人教版高中数学必修五1.1.2余弦定理(二)同步课堂教案

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人教版_高中数学必修5__余弦定理教案

余弦定理一、教材分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。

本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

二、学情分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

三、教学目标1、了解向量知识的应用，掌握余弦定理的推导过程。

2、会利用余弦定理证明简单三角形问题，求解简单斜三角形边角问题。

3、通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间的联系来体现普遍事物间的普遍联系与辩证统一。

4、培养学生合作交流的学习意识。

四、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

高中数学 1.1.2 余弦定理2教案新人教A版必修5

《1.1.2余弦定理》教学设计一．教学内容分析本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。

本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。

二．目标与目标分析略了让同学们参与公式的推导建构过程。

这样的过程同学们在短时间上通过大量的训练会知道怎么用公式，却总是会迷茫为什么要这么用，为什么会选择这个公式，例如我就发现同学们上高中后依旧很多同学不喜欢用求根公式，而是依旧用配方法，我想这也是在公式建构过程中，同学们没有参与推导的过程，就不知道如何解决公式的优化选择。

导致学生还是无法接受新的知识。

华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。

而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。

才能够用数学的思维去思考和解决问题。

三．学生学习情况分析我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。

不过他们刚学习完正弦定理的知识，知道正弦定理公式的推导是从直角三角形这个特殊三角形到一般三角形的推导，知道正弦定理是应用时解三角形的边角关系，学生可以通过类比的方法来学习余弦定理。

四．设计思想本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节课干嘛用，是为了解决生活问题的。

通过特殊到一般的思想，把特殊问题一般化，让同学们寻找解决的途径，通过对比，寻找最优化方法，最终由同学们自己推导出公式，并自己观察寻找公式的简单应用。

五．教学目标知识与技能：：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感态度价值观：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理教学过程推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.在幻灯片1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式:形式一:2222cos a b c bc A ，2222cos b a c ac B ，2222cos c a b ab C . 形式二: bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. 师在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.[合作探究]2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角.师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造CB CA 这一数量积以使出现cos C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则，可得BC AB AC +=,∴222AC AC (AB BC )(AB BC )AB AB BC BC 222cos 180AB AB BC (B )BC 222cos c ac B a ，即2222cos b a c ac B由向量减法的三角形法则，可得BCAC AB ,∴222BC BC(AC AB )(AC AB )AC AC AB AB 222AC AC AB cos A AB 222b bccos Ac ，即2222cos a b c bc A . 由向量加法的三角形法则,可得ABAC CB AC BC , ∴222AB AB (AC BC )(ACBC )AC AC BC BC 222222AC AC BC cosC BCb bacosC a ，即2222cosc a b ab C [方法引导](1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ；AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180B ；AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C .[合作探究]师思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=. 师思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B )通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角.这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况.(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）.解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A ≈41 c m.由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0, 因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得C ≈33°, B =180°-A -C =180°-41°-33°=106°. 【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形.解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A ≈56°20′; co s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B ≈32°53′; C =180°-(A +B )=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.[知识拓展]补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到1°)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A , ∴A ≈44°.∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a ≈0.807 1, ∴C ≈36°.∴B =180°-(A +C )=180°-(44°+36°)=100°.[教师精讲](1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′,得c ≈4.297.∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.776 7, ∴A ≈39°2′.∴B =180°-(A +C )=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′. [教师精讲]通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC .分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出. 若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的.下面给出两种解法.解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A , ∴A 1=81.8°,A 2=98.2°,∴C 1=38.2°,C 2=21.8°.由Cc sin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2=5, ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac . 解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B ,∴72=c +82-2×8×cco s60°,整理得c 2-8c +15=0,解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac . [教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习1.在△ABC 中:(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A ;(2)已知a =20,b B =29,c =21，求B ;(3)已知a =33,c =2,b =150°,求B ;(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A .解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A =7.(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B =90°. (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b =7.(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A =45°. 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).(1)a =31,b =42,c =27;(2)a =9,b =10,c =15.解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A ≈48°. 由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B ≈93°. ∴C =180°-(A +B )=180°-(48°+93°)≈39°.(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A ≈0.813 3, ∴A ≈36°.由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0, ∴B ≈40°.∴C =180°-(A +B )=180°-(36°+40°)≈104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题.余弦定理1.余弦定理2.证明方法:3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法; (1)已知三边求任意角;(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形4.学生练习教学反思１．注重过程与方法，提升探究能力数学教学是一个过程，在这个过程中要注意对学生逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，而不能把结论直接抛给学生，学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程．本节课从具体的实例出发，从特殊到一般，让学生经历提出问题，解决问题，初步应用等过程，采用问题串的形式引导学生进行探究活动．余弦定理的发现和证明，先从学生最近发展区入手，根据初中的平面几何知识，这是符合学生的认知结构，让学生自己发现余弦定理，鼓励学生独立思考，积极发表自己的见解。

【原创】人教A版高中数学必修五第一章1.1.2余弦定理教学设计

《余弦定理》教学设计一．教学目标知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

二．教学重点和难点重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。

三．教学过程（一）知识回顾1.正弦定理：R cc B b A a 2sin sin sin === 2.运用正弦定理能解决的两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两角和一边解三角形（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形（二）提出问题已知三角形两边长和夹角求第三边的问题，即：在ABC ∆中已知AC=b ，AB=c 和A ，求a 。

（三）解决问题1．定理推导在ABC ∆中，设a BC b AC c AB ===,,，那么c b a -=，则c b a a -==，问题转化为已知：c c b b == ,和b 与c 的夹角A 且c b a -= 求a . A bc c b c b b b a a c b c b a a a cos 22)()(222-+=⋅-⋅+⋅=-⋅-=⋅=即：A bc c b a cos 2222-+=2．自主探究（1）、在ABC ∆中已知：C ,和b a 求c 。

（2）、在ABC ∆中已知：b B ,求和c a 。

3．归纳总结（1）余弦定理在ABC ∆中有：Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=（2）定理描述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理教案Word版含答案【优选整合】

1.2余弦定理一、教学目标：知识与技能：能推导余弦定理及其推论，并会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感、态度与价值观：让学生主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的逻辑性和严谨性，形成学习数学知识的积极态度。

二．重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其定理的简单应用。

难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路。

三、教材与学情分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（5）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》第一课时。

“余弦定理”是“解三角形”中的重要定理，在高考中属于“掌握”层次。

在教材中，利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决三角形中“边、角、边”和“边、边、边”问题，体会向量法的应用及方程思想，引起学生认知冲突和激发学生探究数学的潜能。

在学习本节课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的“边”和“角”的互化也有了进一步的认识。

能熟练运用正弦定理解决“任意两角与一边”和“已知两边和其中一边的对角”的三角形问题。

故创设一个“已知三角形两边及夹角”来解决三角形的例子，学生发现不能用上一节所学知识来解决这一问题，从而引起好奇并激发起学习的兴趣。

但由于学生应用数学知识的意识不强，知识的系统性不完善，使学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，教师对此需作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联系、归纳从而能解决问题。

四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）知识回顾1.正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===2.运用正弦定理解决的两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两角和一边解三角形；（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形。

（二）问题的提出：在ABC ∆中，08,5,60a b C ==∠=，你能求c 边长吗？（这是一个已知三角形的两边及两边的夹角解三角形的问题，无法使用正弦定理解决，引起学生与已有知识产生“认知冲突”，激发探究的积极性。

高中数学 1.1.2余弦定理(二)教案新人教A版必修5

1.1.2余弦定理（二）一、教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

四、教学设想[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]1。

教材P8面第2题2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）思考。

解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角；例如 ︒===120,5,12A b a （先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求C 边）（2）已知三角形的任意两角及其一边；例如 10,50,70=︒=︒=a B A （先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ）（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角；例如 ︒===50,13,12C b a（先由余弦定理求C 边，再由正、余弦定理求角A 、B ）（4）已知三角形的三条边。

高中数学人教B版必修5 1.1 教学设计《1.1.2余弦定理》(人教B)

《1.1.2余弦定理》
本节课讲述了余弦定理的内容，要求学生能解决一些简单的三角形度量问题并能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

【知识与能力目标】
1、使同学们在正弦定理的基础上认识余弦定理；
2、能应用余弦定理解三角形；
3、培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力。

【过程与方法目标】
引领学生主动回忆有关正弦定理的基础知识，并通过猜测、验证等活动，尝试推理余弦定理
证明的全过程，体验讨论、类比和练习的思想和方法。

【教学重点】
理解并掌握正弦定理的内容和运用。

【教学难点】
余弦定理解三角形。

直尺、三角板、圆规等。

（一）复习背景，引入内容
师出示课件第2页，回顾之前讲过的正弦定理的内容,带领学生进行一个简短的复习。

并通
过这一内容引出余弦定理的边角关系的思考。

在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比
相等。

例题引入，体现余弦定理的内容。

（二）余弦定理
1、余弦定理
打开课件第6页，展示余弦定理的内容：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2、余弦定理的应用
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

3、例题讲解
（1）打开课件第8页，出示第一道例题并讲解。

2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案新人教A版必修5

2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案新人教A 版必修5高二数学教·学案【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课【教具】课件、电子白板 2222c a b a b=+-⋅高二数学教·学案课后反思：2019-2020年高中数学《1.1.2 余弦定理》教案2 新人教A版必修5●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程 Ⅰ.课题导入C如图1．1-4，在ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课 [探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设，，，那么，则()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C B从而 (图1．1-5) 同理可证于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

高中数学必修五教案：1.1.2 余弦定理

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【自主解答】 (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角．由正弦定理，得sin A ＝a csin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ，即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6－2432＝6－22.1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形．【解】法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋32＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角．【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B .【规范解答】 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以b a＝ 2.6分 (2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.8分由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.12分在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．(2013·青岛高二期中)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513 C ．0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0. 【答案】 C 3．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计

名师示范课第一章解三角形1.1.2 余弦定理（名师：王历权）一、教学目标1.核心素养通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型;（2）能证明余弦定理;（3）应用余弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题.4.学习难点余弦定理的证明.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用?2.预习自测1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c .解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c .（二）课堂设计1.知识回顾（1）在三角形中大边对大角,大角对大边.（2）三角形的面积:C ab S sin 21=. （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究问题探究一另一类解三角形问题●活动一回顾旧知理论上正弦定理可解决两类问题:（1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角;（2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.●活动二整合旧知,探求边角新关系如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗?应用正弦定理显然无法求解三角形.Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢?问题探究二余弦定理的证明. ●活动一集思广益,证明余弦定理在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.因而,有2222222(sin )(cos )2cos a CD BD b A c b A b c bc A =+=+-=+-,同理,我们可以得到:2222222cos ,2cos b c a ac B c a b ab C =+-=+-,. 或者222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,22222(sin )(cos )a CD BD b A b A c =+=+-A bc c b cos 222-+=, 若△ABC 中∠A 为直角呢?我们可以得到A bc c b c b a cos 222222-+=+=. 余弦定理:对于任意的一个三角形,都有2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. ●活动二发现公式证明新方法,反思过程结合问题条件与结论涉及边长与角度,能否用向量的办法证明余弦定理?A B如图在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AB BC BC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+o u u u r u u u r u u u r u u u r 22cos 2a B ac c +-=.即B ac a c b cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.反思:对向量等式+=平方法即得B ac a c b cos 2222-+=,过程中哪些方法值得总结?另外向量等式BC AB AC +=有哪些丰富的内涵?等式中隐藏了哪些信息?问题探究三利用余弦定理能解决哪些三角形的问题? ●活动一初步运用,运用定理解三角形例1 在ΔABC 中,已知a ＝7,b ＝10,c ＝6,求A 、B 和C.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:∵222cos 0.7252b c a A bc+-==,∴A≈44° ∵222cos 0.80712a b c C ab+-==,∴C≈36°, ∴B ＝180°－(A ＋C)≈100°.点拨:知道三边利用余弦定理可以求任意一个内角的余弦值.例2 在ΔABC 中,已知a ＝2.730,b ＝3.696,C ＝82°28′,解这个三角形.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:由C ab b a c cos 2222-+=,得c ≈4.297∵222cos 0.77672b c a A bc+-=≈,∴A≈39°2′, ∴B ＝180°－(A ＋C)＝58°30′(∵sin sin 0.6299a C A c=≈,∴A=39°或141°(舍))点拨:在已知两边和夹角的条件下,用余弦定理求出另一边,再用余弦定理或正弦定理可以求解整个三角形.例3 在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点:余弦定理】详解:选C,由正弦定理有sin cos sin cos B A A B =,即sin()0A B -=,所以ABC ∆是等腰三角形.又解,由余弦定理知acb c a a bc a c b b 22222222-+=-+,整理得a b = 点拨:灵活使用正余弦定理是解题关键.●活动二对比提升,判断三角形解的个数余弦定理非常对称美观,三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成了可定量计算的公式了,它可以求解如下两类解三角形的问题:（1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.利用余弦定理解三角形时会出现无解、一解或多解等多种情况吗?3.课堂总结【知识梳理】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222222cos cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2c a b b c a ac B B ca +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2a b c c a b ab C C ab +-=+-⇔=. 【重难点突破】（1）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,它揭示的是三角形中边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.（2）在余弦定理中含三边和一边的对角这四个元素,利用方程的思想,知三可求一.（3）解三角形问题时,一般先画出示意图,根据题目的结构特征,灵活运用正弦定理或余弦定理及其变式,这不仅是解决有关问题的切入点,更是找到解题捷径所在.4.随堂检测1.已知在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（）A.－41B.41C.－ 32D.32 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为（） A.3400米33400米 C.2003米米【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A3.在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为（）A. 52B. 132C. 16D. 4 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B5. 在ABC ∆中,等式C b a B A b a s in )()s in ()2222-=-+（成立的充要条件是（）A.b a =B.090=∠CC.90a b C =∠=︒且D. 90a b C =∠=︒或【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A（三）课后作业基础型自主突破1.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A.90°B.120°C.135°D.150°【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B2. 已知b a ,为ABC ∆的边,,A B 分别是b a ,的对角,且32sin sin =B A ,求a b b+的值. 【知识点:余弦定理;正弦定理】解:25 3.已知三角形的一个角为60°,面积为310,周长为20,求此三角形的各边长.【知识点:余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:5,7,8 .4.已知锐角三角形三边分别为3,4,a ,则a 的取值范围为（）A.15a <<B.17a << 5a << 7a <<【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论、数形结合】解:C5.如图,在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒,向山顶前进100m 后,又从点B 测得斜度为45︒,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度θ.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:θ = 4294︒6.在ABC ∆中,=53AB AC =，,D 为BC 中点,且4=AD ,求BC 边长.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:2能力型师生共研7. 如图,在四边形ABCD 中,已知A D C D ⊥, 10,14AD AB ==,60BDA ∠=︒, 135BCD ∠=︒,求BC 的长.【知识点:余弦定理】解:288.在ABC ∆中,求证: 0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a .【知识点:正弦定理、余弦定理】解:左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边.9.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:余弦定理】解:三边长为4,5,6.10.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a .(2) 2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理、余弦定理】证明:(1)左边＝)(222c b a --B B c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=222222222222222222222222)(2222)(22)(b c a b c a a c b a c b R a b c b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 右边==+-=0)11(Rabc 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R B A R A b a b B a A 故原命题得证探究型多维突破11.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略 ;（2）3:112.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.（1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a . （2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==, 当2=x 时15max =S .自助餐1. 在ABC ∆中,已知60A ︒=,1b =,,则sin sin sin a b c A B c ++++为( )A. B. C. D. 【知识点:正弦定理、余弦定理、三角形面积;数学思想:数形结合】解:B.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则ABC ∆的面积是( )A.3B.9 32C.3 32D.3 3【知识点:余弦定理、三角形面积】解:C.3. 在ABC ∆中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）C.-D.- 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.4.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:B.5.已知ABC ∆中,A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且,试判断ABC ∆的形状. 【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:等边三角形.6.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ;(2)若sin sin A C =,求C . 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）120︒;（2）15︒或45︒8. 在ABC ∆中,若22299190a b c +-=,试求tan tan (tan tan )tan A B A B C+的值. 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:59。

高中数学新人教A版必修5教案1.1.2余弦定理

余弦定理教学分析一、教学导图二、教学目标1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。

4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

三、教学重难点教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。

教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。

突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。

教学设计一、温故引新特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。

正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C===，其中2R 为三角形外接圆的直径。

说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。

2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？由,sin sin sin sin a b b cA B B C==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。

”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。

”等解三角形问题。

3，思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC c AC b BAC A ∆==∠=，求a 即BC 。

本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。

”的解三角形的问题。

本题能否用正弦定理求解？困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。

二、类比探究理性演绎（一）类比探究当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A 的对边随着角A 的变化而变化。

数学1.1《正弦定理和余弦定理》教案二(新人教A版必修五)

1.1.2余弦定理一、教学目标：1、能力要求：①掌握余弦定理，能初步运用余弦定理解一些斜三角形。

②明确余弦定理可解决哪种类型的三角形问题。

2、过程与方法：①探究式教学使学生明确余弦定理的用途。

②在探究学习中，认识到余弦定理可以解决某些与几何计算和测量有关的实际问题。

二、教学重点、难点：重点：余弦定理公式及其推论的应用；难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解斜三角形三、预习问题处理：1、余弦定理：三角形中平方等于减去的两倍，即=2a ；=2b ；=2c 。

2、从余弦定理，可以得到它的推论：=A cos ；=B cos ；=C cos 。

3、从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是。

4、只利用余弦定理，我们可以解决何种类型的问题？四、新课讲解：通过上一节课的学习我们知道，利用正弦定理可以解决两类三角形问题：①已知三角形两角和任一边解三角形；②已知两边和其中一边的对角解三角形。

那么其它类型的解三角形问题是否就没有办法解决了呢？下面我们由正弦定理出发，进行一下探索。

正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径）由正弦定理可知：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===()()[]C B C B C B R AC B C B R A bc c b +++=-+=-+∴cos sin sin 2sin sin 4cos sin sin 2sin sin 4cos 222222222[]()()[][]()()()22222222222222222222222sin 2sin 4sin 4cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2sin 1sin sin 1sin 4cos cos sin sin 2sin sin 2sin sin 4a A R A R C B R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R ===+=+=++=+-+-=+-+=即A bc c b a cos 2222-+=。

人教A版高中数学必修5教案1.1.2

1.1.2余弦定理（一）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b a(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

高二数学 1.1.2余弦定理(二)学案新人教A版必修5 学案

1.1.2 余弦定理(二)课时目标 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理.2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝______. (2)a ＝________，b ＝________，c ＝________.(3)sin A ＝______，sin B ＝______，sin C ＝____________________________________. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________. 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝________________. (2)cos A ＝________________.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为________；c 2>a 2＋b 2⇔C 为________；c 2<a 2＋b 2⇔C 为________．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有： (1)A ＋B ＋C ＝____，A ＋B2＝__________.(2)sin(A ＋B )＝________，cos(A ＋B )＝________，tan(A ＋B )＝________. (3)sinA ＋B2＝________，cosA ＋B2＝__________.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －Bsin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cos B=35,且AB →·BC →＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( ) A ．0<C ≤π6 B ．0<C <π2C.π6<C <π2 D.π6<C ≤π314．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a ，B ，C )正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解.两边和夹角 (如a ，b ，C )余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一角．在有解时只有一解.三边(a ，b ，c )余弦定理由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有解时只有一解.两边和其中一边的对角如(a ，b ，A )正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B ；由A ＋B ＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．1.2 余弦定理(二) 知识梳理1．(1)2R (2)2R sin A 2R sin B 2R sin C (3)a 2R b 2R c2R(4)a ∶b ∶c 2.(1)b 2＋c 2－2bc cos A (2)b 2＋c 2－a 22bc(3)直角钝角锐角 3.(1)π π2－C 2 (2)sin C －cos C －tan C (3)cos C 2 sin C 2作业设计1．C [∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.]2．C [∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .]3.B [∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°. ∴最小外角为60°.]4．D [∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .] 5．A [在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .]6．A [设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．] 7.19解析由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19. 8．2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8. 9．12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12AB ·AC ·sin 60°＝23，∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10.13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，∴a ＝13.∴2R ＝a sin A＝1332＝2393， ∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 11．证明右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C.12.解（1）∵AB →·BC →＝－21，BA →·BC →＝21. BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°.13．A [方法一 (应用正弦定理)∵ABsin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角， ∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.]14．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。

原创精品必修5 112余弦定理教学设计.doc

必修5 1.1.2余弦定理教学设计一、教学目标认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。

二、教学重难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。

难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。

探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。

学生已经具备了勾股定理的知识，即当ZC=90°时，有c2=a2+b2o作为一般的情况，当ZCH90°时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。

最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。

因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。

在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。

在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。

在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。

在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。

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1.1.2余弦定理（二）一、教学目标 1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，
从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

四、教学设想
[复习引入] 余弦定理及基本作用
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

练习]1。

教材P8面第2题
2．在ABC 中，若，求角A （答案：A=120）
思考。

解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边
吗？
（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角；例如
（先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求C 边）
（2）已知三角形的任意两角及其一边；例如
（先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ）
（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角；例如
（先由余弦定理求C 边，再由正、余弦定理求角A 、B ）
2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222
cos 2+-=b a c C ba
∆222a b c bc =++0︒===120,5,12A b a 10,50,70=︒=︒=a B A ︒===50,13,12C b a
（4）已知三角形的三条边。

例如（先由余弦定理求最大边所对的角） [探索研究]
例1．在中，已知下列条件解三角形
（1），，（一解）（2），，（一解）
（3），，（二解）（4），，（一解）
（5），，（无解）
分析：先由可进一步求出B ；则从而归纳：（1）如果已知的A 是直角或钝角，a ＞b ，只有一解；
（2）如果已知的A 是锐角，a ＞b ，或a=b ，只有一解；
（3）如果已知的A 是锐角，a ＜b ，
1、，有二解；
2、，只有一解；
3、，无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]
（1）在ABC 中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC 中，若，，，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在ABC 中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC 中，已知，，，判断ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知解：，即， ∴。

[随堂练习2]
（1）在ABC 中，已知，判断ABC 的类型。

9,12,10===c b a ∆ABC ο30=A 10=a 20=b ο30=A 10=a 6=b ο30=A 10=a 15=b ο120=A 10=a 5=b ο120=A 10=a 15=b sin sin b A B a =0180()C A B =-+sin a C c A
=A b a sin φA b a sin =A b a sin πsin b A a b <<∆80a =100b =045A ∠=∆1a =12
c =040C ∠=∆a xcm =2b cm =045B ∠=2x <<∆7a =5b =3c =∆222222222是直角ABC 是直角三角形
是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆222753>+Q 222a b c >+ABC 是钝角三角形∆∆sin :sin :sin 1:2:3A B C =∆
（2）已知ABC 满足条件，判断ABC 的类型。

（答案：（1）；（2）ABC 是等腰或直角三角形）
例3．在ABC 中，，
，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理解：由得，则=3，即
从而 [随堂练习3]
（1）在ABC 中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积，求角C （答案：（1）或；
（2））
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。

五、作业（课时作业）
（1）在ABC 中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

（3）在ABC 中，，，，判断ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。

∆cos cos a A b B =∆ABC 是钝角三角形∆∆∆060A =1b =sin sin sin a b c A B C ++++111sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===sin sin a
b A
B =sin c
C ==sin sin sin a b c A B C ++++1
sin 22S bc A ==
2c =2222cos a b c bc A =+-a =sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A
==∆55a =16b =S =∆2224a b c S +-=
0600120045∆4b =10c =030B =∆060A =1a =2b c +=∆25760x x --=。