《2.3数学归纳法(2)》教学案

《2.2.3数学归纳法（2）》教学案
教学目标
知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；
过程与方法:通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；
情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．
教学重点:
体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．教学难点:
用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．
教具准备：
与教材内容相关的资料.
教学设想：
并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
教学过程:
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.
2.不完全归纳法：根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3.完全归纳法：把研究对象意义都考查到了而推出结论的归纳法叫做完全归纳法.又叫枚举法.
4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
5.数学归纳法的基本思想：先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，那么就可以递推出对所有小于n0的正整数命题都成立.
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
学生探究过程：数学归纳法公理；
用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n
-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++． 数学运用
例1．设*n N ∈， 1()5231n n f n -=+⨯+．
(1)当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；
(2)你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯；
当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯；
当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯；
当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．
(2)猜想：当*n N ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除．
①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立．
②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除，
那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+
111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++．
这里，5k 和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立．
根据(1)和(2)，可知命题对任何*n N ∈都成立．
变式：求证当n 取正奇数时，n n x y +能被x y +整除.
证明：(1)1n =时，11x y x y +=+，能被x y +整除，命题成立.
(2)假设n k = (k 为正奇数)时，有k k x y +能被x y +整除，
当2n k =+时，22222222k k k k k k k k x y x x y y x x y x y x y y +++=⋅+⋅=⋅+⋅-⋅+⋅ 2222()()()()()k k k k k k x y x y x y x y x y x y x y +--=+-+-
∵以上两项均能被x y +整除，∴22k k x y +++能被x y +整除，即当2n k =+时命题仍成立.
由(1)、(2)可知，对一切正奇数n ，都有n n x y +能被x y +整除．
例2．已知*1111(1,)23n S n n N n
=+++⋅⋅⋅+>∈，求证：212n n S >+*(2,)n n N ≥∈．
巩固练习：1. 证明对*n N ∈，111()11231
f n n n n =
++⋯>+++成立． 2．课本90P 练习1，2． 课外作业：课本91P 习题2.3第3，4，5，6，7题． 教学反思：。