -时，求此椭圆的离心率；(2)若直线MN 的斜率为1-，且原点到直线MN 的距离为)12(4-，求此时的椭圆方程； (3)是否存在椭圆，使得直线MN 的斜率k 在间(22-， 23-)内取值？若存在，求出椭圆E 的离心率e 的取值范围；若不存在，请说明理由．6.设抛物线221x y =的焦点为F ，准线为l ，过点F 作一直线与抛物线交于A 、B 两点，再分别过点A 、B 作抛物线的切线，这两条切线的交点记为P ．(1)证明直线PA 与PB 相互垂直，且点P 在准线l 上；(2)是否存在常数λ，使等式·= λ2FP 恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由． 答案：1．B 2．B 3．(∞-,-23)∪(23,+∞) 4．1 5．(1)13-=e ；(2)181622=+y x ；(3))33,21(- 6．(2)λ＝1-。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案第一章：直线与圆锥曲线的基本概念1.1 直线的基本概念直线的定义直线的性质直线的方程1.2 圆锥曲线的基本概念圆锥曲线的定义圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程第二章：直线与圆锥曲线的交点2.1 直线与圆的交点直线与圆的位置关系直线与圆的交点个数直线与圆的交点坐标求解方法2.2 直线与椭圆的交点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数直线与椭圆的交点坐标求解方法2.3 直线与双曲线的交点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的交点个数直线与双曲线的交点坐标求解方法第三章：直线与圆锥曲线的切点3.1 直线与圆的切点直线与圆的位置关系直线与圆的切点性质直线与圆的切点坐标求解方法3.2 直线与椭圆的切点直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的切点性质直线与椭圆的切点坐标求解方法3.3 直线与双曲线的切点直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的切点性质直线与双曲线的切点坐标求解方法第四章：直线与圆锥曲线的距离4.1 直线与圆的距离直线与圆的位置关系直线与圆的距离公式直线与圆的距离求解方法4.2 直线与椭圆的距离直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的距离公式直线与椭圆的距离求解方法4.3 直线与双曲线的距离直线与双曲线的position 关系直线与双曲线的距离公式直线与双曲线的距离求解方法第五章：直线与圆锥曲线的应用5.1 直线与圆的相切问题直线与圆相切的条件直线与圆相切的应用实例直线与圆相切的解题方法5.2 直线与椭圆的相切问题直线与椭圆相切的条件直线与椭圆相切的应用实例直线与椭圆相切的解题方法5.3 直线与双曲线的相切问题直线与双曲线相切的条件直线与双曲线相切的应用实例直线与双曲线相切的解题方法第六章：直线与圆锥曲线的对称性6.1 直线与圆的对称性直线与圆的对称性质直线与圆的对称变换直线与圆的对称问题实例与解法6.2 直线与椭圆的对称性直线与椭圆的对称性质直线与椭圆的对称变换直线与椭圆的对称问题实例与解法6.3 直线与双曲线的对称性直线与双曲线的对称性质直线与双曲线的对称变换直线与双曲线的对称问题实例与解法第七章：直线与圆锥曲线的相交弦7.1 直线与圆的相交弦直线与圆的相交弦性质直线与圆的相交弦公式直线与圆的相交弦问题实例与解法7.2 直线与椭圆的相交弦直线与椭圆的相交弦性质直线与椭圆的相交弦公式直线与椭圆的相交弦问题实例与解法7.3 直线与双曲线的相交弦直线与双曲线的相交弦性质直线与双曲线的相交弦公式直线与双曲线的相交弦问题实例与解法第八章：直线与圆锥曲线的焦点8.1 直线与圆的焦点直线与圆的焦点性质直线与圆的焦点问题实例与解法直线与圆的焦点应用8.2 直线与椭圆的焦点直线与椭圆的焦点性质直线与椭圆的焦点问题实例与解法直线与椭圆的焦点应用8.3 直线与双曲线的焦点直线与双曲线的焦点性质直线与双曲线的焦点问题实例与解法直线与双曲线的焦点应用第九章：直线与圆锥曲线的综合问题9.1 直线与圆的综合问题直线与圆的位置关系的综合应用直线与圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.2 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系的综合应用直线与椭圆的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与椭圆的对称性、相交弦、焦点的综合应用9.3 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的position 关系的综合应用直线与双曲线的交点、切点、距离的综合问题实例与解法直线与双曲线的对称性、相交弦、焦点的综合应用第十章：直线与圆锥曲线的拓展与提升10.1 直线与圆锥曲线的拓展问题直线与圆锥曲线的特殊位置关系问题直线与圆锥曲线的创新性问题实例与解法直线与圆锥曲线的综合应用提升10.2 直线与圆锥曲线的解题策略与方法直线与圆锥曲线的分类讨论方法直线与圆锥曲线的数形结合方法直线与圆锥曲线的构造法与方程法10.3 直线与圆锥曲线的教学反思与评价直线与圆锥曲线教学的重点与难点直线与圆锥曲线教学的方法与技巧直线与圆锥曲线教学的评价与反思重点和难点解析1. 第一章：直线与圆锥曲线的基本概念重点关注直线和圆锥曲线的定义、性质和方程。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线的位置关系学案 新人教A版选修21
§2.5 直线与圆锥曲线的位置关系学习目标 1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系.2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系.3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法.4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法．1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)相离⇔直线与圆锥曲线无公共点． (2)相切⇒直线与圆锥曲线有一个公共点． (3)相交⇒⎩⎪⎨⎪⎧直线与椭圆有两个公共点.直线与双曲线、抛物线的公共点个数为一个或两个.2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l 的斜率为k ，与圆锥曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.3．直线与圆锥曲线位置关系的判定直线与圆锥曲线的方程联立，消元得方程ax 2＋bx ＋c ＝0.应用弦长公式时注意的问题直线与圆锥曲线的弦长问题一定注意直线斜率不存在的情况，同时，当直线过x 轴上一个定点(c,0)时，直线方程设为x ＝my ＋c ，此种设法，在抛物线中运用，显得更为方便．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点到焦点距离的最大值是a ＋c .(√)(2)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．(×)(3)设点P (x 0，y 0)为双曲线y 2a 2－x 2b2＝1上的任一点，则|x 0|≥a .(×)类型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，求m 2的值．解 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y ，得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝64m 2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0，解得m 2＝34.引申探究1．典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，得(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，Δ＝64m 2－12(4m 2＋1)＝16m 2－12>0，即m 2>34，设中点M (x ，y )，交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝－4m 4m 2＋1，y ＝y 1＋y 22＝14m 2＋1，消去m ，得x 2＋4y 2－4y ＝0.2．典例中若直线与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，得(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，Δ＝64m 2－12(4m 2＋1)＝16m 2－12>0， 即m >32或m <－32， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8m 4m 2＋1，x 1x 2＝34m 2＋1，因此|AB |＝1＋m2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋m216m 2－12(4m 2＋1)2 ＝4 (m 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－344m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m >32或m <－32. 反思与感悟 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法跟踪训练1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝64m 2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点． 类型二 弦长问题例2 (2017·宁波检测)设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△PAB 面积的最大值．解 (1)由题意可知，双曲线的离心率为2， 则椭圆的离心率e ＝ca ＝22. 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝8m 2－16(m 2－4)>0， 得－22<m <22，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m2，x 1x 2＝m 2－44.所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2| ＝3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝3·m 22－m 2＋4＝3·4－m 22.又点P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3，所以S △PAB ＝12|AB |·d＝32·4－m 22·|m |3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 22·m 2＝122m 2(8－m 2)≤122·m 2＋(8－m 2)2＝ 2.当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号， 所以(S △PAB )max ＝ 2.反思与感悟 圆锥曲线的弦长的求解步骤跟踪训练2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 1：x a －y b＝1被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆C 的右焦点且斜率为3的直线l 2被椭圆C 截得的弦长是椭圆长轴长的25，求椭圆C的方程．解 由l 1被椭圆C 截得的弦长为22，得a 2＋b 2＝8. 设l 2：y ＝3(x －c )，代入椭圆C 的方程并化简，得 (b 2＋3a 2)x 2－6a 2cx ＋a 2(3c 2－b 2)＝0.设直线l 2与椭圆C 交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6a 2cb 2＋3a 2，x 1x 2＝a 2(3c 2－b 2)b 2＋3a 2，从而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 2c b 2＋3a 22－4a 2(3c 2－b 2)b 2＋3a 2 ＝4ab 2b 2＋3a 2， 则由弦长公式，得|MN |＝4ab 2b 2＋3a 2·1＋3＝4a5. 化简，得a 2＝3b 2.联立a 2＋b 2＝8，a 2＝3b 2，得a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. 类型三 圆锥曲线中的综合问题 命题角度1 定值问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值． (1)解 由已知c a ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4. 故|AN |·|BM |为定值．反思与感悟 定值问题类型及常见解法(1)直线过定点型，一般通过运算使直线方程中只含一个参数来求定点．(2)参数和为定值型，往往把参数用交点坐标表示，根据根与系数的关系代入化简为某一常数．跟踪训练3 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m －k 为定值．(1)解 因为e ＝32＝c a ，故c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，所以a ＝2b .再由a ＋b ＝3，得a ＝2，b ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则可设BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0且k ≠±12.①将①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.又直线AD 的方程为y ＝12x ＋1，②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线可解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．命题角度2 最值问题例4 (2017·杭州检测)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程． 解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得，(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为y ＝±72x －2. 反思与感悟 最值问题的两种常见求法(1)数形结合法：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时Δ>0等)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围．(2)目标函数法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域，最后确定最值．跟踪训练4 已知椭圆x 24＋y 23＝1，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点．若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，求△OBC 面积的最大值．解 直线OB 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0，设经过点C 且平行于直线OB 的直线l ′的方程为y ＝32x ＋b ，则当l ′与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝32x ＋b ，化为3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，由Δ＝9b 2－12(b 2－3)＝0，解得b ＝±2 3. 当b ＝23时，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32； 当b ＝－23时，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－32. 所以△OBC 面积的最大值为12×1＋94×||±4313＝ 3.1．平面上到定点A (1,0)和到定直线l ：x ＋2y ＋3＝0的距离相等的点的轨迹为( ) A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 答案 B2．一条直线与双曲线的两支交点个数最多为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B3．抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B4．若直线ax －y ＋1＝0与抛物线y 2＝4x 有两交点，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，0)∪(0,1)5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，|AB |＝2，则该椭圆的方程为________，离心率为________．答案x 24＋y 22＝1 221．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切．2．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．一、选择题1．(2017·金华检测)直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0答案 D2．(2017·台州检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1，5) B ．(1，5] C ．(5，＋∞) D ．[5，＋∞)答案 C3．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( ) A.34B.32C.3D ．3 答案 D4．已知双曲线x 24－y 2b2＝1 (b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D5．已知双曲线方程为x 24－y 24＝1，过点(22，0)作直线l 与双曲线交于两点A ，B ，记满足|AB |＝m 的直线l 的条数为f (m )，则f (m )的可能取值为( ) A ．0,2,4 B ．1,2,3,4 C ．0,1,2,3,4 D ．2,4答案 A6．(2017·金华检测)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA →·FB →＋FC →·FD →的最大值等于( ) A ．－4B ．－16C ．4D ．－8 答案 B 二、填空题7．若斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)有两个不同的交点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________． 答案228．抛物线焦点在y 轴上，截得直线y ＝12x ＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________，准线方程为______________． 答案 x 2＝4y 或x 2＝－20y y ＝－1或y ＝59．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围为________________． 答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.10．(2017·嘉兴检测)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，D ，B ，C 四点，则AB →·DC →＝________.若直线l 的倾斜角为45°，则AD →·BC →＝________.答案 －1 16 三、解答题11．(2017·绍兴检测)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在AM 之间，又点A ，B 的中点横坐标为47，且AM→＝λMB →.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AM →＝λMB →，可知A ，B ，M 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)，显然AB 所在直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，由12(x 1＋x 2)＝16k 24k 2＋3＝47，可得k 2＝18， 将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0，x 1,2＝4±627，又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →.所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.12．(2017·温州检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3.(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB →·PD →＝0时，求点P 的坐标． 解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1.整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2，即x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2，则直线BD 的垂直平分线方程为 y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 23＋4k 2， 得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2k 3＋4k 2，又PB →·PD →＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0， 化简得64k 4＋28k 2－36(3＋4k 2)2＝0，即16k 4＋7k 2－9＝0， 解得k ＝±34.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，27或⎝⎛⎭⎪⎫0，－27. 13．(2017·绍兴检测)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点． (1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．解 (1)由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －t )，y ＝14x 2，消去y 整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0.因为直线PA 与抛物线相切，所以Δ＝16k 2－16kt ＝0，解得k ＝t .所以x ＝2t ，即点A (2t ，t 2)．圆C 2的圆心为D (0,1)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2.即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t 1＋t 2，直线AP 的方程为tx －y －t 2＝0，所以点B 到直线PA 的距离为d ＝t 21＋t2.所以△PAB 的面积为S ＝12|AP |·d ＝t32.四、探究与拓展14．已知双曲线x 2－y 23＝1，过点P (2,1)作一条直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为________，方程为________________________________． 答案 6 6x －y －11＝015．(2017·杭州检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，过它的两个焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A ，B 两点，l 2交椭圆于C ，D 两点，且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．解 (1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)若l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S ＝6. 若l 1与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k.不妨设直线l 1的方程为y ＝k (x ＋1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，消去y 整理得，(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝144k 2＋144>0， x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12k 2＋14k 2＋3. |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 同理可得|CD |＝12(k 2＋1)3k 2＋4， 所以S ＝12|AB |·|CD |＝72(1＋k 2)2(4k 2＋3)·(3k 2＋4)， 令k 2＝t ∈(0，＋∞)，S ＝72(1＋t )2(4t ＋3)·(3t ＋4)＝6(12t 2＋25t ＋12)－6t 12t 2＋25t ＋12＝6－612t ＋12t＋25≥6－649＝28849，故S ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫28849，6，综上可知，四边形ACBD 面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤28849，6.。
人教版高中数学选修2-1第二章直线和圆锥曲线位置关系导学案
直线和圆锥曲线的地点关系【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1．理解直线与圆锥曲线的地点关系；2．掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和办理方法；【要点】直线与圆锥曲线的地点关系【难点】掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和办理方法一、知识梳理1．直线与三种圆锥曲线的地点关系状况：2．解答直线与圆锥曲线订交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。
第一步：议论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a ）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y1)B(x 2,y2);第三步：联立方程组yf (x kx,y) b，消去y 得对于x 的一元二次方程；第四步：由鉴别式和韦达定理列出直线与曲线订交知足的条件二次系数不为零0 ，x1x1xx22第五步：把所要解决的问题转变为x1+x2 、x1x2 ，而后辈入、化简。
3．弦中点问题的特别解法----- 点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o,y o)，先设两个交点为A(x 1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得 f (x ,y ) 0,f (x ,y) 01 ，两式相减、分解因式，1 2 2再将x1 x 2 2x o ,y1 y2 2y o 代入此中，即可求出直线的斜率。
2 2 24.弦长公式: |AB | 1 k | x x | (1 k )[( x x ) 4x1x2 ]1 2 1 2( k 为弦AB 所在直线的斜率)5．向量知识在解决圆锥曲线问题中应用二、典型例题1．教材80 页5 题变式：（1）如有两个公共点呢？（2）若直线与双曲线的左支有两个公共点呢？（3）如有一个公共点呢？2．教材80 页8 题3.教材80 页9 题三、拓展研究2 2x y1.已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的离心率为，右准线方程32 2a b为 3 。
高三数学第十二章 圆锥曲线—直线与圆锥曲线的位置关系2 复习教案
第十节 直线与圆锥曲线的位置关系————热点考点题型探析一、复习目标：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。
二、重难点：重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。
难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程 （一）、热点考点题型探析考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线y2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法[解析] 易知抛物线28y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (-2 , 0)， 于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+，联立222228,(48)40.(2),y x k x k x k y k x ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩其判别式为2242(48)1664640k k k ∆=--=-+≥，可解得 11k -≤≤，应选C. 【反思归纳】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论题型2：与弦中点有关的问题[例2]、已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解[解析] (Ⅰ)设(,)M x y ，因为2AM BMk k ⋅=-,:()22221x y x +=≠±(Ⅱ) 设1122(,),(,)C x yD x y当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11((,2222C D -,其中点不是N,不合题意设直线l 的方程为11()2y k x -=- 将1122(,),(,)C x yD x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)-(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯直线l 的方程为111()22y x -=-- 即所求直线l 的方程为230x y +-=解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,(,2222C D -, 其中点不是N,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-,将其代入()22221x y x +=≠±化简得 由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222k k x x k -+=-+12=,解得12k =-, 将1k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-= 【反思归纳】通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁题型3：与弦长有关的问题[例3]、已知直线k x y +=2被抛物线y x 42=截得的 弦长AB 为20，O 为坐标原点． （1）求实数k 的值；（2）问点C 位于抛物线弧AOB 上何处时， △ABC 面积最大？【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ABC 面积的最大值取得的条件[解析]（1）将k x y +=2代入y x 42=得0482=--k x x ， 由△01664>+=k 可知4->k ，另一方面，弦长AB 2016645=+⨯=k ，解得1=k ；（2）当1=k 时，直线为12+=x y ，要使得内接△ABC 面积最大，则只须使得2241=⨯='C Cx y ，即4=C x ，即C 位于（4，4）点处．【反思归纳】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围（二）、强化巩固导练1、已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；设)1,2(M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点.(1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围.[解析]（1）由⎩⎨⎧==y y x x 2''，代入圆的方程得曲线C 的方程：12822=+y x（2）直线l 的方程为mx y +=21. 由221,2 1.82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ , 得222240x mx m ++-=∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴22(2)4(24)0,m m ∆=--> 解得220m m -<<≠且.∴m 的取值范围是2002m m -<<<<或.2、椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程[解析]设弦所在直线与椭圆交于),(),,(2211y x N y x M 两点，则14162121=+y x ，14162222=+y x ，两式相减得：041622122212=-+-y y x x ，化简得0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，把2,42121=+=+y y x x 代入得212112-=--=x x y y k MN故所求的直线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x（三）、小结：1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点． （四）、作业布置：复资P126页中2、3、5课外练习：限时训练52中2、3、4、6、7、8、9、10五、教学反思：。
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高中数学直线与圆锥曲线的位置关系（二）学案
【学习目标】
1.掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系.
2.了解圆锥曲线的简单应用.
3.理解数形结合的思想.
【重点难点】掌握直线与椭圆、抛物线的位置关系、圆锥曲线的简单应用．
【合作探究】
【例1】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322
.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；
(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
变式训练1 已知椭圆x2a2＋y2b2
＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e. (1)若e ＝32
，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，若AF2→·BF2→＝0，且22＜e≤32
，求k 的取值范围．
考向2 定点、定值的证明与探索
【例2】已知动圆过定点A(4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，
若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．
【达标检测】
1．已知抛物线y2＝2px(p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
2．椭圆C ：x24＋y23
＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1
3．抛物线C1：y ＝12p x2(p ＞0)的焦点与双曲线C2：x23
－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线，则p ＝
( )
A.316
B.38
C.233
D.433
4．斜率为1的直线l 与椭圆
x24
＋y2＝1相交于A 、B 两点，则|AB|的最大值为( )
A ．2 B.455 C.4105 D.8105
5．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x2a2＋y2b2
＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d1，F 到l 的距离为d2，若d2＝6d1，则椭圆C 的离心率为________．
6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x25＋y2m
＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 7．已知抛物线y ＝ax2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．
8．已知椭圆x24＋y2b2
＝1(0<b<2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为________．
9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55
a ，22a 在椭圆上． (1)求椭圆的离心率；
(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ 的斜率的值．。