传热学-第四章(2011)

注意： 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
Heat transfer
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2011-10-4
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稳态、无内热源时： 稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝ 从所有方向流入控制体的总热流量＝0 内部节点： m 内部节点： Φ −1,n +Φ +1,n +Φ ,n−1 +Φ ,n+1 = 0 m m m (m,n+1)
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4-1 导热问题数值求解的基本思想及内部节点离散方程的建立
物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程建立控制方程及定解条件 设立温 Nhomakorabea场的迭代初值
确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程
Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φv = 0 Φ 下 左 上
dt dt Φ 左 = − λ A = − λ ∆y dx dx
可见：当温度场还没有求出来之前， 可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道 d t d x 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式， 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式， 假定温度呈分段线性分布， 假定温度呈分段线性分布，如图所示
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对于二维稳态导热问题，在直角坐标中， 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为： 微分方程为：
Φɺ v ∂ 2t ∂ 2t + + = 0 2 2 ∂x ∂y λ
∂t ∂ 2t ∆x 2 ∂ 3t ∆x 3 = t m ,n + ∆x + 2 + 3 +⋯ ∂x m ,n ∂x m ,n 2! ∂x m ,n 3!
(i-1,j)的 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的
温度ti-1,j
tm−1,n
∂t ∂ 2 t ∆x 2 ∂ 3 t ∆x 3 = t m ,n − ∆x + 2 − 3 +⋯ ∂x m ,n ∂x m ,n 2! ∂x m ,n 3!
Φ右
Φ上 Φ下
t m +1,n − t m , n = λ∆y ∆x t −t = λ ∆ x m , n +1 m , n ∆y
t m ,n −1 − t m ,n = λ∆x ∆y
(m-1,n)
(m,n) (m+1,n)
内热源： 内热源： v Φ
ɺ ɺ = Φ ⋅V = Φ ⋅ ∆x∆y
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求解代数方程
改进初场
是否收敛
否
是 解的分析
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2 例题条件
y
h3 t f
二维矩形域内稳态 无内热源， 无内热源，常物性 的导热问题
t0
h2 t f
h1t f
x
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Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φ = 0 Φ 下 v 左 上
t m−1,n − t m ,n t m+1,n − t m ,n t m ,n+1 − t m ,n t m ,n−1 − t m ,n λ ∆y + λ ∆y + λ ∆x + λ ∆x ∆x ∆x ∆y ∆y ɺ + Φ ∆ x∆ y = 0
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第四章 导热问题的数值解法
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引言
求解导热问题的三种基本方法： 理论分析法； 1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法； (3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 所谓理论分析方法 就是在理论分析的基础上， 理论分析方法， (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方 程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫 在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解， 分析解 理论解； 理论解； 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限 (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限 个离散点上的值的集合来代替， 个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于 上的值的集合来代替 这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值； 这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数 值解； 值解；
控制容积平衡法(热平衡法) (2) 控制容积平衡法(热平衡法) 基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒， 基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度 场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发， 场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立 控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 Fourier导热定律即可 能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 能量守恒：流入控制体的总热流量＋ ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 流出控制体的总热流量＋ 即： Φ
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若取上面式右边的前三项，并将式①和式③ 若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： 移项整理即得二阶导数的中心差分：
∂ 2t ∂x 2
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数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点， (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 特别对于复杂问题更显其优越性； 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低 实验法: 是传热学的基本研究方法， 适应性不好； (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵 数值解法： 数值解法： 有限差分法（ 有限差分法（finite-difference） ） 有限元法（ 有限元法（finite-element） ） 边界元法（ 边界元法（boundary- element） ） 分子动力学模拟（ 分子动力学模拟（MD） ）
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3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、
N
(m,n)
n
二维矩形域 内稳态无内 热源， 热源，常物 性的导热问 题
∆y
y
x
∆x
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m
M
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(1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点( 根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j 来表示节点( 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
t m+1,n
其节点方程为： 其节点方程为：
ti + 1 , j − 2 ti , j + ti −1 , j
∆x
2
+
ti , j + 1 − 2 ti , j + ti , j −1
∆y 2
ɺ Φ v ,i , j + =0 λ
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∆x = ∆y 时： t m −1,n + t m +1,n + t m ,n +1 + t m ,n −1 − 4t m ,n +
∆x ∆x 2
λ
λ
ɺ Φ=0
4 t m ,n = t m −1,n + t m +1,n + t m ,n +1 + t m ,n −1 +
∆x 2
ɺ Φ
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∆y
Φ +Φ +Φ ＋ 右 = 0 Φ 下 左 上
∆y
(m-1,n)
(m, n)
(m+1,n)
(m,n-1)
y o
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∆x
∆x
x
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以二维、稳态、 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例
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4 建立离散方程的常用方法： 建立离散方程的常用方法：