四川省绵阳市南山中学2016届高三零诊考试数学试题(文) Word版含答案

2015年8月绵阳南山中学2015年秋季2016届零诊考试数 学 试 题（文科）命题范围：绵阳市统考一诊内容 命题人：张家寿 审题人：王怀修一、选择题：每小题5分，共12小题，共60分.1. 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有 ( )． A.1个 B.3个 C.5个 D.7个2. 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则(9)(0)f f +=( ).0A .1B .2C .3D 3. 公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则6a 等于( ) A.1 B.2 C.4 D.8 4．曲线233x x y +-=在点)2,1(处的切线方程为( )A ．53+=x yB ．53+-=x yC ．13-=x yD ．x y 2= 5. 已知函数)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则下列结论中正确的是( )A ．函数)()(x g x f y ⋅=的最小正周期为2πB ．函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为1C ．将函数)(x f y =的图象向右平移2π单位后得)(x g 的图象D ．将函数)(x f y =的图象向左平移2π单位后得)(x g 的图象6．如下左图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t ＞0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )．7. 下列判断正确的是( )A . 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B . 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C . “1sin 2α=”是“6πα=”的充分不必要条件 D . 命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ 00,20x x ∃∈≤R ”8. 设的导函数是)()(x f x f '，且2()34,f x x x '=+- 则()1y f x =++ln2的单调减区间为( )A .()4,1-B .()5,0-C .3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9. 定义一种运算bc ad d c b a -=*),(),(，若函数))51(,413(tan)log 1()(3xx x f π*=，，0x 是方程0)(=x f 的解，且100x x <<，则)(1x f 的值( ) A ．恒为负值 B ．等于0 C ．恒为正值 D ．不大于10. 设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-++≤20222x y x x y ，则13++y x 的取值范围是( )A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡575， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,75 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5751， D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-，，5751 11. 已知M 是ABC ∆内一点，且AB AC ⋅=30BAC ∠= ，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积分别为12、x 、y ，则14x y +的最小值是( )A. 18B. 16C. 9D. 412. 已知正实数是自然对数的底数其中满足、、e c c a b c ace c b a ,ln ln ,21+=≤≤，则abln 的取值范围是( )A. [)∞+，1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2ln 21,1 C. (]1,-∞-e D.[]11-e ，二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()0f x '>，且1()02f -=，则不等式0)(≤x f 的解集为 .14．已知x ax x x f 4)(23+-=有两个极值点1x 、2x ，且()f x 在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则a 的取值范围是 . 15．已知ABC ∆中，内角C B A 、、的对边的边长为c b a 、、，且()B c a C b cos 2cos -=,则=yB 2cos 21+的值为 .16. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+. 现有以下甲，乙，丙，丁四个结论： 甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为-8. 则其中正确结论的序号是______________．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，请判定△ABC 的形状；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18．（10分）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，前4项和为40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .19．（12分）已知二次函数()()1,2-+=x f bx ax x f 若为偶函数，且集合A={}x x f x =)(为单元素集合. （1）求()x f 的解析式;（2）设函数x e m x f x g ])([)(-=，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调，求实数m 的取值范围． 20．（12分）南山中学近几年规模不断壮大，学生住宿异常紧张，学校拟用1000万元购一块空地，计划在该空地上建造一栋至少8层，每层2000平方米的学生电梯公寓．经测算，如果将公寓建为x (x ≥8)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出拟修公寓每平米的平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式； (2)该公寓应建造多少层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（结果精确到1元）(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)21. （12分）已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的周期和单调区间；(3)若关于x 的不等式f (x )≥m 2-m 有解，求实数m 的取值范围．22. （14分）已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数)(x f 的单调区间和最小值； （2）若函数()()x a x f x F -=在[]e ,1上是最小值为23，求a 的值； （3）当e b eb b 1)1(:,0≥>求证时（其中e =2.718 28…是自然对数的底数）.零诊参考答案(数文)一、选择题： BDBCC CDB A A AD二、填空题：13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞21021--，，; 14. 27>a ; 15. 0; 16. 甲,丁三、解答题17.解：(1)∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形． (2)由题意可知m·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 318.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝10，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1. ∴等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)设等差数列{b n }的公差为d ，则T 3＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(a 2＋b 2)2＝(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)， 即(3＋5)2＝(1＋b 1)(9＋b 3)，64＝(6－d )(14＋d )．∴d ＝－10或d ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝15，d ＝－10(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，d ＝2. ∴T n ＝nb 1＋n n －1 2d ＝3n ＋n n －1 2×2＝n 2＋2n .19. （1）()x x x f +=221 （2）若()x g 在[]2,3-上单调递增，则()0≥'x g 在[]2,3-∈x 上恒成立，即012212≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-++xe m x x 在[]2,3-∈x 上恒成立，即11221min 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤x x m 若()x g 在[]2,3-上单调递减，则()0≤'x g 在[]2,3-∈x 上恒成立，即012212≤⎪⎭⎫⎝⎛-++x e m x x 在[]2,3-∈x 上恒成立， 即71221max2=⎪⎭⎫⎝⎛++≥x x m (][)+∞⋃-∞-∈∴,71,m 20. 解(1)依题意得y ＝(560＋48x )＋x 2000100001000⨯＝560＋48x ＋x5000( x ≥8，x ∈N * )；(2)提示：均值不等式失效，求导或由x=10时，y=1540；x=11时，y=1543.故该公寓应建造10层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为1540元． 21. 解：(1)由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．∴f (x )的定义域关于原点对称．当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x －5cos 2x ＋1cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x＝3cos 2x －1，∴f (x )是偶函数．(2)∵f (x )＝3cos 2x －1＝3×1＋cos2x 2－1＝12＋32cos2x .∴T ＝2πω＝π，∴f (x )的最小正周期为π.增区间为、⎪⎭⎫ ⎝⎛-4-,2ππππk k )(,4Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-πππ，减区间为、⎪⎭⎫ ⎝⎛+4,πππk k )(2,4Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππππ(3)当x ≠k π2＋π4(k ∈Z )时，0≤cos 2x ≤1且cos 2x ≠12，∴－1≤3cos 2x －1≤2且3cos 2x －1≠12，∴f (x )的值域为{y |－1≤y ＜12或12＜y ≤2}．由关于x 的不等式f (x )≥m 2-m 有解得2≥m 2-m解得－1≤m ≤2 22.解：（1）.ln 1ln ,0)(),0(1ln )(1-=-≥≥'>+='e x x f x x x f 即令).,1[.11+∞∈∴=≥∴-ex ee x同理，令].1,0(0)(ex x f 可得≤'∴f (x )单调递增区间为),1[+∞e，单调递减区间为]1,0(e.由此可知.1)1()(min ee f x f y -===（2）()2xax x F +=' 当1-≥a 时，F （x ）在[]e ,1上单调递增，()23min =-=a x F ，[)∞∉-=∴,1-23a ，舍去；当e a -≤时，()x F 在[]e ,1单调递减， ()23)(min ==e F x F ， (]e ea -,2∞-∉-=∴舍去； 若()1,--∈e a ，()x F 在()a -,1单调递减，在()e a ,-单调递增，()()()231ln min =+-=-=∴a a F x F ，()1,--∈-=e e a . 综上所述：e a -=（3）由（I ）可知当0>b 时，有eb b e x f b f 1ln ,1)()(min -≥∴-=≥， 即111ln()ln()b e b e e ≥-=. 11()be b e∴≥.。