第9讲统计中三大分布资料.
三大分布及其分位数
泊松分布的均值和方差相等，且随着均值 的增大，泊松分布逐渐趋近于正态分布。 此外，泊松分布具有可加性，即两个独立 泊松分布的和仍然服从泊松分布。
泊松分布的分位数计算
分位数定义
分位数是指将一个随机变量的概率分 布划分为几个等份的数值点，如中位 数就是50%分位数。
泊松分布分位数计算
泊松分布的分位数可以通过查表或使用 统计软件进行计算。对于给定的泊松分 布参数λ和概率p，可以计算出对应的分分位数的概念
分布
分布是指一组数据在各个取值范围内的频数或频率。在统计 学中，分布通常用概率密度函数或累积分布函数来描述。
分位数
分位数是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的 数值点。常用的分位数有四分位数、百分位数等。例如，中 位数就是50%分位数，表示有一半的数据小于或等于该值， 另一半的数据大于该值。
和优化提供理论支持。
生物学和医学
在生物学和医学研究中，泊松分布 可以用来描述放射性物质的衰变次 数、基因突变数等随机事件的发生
次数。
04 指数分布及其分位数
指数分布的定义和性质
定义
01
指数分布是一种连续概率分布，通常用于描述事件之间的时间
间隔。
性质
02
指数分布具有无记忆性，即事件发生的概率与自上次事件发生
排队论
在排队系统中，指数分布可用于描述顾客到达和 服务时间的概率分布，从而分析系统的性能指标 。
金融风险管理
指数分布可用于评估金融风险，如信用风险和市 场风险等，帮助金融机构制定风险管理策略。
05 三大分布的比较与联系
三大分布的特征比较
正态分布
呈钟形曲线，两侧对称，均值、 中位数、众数相等，标准差决定
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用
统计学三大分布是指正态分布、t分布和卡方分布。
这些分布在统计学中应用广泛，下面将分别介绍其应用。
正态分布是自然界中最常见的分布之一，常用于描述连续性变量。
例如，身高、体重、智商等连续性变量都可以用正态分布来描述。
在假设检验、置信区间估计和回归分析等统计学方法中，正态分布也是一个非常重要的理论基础。
t分布是由威廉·塞德威克·高斯特(W.S.Gosset)于1908年提
出的，用来解决小样本量的问题。
t分布的形状与正态分布非常接近，但是在样本量较小的情况下，t分布的尾部更宽一些，因此在小样本量的情况下，使用t分布进行假设检验和置信区间估计更为合适。
卡方分布是概率论中一个重要的分布，通常应用于描述计数数据。
例如，在卡方检验中，卡方分布常常用来处理分类数据，如调查中统计“喜欢”或“不喜欢”某种产品或服务的人数。
卡方分布也常用于多项式回归和逻辑回归等模型中。
综上所述，正态分布、t分布和卡方分布在统计学中应用非常广泛，是统计学的重要组成部分。
对于从事统计学研究或相关领域的人员来说，深入理解和熟练运用这些分布是非常重要的。
- 1 -。
统计学上三大分布推导方法
统计学上三大分布推导方法统计学涉及到众多的概率分布，其中三大分布推导方法是统计学中的重要内容。
这三种分布分别是正态分布、指数分布和泊松分布。
首先，我们来介绍正态分布。
正态分布又称为高斯分布，是统计学中常见且重要的分布之一。
正态分布的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐递减。
我们经常可以在生活中观察到符合正态分布的现象，如人的身高、体重等。
正态分布的推导方法主要基于中心极限定理，通过对大量独立随机变量求平均值的方式得到。
正态分布的参数包括均值和标准差，通过对原始数据进行变换和标准化，可以将任意分布转化为标准正态分布。
正态分布在统计学中有广泛的应用，如假设检验、置信区间估计等。
接下来，让我们看看指数分布。
指数分布是一种描述随机事件发生时间间隔的分布，常用于描述连续事件的无记忆性。
例如，指数分布可以用于描述等待某件事情发生的时间，如等待公交车到站的时间。
指数分布的推导方法主要基于随机过程理论中的泊松过程。
指数分布的参数是速率参数，参数的倒数表示了事件发生的平均等待时间。
指数分布的特点是呈右偏态分布，即事件发生的概率逐渐减小。
在实际应用中，指数分布常用于可靠性分析、风险评估等方面。
最后，我们来了解一下泊松分布。
泊松分布是一种用于描述单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，泊松分布可以用于描述在一段时间内电话呼叫的次数、邮件的接收量等。
泊松分布的推导方法主要基于稀有事件的统计推断，通过限制时间段内的事件次数来得到。
泊松分布的参数是平均发生次数，参数越大，分布形状越集中在平均发生次数附近。
泊松分布的特点是呈正偏态分布，即事件发生的概率逐渐增加后逐渐减小。
在实际应用中，泊松分布常用于建模离散事件的发生情况，如交通流量、事故发生率等。
综上所述，正态分布、指数分布和泊松分布是统计学中重要的三大分布推导方法。
通过对中心极限定理、随机过程理论和稀有事件统计推断的研究，我们可以得到这三种分布。
这些分布在实际问题的建模和分析中有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的指导意义。
三大抽样分布课件
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
数学中三种分布
1.分布若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution），其中参数n称为自由度，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样,自由度不同就是另一个分布。
记为或者卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度n很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数k, 自由度为k的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
[1]2.特点概率密度函数其中，是伽玛函数。
期望和方差分布的均值为自由度n，记为E() = n。
分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为D() = 2n。
3. 性质1)分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数n 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为；服从分布，自由度为3概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在χ2分布中得对每个分布定制相应的概率值，这通过χ2分布表中列出不同的自由度来表示，在χ2分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是χ2值以上χ2分布曲线以下的概率。
由于χ2分布概率表中要列出很多χ2分布的概率值，所以χ2分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此χ2分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
查χ2分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的χ2值。
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用统计学是一门重要的学科，它通过收集、整理和分析数据来揭示事物之间的潜在规律和关系。
在统计学中，分布是一种揭示数据特征的重要工具。
在统计学中，有三大常见的分布，它们分别是正态分布、均匀分布和指数分布。
这些分布在各个领域都有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解释现象。
首先，正态分布是统计学的核心概念之一。
正态分布也被称为高斯分布，它的形状近似为一个钟形曲线。
正态分布在自然界中广泛存在，例如人的身高、体重等，也在许多地方出现，如测试成绩、产品质量等。
统计学家常常使用正态分布来研究和描述各种现象，并通过计算均值和标准差来分析数据的集中度和离散程度。
正态分布也是许多假设检验和参数估计方法的基础，为我们进行科学研究和决策提供了强有力的工具。
其次，均匀分布是一种简单且常见的分布形式。
在均匀分布中，所有的取值都具有相同的概率。
这种分布可以用来模拟随机实验的结果，例如抛硬币的正反面、掷骰子的点数等。
均匀分布还在随机数生成、概率推断等方面发挥着重要作用。
在实际应用中，均匀分布也可以用来描述一些特定的自然现象，如某些地区的降雨量、温度等。
通过研究和理解均匀分布，我们可以更好地预测和解释这些现象。
最后，指数分布是描述事件发生时间的一种重要分布。
在指数分布中，事件发生的概率密度函数随时间指数级衰减。
这种分布常常用于研究和模拟一些连续系统的寿命、等待时间等。
指数分布也在信号处理、通信理论、生物学等领域中得到广泛应用。
通过对指数分布的研究，我们能够更好地理解和预测事件的发生模式，为我们提供关键信息，以便做出合理的决策。
总而言之，正态分布、均匀分布和指数分布是统计学中三大重要分布。
它们在各个领域都有广泛的应用，帮助我们更好地理解和解释现象，提供科学依据和决策支持。
通过对分布的研究和应用，统计学可以发挥重要作用，推动科学发展和社会进步。
(完整版)三大分布及其分位数
§1.5 常用的分布及其分位数
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所 导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计 中常用的分布。
1. 卡方分布
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z XFra bibliotek2 i
的分布称为自由度等于n的x2(n)分布， 记作 Z～ x2(n)(n).它的分布密度
3. F分布
若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)，则
ZX Y nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的 F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
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4
研究生概率统计讲义
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
nm 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
10
研究生概率统计讲义 5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
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11
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7
研究生概率统计讲义
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8
研究生概率统计讲义 3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。
P{X< x2α(n)}=α
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9
研究生概率统计讲义 4）t 分布的α分位数记作tα(n)
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布 相类似。
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6
研究生概率统计讲义
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就 是1-α分位数 x 1-α；
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
三大分布
2
若X1
~
2 (n1),
X
2
~
2
(n2 ),
X1,
X
相互独
2
立
，
则 X1＋X 2～ 2 (n1＋n2 )(可加性)
3 n 时， 2 (n) n 标准正态分布
2n
4. 设 X1, X2,, Xn 相互独立, 都服从正态分布
N(, 2), 则
2
1
2
n
(Xi )2
1 (n,
m)
F
(m,
n)
PT t (n)
0.3 0.25
0.2
t (n) t1 (n)
例如：
• -3 --t2
0.15 0.1
0.05
-1
n = 10
1
•2t 3
PT 1.8125 0.05 t0.05(10) 1.8125
t0.95 (10) 1.8125
F 分布
其密度函数为
f (t)
Γ
n
n Γ
1 2 n
1
t2 n
n 1
2
2
t
t 分布的性质
0.4
1°f n(t)是偶函数,
0.3
n , fn (t) (t)
1
t2
e2
2
0.2
n= 1
0.1
-3 -2 -1
12
n=20
F (n1 ,n2 )
的点F (n1, n2 )为F (n1, n2 )分布的上分位点
0.1
F分布的上
0.08
0.06
三大分布
0.4
f n ( x)
N(0,1) n = 10 n=5 n=2 n=1
0.3
0.2
0.1
0 -3
-2
-1
0
1
2
x
3
t-分布的概率密度函数
t分布的性质
1．以0为中心，左右对称的单峰分布； 2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确 切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越 小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分 布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线
2 2
2
F
X / n1
n n Γ ( 1 2 2 ) n1 n1 n2 f n1 , n 2 ( x ) Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) n 2
n1 n 2
x 0,
n1 2
1
n1 1 x n2
t
n (x ) s
~ t ( n 1)来自 结论二：F sx1 , x2 , , x m
sx / 1
2 2 y
2
/
2 2
~ F ( m 1, n 1)
设 的样本，且此两样本相互独立，记
sx
2
2 y N ( 1 , 1 ) 的样本，1 , y 2 , , y n 是来自
sx / 1
2
2
( n 1) s
2 2
s /
2 y
2 2
~ F ( m 1, n 1)
所以
结论三：
( x y ) ( 1 2 ) sw 1 m n 1
~ t ( m n 2)
sw
( m 1) s ( n 1) s
统计三大分布
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，
可以证明（过程从略）：(6-13)中的
Tn
概率密度函数为
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可
以证明（过程从略）：(6-13)中 Tn 的概率
密度函数为
, x . fn(x)
Γ(
n1 2
)
n
Γ(
n 2
)
1
x2 n
n1 2
(6-14)
另外，t -分布具有以下性质：
变量不小于该数的概率为 . 比如，若记 2-
变量
2 n
的
-上侧分位数为，则满足（见图
6.2）.
fn (x)
2 (n)
x
图 6.2
对不太大的n，如
n
60，可用附表3查
2
(n)
的
值，而对较大的n，则可用（6-11）近似计
算
2 (n) n 2n U , (6-12)
其中U 是标准正态分布N(0,1)的 -上侧分位
数，可通过附表2查出.
二、t -分布
定则 自义称由6.2度T为设n nX的Y~XtN/ -n(0分,1)布，Y，(6~记-123作()n)所，Tn 服X~ t与从(n)Y的.独t分-立分布，布是
也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特 （Goset，1876-1937）在1908年“Student”
的笔名首次发表的，这个分布在数理统计 中也占有重要的地位.
，则
顺便指出，自由度为1的t -分布也称为柯西
（Cauchy）分布，它以其数学期望和方差
均不存在而闻名（见例4.3）.
记t -分布t(n) 的 -上侧分位数为t (n)，附表4
给出了不同n和 所对应的t (n) 数值. 另外，
三大分布及构造原理
三大分布及构造原理在自然界中，存在着很多种类的分布规律，其中最常见的就是三大分布。
它们分别是均匀分布、正态分布和偏态分布。
均匀分布是指在一定范围内，各个数值的出现频率基本相同，没有明显的集中倾向。
可以用一个例子来说明，假设有一个果园，里面种植了100棵苹果树，每棵树上结出的苹果数量基本相同，这就是均匀分布。
均匀分布在很多领域都有应用，比如随机数生成、样本选择等。
正态分布是指在一定范围内，数值的出现频率呈现出钟形曲线的分布规律。
这个分布规律在自然界中非常常见，比如人的身高、体重等。
正态分布有一个重要的特点，就是均值、中位数和众数都是相等的，这意味着大部分的数据都集中在均值附近，而离均值越远的数据出现的概率越低。
偏态分布是指在一定范围内，数值的出现频率呈现出一侧高峰或两侧高峰的分布规律。
这种分布在自然界中也很常见，比如人的收入分布、物种的数量分布等。
偏态分布有两种情况，一种是正偏态分布，即右侧高峰，另一种是负偏态分布，即左侧高峰。
偏态分布的出现原因可能是由于外部环境的影响，比如资源分配的不均衡等。
这三种分布规律的存在，可以解释很多自然现象。
同时，它们也是统计学中的重要概念，可以用来描述和分析数据。
在实际应用中，我们可以根据不同的场景选择合适的分布模型，从而更好地理解和解释数据。
对于分析师来说，掌握这些分布规律的构造原理，可以帮助他们更准确地进行数据分析和预测，为决策提供科学依据。
三大分布及其构造原理是统计学中非常重要的概念，它们描述了自然界中的一些普遍规律。
通过研究和应用这些分布规律，我们可以更好地理解和解释数据，为科学研究和决策提供有力支持。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择合适的分布模型，并结合实际情况进行数据分析和预测。
三大分布
m)
由于 1 ~ F(m, n) F
因而
F1
1 (n,
m)
F
(m,
n)
0.2
0,
x0
2
4
6
8 10
一般自由度为 n 的 2 (n) 的密度函数为
f (x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
x0
0.4
n=2
0.3
n=3
其中，
0, x 0
0.2 n = 5
0.1
n = 10
n = 15
(x) t x1et dt 0
5 10 15 20 25
F X n1 Y n2
~ F(n1, n2 )
为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布 （或自由度为 (n1, n2 ) ），其概率密度为
F
(
z)
( n1 n2 2
(
n1 2
)(
n2 2
0,
)(n1 / )(1
n2
n1 n2
) z n1 / 2
n1 1 2
,
z)(n1 n2 ) / 2
在x > 0时收敛，称为 函数，具有性质
(x 1) x(x), (1) 1, (1/ 2)
(n 1) n! (n N)
2 (n) 分布的性质
1 E 2 (n) n, D 2 (n) 2n
2
若X1 ~
2 (n1), X 2
பைடு நூலகம்
~
2 (n2 ),
X1,
X
相互独立，
2
则 X1＋X 2～ 2 (n1＋n2 )(可加性)
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用着实多，这三大分布是正态分布、`t`分布
和χ2分布，在其各自领域都扮演着十分重要的角色。
首先正态分布可以用来描述很多自然事物，比如人体身高，体重，智力测试等等，它也是描述数据量很大的连续型变量，例如说回报率
等等，也可以用来作抽样采集，比如实施一个全国性的抽样调查，可
以用正态分布来对所有可能的值，一路分布一路抽样，进行百分比抽样。
`t`分布的应用也相当广泛，它和正态分布很相似，但它的尾部更
加隆起，所以会更集中在中间，它主要用于描述样本数量较小、但又
有很多衡量指标的情况，比如实验数据或者是调查数据，这样可以让
每一个样本数据都能有很好的效果，而不会产生太多偏差。
χ2分布在统计学上最常见的应用之一就是通过定性预测进行验证，它可以用来测量两个独立事件之间的相关性，也可以用来检验某一用
例的假设是否正确，比如说，当你想检验一个癌症患者是否会改善的
时候，你可以使用一个χ2分布来计算出变化的概率，看看改善的可
能性有多大。
另外，χ2分布也可以用来进行多元统计分析，其实就是
对多个变量之间的关系进行分析，比如说他们之间存在着多大的相关性。
总而言之，统计学三大分布都很重要，他们都有各自不同的应用
场景，并且有多种方式可以用来分析数据，比如简单的相关性分析，
多元统计分析，模型检验等等。
希望这些信息能够帮助大家更好的理
解这三大分布的应用，以充分发挥他们的优势。
三大分布及正态总体统计量的分布
泊松分布在统计学中的应用
01
在计数数据分析和可靠性工程中，泊松分布在预测和解释随机 事件发生的频率方面非常有用。
02
在生物统计学中，泊松分布用于描述遗传变异和基因突变的频
率。
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变和粒子碰撞的次数。
03
泊松分布的参数
λ
事件的平均发生率，决定了泊 松分布的形状和规模。
p
每次试验成功的概率，是一 个0到1之间的实数。
k
成功的次数，是一个0到n之 间的非负整数。
04
正态总体统计量的分布
样本均值的分布
1
样本均值是总体均值的无偏估计，其分布近似于 正态分布，当样本量足够大时，样本均值的分布具有对称性，即均值点是其对称 轴，标准差越小，分布越集中，对称性越好。
3
样本均值的标准误是衡量样本均值与总体均值差 异的指标，其计算公式为标准差除以样本量的平 方根。
样本方差的分布
01
样本方差是总体方差的估计量，其分布并不服从正 态分布，而是卡方分布。
02
样本方差的大小与样本量有关，样本量越大，方差 越小；样本量越小，方差越大。
03
样本方差的自由度等于样本量减去1。
二项分布在统计学中的应用
01
可靠性分析
在可靠性工程中，二项分布用于 描述产品在多次试验中失败的次 数。
遗传学
02
03
统计学
在遗传学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的遗传试验中某 基因出现的次数。
在统计学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数。
二项分布的参数
n
试验次数，是一个非负整数 。
正态分布的性质
三大抽样分布的定义及应用
三大抽样分布的定义及应用三大抽样分布是指正态分布、t分布和卡方分布。
它们在统计学中具有重要的应用，并且广泛地被用于估计和推断总体参数。
正态分布是指具有钟形曲线的连续概率分布，其概率密度函数的形状由均值和标准差决定。
在实际应用中，正态分布广泛用于描述许多自然现象，例如人的智力分布、心脏跳动的间隔时间等等。
对于大样本量的情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布可以近似服从正态分布。
因此，正态分布在统计推断中起到了至关重要的作用，例如用于构建置信区间、假设检验、回归分析等。
t分布是由英国统计学家威廉·戴韦提出的，是用来处理小样本量情况下的统计推断问题的一种概率分布。
t分布与正态分布相似，但是其概率密度函数的形状更加平坦，有更宽的尾部。
t分布的自由度是影响其形状的一个参数，自由度越小，尾部越厚重。
在小样本量的情况下，使用t分布进行统计推断可以更准确地估计总体参数。
例如，当样本量较小时，使用t分布来计算置信区间或进行假设检验，可以避免过度自信导致错误的推断结果。
卡方分布是由皮尔逊提出的，是应用在统计推断中的一种概率分布。
卡方分布常用于分析分类数据的相关性以及拟合度。
在这两个统计问题中，卡方分布提供了一个用于检验观察值与期望值之间的差异程度的方法。
卡方分布的自由度取决于数据的维度。
在统计推断中，卡方分布被广泛用于拟合度检验，例如用于检验样本的观察频数与理论频数是否有显著差异。
正态分布、t分布和卡方分布的应用在各个领域和学科中都非常广泛。
在医学研究中，这些分布被用于分析临床试验的数据，进行数据建模以及推断总体参数。
在市场研究中，这些分布被用于对市场数据进行概率分析和预测。
在财务管理中，这些分布被用于分析股价的波动性和风险评估。
在工程领域中，这些分布被用于分析产品的可靠性和质量控制。
总之，正态分布、t分布和卡方分布是统计学中的三大抽样分布，它们在统计推断中具有重要的应用价值。
通过使用这些分布进行数据分析和推断，我们可以准确地估计总体参数，进行假设检验，以及进行优化和决策制定等重要统计任务。
统计学-三种常用分布
频数分布图：直方图（频数-频率）
.25 .2 .15 .1 .05
F ra ctio n
164.1
185.4 x
频率图（纵坐标为频率）
正态分布的定义及其函数表达式
若某变量的频率曲线对应于数学上的正态曲 线，则称该变量服从正态分布
正态曲线的函数表达式
f (x) 1 e(x22)2
P99
例：估计某地110名健康成年男子第一秒肺通气量
的95%参考值范围，已知 x =4.2L，s=0.7L
二项分布
概述 例1 观察一种致毒物对白鼠的致毒作用。取三 只实验白鼠，服用相同剂量的致毒物，假设他 们死亡的概率均为π。定义实验后3只白鼠中 死亡的例数为X，求X＝0，1，2，3的概率。
x 第一只白鼠 第二只白鼠 第三只白鼠 发生的概率
前面各观察单位上x的取值无关 普通性：观察单位可以小到只有1个事件
发生，发生概率不变
Poisson分布的性质
Poisson分布的图形
单参数离散型分布
形状只取决于μ，μ很小时分布很偏，当μ增加时， 逐渐趋于对称，μ≥20时，分布接近正态分布。
在
和
处达到峰值，且有
x x 1
二项分布的均数与方差
服从二项分布的变量X的均数和标准差
μx=nπ σx2= nπ(1-π)
样本率p的总体均数和方差
μp=π，称为率的标准误
对应的样本标准误为 Sp
p(1 p) n
例3 根据以往经验，新生儿染色体异常率为 0.01，某研究者随机抽查当地400名新生儿， 问出现1名新生儿染色体异常的概率是多少？ 计算X的均数和方差，样本率的均数和标准差
计算x的均数和方差样本率的均数和标准差poisson分布描述某罕见事件发生次数的概率分布罕见事件每个格子的大小恰好容纳一个细菌1l水细分格子数有限格子中有细菌服从poisson分布的罕见事件举例均匀液体或空气中的细菌分布放射性物质单位时间内的放射次数粉尘在单位容积内计数的分布非传染性罕见疾病在人群中的分布如遗传缺陷癌症等24小时内发生早博的次数poisson分布的概率可记为poisson分布的条件与二项分布相似平稳性随机分布性
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<若记}{),,(k P p n k b ==ξ，显然满足：(1) 非负性: ),,(p n k b ≥0(2) 规范性:1)]1([)1(),,(0=-+=-=∑∑=-=n nk k n k knn k p p p p Cp n k b二项分布描绘的是n 重Bernoulli 试验中成功出现的次数。
三大分布-PPT精选文档
0.4 0.3 0.2 0.1
n = 15
20 25
( x ) t e dt 0 在x > 0时收敛，称为 函数，具有性质
5 10 15
x 1 t
( x 1 ) x ( x ), ( 1 ) 1 , ( 1 / 2 ) ( n 1 ) n !( n N )
F(n,m)
例 证明 证
1 F ( n ,m ) 1 F ( m ,n )
1 P ( F F ( n , m )) 1
2 0 . 05
0)
~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ ( n ), 定义 设 X X ,Y相互独立,
2
t
X Y
则称 t 服从自由度为 n 的t 分布.记为 t ~ t(n) 其密度函数为
1 n n 1 Γ 2 2 t 2 f( t) 1 n n n Γ 2 t
t (n)
f (x)dx
的点 t (n)为 t(n)分布的上 分位点（数）
t(n ) 分布的上 分位数有表可查
t分布的分位点的性质
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
P T t ( n )
t ( n ) t ( n ) 1
2 2 2
(n)
f (x)dx
的点 (n)为 2 (n)分布的上 分位点（数）
( n) 分 布 的 上
2
0.1 0.08
分 位 数 有 表 可 查 0.06
0.04
n = 10
5 10 15 20(10) 20.05
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解： P( X C ) 1 P X C 1 0.05 0.95
C
2 0.95
(10)
=3.940
χ2分布
概率论与数理统计
t分布
二、t分布
1、t分布的定义
设X ~N 0,1 ,Y ~ 2 n ,且X和Y 相互独立，则称随机变量
t X Y /n
服从自由度为n的t分布，记作 t ~ t n .t分布又称学生分布.
分位数
定义 设随机变量X的分布函数F(x),对于任一正数α(0<α<1) 若X大于等于某实数Zα的概率为α,即
PX Z 1 F Z 0< 1
则称此实数Zα为分布F(x)的上侧α分位数（点）.
标准正态分布的上分位点记为uα即： 常见正态分布的分位数
PX u 1 u 0< 1
概率论与数理统计
第三节
统计中三大分布
教材 P69
概率论与数理统计
χ2分布
一、χ2分布
1、χ2分布的定义
设 X1, , X n 是来自标准正态总体N(0,1)的样本，称随机变量
2
X12
X
2 2
,
,
X
2 n
服从自由度为n的χ2分布，记作 2 ~ 2 n.
其概率密度为
f
(x)
n
22
1
n 2
n 1 x
x2 e 2
,
0,
x 0, x 0.
x t x1etdt 0
概率论与数理统计
χ2分布的概率密度图像
f(x)
n=2
n=5
o
χ2分布
n=9
x
概率论与数理统计
χ2分布
2、χ2分布的性质
性质1： 若 2 ~ 2 n，则E( 2 ) n, D( 2 ) 2n;
性质2：
其概率密度为
n1
f (x)
(
2
)
x2 n1
(1 ) 2 , x
n ( n )
n
2
概率论与数理统计
t分布
t分布的概率密度图像
f x
n 标准正态分布
n=9 n=2
x
t分布的密度函数是关于原点对称的， 当自由度n充分大时，t分布接近于标准正态分布。
概率论与数理统计
t分布
2、t分布的性质
概率论与数理统计
第九讲
统计中的三大分布
四川建筑职业技术学院
信息工程系
徐强
概率论与数理统计
课外作业
教材P76 习题5-2 1,2
概率论与数理统计
知识回顾
第一节 总体与样本 总体 所研究对象的全体
记为：总体X
个体 总体中的每个元素 抽样 从总体中抽取若干个个体的过程 样本 抽取的若干个个体 记为(X1,X2,…,Xn)
2 0.01
(30)
34.382 50.892
概率论与数理统计
例3.1(χ 2分布的分位数计算）
X 2 (6), 求C使得: P( X C ) 0.025
解： P( X C ) 1 P X C 1 0.025 0.975
C
2 0.975
(6)
1.237
对应练习： X 2 (10), 求C使得: P( X C ) 0.05
定理1：设X1 , X 2
, Xn是来自总体X ~ N ， 2 的一个样本，则
1
2
n
( Xi )2
i 1
~ 2 (n).
定理2： 设X1, X2 , Xn是来自总体X ~ N ， 2 的一个样本，
X 和S 2分别是样本均值和样本方差，则有：
n 1 S 2 ~ 2 (n 1);X与S 2相互独立.
(4).样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k
1, 2,
,
(5).样本k阶中心矩
1n Bk n i1
k
Xi X , k 1, 2,
,
正态总体X~N(μ,σ2)
2
X ~ N(, )
X
U
~ N (0,1)
n
n
概率论与数理统计
主要内容
第三节
1
Χ2分布
3
F分布
2
t分布
概率论与数理统计
若12
~
2
n1
，
2 2
~
2
n2
,
12与
2相互独立，
2
则12
2 2
~
2
n1 n2
;
性质3： 设 2 ~ 2 n ，则任意实数x,有
2 n
lim P
x
n 2n
1
x t2
e 2 dt
2
当n充分大时， 2 n N (0,1) 2 N n, 2n
2n
概率论与数理统计
χ2分布
3、关于χ2分布的两个定理
样本容量 样本中所含个体的数量
样本观测值 对总体进行一次具体的抽样并作观测之后得到 样本的值 记为：(x1,x2,…xn) 也称为样本值.
概率论与数理统计
知识回顾
第一节 统计量及其分布
设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)为不含有 未知数，且取实值的一个函数，称g(X1,X2,…,Xn)为统计量
总体，样本，统计量都是随机变量
一、常用统计量
(1).样本均值 (2).样本方差
1 n
X n i1 Xi
样本均值反映总体均值的信息
S02
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
称为未修正样本方差，
概率论与数理统计
S
2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
称为修正样本方差，
修正样本方差反映总体方差的信息
知识回顾
(3).样本标准差 S S 2
u0.05 1.645, u0.025 1.96, u0.01 2.236, u0.005 2.567.
概率论与数理统计
分位数
标准正态分布的上分位点uα的计算：
当 0.1时，反查 P138 附表2 标准正态分布表
例如：u0.05 1-0.05=0.95 u0.01 1-0.01=0.99
2
概率论与数理统计
χ2分布
4、χ2分布的上α分位点
对于给定的正数，0 1, 称满足条件
P 2 (n) 2 (n)
的点2 (n)为 2 (n)分布的上分位点.
f x
例如：
2 0.05
10
18.307
x
2 (n)
2 (n)可查P139附表3 2 (n)分布表求得
2 0.1
(25)
性质1： t分布关于y轴对称: ftn x ftn x
性质2： E t n 0;
Dtn n n2
3、关于t分布的两个定理
定理3：设X1, X2 , Xn是来自总体X ~ N ， 2 的一个样本，
X 和S 2分别是样本均值和样本方差，则有：
t X ~ t(n 1).
当 0.1时，u u1- u0.025 1.96
u0.05 1.645,
u0.01 2.23
常见正态分布的分位数 u0.05 1.645, u0.025 1.96, u0.01 2.236, u0.005 2.567.