微分方程的稳定性

如果存在某个邻域， 如果存在某个邻域，使微分方程的解 x ( t ) 从这个邻域 出发， 内的某个点 x ( 0 ) 出发， 满足 : lim x (t ) = x 0 , t → +∞ 则称微分方程 x ' (t ) = f ( x (t )) 的 平衡点 x 0 是 稳定 的；
如果存在某个邻域， 如果存在某个邻域，使微分方程的解 { x ( t ) ， y ( t ) } 出发， 从这个邻域内的某个点 { x ( 0 ) ， y ( 0 ) } 出发， 满足 :
微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 的结论。 或 不稳定 的结论。 研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。 在数学建模竞赛活动中， 在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为 自治系统 的方程 。 的微分方程， 自治方程 是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如 一阶方程 x '1 (t ) = f ( x1 (t ) , x 2 (t )) , 二阶方程 x ' (t ) = f ( x (t )) x ' 2 (t ) = g ( x1 (t ) , x 2 (t ))
x (t ) = x 0 + c 0 e
f ′ ( x0 )⋅t
由此 , 当 f ’( x0 ) ＜ 0 时, x → x0 ; 当 f ’( x0 ) ＞ 0 时, x → +∞. (c) 一阶非线性问题的稳定性结论 : 根据有关数学理论 , 一阶非线性问题的稳定性结论 一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下， 一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶 非线性问题的稳定性在非临界情况下 线性问题结论完全相同. 线性问题结论完全相同
研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的线性替代 ( 利用一元函数的泰勒展开式 ) : f ( x ) ≈ f ’( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) = f ’( x0 )( x - x0 ) ; . 线性问题研究: (b) 线性问题研究 求解 x’ = f ’( x0 )( x – x0 ) , 解得
微分方程的稳定性
1. 微分方程模型在 模型分析 中的主要问题之一 —— 稳定性分析 （1）微分方程模型的稳定性及其实际意义
用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析 中的一个 重要问题是： 重要问题是：当时间充分长后 ，动态过程的 变化趋势 是什么？ 是什么？ 微分方程模型中 , 方程 ( 组 ) + 初始条件 → 解 初始条件的作用在于确定解, 初始条件的作用在于确定解 它的微小变化会产生不同的 换言之， 解，换言之，对解的发展性态变化 , 往往具有影响作用 . 问题是这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在 的 , 还是当时间充分大以后 , 影响作用会 “消逝 ” ?
上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程组 解的 稳定性理论 结果可简介如下： 结果可简介如下：
非线性方程 ( 一个方程 ) 情况 形式 : x’( t ) = f ( x( t ) ) 注意: 有时该方程的 根不止一个.
平衡点 : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 .
稳定意义 : 当 t →∞ 时, 如 x → x0 , 则称 x0 是稳定的 平衡点; 平衡点 是不稳定平衡点. 否则称 x0 是不稳定平衡点
x ' (t ) = a1 x (t ) + a 2 y (t ) ， 或 W ' (t ) = A ⋅ W (t ) y ' ( t ) = b1 x ( t ) + b 2 y ( t ) a1 a 2 ， p = − Tr ( A ) ， q = Det ( A ) A= b b2 1
(1) 当 p ＞ 0 , q ＞ 0 时, 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λ1 •λ2 = q , ， 推得 λ1 与 λ2 均为负数 ， 故当 t → +∞ 时，e λ1 t 与 e λ2 t 均趋于零 ， 系统稳定 ; 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λk = α±βi ， ± 中 α 为负数 （ k = 1 ，2 ） ， 故当 t → +∞ 时，eλk t = eαt（ sinβt ± cosβt ） 系统仍为稳定的 （ k = 1 ，2 ） 也均趋于零 ， 系统仍为稳定的 ；
(3) 当 q ＜ 0 时 , 此时必定有 p2 – 4q ≥ 0 ， 由 λ1 •λ2 = q , 可推出 λ1 与 λ2 中至少有一个为 正数， 正数， 故当 t → +∞ 时，eλ1 t 与 eλ2 t 中至少有一个趋于 +∞ ， 此时 系统也必不稳定 。
综述之，在线性方程组非临界（ 综述之，在线性方程组非临界（p ≠ 0 ) 情况中
t → +∞
lim x(t ) = x 0 , lim y (t ) = y 0 ,
t → +∞
x ' (t ) = f ( x (t ) , y (t )) 则称微分方程 的 平衡点 { x 0 , y 0 } y ' (t ) = g ( x (t ) , y (t )) 是 稳定 的。
(2) 当 p ＜ 0 时, 如果 p2 – 4q ≥ 0 ，由 λ1 +λ2 = - p , 可推出 λ1 与 λ2 中至少有一个为正数， 中至少有一个为正数， 故当 t → +∞ 时，eλ1 t 与 eλ2 t 中至少有一个 趋于 +∞ ，系统不稳定 ; 如果 p2 – 4q ＜ 0，仍由 λ1 +λ2 = - p , 可推出 ， λk = α±βi （ k = 1 ，2 ） 中 α 为正数 ， ± 故当 t → +∞ 时, eλk t = eαt（ sinβt ± cosβt ） （ k = 1 ，2 ） 趋于 +∞ ，仍可推出 系统不稳定 。
当
p＞0, q＞0 时,
相应的平衡点是稳定的； 相应的平衡点是稳定的； 当
p ＜ 0 或当 q ＜ 0 时 ,
相应的平衡点是不稳定的。 相应的平衡点是不稳定的。
(C) 非线性问题的 稳定性结论 : 在非临界情况下 （p ≠ 0 ) ， (i) 若相应的线性问题是 稳定 的 , 则对应非线性问题也 是 稳定 的 ； (ii) 若相应的线性问题是 不稳定 的, 则对应非线性问题 也是 不稳定 的.
研究方法 : (a) 作 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 的线性替代（利用二元函数 的线性替代（ 的泰勒展开式） 的泰勒展开式）: f ( x , y ) ≈ f’’x( x0 , y0 )·( x - x0 ) + f ’y ( x0 , y0 )·( y - y0 ) ; g ( x , y ) ≈ g ’x( x0 , y0 )·( x - x0 ) + g ’y ( x0 , y0 )·( y - y0 ). (b) 线性问题研究 线性问题研究: 记 a 1= f ’ x ( x 0 , y 0 ) , a2 = f ’ y ( x0, y0 ) , b1 = g ’x ( x0, y0 ) , b2 = g ’ y ( x0, y0 ) , p = - ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 - a2 b1 , 并无妨设 x0 = 0 , y0 = 0 ;
求解 或写为
x ' (t ) = a1 x (t ) + a 2 y (t ) ， y ' ( t ) = b1 x ( t ) + b 2 y ( t )
a1 a 2 x (t ) ，W = W ' ( t ) = A ⋅ W ， 其中 A = y (t ) b b2 1 x ( t ) = c 1 e λ1 t + c 2 e λ 2 t 可解得 ， ( 当 λ1 ≠ λ 2 ) λ1 t λ2t y (t ) = c 3 e + c 4 e
有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称 系统是不稳定 的 ; 有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的. 在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 在实际问题中 初始状态不能精确地而只能近似地确定 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。 具有十分重要的实际意义。 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远 来看, 来看 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 之间没有多大关系 紧要的。 紧要的。
中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势， 自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势， 则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点 。
一阶方程 x' (t ) = f ( x (t )) 的 平衡点 是指代数方程 f ( x(t )) = 0 的根 x 0（可能不止一个根） ； 可能不止一个根） x' (t ) = f ( x (t ) , y (t )) 的 平衡点 是 二阶方程 指代数方程组 y ' (t ) = g ( x(t ) , y (t )) f ( x , y) = 0 可能不止一组解）。 的解 { x 0 , y 0 }（可能不止一组解）。 g ( x , y) = 0
或 x ( t ) = ( c 1 + c 2 t ) e λ1t y (t ) = (c 3 + c 4 t )e
λ1t
，( 当
λ1 = λ 2 )