2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第30讲不等式的解法举例

第三十讲 不等式的解法举例
• 回归课本 • 1.简单的高次不等式解法——穿根法． • 穿根法操作过程 • (1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一 边是0的形式． • (2)各因式中x的系数全部变为1. • (3)把各个根从小到大依次排好，从右上方向左 下方穿根；奇穿偶切(详细过程见177页类型二 解题准备3)． • (4)严格检查因式的根是否在解集内．
当－1<x<0 或 x>1 时，f(x)>0. f(x)－f(－x) 2f(x) 又不等式 <0⇔ <0， x x ∴解集为(－1,0)∪(0,1)．
• 答案：D
x－2 2．不等式 ≤0 的解集是( x＋1 A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]
• 答案：B
类型一
分式不等式的解法
解题准备：分式不等式的解法：先将不等式左右两边中的所有项都 移到不等式的左边， 并整理为下列某种形式， 然后转化为整式不等式(组)， 灵活选择方法进行求解． f(x) 1. >0⇔f(x)·g(x)>0； g(x) f(x) 2. <0⇔f(x)·g(x)<0； g(x)
1 2 1－ x＋ －1 a a
⇔
x－2
>0
1 2 ⇔(x－2)1－ax＋a－1>0.
当 a＝1 时，解为 x>2； 1 当 0<a<1 时，解为 2<x<1＋ ； 1－a 1 ； 当 a>1 时，解为 x>2 或 x<1＋ 1－a
1 当 a<0 时，解为 x>2 或 x<1＋ . 1－a 综上所述，当 a＝1 时，原不等式的解集是{x|x>2}； 1 当 0<a<1 时，原不等式的解集是{x|2<x<1＋ }； 1－a 1 }． 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集是{x|x>2 或 x<1＋ 1－a
• A．[2,4] B.(－2,0)∪(2,4) • C．(－4，－2)∪(2,4) D.(－2,0)∪(0,2)
解析：解法一：由题中图知，当－4≤x≤0 时，f(x)>0⇔－4<x<－2； f(x)<0⇔－2<x≤0.而 f(x)为偶函数，所以 f(x)>0⇔－4<x<－2 或 2<x<4； f(x) f(x)<0⇔－2<x<2.同理， g(x)>0⇔－4<x<0；g(x)<0⇔0<x<4.而 <0⇔ g(x)
－1<0， 即 3m＋17≤0， f(0)<0， 3 时，即可满足(A∩B)⊆C，∴ f(3)≤0，
∴m≤－
17 . 3
(2)∵满足③的 x 值至少满足①和②中的一个， ∴C⊆(A∪B)，而 A∪B＝(－1,4]， 因此 C⊆(－1,4]，∴方程 2x2＋mx－1＝0 的小根大于或等于－1，大 根小于或等于 4，
)
1 解析： |x＋1|(2x－1)≥0⇔|x＋1|＝0 或 2x－1≥0， 解得 x≥ 或 x＝－ 2 1.
• 答案：A
4．设
2ex－1， x<2， f(x)＝ 2 log3(x －1)，x≥2，
则不等式 f(x)>2 的解集为(
)
A．(1,2)∪(3，＋∞) C．(1,2)∪( 10，＋∞)
f(x)<0， g(x)>0 f(x)>0， 或 g(x)<0 －2<x<2， ⇔ －4<x<0
－4<x<－2或2<x<4， 或 0<x<4
⇔－2<x<0 或 2<x<4.故选 B.
解法二：数形结合． 分别将 f(x)，g(x)在[－4,4]的图象补全．看图象即得．
• 类型三 “三个二次”及其关系的问题 • 解题准备：“三个二次”即一元二次函数、一 元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重 要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时 也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工 具．高考试题中很多试题与“三个二次”问题 有关，而不等式的解法其核心内容也是一元二 次不等式的解法，因此“三个二次”及其关系 的问题一直以来是高考中的热点．
－
B.( 10，＋∞) D.(1,2)
解析：当 x<2 时，由 2ex 1>2 得 x>1，故 1<x<2； 当 x≥2 时，由 log3(x2－1)>2 得 x> 10或 x<－ 10，故 x> 10. ∴不等式 f(x)>2 的解集为(1,2)∪( 10，＋∞)，选 C.
• 答案：C
5．偶函数 y＝f(x)，奇函数 y＝g(x)的定义域为[－4,4]；f(x)在[－4,0] f(x) 上，g(x)在[0,4]上的图象如图，则不等式 <0 的解集为( g(x) )
f(－1)＝1－m≥0， f(4)＝4m＋31≥0， 因而 －1<－m<4， 4
31 解得－ ≤m≤1. 4
• 快速解题 • 技法 当x∈[0,1]时，求使ax＋1>0成立的a的取 值范围．
f(x)为一次函数，欲使 f(x)＝ax＋1>0 在区间[0,1]上成立，只需
f(0)>0 f(1)>0 1>0 即 a＋1>0
x＞a或x＜－a，a＞0， |x|>a⇔x≠0，a＝0， x∈R，a＜0.
(2)平方法：|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2. (3)划分区域讨论法(零点分区间)． (4)形如|x－a|＋|x＋a|<c 或|x－a|－|x－b|>c 的不等式；利用不等式的 几何意义．
• [点评] 分类讨论结束后，在综上所述中可 适当整合，简化结论．
• 类型二 简单的高次不等式的解法 • 解题准备：1.将不等式化为标准形式：一端为0， 另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次 不可分解因式的积． • 2．求出各因式的实数根，并在数轴上依次标 出． • 3．自最右端上方起，用曲线自右至左依次由各 根穿过数轴，遇到奇次重根要依次穿过，遇到 偶次重根要穿而不过． • 4．记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的 符号写出解集．这种方法叫根轴法或穿根法或 穿针引线法．
快解：设 f(x)＝ax＋1，当 a＝0 时，ax＋1>0 显然成立，当 a≠0 时，
，故 a>－1.
2．分式不等式的解法 (1)如能判断分母的符号，可直接去分母，转化为整式不等式；
f(x)·g(x)≥0， f(x) (2) ≥0⇒ g(x) g(x)≠0；
(3)用穿根法．
3．解绝对值不等式的思路：去绝对值符号．常见的有：
－a＜x＜a，a＞0， (1)|x|<a⇔ ∅，a≤0，
5 把方程 x(2x＋5)(x－3)＝0 的三个根 x1＝0，x2＝－ ，x3＝3 顺次标在 2 数轴上．然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图所示的 阴影部分．
5 ∴原不等式解集为x－2
<x<0或x>3.
(2)原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0
• 考点陪练 • 1.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ 0，则不等式<0的解集为( ) • A．(－1,0)∪(1，＋∞) B.( － ∞ ， － 1)∪(0,1) • C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.( － 1,0)∪(0,1) • 解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， • 且f(－1)＝－f(1)＝0. • 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， • ∴当x<－1或0<x<1时，f(x)<0，
【典例 3】 ③2x2＋mx－1<0.
x＋2 已知三个不等式：①|2x－4|<5－x；② 2 ≥1； x －3x＋2
(1)若同时满足①、②的 x 值也满足③，求 m 的取值范围； (2)若满足③的 x 值至少满足①和②中的一个，求 m 的取值范围．
[解析] 记①的解集为 A，②的解集为 B，③的解集为 C. 解①得 A＝(－1,3)；解②得 B＝[0,1)∪(2,4]， ∴A∩B＝[0,1)∪(2,3)，A∪B＝(－1,4]． (1)∵同时满足①、②的 x 值也满足③，∴(A∩B)⊆C. 设 f(x)＝2x2＋mx－1，由 f(x)的图象可知：当方程 2x2＋mx－1＝0 的 小根小于 0，大根大于或等于
f(x)·g(x)≥0， f(x) 3. ≥0⇔ g(x) g(x)≠0； f(x)·g(x)≤0， f(x) 4. ≤0⇔ g(x) g(x)≠0.
x－1 1 【典例 1】 解关于 x 的不等式 > . x－2 a x－1 1 [解析] 原不等式等价于 － >0 x－2 a
【典例 2】 解不等式： (1)2x3－x2－15x＞0； (2)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0.
• [分析] 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积， 则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)可用“数轴 标根法”求解，但要注意处理好有重根的情 [解析] 况． (1)原不等式可化为 x(2x＋5)(x－3)>0.
x＋5≠0， ⇔ (x＋4)(x－2)>0， x≠－5， ⇔ x<－4或x>2，
其解集如下图的阴影部分．
∴原不等式解集为{x|x<－5 或－5<x<－4 或 x>2}．
• [点评] 在运用根轴法时，对于“重根”情况的 处理方法是“奇数次方一穿而过，偶数次方穿 而不过．”
x－2≤0 解析：原不等