7.4 递归、作用域复习和实例
递归算法及经典例题详解
递归算法及经典例题详解
1.什么是递归
递归简单来说就是在运行过程中不断调用自己，直到碰到终止条件，返回结果的过程。
递归可以看作两个过程，分别是递和归。
递就是原问题把要计算的结果传给子问题；归则是子问题求出结果后，把结果层层返回原问题的过程。
下面设一个需要经过三次递归的问题，为大家详细看一下递归的过程：当然，现实中我们遇到递归问题是不会按照图中一样一步一步想下来，主要还是要掌握递归的思想，找到每个问题中的规律。
2.什么时候使用递归
递归算法无外乎就是以下三点：1.大问题可以拆分为若干小问题2.原问题与子问题除数据规模不同，求解思路完全相同3.存在递归终止条件
而在实际面对递归问题时，我们还需要考虑第四点：
当不满足终止条件时，要如何缩小函数值并让其进入
下一层循环中
3.递归的实际运用（阶层计算）
了解了大概的思路，现在就要开始实战了。
下面我们来看一道经典例题：
求N的阶层。
首先按照思路分析是否可以使用递归算法：
1.N！可以拆分为（N-1）！*N
2.（N-1）！与N！只有数字规模不同，求解思路相同
3.当N=1时，结果为1，递归终止
满足条件，可以递归：
publicstaticintFactorial(int num){if(num==1){return num;}return num*Factorial(num-1);}
而最后的return，便是第四步，缩小参数num的值，让递归进入下一层。
一般来说，第四步往往是最难的，需要弄清该如何缩
小范围，如何操作返回的数值，这一步只能通过不断
地练习提高了（当然如果你知道问题的数学规律也是
可以试出来的）。
数据结构递归算法例子
数据结构递归算法例子数据结构中的递归算法是指一个函数在其定义中调用自身的过程。
递归算法在解决一些问题时非常有效，因为它可以将复杂的问题分解为更小的子问题来解决。
在本文中，我将列举一些常见的数据结构递归算法的例子，来帮助读者更好地理解递归的概念和应用。
1. 阶乘算法：计算一个正整数的阶乘。
阶乘的定义是n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
使用递归算法可以简洁地实现阶乘的计算，代码如下：```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)```2. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个数列，其中每个数字是前两个数字之和。
使用递归算法可以很容易地计算斐波那契数列的第n 个数字，代码如下：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```3. 二叉树遍历：二叉树是一种常见的数据结构，它包含一个根节点和每个节点最多有两个子节点。
使用递归算法可以实现二叉树的前序、中序和后序遍历。
下面是一个中序遍历的例子：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef inorderTraversal(root):if root:inorderTraversal(root.left)print(root.val)inorderTraversal(root.right)```4. 链表反转：链表是一种常见的数据结构，通过指针将一组节点连接在一起。
使用递归算法可以反转一个链表，即将链表的指针方向改变。
递归算法及经典递归例子代码实现
递归算法及经典递归例子代码实现递归算法是一种在函数体内调用函数本身的算法。
通过递归，问题可以被分解为规模更小的子问题，直到达到基本情况，然后将所有的子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的实现通常包含两个要素：基本情况和递归调用。
基本情况是指不能再进一步分解的情况，一般是针对问题的最小输入。
递归调用是指在解决子问题之后，将问题规模缩小，然后调用自身来解决更小规模的问题。
下面将介绍三个经典的递归例子，并给出相应的代码实现。
1.阶乘计算：阶乘是指从1到给定的数字n之间所有整数的乘积。
它是递归问题的经典例子之一```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n - 1)```在阶乘的递归实现中，基本情况是n等于0时，返回1、递归调用是将问题规模变为n-1，然后将得到的结果与n相乘。
通过递归调用，可以一直计算到n为1，然后将每个阶乘结果逐步合并返回，最终得到n的阶乘。
2.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后续的数字都是前两个数字之和。
```pythondef fib(n):if n <= 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fib(n - 1) + fib(n - 2)```在斐波那契数列的递归实现中，基本情况是n小于等于0时返回0，n等于1时返回1、递归调用是将问题规模分为两个子问题，分别计算n-1和n-2的斐波那契数，然后将两个子问题的结果相加返回。
通过递归调用，可以一直计算到n为0或1，然后将每个斐波那契数逐步合并返回，最终得到第n个斐波那契数。
3.二叉树遍历：二叉树遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。
```pythonclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightdef inorderTraversal(root):if root is None:return []else:return inorderTraversal(root.left) + [root.val] + inorderTraversal(root.right)```在二叉树的中序遍历的递归实现中，基本情况是判断当前节点是否为空，如果为空则返回一个空列表。
递归题型总结
递归题型总结全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：本文将对递归题型做一个总结，包括递归的基本原理、递归的模板，以及一些常见的递归题型，希望读者可以通过本文对递归有一个更全面的了解和掌握。
一、递归的基本原理递归是指在程序执行过程中调用自身的一种方法，递归的实现需要满足三个条件：递归调用、递归结束条件和递归返回值。
其中递归调用是指在问题规模不断缩小的情况下通过反复调用自身来解决问题，递归结束条件是指在问题规模缩小到一定程度时停止递归，递归返回值是指在递归结束时返回最终的结果。
在进行递归实现时，需要注意递归的层数和空间复杂度，由于递归会占用额外的栈空间，当递归层数过深时可能会导致栈溢出的问题，因此在设计递归算法时需要考虑到空间复杂度的问题，并尽可能避免递归层数过深。
二、递归的模板在解决递归问题时，通常需要依据递归的性质设计一个递归函数，一般而言递归函数的设计包括三个部分：递归结束条件、递归调用和递归返回值。
在设计递归函数时需要关注这三个部分，并尽可能让递归函数的结构清晰明了。
下面是一个递归的模板：def recursion(problem, param1, param2, ...):#递归结束条件if problem is None or problem is invalid:return some_value#递归调用sub_problem = split_problem(problem)result1 = recursion(sub_problem[0], param1, param2, ...)result2 = recursion(sub_problem[1], param1, param2, ...)#递归返回值return merge_result(result1, result2)三、常见的递归题型在面试或者算法学习中，递归题型的种类繁多，下面将介绍一些常见的递归题型及其解题思路。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归问题，其定义如下：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)斐波那契数列的递归实现非常简单，可以根据递归函数的模板直接实现：def fib(n):if n == 0:return 0if n == 1:return 1return fib(n-1) + fib(n-2)2. 汉诺塔汉诺塔问题是一个典型的递归问题，其问题描述如下：有三根柱子，第一根柱子上从下往上依次放着n 个盘子，盘子从上到下依次递增。
c语言中的递归
c语言中的递归递归是编程语言中常用的一种技术，它在C语言中也得到了广泛的应用。
递归可以理解为一种函数调用自身的方法，通过递归，我们可以简化一些问题的解决过程，提高代码的可读性和简洁性。
本文将探讨C语言中递归的基本概念、用法以及一些递归应用的实例。
一、递归的基本概念递归的本质是将原问题拆解为同类子问题，并且每个子问题的解决过程和原问题的解决过程相同。
递归函数可以通过调用自身来解决问题，每次调用的参数不断缩小，直到问题达到终止条件，递归函数开始回溯。
递归函数一般包括两个部分：基线条件和递归条件。
基线条件是递归终止的条件，递归条件是问题继续拆解的条件。
二、递归的用法递归函数在C语言中的使用非常简单。
首先，我们需要定义一个带有递归调用的函数。
在函数体内，我们需要判断基线条件，如果满足基线条件，则返回结果；如果不满足，则调用自身，并缩小参数范围，直到满足基线条件为止。
递归函数的调用过程类似于栈的操作，每次调用都将函数压入栈中，直到函数返回时再弹出栈顶元素。
三、递归的实际应用1. 阶乘函数阶乘函数是递归函数的一个典型示例。
阶乘函数可以定义为：n的阶乘等于n乘以(n-1)的阶乘。
在C语言中，可以通过递归实现阶乘函数，如下所示：```int factorial(int n) {if (n == 1) {return 1;} else {return n * factorial(n - 1);}}```2. 斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都等于前面两项的和。
在C语言中，可以通过递归实现斐波那契数列的计算，如下所示：```int fibonacci(int n) {if (n == 0) {return 0;} else if (n == 1) {return 1;} else {return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);}}```3. 文件夹遍历递归在文件夹遍历中也有广泛应用。
C语言的递归函数原理和应用场景
C语言的递归函数原理和应用场景递归是编程中一种强大而常用的技巧，尤其在C语言中，递归函数被广泛应用。
递归函数是指在函数体内调用函数本身的一种函数形式。
通过不断调用自身，递归函数能够解决一些需要重复执行的任务，使得代码更加简洁、易读、易于理解。
一、递归函数的原理递归函数的原理可以通过以下步骤来理解：1. 基本条件：递归函数中需要有一个基本条件，当满足这个条件时，递归函数将不再调用自身，结束递归。
2. 自调用：在递归函数体中，通过函数自身的调用来实现重复执行的效果。
3. 函数参数：递归函数在每次调用自身时，往往会传入不同的参数，这些参数可以决定递归的结束条件或下一次递归的运算逻辑。
4. 递归调用：递归函数在函数体内部通过调用自身来实现循环执行的效果。
二、递归函数的应用场景递归函数在编程中有许多实际应用场景，下面列举了一些常见的应用场景来说明递归函数的实用性。
1. 阶乘计算：递归函数可以非常方便地求解阶乘。
例如，对于n的阶乘可以表示为n! = n * (n-1)!，其中(n-1)!可以通过递归函数来计算。
2. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递归问题。
数列中的每个数都是前两个数的和，即fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)。
通过递归函数可以很容易地计算出斐波那契数列的值。
3. 文件系统遍历：递归函数可以用来遍历文件系统中的目录结构。
通过递归调用函数来进入子目录，逐层遍历文件和文件夹，实现对整个文件系统的扫描。
4. 数据结构操作：递归函数也可以用于对各种数据结构的操作。
比如，针对树形结构的遍历、查找等操作，递归函数能够更加简洁地实现。
5. 图算法：在图算法中，递归函数常用于深度优先搜索（DFS）的实现。
通过递归调用函数，可以遍历图的各个节点，查找目标节点，或者找到所有可能的路径。
总结：递归函数是一种基于函数自身调用的编程技巧，通过重复调用自身，递归函数能够解决一些需要重复执行的任务。
递归的经典例子
递归的经典例子
1. 算数学题的时候啊，像计算一个数的阶乘，这就是一个递归的经典例子呀！比如说计算 5 的阶乘，不就是 5 乘以 4 的阶乘嘛，而 4 的阶乘又等于 4 乘以 3 的阶乘，依次类推，这多有意思啊！
2. 还有走迷宫呢，你想想，当你在迷宫里遇到岔口，你选择一条路走，然后又遇到岔口，又继续选择，这不就跟递归很像嘛！你不断地进入更小的问题去探索，直到找到出口，这难道不是很神奇吗？
3. 画树也可以用递归呀！先画一个树干，然后树干上又分出树枝，每个树枝又可以当作新的树干去继续分树枝，这不就跟递归的过程一样嘛，哇塞，这样就能画出一棵复杂又漂亮的树啦！
4. 你知道汉诺塔游戏不？那就是典型的递归例子哟！要把盘子从一个柱子移到另一个柱子，不就得不断地用递归的方法去解决嘛，天啊，真是好烧脑又好有趣！
5. 再来说说我们电脑里的文件系统，那也是递归的体现呀！文件夹里有子文件夹，子文件夹里还有子文件夹，就这么一层层下去，像不像递归在大展身手呢？
6. 回忆一下我们看电影的时候，很多故事里不是也有类似递归的情节嘛！主角解决一个问题又引出新的问题，然后一直这么循环，这也可以说是一种故事里的递归呀，多有意思的发现呀！
总之，递归在生活中无处不在，它就像一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门，给我们带来惊喜和挑战！。
C语言递归函数递归的原理和应用场景
C语言递归函数递归的原理和应用场景递归函数是指在函数的定义中调用函数本身的一种方式。
通过递归函数，可以实现对问题的逐级拆分与求解，便于理解和编码。
本文将介绍C语言递归函数的原理和一些常见的应用场景。
一、递归函数的原理递归函数的原理基于分治法，将原问题不断分解为更小规模的子问题，直到满足某个递归终止条件，然后通过逐级返回求解出整个问题。
递归函数通常具有以下结构：1. 基线条件（递归终止条件）：判断是否满足递归的结束条件，当满足条件时，递归不再继续，直接返回结果。
2. 递归条件：由于递归是调用函数本身，需要满足某个条件时才执行递归调用，将问题规模缩小一步，继续求解更小规模的子问题。
3. 递归调用：在函数体内部直接调用函数本身，将问题规模不断缩小，直到满足基线条件。
二、递归函数的应用场景1. 阶乘计算：阶乘是指对于非负整数n，将其与前面所有的正整数相乘。
使用递归函数可以轻松实现阶乘的计算。
例如，计算n的阶乘可以通过函数调用factorial(n)来实现，其中factorial(n)表示计算n的阶乘。
```c#include <stdio.h>int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return 1; // 基线条件} else {return n * factorial(n - 1); // 递归调用}}int main() {int n = 5;int result = factorial(n);printf("%d的阶乘为：%d\n", n, result);return 0;}```2. 斐波那契数列：斐波那契数列是指前两个数为1，之后的每个数都是前两个数之和。
递归函数可以简洁地实现斐波那契数列的计算。
例如，计算斐波那契数列的第n个数可以通过函数调用fibonacci(n)来实现，其中fibonacci(n)表示计算第n个斐波那契数。
生活中递归的例子
生活中递归的例子递归是一种重要的编程思想，也是生活中常见的现象。
递归是指在解决问题时，将问题分解为更小的子问题，并通过递归调用自身来解决问题的过程。
在生活中，我们也可以找到很多递归的例子，下面就来列举一些。
1. 数学中的阶乘阶乘是指从1到n的所有正整数相乘的结果，用n!表示。
例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
阶乘的计算可以通过递归实现，即n! = n × (n-1)!，当n=1时，(n-1)! = 1。
2. 树形结构树形结构是一种递归的数据结构，它由节点和边组成，每个节点可以有多个子节点。
树形结构的遍历也可以通过递归实现，例如先序遍历、中序遍历和后序遍历。
3. 文件夹的遍历在计算机中，文件夹也是一种树形结构，可以通过递归遍历文件夹中的所有文件和子文件夹。
例如，遍历一个文件夹中的所有文件可以通过递归实现，如果遇到子文件夹，则递归进入子文件夹进行遍历。
4. 数组的排序排序算法中的快速排序和归并排序都是基于递归实现的。
快速排序通过递归将数组分成两个子数组，然后对子数组进行排序；归并排序通过递归将数组分成两个子数组，然后将两个有序子数组合并成一个有序数组。
5. 斐波那契数列斐波那契数列是指前两个数为1，后面的每个数都是前面两个数之和的数列。
例如，1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……斐波那契数列的计算也可以通过递归实现，即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，当n=1或n=2时，f(n) = 1。
6. 递归函数的调用在编程中，递归函数的调用也是一种递归的过程。
当函数调用自身时，就形成了递归。
例如，计算n的阶乘可以通过递归函数实现，即factorial(n) = n * factorial(n-1)，当n=1时，factorial(n) = 1。
7. 数字的反转将一个整数的各位数字反转，可以通过递归实现。
递归的用法
递归的用法递归是一种编程技巧，它允许函数在其定义中调用自身。
递归的用法广泛且强大，能够解决许多复杂问题。
在理解递归的用法时，我们首先要明白其基本概念和适用场景。
递归的基本思想是将一个复杂问题分解为两个或多个相同或相似的子问题，直到子问题变得足够简单，可以直接解决。
然后，通过组合这些简单问题的解，我们可以得到原始复杂问题的解。
递归的用法在多种场合下都非常有用。
以下是一些常见的递归应用场景：阶乘计算：阶乘是递归的经典示例之一。
n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘，直到n为1时停止递归。
这种递归定义非常直观，并且很容易用代码实现。
斐波那契数列：斐波那契数列是另一个递归的经典示例。
每个数字是前两个数字的和，可以通过递归函数轻松计算。
树形结构遍历：在数据结构中，树形结构（如二叉树）的遍历（前序、中序、后序遍历）经常使用递归实现。
通过递归调用，我们可以轻松遍历整个树形结构。
深度优先搜索（DFS）：在图形算法中，深度优先搜索是一种常用的搜索算法，它通过递归的方式访问图形的顶点。
解析表达式：在编译器设计中，解析表达式（如算术表达式或逻辑表达式）通常使用递归实现。
通过递归调用，我们可以轻松地解析复杂的嵌套表达式。
除了以上几个例子外，递归还在许多其他领域得到应用，如动态规划、分治算法等。
然而，需要注意的是，递归虽然强大，但也可能导致性能问题，特别是在处理大规模数据时。
因此，在使用递归时，我们需要仔细考虑其适用性和性能影响。
总之，递归是一种非常有用的编程技巧，能够解决许多复杂问题。
通过理解递归的基本思想和适用场景，我们可以更好地利用这一工具，编写出更高效、更简洁的代码。
c语言递归算法经典实例
c语言递归算法经典实例递归算法是计算机科学中的重要概念，也是C语言编程中常用的技术手段之一。
它可以用于解决各种问题，包括数学、图形、排序、搜索等领域。
在本文中，我们将以中括号内的内容为主题，详细介绍C语言递归算法的经典实例，并逐步回答一些相关问题。
首先，让我们从递归算法的定义开始。
递归算法是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。
在使用递归算法时，我们首先解决最小的问题，然后逐步解决更大的问题，直到最终解决整个问题。
这种分而治之的思想是递归算法的核心。
接下来，让我们以斐波那契数列为例，详细介绍递归算法的应用。
斐波那契数列是一个经典的数学问题，其中每个数字都是前两个数字之和。
例如，序列的前几个数是1、1、2、3、5、8、...。
我们可以使用递归算法来计算斐波那契数列中的任意项。
首先，我们定义一个函数fibonacci，用来计算斐波那契数列中的第n项。
函数的定义如下：cint fibonacci(int n) {if (n <= 1) {return n;} else {return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);}}在这个函数中，我们首先检查n是否小于或等于1。
如果小于或等于1，则直接返回n作为结果。
否则，我们通过递归调用fibonacci函数来计算n-1和n-2两个子问题的解，然后将它们相加。
接下来，让我们回答第一个问题：如何使用递归算法计算斐波那契数列的第n项？我们可以通过调用fibonacci函数来计算斐波那契数列中的第n项。
例如，要计算第10项的值，我们可以使用以下代码：cint result = fibonacci(10);printf("第10项的值是：d\n", result);这将打印出“第10项的值是：55”，因为斐波那契数列的第10项是55。
接下来，让我们回答第二个问题：递归算法如何工作？当我们调用fibonacci函数时，它会检查传递给它的参数n的值。
递归的运用
递归的运用递归是一种重要的编程技巧，它在很多算法和数据结构中被广泛应用。
递归是指一个函数在执行过程中调用自身的过程，通过不断地调用自身来解决问题。
递归函数通常具有终止条件和递归条件两部分。
递归的运用可以大大简化编程的复杂性，使代码更加清晰和易于理解。
下面我将通过几个具体的例子来介绍递归的运用。
我们来看一个经典的递归例子：计算斐波那契数列。
斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都是前两项的和。
我们可以使用递归来计算斐波那契数列的第n项。
代码如下：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在这个例子中，递归函数`fibonacci`接收一个整数参数n，并返回斐波那契数列的第n项。
当n小于等于1时，递归函数返回n；否则，递归函数返回前两项的和。
通过不断地调用自身，我们可以计算出斐波那契数列的任意一项。
接下来，我们来看一个经典的递归例子：计算阶乘。
阶乘是指从1到n的所有正整数的乘积。
我们可以使用递归来计算阶乘的值。
代码如下：```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)```在这个例子中，递归函数`factorial`接收一个整数参数n，并返回n的阶乘。
当n等于0时，递归函数返回1；否则，递归函数返回n 乘以前一个数的阶乘。
通过不断地调用自身，我们可以计算出任意整数的阶乘。
除了数学计算，递归还可以用来解决其他类型的问题。
例如，我们可以使用递归来遍历树的所有节点。
树是一种常见的数据结构，它由一个根节点和若干个子节点组成。
通过递归遍历树的所有节点，我们可以对树进行深度优先搜索或广度优先搜索。
代码如下：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, value):self.value = valueself.left = Noneself.right = Nonedef traverse_tree(node):if node is not None:print(node.value)traverse_tree(node.left)traverse_tree(node.right)```在这个例子中，我们定义了一个树节点类`TreeNode`，每个节点包含一个值和左右子节点。
离散数学递归逻辑表达式应用举例
离散数学递归逻辑表达式应用举例离散数学是一门基础学科，它在计算机科学、数学、逻辑学等领域中起着重要的作用。
在离散数学中，递归和逻辑表达式是两个常见的概念。
本文将通过一些实例来说明离散数学中递归逻辑表达式的应用。
1. 递归的定义递归是指在函数或程序中调用自身的过程。
在离散数学中，递归是通过基础情况和递推关系来定义的。
基础情况是递归停止的条件，而递推关系是指通过已知的递归结果来计算下一步的递归结果。
例如，斐波那契数列是一个经典的递归序列。
它的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)在斐波那契数列中，基础情况是F(0)和F(1)，递推关系是F(n) =F(n-1) + F(n-2)。
通过这个递推关系，我们可以计算出任意位置的斐波那契数列的值。
2. 递归的应用递归在编程中有着广泛的应用。
它可以有效地解决一些问题，并且代码简洁明了。
以下是几个使用递归的经典问题：2.1 阶乘阶乘是指给定一个正整数n，计算n的阶乘的值。
阶乘的定义如下：n! = 1 (n = 0)n! = n * (n-1)! (n > 0)通过递归的方式，可以很容易地计算阶乘。
下面是一个递归函数的示例：def factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)2.2 数组求和给定一个整数数组，求所有元素的和。
可以通过递归的方式来解决这个问题。
递归的思路是将数组分为两部分，然后分别求出两部分的和，最后将两部分的和相加。
下面是一个递归函数的示例：def sum_array(arr):if len(arr) == 0:return 0else:return arr[0] + sum_array(arr[1:])3. 逻辑表达式的应用逻辑表达式在离散数学中起着重要的作用。
它可以用来描述条件和关系，以及进行逻辑推理和证明。
c语言 递归函数 示例 -回复
c语言递归函数示例-回复[示例：C语言递归函数]递归函数在计算机编程中起着重要的作用，其具备自调用的特性，能够解决一些问题，简化程序的编写，提高代码的重用性。
本文将以C语言为例，详细介绍递归函数的定义、特性、使用方法以及递归算法的分析和实例。
一、递归函数的定义和特性递归函数是指在函数体内部调用自身函数的函数。
其定义如下：C返回值类型函数名(参数列表){函数体函数名(参数列表); 函数调用语句其他执行语句}递归函数具有以下特性：1. 自调用特性：在函数体内部，通过函数名调用本身函数，实现了函数体的重复执行。
2. 递归跳出条件：为了避免函数陷入死循环，递归函数必须设定一个跳出条件，当满足条件时，不再调用自身函数。
3. 数据传递：递归函数通过参数列表进行数据的传递，保证每次调用都是基于前一次调用的结果进行计算。
4. 堆栈操作：每次函数调用都会在内存中开辟一个新的栈帧，用来存储函数的局部变量、返回地址等信息，函数调用结束后，栈帧会被释放。
二、递归函数的使用方法递归函数的使用方法包括函数的定义、调用以及跳出条件的设置。
1. 函数定义：与普通函数定义类似，只是在函数体内部进行函数的自调用。
C返回值类型函数名(参数列表){跳出条件设置if (满足跳出条件){return 结果;}函数调用语句函数名(参数列表);其他执行语句}2. 函数调用：递归函数在函数体内部通过函数名调用本身函数，实现了函数体的重复执行。
C函数名(参数列表);3. 跳出条件设置：为了避免函数陷入死循环，递归函数必须设定一个跳出条件，当满足条件时，返回结果并结束函数调用。
Cif (满足跳出条件){return 结果;}三、递归算法的分析和实例递归函数在解决一些问题时具有简洁、直观、高效的特点。
下面通过一些经典的递归算法来详细说明递归函数的应用。
1. 阶乘函数阶乘函数是指对于正整数n，定义n的阶乘为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
递归例子大全（持续更新）
递归例⼦⼤全（持续更新）前⾔ 递归这个⿁东西，明明知道他的意思，但每次都总不能理顺它，⼀直懵懵懂懂，所以，我准备找⼀⼤堆例⼦去练熟理解。
这⾥准备的都是PHP代码例⼦~概念 先说说递归的概念。
什么是递归，其实上过⾼中的估计都有了解过，简单来说，递归就是调⽤⾃⾝。
在数学与计算机科学中，递归(Recursion)是指在函数的定义中使⽤函数⾃⾝的⽅法。
实际上，递归，顾名思义，其包含了两个意思：递和归，这正是递归思想的精华所在。
递归就是有去（递去）有回（归来），如下图所⽰。
“有去”是指：递归问题必须可以分解为若⼲个规模较⼩，与原问题形式相同的⼦问题，这些⼦问题可以⽤相同的解题思路来解决，就像上⾯例⼦中的钥匙可以打开后⾯所有门上的锁⼀样；“有回”是指 : 这些问题的演化过程是⼀个从⼤到⼩，由近及远的过程，并且会有⼀个明确的终点(临界点)，⼀旦到达了这个临界点，就不⽤再往更⼩、更远的地⽅⾛下去。
最后，从这个临界点开始，原路返回到原点，原问题解决。
递归三要素： 1、明确递归终⽌条件； 2、给出递归终⽌时的处理办法； 3、提取重复的逻辑，缩⼩问题规模。
··························································好了，废话就不多少了，上例⼦熟悉····························································例⼦function test ($n){echo$n." ";if($n>0){test($n-1);}else{echo "";}echo$n." ";}test(2);输出：2 1 0 0 1 2解析： 递去： 执⾏test(2) n = 2; 输出：2; n > 0 输出：（空格）执⾏test(n – 1) 执⾏test(1) n = 1; 输出：1; n > 0 输出：（空格）执⾏test(n – 1) 执⾏test(0) n = 0; 输出：0; n < 0 输出：（空格） 停⽌ 归来： 输出：0 输出：1 输出：2。
递归和尾递归 (图解+实例)
1 如果 n=0,n=1f(n)=nf(n) 如果 n>1图1：以递归的方式计算4的阶乘上图（1）展示了利用递归计算4！的过程。
它也说明了递归过程中的两个基本阶段：递推和回归。
在递推阶段，每一个递归调用通过进一步调用自己来记住这次递归过程。
当其中有调用满足终止条件时，递推结束。
比如，在计算n!时，终止条件是当n=1和n=0，此时函数只需简单的返回1即可。
每一个递归函数都必须拥有至少一个终止条件；否则递推阶段永远不会结束了。
一旦递推阶段结束，处理过程就进入回归阶段，在这之前的函数调用以逆序的方式回归，直到最初调用的函数为止，此时递归过程结束。
以递归的方式计算n的阶乘的函数实现：C函数fact的工作方式如下：它接受一个整数n作为参数，如果n小于0，该函数直接返回0，这代表一个错误。
如果n等于0或1，该函数返回1，这是因为0!和1!都等于1，以上是终止递归的条件。
否则，函数返回n-1的阶乘的n倍。
而n-1的阶乘又会以递归的方式再次调用fact来计算，如此继续。
代码实例（1）：fact.c1/*fact.c*/2#include "fact.h"3int fact(int n){4if (n<0)5return0;6else if(n==0)7return1;8else if(n==1)9return1;10else11return n*f(n-1);12}为理解递归究竟是如何工作的，有必要先看看C语言中函数的执行方式。
我们先来看看C程序在内存中的组织方式（见图2-a）。
基本上，一个可执行程序由4个区域组成：代码段、静态数据区、堆与栈。
代码段包含程序运行时所执行的机器指令。
静态数据区包含在程序生命周期内一直持久的数据，比如全局变量和静态局部变量。
堆包含程序运行时动态分配的存储空间，比如malloc分配的内存。
栈包含函数调用的信息。
当C中调用了一个函数时，栈中会分配一块空间来保存与这个调用相关的信息。
递归方法总结和案例分享
递归⽅法总结和案例分享
递归：⽅法本⾝嵌套着本⾝的⽅法。
⼀般⽤于解决三类问题：
(1)数据的定义是按递归定义的。
（Fibonacci）
(2)问题解法按实现。
（回溯）
(3)数据的结构形式是按递归定义的。
（，图的搜索）
递归的缺点：
解题相对常⽤的算法如普通循环等，运⾏效率较低。
因此，应该尽量避免使⽤递归，除⾮没有更好的或者某种特定情况，递归更为适合的时候。
在的过程当中系统为每⼀层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成等。
案例分享：
1.斐波那契数列（即1,1,2,3,5,8,13,21......第n个数的和）
public int sums(int n)
{
if(n==1||n==0)
return n;
else
return (sums(n-1)+sums(n-2));
}
2.递归⽅法实现n阶乘
public int multiply(int a)
{
if(a=)
return a*multiply(a-1)
}
3.TreeView运⽤，
4.求两个数最⼤公约数，等等........。
7.3递归与变量作用域
例： Dim n% Private Sub Form_Load() n= 10 End Sub Private Sub From_Click() Print “n=“;n End Sub
n= 10
程序运行后单击窗体，其输出结果是什么？
Option Explicit
35 35
同名变量
Private Sub Form_Click() Dim a As Integer, b As Integer a = 1: b = 2 Call proc1(a, b) 0 Print a, b 0 End Sub
0
0
Private Sub proc1(c As Integer, d As Integer) Dim a As Integer, b As Integer c = a + b: d = a - b Print c, d End Sub
Fact(2) If N = 1then Fact = 1 Else Fact = 2 * Fact(2-1) End If End Function
Fact(3) If N = 1then Fact = 1 Else Fact = 3 * Fact(3-1) End If End Function
7.6
变量的作用域
变量的作用域
“变量的作用域”指的是变量的“有效范围”或 “作用范围”。只有在该范围内，变量才有意义。 根据说明变量的语句及说明位置，变量可分为：
过程级变量（局部变量）
模块级变量
全局变量
7.6.1
过程级变量
在过程中声明的变量是过程级的变量。
Private Function Local_Variable(N As Integer) As Integer Dim X As Integer, Y As Integer, Z As Integer X = N * 3 Y = X + 4 Z = X + Y Local_Variable = X + Y – Z End Function
离散数学中递归逻辑表达式举例
离散数学中递归逻辑表达式举例离散数学是数学的一个分支，它研究离散对象和离散结构的数学理论。
其中，递归逻辑表达式是该领域中非常重要的一个概念。
本文将通过一些具体的例子来说明递归逻辑表达式的概念和应用。
在离散数学中，递归逻辑表达式是指包含自身的表达式。
递归逻辑表达式可以通过递归的方式定义，这种定义方式可以方便地用来描述复杂的逻辑关系。
下面我们通过几个例子来具体说明递归逻辑表达式的应用。
例子一：阶乘函数我们知道，对于非负整数n，可以用阶乘函数表示为n!，n!的定义如下:n! = n * (n-1)!这就是一个典型的递归逻辑表达式。
根据这个表达式，我们可以计算出任意非负整数的阶乘值。
例子二：斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，它的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中n>1根据这个定义，我们可以使用递归逻辑表达式来计算斐波那契数列中的任意项。
例如，要计算第n项的值，只需要利用递归表达式F(n) = F(n-1) + F(n-2)即可。
例子三：布尔逻辑运算在离散数学中，布尔逻辑是一种通过逻辑运算符来表示真值的逻辑系统。
逻辑运算符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
我们可以利用递归逻辑表达式来定义布尔逻辑的运算。
例如，我们可以通过以下递归逻辑表达式来定义布尔逻辑中的与运算：AND(x, y) = {true，若x和y都为truefalse，若x和y至少一个为falseAND(x', y')，其他情况}其中，x'和y'分别表示x和y的部分取值。
例子四：推理规则在离散数学中，推理规则是一种基本的逻辑推导方法。
我们可以通过递归逻辑表达式来定义推理规则。
例如，假设我们有一个推理规则R，它的定义如下：若条件C满足，且P为真，则结论Q为真。
并且我们可以继续应用规则R进行推理。
根据这个定义，我们可以使用递归逻辑表达式来表示规则R的应用。
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不能
不能
能，但过程名必须 能，但必须在过 唯一，否则需要加 程名前加窗体名。 标准模块名。例： 例：Call 窗体名. Call 标准模块 My1（实参表） 名.My2（实参表）
2、变量的作用域
作用范围 局部变量 窗体/模块级变量 全局变量 窗体 标准模块
声明方式
声明位置
Dim/Static Dim、Private
35 35
同名变量
Private Sub Form_Click() Dim a As Integer, b As Integer a = 1: b = 2 Call proc1(a, b) 0 Print a, b 0 End Sub
0
0
Private Sub proc1(c As Integer, d As Integer) Dim a As Integer, b As Integer c = a + b: d = a - b Print c, d End Sub
执行下面程序，单击窗体后，窗体上的第一行内容是（ ）， 第二行内容是（ ），最后一行内容是（ ）。 （03秋）
Option Explicit Private Sub Form_Click() Dim N As Integer, M As Integer, Lcm As Integer N=9 M = 27 Lcm = Recursion(N, M) Print "Lcm="; Lcm End Sub
Dim a As Integer, b As Integer Private Sub Form_Click() a = 1: b = 2 Call proc1(a, b) 3 Print a, b 3 End Sub
1 1
Private Sub proc1(c As Integer, d As Integer) c = a + b: d = a - b Print c, d End Sub
其作用范围是整个模块，即模块内的所有过程 都可引用。
例： Dim n% Private Sub Form_Load() n= 10 End Sub Private Sub From_Click() Print “n=“;n End Sub
n= 10
程序运行后单击窗体，其输出结果是什么？
Option Explicit
Dim x As Integer, y As Integer Private Sub Command1_Click() Dim a As Integer, b As Integer a=5 10 6 b=3 Call sub1(a, b) 10 -6 Print a, b 5 4 Print x, y 10 -6 End Sub
１.分析程序运行后多次单击窗体的输出结果： ２.要记录单击窗体次数，如何实现？
Static n as integer
Option Explicit Private Sub Command1_Click() Dim K As Integer K=5 静态变量初值Sta= 0 Call Static_Variable(K) 第一次调用：K = 10 Debug.Print "第一次调用：K ="; K K=5 静态变量初值Sta= 5 Call Static_Variable(K) 第二次调用：K = 15 Debug.Print "第二次调用：K ="; K End Sub Private Sub Static_Variable(ByRef N As Integer) Static Sta As Integer ’改成dim之后的结果又如何呢？ Debug.Print “静态变量初值Sta=”;Sta Sta = N + Sta N = Sta + N End Sub
Private Function Recursion(A As Integer, B As Integer) As Integer Static k As Integer k=k+1 If A Mod B = 0 Then Recursion = A Else Recursion = Recursion(A + A / k, B) End If Print A, k k=0 End Function
例子
• 教材P147
• 全局变量的缺点：容易造成错误
7.6.4
同名变量
1、不同作用域的变量可以同名。
2、引用在不同模块中说明的同名全局变量时，
可通过在变量名前增加<模块名.>来加以区分；
3、如果过程级变量与模块级或全局变量同名，
在过程执行时，则使用过程级变量。（县官不如
现管、天高皇帝远）
Option Explicit Public X As Integer, Y As Integer, Z As Integer Private Sub Form_Activate() Conflict_X Debug.Print "X,Y 和 Z 是", X, Y, Z End Sub Private Sub Form_Load() X = 10 : Y = 20 : Z = 35 End Sub 135 20 Private Sub Conflict_X() 10 20 Dim X As Integer X = 135 Debug.Print "X,Y 和 Z 是", X, Y, Z End Sub
23
47
Private Sub Command1_Click() fun 3 End Sub Public Function fun(m As Integer) As Integer Dim value As Integer If m = 0 Then value = 3 0 3 Else 1 8 value = fun(m - 1) + 5 End If 2 13 fun = value 3 18 Print m, value End Function
在过程中
Public
窗体/模块的“通 窗体/模块的“通 用声明”段 用声明”段 能 能 能，但在 变量名前 能 加窗体名
7.6
变量的作用域
变量的作用域
“变量的作用域”指的是变量的“有效范围”或 “作用范围”。只有在该范围内，变量才有意义。 根据说明变量的语句及说明位置，变量可分为：
过程级变量（局部变量）
模块级变量
全局变量
7.6.1
过程级变量
在过程中声明的变量是过程级的变量。
Private Function Local_Variable(N As Integer) As Integer Dim X As Integer, Y As Integer, Z As Integer X = N * 3 Y = X + 4 Z = X + Y Local_Variable = X + Y – Z End Function
3 2 1
递归真题实例
Option Explicit Private Sub Form_Click() Dim a As Integer a = 2: Call sub1(a) End Sub Private Sub sub1(x As Integer) x=x*2+1 If x < 10 Then Call sub1(x) End If x = x * 2 + 1: Print x End Sub
Dim TestString As String Private Sub Form_ Activate ()
Debug.Print "在Form_Activate 事件过程中"; TestString
Call ShowTestString End Sub Private Sub Form_Load() TestString = "测试变量作用域"
Private Sub From_Click() Dim n% Print “n=“;n End Sub
n＝ 0
程序运行后单击窗体，பைடு நூலகம்输出结果是什么？
7.6.2
模块级变量
“模块级变量”是指在模块的通用部分用Dim或 Private语句说明的变量。
Private s As String Dim a As Integer
程序每次调用此函数，vb都为局部变量x，y，z分配 空间。当函数运行结束，vb会释放分配给它们的空间，局
部变量便不再存在了。
因为局部变量只在声明它们的过程中才能被访问或改 变该变量的值，别的过程不可访问。所以可以在不同的过 程中声明相同名字的局部变量而互不影响。
例： Private Sub Form_Load() Dim n% n= 10 End Sub
Public Function fun1(a As Integer, b As Integer) As Integer
x=a+b y=a-b Print x, y fun1 = x + y
End Function Public Sub sub1(ByVal m As Integer, n As Integer) Dim x As Integer, y As Integer x = m + n： y = m – n： m = fun1(x, y)： n = fun1(y, x) 自行分析教材p172作业4（4）
总结：变量、过程的作用域
1、过程的作用域
作用范围 定义方式 能否被本 模块其他 过程调用 模块级 窗体 标准模块 窗体 全局级 标准模块
过程名前加Private 例：Private Sub my1（形参表）
过程名前加Pubilc或默认 例：[ Pubilc ] Sub my2（形参表）
能