深圳市2020.1 罗湖高三理数_试题
深圳市罗湖区2020解高三数学(理)上学期期末检测试题卷
p
，k
．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
16．如右图，平面四边形 ABCD 中 ABD 的面积是 CBD 面积的两倍，数
列an 满足a1 1， a2 5 ，当 n 2 时，恒有 BD an 2an1 BA
an1 3an BC ，则数列an 的前 6 项和为
s 90 1%
90 s 144 2%
s 144 4%
参考数据： ln 2 0.69, ln 3 1.10 , ln17 2.83, ln19 2.94 ， 2 1.41, 3 1.73,
参考公式：相关指数 R2
1
n
(
i 1
yi
n
(
i 1
yi
yi
绝密★启用前
试卷类型：A
2019-2020学年度第一学期期末质量检测
高三理科数学试题
2020.1
本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填写在答题卡上． 2．作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 皮檫干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的 指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
根据散点图选择 y a bx 和 y c d ln x 两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方
程分别为 y 6.9057 0.0195x 和 y 6.8639 0.1012 ln x ，并得到以下一些统计量的值：
y 6.9057 0.0195x
2020年深圳市高三一模理科数学试卷(含答案及解析)
2020年广东深圳高三一模理科数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分。
）1. A.B.C.D.已知集合，，则（ ）．2. A.B.C.D.设，则的虚部为（ ）．3. A.B.C.D.某工厂生产的个零件编号为，，，，，现利用如下随机数表从中抽取个进行检测．若从表中第行第列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第个零件编号为（ ）．4. A.B.C.D.记为等差数列的前项和，若，，则为（ ）．5. A.B.C. D.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）．6. A.B.C.D.已知，则（ ）．7.A.B.C.D.的展开式中的系数为（ ）．8. A.B.C. D.函数的图像大致为（ ）．9. A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（ ）．10.A.B.C.D.已知动点在以，，为焦点的椭圆 ，动点在以为圆心，半径长为的圆上，则的最大值为（ ）．11.A.B.C.D.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则（ ）．12.A.B. C. D.已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
）13.若，满足约束条件，则的最小值为 ．14.设数列的前项和为，若，则 ．15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是的概率为 ．16.已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线：相切，则的最大值为 ．三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共计60分。
2020届广东省深圳市罗湖区高三上期末理科数学试卷参考答案及评分细则
2019-2020学年第一学期期末质量检测理科数学评分细则与参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 24y x =-； 14. 0.88； 15. p =2，（2分）k =（3分）; 16. 1818.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分) 解：（1）2222sin a c b ac C +=+………………………………………… …………2分………… …………4分………… ……………………6分ABC ∆的面积sin 22S bc A ==,又4A =，所以bc =…………………… …8分 由正弦定理sinA sin sin a b c B C ==，sin sin ,sin sin a B a C b c A A== 所以22222sin sin 52sin sin 2sin cos sin sin 88884a B C bc a a a A πππππ=====， ………… …10分 所以28a =，a =． …………………… ……………………………… ……………………12分 18．(12分）解：(1) 由题意,又AB=2，所以AE ⊥BE ，又平面PEB平面ABED EB =,且平面PEB ⊥平面ABED ,所以AE ⊥平面PEB ， (2)分 故AE ⊥PB,又PB ⊥PE,且AEPE=E,所以PB ⊥平面PEA ． (4)分 （2）以BE 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别做AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴的方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． …………………………………………5分则31,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P ⎛ ⎝⎭， ……………………………………6分 设()111,,x y z =n 为平面ADP 的法向量，则有则00AD AP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n，即11110310222y x y =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取,0,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭n =，……………………………… 8分 设()222,,x y z =m 为平面AEP 的法向量，则有则00AE AP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩m m，即222220310222x y x y z --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取(1,=-m ，…………………………… 10分 所以cos ,m n =|∙n m |n ||m=11． 则二面角D PA E --. ………………………………………………………… 12分19．(12分）解：(1)由题意2222ab c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得224,1a b ==, 所以椭圆的方程2214x y += ……………………………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程设为12y x t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，……………………………………… 5分 联立221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得 2224440x tx t ++-= ……………………………………… 6分 则有212122,22x x t x x t +=-=- ………………………………………7分且()22168440t t t =-->⇒<<又1112y x t =+，2212y x t =+， ()2212121212111122422t t y y x t x t x x x x t -⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1212122y y x x t t +=++= …………………………………………………………… 8分 由AB 为直径的圆过点71(,)66P -,得0,PA PB ⋅=……………………………………………………9分 所以，1212771106666x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得()()12121212749110636636x x x x y y y y -++++++= 所以()22271125422200626189t t t t t t ---⨯-+++=+-=，则 ……………………………… 10分 解得1214,33t t ==-，又4133<-<< 所以直线l 的方程为1123y x =+或1423y x =- …………………………………………………… 12分20．(12分）（1）证明：方法1：若1a =，则[]2()1sin ,0,f x x x x π=+-∈又211x +≥，0sin 1x ≤≤，故0sin 1x ≥-≥-，所以21sin 0x x +-≥，……………………………2分又(0)1f =， 2ππ()=24f ，2(π)=π+1f ，当ππ(0)(,π)22x ∈⋃，时，1sin 0x -<-<， 所以21sin 0x x +->恒成立，所以当1a =时，函数()f x 在区间[]0,π没有零点．…………………………………………………… 4分方法2：若1a =，则[]2()1sin ,0,f x x x x π=+-∈[]()2cos ,0,f x x x x π'=-∈ ，()2sin 0f x x ''=+≥，故函数()f x '递增，又(0)10f '=-<，()210f ππ'=+>，所以()f x '在[]0,π有一个零点，设为0x ，所以在区间[)00,x 上，函数()f x 递减，在区间(]0x π，上，函数()f x 递增，故2000()()1sin f x f x x x ≥=+-又000()2cos 0f x x x '=-=，得00cos 2x x =， ………………………………………2分 所以2200000cos sin 5()()1sin sin 444x x f x f x x x ≥=+-=--，又01sin 0x ≥≥， 所以200sin 5sin 044x x --≥，当且仅当0sin 1x =，即02x π=时等号成立， 又当02x π=时00cos 2x x ≠，即02x π≠，故0()()0f x f x ≥>， 所以当1a =时，证明：函数()f x 在区间[]0,π没有零点．………………………………………… 4分（2）解： []()2cos ,0,f x x a x x π'=-∈，故2cos sin 0x a x a x a -++≤，设()2cos sin g x x a x a x a =-++，[]0,x π∈， …………………………………………… 6分 由(0)00g =≤，()220g a a πππ=+≤⇒≤-，()2sin cos 24g x a x a x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭ ……………………………………………… 8分 由a π≤-，得0a <，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()g x '单调减，2(0)()()24a g g x g π'''+=≥≥=+在区间,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()g x '2()()()24g g x g a ππ'''+=≤≤=-又a π≤-，所以(0)20g a '=+<，()204g π'=+<，()20g a π'=->………………………10分故()g x ' 在区间,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点区间0x ，由()g x '的单调性可知， 在区间[]00,x 上()0g x '≤，()g x 单调减，在区间(]0,x π上()0g x '≥，()g x 单调增，()(0)0()()0g x g g x g π≤=⎧⎨≤≤⎩，故a π≤-． ……………………………………………… 12分21．(12分）解: (1)设模型 6.90570.0195y x ∧=+和 6.86390.1012ln y x ∧=+的相关指数分别是21R 和22R , 则210.01485570.0619319R =-,220.00487810.0619319R =-, 因为0.0148557>0.0048781,所以21R <22R所以模型 6.86390.1012ln y x ∧=+的拟合效果更好. …………………………………………… 3分（2）2020年5月份的对应月份代码为18，由(1)知,模型 6.86390.1012ln y x ∧=+的拟合效果更好,利用该模型预测可得,这个小区2020年5月份的在售二手房均价为()6.86390.1012ln18 6.86390.1012ln 22ln 37.16y ∧=+=++≈万元/平方米 ，………… 6分 (ⅰ)设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以①当5090s ≤≤时，契税为计税价格的1%故7.16(1%1)7.2316h s s =⨯⨯+=②当90144s <≤时，契税为计税价格的2%故7.16(2%1)7.3032h s s =⨯⨯+=③当144160s <≤时，契税为计税价格的4%故7.16(4%1)7.4464h s s =⨯⨯+= 故7.2316,5090,7.3032,90144,7.4464,144160.s s h s s s s ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩………………………………………………… 9分 所以当5090s ≤≤时，购房金额为7.2316s 万元；当90144s <≤时，购房金额为7.3032s 万元；当144160s <≤时，购房金额为7.4464s 万元.(ⅱ)设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t 平方米，由（ⅰ）知，当5090s ≤≤时，应支付的购房金额为7.2316s 万元，又7.23167.231690760s ≤⨯<，又因为房屋均价约为7.16万元/平方米，7.16144760⨯>，所以t<144,所以90144t ≤<. 由7.3032760t ≤，解得760104.17.3032t ≤≈， 所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为104平方米．……………………………………… 12分22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解: （1）由2x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()2y k x =-， ………………………… 2分 由2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数m 得2l 的普通方程()12y x k =+， ………………………… 4分 设P (),x y ，由题意得()()212y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2210x y y +=≠， ……………………………5分 （2）由（Ⅰ）曲线1C 的坐标方程为()20,ρθθπ=≠≠， ……………………………6分由题意4sin 2ρθρ=⎧⎨=⎩得1sin 2θ=，故6πθ=或56πθ= 所以曲线1C 和曲线2C 交点的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭或52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………… 10分23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）解:（1）当1,2b a ==时，()23,1145,1423,4x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩这时函数()f x 的最小值为5． ………………………………………… 4分（2）由0a b >> ，故()10b a b -<-，20a > ()()()()()()()222222112,111,12,x a x b a b b a b f x x x a a x a b a b b a b b a b x a x a b a b ⎧-+-<-⎪--⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨---⎪⎪-+>⎪-⎪⎩，……………………………8分 【别解()()()()222111x x a x x a a b a b b a b b a b ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪ ⎪---⎝⎭……………………… 8分】故()()21f x a b a b ≥+- 又()a b a b =+-≥()214b a b a ≥-， 故()()222144f x a a b a b a ≥+≥+≥-，当且仅当2a b ==，时等号成立． …… 10分。
广东省深圳市罗湖区2020届高三数学上学期期末质量检测试题理 (含解析)
A. ①④ 【答案】C
B. ②③
C. ①③
D. ②④
【解析】
【分析】
图像为对志愿者完成任务所需的时间分布图表,利用图像依次分析即可
【详解】由图,女性处理多任务用时主要集中在 2 到 3 分钟,男性处理多任务用时主要集中在
3 到 4 分钟,故总体来看女性处理多任务用时更短,故①正确；
女性中也有处理多任务用时在 5 分钟的,并不是所有女性处理多任务能力都要优于男性,故②
C. 80
D. 60
【解析】
【分析】
讨论“角”的位置,分别是“角”在两端,“角”在第二或第四个位置, “角”在第三个位置
的情况,进而求解即可
【详解】若“角”在两端,则“宫,羽”一定在“角”的同侧,此时有 2 A44 48 种； 若“角”在第二或第四个位置,则有 2 A33 2 24 种； 若“角”在第三个位置,则有 2 A22 A22 8 种, 故共有 48 24 8 80 种,
,
,再由交集的定义求解即可
M x | 4 x 2 N x | x 0
【详解】由题,则
,
,
M N x | 4 x 0
所以
,
故选:B
【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式,考查解指数不等式
3.已知平面向量 a
2, 0 ，
b
2
，
a
b
2 ，则
a
2b
（
）
A. 2 3
B. 3 2
C. 2 2
D. 2 7
【答案】A
【解析】
【分析】
a 2b
对
平方处理,进而求解即可
a
2b
2
a
2
深圳市2020届普通高中高三年级模拟测试(理数试题)含答案
深圳市2020届普通高中高三年级统一模拟测试数 学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 }3210{，，，=A }032|{2<--=x x x B A B = A ． )3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设，则的虚部为 23i32iz +=-z 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记为等差数列的前项和，若，，则为n S {}n a n 23a =59a =6S 5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心22221x y a b-=0a >0b >(1,2)-率为6．已知，则tan 3α=-πsin 2()4α+=7．的展开式中的系数为 7)2(xx -3x A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12 D.07A ．36B ．32C ．28 D. 24ABC D.2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D.218．函数的图像大致为()2ln |e 1|xf x x =--9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 1的三视图，则该四面体的外接球表面积为AB ． 32πC ．36πD ．48π10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长M 1F 2F 2214yx +=N M 为 的圆上，则的最大值为 1||MF 2||NF 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则O H ABC M BC A ． 33AB AC HM MO +=+B ．33AB AC HM MO +=- C ． 24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的π[04，π()sin()(0)6f x x ωω=->3ωω取值个数最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x y x z 2-=14．设数列的前项和为，若，则___________． {}n a n n S n a S n n -=2=6aA BC DA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ． 2 D.1 （第9题图）15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验012…9证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码0123的首位数字是的概率为___________．116．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经1(,)2M m m -1(,2N n n -()m n ≠MN P 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则P 21:2C y x x =+(13)x -≤≤的最大值为___．||m n -三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，ABC A B C a b c ABC S .222+2a b c S -=（1）求；cos C （2）若，，求. cos sin a B b A c +=a =b18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别1111ABCD A B C D -ABCD M N 在棱，上，且，.1C C 1A A 12C M MC =12A N NA =（1）求证：平面；1//NC BMD （2）若，，， 13A A =22AB AD ==π3DAB ∠=求二面角的正弦值. N BD M --19．（本小题满分12分）已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，F 2:2(0)C y px p =>(1,2)P -l C A B 为中点，且.M AB OM OP OF λ+=u u u r u u u r u u u r （1）当时，求点的坐标；3λ=M （2）当时，求直线的方程. 12OA OB ⋅=u u r u u u rl 20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天6≤潜伏期天6>总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？20附：0.05 0.025 0.0103.8415.0246.635，其中. ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=)(02k K P ≥0k21．（本小题满分12分） 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数） ()e ln(1)xf x a x =--e=2.718 28⋅⋅⋅（1）若，求函数的极值点个数；a ∈R ()f x （2）若函数在区间上不单调，证明：. ()f x (1,1+e )a-111a a a +>+（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜xOy 1C ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x t α角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C ．θρsin 4=（1）求的直角坐标方程；2C（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若1C 2C F E ,P π)，求直线的普通方程．PF PE EF +=21C23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知为正数，且满足 证明： ,,a b c 1.a b c ++=（1）； 1119a b c++≥（2） 8.27ac bc ab abc ++-≤理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=；当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=，令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=，如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，，又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13.3-14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-，又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t +--+=-，整理得200210x tx --=，（法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-，令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ，如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点，又(1)0f -=，且8(3)3f =，∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--，∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.（1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-= ，，222sin a b c ab C ∴+-=，…………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，sin =2cosC C ∴，…………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C，25cos C=1cosC=5∴±，，由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ ，………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈ ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=.……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，……………………………………………10分sin sin cos cos sin 252510B AC A C ∴=+=⨯+⨯=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得310sin 103sin 22a Bb A==.……………………………12分（法二）cos sin a B b A c += ，又cos cos a B b A c += ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+，…………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈ ，π4A ∴=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分cos cos b C A a C =+，325c ∴==.………………………………………………………12分（法三）求A 同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =.因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0(不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.E GMDN 1D 1C 1B 1A CBAGEMDN1D 1C 1B 1A CBAMDN1D 1C 1B 1A CBA （第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接MG ．设1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ，……………………………………3分又 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ，∴1//NC GM ，…………………………………4分 GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD .…………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC .设G 是BE 的中点，连接GM .……………………1分11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ，……2分又 BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ，…………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，MDN1D 1C 1B 1A CBA ∴//NE 平面BMD ，…………………………………4分又 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E = ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分（2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C--的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………8分四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥，……………………9分又 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D = ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂ 平面11ADD A ，ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin 2AN ND β===，…………11分∴π4β=，π2α=，∴二面角N BD M --的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.zyxMDN1D 1C 1B1A CBA依题意有(0,0,0)D ，B ，(M -，N ，DB = ，(DM =-，DN =，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z=，00n DB n DM⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x z=∴-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n∴=，……………9分同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===，……………11分所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uur uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ，…………………………………2分设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ，………………4分（2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+，……………7分可设l 方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <，………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uur uu u r，…………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>，………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +，…………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =，…………8分所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-，……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r，………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，．．．．（即概率最大其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．．）是多少？附：)(02k K P ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1） 5.45131511130925073105205385110001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=）（x 天.……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6<天潜伏期6≥天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K 2.083≈，………………………………………5分经查表，得 3.8412 2.083<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.……6分（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=，……7分设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20，………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352，…………10分化简得⎩⎨⎧≥--≥+kk k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k ,又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >，………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ，…………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分）（法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<，Q e 1na -<，∴1e 2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<，又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数，∴0x 为函数()f x '的唯一零点，…………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点，……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->，两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->，………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+，先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，……………………………………………………8分（思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+，即1e 1a a -≥+，………………………9分又111eaa-≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-，………………………11分∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………12分（思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=，不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥，…………………………10分当0a >时，1e 1e 01(1)ea aaa a a ----=>++，…………………………………………11分∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………………………………………………12分（法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x-'=---<，∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+，…………………………9分令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++，当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++，显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数，………………………………………10分∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >，………………11分141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+，综上所述，必有111a a a +>+成立.…………………………………………………12分（法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤，则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++，下证当12a ≤≤时，21e 0(1)aa -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1aa <+，………9分令2()e 1a H a a =--，12a ≤≤，则21()e 12aH a '=-，当2ln 2a =时，()0H a '=，不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H =-<，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>，∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增，易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立，综上所述，111a a a +>+.…………………………………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-，将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()3α+>πsin()3α+<，不难知道α必为锐角，故π3sin()32α+>，所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =-==，………………8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z ,因为π03α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+-y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c ba b a c b c=++++++3≥++（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab=+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………10分（法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =---()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020年普通高中高三年级统一测试数学（理科）试题参考答案第16页共16页。
2020广东深圳高考一模真题+答案解析—理数
，S
ABC
1 b c sin A 2
由双曲线定义可知： 2a =| NF1 | − | NF2 |=| MN | + | MF1 | − | NF2 | ，
| MN |=| NF2 | + | OF2 | ，且| OF2 |= c ， 2a = b + c ， b = c − 2a ，
b2 = (c − 2a)2 = c2 − 4ac + 4a2 ，
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试题类型：A
2020 年深圳市高三第一次调研考试
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1. C
2. D
3. C
4. A
5. D
6. A
7. D
8. B
9. C
10. B
11. A
12. B
11. 解析：
曲线
y
=
f
(x) 关于点 ( 1 ,0) 4
对称，
1 4
+
=
k1π ，（k1 Z)
1 12
(k
Z)
，
令0
k 3
+
1 12
1 ，则可取
k
=Leabharlann 0,1, 2 ，x0=
1,5, 12 12
3 4
，结论②正确；
令−
π 2
+ 2kπ
3πx
+
π 4
π 2
+ 2kπ
，则
f
(
x)
的递增区间为
−
1 4
+
2 k, 1 3 12
+
2 3
k
(k Z)
广东省深圳市罗湖区2020届高三数学上学期期末质量检测试题文 (含解析)
故选：B.
【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假，根据不等式画可行域，判断点是否在可
行域内，属于中档题.
10.设函数
f
x
cosx
0
，已知
f
x 在
0,
2
有且仅有
2
个极小值点，则
的取
值范围是( )
A. 3,5
B. 6,8
C.
3 2
,
5 2
D. 6,10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，得到
3
个零点,则
y
a与
y
f
x 有三个交点,
y f x 的图像如图所示,
当xຫໍສະໝຸດ 0时,fx
在
0，1 2
单调递增,在
1 2
,
上单调递减,所以当
x
1 2
时,
f
x max
f
1 2
1 4,
所以,由图,当
a
1 4
,
1 4
时
y
a与
y
f
x 有三个交点,
故选:A
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查由函数的零点个数求参数范围,考查数形结合思想
【解析】
【分析】
先将 z 整理为 a bi 的形式,进而求解即可
【详解】由题,
z
i
1 1
i
i
1 i
1 i1
i
i
1 2
i
1 2
1 2
i
,
z
所以
1 2
2
1 2
2
2 2,
故选:D
【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法法则的应用
2020年1月9日高2020届高2017级广东省罗湖高三理科数学试题及参考答案和评分细则
18．（12 分） 如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 AD 2 ，
E 为边 CD 的中点，以 EB 为折痕把△ CEB 折 起，使点 C 到达点 P 的位置，且使平面 PEB ⊥ 平面 ABED ．
p
，k
．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
16．如右图，平面四边形 ABCD 中 ABD 的面积是 CBD 面积的两倍，数
列an 满足a1 1， a2 5 ，当 n 2 时，恒有 BD an 2an1 BA
an1 3an BC ，则数列an 的前 6 项和为
F2 为直径的圆与 C 的一条渐
近线交于点 P ， PF1F2 2PF2 F1 ，则该双曲线的离心率为
A． 2
B． 3
C． 2
D． 3
12．已知三棱锥 P－ABC 的底面是正三角形，PA= 3 ，点 A 在侧面 PBC 内的射影 H 是△PBC 的
垂心，当三棱锥 P－ABC 体积最大值时，三棱锥 P－ABC 的外接球的体积为
2
有且仅有
2
个极小值点，下述选项错误的是
A． 的取值范围是 6，10
B．
f
x
在（
6
,
4
）单调递增
C．
f
x
在（
0,
12
）单调递减
D．
f
x
在（
0,
2
Байду номын сангаас）至多有
2
个极大值点
11．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1 的左，右焦点分别为 F1 、 F2 ，以 F1
(理数)2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题及参考答案
−1=
0
，
（法一）显然
x0
0 ，所以 2t
=
x0
−
1 x0
，
令 f (x) = x − 1 ， x [−1,0) U(0,3]， x
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页
如图，直线 y = 2t 和函数 y = f (x) 的图象有两个交点，
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 2 页 共 5页
15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码
由 0 ，1， 2 ，…，9 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型
验证码”(如 0123 )，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A． 25
（t
为参数，
为倾斜角），
以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 = 4sin ．
（1）求 C2 的直角坐标方程；
（2）直线 C1与 C2 相交于 E, F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2 3, π) ，若 2 EF = PE + PF ，
求直线 C1的普通方程．
−
π 6
)
=
3
2020深圳一模理数
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 a, b, c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明： （1） 1 + 1 + 1 9 ；
abc （2） ac + bc + ab − abc 8 .
27
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：A
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试
A． (−1,3)
B． (−1,3]
C． (0,3)
D． (0,3]
2．设 z = 2 + 3i ，则 z 的虚部为 3 − 2i
A． −1
B．1
C． − 2
D． 2
3．某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取 5 个进行检
测. 若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A． 25
B． 23
C．12
D. 07
4．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和，若 a2 = 3， a5 = 9 ，则 S6 为
A． 36
B． 32
C． 28
D. 24
5．若双曲线 x2 − y2 = 1（ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线经过点 (1, −2) ，则该双曲线的离心率为 a2 b2
(理数)2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题
深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 1 页 共 5页绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数 学（理科） 2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3 2 1 0{，，，=A ，}032|{2<−−=x x x B ，则A B =A ．)3,1(−B ．]3,1(−C ．)3,0(D ．]3,0(2．设23i32iz +=−，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为5．若双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)−，则该双曲线的离心率为6．已知tan 3α=−，则πsin 2()4α+=7．7)2(xx −的展开式中3x 的系数为A ．1−B ．1C ．2−D ．2A ．25B ．23C ．12D. 07A ．36B ．32C ．28D. 24AB C D. 2A ．35B ．35−C ．45D ．45−A ．168B ．84C ．42D. 218．函数()2ln|e1|xf x x=−−的图像大致为9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为A ．323π3B．32πC．36πD．48π10．已知动点M在以1F，2F为焦点的椭圆2214yx+=上，动点N在以M为圆心，半径长为1||MF的圆上，则2||NF的最大值为11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则A．33AB AC HM MO+=+B．33AB AC HM MO+=−C．24AB AC HM MO+=+D．24AB AC HM MO+=−12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x xωω=−>的最大值为3ω，则正实数ω的取值个数最多为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+−≥−+1122xyxyx，则yxz2−=的最小值为___________．14．设数列{}na的前n项和为n S，若naSnn−=2，则=6a___________．A B C DA．2B．4C．8D．16A．4B．3C．2 D. 1（第9题图）深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题第2 页共5页深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 3 页 共 5页15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．16．已知点1(,)2M m m −和点1(,)2N n n −()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2C y x x =+(13)x −≤≤相切，则||m n −的最大值为___．三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S −=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若13A A =，22AB AD ==，π3DAB ∠=， 求二面角N BD M −−的正弦值.深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 4 页 共 5页19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P −，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=，其中d c b a n +++=. 1000100020095%100061666深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =−−.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a−上不单调，证明：111a a a +>+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+−=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++−≤。
数学(理科)答案
D
G
C1
E B1
M
C
NC1//GM ， …………………………………4 分
A
GM 平面 BMD ，
D1
NC1// 平面 BMD . …………………………………5 分
（法二）如图，设 E 是 BB1上一点，且 BE 2B1E ，连接 EC1. A1 设 G 是 BE 的中点，连接 GM . ……………………1 分
【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三
角形问题，检验学生的数学知识运用能力.
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18．（本小题满分 12 分）
如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是平行四边形， 点 M ，N 分别在棱 C1C ，
52 5 5 2 2.
sin A
2
………………………10 分
2 b C cos A a cosC ，
c 2 2 2 5 5 3 .
2
5
………………………………………………………12 分
（法三）求 A 同法一或法二
在△ ABC 中，由正弦定理得 c a sin C sin A
52 5 5 2 2，
（法二）由余弦定理得 BD2 AD2 AB2 2AD ABcosDAB 3 ，
故 AB2 AD2 BD2 ， AD BD .
……………………6 分
以 D 为坐标原点 O ，以 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
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深圳市高级中学2020届高三第一学期第一次测试数学(理)试卷
2019-2020学年第一学期高三年级第一次测试理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}|1B y y ==，那么()U A C B = A.∅B.(]0,1C.(0,1)D.(1,)+∞2.若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题，则实数m 的取值范围是A.[10,6]-B.(6,2]-C.[2,10]-D.(2,10)-3.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点(1,3)P -，则cos 2α的值为 A.54-B.45C.35-D.354.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
”则下列说法错误的是A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程占全程的18C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路 5.数列满足，对任意都有11n n a a n +=++，则122019111a a a ++⋅⋅⋅+= A ．20202019B.20191010C.20171010D.403720206.在同一直角坐标系中，函数x y a -=，1log ()2a y x =+(0a >，且1a ≠)的图象可能是7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A.a b c << B.b c a << C.a c b << D.c b a <<8．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增． 你认为较合理的是 A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）9.若函数()y f x =的图像和sin()4y x π=+的图像关于点(,0)4P π对称，则()f x 的表达式是A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x10.设()f x 是定义在上的奇函数,且,当时,有()()f x xf x '>恒成立,则不等式()0xf x >的解集为 A ．B ．C ．D ．11.若仅存在一个实数(0,)2t π∈，使得曲线C ：sin()(0)6y x πωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是 A ．17[,)33B ．410(,]33C ．17(,]33D ．410[,)3312.已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是 A.(0,e)B.(e,+)∞ C.(0,2e)D.(2e,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tan()4πθ+＝_____.14.在平面直角坐标系中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(,1)e --(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.15.已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是____．16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则=_________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若125,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且416S =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）是否存在常数t ,使得{}41n n S a t-+为等差数列？并说明理由.18．（本小题满分12分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计．轴截面如图所示，设∠OOO =O ．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．） （1）用O 表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心O 和圆柱底面圆周上的点O 的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时O 的值． 19.（本小题满分12分） 如图，平面四边形ABCD 中， （1）若，且，求的长；（2）若，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()ln xf x ae b x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)1y x e=-+.(1)求,a b ；(2)证明：()f x 无零点. 21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x ax x =-+- （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围. 22.（本小题满分12分） 已知函数．（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，求证：对于任意的，均有．2019-2020学年第一学期高三年级第一次测试 理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12.【解析】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2xmf x mx -=-+，所以方程可以化为：e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )t t t ，则切线方程为e e (1)()t t y t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t tt t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13.714.15.16.36116.【解析】根据杨辉三角形的生成过程， 当为偶数时，，当为奇数时，，，，，，，，三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a 的前n 项和．若125,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且416S =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）是否存在常数t ,使得{}41n n S a t-+为等差数列？并说明理由.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为125,,a a a 是数列{}n b 的前3项，且416S =，所以21111()(4)434162a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨⨯+=⎪⎩,因为0d ≠，所以解得112a d =⎧⎨=⎩． 所以，1(1)21n a a n d n =+-=-．又11221,3,b a b a ====故数列{}n b 的公比3q =，所以1113n n n b b q --==．（2）由（1）可知2n S n =． 若数列{}41n n S a t-+是等差数列，则312123414141,,S S S a t a t a t---+++成等差数列，所以3212134141412S S S a t a t a t ---⨯=++++，即153352315t t t⨯=++++，解得0t =或2t =．令41n n n S c a t-=+，①当0t =，41210n n n S c n a -==++．因为12n n c c +-=，所以{}n c 是等差数列．②当2t =，41212n n n S c n a -==-+．因为12n n c c +-=，所以{}n c 是等差数列．综上，实数t 为0或2．18．（本小题满分12分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计．轴截面如图所示，设∠OOO =O ．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．） （1）用O 表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心O 和圆柱底面圆周上的点O 的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时O 的值．解（1）作OO ⊥OO 于点O ，则在直角三角形OOO 中，因为∠OOO =O ， 所以OO =OO cos O =5cos O ，因为四边形OOOO 是等边圆柱的轴截面， 所以四边形OOOO 为正方形，所以OO =OO =2OO =10cos O ． （2）由余弦定理得：OO 2=52+(10cos O )2−2×5×(10cos O )cos (O2+O )，因为O ∈(0,O2)，所以2O +O 4∈(O 4,5O4)，所以当2O +O 4=O2，即O =O8时，OO 2取得最大值50√2+75=25(√2+1)2，所以当O =O8时，OO 的最大值为5(√2+1)．答：当O =O8时，观赏效果最佳．19.（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，（1）若，且，求的长；（2）若，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()ln xf x ae b x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)1y x e=-+.(1)求,a b ；(2)证明：()f x 无零点.解(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞．()x b f x ae x '=-，由题意得1(1)f e =，1(1)1f e'=-， 所以111ae e ae b e ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得211a e b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. (2)证明：由(1)知21()ln (0)xf x e x x e =->． 因为21()x f x e x-'=-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '<，(2)0f '>， 所以()0f x '=在(0,)+∞上有唯一实根0x ，且0(1,2)x ∈． 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 从而当0x x =时，()f x 取极小值，也是最小值．由0()0f x '=，得021x e x -=，则002ln x x -=-.故020*******111()()ln ln 2220x f x f x e x x x x x x x -≥=-=-=+->-=， 所以()0f x >，即()f x 无零点. 21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x ax x =-+- （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围.综上可知，①当22a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当22a >时，()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递减；在12(,)x x 上单调递增. （2）对函数求导得.因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根.设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知，由得，即这些极值的和的取值范围为．22.（本小题满分12分）已知函数．（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，求证：对于任意的，均有．解析：（1）因为，所以()2sin()4x f x e x a π'=+-函数()f x 在[0,]4π上单调递增⇔()f x '在[0,]4π上恒有()0f x '≥.即sin()4x x a π+≥恒成立.令()sin()4x g x x π=+则min ()g x a ≥又因为()g x 在[0,]4π上单调递增，所以min ()(0)1g x g ==，所以1a ≤.（2）证明：因为，所以（）．令（），则．①当[]时，，递增，有，因为，此时，，递增，有成立． ②当（]时，，递减，有，若，此时，递增，显然成立．若（]，此时记，则在（]上递增，在（]上递减．此时有，，构造，则，令，求得．故在（]上递减，在（）上递增，所以，。
深圳市2020第一次线下考试理科数学
绝密★启用前 试卷类型：A2020年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和 考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不 污损. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3. 非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂 改液，不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答-5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 集合112A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，集合{}2B x x x =<，则A B =I A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (-1,0)C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,1)2. 下列函数中为奇函数的是A. 2y 2x x =- B. y = x 2cosxC. y 22x x-=+D.1y ln1xx-=+. 3. 已知复数20192020z i i =+，则z 的共轨复数z =A. -1+iB. 1-iC. 1+iD. -1-i4. 已知π是圆周率，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是A.3ln ln 3log e π>>B. 3ln log ln 3e π>>C. 3ln 3log ln e π>>D. 3ln 3ln log e π>>5-将直线l ：y = 2x + 1绕点4(1,3)按逆时针方向旋转45o得到直线，则直线的方程为A.210x y -+=B . 20x y -+= C. 3230x y -+= D. 3+y - 60x =6. 已知数列{}n a 为等比数列，若122a a +=,221420a a +=,则23=a aA. -8B. 8C. -16D. 167. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.9π B.223πC.283π D.343π8.已知过原点0的直线/与曲线C:()4x y x e =-相切，则l 的斜率为 A. -e B.C. -3D. e9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》• 2013年联合国 教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统 算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每 档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个 下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档 一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档” 和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四 位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为A .12B.25C.38 D.1310.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线交于P, Q 两点，M 为线段PF 的中点，连接OM ,则OMQ V的最小面积为 A. 1B.2C.2D.411. 已知定义在R 上的函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭在[]1,2上有且仅有3个零点， 其图象关于点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14x =-对称，给出下列结论：①1222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数在[]0,1上有且仅有3个极值点；③函数在35--24⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；④函数的最小正周期是2 .其中所有正确结论的编号是A.②③B.①④C.②③④D.①②12. 将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B ＇，A ，C, 为顶点的四面体AB ＇CD 中，棱AC 、B ＇D 的中点分别为E 、F ,若AC = 6,且四面 体AB ＇CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为A.⎝B.42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D.)4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2555a S =+,则数列{}n a 的公差为 ____________ . 14. 某地为了解居民的每日总用电量y （万度）与气温()x C o之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如下：经分析，可用线性回归方程2y x a =-+拟合y 与X 的关系.据此预测气温为14C o时， 该地当日总用电量y (万度)为 ____________ .15.已知等边三角形ABC 的边长为3,点D, E 分别在边AB,BC 上，且13AD AB =，13BE BC =则DC DE ⋅u u u r u u u r的值为 .16.已知点F 1、F 2分别为双曲线C:22221x y a b-=(a>0,b>0)的左、右焦点，点M(x 0,y 0) (x 0 <0)为C 的渐近线与圆222x y a +=的一个交点，O 为坐标原点，若直线F 1M 与C 的右支交于点N,且22MN NF OF =+，则双曲线C 的离心率为 。
2020届广东省深圳市罗湖区普通高中高三年级上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省深圳市罗湖区普通高中2020届高三年级上学期期末教学质量监测数学(理)试题(解析版)2020年1月本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填写在答题卡上.2.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1.设复数11z i i =--，则z =（ ）A. 12B. 14 D. 2【答案】D【解析】【分析】先将z 整理为a bi +的形式,进而求解即可【详解】由题,()()11111111222i i z i i i i i i i ++=-=-=-=-+--+,所以2z ==,故选:D【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法法则的应用2.已知集合{}2|280M x x x =+-≤,{}|21x N x =<,则MN =（ ） A. {}|42x x -≤≤ B. {}|40x x -≤< C. {}2|0x x <≤D. {}|48x x -≤<【答案】B【解析】【分析】先解不等式可得{}|42M x x =-≤≤,{}|0N x x =<,再由交集的定义求解即可【详解】由题,则{}|42M x x =-≤≤,{}|0N x x =<,所以{}|40M N x x ⋂=-≤<,故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式,考查解指数不等式3.已知平面向量()2,0a =,2b =,2a b ⋅=,则2a b -=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】对2a b -平方处理,进而求解即可 【详解】由题,222222442424212a b a a b b -=-⋅+=-⨯+⨯=,所以223a b -=,故选:A【点睛】本题考查向量的模,属于基础题4.为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异,召集了男女志愿者各200名,要求他们同时完成多个任务,包括解题、读地图、接电话.下图表示了志愿者完成任。
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③男性的时间分布更接近正态分布；
④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数
A．①④
B．②③
C．①③
5．已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a9 4 ， S15 30 ，则 a15
A． 6
B． 15
C． 16
D．②④ D．18
6．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶全
/平方米） （ⅱ）若该购房者拟用不超过 760 万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的
最大面积（精确到 1 平方米） 附注：根据有关规定,二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进行 征收．（计税价格=房款） 征收方式见下表：
购买首套房面积 s （平方米） 契税（买方缴纳）的税率
D． 2 2
A．x 4 x 2
B． x x 4 x 0 C．x 0 x 2
3．已知平面向量 a 2, 0 ， b 2 ， ab 2 ，则 a 2b
D．x 4 x 8
A． 2 3
B． 3 2
C． 2 2
y 6.8639 0.1012ln x
残差平方和
12
(
i 1
yi
yi
)2
总偏差平方和
12
(
i 1
yi
yi
)2
0.0148557
0.069193
0.0048781
（1）请利用相关指数 R2 判断哪个模型的拟合效果更好； （2）某位购房者拟于 2020 年 5 月份购买深圳市福田区 s(50 s 160) 平方米的二手房（欲 购房为其家庭首套房）．若该小区所有住房的房产证均已满 3 年，请你利用（1）中拟合效果更 好的模型解决以下问题： （ⅰ）估算该购房者应支付的购房金额．（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到 0.01 万元
A．
9
3 2
B． 6 3
C． 6
D．
9 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 f (x) x ln x 1 ，则曲线 y f (x) 在点 2, f (2) 处的切线方程是
．
14．某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研
D． 2 7
4．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召
集了男女志愿者各 200 名，要求他们同时完成多个
任务，包括解题、读地图、接电话．右图表示了志
愿者完成任务所需的时间分布．
以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图
表理解正确的是
①总体看女性处理多任务平均用时更短；
②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；
根据散点图选择 y a bx 和 y c d ln x 两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方
程分别为 y 6.9057 0.0195x 和 y 6.8639 0.1012 ln x ，并得到以下一些统计量的值：
y 6.9057 0.0195x
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上．
1．设复数
z
i
1
1
i
，则
z
A． 1 2
B． 1 4
C． 2
2．已知集合 M x x2 2x 8 0 ， N x 2x 1 ，则 M N
)2
yi
)2
17 4.12, 19 4.36 ，
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，直线 l1 的参数方程为
x
y
2t kt
（t
为参数），直线 l2
23．[选修 4-5：不Байду номын сангаас式选讲]（10 分）
已知 a
b
0 ，函数
f
x
x
b
1
a
b
x a2
（1）若 b 1, a 2 ，求函数 f x 的最小值； （2）证明： f x 4 ．
高三理科数学试题 第 4 页（共 4 页）
的参数方程为
x 2 m
y
m k
（ m 为参数），设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C1 ．以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin ．
（1）写出 C1 的普通方程；
（2）求曲线 C1 和曲线 C2 交点的极坐标．
21．（12 分） 某房产中介统计了深圳市某高档小区从 2018 年 12 月至 2019 年 11 月当月在售二手房均价（单
位：万元/平方米）的散点图，如下图所示，图中月份代码 1 至 12 分别对应 2018 年 12 月至 2019 年 11 月的相应月份．
高三理科数学试题 第 3 页（共 4 页）
2
有且仅有
2
个极小值点，下述选项错误的是
A． 的取值范围是 6，10
B．
f
x
在（
6
,
4
）单调递增
C．
f
x
在（
0,
12
）单调递减
D．
f
x
在（
0,
2
）至多有
2
个极大值点
11．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1 的左，右焦点分别为 F1 、 F2 ，以 F1
F2 为直径的圆与 C 的一条渐
近线交于点 P ， PF1F2 2PF2 F1 ，则该双曲线的离心率为
A． 2
B． 3
C． 2
D． 3
12．已知三棱锥 P－ABC 的底面是正三角形，PA= 3 ，点 A 在侧面 PBC 内的射影 H 是△PBC 的
垂心，当三棱锥 P－ABC 体积最大值时，三棱锥 P－ABC 的外接球的体积为
．
高三理科数学试题 第 2 页（共 4 页）
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题，共 60 分 17．（12 分）
在ABC 中，角 A, B, C 的对应边分别为a, b, c ,已知 A 2B 2C ,且a2 c2 b2 2ac sin C ． （1）求 A ； （2）若 ABC 的面积为 2 ，求 a ．
用上，排成一个 5 个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，可排成多少种这
样的不同音序
A． 120
B． 90
C． 80
D． 60
高三理科数学试题 第 1 页（共 4 页）
7．已知函数
f (x)
是定义域为
R
的奇函数，当
x 0 时，
f
(x)
x2 ln
x,
x,
0 x
19．（12 分）
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) ，若 ab 2 ，离心率为
3． 2
（1）求 C 的方程；
（2）斜率为
1 2
的直线
l
与椭圆交于
A,
B
两点，以线段
AB
为直径的圆过点
P(
7 6
,
1 6
)
，求直
线 l 的方程．
20．（12 分）
已知函数 f (x) x2 1 a sin x ， x 0，，a R ， f (x) 是函数 f (x) 的导函数． （1）当 a 1 时，证明：函数 f (x) 在区间 0， 没有零点； （2）若 f (x) a sin x a 0 在 x 0， 上恒成，求 a 的取值范围．
18．（12 分） 如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 AD 2 ，
E 为边 CD 的中点，以 EB 为折痕把△ CEB 折 起，使点 C 到达点 P 的位置，且使平面 PEB ⊥ 平面 ABED ．
（1）证明： PB ⊥平面 PEA ； （2）求二面角 D PA E 的余弦值．
s 90 1%
90 s 144 2%
s 144 4%
参考数据： ln 2 0.69, ln 3 1.10 , ln17 2.83, ln19 2.94 ， 2 1.41, 3 1.73,
参考公式：相关指数 R2
1
n
(
i 1
yi
n
(
i 1
yi
yi
对数的底），则
D．
1 4
,
1 4
A． a b c
B． b a c
C． a c b
D． c a b
9．执行如右图的程序框图，则输出 S 的值为
A． 90
B． 384
C． 474
D． 488
10．设函数
f
x
cos
x