数理统计的三大分布
数理统计分布类型
数理统计分布类型数理统计是数学和统计学的交叉学科，研究收集、整理、分析和解释数据的方法和原则。
其中，分布类型是数理统计的重要概念之一。
统计分布是指一组数据按照一定规律的分布情况，根据数据分布的形状和特点，可以将统计分布分为不同的类型。
常见的数理统计分布类型有正态分布、均匀分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布、指数分布、正态分布、t分布和F分布等。
以下将逐一介绍这些常见的分布类型。
1.正态分布：正态分布（或高斯分布）是数理统计中最常见的一种分布类型。
正态分布的密度函数呈钟形曲线，对称且具有峰值，其分布的均值、方差决定了曲线的位置和形状。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如身高、体重、考试成绩等。
2.均匀分布：均匀分布是指数据在给定区间内的分布是均匀的，即每个数据点出现的概率相等。
均匀分布的密度函数是一个常数，对应的分布函数是线性的。
均匀分布常用于模拟随机数产生、建立实验设计等领域。
3.伯努利分布：伯努利分布是一种离散型的分布，只有两个可能的取值（例如0和1），其中一个取值的概率为p，另一个取值的概率为1-p。
伯努利分布常用于描述二项式试验中的成功和失败的概率。
4.二项分布：二项分布是由多次独立的伯努利试验组成的概率分布，其中每个试验只有两个可能的结果（例如成功和失败）。
二项分布可以用于描述多次独立重复试验中成功次数的分布情况。
5.泊松分布：泊松分布是一种用于描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布。
泊松分布假设事件以恒定的平均速率独立地发生，其参数λ表示单位时间或空间内事件的平均发生次数。
6.几何分布：几何分布是一种描述第一次成功发生需要的独立试验次数的概率分布。
每次试验只有两个可能的结果（例如成功和失败），成功的概率为p，几何分布描述了第一次成功发生之前需要进行的试验次数的分布情况。
7.指数分布：指数分布是描述时间间隔或空间间隔的分布，它的特点是具有无记忆性。
指数分布可以用于描述等待时间、服务时间、设备故障时间等。
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)
x2 x2
~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F
F1
(n2
,
n1
)
1
,
比较后得
F1
(n2 ,
概率论与数理统计课件 三大分布
X1 X 2 X 3 ~N(0,1), ( X1 X 2 X 3 )2 ~ 2 (1),
3
3
X4 X5 X6 ~N(0 , 3)
X4 X5 X6 ~N(0,1), ( X4 X5 X6 )2 ~ 2 (1),
3
3
2020/11/10
数理统计—三大分布
7
例2 设X1, X2 , X3 , X4为来自正态总体N (0, 4) 的简单
y
性质： 1
F1 (n1, n2 ) F (n2 , n1 )
O
F (n1 , n2 ) x
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数理统计—三大分布
16
例1 求（1）F0.01(5,4)，（2）F0.95(3,7)。
解 （1） F0.01(5,4) 15.5
（2）
F0.95 (3,7)
1 F0.05 (7,3)
2
3.例题 已知连续型随机变量X 的概率密度函数为 f ( x) 1 e , x2 2 x1 求EX,DX
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数理统计—三大分布
3
6.3.1 2 分布
1、定义
X1, X2 , , Xn 独立同分布的随机变量, 并且Xi
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
N (0,1)
服从的分布称为自由度为n的 分2 布.记为 2 ~ 2 (n)
t (n) t1 (n) y
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t (n) O t (n) x t1 (n)
数理统计—三大分布
13
6.3.3 F 分布
1、定义 设X ~ 2 (n1 ),Y ~ 2(n2 ), 且X与Y 独立, 则随机变量
数理统计主要知识点
数理统计主要知识点数理统计是统计学的重要分支，旨在通过对概率论和数学方法的研究和应用，解决实际问题上的不确定性和随机性。
本文将介绍数理统计中的主要知识点，包括概率分布、参数估计、假设检验和回归分析。
一、概率分布概率分布是数理统计的基础。
它描述了一个随机变量所有可能的取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括：1. 均匀分布：假设一个随机变量在某一区间内取值的概率是相等的，则该随机变量服从均匀分布。
2. 正态分布：正态分布是最常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有均值和标准差两个参数。
3. 泊松分布：泊松分布描述了在一定时间内发生某个事件的次数的概率分布，例如在一天内发生交通事故的次数。
4. 二项分布：二项分布描述了进行一系列独立实验，每次实验成功的概率为p时，实验成功的次数在n次内取特定值的概率。
二、参数估计参数估计是根据样本数据来推断随机变量的参数值。
常见的参数估计方法包括：1. 最大似然估计：假设数据服从某种分布，最大似然估计方法寻找最能“解释”数据的那个分布，计算出分布的参数值。
2. 矩估计：矩估计方法利用样本矩来估计分布的参数值，例如用样本均值估计正态分布的均值，样本方差估计正态分布的方差。
三、假设检验假设检验是为了判断一个统计假设是否成立而进行的一种统计方法。
它包括假设、检验统计量和显著性水平三个重要概念。
1. 假设：假设指的是要进行验证的观察结果，分为零假设和备择假设两种。
2. 检验统计量：检验统计量是为了检验零假设而构造的统计量，其值代表目标样本符合零假设的程度。
3. 显著性水平：显著性水平是用来决定是否拒绝零假设的标准，通常为0.01或0.05。
四、回归分析回归分析是用来研究和描述两个或多个变量之间关系的统计方法。
它可以帮助人们了解因果关系，做出预测和控制因素的效果。
1. 简单线性回归：简单线性回归是一种简单的回归分析方法，它描述一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
2. 多元线性回归：多元线性回归描述多个自变量和一个因变量之间的关系，通过多元回归模型可以找到最佳的回归系数，从而用来预测未来的结果。
概率论与数理统计各种分布总结
概率论与数理统计各种分布总结概率论与数理统计中有许多不同的概率分布，每个分布都具有不同的特征和应用。
下面是一些常见的概率分布的总结：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：在一个区间内的所有取值都具有相等的概率。
它可以是离散的（离散均匀分布）或连续的（连续均匀分布）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
每个试验只有两个可能结果（成功和失败），并且成功的概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述在给定时间或空间单位内发生某事件的次数的概率分布。
它通常用于模拟稀有事件的发生情况。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一。
它具有钟形曲线的形状，对称且具有明确的均值和标准差。
许多自然现象和测量数据都可以近似地用正态分布来描述。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。
它通常用于模拟无记忆性事件的发生情况，如设备故障、到达时间等。
6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：由正态分布的平方和构成的概率分布。
它在统计推断中广泛应用，特别是在假设检验和信赖区间的计算中。
7. t分布（Student's t-Distribution）：用于小样本量情况下参数估计和假设检验。
与正态分布相比，t分布具有更宽的尾部，因此更适用于小样本数据。
8. F分布（F-Distribution）：用于比较两个或多个样本方差是否显著不同的概率分布。
它经常用于方差分析和回归分析中。
这只是一些常见的概率分布的总结，还有其他许多分布，每个都在不同的领域和应用中起着重要的作用。
概率论与数理统计 7.2 数理统计中的三大分布
7.2 数理统计中的三大抽样分布
在数理统计中，以标准正态变量为基石而构 造的三个著名统计量有着广泛的应用，这是因为 这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布 的密度函数有明显的数学表达式，它们被称为统 计中的“ 三大抽样分布 ” 。
1. 2 分布
数理统计
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
t1 (n) t (n)
o t (n)
x
t分布的上分位点t (n)可查表
求得，例t0.025(15) 2.1315.
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t (n) z
例3：X ~ t(15)
（1）求 0.01的上侧分位数； （2） P( X ) 0.05，求 ； （3）P( X ) 0.95 ，求 .
记为 t ~ t(n). t分布概率密度函数为：
f (t)
[(n 1)
2]
(1
t
2
)
n1 2
,
t
(n 2) n n
t 分布的图像
y N (0,1) 数理统计
t(n)
t分布的性质： 1. 设t ~ t(n),则E(t) 0, D(t) n (n 2) (n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F分布的上分位点可查表求得.例,
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357
例4. F ~ F (24,15)，求 1,2 使 P(F 2 ) 0.025 P(F 1) 0.025
统计学三大分布与正态分布的差异
申请大学学士学位论文大学学士学位论文统计学三大分布与正态分布的差异年级专业：学生：指导教师：统计学三大分布与正态分布的差异中文摘要统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化的分析、总结，并进而进行推断和预测，为相关决策者提供依据和参考。
它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。
而对数据的分析过程中就需要利用到数据的分布来研究分类。
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布。
而由正态分布构造的三大分布在实际中有广泛的应用，因为这三大分布不仅有明确的背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，研究三大分布与正态分布有助于研究实际事例，比如经济安全与金融保险领域、人口统计等。
本文讨论了三大分布与正态分布，并将它们之间的密度函数进行比较说明.第二章介绍了正态分布的定义、性质，三大分布的定义、性质。
第三章介绍了正态分布与三大分布的密度函数，并将它们之间的密度函数进行比较关键词：正态分布；三大分布；密度函数The Difference between the Three Statistical Distributions andthe Normal DistributionAbstractStatistics is a branch of applied mathematics, the mathematical models are mainly established by the probability and statistics theory based on the collectingthe data, so as to conduct the quantitative analysis, and obtain the correct inference. It is widely used in the subjects, such as physical, social science, industrial and commercial field, and government intelligence decision. The process of the data analysis will need to use the data distributions to study.In practice, many random phenomena are obedient for the normal distributions, or approximately. And the three statistical distributions structured by the normal distributions have extensive applications, because these three distributions is explicitly background, and the sampling distribution density function have obvious expressions. Research on the distributions and normal distributions is useful for the study of economic security and financial insurance fields, population statistics, etc.This paper discusses the three statistical distributions and normal distributions, their density functions are compared.The second chapter presents the definition of the normal distribution, the distribution of nature, three definitions and properties.The third chapter covers a normal distribution and the density functions of the three distributions, and then the density functions are compared. Keywords: the normal distribution; Three distribution; Density function目录中文摘要 (2)英文摘要 (2)1 绪论 (5)1.1 问题的提出 (5)1.2 国外研究现状 (5)1.3 本文的主要工作 (6)2 基础知识介绍 (7)2.1 正态分布 (7)2.2 三大统计分布 (8)3 三大分布与正态分布的比较 (12)3.1 三大分布与正态分布的密度函数 (12)3.2 三大分布与正态分布的密度函数比较 (12)3.3 本章小结 (16)4 进一步工作 (16)参考文献 (17)致 (17)1 绪论统计学，最早是由Gottfried Achenwall(1749)所使用,代表对国家的资料进行分析的学问，也就是“研究国家的科学”。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中有几种常见的概率分布，包括正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在实际应用中有着重要的意义，它们之间的关系也是数理统计中的一个重要内容。
1. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它具有钟形曲线，呈现出中间高、两端低的特点。
正态分布有着许多重要的性质，比如均值和标准差能够完全描述一个正态分布。
在实际应用中，正态分布可以用来描述许多自然现象，比如身高、体重等。
另外，中心极限定理告诉我们，大量独立同分布的随机变量之和的分布趋于正态分布。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
它适用于描述少量成功事件在长时间内发生的情况。
泊松分布的参数是平均发生率λ，它决定了事件发生的概率。
泊松分布在实际应用中被广泛运用，比如描述单位时间内接到的通信方式数、一段时间内发生的交通事故数等。
3. 指数分布指数分布是描述事件发生间隔时间的概率分布，它是泊松分布的补充。
指数分布的参数是事件发生率λ，它与泊松分布的参数相互关联。
指数分布常用来描述无记忆性的随机变量，比如设备的寿命、服务时间间隔等。
数理统计中，这三种分布之间存在着密切的联系。
正态分布和泊松分布在一定条件下可以近似互相转化。
当事件发生率λ趋向无穷大时，泊松分布将近似于正态分布。
而在一些特殊情况下，指数分布也可以退化为泊松分布。
这三种分布之间并不是孤立存在的，它们在一定条件下是相互联系、相互激发的。
在我的理解中，这三种概率分布之间的关系可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的相关知识。
通过对它们之间关系的深入了解，我们可以更准确地选择合适的分布来描述实际问题，从而提高统计分析的准确性和实用性。
总结起来，正态分布、泊松分布和指数分布是数理统计中常见的概率分布，它们之间存在着密切的联系。
深入理解它们之间的关系有助于我们更好地应用统计学知识，提高数据分析的准确性和实用性。
希望通过本篇文章的阐述，能为读者带来一些启发和帮助。
6.2数理统计中几种常用的分布
f ( x )dx = α
α
o Fα(m,n) x
F分布的性质 分布的性质: 分布的性质 1 ~ F ( n, m ) (1) 若F~F(m,n),则 则 F 1 (2) F1−α ( m , n) = Fα ( n, m ) ∵1−α =P{F≥F1−α(m,n)} − −
1 1 }= 1 − P{ 1 > = P{ 1 ≤ } F F1−α ( m , n) F F1−α ( m , n) 1 }=α ⇒ P{ 1 > F F1−α ( m , n) 1 ⇒ = Fα ( n, m ) F1−α ( m , n)
α
o tα(n) t
t分布的性质 分布的性质: 分布的性质 (1) 其密度函数 是偶函数 其密度函数f(t)是偶函数 (2) t1−α(n)= −tα(n) − (3) f(t)的极限为 的极限为N(0,1)的密度函数 即 的密度函数,即 的极限为 的密度函数
lim f ( t ) = ϕ ( t ) =
∴
∑(
i =1
16
Xi − µ
σ
σ
) ~ χ (16)
2 2
σ ≤ 1 P{
2
2
∑(X 16
i =1
16
i
− µ ) ≤ 2σ }
2 2
= P {8 ≤ ∑ (
i =1
16
Xi − µ
σ
) ≤ 32}
2
16
= P {∑ (
iБайду номын сангаас=1
16
Xi − µ
σ
) ≥ 8} − P { ∑ (
2 i =1
Xi − µ
6.2 数理统计中几种常用的分布
统计三大分布
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，
可以证明（过程从略）：(6-13)中的
Tn
概率密度函数为
根据独立随机变量商的密度公式(3-32)，可
以证明（过程从略）：(6-13)中 Tn 的概率
密度函数为
, x . fn(x)
Γ(
n1 2
)
n
Γ(
n 2
)
1
x2 n
n1 2
(6-14)
另外，t -分布具有以下性质：
变量不小于该数的概率为 . 比如，若记 2-
变量
2 n
的
-上侧分位数为，则满足（见图
6.2）.
fn (x)
2 (n)
x
图 6.2
对不太大的n，如
n
60，可用附表3查
2
(n)
的
值，而对较大的n，则可用（6-11）近似计
算
2 (n) n 2n U , (6-12)
其中U 是标准正态分布N(0,1)的 -上侧分位
数，可通过附表2查出.
二、t -分布
定则 自义称由6.2度T为设n nX的Y~XtN/ -n(0分,1)布，Y，(6~记-123作()n)所，Tn 服X~ t与从(n)Y的.独t分-立分布，布是
也称为学生分布，是英国统计学家戈塞特 （Goset，1876-1937）在1908年“Student”
的笔名首次发表的，这个分布在数理统计 中也占有重要的地位.
，则
顺便指出，自由度为1的t -分布也称为柯西
（Cauchy）分布，它以其数学期望和方差
均不存在而闻名（见例4.3）.
记t -分布t(n) 的 -上侧分位数为t (n)，附表4
给出了不同n和 所对应的t (n) 数值. 另外，
数理统计中的三大抽样分布理论系统与题型题法
一、 三大抽样分布的分布函数综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。
)b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布，集中表现为3大抽样分布规律。
)c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握）量纲模型：性 质：()1{}i X ()2 可加性212~()n n χ+++()3证 明()3：由于()()()~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==()()()()()2224421 1,2,,3i i i i x iE X E X E X D X i n E X x edx +∞--∞=-===⎡⎤⎣⎦==()()()()()()()()()224222211222113122iii n ni i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X nχχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑样本函数中的必需记住的数字特征()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握）{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~(); i X N Y n X Y χ和独立 性 质：()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数()3 ()0, 22nEX DX n n ==>- ()4 性质T 分布具有对称性， 1()(); 45t nt n n αα-=->时，()t n Z αα≈3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握）X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型：例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2122124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。
概率论与数理统计：常用统计分布
0,
x 0, 其它.
F-分布的性质 由F分布定义可得：
F
~
F(n1, n2 )
1 F
~
F(n2, n1)
五、F-分布与t分布的关系
定理3 若X～t(n)，则Y=X2～F(1,n)。
证明：X～t(n)，X的分布密度p(x)= n 1 2 nπ n 2
1
x2 n
n 1 2
Y=X2的分布函数F(y) =P{Y<y}=P{X<y}。当y≤0时，FY(y)=0，
② X 与 S2相互独立。
二、χ2-分布(卡方分布)
定义 设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体 N(0,1)的样本,称统计量
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
服从自由度为n的 χ2-分布 ,记为 2 ~ 2( n ).
2 (n)-分布的概率密度为
f
(
y
)
2n /
1
2 (
n
/
2
)
y
n 1
2e
服从正态分布，且
i 1
i 1
一、正态分布
定理2 若（ X1, X 2 ,, X n ）是来自总体X ~ N(,2) 的一个
样本，X 为样本均值，则 (1) X ~ N (, 2 ) ，(由上述结论可知：X 的期望与 X 的期望相同，而 X
n
的方差却比 X 的方差小的多，即 X 的取值将更向 集中.)
p(y)=0；当y>0时，FY(y) =P{-
，
y
y
n
n 2 1 n
Y=X的分布密度p(y)= 2，•
1 n
2 2
<X<
6.2数理统计中几种常用的分布
∞
−t x−1
Γ
3
分布的定义，不难得到： 由 χ 分布的定义，不难得到：
2
1. 设 X1, X2,L, Xn 相互独立 都服从正态分布 相互独立, 2 N(µ,σ ), 则
χ2 =
1
σ
2
2 ( Xi − µ)2 ~ χn 2 ∑ i=1
n
2. 设 X1 ~ χ (n1), X2 ~ χ (n2 ),且X1,X2相互
由F分布定义, ∴ F = T2～F(1,n) . 分布定义,
20
f ( x ) 的图形如下图所示． 的图形如下图所示．
f (x) 0.8 0.6 0.4 0.2 (n 1， n 2) (10，100) (10， 10) (10，4)
o
1.0
2.0
3.0
4.0
x
16
F分布的分位点 F～ F(m,n ),对于α∈(0,1)给定,称满足条件: α∈(0,1)给定, ,对于α∈(0,1)给定 称满足条件:
14
三 F −分 、 布 2
是n1 , n2 的 F − 分布，记作 F ~ F ( n1 , n2 ).
若X~ F (n1 , n2 ) ， X的概率密度为 的概率密度为
n1+n2 2
n1 −1 2
则 若 X ~ χ ( n1 ), Y ~ χ 2 ( n2 ), X , Y 独立， 称随机变量 X / n1 所服从的分布为自由度 F= Y / n2
2
2
8
例1:求 χ 求
2 0.05
2 0.05
(10)，χ (20)。
2 0.1
解：从附表5查得χ
(10) = 18.307，χ (20) = 28.412，
大学数学统计篇之数理统计的基本概念——常用统计分布
例1 设 0.05, 求标准正态分布的水平 0.05 的上 侧分位数和双侧分位数.
解 由于
( u0.05 ) 1 0.05 0.95,
查标准正态分布函数值表可得
u0.05 1.645, 而水平 0.05 的双侧分位数为 u0.025 , 它满足: ( u0.025 ) 1 0.025 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.975,
正态分布， 故有
t ( n) u , t / 2 ( n) u / 2 .
一般当 n 45 时， t 分布 的位数可用正态近似. ② 设 t ( n ) 为 t ( n) 的上侧 分位数，则
P{T t ( n)} 1 , P {T t ( n)} ,
分布
2
t 分布
F 分布
一、分位数
设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ), 对给定的实数
(0 1), 若实数 F 满足不等式
P { X F }
位数. （1）
则称 F 为随机变量 X 的分布的水平为 的上侧分 若实数 T / 2 满足不等式 P{ X T / 2 } 分位数. （2）
, x
(1)
f ( x ) 的图形关于 y 轴对称，且
lim f ( x ) 0 ; x
(2) 即有
当 n 充分大时，t 分布近似于标准正态分布，
1 lim f ( x ) e n 2
t 分布的分位数
2 x 2
,
但 n 较小时，两者相差较大；
(3) 对给定的实数 (0 1), 称满足条件
2 1 2 2
X X X X
2 1 2 2 2 m
数理统计的三大分布
(1,10) (,10)
(10,10) (5,10)
O
x
F分布概率密度函数
F 分布的性质：
性质1 若X ~ F(m, n)，则1 / X ~ F(n, m)； 性质2 若X ~ t(n)，则 X 2 ~ F(1,n)；
性质3 E(F) n (n 2), n 2
D(F) 2n2 (m n 2) , m(n 2)2 (n 4)
(2) 当n充分大（n 40即可），有
2 (n)
1 2
(u
2n 1)2 .
(3)
1 F (m,n) F1 (n, m) .
学习了三大分布后，我们就可以去研究常用统计 量的分布。下一讲，我们将学习在正态分布的条件下， 常用统计量的分布——抽样分布.
则随机变量
t X Y /n
所服从的分布称为自由度为n的t分布，记为t(n).
其密度函数为
ft ( x;n)
[(n 1) 2] (1
(n 2) n
x2 n
n1
)2
,
x .
ft (x)
n , N(0,1) n 6
n 2
O
x
t分布的密度函数： 低峰、厚尾
t分布的性质：
性质1 密度函数f ( x, n)是偶函数，且
lim f ( x, n)
1
x2
e 2 (x).
n
2
即t分布的极限分布是标准正态分布.
性质2 设T t(n)，则
当n 1时, E(T )不存在,t(1)是标准柯西分布, 当n 2时， E(T ) 0， 当n 3时， D(T ) n .
n 2
三 F分布
设随机变量X ~ 2 (m),Y ~ 2 (n)，且X与Y独立，
哈工大-第30讲 X2分布、t分布和F分布
性质
1
F1 (n1 , n2 )
. F (n2 , n1 )
F1 (n1, n2 )
F0.05(9,12) 2.8.
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,12)
1.
2.8
例1 设总体X~N(0,4),而X1,X2,X3,X4是总体X
的样本，求下列随机变量的分布
(1)
~
2(2)
4
二者相互独立，故
T3
X3 2
2
X
2 1
X
2 2
1
2
2
X
2 3
X
2 1
X
2 2
~ F (1,2).
4
t分布与F分布的关系
例2 若随机变量X~t(n), 则X2~F(1, n). 解 因为 X ~ t(n), 所有X U V ,
n
这里U ~ N (0,1),V ~ 2(n), 且 U与V独立，
2分布的概率密度函数
1
n1 x
f
( x;n)
2n
2 (n
2)
x2
e
2,
0,
x 0, x 0.
其中
(s) et t s1dt, (s 0). 0
由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来 由海尔墨特(Hermert)和皮尔逊(Pearson) 分别于1875年和1900年推导出来.
X 12
X
2 2
4
~ 2(2).
(2) X3 ~ N (0,1),
X
2 1
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N (0,1)， 2 (n)，t(n)，F (m, n)的上分位数分 别记为u，2 (n)，t (n)，F (m, n).
分位数的几何意义如下图所示：
f (x)
f(x)
O
2
(
n
)
f (x)
x
O
O t (n)
三 F分布
设随机变量X ~ 2 (m),Y ~ 2 (n)，且X与Y 独立，
则随机变量
F X/m Y /n
的分布称为自由度为m与n的F分布,记为F ~ F (m, n),
其中m为分子自由度，n为分母自由度.其密度函数为
Γ (m n) 2 m n
xm 2
1
f ( x,m,n)
Γ
(m
2)Γ (n
x
F (m, n) x
分位数的性质：
(1) u1 u , t1 (n) t (n). 当n 30时，t (n) u .
(2) 当n充分大（n 40即可），有
2 (n)
1 2
(
u
2n 1)2 .
(3)
F
(m, n)
F1
1 (n, m)
.
学习了三大分布后，我们就可以去研究常用统计 量的分布。下一讲，我们将学习在正态分布的条件下， 常用统计量的分布——抽样分布.
2 2
~
2 (n2 ),并且相互独立，则
12
2 2
~
2
(
n1
n2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
性质4 2分布的极限分布是正态分布
设 2 ~ 2 (n)，则对任意x，有
lim P{ 2 n x} x
1
e
t2 2
dt
( x).
n
2n
2
近似
即 2 (n) ~ N (n, 2n).
性质3 E(F ) n (n 2), n2
D(F ) 2n2 (m n 2) , m(n 2)2 (n 4)
(n 4).
F 分布是为纪念英国著名统计学家费歇 （R.A. Fisher，1890 1962）而命名的．它是数
理统计的重要分布之一.
四 分位数(点)
定义 设X的分布函数为F ( x)， 若实数x 满足
n 2
1
e
x
2，
x
0；
0，
x 0.
(r) xr1exdx, r 0. 0
f(x) n1
n4
n 10
O
5 10 15 20
x
2分布的概率密度函数
2分布的性质：
性质1 分布的变量值始终为正；
性质2 E( 2 (n)) n，D( 2 (n)) 2n；
性质3 2分布的可加性
设12 ~ 2 (n1 ),
第五章 数理统计的基本知识 第二讲 数理统计的三大分布
主讲教师 胡发胜 教授
一 2分布
设X1 , X2 ,, Xn相互独立且都服从N (0,1)，则称 随机变量
2
X12
X
2 2
X
2 n
所服从的分布称为自由度为n的 2分布，记为 2 (n).
其密度函数为
其中
f2
( x,n)
2n
1 2 (n
2)
x
m 2 n2 2)
(mx
mn
n) 2
,
x 0,
0,
x 0.
fF (x)
(1,10) (,10)
(10,10) (5,10)
O
x
F 分布概率密度函数
F 分布的性质：
性质1 若X ~ F (m, n)，则1 / X ~ F (n, m)； 性质2 若X ~ t(n)，则 X 2 ~ F (1, n)；
二 t分布
设随机变量X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n)，且X与Y 独立，
则随机变量
t X Y /n
所服从的分布称为自由度为n的t分布，记为t(n). 其密度函数为
ft ( x;n)
[(n 1) 2] (1
(n 2) n
x2 n
n1
) 2,
x .
ft (x)
n , N(0,1) n6
n2
O
x
t分布的密度函数： 低峰、厚尾
t分布的性质：
性质1 密度函数f ( x, n)是偶函数，且
lim f ( x, n)
1
x2
e 2 ( x).
n
2
即t分布的极限分布是标准正态分布.
性质2 设T t(n)，则 当n 1时, E(T )不存在,t(1)是标准柯西分布, 当n 2时， E(T ) 0， 当n 3时， D(T ) n . n2