专升本高数6定积分的应用(1)
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
通过对历届浙江省专升本高等数学考试真题进行系统地
分析归类ꎬ定积分内容每年要占考试比例大约 ２５％ ꎬ份量还是
比较重的ꎬ考题题型几乎遍布每种考题ꎬ有选择题、填空题、计
算题及综合应用题ꎬ涉及内容有利用定积分概念求极限、利用
定积分的几何意义求定积分或解决一些实际问题、运用变上限
积分函数的导数公式、求定积分的各种积分法、广义积分的计
本高等数学考试定积分题目ꎬ筛查考试热点ꎬ寻找一定的规律ꎬ归纳出以下八类定积分题型的解题方法ꎬ为专升本考生提供参考ꎮ
关键词:专升本ꎻ定积分ꎻ考试热点ꎻ解析
浙江省全日制专升本考试试卷自从 ２００５ 年起开始独立组
卷ꎬ至今有 １５ 年ꎮ 通过全日制专升本统招考试ꎬ选拨普通高等
学校专科和高职应届优秀毕业生升入本科进行两年制的继续
π
π
２ʃ０４ ｅ２ｘ ｔａｎｘｄｘ ＝ ｅ ２ ꎮ
例 ６ ( ２０１４ 浙 江 省 专 升 本 考 试 综 合 题 ∗ ２６ 题 ) 已
ｄｔ
π
２ ｌｎ２
＝ ꎬ求 ｘꎮ
知被积函数中含有
ｎ
ａｘ＋ｂ 的变式ꎬ因此令 ｕ ＝
ｅ －１ 进行换元ꎬ换元时同时换上、下限ꎮ
ｄｔ
１
２ｕ
例 ３(２００９ 年浙江省专升本考试填空题∗９ 题) 设 Ｆ( ｘ) ＝
ｘ ｘ
ʃ ｆ( ｔ) ｄｔꎻ其中 ｆ( ｔ) 是连续函数ꎬ则 ｌｉｍ Ｆ( ｘ)＝ ( ) ꎮ
ｘ－ａ ａ
ｘ→ａ ＋
解: ｌｉｍ Ｆ( ｘ)＝ ｌｉｍ [ ʃ ｘａ ｆ( ｔ) ｄｔ＋ｘｆ( ｘ) ] ＝ ａｆ( ａ) ꎮ
ｘ→ａ ＋
ꎮ
ｎ→¥ ｉ ＝ １ ｎ
ｎ
１
例 １( ２０１３ 年 浙 江 省 专 升 本 考 试 填 空 题 ∗ ６ 题) ｌｉｍ ２
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析作者：金友良来源：《科技风》2020年第06期摘;要：精读浙江省专升本高等数学教学大纲，明确定积分部分内容考试的基本要求，系统分析从2005年至2019年浙江省专升本高等数学考试定积分题目，筛查考试热点，寻找一定的规律，归纳出以下八类定积分题型的解题方法，为专升本考生提供参考。
关键词：专升本;定积分;考试热点;解析浙江省全日制专升本考试试卷自从2005年起开始独立组卷，至今有15年。
通过全日制专升本统招考试，选拨普通高等学校专科和高职应届优秀毕业生升入本科进行两年制的继续深造，修完所需学分，毕业时授予普通高等院校颁发的本科学历和学位证书，享受与普通四年制本科毕业同学同等待遇，这为我们高职院校优秀毕业生提供了一条继续深造之路。
为了更好地让高职高专院校应届优秀毕业生复习好高等数学，顺利进入心仪的本科院校，作为高职院校的一名数学教师，多年来开设全日制专升本高等数学复习辅导，对浙江省专升本《高等数学》考试大纲进行详细的精读，对历年的高等数学考题进行了精心研究、归类和分析，从中总结经验教训，归纳考试要点。
本文就定积分部分内容进行解析。
一、精细解读浙江省全日制专升本高等数学考试大纲，明确定积分内容的基本要求（1）理解定积分的概念与几何意义，掌握定积分的基本性质。
（2）理解变上限积分函数的概念，掌握变上限积分函数求导的方法。
（3）掌握牛顿-莱布尼兹公式。
（4）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（5）理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握其计算方法。
（6）会利用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转体的体积。
二、分析历年定积分部分内容考试试题，筛查这部分内容考试热点通过对历届浙江省专升本高等数学考试真题进行系统地分析归类，定积分内容每年要占考试比例大约25%，份量还是比较重的，考题题型几乎遍布每种考题，有选择题、填空题、计算题及综合应用题，涉及内容有利用定积分概念求极限、利用定积分的几何意义求定积分或解决一些实际问题、运用变上限积分函数的导数公式、求定积分的各种积分法、广义积分的计算、定积分的应用及与最值、常微分方程等相结合的综合题等。
定积分的应用通用课件
计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用，帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策 略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标，对于企业的定价和营销策略具有指 导意义。通过定积分，可以将需求函数转化为弹性函数，从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对，使得其中一个函数的导数容易计算， 而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转化 为简单的定积分，从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形，其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度 变化，例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分，可以对信号进行平滑 处理，消除噪声和干扰，提高信号 质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波，例如 低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课 件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面 曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定 性，例如判断系统的收敛性和稳定性 。
高等数学专升本教材目录
高等数学专升本教材目录一、函数与极限1. 实数与数集2. 函数及其表示3. 函数的极限与连续性4. 极限运算与极限的存在准则5. 无穷小与无穷大6. 极限的运算法则二、微分学1. 导数的概念与运算法则2. 高阶导数与隐函数求导法3. 导数的几何应用4. 微分中值定理与导数的应用5. 微分学基本公式6. 泰勒公式与函数的展开三、积分学1. 不定积分与定积分的概念2. 定积分的性质与求法3. 反常积分的概念与判定4. 微积分基本公式与换元积分法5. 积分的几何应用6. 定积分的应用与物理应用四、级数与级数检查法1. 数项级数的概念2. 级数的收敛与发散3. 正项级数的比较判别法4. 正项级数的比值判别法5. 函数项级数的收敛性6. 幂级数与泰勒级数五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 可分离变量的常微分方程3. 齐次方程与一阶线性非齐次方程4. 高阶线性齐次方程5. 常系数非齐次线性微分方程6. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的概念与极限2. 偏导数及其几何应用3. 全微分与微分中值定理4. 多元函数的极值与最值5. 隐函数与参数方程的微分6. 多元函数的泰勒公式和极限运算法则七、重积分与曲线积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与计算4. 重积分的应用5. 曲线积分的概念与计算6. 曲线积分的应用八、曲面积分与散度定理1. 曲面积分的概念与计算2. 散度的概念与计算3. 散度定理的应用4. Green公式与环流的计算5. 散度、旋度与调和函数6. Stokes公式与积分曲线无关性以上为《高等数学专升本教材》的目录，涵盖了高等数学的主要内容及其应用。
无论是函数与极限、微分学、积分学、级数与级数检查法、常微分方程、多元函数微分学，还是重积分与曲线积分、曲面积分与散度定理等章节都对数学专升本的学生提供了全面的知识体系和解题技巧。
这本教材将帮助学生深入理解高等数学的基本概念和原理，并能应用于实际问题的求解中。
浙江专升本高数错误解析第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。
复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。
一、知识网络定积分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧Γ⎪⎩⎪⎨⎧-函数审敛法和计算定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧）（变力作功等其它弧长体积面积微元法二、典型例题例1 . 求极限 xx dtxt xx 2sin )sin(lim2302⎰→。
[分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。
[解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2〜2)2(x ，4sin x 〜4x ，)0(→x ，因此再利用洛必达法则有原式=23020)2(sin 1lim2x x dx u x x x ⎰→=540602024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=⎰ =12112lim440=→x x x例2. 求极限 nn n n n n)2()2)(1(1lim⋅⋅⋅++∞→.[分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和式∑=∆ni iixf 1)(ξ。
[解] 令 nn n n n n x )2()2)(1(1⋅⋅⋅++= 则 n n n n n x n ln )]2ln()2ln()1[ln(1ln -+⋅⋅⋅++++==]ln )2ln()2ln()1[ln(1n n n n n n -⋅⋅⋅++++ =)]1ln()21ln()11[ln(1nn n n n ++⋅⋅⋅++++ 因此 ⎰+=∞→1)1ln(ln lim dx x x n n =12ln 2-所以 原式=ee 412ln 2=-例3．设)(x f 在[]b a ,上连续，B b a A <<<,求证 ⎰-=-+→ba h a fb f dx h x f h x f )()()()(lim0.[证明1] ⎰⎰⎰-+=-+b a bab a dx x f h dx h x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(′令 u h x =+，则⎰⎰++=+hb ha badu u f dx h x f )()(从而⎰⎰⎰-=-+++babah b h a dx x f h dx x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(=⎰⎰++-ha ah b b dx x f h dx x f h )(1)(1 由积分中值定理及)(x f 的2的性知 )()(1lim0b f dx x f h h b b h =⎰+→ )()(1lim 0a f dx x f h ha a h =⎰+→故原题得证.[证明2] 由证明1可知⎰⎰⎰-=-+++→→babahb ha h h hdxx f dx x f dx hx f h x f )()(lim )()(lim 00=)]()([lim 0h a f h b f h +-+→ ( 洛必达法则 ) =)()(a f b f -例4．设)(x f 在[a ，b ]上连续，试证⎰≤≤+∞→=1101)(max ))((lim x f dx x f x ppp[证明] 记A x f x =≤≤)(max 10 ，由连续性可知，存在 ],[0b a x ∈，使 )(x f A =.当0>p 时 ⎰⎰=≥1111)())((A dx A dx x f pp pp对0>∀ε，选取0>δ，使得当 δ<-<00x x 时，有 2)(ε-≥A x f设 且,100≤≤≤≤βαx 0 <βα-<δ则 ⎰⎰≥111))(())((βαppppdx x f dx x f⎰-≥βαεppdx A 1])2([=pA 1))(2(αβε--因为 当 +∞→p 时,1)(1→-pαβ,故当p 充分大时有 ⎰-=--≥112)2())((εεεA A dx x f pp因此当 p 充分大时有 A dx x f A pp≤≤-⎰11))((ε由ε的任意性知 ⎰=+∞→11))((lim A dx x f ppp例5. 计算⎰+-1arctandx xa xa [分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限. [解法1] 令 xa xa t +-=arctan则 t a tta x 2cos tan 1tan 122=+-⋅=, 故 原式=⎰04)2cos (πt a td =t at 2cos │04π+dt t a ⎰402cos π=2a [解法2] 令 t x cos = 原式=2cos 2cos 2cos 2020202a dt t a t t a t d t =-⋅=⎰⎰πππ [解法3] 记 xa xa x +-=)(ω ,分部积分得 原式=⎰+-+-aadx x a axx x 0220)(22111)(arctan ωωω =⎰-adx x a x 0222=2a 例6.计算 ⎰+102)1(dx x xe x[分析] 定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧,这些方法和技巧只有通过平时多做习题并注意体会和积累来掌握.[解法1] 原式=⎰⎰++++-=+-1010101111dx xxe e x xe x dxe x x x x=12210-=+-⎰e dx e e x [解法2] 原式=⎰+-+102)1()11(dx x e x x=⎰⎰+-+10210)1(1dx x e dx x e xx =⎰⎰+-+10102)1(11dx x e de x x x=-+11x e x⎰+102)1(dx x e x +⎰+102)1(dx x e x=12-e例7.证明柯西积分不等式，若)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积，则有⎰⎰⎰≤bab abadx x g dx x f dx x g x f ])(][)([])()([2[分析] 这是代数中欧几里德空间中有关内积的柯西不等式的一个应用，证明方法也类似. [证明] 对任意的实数λ有⎰⎰⎰+=+bababadx x g x f dx x gdx x g x f )()(2)()]()([222λλλ+0)(2≥⎰badx x f上式右端是λ的非负的二次三项式,则其判别式非正,即0])(][)([])()([222≤-⎰⎰⎰babab adx x g dx x f dx x g x f故原式得证 例8.设)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积,试证212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababadx x g dx x f dx x g x f[证明]⎰+badx x g x f 2)]()([=⎰++ba dx x g x f x g x f )]()()][()([=⎰⎰+++babadx x g x f x g dx x g x f x f )]()()[()]()()[(212212]))()(([])([⎰⎰+⋅≤babadx x g x f dx x f212212]))()(([])([⎰⎰+⋅+babadx x g x f dx x g (柯西不等式)=]))(())([(]))()(([212212212⎰⎰⎰++bababadx x g dx x f dx x g x f故 212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababa dx x g dx x f dx x g x f例9．证明0sin 202>⎰πdx x[证明] 令 u x =2⎰⎰=ππ20202sin 21sin du uudx x ]sin sin [2120⎰⎰+=πππdu uu du u u（第二个积分中令 t u ==π）]sin sin [2100⎰⎰++=πππdt t t du u u⎰+-=ππ0sin )11(21udu u u 当 π<<u 0 时，0sin )11(>+-u u u π故 0sin 202>⎰πdx x例10．设)(x f 在 [0，a ] 上连续,且0)0(=f , )(max 0x f M ax ≤≤= ,证明2)(2Ma dx x f a≤⎰[分析] 应该先建立)(x f 与f ´)(x 之间的关系，然后再“放大”估值，拉格朗日微分中值定理和牛顿—莱布尼茨公式都可以建立两者之间的关系. [证明1] 由0)0(=f 和微分中值定理有f f x f +=)0()(´f x =)(ξ´x )(ξ, ),0(x ∈ξ. 故22)()()(a M xdx M xdx f xdx f dx x f aa aa=≤≤'=⎰⎰⎰⎰ξξ [证明2] 由0)0(=f 和牛顿—莱布尼茨公式有)()0()()(0x f f x f dt t f a=-='⎰,于是 Mx Mdt dt t f dt t f x f xx x=≤'≤'=⎰⎰⎰)()()(,故 22)()(a M Mxdx dx x f dx x f aaa=≤≤⎰⎰⎰.例11. 设函数)(x f 在 [0, π]上上连续,且0)(0=⎰πdx x f ,0cos )(0=⎰πxdx x f 。
定积分及其应用高数(共68张PPT)
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 背景介绍浙江省专升本高等数学考试是一项重要的考试，其中定积分是考试中的一个重要内容。
定积分作为微积分的重要概念之一，在数学学科中具有重要的地位和作用。
在浙江省专升本高等数学考试中，定积分部分的内容涉及到定积分的概念、性质、计算方法以及应用，考生需要对这些内容进行深入的理解和掌握。
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的“累积和”的概念，表示函数在这个区间上的总体积或总面积。
定积分具有线性性、区间可加性、保号性等性质，这些性质在计算和应用中起着重要的作用。
定积分的计算方法包括基本积分法、换元积分法、分部积分法等，考生需要熟练掌握这些方法来解决各种定积分计算问题。
在浙江省专升本高等数学考试中，定积分通常涉及到曲线下面积、物体体积、平均值等应用问题，考生需要将数学知识与实际问题相结合，灵活运用定积分概念和方法来解决这些应用问题。
定积分在浙江省专升本高等数学考试中是一个重要的内容，考生需要认真学习和掌握定积分的概念、性质、计算方法和应用，以便在考试中取得好成绩。
【字数要求：200】1.2 问题提出在专升本高等数学考试中，定积分是一个重要的内容，涉及到很多基本概念和计算方法。
针对定积分这一内容，总结出相关的问题并进行分析，有助于更好地理解和掌握这部分知识。
在学习定积分时，很多同学会遇到一些共同的问题，比如不清楚定积分的概念是什么，定积分具体包括哪些性质，如何进行计算等等。
这些问题可能会导致学习进度缓慢，影响对定积分知识的掌握和应用。
在专升本高等数学考试中，定积分这一部分内容的问题非常关键。
通过对这些问题的深入剖析和解答，可以帮助考生更加全面地了解定积分的相关知识，提高解题能力和应试水平。
只有明确问题，才能有针对性地进行学习和复习，更好地备战考试。
2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的“累积量”的度量。
高等数学-第六章-定积分的应用
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
A 3 (2y 3) y2 dy 32
1
3
3 y
s
弧线段局部
3
1 1 4 y2 dy
直线段局部
3 1
1 22 dy
O 1
3 37 5 5 1 ln(6 37) ln(2
4
x2y3 0 x
x y2
5)
作业
P284 3; 12; 18
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到
x b , 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在[a ,b]上任取子区间[x, x d x]，在其上所作的功元
y
a
(1
cos
t)
(a 0)
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
Vy
2a 0
π
x22 ( y) d
y
2 0
a
π
x12
(
y)
d
y
x x1( y)
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
y y f (x)
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 那么
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 考试背景浙江省专升本高等数学考试是为了选拔适合升入本科阶段学习的学生而设立的考试。
这项考试的背景是为了帮助那些想要进入大学深造但没有本科学历的学生实现自己的梦想，为他们提供一个接受高等教育的机会。
通过考试，学生可以证明自己在数学领域的能力，为自己的学业之路打下坚实的基础。
1.2 考试目的考试目的是通过对学生对定积分相关知识的掌握情况进行考核，评判学生在高等数学领域的学习成果和能力水平。
通过考试可以促使学生深入学习定积分的概念、性质和计算方法，提高他们的数学分析和解决问题的能力。
考试目的还包括检验学生在解题时的灵活运用能力，培养他们的数学思维和创新意识。
定积分部分的考试目的是为了帮助学生建立扎实的数学基础，提高他们的数学素养和解决实际问题的能力，为他们未来的学习和职业发展打下坚实的基础。
2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是反常积分的基础，也是微积分的一个重要分支。
在数学上，定积分是对一个函数在一个区间上的积分，表示函数在该区间上的总体积或总面积。
定积分的概念最初由牛顿和莱布尼兹提出，是微积分的基础之一。
在几何学中，定积分可以用来求解曲线下面积、曲线长度、曲面面积及体积等问题。
在物理学中，定积分可以用来表示质点的位移、速度、加速度以及作用力等物理量。
在工程学中，定积分可以用来描述电磁场分布、液体流动、结构力学等问题。
数学家们通过严谨的数学推导和定义，将定积分的概念完善并系统化。
对于一般函数，可以用黎曼和来定义定积分，而对于特殊的函数，可以使用其他方法如变限积分、广义积分等来求解定积分。
定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用领域，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在专升本高等数学考试中，对定积分的掌握非常重要，考生需要深入理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并能灵活运用定积分解决实际问题。
2.2 定积分的性质定积分是微积分中的重要概念，具有许多特殊的性质。
高等数学电子教材 第六章 定积分及其应用
x
1 0
=
2
4
∫2
|
0
1
−
x
|
dx
0≤x≤2
|
1
−
x
|=
1 − x , x −1,
0≤ 1<
x≤ x≤
1 2
-
∫2
|
0
1
−
x
|
dx
=
∫1
|
0
1
−
x
|
dx
+
∫2
|
1
1−
x
|
dx
=
∫1
(1
0
−
x)dx
+
∫2 1
(x
−
1)dx
=
(x
−
1 2
x2)
1 0
+
(12
x2
−
x)
2 1
=
1
−
1 2
+
(1
−
12)
[ xi−1 xi] i = 1 2 … n
6-1
xi = xi − xi−1 i = 1 2 … n x
6-2
x = m1≤ia≤xn{∆xi}
x
n
i
Ai i = 1 2 … n
(2 )
[ xi−1 xi] i = 1 2 … n
i
f ( i)
f ( i) xi
( 6 - 2)
Ai f ( i) xi i = 1 2 … n
x −1 x
dx
t2
t +
1
⋅
2tdt
=
t
2t2 2+
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试中的定积分部分内容主要包括定积分的基本概念、定积分的性质、定积分的计算方法、定积分的应用等方面。
首先是定积分的基本概念。
定积分是微积分的一个重要概念，是对曲线下方某一区间的面积的度量。
通常表示为∫abf(x)dx，其中f(x)为被积函数，x在区间[a,b]上变化。
定积分的几何意义是曲线与x轴之间的面积。
接下来是定积分的性质。
定积分具有线性性，即∫ab(f(x)+g(x))dx = ∫abf(x)dx + ∫abg(x)dx，同时满足定积分的积分中值定理和被积函数连续性定理。
定积分的计算也可以通过曲线的图像进行几何分析。
然后是定积分的计算方法。
定积分的计算可以通过不定积分的方法，即求解一个与被积函数的导数相关的原函数。
也可以通过换元法、分部积分法等积分方法进行计算。
对于一些特殊函数，还可以使用定积分的性质进行计算。
最后是定积分的应用。
定积分在实际问题中有广泛的应用，比如用来求解物理问题中的质量、弧长、体积等；用来求解经济学中的总收益、总成本等；用来求解概率论中的概率密度函数、累积概率函数等等。
定积分在各个学科中都有着重要的应用。
大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。
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ds MT MQ 2 QT 2
= (dx) 2 (dy ) 2 1 ( y ') 2 dx 1 f ( x) dx
2
.
图6.1.10
上式称为弧微分公式,于是所求的弧长为
s
b
1 y dx .
2
a
例 6 一根弹簧按螺线 r a 盘绕，共计10 圈,已知每 圈的间隔10mm ,试求弹簧的全长(图 6.1.11).
a b
图6.1.8
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V [ f ( x)] dx
2
a
b
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
o
a
x
b
x
y
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V [ ( y )] d y
2
c
d
d y c o
x ( y)
x
例13. 计算由椭圆
2. 基本方法 : 微元形状 :
微元分析法 条、 段、带、片、 扇、 环、 壳 等.
1. 求抛物线
解: 设抛物线上切点为
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
则该点处的切线方程为
B M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B
M
a
dA [ f ( x) g ( x)]dx ，则面积 A [ f ( x) g ( x)]dx .
b
面积 A [ ( y ) ( y )]dy .
c
d
图6.1.3
图6.1.4
π 例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0 ， x 所围图形的面积. 2 解 作出简图（如图 6.1.5 所示） ，利用微元法求面积 A
图6.1.11
解 分 析 第 一 圈 第 二 圈 的 间 隔 , 由 方 程 r a 知 A 、 B 两点极坐标分别为( 2π, 2πa )、 (4π, 4πa ) ，所以， 5 AB 2πa 10 mm ，因此， a . π 因为弹簧共10 圈，所以， 从 0 增到 20π ,根据前面极 坐标下弧长公式得
a 0
所围图形的面积 . 有
d A y dx
y
A 4 y d x
利用椭圆的参数方程
b
o xxdx a x
x a cos t (0 t 2 ) y b sin t
应用定积分换元法得
4 a b 1 ab
2 2
4ab 2 sin 2 t dt
的面积 . 解: 由 得交简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
y yd y y
y 2 2x
(8 , 4)
o
y x4
(2 , 2)
x
d A ( y 4 1 y 2 ) dy A 2
2
4
18
例3. 求椭圆
解: 利用对称性 ,
2
直线 y 2 x 及 x 轴所围成．求： （1） D 的面积； （2） D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积．
2011年河南专升本试题
52.求几何体x y 4 z 4的体积。
2 2 4
6.1.1
定积分应用的微元法
微元法分为两步： 第一步：选积分变量 x [a, b] ，任取一个微小区间
A f ( x ) dx .
a b
图6.1.2
（3）由上下两条曲线 y f ( x ) ，y g ( x )( f ( x )r g ( x )) ，x a ， x b 所 围 图 形 （ 如 图 6.1.3 所 示 ） 的 面 积 的 微 元 （4）由左右两条曲线 x ( y ) ，x ( y ) 及 y c， y d 所围 图形（如图 6.1.4 所示）的面积的微元 dA [ ( y ) ( y )]dy, ，则
0
当 a = b 时得圆面积公式
2.极坐标系下的面积计算 当一个图形的边界曲线用极坐标方程 r r ( ) 来表示时， 用极坐标计算面积比在直角坐标系下求面积方便. 求“曲边扇形”的面积：曲线 r r ( ) 及两条射线 ， ( ) 所围成的图形称为曲边扇形 （如图 8.1.6 所示） . 则求曲边扇形的面积， 可取 为积分变量， 其变化范围[ , ], 在微小区间[ , d ]上“以常代变” ，即以小扇形的面积微 元 dA 作为其面积的近似值.于是 1 dA r 2 ( )d 2 将 dA 在 [ , ] 上 积 分 ， 得 出 所 求 的 扇 形 面 积 为 1 2 A r ( )d . 2
转而成的椭球体的体积.
所围图形绕 x 轴旋转而
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
o
则
x
ax
V 2 y 2 dx
0
a
(利用对称性)
b2 a 2 2 2 (a x 2 ) dx a 0 b2 2 1 3 a 4 2 2 a x x ab 2 3 0 3 a
R R
6.1.4
用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 y f ( x ) 在 [ a, b] 上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f '( x ) ，我们来计算从 x a 到 x b 的一段弧的长度 s (如图 8.1.10 所示).
仍采用微元法， x 为积分变 取 量 ， x [ a, b] ， 在 微 小 区 间 [ x, x dx] 内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
解
取平面与圆柱体底面的交线为 x 轴，底面上过圆心且
垂直 x 轴的直线为 y 轴，建立坐标系，则底面圆的方程为 x 2 y 2 R 2 .过 x 轴上的点 x 作垂直于 x 轴的平面，截立体所 得截面是直角三角形，该直角三角形的两条直角边的长度分别 为 y 及 y tan ,因此截面面积为
用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下的面积计算 （1）曲线 y f ( x)( f ( x) 0) ， x a ， x b 及 x 轴 所围图形 （如图 6.1.1 所示） 的面积的微元 dA f ( x)dx ， 则面积 A f ( x)dx .
a b
图6.1.1
（2）曲线 y f ( x)（有正有负） x a ， x b 及 x 轴所围图 ， 形 （ 如 图 6.1.2 所 示 ） 的 面 积 的 微 元 dA f ( x) dx , 则 面 积
A (cos x sin x)dx (sin x cos x)dx
sin x cos x + cos x sin x = 2( 2 1) .
π 4 0 π 2 π 4
π 4 0
π 2 π 4
图6.1.5
例2. 计算抛物线 y 2 2 x 与直线 y x 4 所围图形
1 1 1 2 A( x) y y tan y tan ( R x 2 ) y tan ， 2 2 2
因此
1 2 V A( x)dx ( R x 2 ) tan dx R R 2 1 2 1 3 R 2 3 tan R x x = R tan . 2 3 R 3 注意，此题也可以用过 y 轴上的点 y 作垂直于 y 轴的平面截 立体所得的截面来计算.
图6.1.7 图6.1.6 例 4 求由曲线 r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性， 只需计算 S1 ，再 8 倍即可,点 A的幅角为 0 ，点 O 的幅角为 π π ，且 由 0 变到 时，恰好画出弧 AO .所以 4 4 π π 4 1 4 2 S 8S1 8 (2cos 2 ) d 4 4cos 2 2 d 0 2 0
第6讲
定积分的应用
考试点津： • 本讲出题在7、8分之间，一般考平面图形 的面积和旋转体体积，以计算题出现较多。 • 本讲重点：（1）定积分的几何意义的理解。 （2）图形的准确画出。 • 本讲难点：微元法中的元素和积分上下限 的确定。
2010 年河南专升本试题 51．平面图形 D 由曲线 y x ，
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方法2 利用椭圆参数方程
则
V 2 y 2 dx 2 ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 ab 1 3 4 ab 2 3
2
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
4 3 a . 3
图6.1.9
例 5（如图 6.1.9 所示）一平面经过半径为 R 的圆柱 体的底圆中心，并与底面交成 角，截得楔形立体，求 这楔形立体的体积.
s
20 π 0
r r '( ) d a 0
2 2
20π
1 2 d
20π 0
5 1 1 2 ln( 1 2 ) π 2 （设 tan t ，再分部积分）
3144.2(mm) .
2010 年河南专升本试题 51．平面图形 D 由曲线 y x ，
2
直线 y 2 x 及 x 轴所围成．求： （1） D 的面积；
（2） D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积．
x 1 解： （1） A x dx 11 0 3 2
1 2 1 4
3 1
1 5 2 6 0
A